rumah » Aksesoris » Tiga kasus ketika menyelesaikan sistem persamaan linear. Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier, metode penyelesaian, contoh

Tiga kasus ketika menyelesaikan sistem persamaan linear. Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier, metode penyelesaian, contoh

Pertama-tama mari kita perhatikan kasus ketika jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel, yaitu. m = n. Maka matriks sistem tersebut berbentuk persegi, dan determinannya disebut determinan sistem.

Metode matriks terbalik

Mari kita perhatikan secara umum sistem persamaan AX = B dengan matriks persegi A yang tidak berdegenerasi. Dalam hal ini, terdapat matriks terbalik SEBUAH -1. Kalikan kedua ruas dengan A -1 di sebelah kiri. Kita peroleh A -1 AX = A -1 B. Maka EX = A -1 B dan

Persamaan terakhir adalah rumus matriks untuk mencari solusi sistem persamaan tersebut. Penggunaan rumus ini disebut metode matriks invers

Misalnya, mari gunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem berikut:

;

Di akhir penyelesaian sistem, Anda dapat memeriksanya dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang ditemukan ke dalam persamaan sistem. Dengan melakukan hal ini, mereka harus berubah menjadi kesetaraan sejati.

Untuk contoh yang dipertimbangkan, mari kita periksa:

Metode penyelesaian sistem persamaan linear dengan matriks persegi menggunakan rumus Cramer

Misalkan n= 2:

Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan a 22, dan kedua ruas persamaan kedua dengan (-a 12), lalu menjumlahkan persamaan yang dihasilkan, maka kita menghilangkan variabel x 2 dari sistem. Demikian pula, Anda dapat menghilangkan variabel x 1 (dengan mengalikan kedua ruas persamaan pertama dengan (-a 21), dan kedua ruas persamaan kedua dengan a 11). Hasilnya, kami mendapatkan sistem:

Ekspresi dalam tanda kurung adalah determinan sistem

Mari kita tunjukkan

Maka sistem akan berbentuk:

Dari sistem yang dihasilkan dapat disimpulkan bahwa jika determinan sistem adalah 0, maka sistem tersebut konsisten dan pasti. Solusi satu-satunya dapat dihitung menggunakan rumus:

Jika = 0, a 1 0 dan/atau  2 0, maka persamaan sistemnya berbentuk 0*x 1 = 2 dan/atau 0*x 1 = 2. Dalam hal ini, sistem akan menjadi tidak konsisten.

Dalam kasus ketika = 1 = 2 = 0, sistem akan konsisten dan tidak terbatas (akan memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas), karena akan berbentuk:

teorema Cramer(kami akan menghilangkan buktinya). Jika determinan matriks suatu sistem persamaan  tidak sama dengan nol, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik yang ditentukan dengan rumus:

dimana  j adalah determinan matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-j dengan kolom suku bebas.

Rumus di atas disebut Rumus yang lebih keren.

Sebagai contoh, mari kita gunakan metode ini untuk menyelesaikan sistem yang sebelumnya diselesaikan menggunakan metode matriks invers:

Kerugian dari metode yang dipertimbangkan:

1) intensitas tenaga kerja yang signifikan (menghitung determinan dan mencari matriks invers);

2) cakupan terbatas (untuk sistem dengan matriks persegi).

Situasi ekonomi riil sering kali dimodelkan dengan sistem yang jumlah persamaan dan variabelnya cukup signifikan, dan jumlah persamaannya lebih banyak daripada variabelnya. Oleh karena itu, dalam praktiknya, metode berikut ini lebih umum.

Metode Gaussian (metode eliminasi variabel secara berurutan)

Metode ini digunakan untuk menyelesaikan sistem m persamaan linear dengan n variabel di dalamnya pandangan umum. Esensinya terletak pada penerapan sistem transformasi ekuivalen pada matriks yang diperluas, yang dengannya sistem persamaan diubah menjadi bentuk yang solusinya mudah ditemukan (jika ada).

Ini adalah jenis yang kiri bagian atas Matriks sistem akan menjadi matriks bertahap. Hal ini dicapai dengan menggunakan teknik yang sama yang digunakan untuk mendapatkan matriks langkah untuk menentukan peringkat. Dalam hal ini, transformasi dasar diterapkan pada matriks yang diperluas, yang memungkinkan diperolehnya sistem persamaan yang setara. Setelah itu, matriks yang diperluas akan berbentuk:

Memperoleh matriks seperti itu disebut lurus ke depan metode Gauss.

Menemukan nilai-nilai variabel dari sistem persamaan yang bersesuaian disebut kebalikan metode Gauss. Mari kita pertimbangkan.

Perhatikan bahwa persamaan terakhir (m – r) akan berbentuk:

Jika setidaknya salah satu angkanya
tidak sama dengan nol, maka persamaan yang bersesuaian akan salah, dan keseluruhan sistem akan menjadi tidak konsisten.

Oleh karena itu, untuk sistem gabungan apa pun
. Dalam hal ini, persamaan terakhir (m – r) untuk setiap nilai variabel akan menjadi identitas 0 = 0, dan persamaan tersebut dapat diabaikan saat menyelesaikan sistem (buang saja baris yang bersesuaian).

Setelah itu, sistem akan terlihat seperti:

Mari kita perhatikan kasus ketika r=n. Maka sistem akan berbentuk:

Dari persamaan terakhir sistem, x r dapat dicari secara unik.

Mengetahui x r, kita dapat dengan jelas menyatakan x r -1 darinya. Kemudian dari persamaan sebelumnya, dengan mengetahui x r dan x r -1, kita dapat menyatakan x r -2, dst. hingga x 1 .

Jadi, dalam hal ini sistem akan menjadi gabungan dan terdefinisi.

Sekarang perhatikan kasus ketika r dasar(utama), dan sisanya - non-dasar(non-inti, gratis). Persamaan terakhir dari sistem ini adalah:

Dari persamaan ini kita dapat menyatakan variabel dasar x r dalam bentuk variabel non-dasar:

Persamaan kedua dari belakang akan terlihat seperti:

Dengan mensubstitusi ekspresi yang dihasilkan ke dalamnya alih-alih x r, variabel dasar x r -1 dapat dinyatakan dalam variabel non-dasar. Dll. ke variabelx 1 . Untuk mendapatkan solusi sistem, Anda dapat menyamakan variabel non-dasar dengan nilai arbitrer dan kemudian menghitung variabel dasar menggunakan rumus yang dihasilkan. Jadi, dalam hal ini sistem akan konsisten dan tidak terbatas (memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas).

Misalnya, mari kita selesaikan sistem persamaan:

Kami akan memanggil himpunan variabel dasar dasar sistem. Kita juga akan memanggil himpunan kolom koefisiennya dasar(kolom dasar), atau dasar kecil matriks sistem. Penyelesaian sistem yang semua variabel nonbasanya sama dengan nol disebut solusi dasar.

Pada contoh sebelumnya, solusi dasarnya adalah (4/5; -17/5; 0; 0) (variabel x 3 dan x 4 (c 1 dan c 2) disetel ke nol, dan variabel dasar x 1 dan x 2 dihitung melalui mereka) . Untuk memberikan contoh solusi non-dasar, kita perlu menyamakan x 3 dan x 4 (c 1 dan c 2) dengan bilangan sembarang yang tidak sekaligus nol, dan menghitung variabel yang tersisa melalui bilangan tersebut. Misalnya, dengan c 1 = 1 dan c 2 = 0, kita memperoleh solusi non-basa - (4/5; -12/5; 1; 0). Dengan substitusi, mudah untuk memverifikasi bahwa kedua solusi tersebut benar.

Jelaslah bahwa dalam sistem tak tentu terdapat solusi non-basa yang jumlahnya tak terhingga. Berapa banyak solusi dasar yang ada? Setiap baris matriks yang ditransformasi harus sesuai dengan satu variabel basis. Ada n variabel dalam soal, dan r garis dasar. Oleh karena itu, jumlah semua himpunan variabel dasar yang mungkin tidak boleh melebihi jumlah kombinasi n kali 2. Ini mungkin kurang dari , karena tidak selalu mungkin untuk mengubah sistem ke bentuk sedemikian rupa sehingga kumpulan variabel tertentu menjadi dasarnya.

Jenis apa ini? Ini adalah tipe dimana matriks yang dibentuk dari kolom-kolom koefisien untuk variabel-variabel tersebut akan dilangkahkan, dan pada saat yang sama akan terdiri dari r baris. Itu. pangkat matriks koefisien untuk variabel-variabel tersebut harus sama dengan r. Tidak boleh lebih besar karena jumlah kolomnya sama. Jika ternyata lebih kecil dari r, maka ini menunjukkan ketergantungan linier kolom terhadap variabel. Kolom seperti itu tidak dapat menjadi dasar.

Mari kita pertimbangkan solusi dasar lainnya yang dapat ditemukan dalam contoh yang dibahas di atas. Untuk melakukan ini, pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi empat variabel, masing-masing dua variabel dasar. Akan ada kombinasi seperti itu
, dan salah satunya (x 1 dan x 2) telah dipertimbangkan.

Mari kita ambil variabel x 1 dan x 3. Mari kita cari pangkat matriks koefisiennya:

Karena sama dengan dua, maka keduanya bisa menjadi dasar. Mari kita samakan variabel non-basis x 2 dan x 4 dengan nol: x 2 = x 4 = 0. Maka dari rumus x 1 = 4/5 – (1/5)*x 4 diperoleh x 1 = 4 /5, dan dari rumus x 2 = -17/5 + x 3 - - (7/5)*x 4 = -17/5 + x 3 maka x 3 = x 2 +17/5 = 17/ 5. Jadi, kita memperoleh solusi dasar (4/5; 0; 17/5; 0).

Demikian pula, Anda dapat memperoleh solusi dasar untuk variabel dasar x 1 dan x 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 dan x 4 – (0; -9; 0; 4); x 3 dan x 4 – (0; 0; 9; 4).

Variabel x 2 dan x 3 dalam contoh ini tidak dapat dianggap sebagai variabel dasar, karena rank matriks yang bersesuaian sama dengan satu, yaitu. kurang dari dua:

Pendekatan lain untuk menentukan apakah mungkin atau tidak untuk membangun suatu basis dari variabel-variabel tertentu juga dimungkinkan. Saat menyelesaikan contoh, sebagai hasil dari konversi matriks sistem ke bentuk bertahap, diperoleh bentuk:

Dengan memilih pasangan variabel, dimungkinkan untuk menghitung minor yang sesuai dari matriks ini. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa untuk semua pasangan kecuali x 2 dan x 3 mereka tidak sama dengan nol, mis. kolom-kolomnya bebas linier. Dan hanya untuk kolom dengan variabel x 2 dan x 3
, yang menunjukkan ketergantungan liniernya.

Mari kita lihat contoh lainnya. Mari kita selesaikan sistem persamaannya

Jadi, persamaan yang bersesuaian dengan baris ketiga matriks terakhir adalah kontradiktif - menghasilkan persamaan 0 = -1 yang salah, oleh karena itu, sistem ini tidak konsisten.

Metode Jordan-Gauss 3 merupakan pengembangan dari metode Gaussian. Esensinya adalah matriks perluasan sistem diubah menjadi bentuk yang koefisien-koefisien variabelnya membentuk matriks identitas sampai dengan permutasi baris atau kolom 4 (di mana r adalah pangkat matriks sistem).

Mari selesaikan sistem menggunakan metode ini:

Mari kita pertimbangkan matriks yang diperluas dari sistem:

Dalam matriks ini kita memilih elemen satuan. Misalnya, koefisien x 2 pada batasan ketiga adalah 5. Mari kita pastikan bahwa baris yang tersisa di kolom ini berisi angka nol, mis. Mari kita jadikan kolomnya tunggal. Selama proses transformasi kita akan menyebutnya demikian kolompermisif(terkemuka, kunci). Batasan ketiga (ketiga garis) kami juga akan menelepon permisif. Saya sendiri elemen, yang berdiri di perpotongan baris dan kolom penyelesaian (ini dia salah satunya), disebut juga permisif.

Baris pertama sekarang berisi koefisien (-1). Untuk mendapatkan angka nol pada tempatnya, kalikan baris ketiga dengan (-1) dan kurangi hasilnya dari baris pertama (yaitu cukup tambahkan baris pertama ke baris ketiga).

Baris kedua berisi koefisien 2. Untuk mendapatkan nol pada tempatnya, kalikan baris ketiga dengan 2 dan kurangi hasilnya dari baris pertama.

Hasil transformasinya akan terlihat seperti:

Dari matriks ini terlihat jelas bahwa salah satu dari dua batasan pertama dapat dicoret (baris-baris yang bersesuaian proporsional, yaitu persamaan-persamaan ini saling mengikuti). Mari kita coret, misalnya, yang kedua:

Jadi, sistem baru memiliki dua persamaan. Diperoleh satu kolom (kedua), dan unit di sini muncul di baris kedua. Mari kita ingat bahwa persamaan kedua dari sistem baru akan sesuai dengan variabel dasar x 2.

Mari kita pilih variabel dasar untuk baris pertama. Ini dapat berupa variabel apa pun kecuali x 3 (karena untuk x 3 batasan pertama memiliki koefisien nol, yaitu himpunan variabel x 2 dan x 3 tidak dapat menjadi variabel dasar di sini). Anda dapat mengambil variabel pertama atau keempat.

Mari kita pilih x 1. Maka elemen penyelesaiannya akan menjadi 5, dan kedua ruas persamaan penyelesaian harus dibagi lima untuk mendapatkan satu di kolom pertama pada baris pertama.

Mari kita pastikan bahwa baris yang tersisa (yaitu baris kedua) memiliki angka nol di kolom pertama. Karena sekarang baris kedua tidak berisi nol, tetapi 3, kita perlu mengurangi dari baris kedua elemen baris pertama yang diubah, dikalikan 3:

Dari matriks yang dihasilkan, seseorang dapat langsung mengekstrak satu solusi dasar dengan menyamakan variabel non-dasar dengan nol, dan variabel dasar dengan suku bebas dalam persamaan yang sesuai: (0,8; -3,4; 0; 0). Anda juga dapat menurunkan rumus umum yang menyatakan variabel dasar melalui variabel non-dasar: x 1 = 0,8 – 1,2 x 4; x 2 = -3,4 + x 3 + 1,6x 4. Rumus ini menjelaskan seluruh himpunan solusi sistem yang tak terbatas (dengan menyamakan x 3 dan x 4 dengan bilangan sembarang, Anda dapat menghitung x 1 dan x 2).

Perhatikan bahwa inti dari transformasi pada setiap tahap metode Jordan-Gauss adalah sebagai berikut:

1) garis resolusi dibagi dengan elemen resolusi sehingga diperoleh satuan pada tempatnya,

2) dari semua baris lainnya, elemen penyelesaian yang diubah dikurangkan, dikalikan dengan elemen yang ada pada baris tertentu di kolom penyelesaian, untuk mendapatkan nol sebagai pengganti elemen ini.

Mari kita perhatikan kembali matriks perluasan sistem yang ditransformasikan:

Dari catatan ini terlihat jelas bahwa rank matriks sistem A sama dengan r.

Dalam perjalanan pemikiran kami, kami menetapkan bahwa sistem akan kooperatif jika dan hanya jika
. Artinya matriks yang diperluas dari sistem akan terlihat seperti:

Dengan membuang baris nol, kita memperoleh bahwa pangkat matriks yang diperluas dari sistem juga sama dengan r.

Teorema Kronecker-Capelli. Suatu sistem persamaan linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem tersebut sama dengan pangkat matriks yang diperluas dari sistem tersebut.

Ingatlah bahwa pangkat suatu matriks sama dengan jumlah maksimum baris-barisnya yang bebas linier. Oleh karena itu, jika pangkat matriks yang diperluas lebih kecil dari jumlah persamaan, maka persamaan sistem tersebut bergantung linier, dan satu atau lebih persamaan tersebut dapat dikeluarkan dari sistem (karena persamaan tersebut linier kombinasi yang lain). Suatu sistem persamaan akan bebas linier hanya jika pangkat matriks yang diperluas sama dengan banyaknya persamaan.

Selain itu, untuk sistem persamaan linier simultan, dapat dikatakan bahwa jika pangkat matriks sama dengan jumlah variabel, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik, dan jika lebih kecil dari jumlah variabel, maka sistem ini tidak terbatas dan memiliki banyak solusi yang tak terhingga.

1Misalnya, ada lima baris dalam matriks (urutan baris aslinya adalah 12345). Kita perlu mengubah baris kedua dan kelima. Agar baris kedua menggantikan baris kelima dan “bergerak” ke bawah, kita berturut-turut mengubah baris yang berdekatan sebanyak tiga kali: baris kedua dan ketiga (13245), baris kedua dan keempat (13425) dan baris kedua dan kelima (13452). ). Kemudian, agar baris kelima menggantikan baris kedua dalam matriks asli, baris kelima perlu “digeser” ke atas hanya dengan dua perubahan berturut-turut: baris kelima dan keempat (13542) dan baris kelima dan ketiga. (15342).

2Jumlah kombinasi dari n sampai r mereka menyebut jumlah semua himpunan bagian r-elemen yang berbeda dari himpunan n-elemen (yang memiliki komposisi elemen berbeda dianggap himpunan berbeda; urutan pemilihan tidak penting). Itu dihitung menggunakan rumus:
. Mari kita mengingat kembali arti tanda “!” (faktorial):
0!=1.)

3 Karena metode ini lebih umum daripada metode Gaussian yang telah dibahas sebelumnya, dan pada dasarnya merupakan kombinasi langkah maju dan mundur dari metode Gaussian, terkadang metode ini juga disebut metode Gaussian, dengan menghilangkan bagian pertama namanya.

4Misalnya,
.

5Jika tidak ada satuan dalam matriks sistem, maka, misalnya, kedua ruas persamaan pertama dapat dibagi dua, dan koefisien pertama akan menjadi satu; atau sejenisnya

Mempelajari sistem persamaan linear agebraic (SLAEs) untuk konsistensi berarti mengetahui apakah sistem ini mempunyai solusi atau tidak. Nah, jika ada solusinya, tunjukkan berapa jumlahnya.

Kita memerlukan informasi dari topik "Sistem persamaan aljabar linier. Istilah-istilah dasar. Bentuk notasi matriks". Secara khusus, konsep seperti matriks sistem dan matriks sistem yang diperluas diperlukan, karena perumusan teorema Kronecker-Capelli didasarkan pada konsep tersebut. Seperti biasa, kita akan menyatakan matriks sistem dengan huruf $A$, dan matriks perluasan sistem dengan huruf $\widetilde(A)$.

Teorema Kronecker-Capelli

Suatu sistem persamaan aljabar linier konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks sistem sama dengan pangkat matriks diperluas sistem, yaitu. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa suatu sistem disebut gabungan jika memiliki setidaknya satu solusi. Teorema Kronecker-Capelli mengatakan ini: jika $\rang A=\rang\widetilde(A)$, maka ada solusinya; jika $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, maka SLAE ini tidak memiliki solusi (tidak konsisten). Jawaban atas pertanyaan tentang jumlah solusi ini diberikan oleh akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli. Dalam rumusan akibat wajarnya digunakan huruf $n$ yang sama dengan banyaknya variabel SLAE yang diberikan.

Akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli

Jika $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, maka SLAE tidak konsisten (tidak memiliki solusi).
Jika $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Jika $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, maka SLAE pasti (memiliki tepat satu solusi).

Harap dicatat bahwa teorema yang dirumuskan dan akibat wajarnya tidak menunjukkan bagaimana menemukan solusi untuk SLAE. Dengan bantuan mereka, Anda hanya dapat mengetahui apakah solusi ini ada atau tidak, dan jika ada, berapa banyak.

Contoh No.1

Jelajahi SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42.\end(aligned )\right.$ untuk kompatibilitas. Jika SLAE kompatibel, tunjukkan jumlah solusi.

Untuk mengetahui keberadaan solusi pada SLAE tertentu, kita menggunakan teorema Kronecker-Capelli. Kita memerlukan matriks sistem $A$ dan matriks perluasan sistem $\widetilde(A)$, kita akan menuliskannya:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \kanan);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(array) \kanan). $$

Kita perlu menemukan $\rang A$ dan $\rang\widetilde(A)$. Ada banyak cara untuk melakukan hal ini, beberapa di antaranya tercantum di bagian Matrix Rank. Biasanya, dua metode digunakan untuk mempelajari sistem seperti itu: "Menghitung pangkat suatu matriks menurut definisi" atau "Menghitung pangkat suatu matriks dengan metode transformasi dasar".

Metode nomor 1. Menghitung peringkat berdasarkan definisi.

Menurut definisinya, rank adalah orde tertinggi dari minor-minor suatu matriks, yang di antaranya paling sedikit ada satu yang bukan nol. Biasanya, penelitian dimulai dengan minor orde pertama, tetapi di sini akan lebih mudah jika segera mulai menghitung minor orde ketiga dari matriks $A$. Unsur minor orde ketiga terletak pada perpotongan tiga baris dan tiga kolom matriks yang bersangkutan. Karena matriks $A$ hanya berisi 3 baris dan 3 kolom, minor orde ketiga dari matriks $A$ adalah determinan matriks $A$, yaitu. $\Delta A$. Untuk menghitung determinan, kami menerapkan rumus No. 2 dari topik “Rumus menghitung determinan orde kedua dan ketiga”:

$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \kanan|=-21. $$

Jadi, ada minor orde ketiga dari matriks $A$, yang tidak sama dengan nol. Tidak mungkin membuat minor orde keempat, karena memerlukan 4 baris dan 4 kolom, dan matriks $A$ hanya memiliki 3 baris dan 3 kolom. Jadi, orde tertinggi dari minor matriks $A$, yang di antaranya paling sedikit ada satu yang tidak sama dengan nol, adalah sama dengan 3. Oleh karena itu, $\rang A=3$.

Kita juga perlu menemukan $\rang\widetilde(A)$. Mari kita lihat struktur matriks $\widetilde(A)$. Sampai ke baris dalam matriks $\widetilde(A)$ terdapat elemen matriks $A$, dan kita menemukan bahwa $\Delta A\neq 0$. Akibatnya, matriks $\widetilde(A)$ mempunyai minor orde ketiga, yang tidak sama dengan nol. Kita tidak dapat membuat minor orde keempat dari matriks $\widetilde(A)$, jadi kita menyimpulkan: $\rang\widetilde(A)=3$.

Karena $\rang A=\rang\widetilde(A)$, maka menurut teorema Kronecker-Capelli sistemnya konsisten, yaitu memiliki solusi (setidaknya satu). Untuk menunjukkan jumlah solusi, kami memperhitungkan bahwa SLAE kami berisi 3 hal yang tidak diketahui: $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Karena jumlah yang tidak diketahui adalah $n=3$, kita menyimpulkan: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, oleh karena itu, menurut akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli, sistem tersebut pasti, yaitu. mempunyai solusi unik.

Masalah terpecahkan. Apa kekurangan dan kelebihan metode ini? Pertama, mari kita bicara tentang kelebihannya. Pertama, kita hanya perlu mencari satu determinan. Setelah ini, kami langsung membuat kesimpulan tentang banyaknya solusi. Biasanya, perhitungan standar standar memberikan sistem persamaan yang berisi tiga hal yang tidak diketahui dan memiliki solusi unik. Untuk sistem seperti itu, metode ini sangat mudah, karena kita mengetahui sebelumnya bahwa ada solusinya (jika tidak, contohnya tidak akan ada dalam perhitungan standar). Itu. Yang perlu kita lakukan hanyalah menunjukkan adanya solusi dengan cara yang paling cepat. Kedua, nilai determinan matriks sistem yang dihitung (yaitu $\Delta A$) akan berguna nanti: ketika kita mulai menyelesaikan sistem tertentu menggunakan metode Cramer atau menggunakan matriks invers.

Namun, metode penghitungan peringkat menurut definisi tidak diinginkan untuk digunakan jika matriks sistem $A$ berbentuk persegi panjang. Dalam hal ini, lebih baik menggunakan cara kedua, yang akan dibahas di bawah. Selain itu, jika $\Delta A=0$, maka kita tidak dapat mengatakan apa pun tentang jumlah solusi dari SLAE tak homogen tertentu. Mungkin SLAE mempunyai solusi yang jumlahnya tidak terbatas, atau mungkin tidak ada sama sekali. Jika $\Delta A=0$, maka diperlukan penelitian tambahan, yang seringkali rumit.

Untuk meringkas apa yang telah dikatakan, saya perhatikan bahwa metode pertama baik untuk SLAE yang matriks sistemnya berbentuk persegi. Selain itu, SLAE sendiri berisi tiga atau empat hal yang tidak diketahui dan diambil dari perhitungan atau pengujian standar standar.

Metode nomor 2. Perhitungan pangkat dengan metode transformasi dasar.

Metode ini dijelaskan secara rinci dalam topik terkait. Kita akan mulai menghitung rank matriks $\widetilde(A)$. Mengapa matriks $\widetilde(A)$ dan bukan $A$? Faktanya matriks $A$ merupakan bagian dari matriks $\widetilde(A)$, oleh karena itu dengan menghitung rank matriks $\widetilde(A)$ kita sekaligus mencari rank matriks $A$ .

\begin(sejajar) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \kanan) \rightarrow \left|\text(menukar baris pertama dan kedua)\right| \panah kanan \\ &\panah kanan \kiri(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \kanan) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \kanan) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(array) \kanan) \end(rata)

Kami telah mereduksi matriks $\widetilde(A)$ menjadi bentuk trapesium. Pada diagonal utama dari matriks yang dihasilkan $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ berisi tiga elemen bukan nol: -1, 3, dan -7. Kesimpulan: rank matriks $\widetilde(A)$ adalah 3, yaitu $\rang\widetilde(A)=3$. Saat melakukan transformasi dengan elemen matriks $\widetilde(A)$, kami secara bersamaan mentransformasikan elemen matriks $A$ yang terletak sampai ke garis. Matriks $A$ juga direduksi menjadi bentuk trapesium: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \benar )$. Kesimpulan: rank matriks $A$ juga 3, yaitu $\rang A=3$.

Karena $\rang A=\rang\widetilde(A)$, maka menurut teorema Kronecker-Capelli sistemnya konsisten, yaitu punya solusi. Untuk menunjukkan jumlah solusi, kami memperhitungkan bahwa SLAE kami berisi 3 hal yang tidak diketahui: $x_1$, $x_2$, dan $x_3$. Karena jumlah yang tidak diketahui adalah $n=3$, kita menyimpulkan: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, oleh karena itu, menurut akibat wajar dari teorema Kronecker-Capelli, sistem tersebut didefinisikan, yaitu. mempunyai solusi unik.

Apa kelebihan cara kedua? Keuntungan utamanya adalah keserbagunaannya. Tidak menjadi masalah bagi kita apakah matriks sistem itu persegi atau tidak. Selain itu, kami sebenarnya melakukan transformasi maju dari metode Gaussian. Tinggal beberapa langkah lagi, dan kita bisa mendapatkan solusi untuk SLAE ini. Sejujurnya, saya lebih menyukai cara kedua daripada cara pertama, tetapi pilihannya adalah masalah selera.

Menjawab: SLAE yang diberikan konsisten dan terdefinisi.

Contoh No.2

Jelajahi SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(aligned) \right.$ untuk kompatibilitas.

Kita akan mencari pangkat matriks sistem dan matriks sistem yang diperluas menggunakan metode transformasi dasar. Matriks sistem yang diperluas: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \kanan)$. Mari kita cari peringkat yang diperlukan dengan mengubah matriks yang diperluas dari sistem:

Matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap. Jika suatu matriks direduksi menjadi bentuk eselon, maka pangkatnya sama dengan banyaknya baris bukan nol. Oleh karena itu, $\rang A=3$. Matriks $A$ (sampai garis) direduksi menjadi bentuk trapesium dan ranknya adalah 2, $\rang A=2$.

Karena $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, maka menurut teorema Kronecker-Capelli sistem tersebut tidak konsisten (yaitu, tidak memiliki solusi).

Menjawab: Sistem tidak konsisten.

Contoh No.3

Jelajahi SLAE $ \kiri\( \begin(rata) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132.\end(sejajar) \kanan.$ untuk kompatibilitas.

Matriks yang diperluas dari sistem memiliki bentuk: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \kanan)$. Mari kita tukar baris pertama dan kedua matriks ini sehingga elemen pertama baris pertama menjadi satu: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \kanan)$.

Kami telah mereduksi matriks perluasan sistem dan matriks sistem itu sendiri menjadi bentuk trapesium. Pangkat matriks yang diperluas sistem sama dengan tiga, pangkat matriks sistem juga sama dengan tiga. Karena sistem berisi $n=5$ yang tidak diketahui, mis. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Menjawab: Sistem tidak pasti.

Pada bagian kedua, kita akan menganalisis contoh-contoh yang sering disertakan dalam perhitungan standar atau tes matematika tingkat tinggi: penelitian konsistensi dan solusi SLAE bergantung pada nilai parameter yang disertakan di dalamnya.

Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE) tidak diragukan lagi merupakan topik terpenting dalam mata kuliah aljabar linier. Sejumlah besar masalah dari semua cabang matematika direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linear. Faktor-faktor ini menjelaskan alasan artikel ini. Materi artikel dipilih dan disusun sedemikian rupa sehingga dengan bantuannya Anda bisa

pilih metode optimal untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier Anda,
mempelajari teori metode yang dipilih,
selesaikan sistem persamaan linier Anda dengan mempertimbangkan solusi terperinci untuk contoh dan masalah umum.

Deskripsi singkat materi artikel.

Pertama, kami memberikan semua definisi, konsep, dan memperkenalkan notasi yang diperlukan.

Selanjutnya, kita akan membahas metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan memiliki solusi unik. Pertama, kita akan fokus pada metode Cramer, kedua, kita akan menunjukkan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan tersebut, dan ketiga, kita akan menganalisis metode Gauss (metode eliminasi berurutan dari variabel yang tidak diketahui). Untuk mengkonsolidasikan teori, kami pasti akan menyelesaikan beberapa SLAE dengan cara berbeda.

Setelah ini, kita akan melanjutkan ke penyelesaian sistem persamaan aljabar linier bentuk umum, yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah variabel yang tidak diketahui atau matriks utama sistemnya adalah tunggal. Mari kita merumuskan teorema Kronecker-Capelli, yang memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas SLAE. Mari kita menganalisis solusi sistem (jika kompatibel) menggunakan konsep basis minor dari sebuah matriks. Kami juga akan mempertimbangkan metode Gauss dan menjelaskan secara rinci solusi dari contoh.

Kami pasti akan membahas struktur solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen. Mari kita berikan konsep sistem solusi fundamental dan tunjukkan bagaimana solusi umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem solusi fundamental. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan sistem persamaan yang dapat direduksi menjadi persamaan linier, serta berbagai masalah yang penyelesaiannya menimbulkan SLAE.

Navigasi halaman.

Definisi, konsep, sebutan.

Kita akan mempertimbangkan sistem persamaan aljabar linier p dengan n variabel yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n) dalam bentuk

Variabel yang tidak diketahui, - koefisien (beberapa bilangan real atau kompleks), - suku bebas (juga bilangan real atau kompleks).

Bentuk pencatatan SLAE ini disebut koordinat.

DI DALAM bentuk matriks penulisan sistem persamaan ini berbentuk,
Di mana - matriks utama sistem, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks kolom suku bebas.

Jika kita menambahkan kolom matriks suku bebas ke matriks A sebagai kolom ke-(n+1), kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom suku bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom yang tersisa, yaitu,

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier disebut himpunan nilai variabel yang tidak diketahui yang mengubah semua persamaan sistem menjadi identitas. Persamaan matriks untuk nilai tertentu dari variabel yang tidak diketahui juga menjadi identitas.

Jika suatu sistem persamaan mempunyai paling sedikit satu penyelesaian, maka disebut persendian.

Jika suatu sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka disebut non-bersama.

Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin; jika ada lebih dari satu solusi, maka – tidak pasti.

Jika suku bebas semua persamaan sistem sama dengan nol , maka sistem dipanggil homogen, jika tidak - heterogen.

Memecahkan sistem dasar persamaan aljabar linier.

Jika banyaknya persamaan suatu sistem sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utamanya tidak sama dengan nol, maka SLAE tersebut disebut dasar. Sistem persamaan tersebut mempunyai solusi yang unik, dan dalam kasus sistem homogen, semua variabel yang tidak diketahui sama dengan nol.

Kami mulai mempelajari SLAE tersebut di sekolah menengah. Saat menyelesaikannya, kita mengambil satu persamaan, menyatakan satu variabel yang tidak diketahui ke dalam variabel lain dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang tersisa, kemudian mengambil persamaan berikutnya, menyatakan variabel yang tidak diketahui berikutnya dan mensubstitusikannya ke persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan metode penjumlahan, yaitu menambahkan dua persamaan atau lebih untuk menghilangkan beberapa variabel yang tidak diketahui. Kami tidak akan membahas metode ini secara rinci, karena metode ini pada dasarnya merupakan modifikasi dari metode Gauss.

Metode utama penyelesaian sistem persamaan linier dasar adalah metode Cramer, metode matriks, dan metode Gauss. Mari kita selesaikan.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Cramer.

Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier

yang banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem bukan nol, yaitu .

Misalkan menjadi determinan matriks utama sistem, dan - determinan matriks yang diperoleh dari A dengan penggantian 1, 2, …, n kolom masing-masing ke kolom anggota bebas:

Dengan notasi ini, variabel yang tidak diketahui dihitung menggunakan rumus metode Cramer sebagai . Beginilah cara menemukan solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode Cramer.

Contoh.

metode Cramer .

Larutan.

Matriks utama sistem berbentuk . Mari kita hitung determinannya (jika perlu, lihat artikel):

Karena determinan matriks utama sistem bukan nol, sistem mempunyai solusi unik yang dapat dicari dengan metode Cramer.

Mari kita menyusun dan menghitung determinan yang diperlukan (kita memperoleh determinan dengan mengganti kolom pertama matriks A dengan kolom suku bebas, determinan dengan mengganti kolom kedua dengan kolom suku bebas, dan mengganti kolom ketiga matriks A dengan kolom suku bebas) :

Menemukan variabel yang tidak diketahui menggunakan rumus :

Menjawab:

Kerugian utama dari metode Cramer (jika bisa disebut kerugian) adalah rumitnya penghitungan determinan ketika jumlah persamaan dalam sistem lebih dari tiga.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks (menggunakan matriks invers).

Misalkan suatu sistem persamaan aljabar linier diberikan dalam bentuk matriks, dimana matriks A berdimensi n kali n dan determinannya bukan nol.

Karena matriks A dapat dibalik, maka terdapat matriks invers. Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan kiri, kita memperoleh rumus untuk mencari kolom matriks dari variabel yang tidak diketahui. Beginilah cara kami memperoleh solusi sistem persamaan aljabar linier menggunakan metode matriks.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode matriks.

Larutan.

Mari kita tulis ulang sistem persamaan dalam bentuk matriks:

Karena

maka SLAE dapat diselesaikan dengan menggunakan metode matriks. Dengan menggunakan matriks invers, solusi sistem ini dapat dicari sebagai .

Mari kita buat matriks invers menggunakan matriks penjumlahan aljabar elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel):

Tetap menghitung matriks variabel yang tidak diketahui dengan mengalikan matriks invers ke kolom matriks anggota bebas (jika perlu, lihat artikel):

Menjawab:

atau dalam notasi lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Masalah utama dalam mencari solusi sistem persamaan aljabar linier dengan menggunakan metode matriks adalah rumitnya mencari matriks invers, terutama untuk matriks persegi yang ordenya lebih tinggi dari sepertiga.

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss.

Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem n persamaan linear dengan n variabel yang tidak diketahui
determinan matriks utamanya bukan nol.

Inti dari metode Gauss terdiri dari pengecualian berurutan dari variabel yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikeluarkan dari semua persamaan sistem, mulai dari persamaan kedua, kemudian x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga, dan seterusnya, hingga hanya variabel yang tidak diketahui x n tetap dalam persamaan terakhir. Proses transformasi persamaan sistem untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan langkah maju metode Gaussian, x n dicari dari persamaan terakhir, dengan menggunakan nilai ini dari persamaan kedua dari belakang, x n-1 dihitung, dan seterusnya, x 1 dicari dari persamaan pertama. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.

Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Mari kita hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Caranya, pada persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , pada persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan .

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Caranya, pada persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , pada persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana dan . Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya, kita melanjutkan untuk menghilangkan x 3 yang tidak diketahui, sementara kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk

Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai x n yang diperoleh, kita mencari x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita mencari x 1 dari persamaan pertama .

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear metode Gauss.

Larutan.

Mari kita kecualikan variabel x 1 yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, pada kedua ruas persamaan kedua dan ketiga kita tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan dan dengan:

Sekarang kita hilangkan x 2 dari persamaan ketiga dengan menjumlahkan ruas kiri dan kanannya ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan:

Ini melengkapi gerakan maju dari metode Gauss; kita memulai gerakan mundur.

Dari persamaan terakhir dari sistem persamaan yang dihasilkan kita temukan x 3:

Dari persamaan kedua kita peroleh.

Dari persamaan pertama kita menemukan sisa variabel yang tidak diketahui dan dengan demikian menyelesaikan kebalikan dari metode Gauss.

Menjawab:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Secara umum, banyaknya persamaan sistem p tidak sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui n:

SLAE tersebut mungkin tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Pernyataan ini juga berlaku untuk sistem persamaan yang matriks utamanya berbentuk persegi dan tunggal.

Teorema Kronecker – Capelli.

Sebelum menemukan solusi suatu sistem persamaan linear, perlu ditetapkan kompatibilitasnya. Jawaban atas pertanyaan kapan SLAE kompatibel dan kapan tidak konsisten diberikan oleh Teorema Kronecker – Capelli:
Agar sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p dapat sama dengan n) konsisten, maka pangkat matriks utama sistem harus sama dengan pangkat matriks yang diperluas, yaitu , Pangkat(A)=Pangkat(T).

Mari kita perhatikan, sebagai contoh, penerapan teorema Kronecker – Capelli untuk menentukan kompatibilitas sistem persamaan linier.

Contoh.

Cari tahu apakah sistem persamaan linier memiliki solusi.

Larutan.

. Mari kita gunakan metode membatasi anak di bawah umur. Kecil dari urutan kedua berbeda dari nol. Mari kita lihat anak di bawah umur urutan ketiga yang berbatasan dengannya:

Karena semua minor yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, maka pangkat matriks utama sama dengan dua.

Pada gilirannya, peringkat matriks yang diperluas sama dengan tiga, karena minornya berada pada orde ketiga

berbeda dari nol.

Dengan demikian, Rang(A), oleh karena itu, dengan menggunakan teorema Kronecker–Capelli, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linier asli tidak konsisten.

Menjawab:

Sistem tidak memiliki solusi.

Jadi, kita telah belajar menentukan inkonsistensi suatu sistem menggunakan teorema Kronecker–Capelli.

Tetapi bagaimana menemukan solusi untuk SLAE jika kompatibilitasnya telah ditetapkan?

Untuk itu diperlukan konsep basis minor suatu matriks dan teorema rank suatu matriks.

Minor dari orde tertinggi matriks A, selain nol, disebut dasar.

Dari definisi basis minor maka ordenya sama dengan rank matriks. Untuk matriks A yang tidak nol, terdapat beberapa basis minor; selalu ada satu basis minor.

Misalnya, perhatikan matriks .

Semua minor orde ketiga matriks ini sama dengan nol, karena elemen-elemen baris ketiga matriks ini adalah jumlah elemen-elemen yang bersesuaian pada baris pertama dan kedua.

Anak di bawah umur orde kedua berikut ini adalah bilangan dasar, karena bukan nol

Anak di bawah umur tidak mendasar, karena sama dengan nol.

Teorema pangkat matriks.

Jika pangkat suatu matriks berorde p kali n sama dengan r, maka semua elemen baris (dan kolom) matriks yang tidak membentuk basis minor terpilih dinyatakan secara linier dalam bentuk elemen-elemen pembentuk baris (dan kolom) yang bersesuaian. dasar kecil.

Apa yang disampaikan oleh teorema pangkat matriks kepada kita?

Jika, menurut teorema Kronecker–Capelli, kita telah menetapkan kompatibilitas sistem, maka kita memilih basis minor mana pun dari matriks utama sistem (urutannya sama dengan r), dan mengecualikan dari sistem semua persamaan yang sesuai. tidak membentuk basis minor yang dipilih. SLAE yang diperoleh dengan cara ini akan ekuivalen dengan persamaan aslinya, karena persamaan yang dibuang masih mubazir (menurut teorema rank matriks, persamaan tersebut merupakan kombinasi linier dari persamaan yang tersisa).

Akibatnya, setelah membuang persamaan sistem yang tidak perlu, ada dua kasus yang mungkin terjadi.

Jika banyaknya persamaan r pada sistem yang dihasilkan sama dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui, maka persamaan tersebut pasti dan solusi satu-satunya dapat dicari dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.

Contoh.

Larutan.

Peringkat matriks utama sistem sama dengan dua, karena minornya berada pada orde kedua berbeda dari nol. Peringkat Matriks yang Diperluas juga sama dengan dua, karena satu-satunya minor orde ketiga adalah nol

dan minor orde kedua yang dibahas di atas berbeda dari nol. Berdasarkan teorema Kronecker – Capelli, kita dapat menegaskan kompatibilitas sistem persamaan linear asli, karena Rank(A)=Rank(T)=2.

Kami mengambil minor sebagai dasarnya . Dibentuk oleh koefisien persamaan pertama dan kedua:

Persamaan ketiga sistem tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor, jadi kami mengecualikannya dari sistem berdasarkan teorema pangkat matriks:

Ini adalah bagaimana kami memperoleh sistem dasar persamaan aljabar linier. Mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer:

Menjawab:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Jika banyaknya persamaan r pada SLAE yang dihasilkan lebih kecil dari banyaknya variabel yang tidak diketahui n, maka pada ruas kiri persamaan kita tinggalkan suku-suku yang membentuk basis minor, dan pindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan persamaan. persamaan sistem yang bertanda berlawanan.

Variabel yang tidak diketahui (r diantaranya) yang tersisa di ruas kiri persamaan disebut utama.

Variabel yang tidak diketahui (ada n – r buah) yang berada di ruas kanan disebut bebas.

Sekarang kami percaya bahwa variabel bebas yang tidak diketahui dapat mengambil nilai sewenang-wenang, sedangkan r variabel utama yang tidak diketahui akan diekspresikan melalui variabel bebas yang tidak diketahui dengan cara yang unik. Ekspresinya dapat ditemukan dengan menyelesaikan SLAE yang dihasilkan menggunakan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.

Mari kita lihat dengan sebuah contoh.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan aljabar linier .

Larutan.

Mari kita cari rank matriks utama sistem dengan metode berbatasan dengan anak di bawah umur. Mari kita ambil 1 1 = 1 sebagai minor bukan nol pada orde pertama. Mari kita mulai mencari minor bukan nol dari orde kedua yang berbatasan dengan minor ini:

Beginilah cara kami menemukan minor bukan nol pada orde kedua. Mari kita mulai mencari minor yang berbatasan dengan nol dari orde ketiga:

Jadi, pangkat matriks utama adalah tiga. Pangkat matriks yang diperluas juga sama dengan tiga, yaitu sistemnya konsisten.

Kami mengambil minor bukan nol dari orde ketiga sebagai basisnya.

Untuk lebih jelasnya, kami tunjukkan unsur-unsur yang membentuk basis minor:

Kami meninggalkan suku-suku yang terlibat dalam basis minor di sisi kiri persamaan sistem, dan memindahkan sisanya dengan tanda yang berlawanan ke sisi kanan:

Mari kita berikan nilai arbitrer pada variabel bebas yang tidak diketahui x 2 dan x 5, yaitu kita terima , di mana angka arbitrer. Dalam hal ini, SLAE akan mengambil formulir tersebut

Mari kita selesaikan sistem dasar persamaan aljabar linier yang dihasilkan menggunakan metode Cramer:

Karena itu, .

Dalam jawaban Anda, jangan lupa untuk menunjukkan variabel bebas yang tidak diketahui.

Menjawab:

Dimana angka sembarang.

Meringkaskan.

Untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier umum, pertama-tama kita menentukan kompatibilitasnya menggunakan teorema Kronecker–Capelli. Jika rank matriks utama tidak sama dengan rank matriks yang diperluas, maka kita simpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel.

Jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks yang diperluas, maka kita memilih basis minor dan membuang persamaan sistem yang tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor yang dipilih.

Jika orde basis minor sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka SLAE mempunyai solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode apa pun yang kita ketahui.

Jika orde basis minor lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka di sisi kiri persamaan sistem kita meninggalkan suku-suku dengan variabel utama yang tidak diketahui, memindahkan suku-suku yang tersisa ke ruas kanan dan memberikan nilai sembarang ke variabel bebas yang tidak diketahui. Dari sistem persamaan linear yang dihasilkan kita mencari variabel-variabel utama yang belum diketahui dengan menggunakan metode Cramer, metode matriks atau metode Gauss.

Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.

Metode Gauss dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier apa pun tanpa terlebih dahulu menguji konsistensinya. Proses eliminasi berurutan dari variabel yang tidak diketahui memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang kompatibilitas dan ketidakcocokan SLAE, dan jika ada solusi, hal ini memungkinkan untuk menemukannya.

Dari sudut pandang komputasi, metode Gaussian lebih disukai.

Lihat penjelasan rinci dan contoh analisisnya di artikel Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier umum.

Menulis solusi umum sistem aljabar linier homogen dan tidak homogen menggunakan vektor-vektor sistem dasar solusi.

Pada bagian ini kita akan membahas tentang sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen simultan yang memiliki jumlah solusi tak terhingga.

Mari kita bahas sistem homogen terlebih dahulu.

Sistem solusi mendasar sistem homogen p persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui merupakan himpunan (n – r) solusi bebas linier dari sistem ini, dengan r adalah orde basis minor matriks utama sistem.

Jika kita menyatakan solusi bebas linier dari SLAE homogen sebagai X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) adalah matriks kolom berdimensi n oleh 1) , maka solusi umum dari sistem homogen ini direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor dari sistem solusi fundamental dengan koefisien konstanta sembarang C 1, C 2, ..., C (n-r), yaitu, .

Apa yang dimaksud dengan istilah penyelesaian umum sistem persamaan aljabar linier homogen (oroslau)?

Artinya sederhana: rumusnya menentukan semua kemungkinan solusi dari SLAE asli, dengan kata lain, mengambil himpunan nilai konstanta sembarang C 1, C 2, ..., C (n-r), dengan menggunakan rumus kita akan dapatkan salah satu solusi dari SLAE homogen asli.

Jadi, jika kita menemukan sistem solusi fundamental, maka kita dapat mendefinisikan semua solusi dari SLAE homogen ini sebagai.

Mari kita tunjukkan proses membangun sistem dasar solusi SLAE homogen.

Kami memilih basis minor dari sistem persamaan linier asli, mengecualikan semua persamaan lain dari sistem dan memindahkan semua suku yang mengandung variabel bebas yang tidak diketahui ke sisi kanan persamaan sistem dengan tanda yang berlawanan. Mari kita beri nilai 1,0,0,...,0 pada variabel bebas yang tidak diketahui dan hitung variabel utama yang tidak diketahui dengan menyelesaikan sistem dasar persamaan linier yang dihasilkan dengan cara apa pun, misalnya, menggunakan metode Cramer. Ini akan menghasilkan X (1) - solusi pertama dari sistem fundamental. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui gratis 0,1,0,0,…,0 dan menghitung yang tidak diketahui utama, kita mendapatkan X (2) . Dan seterusnya. Jika kita menetapkan nilai 0.0,…,0.1 ke variabel bebas yang tidak diketahui dan menghitung variabel utama yang tidak diketahui, kita memperoleh X (n-r) . Dengan cara ini, sistem dasar solusi SLAE homogen akan dibangun dan solusi umumnya dapat ditulis dalam bentuk .

Untuk sistem persamaan aljabar linier yang tidak homogen, solusi umum direpresentasikan dalam bentuk , di mana adalah solusi umum dari sistem homogen yang bersesuaian, dan merupakan solusi khusus dari SLAE tidak homogen asli, yang kita peroleh dengan memberikan nilai yang tidak diketahui bebas 0,0,...,0 dan menghitung nilai-nilai utama yang tidak diketahui.

Mari kita lihat contohnya.

Contoh.

Temukan sistem solusi dasar dan solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen .

Larutan.

Pangkat matriks utama sistem persamaan linier homogen selalu sama dengan pangkat matriks yang diperluas. Mari kita cari rank matriks utama dengan menggunakan metode border minor. Sebagai minor bukan nol orde pertama, kita ambil elemen a 1 1 = 9 dari matriks utama sistem. Mari kita cari minor bukan nol yang berbatasan dengan orde kedua:

Minor orde kedua, selain nol, telah ditemukan. Mari kita menelusuri anak di bawah umur tingkat ketiga yang berbatasan dengannya untuk mencari yang bukan nol:

Semua anak di bawah umur yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks utama dan matriks yang diperluas sama dengan dua. Mari kita ambil . Agar lebih jelas, mari kita perhatikan unsur-unsur sistem yang membentuknya:

Persamaan ketiga SLAE asli tidak ikut serta dalam pembentukan basis minor, oleh karena itu dapat dikecualikan:

Kita meninggalkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui utama di ruas kanan persamaan, dan memindahkan suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui bebas ke ruas kanan:

Mari kita membangun sistem dasar solusi dari sistem persamaan linear homogen asli. Sistem dasar solusi SLAE ini terdiri dari dua solusi, karena SLAE asli berisi empat variabel yang tidak diketahui, dan orde basis minornya sama dengan dua. Untuk mencari X (1), kita berikan nilai x 2 = 1 ke variabel bebas yang tidak diketahui, x 4 = 0, kemudian kita cari hal-hal utama yang tidak diketahui dari sistem persamaan
.

Kami terus membahas sistem persamaan linear. Sejauh ini kami telah mempertimbangkan sistem yang memiliki solusi unik. Sistem seperti itu dapat diselesaikan dengan cara apa pun: dengan metode substitusi("sekolah"), menurut rumus Cramer, metode matriks, metode Gaussian. Namun, dalam praktiknya, ada dua kasus lagi yang tersebar luas:

1) sistem tidak konsisten (tidak memiliki solusi);

2) sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya.

Untuk sistem ini, metode solusi yang paling universal digunakan - metode Gaussian. Faktanya, metode "sekolah" juga akan mengarah pada jawabannya, tetapi dalam matematika tingkat tinggi biasanya menggunakan metode Gaussian untuk menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan. Bagi yang belum familiar dengan algoritma metode Gaussian, silahkan mempelajari pelajarannya terlebih dahulu metode Gaussian

Transformasi matriks dasar itu sendiri persis sama, perbedaannya terletak pada akhir solusinya. Pertama, mari kita lihat beberapa contoh ketika sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten).

Contoh 1

Apa yang langsung menarik perhatian Anda tentang sistem ini? Jumlah persamaan lebih sedikit dari jumlah variabel. Ada teorema yang menyatakan: “Jika jumlah persamaan dalam sistem lebih kecil dari jumlah variabelnya, maka sistem tersebut akan menjadi tidak konsisten atau memiliki banyak sekali solusi.” Dan yang tersisa hanyalah mencari tahu.

Permulaan penyelesaiannya benar-benar biasa - kita menuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, membawanya ke bentuk bertahap:

(1). Di langkah kiri atas kita perlu mendapatkan (+1) atau (–1). Tidak ada angka seperti itu di kolom pertama, jadi menata ulang baris tidak akan menghasilkan apa-apa. Unit ini harus mengorganisir dirinya sendiri, dan hal ini dapat dilakukan dengan beberapa cara. Kami melakukan ini. Ke baris pertama kita tambahkan baris ketiga, dikalikan (–1).

(2). Sekarang kita mendapatkan dua angka nol di kolom pertama. Pada baris kedua kita tambahkan baris pertama dikalikan 3. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan 5.

(3). Setelah transformasi selesai, selalu disarankan untuk melihat apakah mungkin untuk menyederhanakan string yang dihasilkan? Bisa. Kami membagi baris kedua dengan 2, sekaligus mendapatkan baris yang diinginkan (–1) pada langkah kedua. Bagilah baris ketiga dengan (–3).

(4). Tambahkan baris kedua ke baris ketiga. Mungkin semua orang memperhatikan garis buruk yang diakibatkan oleh transformasi dasar:

. Jelas bahwa hal ini tidak mungkin terjadi.

Memang benar, mari kita tulis ulang matriks yang dihasilkan

kembali ke sistem persamaan linear:

Jika, sebagai hasil transformasi dasar, diperoleh string berbentuk , Di manaλ adalah bilangan selain nol, maka sistem tersebut tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian).

Bagaimana cara menuliskan akhir suatu tugas? Anda perlu menuliskan frasa:

“Sebagai hasil transformasi dasar, diperoleh rangkaian bentuk, di mana λ ≠ 0 " Jawaban: “Sistem tidak memiliki solusi (tidak konsisten).”

Harap dicatat bahwa dalam kasus ini tidak ada pembalikan algoritma Gaussian, tidak ada solusi dan tidak ada yang dapat ditemukan.

Contoh 2

Memecahkan sistem persamaan linear

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Kami mengingatkan Anda lagi bahwa solusi Anda mungkin berbeda dari solusi kami; metode Gaussian tidak menentukan algoritma yang jelas; urutan tindakan dan tindakan itu sendiri harus ditebak dalam setiap kasus secara independen.

Fitur teknis lain dari solusi ini: transformasi dasar dapat dihentikan Sekaligus, segera setelah garis seperti , di mana λ ≠ 0 . Mari kita perhatikan contoh kondisional: misalkan setelah transformasi pertama matriks diperoleh

Matriks ini belum direduksi menjadi bentuk eselon, tetapi tidak diperlukan transformasi dasar lebih lanjut, karena telah muncul garis bentuk dimana λ ≠ 0 . Jawabannya harus segera diberikan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel.

Ketika suatu sistem persamaan linier tidak memiliki solusi, hal ini hampir merupakan hadiah bagi siswa, karena solusi singkat diperoleh, terkadang secara harfiah dalam 2-3 langkah. Namun segala sesuatu di dunia ini seimbang, dan masalah yang sistemnya memiliki solusi yang tak terhingga jumlahnya akan lebih lama lagi.

Contoh 3:

Memecahkan sistem persamaan linear

Terdapat 4 persamaan dan 4 persamaan yang tidak diketahui, sehingga sistem tersebut dapat memiliki satu solusi, atau tidak memiliki solusi, atau memiliki banyak solusi yang tak terhingga. Bagaimanapun, metode Gaussian akan membawa kita pada jawabannya. Inilah keserbagunaannya.

Permulaannya lagi-lagi standar. Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Itu saja, dan kamu takut.

(1). Harap dicatat bahwa semua angka di kolom pertama habis dibagi 2, jadi 2 boleh saja di langkah kiri atas. Pada baris kedua kita tambahkan baris pertama dikalikan (–4). Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan (–2). Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama, dikalikan (–1).

Perhatian! Banyak yang mungkin tergoda dengan baris keempat mengurangi garis pertama. Hal ini dapat dilakukan, tetapi tidak perlu; pengalaman menunjukkan bahwa kemungkinan kesalahan dalam perhitungan meningkat beberapa kali lipat. Kita tinggal menambahkan: pada baris keempat kita tambahkan baris pertama, dikalikan (–1) – tepat!

(2). Tiga baris terakhir proporsional, dua di antaranya dapat dihapus. Di sini sekali lagi kita perlu menunjukkannya peningkatan perhatian, tapi apakah garisnya benar-benar proporsional? Agar aman, sebaiknya kalikan baris kedua dengan (–1), dan bagi baris keempat dengan 2, sehingga menghasilkan tiga garis yang identik. Dan baru setelah itu hapus dua di antaranya. Sebagai hasil dari transformasi dasar, matriks yang diperluas dari sistem direduksi menjadi bentuk bertahap:

Saat menulis tugas di buku catatan, disarankan untuk membuat catatan yang sama dengan pensil agar lebih jelas.

Mari kita tulis ulang sistem persamaan yang sesuai:

Tidak ada solusi tunggal yang “biasa” untuk sistem di sini. Garis buruk di mana λ ≠ 0, juga tidak. Ini berarti bahwa ini adalah kasus ketiga yang tersisa - sistem mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.

Himpunan solusi tak terhingga dari suatu sistem dituliskan secara singkat dalam bentuk yang disebut solusi umum sistem.

Kami menemukan solusi umum sistem menggunakan kebalikan dari metode Gaussian. Untuk sistem persamaan dengan himpunan solusi tak terhingga, muncul konsep baru: "variabel dasar" Dan "variabel bebas". Pertama mari kita tentukan variabel apa yang kita miliki dasar, dan variabel mana - bebas. Tidak perlu menjelaskan secara rinci istilah-istilah aljabar linier; cukup diingat bahwa memang ada variabel dasar Dan variabel bebas.

Variabel dasar selalu “duduk” secara ketat pada langkah-langkah matriks. Dalam contoh ini, variabel dasarnya adalah X 1 dan X 3 .

Variabel bebas adalah segalanya tersisa variabel yang tidak menerima langkah. Dalam kasus kami, ada dua di antaranya: X 2 dan X 4 – variabel bebas.

Sekarang kamu membutuhkannya Semuavariabel dasar cepat hanya melaluivariabel bebas. Kebalikan dari algoritma Gaussian biasanya bekerja dari bawah ke atas. Dari persamaan kedua sistem kita nyatakan variabel dasar X 3:

Sekarang lihat persamaan pertama: . Pertama kita gantikan ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

Tetap mengekspresikan variabel dasar X 1 melalui variabel bebas X 2 dan X 4:

Pada akhirnya kami mendapatkan apa yang kami butuhkan - Semua variabel dasar ( X 1 dan X 3) diungkapkan hanya melalui variabel bebas ( X 2 dan X 4):

Sebenarnya solusi umum sudah siap:

Bagaimana cara menulis solusi umum dengan benar? Pertama-tama, variabel bebas ditulis ke dalam solusi umum “dengan sendirinya” dan secara ketat pada tempatnya. Dalam hal ini, variabel bebas X 2 dan X 4 harus ditulis di posisi kedua dan keempat:

Ekspresi yang dihasilkan untuk variabel dasar dan tentunya perlu ditulis pada posisi pertama dan ketiga:

Dari solusi umum sistem, kita dapat menemukan banyak sekali solusinya solusi pribadi. Ini sangat sederhana. Variabel bebas X 2 dan X 4 disebut demikian karena dapat diberikan nilai akhir apa pun. Nilai yang paling populer adalah nilai nol, karena ini adalah solusi parsial yang paling mudah diperoleh.

Mengganti ( X 2 = 0; X 4 = 0) ke dalam solusi umum, kita memperoleh salah satu solusi khusus:

, atau merupakan solusi tertentu yang berhubungan dengan variabel bebas dengan nilai ( X 2 = 0; X 4 = 0).

Pasangan manis lainnya adalah satuan, mari kita gantikan ( X 2 = 1 dan X 4 = 1) ke dalam solusi umum:

, yaitu (-1; 1; 1; 1) – solusi khusus lainnya.

Sangat mudah untuk melihat bahwa sistem persamaan memiliki banyak solusi yang tak terhingga karena kita dapat memberikan variabel bebas setiap makna.

Setiap solusi tertentu harus memuaskan untuk masing-masing persamaan sistem. Ini adalah dasar untuk pemeriksaan “cepat” terhadap kebenaran solusi. Ambil contoh, solusi partikular (-1; 1; 1; 1) dan substitusikan solusi tersebut ke ruas kiri setiap persamaan sistem asal:

Semuanya harus bersatu. Dan dengan solusi tertentu yang Anda terima, semuanya juga harus sesuai.

Sebenarnya, memeriksa solusi tertentu terkadang menipu, mis. beberapa solusi tertentu mungkin memenuhi setiap persamaan sistem, namun solusi umum itu sendiri sebenarnya ditemukan salah. Oleh karena itu, pertama-tama, verifikasi solusi umum lebih menyeluruh dan dapat diandalkan.

Cara memeriksa solusi umum yang dihasilkan ?

Ini tidak sulit, tetapi memerlukan transformasi yang panjang. Kita perlu mengambil ekspresi dasar variabel, dalam hal ini dan , dan substitusikan keduanya ke ruas kiri setiap persamaan sistem.

Ke sisi kiri persamaan pertama sistem:

Ruas kanan persamaan awal pertama sistem diperoleh.

Ke sisi kiri persamaan kedua sistem:

Ruas kanan persamaan kedua awal sistem diperoleh.

Dan kemudian - ke sisi kiri persamaan ketiga dan keempat sistem. Pemeriksaan ini memakan waktu lebih lama, namun menjamin 100% kebenaran solusi keseluruhan. Selain itu, beberapa tugas memerlukan pemeriksaan solusi umum.

Contoh 4:

Selesaikan sistem menggunakan metode Gaussian. Temukan solusi umum dan dua solusi khusus. Periksa solusi umum.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Di sini, sekali lagi, jumlah persamaan lebih kecil dari jumlah persamaan yang tidak diketahui, yang berarti sudah jelas bahwa sistem tersebut akan menjadi tidak konsisten atau memiliki jumlah solusi yang tak terhingga.

Contoh 5:

Memecahkan sistem persamaan linear. Jika sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya, carilah dua solusi partikular dan periksa solusi umum

Larutan: Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

(1). Tambahkan baris pertama ke baris kedua. Pada baris ketiga kita tambahkan baris pertama dikalikan 2. Pada baris keempat kita tambahkan baris pertama dikalikan 3.

(2). Ke baris ketiga kita tambahkan baris kedua, dikalikan (–5). Pada baris keempat kita tambahkan baris kedua, dikalikan (–7).

(3). Baris ketiga dan keempat sama, kita hapus salah satunya. Inilah keindahannya:

Variabel dasar berada di tangga, oleh karena itu - variabel dasar.

Hanya ada satu variabel bebas yang tidak mendapat langkah di sini: .

(4). Gerakan terbalik. Mari kita ekspresikan variabel dasar melalui variabel bebas:

Dari persamaan ketiga:

Mari kita pertimbangkan persamaan kedua dan substitusikan ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

, , ,

Mari kita pertimbangkan persamaan pertama dan substitusikan ekspresi yang ditemukan ke dalamnya:

Jadi, solusi umum dengan satu variabel bebas X 4:

Sekali lagi, bagaimana hasilnya? Variabel bebas X 4 duduk sendirian di tempat keempat yang sah. Ekspresi yang dihasilkan untuk variabel dasar , , juga tersedia.

Mari kita segera periksa solusi umumnya.

Kita substitusikan variabel dasar , , ke ruas kiri setiap persamaan sistem:

Ruas kanan persamaan yang bersesuaian diperoleh, sehingga solusi umum yang benar ditemukan.

Sekarang dari solusi umum yang ditemukan kami memperoleh dua solusi khusus. Semua variabel di sini dinyatakan melalui satu variabel bebas x 4. Tidak perlu memutar otak.

Membiarkan X 4 = 0 maka – solusi khusus pertama.

Membiarkan X 4 = 1 maka – solusi pribadi lainnya.

Menjawab: Keputusan umum: . Solusi pribadi:

Dan .

Contoh 6:

Temukan solusi umum sistem persamaan linear.

Kami telah memeriksa solusi umum; jawabannya dapat dipercaya. Solusi Anda mungkin berbeda dengan solusi kami. Hal utama adalah bahwa keputusan umum harus bertepatan. Mungkin, banyak orang memperhatikan momen yang tidak menyenangkan dalam penyelesaiannya: sangat sering, selama kebalikan dari metode Gaussian, kami harus mengutak-atik pecahan biasa. Dalam praktiknya, hal ini memang terjadi; kasus di mana tidak ada pecahan jauh lebih jarang terjadi. Bersiaplah secara mental dan, yang paling penting, secara teknis.

Mari kita memikirkan fitur-fitur solusi yang tidak ditemukan dalam contoh-contoh yang diselesaikan. Solusi umum sistem terkadang mencakup konstanta (atau konstanta).

Misalnya, solusi umum: . Di sini salah satu variabel dasar sama dengan bilangan konstan: . Tidak ada yang eksotik dalam hal ini, itu terjadi. Jelasnya, dalam hal ini, setiap solusi tertentu akan mengandung lima di posisi pertama.

Jarang, tetapi ada sistem yang menerapkannya jumlah persamaan lebih besar dari jumlah variabel. Namun, metode Gaussian bekerja dalam kondisi yang paling keras. Anda harus dengan tenang mengurangi matriks yang diperluas dari sistem ke bentuk bertahap menggunakan algoritma standar. Sistem seperti ini mungkin tidak konsisten, mungkin mempunyai banyak solusi yang tak terhingga, dan, anehnya, mungkin hanya mempunyai satu solusi.

Mari kita ulangi saran kami - agar merasa nyaman saat menyelesaikan suatu sistem menggunakan metode Gaussian, Anda harus mahir dalam menyelesaikan setidaknya selusin sistem.

Solusi dan jawaban:

Contoh 2:

Larutan:Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap.

Transformasi dasar yang dilakukan:

(1) Baris pertama dan ketiga telah ditukar.

(2) Baris pertama ditambahkan ke baris kedua, dikalikan (–6). Baris pertama ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan (–7).

(3) Baris kedua ditambahkan ke baris ketiga, dikalikan (–1).

Sebagai hasil dari transformasi dasar, diperoleh string berbentuk, Di mana λ ≠ 0 .Artinya sistemnya tidak konsisten.Menjawab: tidak ada solusi.

Contoh 4:

Larutan:Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Konversi yang dilakukan:

(1). Baris pertama, dikalikan 2, ditambahkan ke baris kedua, baris pertama dikalikan 3, ditambahkan ke baris ketiga.

Tidak ada unit untuk langkah kedua , dan transformasi (2) ditujukan untuk memperolehnya.

(2). Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan –3.

(3). Baris kedua dan ketiga ditukar (kami memindahkan hasil –1 ke langkah kedua)

(4). Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan 3.

(5). Dua baris pertama telah diubah tandanya (dikalikan –1), baris ketiga dibagi 14.

Balik:

(1). Di Sini adalah variabel dasar (yang ada di langkah-langkah), dan – variabel bebas (siapa yang tidak mendapat langkah).

(2). Mari kita nyatakan variabel dasar dalam bentuk variabel bebas:

Dari persamaan ketiga: .

(3). Perhatikan persamaan kedua:, solusi pribadi:

Menjawab: Keputusan umum:

Bilangan kompleks

Pada bagian ini kami akan memperkenalkan konsepnya bilangan kompleks, mempertimbangkan aljabar, trigonometri Dan bentuk eksponensial bilangan kompleks. Kita juga akan mempelajari cara melakukan operasi bilangan kompleks: penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, eksponensial, dan ekstraksi akar.

Untuk menguasai bilangan kompleks, tidak diperlukan pengetahuan khusus dari mata kuliah matematika yang lebih tinggi, dan materi dapat diakses bahkan oleh anak sekolah. Cukup mampu melakukan operasi aljabar dengan bilangan “biasa”, dan mengingat trigonometri.

Pertama, mari kita ingat Angka “biasa”. Dalam matematika mereka disebut himpunan bilangan real dan ditunjuk dengan surat itu R, atau R (menebal). Semua bilangan real berada pada garis bilangan yang sudah dikenal:

Kelompok bilangan real sangat beragam - ada bilangan bulat, pecahan, dan bilangan irasional. Dalam hal ini, setiap titik pada sumbu bilangan harus bersesuaian dengan suatu bilangan real.

Sistem persamaan linear m dengan n yang tidak diketahui disebut sistem bentuk

Di mana sebuah ij Dan b saya (Saya=1,…,M; B=1,…,N) adalah beberapa nomor yang diketahui, dan x 1 ,…,xn- tidak dikenal. Dalam penunjukan koefisien sebuah ij indeks pertama Saya menunjukkan nomor persamaan, dan yang kedua J– bilangan yang tidak diketahui dimana koefisien ini berada.

Koefisien-koefisien yang tidak diketahui akan kita tuliskan dalam bentuk matriks , yang akan kami panggil matriks sistem.

Angka-angka di sisi kanan persamaan adalah b 1 ,…,bm disebut anggota gratis.

Keseluruhan N angka c 1 ,…,c n ditelepon keputusan suatu sistem tertentu, jika setiap persamaan sistem menjadi persamaan setelah mensubstitusikan bilangan ke dalamnya c 1 ,…,c n alih-alih hal-hal yang tidak diketahui terkait x 1 ,…,xn.

Tugas kita adalah menemukan solusi terhadap sistem. Dalam hal ini, tiga situasi mungkin timbul:

Sistem persamaan linear yang paling sedikit mempunyai satu penyelesaian disebut persendian. Jika tidak, mis. jika sistem tidak memiliki solusi, maka disebut non-bersama.

Mari kita pertimbangkan cara untuk menemukan solusi terhadap sistem.

METODE MATRIKS UNTUK SISTEM PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR

Matriks memungkinkan untuk menuliskan secara singkat sistem persamaan linier. Misalkan diberikan sistem yang terdiri dari 3 persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Pertimbangkan matriks sistem dan kolom matriks yang sukunya tidak diketahui dan bebas

Ayo cari pekerjaannya

itu. sebagai hasil perkalian, kita memperoleh ruas kiri persamaan sistem ini. Kemudian, dengan menggunakan definisi persamaan matriks, sistem ini dapat ditulis dalam bentuk

atau lebih pendek A∙X=B.

Berikut matriksnya A Dan B diketahui, dan matriksnya X tidak dikenal. Hal ini perlu untuk menemukannya, karena... elemen-elemennya adalah solusi untuk sistem ini. Persamaan ini disebut persamaan matriks.

Biarkan determinan matriks berbeda dari nol | A| ≠ 0. Kemudian persamaan matriks diselesaikan sebagai berikut. Kalikan kedua ruas persamaan di sebelah kiri dengan matriks A-1, kebalikan dari matriks A: . Karena SEBUAH -1 SEBUAH = E Dan E∙X = X, maka kita memperoleh solusi persamaan matriks dalam bentuk X = SEBUAH -1B .

Perhatikan bahwa karena matriks invers hanya dapat ditemukan untuk matriks persegi, metode matriks hanya dapat menyelesaikan sistem yang memiliki matriks persegi jumlah persamaan bertepatan dengan jumlah yang tidak diketahui. Namun, pencatatan matriks sistem juga dimungkinkan jika jumlah persamaan tidak sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, maka matriksnya A tidak akan berbentuk persegi dan oleh karena itu tidak mungkin menemukan solusi sistem dalam bentuk X = SEBUAH -1B.

Contoh. Memecahkan sistem persamaan.

ATURAN CRAMER

Pertimbangkan sistem 3 persamaan linier dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Penentu orde ketiga yang sesuai dengan matriks sistem, yaitu. terdiri dari koefisien untuk hal yang tidak diketahui,

ditelepon penentu sistem.

Mari kita buat tiga determinan lagi sebagai berikut: ganti kolom 1, 2 dan 3 secara berurutan pada determinan D dengan kolom suku bebas

Maka kita dapat membuktikan hasil berikut.

Teorema (aturan Cramer). Jika determinan sistem Δ ≠ 0, maka sistem yang ditinjau mempunyai satu dan hanya satu solusi, dan

Bukti. Jadi, mari kita perhatikan sistem yang terdiri dari 3 persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui. Mari kalikan persamaan pertama sistem dengan komplemen aljabar SEBUAH 11 elemen sebuah 11, persamaan ke-2 – aktif Sebuah 21 dan ke-3 – aktif Sebuah 31:

Mari tambahkan persamaan ini:

Mari kita lihat masing-masing tanda kurung dan ruas kanan persamaan ini. Dengan teorema perluasan determinan pada elemen kolom 1

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa dan .

Akhirnya, mudah untuk menyadarinya

Jadi, kita memperoleh persamaan: .

Karena itu, .

Persamaan dan diturunkan dengan cara yang sama, yang darinya pernyataan teorema berikut.

Jadi, kita perhatikan bahwa jika determinan sistem Δ ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik dan sebaliknya. Jika determinan sistem sama dengan nol, maka sistem tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga atau tidak memiliki solusi, yaitu. tidak kompatibel.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan

METODE GAUSS

Metode yang telah dibahas sebelumnya hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, dan determinan sistemnya harus berbeda dari nol. Metode Gauss lebih universal dan cocok untuk sistem dengan sejumlah persamaan. Ini terdiri dari penghapusan secara konsisten hal-hal yang tidak diketahui dari persamaan sistem.

Pertimbangkan kembali sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui:

Kami akan membiarkan persamaan pertama tidak berubah, dan dari persamaan ke-2 dan ke-3 kami akan mengecualikan suku-suku yang mengandungnya x 1. Untuk melakukannya, bagi persamaan kedua dengan A 21 dan kalikan dengan – A 11, lalu tambahkan ke persamaan pertama. Demikian pula, kita membagi persamaan ketiga dengan A 31 dan kalikan dengan – A 11, lalu tambahkan dengan yang pertama. Hasilnya, sistem aslinya akan berbentuk:

Sekarang dari persamaan terakhir kita menghilangkan istilah yang mengandung x 2. Caranya, bagi persamaan ketiga dengan, kalikan dengan, dan tambahkan dengan persamaan kedua. Maka kita akan memiliki sistem persamaan: