Registre a b 3 en la base a. Propiedades de los logaritmos naturales: gráfica, base, funciones, límite, fórmulas y dominio de definición

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).

El logaritmo de un número positivo b en base a (a>0, a no es igual a 1) es un número c tal que a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Tenga en cuenta que el logaritmo de un número no positivo no está definido. Además, la base del logaritmo debe ser un número positivo que no sea igual a 1. Por ejemplo, si elevamos al cuadrado -2, obtenemos el número 4, pero esto no significa que el logaritmo en base -2 de 4 sea igual a 2.

Identidad logarítmica básica

Es importante que el alcance de la definición de los lados derecho e izquierdo de esta fórmula sea diferente. El lado izquierdo se define sólo para b>0, a>0 y a ≠ 1. El lado derecho se define para cualquier b y no depende de a en absoluto. Por tanto, la aplicación de la "identidad" logarítmica básica al resolver ecuaciones y desigualdades puede conducir a un cambio en la OD.

Dos consecuencias obvias de la definición de logaritmo

De hecho, cuando elevamos el número a a la primera potencia, obtenemos el mismo número, y cuando lo elevamos a la potencia cero, obtenemos uno.

Logaritmo del producto y logaritmo del cociente

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Me gustaría advertir a los escolares que no utilicen irreflexivamente estas fórmulas al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas. Al usarlos “de izquierda a derecha”, la ODZ se estrecha, y al pasar de la suma o diferencia de logaritmos al logaritmo del producto o cociente, la ODZ se expande.

De hecho, la expresión log a (f (x) g (x)) se define en dos casos: cuando ambas funciones son estrictamente positivas o cuando f(x) y g(x) son menores que cero.

Al transformar esta expresión en la suma log a f (x) + log a g (x), nos vemos obligados a limitarnos solo al caso en que f(x)>0 y g(x)>0. Hay una reducción del rango de valores aceptables, y esto es categóricamente inaceptable, ya que puede conducir a una pérdida de soluciones. Existe un problema similar para la fórmula (6).

El grado se puede sacar del signo del logaritmo.

Y nuevamente me gustaría pedir precisión. Considere el siguiente ejemplo:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

El lado izquierdo de la igualdad está obviamente definido para todos los valores de f(x) excepto cero. ¡El lado derecho es solo para f(x)>0! Al quitar el grado del logaritmo, estrechamos nuevamente la ODZ. El procedimiento inverso conduce a una ampliación del rango de valores aceptables. Todas estas observaciones se aplican no sólo a la potencia 2, sino también a cualquier potencia par.

Fórmula para pasar a una nueva fundación

Ese raro caso en el que la ODZ no cambia durante la transformación. Si has elegido sabiamente la base c (positiva y distinta de 1), la fórmula para pasar a una nueva base es completamente segura.

Si elegimos el número b como nueva base c, obtenemos un caso especial importante de la fórmula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Algunos ejemplos sencillos con logaritmos

Ejemplo 1. Calcular: log2 + log50.
Solución. log2 + log50 = log100 = 2. Usamos la fórmula de suma de logaritmos (5) y la definición del logaritmo decimal.

Ejemplo 2. Calcular: lg125/lg5.
Solución. log125/log5 = log 5 125 = 3. Usamos la fórmula para movernos a una nueva base (8).

Tabla de fórmulas relacionadas con logaritmos.

A medida que la sociedad se desarrolló y la producción se volvió más compleja, las matemáticas también se desarrollaron. Paso de lo simple a lo complejo. De la contabilidad ordinaria utilizando el método de suma y resta, con sus repetidas repeticiones, llegamos al concepto de multiplicación y división. La reducción de la operación repetida de multiplicación se convirtió en el concepto de exponenciación. Las primeras tablas de la dependencia de los números de la base y el número de exponenciación fueron compiladas en el siglo VIII por el matemático indio Varasena. A partir de ellos se puede contar el tiempo de aparición de los logaritmos.

Bosquejo histórico

El renacimiento de Europa en el siglo XVI también estimuló el desarrollo de la mecánica. t requirió una gran cantidad de cálculo relacionado con la multiplicación y división de números de varios dígitos. Las mesas antiguas fueron de gran utilidad. Hicieron posible reemplazar operaciones complejas por otras más simples: suma y resta. Un gran paso adelante fue el trabajo del matemático Michael Stiefel, publicado en 1544, en el que hizo realidad la idea de muchos matemáticos. Esto hizo posible utilizar tablas no solo para potencias en forma de números primos, sino también para números racionales arbitrarios.

En 1614, el escocés John Napier, desarrollando estas ideas, introdujo por primera vez el nuevo término "logaritmo de un número". Se compilaron nuevas tablas complejas para calcular los logaritmos de senos y cosenos, así como tangentes. Esto redujo enormemente el trabajo de los astrónomos.

Comenzaron a aparecer nuevas tablas que los científicos utilizaron con éxito durante tres siglos. Pasó mucho tiempo antes de que la nueva operación de álgebra adquiriera su forma definitiva. Se dio la definición del logaritmo y se estudiaron sus propiedades.

Sólo en el siglo XX, con la llegada de la calculadora y el ordenador, la humanidad abandonó las antiguas tablas que habían funcionado con éxito durante los siglos XIII.

Hoy llamamos logaritmo de b en base a al número x que es la potencia de a para formar b. Esto se escribe como una fórmula: x = log a(b).

Por ejemplo, log 3(9) sería igual a 2. Esto es obvio si sigues la definición. Si elevamos 3 a la potencia de 2, obtenemos 9.

Por tanto, la definición formulada establece sólo una restricción: los números a y b deben ser reales.

Tipos de logaritmos

La definición clásica se llama logaritmo real y en realidad es la solución de la ecuación a x = b. La opción a = 1 está en el límite y no es de interés. Atención: 1 elevado a cualquier potencia es igual a 1.

Valor real del logaritmo se define solo cuando la base y el argumento son mayores que 0, y la base no debe ser igual a 1.

Lugar especial en el campo de las matemáticas. jugar logaritmos, que se nombrarán dependiendo del tamaño de su base:

Reglas y restricciones

La propiedad fundamental de los logaritmos es la regla: el logaritmo de un producto es igual a la suma logarítmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Como variante de esta afirmación quedará: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), la función cociente es igual a la diferencia de las funciones.

De las dos reglas anteriores es fácil ver que: log a(b p) = p * log a(b).

Otras propiedades incluyen:

Comentario. No es necesario cometer un error común: el logaritmo de una suma no es igual a la suma de logaritmos.

Durante muchos siglos, la operación de encontrar un logaritmo fue una tarea que requería bastante tiempo. Los matemáticos utilizaron la conocida fórmula de la teoría logarítmica de la expansión polinomial:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), donde n es un número natural mayor que 1, que determina la precisión del cálculo.

Los logaritmos con otras bases se calcularon utilizando el teorema de la transición de una base a otra y la propiedad del logaritmo del producto.

Dado que este método requiere mucha mano de obra y al resolver problemas prácticos Difícil de implementar, utilizamos tablas de logaritmos precompiladas, lo que aceleró significativamente todo el trabajo.

En algunos casos, se utilizaron gráficos de logaritmos especialmente compilados, lo que dio menos precisión, pero aceleró significativamente la búsqueda del valor deseado. La curva de la función y = log a(x), construida sobre varios puntos, permite utilizar una regla normal para encontrar el valor de la función en cualquier otro punto. Durante mucho tiempo los ingenieros utilizaron para estos fines el llamado papel cuadriculado.

En el siglo XVII aparecieron las primeras condiciones de computación analógica auxiliar, que en el siglo XIX adquirieron una forma completa. El dispositivo más exitoso se llamó regla de cálculo. A pesar de la simplicidad del dispositivo, su apariencia aceleró significativamente el proceso de todos los cálculos de ingeniería, y esto es difícil de sobreestimar. Actualmente, pocas personas están familiarizadas con este dispositivo.

La llegada de las calculadoras y los ordenadores hizo inútil el uso de cualquier otro dispositivo.

Ecuaciones y desigualdades

Para resolver diversas ecuaciones y desigualdades utilizando logaritmos, se utilizan las siguientes fórmulas:

• Transición de una base a otra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Como consecuencia de la opción anterior: log a(b) = 1 / log b(a).

Para resolver desigualdades es útil saber:

• El valor del logaritmo será positivo sólo si la base y el argumento son mayores o menores que uno; si se viola al menos una condición, el valor del logaritmo será negativo.
• Si la función logaritmo se aplica a los lados derecho e izquierdo de una desigualdad, y la base del logaritmo es mayor que uno, entonces se conserva el signo de la desigualdad; de lo contrario cambia.

Ejemplos de problemas

Consideremos varias opciones para usar logaritmos y sus propiedades. Ejemplos de resolución de ecuaciones:

Considere la opción de colocar el logaritmo en una potencia:

• Problema 3. Calcula 25^log 5(3). Solución: en las condiciones del problema, la entrada es similar a la siguiente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Escribámoslo de otra manera: 5^log 5(3*2), o el cuadrado de un número como argumento de función se puede escribir como el cuadrado de la función misma (5^log 5(3))^2. Usando las propiedades de los logaritmos, esta expresión es igual a 3^2. Respuesta: como resultado del cálculo obtenemos 9.

Uso práctico

Al ser una herramienta puramente matemática, parece muy alejado de la vida real que el logaritmo haya adquirido repentinamente una gran importancia para describir objetos en el mundo real. Es difícil encontrar una ciencia donde no se utilice. Esto se aplica plenamente no sólo a los campos del conocimiento naturales, sino también a los humanitarios.

Dependencias logarítmicas

A continuación se muestran algunos ejemplos de dependencias numéricas:

mecanica y fisica

Históricamente, la mecánica y la física siempre se han desarrollado utilizando métodos de investigación matemática y al mismo tiempo sirvieron de incentivo para el desarrollo de las matemáticas, incluidos los logaritmos. La teoría de la mayoría de las leyes de la física está escrita en el lenguaje de las matemáticas. Demos solo dos ejemplos de descripción de leyes físicas utilizando el logaritmo.

El problema de calcular una cantidad tan compleja como la velocidad de un cohete se puede resolver utilizando la fórmula de Tsiolkovsky, que sentó las bases de la teoría de la exploración espacial:

V = I * ln (M1/M2), donde

• V es la velocidad final del avión.
• I – impulso específico del motor.
• M 1 – masa inicial del cohete.
• M 2 – masa final.

Otro ejemplo importante- esto se utiliza en la fórmula de otro gran científico, Max Planck, que sirve para evaluar el estado de equilibrio en termodinámica.

S = k * ln (Ω), donde

• S – propiedad termodinámica.
• k – constante de Boltzmann.
• Ω es el peso estadístico de diferentes estados.

Química

Menos obvio es el uso de fórmulas en química que contienen la proporción de logaritmos. Pongamos sólo dos ejemplos:

• Ecuación de Nernst, la condición del potencial redox del medio en relación con la actividad de las sustancias y la constante de equilibrio.
• El cálculo de constantes como el índice de autólisis y la acidez de la solución tampoco se puede realizar sin nuestra función.

Psicología y biología

Y no está del todo claro qué tiene que ver la psicología con esto. Resulta que esta función describe bien la fuerza de la sensación como la relación inversa entre el valor de intensidad del estímulo y el valor de intensidad más bajo.

Después de los ejemplos anteriores, ya no sorprende que el tema de los logaritmos se utilice ampliamente en biología. Se podrían escribir volúmenes enteros sobre formas biológicas correspondientes a espirales logarítmicas.

Otras areas

Parece que la existencia del mundo es imposible sin conexión con esta función, y ella rige todas las leyes. Especialmente cuando las leyes de la naturaleza están asociadas con la progresión geométrica. Vale la pena consultar el sitio web de MatProfi, donde encontrará muchos ejemplos de este tipo en las siguientes áreas de actividad:

La lista puede ser interminable. Habiendo dominado los principios básicos de esta función, podrá sumergirse en el mundo de la sabiduría infinita.