Ecuación del punto medio de un segmento mediante coordenadas. Coordenadas del punto medio del segmento.

Introducción de coordenadas cartesianas en el espacio. Distancia entre puntos. Coordenadas del punto medio del segmento.

Objetivos de la lección:

Educativo: Considere el concepto de sistema de coordenadas y las coordenadas de un punto en el espacio; derivar la fórmula de la distancia en coordenadas; derivar la fórmula para las coordenadas del punto medio del segmento.

Educativo: Promover el desarrollo de la imaginación espacial de los estudiantes; Contribuir al desarrollo de la resolución de problemas y al desarrollo del pensamiento lógico de los estudiantes.

Educativo: Fomentar la actividad cognitiva, el sentido de responsabilidad, una cultura de la comunicación, una cultura del diálogo.

Equipo: Material de dibujo, presentación, centro de diseño digital.

Tipo de lección: Lección sobre cómo aprender material nuevo.

Estructura de la lección:

Organizar el tiempo.

Actualización de conocimientos básicos.

Aprender material nuevo.

Actualizando nuevos conocimientos

Resumen de la lección.

durante las clases

Mensaje de la historia " Sistema de coordenadas Cartesianas"(Aprendiz)

Al resolver un problema geométrico, físico y químico, se pueden utilizar varios sistemas de coordenadas: rectangular, polar, cilíndrico, esférico.

En el curso de educación general se estudia el sistema de coordenadas rectangulares en el plano y en el espacio. De lo contrario, se le llama sistema de coordenadas cartesiano en honor al filósofo científico francés René Descartes (1596 - 1650), quien introdujo por primera vez las coordenadas en la geometría.

(Historia de un estudiante sobre René Descartes).

René Descartes nació en 1596 en la ciudad de Lae, en el sur de Francia, en el seno de una familia noble. Mi padre quería convertir a René en oficial. Para ello, en 1613 envió a René a París. Descartes tuvo que pasar muchos años en el ejército, participando en campañas militares en Holanda, Alemania, Hungría, República Checa, Italia y en el asedio de la fortaleza hugonota de La Rochalie. Pero René estaba interesado en la filosofía, la física y las matemáticas. Poco después de su llegada a París, conoció al alumno de Vieta, un destacado matemático de la época: Mersen, y luego a otros matemáticos en Francia. Mientras estuvo en el ejército, Descartes dedicó todo su tiempo libre a las matemáticas. Estudió álgebra alemana y matemáticas francesa y griega.

Después de la captura de La Rochalie en 1628, Descartes abandonó el ejército. Lleva una vida solitaria para implementar sus amplios planes de trabajo científico.

Descartes fue el filósofo y matemático más grande de su tiempo. La obra más famosa de Descartes es su Geometría. Descartes introdujo un sistema de coordenadas que todo el mundo utiliza hoy en día. Estableció una correspondencia entre números y segmentos de recta y así introdujo el método algebraico en la geometría. Estos descubrimientos de Descartes dieron un gran impulso al desarrollo tanto de la geometría como de otras ramas de las matemáticas y la óptica. Se hizo posible representar gráficamente la dependencia de las cantidades del plano de coordenadas, los números, como segmentos, y realizar operaciones aritméticas en segmentos y otras cantidades geométricas, así como varias funciones. Era un método completamente nuevo, que se distinguía por la belleza, la gracia y la sencillez.

Repetición. Sistema de coordenadas rectangulares en un plano.

Preguntas:

¿Qué se llama sistema de coordenadas en un plano?

¿Cómo se determinan las coordenadas de un punto en un plano?

¿Cuáles son las coordenadas del origen?

¿Cuál es la fórmula para las coordenadas del punto medio de un segmento y la distancia entre puntos en un plano?

Aprender material nuevo:

Un sistema de coordenadas rectangular en el espacio es un trío de líneas de coordenadas mutuamente perpendiculares con un origen común. El origen común se indica con la letra.oh.

Oh - eje de abscisas,

Oy – eje de ordenadas,

ACERCA DEz– aplicar eje

Tres planos que pasan por los ejes de coordenadas Ox y Oy, Oy y Oz, ACERCA DEzy Ox se llaman planos de coordenadas: Oxy, Oyz, ACERCA DEzX.

En un sistema de coordenadas rectangular, cada punto M en el espacio está asociado con un triple de números: sus coordenadas.

M(x,y,z), donde x es la abscisa, y es la ordenada,z- aplicar.

Sistema de coordenadas en el espacio.

Coordenadas de puntos

Distancia entre puntos

1 (X 1 ;y 1 ;z 1 ) y A 2 (X 2 ;y 2 ;z 2 )

Entonces la distancia entre los puntos A 1 y un 2 se calcula así:

Coordenadas del punto medio del segmento en el espacio.

Hay dos puntos arbitrarios A. 1 (X 1 ;y 1 ;z 1 ) y A 2 (X 2 ;y 2 ;z 2 ). Entonces el punto medio del segmento A 1 A 2 habrá un punto C con coordenadas x, y, z, donde

Adquirir habilidades de solución:

1) Encuentra las coordenadas de las proyecciones ortogonales de los puntos.A (1, 3, 4) y

B (5, -6, 2) a:

Un avionoxi ; b) aviónOyz ; c) ejeBuey ; d) ejeOnz .

Respuesta: a) (1, 3, 0), (5, -6, 0); b) (0, 3, 4), (0, -6, 2); c) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

d) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) ¿A qué distancia está el punto?A (1, -2, 3) desde el plano de coordenadas:

A)oxi ; b)Oxz ; V)Oyz ?

Respuesta: a) 3; segundo) 2; En 1

3) Encuentra las coordenadas de la mitad del segmento:

A)AB , SiA (1, 2, 3) yB (-1, 0, 1); b)CD , SiC (3, 3, 0) yD (3, -1, 2).

Respuesta: a) (1, 1, 2); segundo) (3, 1, 1).

5. Tarea: libro de texto de A. V. Pogorelov “Geometría 10-11” págs. 23 – 25, pág. 53 responda las preguntas nº 1 – 3; №7, №10(1)

6. Resumen de la lección.

Mesa

En la superficie

En el espacio

Definición. Un sistema de coordenadas es un conjunto de dos ejes de coordenadas que se cruzan, el punto en el que estos ejes se cruzan (el origen) y segmentos unitarios en cada uno de los ejes.

Definición. Un sistema de coordenadas es un conjunto de tres ejes de coordenadas, el punto en el que estos ejes se cruzan (el origen de las coordenadas) y segmentos unitarios en cada uno de los ejes.

2 ejes,

OU - eje de ordenadas,

OX - eje de abscisas

3 ejes,

BUEY - eje de abscisas,

OU – eje de ordenadas,

OZ - eje del aplicador.

OX es perpendicular a OA

OX es perpendicular a OU,

OX es perpendicular a OZ,

El amplificador operacional es perpendicular a OZ

(O;O)

(ooo)

Dirección, segmento único

Distancia entre puntos.

Distancia entre puntos

Coordenadas del punto medio del segmento.

Coordenadas del punto medio del segmento.

Preguntas:

¿Cómo se introduce el sistema de coordenadas cartesiano? ¿En qué consiste?

¿Cómo se determinan las coordenadas de un punto en el espacio?

¿Cuál es la coordenada del punto de intersección de los ejes coordenados?

¿Cuál es la distancia desde el origen a un punto dado?

¿Cuál es la fórmula para las coordenadas de la mitad de un segmento y la distancia entre puntos en el espacio?

Evaluación del estudiante

7.Reflexión

En la lección

Descubrí …

He aprendido…

Me gusta…

Me resultó difícil...

Mi humor…

Literatura.

AV. Pogorelov. Libro de texto 10-11. M. “Ilustración”, 2010.

ES. Petrakov. Clubes de matemáticas en los grados 8-10. M, “Ilustración”, 1987

Después de un arduo trabajo, de repente me di cuenta de que el tamaño de las páginas web es bastante grande, y si las cosas continúan así, entonces puedo volverme loco tranquilamente =) Por lo tanto, les traigo un breve ensayo dedicado a un problema geométrico muy común: acerca de dividir un segmento a este respecto y, como caso especial, acerca de dividir un segmento por la mitad.

Por una razón u otra, esta tarea no encajaba en otras lecciones, pero ahora tenemos una gran oportunidad para considerarla en detalle y con tranquilidad. La buena noticia es que nos tomaremos un descanso de los vectores y nos centraremos en puntos y segmentos.

Fórmulas para dividir un segmento a este respecto.

El concepto de dividir un segmento a este respecto.

A menudo no es necesario esperar en absoluto a lo prometido; veamos inmediatamente un par de puntos y, obviamente, lo increíble: el segmento:

El problema considerado es válido tanto para segmentos del plano como para segmentos del espacio. Es decir, el segmento de demostración se puede colocar como se desee en un plano o en el espacio. Para facilitar la explicación, lo dibujé horizontalmente.

¿Qué vamos a hacer con este segmento? Esta vez para cortar. Alguien está recortando el presupuesto, alguien está recortando su cónyuge, alguien está cortando leña y comenzaremos a cortar el segmento en dos partes. El segmento se divide en dos partes utilizando un punto determinado, que, por supuesto, se encuentra directamente sobre él:

En este ejemplo, el punto divide el segmento de tal manera que el segmento mide la mitad de largo que el segmento. TAMBIÉN se puede decir que un punto divide a un segmento en una proporción (“uno a dos”), contando desde el vértice.

En lenguaje matemático seco, este hecho se escribe de la siguiente manera: , o más a menudo en forma de la proporción habitual: . La proporción de segmentos suele denotarse con la letra griega “lambda”, en este caso: .

Es fácil componer la proporción en un orden diferente: - esta notación significa que el segmento es dos veces más largo que el segmento, pero esto no tiene ningún significado fundamental para resolver problemas. Puede ser así o puede ser así.

Por supuesto, el segmento se puede dividir fácilmente en otros aspectos y, para reforzar el concepto, el segundo ejemplo:

Aquí es válida la siguiente relación: . Si hacemos la proporción al revés, obtenemos: .

Una vez que hayamos descubierto qué significa dividir un segmento a este respecto, pasemos a considerar problemas prácticos.

Si se conocen dos puntos del plano, entonces las coordenadas del punto que divide el segmento en relación con se expresan mediante las fórmulas:

¿De dónde vinieron estas fórmulas? En el curso de geometría analítica, estas fórmulas se derivan estrictamente utilizando vectores (¿dónde estaríamos sin ellos? =)). Además, son válidos no sólo para el sistema de coordenadas cartesiano, sino también para un sistema de coordenadas afín arbitrario (ver lección Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores). Ésta es una tarea tan universal.

Ejemplo 1

Encuentre las coordenadas del punto que divide el segmento en la relación si se conocen los puntos

Solución: En este problema. Usando las fórmulas para dividir un segmento en esta relación, encontramos el punto:

Respuesta:

Preste atención a la técnica de cálculo: primero debe calcular por separado el numerador y el denominador. El resultado es a menudo (pero no siempre) una fracción de tres o cuatro pisos. Después de esto, nos deshacemos de la estructura de varios pisos de la fracción y realizamos las simplificaciones finales.

La tarea no requiere dibujo, pero siempre es útil realizarla en forma de borrador:

De hecho, la relación se cumple, es decir, el segmento es tres veces más corto que el segmento. Si la proporción no es obvia, entonces los segmentos siempre se pueden medir estúpidamente con una regla común.

Igualmente valioso segunda solución: en él la cuenta regresiva comienza desde un punto y la siguiente relación es justa: (en palabras humanas, un segmento es tres veces más largo que un segmento). Según las fórmulas para dividir un segmento a este respecto:

Respuesta:

Tenga en cuenta que en las fórmulas es necesario mover las coordenadas del punto al primer lugar, ya que con él comenzó un pequeño thriller.

También está claro que el segundo método es más racional debido a que los cálculos son más sencillos. Pero aun así, este problema a menudo se resuelve de la manera “tradicional”. Por ejemplo, si según la condición se da un segmento, entonces se supone que formarás una proporción; si se da un segmento, entonces la proporción está “tácitamente” implícita.

Y di el segundo método porque a menudo intentan confundir deliberadamente las condiciones del problema. Por eso es muy importante realizar un dibujo aproximado para, en primer lugar, analizar correctamente el estado y, en segundo lugar, a efectos de verificación. Es una pena cometer errores en una tarea tan sencilla.

Ejemplo 2

Se dan puntos . Encontrar:

a) un punto que divide el segmento en relación con ;
b) un punto que divide el segmento en relación con .

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

A veces hay problemas en los que se desconoce uno de los extremos del segmento:

Ejemplo 3

El punto pertenece al segmento. Se sabe que un segmento tiene el doble de largo que un segmento. Encuentra el punto si .

Solución: De la condición se sigue que el punto divide al segmento en la razón , contando desde el vértice, es decir, la proporción es válida: . Según las fórmulas para dividir un segmento a este respecto:

Ahora no conocemos las coordenadas del punto :, pero esto no es un problema particular, ya que se pueden expresar fácilmente a partir de las fórmulas anteriores. No cuesta nada expresarlo en términos generales, es mucho más fácil sustituir números específicos y realizar los cálculos cuidadosamente:

Respuesta:

Para comprobarlo, puedes tomar los extremos del segmento y, usando fórmulas en orden directo, asegurarte de que la relación realmente resulte en un punto. Y, por supuesto, un dibujo no será superfluo. Y para finalmente convencerte de los beneficios de una libreta de cuadros, un simple lápiz y una regla, te propongo un problema complicado que puedes resolver por tu cuenta:

Ejemplo 4

Punto . El segmento es una vez y media más corto que el segmento. Encontrar un punto si se conocen las coordenadas de los puntos. .

La solución está al final de la lección. Por cierto, no es el único, si sigues un camino diferente al de la muestra no será un error, lo principal es que las respuestas coincidan.

Para los segmentos espaciales todo será exactamente igual, sólo se agregará una coordenada más.

Si se conocen dos puntos en el espacio, entonces las coordenadas del punto que divide el segmento en relación con se expresan mediante las fórmulas:
.

Ejemplo 5

Se dan puntos. Encuentre las coordenadas de un punto perteneciente al segmento si se sabe que .

Solución: La condición implica la relación: . Este ejemplo fue tomado de una prueba real, y su autor se permitió una pequeña broma (en caso de que alguien tropezara): habría sido más racional escribir la proporción en la condición así: .

Según las fórmulas para las coordenadas del punto medio del segmento:

Respuesta:

Los dibujos en 3D con fines de inspección son mucho más difíciles de producir. Sin embargo, siempre se puede hacer un dibujo esquemático para comprender al menos la condición: qué segmentos deben correlacionarse.

En cuanto a las fracciones en la respuesta, no te sorprendas, es algo común. Lo he dicho muchas veces, pero lo repetiré: en matemáticas superiores se acostumbra utilizar fracciones ordinarias, regulares e impropias. La respuesta está en la forma. servirá, pero la opción con fracciones impropias es más estándar.

Tarea de calentamiento para una solución independiente:

Ejemplo 6

Se dan puntos. Encuentra las coordenadas del punto si se sabe que divide el segmento en la proporción.

La solución y la respuesta están al final de la lección. Si le resulta difícil navegar por las proporciones, haga un dibujo esquemático.

En el trabajo independiente y de prueba, los ejemplos considerados se encuentran solos y como parte integral de tareas más amplias. En este sentido, el problema de encontrar el centro de gravedad de un triángulo es típico.

No veo mucho sentido en analizar el tipo de tarea donde se desconoce uno de los extremos del segmento, ya que todo será similar al caso plano, excepto que hay un poco más de cálculos. Recordemos mejor nuestros años escolares:

Fórmulas para las coordenadas del punto medio de un segmento.

Incluso los lectores inexpertos pueden recordar cómo dividir un segmento por la mitad. El problema de dividir un segmento en dos partes iguales es un caso especial de división de un segmento a este respecto. La sierra a dos manos funciona de la forma más democrática y cada vecino del escritorio recibe el mismo palo:

A esta hora solemne redoblan los tambores dando la bienvenida a la importante proporción. Y fórmulas generales milagrosamente transformado en algo familiar y simple:

Un punto conveniente es el hecho de que las coordenadas de los extremos del segmento se pueden reorganizar sin problemas:

En fórmulas generales, una habitación tan lujosa, como comprenderá, no funciona. Y aquí no hay ninguna necesidad particular, por lo que es una cosita agradable.

Para el caso espacial, se cumple una analogía obvia. Si se dan los extremos de un segmento, las coordenadas de su punto medio se expresan mediante las fórmulas:

Ejemplo 7

Un paralelogramo está definido por las coordenadas de sus vértices. Encuentra el punto de intersección de sus diagonales.

Solución: Quienes lo deseen pueden completar el dibujo. Recomiendo especialmente el graffiti a aquellos que se han olvidado por completo del curso de geometría de la escuela.

Según la conocida propiedad, las diagonales de un paralelogramo se dividen por la mitad por su punto de intersección, por lo que el problema se puede resolver de dos formas.

Método uno: Considere vértices opuestos . Usando las fórmulas para dividir un segmento por la mitad, encontramos la mitad de la diagonal:

Sean A(X 1; y 1) y B(x 2; y 2) dos puntos arbitrarios y C (x; y) el punto medio del segmento AB. Encontremos las coordenadas x, y del punto C.

Consideremos primero el caso en el que el segmento AB no es paralelo al eje y, es decir, X 1 X 2. Dibujemos líneas rectas que pasen por los puntos A, B, C, paralelas al eje y (Fig. 173). Intersecarán el eje x en los puntos A 1 (X 1; 0), B 1 (X 2; 0), C 1 (x; 0). Según el teorema de Tales, el punto C 1 será el punto medio del segmento A 1 B 1.

Dado que el punto C 1 es el medio del segmento AiBi, entonces A 1 C 1 = B 1 C 1, lo que significa Ix - X 1 I = Ix - X 2 I. Se deduce que x - x 1 = x - x 2 , o (x - x 1) = -(x-x 2).
La primera igualdad es imposible, ya que x 1 x 2. Luego lo segundo es cierto. Y de esto obtenemos la fórmula

Si x 1 = x 2, es decir, el segmento AB es paralelo al eje y, entonces los tres puntos A 1, B 1, C 1 tienen la misma abscisa. Esto significa que la fórmula sigue siendo válida en este caso.
La ordenada del punto C se encuentra de manera similar. Por los puntos A, B, C se trazan líneas rectas paralelas al eje x. La fórmula resulta ser

Problema (15). Dados tres vértices del paralelogramo ABCD: A (1; 0), B (2; 3), C (3; 2). Encuentra las coordenadas del cuarto vértice D y los puntos de intersección de las diagonales.

Solución. El punto de intersección de las diagonales es el punto medio de cada una de ellas. Por tanto, es el punto medio del segmento AC, lo que significa que tiene coordenadas

Ahora, conociendo las coordenadas del punto de intersección de las diagonales, encontramos las coordenadas x, y del cuarto vértice D. Utilizando el hecho de que el punto de intersección de las diagonales es el punto medio del segmento BD, tenemos:

A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas

El siguiente artículo cubrirá las cuestiones de encontrar las coordenadas de la mitad de un segmento si las coordenadas de sus puntos extremos están disponibles como datos iniciales. Pero antes de comenzar a estudiar el tema, introduzcamos una serie de definiciones.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definición 1

Segmento de línea– una línea recta que conecta dos puntos arbitrarios, llamados extremos de un segmento. Como ejemplo, sean los puntos A y B y, en consecuencia, el segmento A B.

Si el segmento A B se continúa en ambas direcciones desde los puntos A y B, obtenemos una línea recta A B. Entonces el segmento A B es parte de la recta resultante, delimitada por los puntos A y B. El segmento A B une los puntos A y B, que son sus extremos, así como el conjunto de puntos que se encuentran entre ellos. Si, por ejemplo, tomamos cualquier punto K arbitrario que se encuentre entre los puntos A y B, podemos decir que el punto K se encuentra en el segmento A B.

Definición 2

Longitud de la sección– la distancia entre los extremos de un segmento en una escala determinada (un segmento de longitud unitaria). Denotemos la longitud del segmento A B de la siguiente manera: A B .

Definición 3

Punto medio del segmento– un punto situado sobre un segmento y equidistante de sus extremos. Si la mitad del segmento A B está designada por el punto C, entonces la igualdad será verdadera: A C = C B

Datos iniciales: línea de coordenadas O x y puntos no coincidentes en ella: A y B. Estos puntos corresponden a números reales. x A y xB. El punto C es el medio del segmento A B: es necesario determinar la coordenada xC.

Como el punto C es el punto medio del segmento A B, la igualdad será verdadera: | A C | = | C B | . La distancia entre puntos está determinada por el módulo de diferencia en sus coordenadas, es decir

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Entonces son posibles dos igualdades: x C - x A = x B - x C y x C - x A = - (x B - x C)

De la primera igualdad derivamos la fórmula para las coordenadas del punto C: x C = x A + x B 2 (la mitad de la suma de las coordenadas de los extremos del segmento).

De la segunda igualdad obtenemos: x A = x B, lo cual es imposible, porque en los datos originales: puntos que no coinciden. De este modo, fórmula para determinar las coordenadas de la mitad del segmento A B con extremos A (x A) y B(xB):

La fórmula resultante será la base para determinar las coordenadas de la mitad de un segmento en un plano o en el espacio.

Datos iniciales: sistema de coordenadas rectangular en el plano O x y, dos puntos arbitrarios no coincidentes con las coordenadas dadas A x A, y A y B x B, y B. El punto C es la mitad del segmento A B. Es necesario determinar las coordenadas x C e y C para el punto C.

Tomemos para analizar el caso en el que los puntos A y B no coinciden y no se encuentran en la misma línea de coordenadas o en una línea perpendicular a uno de los ejes. A x , Ay ; B x, B y y C x, C y - proyecciones de los puntos A, B y C en los ejes de coordenadas (líneas rectas O x y O y).

Según la construcción, las rectas A A x, B B x, C C x son paralelas; las líneas también son paralelas entre sí. Sumado a esto, según el teorema de Tales, de la igualdad A C = C B se siguen las igualdades: A x C x = C x B x y A y C y = C y B y, y estas a su vez indican que el punto C x es el mitad del segmento A x B x, y C y es la mitad del segmento A y B y. Y luego, según la fórmula obtenida anteriormente, obtenemos:

x C = x A + x B 2 y y C = y A + y B 2

Se pueden utilizar las mismas fórmulas en el caso de que los puntos A y B se encuentren en la misma línea de coordenadas o en una línea perpendicular a uno de los ejes. No realizaremos un análisis detallado de este caso, lo consideraremos solo gráficamente:

Resumiendo todo lo anterior, coordenadas de la mitad del segmento A B en el plano con las coordenadas de los extremos A (xA, yA) Y B(xB, yB) se definen como:

(x A + x B 2 , y A + y B 2 )

Datos iniciales: sistema de coordenadas O x y z y dos puntos arbitrarios con coordenadas dadas A (x A, y A, z A) y B (x B, y B, z B). Es necesario determinar las coordenadas del punto C, que es la mitad del segmento A B.

A x , Ay , Az ; B x , B y , B z y C x , C y , C z - proyecciones de todos los puntos dados en los ejes del sistema de coordenadas.

Según el teorema de Tales, se cumplen las siguientes igualdades: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Por tanto, los puntos C x , C y , C z son los puntos medios de los segmentos A x B x , A y B y , A z B z , respectivamente. Entonces, Para determinar las coordenadas de la mitad de un segmento en el espacio, las siguientes fórmulas son correctas:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Las fórmulas resultantes también son aplicables en los casos en que los puntos A y B se encuentran en una de las líneas de coordenadas; en línea recta perpendicular a uno de los ejes; en un plano coordenado o en un plano perpendicular a uno de los planos coordenados.

Determinar las coordenadas de la mitad de un segmento a través de las coordenadas de los vectores de radio de sus extremos.

La fórmula para encontrar las coordenadas de la mitad de un segmento también se puede derivar según la interpretación algebraica de los vectores.

Datos iniciales: sistema de coordenadas cartesiano rectangular O x y, puntos con coordenadas dadas A (x A, y A) y B (x B, x B). El punto C es la mitad del segmento A B.

Según la definición geométrica de acciones sobre vectores, se cumplirá la siguiente igualdad: O C → = 1 2 · O A → + O B → . El punto C en este caso es el punto de intersección de las diagonales de un paralelogramo construido a partir de los vectores O A → y O B →, es decir el punto de la mitad de las diagonales. Las coordenadas del vector de radio del punto son iguales a las coordenadas del punto, entonces las igualdades son verdaderas: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). Realicemos algunas operaciones con vectores en coordenadas y obtengamos:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Por tanto, el punto C tiene coordenadas:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Por analogía, se determina una fórmula para encontrar las coordenadas de la mitad de un segmento en el espacio:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Ejemplos de resolución de problemas para encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento.

Entre los problemas que implican el uso de las fórmulas obtenidas anteriormente, están aquellos en los que la cuestión directa es calcular las coordenadas de la mitad del segmento, y aquellos que implican acercar las condiciones dadas a esta cuestión: el término “mediana” Se usa a menudo, el objetivo es encontrar las coordenadas de uno de los extremos de un segmento, y también son comunes los problemas de simetría, cuya solución en general tampoco debería causar dificultades después de estudiar este tema. Veamos ejemplos típicos.

Ejemplo 1

Datos iniciales: en el plano: puntos con las coordenadas dadas A (- 7, 3) y B (2, 4). Es necesario encontrar las coordenadas del punto medio del segmento A B.

Solución

Denotamos la mitad del segmento A B por el punto C. Sus coordenadas se determinarán como la mitad de la suma de las coordenadas de los extremos del segmento, es decir puntos A y B.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Respuesta: coordenadas de la mitad del segmento A B - 5 2, 7 2.

Ejemplo 2

Datos iniciales: Se conocen las coordenadas del triángulo A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Es necesario encontrar la longitud de la mediana A M.

Solución

1. Según las condiciones del problema, A M es la mediana, lo que significa que M es el punto medio del segmento B C . En primer lugar, encontremos las coordenadas de la mitad del segmento B C, es decir M puntos:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Como ahora conocemos las coordenadas de ambos extremos de la mediana (puntos A y M), podemos usar la fórmula para determinar la distancia entre puntos y calcular la longitud de la mediana A M:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Respuesta: 58

Ejemplo 3

Datos iniciales: en un sistema de coordenadas rectangular del espacio tridimensional, se da un paralelepípedo A B C D A 1 B 1 C 1 D 1. Se dan las coordenadas del punto C 1 (1, 1, 0), y también se define el punto M, que es el punto medio de la diagonal B D 1 y tiene coordenadas M (4, 2, - 4). Es necesario calcular las coordenadas del punto A.

Solución

Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en un punto, que es el punto medio de todas las diagonales. Con base en esta afirmación, podemos tener en cuenta que el punto M, conocido por las condiciones del problema, es el punto medio del segmento A C 1. Según la fórmula para encontrar las coordenadas de la mitad de un segmento en el espacio, encontramos las coordenadas del punto A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Respuesta: coordenadas del punto A (7, 3, - 8).

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Muy a menudo, en el problema C2 es necesario trabajar con puntos que bisecan un segmento. Las coordenadas de dichos puntos se calculan fácilmente si se conocen las coordenadas de los extremos del segmento.

Entonces, dejemos que el segmento se defina por sus extremos: puntos A = (x a; y a; z a) y B = (x b; y b; z b). Luego, las coordenadas de la mitad del segmento (llamémoslo el punto H) se pueden encontrar usando la fórmula:

En otras palabras, las coordenadas de la mitad de un segmento son la media aritmética de las coordenadas de sus extremos.

· Tarea . El cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 se coloca en un sistema de coordenadas de modo que los ejes x, y y z se dirigen a lo largo de las aristas AB, AD y AA 1, respectivamente, y el origen coincide con el punto A. El punto K es el medio del borde A 1 B 1 . Encuentra las coordenadas de este punto.

Solución. Dado que el punto K es el medio del segmento A 1 B 1, sus coordenadas son iguales a la media aritmética de las coordenadas de los extremos. Anotamos las coordenadas de los extremos: A 1 = (0; 0; 1) y B 1 = (1; 0; 1). Ahora encontremos las coordenadas del punto K:

Respuesta: K = (0,5; 0; 1)

· Tarea . El cubo unitario ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 se coloca en un sistema de coordenadas de modo que los ejes x, y y z se dirigen a lo largo de las aristas AB, AD y AA 1, respectivamente, y el origen coincide con el punto A. Encuentre el coordenadas del punto L en el que se cruzan las diagonales del cuadrado A 1 B 1 C 1 D 1 .

Solución. Del curso de planimetría sabemos que el punto de intersección de las diagonales de un cuadrado equidista de todos sus vértices. En particular, A 1 L = C 1 L, es decir El punto L es la mitad del segmento A 1 C 1. Pero A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), entonces tenemos:

Respuesta: L = (0,5; 0,5; 1)

Los problemas más simples de geometría analítica.
Acciones con vectores en coordenadas.

Es muy recomendable aprender a resolver las tareas que se considerarán de forma totalmente automática y las fórmulas. memorizar, ni siquiera tienes que recordarlo a propósito, ellos mismos lo recordarán =) Esto es muy importante, ya que otros problemas de geometría analítica se basan en los ejemplos elementales más simples, y será molesto pasar más tiempo comiendo peones. . No es necesario que te abroches los botones superiores de la camisa, muchas cosas te son familiares en la escuela.

La presentación del material seguirá un curso paralelo, tanto para el avión como para el espacio. Porque todas las fórmulas... las verás por ti mismo.