Rumah » Aksesoris » Menyelesaikan sistem persamaan kuadrat menggunakan rumus Cramer. Persamaan linier

Menyelesaikan sistem persamaan kuadrat menggunakan rumus Cramer. Persamaan linier

Pada bagian pertama kita telah membahas beberapa materi teori, metode substitusi, serta metode penjumlahan suku demi suku pada persamaan sistem. Saya menyarankan semua orang yang mengakses situs ini melalui halaman ini untuk membaca bagian pertama. Mungkin sebagian pengunjung akan menganggap materinya terlalu sederhana, namun dalam proses penyelesaian sistem persamaan linear saya membuat beberapa hal yang sangat komentar penting dan kesimpulan mengenai penyelesaian masalah matematika secara umum.

Dan sekarang kita akan menganalisis aturan Cramer, serta menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks terbalik(metode matriks). Semua materi disajikan secara sederhana, detail dan jelas, hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem dengan menggunakan metode di atas.

Pertama, kita akan melihat lebih dekat aturan Cramer untuk sistem dua persamaan linier dalam dua persamaan yang tidak diketahui. Untuk apa? – Lagi pula, sistem paling sederhana dapat diselesaikan dengan menggunakan metode sekolah, metode penjumlahan suku demi suku!

Faktanya adalah, meskipun terkadang, tugas seperti itu muncul - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua persamaan yang tidak diketahui menggunakan rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami cara menggunakan aturan Cramer secara lebih mendalam kasus yang kompleks– sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui.

Selain itu, ada sistem persamaan linear dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan menggunakan aturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama kita menghitung determinannya, disebut penentu utama sistem.

metode Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai solusi unik, dan untuk mencari akar-akarnya kita harus menghitung dua determinan lagi:
Dan

Dalam prakteknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf latin.

Kami menemukan akar persamaan menggunakan rumus:
,

Contoh 7

Memecahkan sistem persamaan linear

Larutan: Kita lihat koefisien persamaannya cukup besar, di sebelah kanannya ada desimal dengan koma. Koma adalah tamu yang jarang ditemui dalam tugas-tugas praktis matematika; Saya mengambil sistem ini dari masalah ekonometrik.

Bagaimana cara mengatasi sistem seperti itu? Anda dapat mencoba menyatakan satu variabel dalam variabel lain, tetapi dalam kasus ini Anda mungkin akan mendapatkan pecahan mewah yang sangat merepotkan untuk dikerjakan, dan desain solusinya akan terlihat sangat buruk. Anda dapat mengalikan persamaan kedua dengan 6 dan mengurangkan suku demi suku, tetapi pecahan yang sama juga akan muncul di sini.

Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer dapat membantu.

;

Menjawab: ,

Kedua akar mempunyai ekor yang tak terhingga dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan lumrah) untuk permasalahan ekonometrik.

Komentar tidak diperlukan di sini, karena tugas diselesaikan menggunakan rumus yang sudah jadi, namun ada satu peringatan. Kapan harus digunakan metode ini, wajib Bagian dari desain tugas adalah bagian berikut: “Ini berarti sistem memiliki solusi unik”. Jika tidak, pengulas dapat menghukum Anda karena tidak menghormati teorema Cramer.

Tidaklah berlebihan untuk memeriksa, yang dapat dengan mudah dilakukan dengan kalkulator: kita substitusikan nilai perkiraan ke sisi kiri setiap persamaan sistem. Hasilnya, dengan kesalahan kecil, Anda akan mendapatkan angka yang berada di sisi kanan.

Contoh 8

Sajikan jawabannya dengan biasa saja pecahan biasa. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran).

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Kami menemukan determinan utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya atau tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu; Anda perlu menggunakan metode Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai solusi unik dan untuk mencari akar-akarnya kita harus menghitung tiga determinan lagi:
, ,

Dan terakhir jawabannya dihitung dengan menggunakan rumus:

Seperti yang Anda lihat, kasus “tiga per tiga” pada dasarnya tidak berbeda dengan kasus “dua per dua”; kolom suku bebas secara berurutan “berjalan” dari kiri ke kanan sepanjang kolom determinan utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Larutan: Mari selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

, yang berarti sistem memiliki solusi unik.

Menjawab: .

Sebenarnya di sini sekali lagi tidak ada yang istimewa untuk dikomentari, karena solusinya mengikuti rumus yang sudah jadi. Tapi ada beberapa komentar.

Kebetulan dari hasil perhitungan diperoleh pecahan tak tereduksi yang “buruk”, misalnya: .
Saya merekomendasikan algoritma “perawatan” berikut. Jika Anda tidak memiliki komputer, lakukan ini:

1) Mungkin ada kesalahan dalam perhitungan. Begitu Anda menemukan pecahan yang “buruk”, Anda perlu segera memeriksanya Apakah kondisinya ditulis ulang dengan benar?. Jika kondisi ditulis ulang tanpa kesalahan, maka Anda perlu menghitung ulang determinannya menggunakan ekspansi pada baris (kolom) lain.

2) Jika tidak ada kesalahan yang teridentifikasi dari hasil pengecekan, maka kemungkinan besar terjadi kesalahan ketik pada kondisi tugas. Dalam hal ini, kerjakan tugas itu dengan tenang dan TELITI sampai akhir, lalu pastikan untuk memeriksa dan kami mencatatkannya dengan clean sheet setelah keputusan itu. Tentu saja, memeriksa jawaban pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi itu akan menjadi argumen yang melemahkan bagi guru, yang sangat suka memberi nilai minus untuk omong kosong seperti itu. Cara menangani pecahan dijelaskan secara rinci pada jawaban Contoh 8.

Jika Anda memiliki komputer, gunakan program otomatis untuk memeriksanya, yang dapat diunduh secara gratis di awal pelajaran. Omong-omong, yang paling menguntungkan adalah menggunakan program ini segera (bahkan sebelum memulai solusi); Anda akan segera melihat langkah perantara di mana Anda melakukan kesalahan! Kalkulator yang sama secara otomatis menghitung solusi sistem metode matriks.

Komentar kedua. Dari waktu ke waktu ada sistem yang persamaannya tidak memiliki beberapa variabel, misalnya:

Di sini, di persamaan pertama tidak ada variabel, di persamaan kedua tidak ada variabel. Dalam kasus seperti itu, sangat penting untuk menuliskan determinan utama dengan benar dan hati-hati:
– angka nol ditempatkan sebagai pengganti variabel yang hilang.
Omong-omong, adalah rasional untuk membuka determinan dengan nol sesuai dengan baris (kolom) di mana nol berada, karena perhitungannya jauh lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Ini adalah contoh solusi mandiri (contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran).

Untuk kasus sistem 4 persamaan dengan 4 hal yang tidak diketahui, rumus Cramer ditulis berdasarkan prinsip yang sama. Anda dapat melihat contoh langsungnya pada pelajaran Sifat-sifat Penentu. Mengurangi orde determinan - lima determinan orde 4 cukup dapat dipecahkan. Meskipun tugas tersebut sudah sangat mengingatkan pada sepatu seorang profesor di dada seorang mahasiswa yang beruntung.

Memecahkan sistem menggunakan matriks terbalik

Metode matriks invers pada dasarnya merupakan kasus khusus persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan).

Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus mampu memperluas determinan, mencari invers suatu matriks, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan seiring kemajuan penjelasan.

Contoh 11

Selesaikan sistem menggunakan metode matriks

Larutan: Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk matriks:
, Di mana

Silakan lihat sistem persamaan dan matriks. Saya rasa semua orang memahami prinsip yang digunakan untuk menulis elemen ke dalam matriks. Satu-satunya komentar: jika beberapa variabel hilang dari persamaan, maka angka nol harus ditempatkan di tempat yang sesuai dalam matriks.

Kita mencari matriks inversnya menggunakan rumus:
, di mana adalah matriks yang ditransposisikan dari komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.

Pertama, mari kita lihat determinannya:

Di sini determinannya diperluas pada baris pertama.

Perhatian! Jika , maka matriks inversnya tidak ada, dan tidak mungkin menyelesaikan sistem menggunakan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan metode menghilangkan yang tidak diketahui (metode Gauss).

Sekarang kita perlu menghitung 9 minor dan menuliskannya ke dalam matriks minor

Referensi: Penting untuk mengetahui arti subskrip ganda dalam aljabar linier. Digit pertama adalah nomor garis tempat elemen tersebut berada. Digit kedua adalah nomor kolom tempat elemen berada:

Artinya, subskrip ganda menunjukkan bahwa elemen tersebut berada pada baris pertama, kolom ketiga, dan, misalnya, elemen tersebut berada pada baris ke-3, kolom ke-2.

Untuk menguasai paragraf ini, Anda harus mampu mengungkap determinan “dua per dua” dan “tiga per tiga”. Jika Anda buruk dengan kualifikasi, silakan pelajari pelajarannya Bagaimana cara menghitung determinannya?

Faktanya adalah, meskipun terkadang, tugas seperti itu muncul - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua persamaan yang tidak diketahui menggunakan rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami cara menggunakan aturan Cramer untuk kasus yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui.

Selain itu, ada sistem persamaan linear dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan menggunakan aturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama kita menghitung determinannya, disebut penentu utama sistem.

metode Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai solusi unik, dan untuk mencari akar-akarnya kita harus menghitung dua determinan lagi:
Dan

Dalam prakteknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf latin.

Kami menemukan akar persamaan menggunakan rumus:
,

Contoh 7

Memecahkan sistem persamaan linear

Larutan: Kita melihat bahwa koefisien persamaannya cukup besar; di sebelah kanan terdapat pecahan desimal dengan koma. Koma adalah tamu yang jarang ditemui dalam tugas-tugas praktis matematika; Saya mengambil sistem ini dari masalah ekonometrik.

Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer dapat membantu.

;

Menjawab: ,

Kedua akar mempunyai ekor yang tak terhingga dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan lumrah) untuk permasalahan ekonometrik.

Komentar tidak diperlukan di sini, karena tugas diselesaikan menggunakan rumus yang sudah jadi, namun ada satu peringatan. Saat menggunakan metode ini, wajib Bagian dari desain tugas adalah bagian berikut: “Ini berarti sistem memiliki solusi unik”. Jika tidak, pengulas dapat menghukum Anda karena tidak menghormati teorema Cramer.

Contoh 8

Sajikan jawabannya dalam pecahan biasa biasa. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran).

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Kami menemukan determinan utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya atau tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu; Anda perlu menggunakan metode Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai solusi unik dan untuk mencari akar-akarnya kita harus menghitung tiga determinan lagi:
, ,

Dan terakhir jawabannya dihitung dengan menggunakan rumus:

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Larutan: Mari selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

, yang berarti sistem memiliki solusi unik.

Menjawab: .

Sebenarnya di sini sekali lagi tidak ada yang istimewa untuk dikomentari, karena solusinya mengikuti rumus yang sudah jadi. Tapi ada beberapa komentar.

Kebetulan dari hasil perhitungan diperoleh pecahan tak tereduksi yang “buruk”, misalnya: .
Saya merekomendasikan algoritma “perawatan” berikut. Jika Anda tidak memiliki komputer, lakukan ini:

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Ini adalah contoh solusi mandiri (contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran).

Memecahkan sistem menggunakan matriks terbalik

Metode matriks invers pada dasarnya merupakan kasus khusus persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan).

Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus mampu memperluas determinan, mencari invers suatu matriks, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan seiring kemajuan penjelasan.

Contoh 11

Selesaikan sistem menggunakan metode matriks

Larutan: Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk matriks:
, Di mana

Kita mencari matriks inversnya menggunakan rumus:
, di mana adalah matriks yang ditransposisikan dari komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.

Pertama, mari kita lihat determinannya:

Di sini determinannya diperluas pada baris pertama.

Sekarang kita perlu menghitung 9 minor dan menuliskannya ke dalam matriks minor

Selama penyelesaiannya, lebih baik menjelaskan perhitungan anak di bawah umur secara rinci, meskipun dengan beberapa pengalaman Anda bisa terbiasa menghitungnya dengan kesalahan secara lisan.

Metode Cramer atau biasa disebut aturan Cramer merupakan suatu metode pencarian besaran yang tidak diketahui dari sistem persamaan. Ini hanya dapat digunakan jika jumlah nilai yang dicari setara dengan angka tersebut persamaan aljabar dalam sistem yaitu matriks utama yang dibentuk dari sistem tersebut harus berbentuk persegi dan tidak boleh mengandung baris nol, begitu pula jika determinannya tidak boleh nol.

Teorema 1

teorema Cramer Jika determinan utama $D$ dari matriks utama, yang disusun berdasarkan koefisien persamaan, tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan tersebut konsisten, dan mempunyai solusi unik. Solusi untuk sistem seperti ini dihitung melalui apa yang disebut rumus Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Apa metode Cramer?

Inti dari metode Cramer adalah sebagai berikut:

Untuk mencari solusi sistem menggunakan metode Cramer, pertama-tama kita menghitung determinan utama matriks $D$. Bila determinan hitung matriks utama jika dihitung dengan metode Cramer ternyata sama dengan nol, maka sistem tersebut tidak mempunyai solusi tunggal atau mempunyai jumlah solusi tak terhingga. Dalam hal ini, untuk menemukan jawaban umum atau dasar untuk sistem, disarankan untuk menggunakan metode Gaussian.
Kemudian Anda perlu mengganti kolom terluar dari matriks utama dengan kolom suku bebas dan menghitung determinan $D_1$.
Ulangi hal yang sama untuk semua kolom, dapatkan determinan dari $D_1$ hingga $D_n$, dengan $n$ adalah bilangan kolom paling kanan.
Setelah semua determinan $D_1$...$D_n$ ditemukan, variabel yang belum diketahui dapat dihitung menggunakan rumus $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Teknik menghitung determinan suatu matriks

Untuk menghitung determinan matriks yang dimensinya lebih besar dari 2 kali 2, Anda dapat menggunakan beberapa cara:

Aturan segitiga, atau aturan Sarrus, mengingatkan pada aturan yang sama. Inti dari metode segitiga adalah ketika menghitung determinan, hasil kali semua bilangan yang dihubungkan pada gambar dengan garis merah di sebelah kanan ditulis dengan tanda tambah, dan semua bilangan yang dihubungkan dengan cara yang sama pada gambar di sebelah kiri. ditulis dengan tanda minus. Kedua aturan tersebut cocok untuk matriks berukuran 3 x 3. Dalam kasus aturan Sarrus, matriks itu sendiri ditulis ulang terlebih dahulu, dan di sebelahnya kolom pertama dan kedua ditulis ulang lagi. Diagonal-diagonal digambar melalui matriks dan kolom-kolom tambahan yang terletak pada diagonal utama atau sejajar dengannya ditulis dengan tanda plus, dan elemen-elemen yang terletak pada atau sejajar dengan diagonal sekunder ditulis dengan tanda minus.

Gambar 1. Aturan segitiga untuk menghitung determinan metode Cramer

Menggunakan metode yang disebut metode Gaussian, metode ini kadang juga disebut pengurangan orde determinan. Dalam hal ini matriks diubah dan direduksi menjadi bentuk segitiga, kemudian semua bilangan pada diagonal utama dikalikan. Perlu diingat bahwa ketika mencari determinan dengan cara ini, Anda tidak dapat mengalikan atau membagi baris atau kolom dengan angka tanpa menjadikannya sebagai pengali atau pembagi. Dalam hal mencari determinan, hanya dimungkinkan untuk mengurangkan dan menjumlahkan baris dan kolom satu sama lain, setelah sebelumnya mengalikan baris yang dikurangi dengan faktor bukan nol. Selain itu, setiap kali Anda menyusun ulang baris atau kolom matriks, Anda harus ingat perlunya mengubah tanda akhir matriks.
Saat menyelesaikan SLAE dengan 4 hal yang tidak diketahui menggunakan metode Cramer, yang terbaik adalah menggunakan metode Gauss untuk mencari dan menemukan determinan atau menentukan determinan dengan mencari minor.

Menyelesaikan sistem persamaan menggunakan metode Cramer

Mari kita terapkan metode Cramer untuk sistem yang terdiri dari 2 persamaan dan dua besaran yang diperlukan:

$\begin(kasus) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(kasus)$

Mari kita tampilkan dalam bentuk yang diperluas untuk kenyamanan:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Mari kita cari determinan matriks utama, disebut juga determinan utama sistem:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Jika determinan utama tidak sama dengan nol, maka untuk menyelesaikan slough menggunakan metode Cramer perlu menghitung beberapa determinan lagi dari dua matriks dengan kolom-kolom matriks utama diganti dengan deretan suku bebas:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Sekarang mari kita cari $x_1$ dan $x_2$ yang tidak diketahui:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Contoh 1

Metode Cramer untuk menyelesaikan SLAE dengan matriks utama orde ke-3 (3 x 3) dan tiga matriks wajib.

Selesaikan sistem persamaan:

$\begin(kasus) 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 – x_2 - x_3 = 10 \\ \end(kasus)$

Mari kita hitung determinan utama matriks menggunakan aturan di atas pada poin nomor 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \cdot 2 – 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = - 64$

Dan sekarang tiga faktor penentu lainnya:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 – 4 \cdot 4 \cdot 10 – 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 – 4 \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 3 \cdot (-1) – 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 – 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = - $60

Mari kita cari jumlah yang dibutuhkan:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Metode Cramer didasarkan pada penggunaan determinan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Ini secara signifikan mempercepat proses penyelesaian.

Metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang jumlahnya tidak diketahui pada setiap persamaan. Jika determinan sistem tidak sama dengan nol, maka metode Cramer dapat digunakan dalam penyelesaiannya, tetapi jika sama dengan nol maka tidak bisa. Selain itu, metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang mempunyai solusi unik.

Definisi. Penentu yang terdiri dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui disebut determinan sistem dan dilambangkan (delta).

Penentu

diperoleh dengan mengganti koefisien dari hal-hal yang tidak diketahui terkait dengan suku bebas:

;

teorema Cramer. Jika determinan sistem bukan nol, maka sistem persamaan linear mempunyai satu solusi unik, dan yang tidak diketahui sama dengan rasio determinannya. Penyebutnya berisi determinan sistem, dan pembilangnya berisi determinan yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti koefisien-koefisien yang tidak diketahui tersebut dengan suku bebas. Teorema ini berlaku untuk sistem persamaan linear orde apa pun.

Contoh 1. Memecahkan sistem persamaan linear:

Menurut teorema Cramer kami memiliki:

Jadi, penyelesaian sistem (2):

kalkulator daring, metode yang menentukan Kramer.

Tiga kasus ketika menyelesaikan sistem persamaan linear

Seperti yang jelas dari teorema Cramer, ketika menyelesaikan sistem persamaan linear, tiga kasus dapat terjadi:

Kasus pertama: sistem persamaan linear mempunyai solusi unik

(sistemnya konsisten dan pasti)

Kasus kedua: sistem persamaan linear memiliki jumlah solusi yang tak terhingga

(sistemnya konsisten dan tidak pasti)

** ,

itu. koefisien yang tidak diketahui dan suku bebasnya sebanding.

Kasus ketiga: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistemnya M persamaan linier dengan N disebut variabel non-bersama, jika dia tidak memiliki solusi tunggal, dan persendian, jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem persamaan simultan yang hanya mempunyai satu solusi disebut yakin, dan lebih dari satu – tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Cramer

Biarkan sistem diberikan

Berdasarkan teorema Cramer

………….
,

Di mana
-

penentu sistem. Kita memperoleh determinan yang tersisa dengan mengganti kolom dengan koefisien variabel yang bersesuaian (tidak diketahui) dengan suku bebas:

Contoh 2.

Oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk mencari solusinya, kita menghitung determinannya

Dengan menggunakan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi, (1; 0; -1) adalah satu-satunya solusi sistem.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online menggunakan metode penyelesaian Cramer.

Jika dalam suatu sistem persamaan linier tidak ada variabel dalam satu atau lebih persamaan, maka pada determinan unsur-unsur yang bersesuaian sama dengan nol! Ini adalah contoh berikutnya.

Contoh 3. Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Perhatikan baik-baik sistem persamaan dan determinan sistem dan ulangi jawaban pertanyaan di mana satu atau lebih elemen determinan sama dengan nol. Jadi determinannya tidak sama dengan nol, oleh karena itu sistemnya pasti. Untuk mencari solusinya, kita menghitung determinan dari variabel yang belum diketahui

Dengan menggunakan rumus Cramer kita menemukan:

Jadi penyelesaian sistem tersebut adalah (2; -1; 1).

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online menggunakan metode penyelesaian Cramer.

Bagian atas halaman

Kami terus memecahkan sistem menggunakan metode Cramer bersama-sama

Seperti telah disebutkan, jika determinan sistem sama dengan nol, dan determinan dari hal-hal yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, maka sistem tersebut tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 6. Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Penentu sistem sama dengan nol, oleh karena itu, sistem persamaan linier tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Untuk memperjelas, kami menghitung determinan untuk hal yang tidak diketahui

Penentu dari hal-hal yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistem tersebut tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online menggunakan metode penyelesaian Cramer.

Dalam soal-soal yang menyangkut sistem persamaan linier, ada juga yang selain huruf-huruf yang menyatakan variabel, juga terdapat huruf-huruf lain. Surat-surat ini mewakili angka, paling sering nyata. Dalam praktiknya, masalah pencarian mengarah pada persamaan dan sistem persamaan tersebut sifat umum fenomena atau objek apa pun. Yaitu, apakah Anda sudah menemukannya materi baru atau suatu perangkat, dan untuk mendeskripsikan propertinya, yang umum terlepas dari ukuran atau jumlah suatu instance, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linear, yang mana alih-alih beberapa koefisien untuk variabel terdapat huruf. Anda tidak perlu mencari contoh jauh-jauh.

Contoh berikut untuk soal serupa, hanya jumlah persamaan, variabel, dan huruf yang menunjukkan bilangan real tertentu yang bertambah.

Contoh 8. Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Menemukan determinan untuk hal yang tidak diketahui

Metode Kramer Dan Gauss- salah satu metode solusi paling populer SLAU. Selain itu, dalam beberapa kasus disarankan untuk menggunakan metode tertentu. Sesi sudah dekat, dan sekarang saatnya mengulangi atau menguasainya dari awal. Hari ini kita akan melihat solusinya menggunakan metode Cramer. Bagaimanapun, menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer adalah keterampilan yang sangat berguna.

Sistem persamaan aljabar linier

Sistem persamaan aljabar linier adalah sistem persamaan yang berbentuk:

Kumpulan nilai X , yang persamaan sistemnya berubah menjadi identitas, disebut solusi sistem, A Dan B adalah koefisien nyata. Sebuah sistem sederhana yang terdiri dari dua persamaan dengan dua hal yang tidak diketahui dapat diselesaikan di kepala Anda atau dengan menyatakan satu variabel dalam variabel lainnya. Namun bisa terdapat lebih dari dua variabel (x) dalam SLAE, dan di sini manipulasi sekolah sederhana saja tidak cukup. Apa yang harus dilakukan? Misalnya, selesaikan SLAE menggunakan metode Cramer!

Jadi, biarkan sistemnya terdiri dari N persamaan dengan N tidak dikenal.

Sistem seperti itu dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks

Di Sini A – matriks utama sistem, X Dan B , masing-masing, matriks kolom dari variabel yang tidak diketahui dan suku bebas.

Menyelesaikan SLAE menggunakan metode Cramer

Jika determinan matriks utama tidak sama dengan nol (matriksnya non-tunggal), sistem dapat diselesaikan dengan menggunakan metode Cramer.

Menurut metode Cramer, penyelesaiannya ditemukan dengan menggunakan rumus:

Di Sini delta adalah determinan matriks utama, dan delta x nth – determinan yang diperoleh dari determinan matriks utama dengan mengganti kolom ke-n dengan kolom suku bebas.

Inilah inti dari metode Cramer. Mengganti nilai yang ditemukan menggunakan rumus di atas X ke dalam sistem yang diinginkan, kami yakin akan kebenaran (atau sebaliknya) solusi kami. Untuk membantu Anda memahami esensinya dengan cepat, berikut ini kami berikan contoh solusi terperinci SLAE menggunakan metode Cramer:

Sekalipun Anda tidak berhasil pada kali pertama, jangan berkecil hati! Dengan sedikit latihan, Anda akan mulai memecahkan SLAU seperti orang gila. Terlebih lagi, sekarang sama sekali tidak perlu mempelajari buku catatan, menyelesaikan perhitungan yang rumit dan menulis intinya. Anda dapat dengan mudah menyelesaikan SLAE menggunakan metode Cramer secara online, hanya dengan mensubstitusikan koefisien ke dalam bentuk yang sudah jadi. Cobalah kalkulator daring Solusi menggunakan metode Cramer dapat ditemukan, misalnya di website ini.

Dan jika sistem ternyata keras kepala dan tidak menyerah, Anda selalu dapat meminta bantuan penulis kami, misalnya, untuk. Jika setidaknya ada 100 hal yang tidak diketahui dalam sistem, kami pasti akan menyelesaikannya dengan benar dan tepat waktu!

Tampilan