Memecahkan sistem pertidaksamaan trigonometri. Mengatasi kesenjangan secara online
Proyek aljabar “Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri” Diselesaikan oleh siswa kelas 10 “B” Kazachkova Yulia Pembimbing: guru matematika Kochakova N.N.
Tujuan Untuk memantapkan materi dengan topik “Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri” dan menjadi pengingat bagi siswa untuk mempersiapkan diri menghadapi ujian yang akan datang.
Tujuan: Meringkas materi tentang topik ini. Sistematisasikan informasi yang diterima. Mempertimbangkan topik ini dalam Ujian Negara Bersatu.
Relevansi Relevansi topik yang saya pilih terletak pada kenyataan bahwa tugas-tugas dengan topik “Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri” termasuk dalam tugas-tugas Ujian Negara Terpadu.
Pertidaksamaan trigonometri Pertidaksamaan adalah relasi yang menghubungkan dua bilangan atau ekspresi melalui salah satu tanda: (lebih besar dari); ≥ (lebih besar atau sama dengan). Pertidaksamaan trigonometri adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi trigonometri.
Pertidaksamaan trigonometri Penyelesaian pertidaksamaan yang mengandung fungsi trigonometri biasanya direduksi menjadi penyelesaian pertidaksamaan paling sederhana yang bentuknya: sin x>a, sin x a, karena x a, tg x a,ctgx
Algoritma untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri Pada sumbu yang bersesuaian dengan sumbu tertentu fungsi trigonometri, tandai nilai numerik yang diberikan dari fungsi ini. Gambarlah garis melalui titik yang ditandai yang memotong lingkaran satuan. Pilih titik potong suatu garis dan lingkaran dengan memperhatikan tanda pertidaksamaan tegas atau tidak tegas. Pilih busur lingkaran tempat solusi pertidaksamaan berada. Tentukan nilai sudut pada titik awal dan akhir busur lingkaran. Tuliskan penyelesaian pertidaksamaan dengan memperhatikan periodisitas fungsi trigonometri yang diberikan.
Rumus penyelesaian pertidaksamaan trigonometri sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). dosa A; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). karenaA; x (arctg a + πn ; + πn). tgx A; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar sinx >a
Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar sinx Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar cosx >a Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar cosx Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar tgx >a Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar tgx Solusi grafis pertidaksamaan trigonometri dasar ctgx >a
Pertidaksamaan adalah relasi berbentuk a › b, dimana a dan b adalah ekspresi yang mengandung paling sedikit satu variabel. Ketimpangan bisa sangat ketat - ‹, › dan tidak ketat - ≥, ≤.
Pertidaksamaan trigonometri merupakan ekspresi dalam bentuk: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, dimana F(x) diwakili oleh satu atau lebih fungsi trigonometri .
Contoh pertidaksamaan trigonometri yang paling sederhana adalah: sin x ‹ 1/2. Merupakan kebiasaan untuk menyelesaikan masalah seperti itu secara grafis, dua metode telah dikembangkan untuk ini.
Metode 1 - Menyelesaikan pertidaksamaan dengan membuat grafik suatu fungsi
Untuk mencari interval yang memenuhi kondisi pertidaksamaan sin x ‹ 1/2, Anda harus melakukan langkah-langkah berikut:
- Pada sumbu koordinat, buatlah sinusoidal y = sin x.
- Pada sumbu yang sama, gambarlah grafik argumen numerik pertidaksamaan, yaitu garis lurus yang melalui titik ordinat OY.
- Tandai titik potong kedua grafik tersebut.
- Bayangkan segmen yang merupakan solusi dari contoh tersebut.
Jika terdapat tanda tegas dalam suatu ekspresi, maka titik potongnya bukanlah solusi. Karena periode positif terkecil suatu sinusoida adalah 2π, maka kita tuliskan jawabannya sebagai berikut:
Jika tanda ekspresi tidak tegas, maka interval penyelesaian harus diapit tanda kurung siku - . Jawaban dari permasalahan tersebut juga dapat dituliskan sebagai pertidaksamaan berikut: 
Metode 2 - Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri menggunakan lingkaran satuan
Masalah serupa dapat dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan lingkaran trigonometri. Algoritma untuk menemukan jawaban sangat sederhana:
- Pertama, Anda perlu menggambar lingkaran satuan.
- Maka perlu diperhatikan nilai fungsi busur dari argumen ruas kanan pertidaksamaan pada busur lingkaran.
- Perlu ditarik garis lurus yang melalui nilai fungsi busur sejajar dengan sumbu absis (OX).
- Setelah itu, yang tersisa hanyalah memilih busur lingkaran, yang merupakan himpunan solusi pertidaksamaan trigonometri.
- Tuliskan jawabannya pada formulir yang diperlukan.
Mari kita analisis tahapan penyelesaiannya dengan menggunakan contoh pertidaksamaan sin x › 1/2. Titik α dan β ditandai pada lingkaran - nilai
Titik-titik busur yang terletak di atas dan adalah interval penyelesaian pertidaksamaan yang diberikan.
Jika Anda perlu menyelesaikan contoh cos, maka busur jawabannya akan terletak simetris terhadap sumbu OX, bukan OY. Anda dapat memperhatikan perbedaan antara interval penyelesaian sin dan cos pada diagram di bawah ini.
Solusi grafis untuk pertidaksamaan tangen dan kotangen akan berbeda baik dalam sinus maupun kosinus. Hal ini disebabkan oleh sifat-sifat fungsi.
Arctangen dan arckotangen merupakan garis singgung lingkaran trigonometri, dan periode positif minimum untuk kedua fungsi tersebut adalah π. Untuk menggunakan metode kedua dengan cepat dan benar, Anda perlu mengingat pada sumbu mana nilai sin, cos, tg, dan ctg diplot.
Garis singgung garis singgung berjalan sejajar dengan sumbu OY. Jika kita memplot nilai arctan a pada lingkaran satuan, maka titik kedua yang diperlukan akan ditempatkan pada seperempat diagonal. Sudut
Titik-titik tersebut merupakan titik putus untuk fungsi tersebut, karena grafiknya cenderung ke sana, tetapi tidak pernah mencapai titik tersebut.
Dalam kasus kotangen, garis singgung sejajar dengan sumbu OX, dan fungsinya terputus di titik π dan 2π.
Pertidaksamaan trigonometri kompleks
Jika argumen fungsi pertidaksamaan diwakili tidak hanya oleh variabel, tetapi oleh seluruh ekspresi yang mengandung hal yang tidak diketahui, maka kita sudah membicarakan tentang ketimpangan yang kompleks. Proses dan tata cara penyelesaiannya agak berbeda dengan cara-cara yang dijelaskan di atas. Misalkan kita perlu mencari solusi untuk pertidaksamaan berikut:
Solusi grafis melibatkan pembuatan sinusoidal biasa y = sin x menggunakan nilai x yang dipilih secara sewenang-wenang. Mari kita hitung tabel dengan koordinat titik kontrol grafik:
Hasilnya harus berupa kurva yang indah.
Untuk mempermudah pencarian solusi, mari kita ganti argumen fungsi kompleks
1. Jika argumennya rumit (berbeda dari X), lalu ganti dengan T.
2. Kita membangun dalam satu bidang koordinat mainan grafik fungsi y=biaya Dan kamu=a.
3. Kami menemukannya dua titik potong grafik yang berdekatan, di antaranya berada di atas garis lurus y=a. Kami menemukan absis dari titik-titik ini.
4. Tuliskan pertidaksamaan ganda untuk argumen tersebut T, dengan memperhitungkan periode cosinus ( T akan berada di antara absis yang ditemukan).
5. Lakukan substitusi terbalik (kembali ke argumen awal) dan nyatakan nilainya X dari pertidaksamaan ganda tersebut kita tuliskan jawabannya dalam bentuk interval numerik.
Contoh 1.
Selanjutnya, menurut algoritma, kita menentukan nilai argumen tersebut T, di mana sinusoida berada lebih tinggi lurus. Mari kita tulis nilai-nilai ini sebagai pertidaksamaan ganda, dengan mempertimbangkan periodisitas fungsi kosinus, dan kemudian kembali ke argumen awal X.
Contoh 2.
Memilih rentang nilai T, yang sinusoidalnya berada di atas garis lurus.
Nilainya kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan ganda T, memuaskan kondisinya. Jangan lupa periode terkecil dari fungsi tersebut y=biaya sama 2π. Kembali ke variabel X, secara bertahap menyederhanakan semua bagian dari pertidaksamaan ganda.
Kami menulis jawabannya dalam bentuk interval numerik tertutup, karena pertidaksamaannya tidak tegas.
Contoh 3.
Kami akan tertarik pada rentang nilai T, di mana titik-titik sinusoida akan terletak di atas garis lurus.
Nilai-nilai T tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan ganda, tulis ulang nilainya yang sama 2x dan mengungkapkan X. Mari kita tuliskan jawabannya dalam bentuk interval numerik.
Dan lagi rumus biaya>a.
Jika biaya>a, (-1≤A≤1), lalu - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
Terapkan rumus untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri dan Anda akan menghemat waktu dalam ujian ujian.
Dan sekarang rumus
, yang harus Anda gunakan pada UNT atau Unified State Examination saat menyelesaikan pertidaksamaan bentuk trigonometri biaya
Jika biaya , (-1≤A≤1), lalu arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
Terapkan rumus ini untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang dibahas dalam artikel ini, dan Anda akan mendapatkan jawabannya lebih cepat dan tanpa grafik apa pun!
Dengan mempertimbangkan periodisitas fungsi sinus, kami menulis pertidaksamaan ganda untuk nilai argumen T, memenuhi pertidaksamaan terakhir. Mari kita kembali ke variabel awal. Mari kita transformasikan pertidaksamaan ganda yang dihasilkan dan nyatakan variabelnya X. Mari kita tuliskan jawabannya dalam bentuk interval.
Mari selesaikan pertidaksamaan kedua:
Saat menyelesaikan pertidaksamaan kedua, kita harus mengubah ruas kiri pertidaksamaan ini menggunakan rumus sinus argumen ganda untuk mendapatkan pertidaksamaan berbentuk: sint≥a. Selanjutnya kami mengikuti algoritmanya.
Kami menyelesaikan pertidaksamaan ketiga:
Lulusan dan pelamar yang terhormat! Perlu diingat bahwa metode penyelesaian pertidaksamaan trigonometri, seperti metode grafis yang diberikan di atas dan, mungkin Anda ketahui, metode penyelesaian menggunakan lingkaran trigonometri satuan (lingkaran trigonometri) hanya dapat diterapkan pada tahap pertama mempelajari bagian trigonometri. “Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri.” Saya rasa Anda akan ingat bahwa Anda pertama kali menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana menggunakan grafik atau lingkaran. Namun, sekarang Anda tidak akan berpikir untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan cara ini. Bagaimana Anda mengatasinya? Benar, sesuai rumus. Jadi pertidaksamaan trigonometri harus diselesaikan dengan menggunakan rumus, terutama pada saat pengujian, kapan setiap menit sangat berharga. Jadi, selesaikan ketiga pertidaksamaan pada pelajaran ini dengan menggunakan rumus yang sesuai.
Jika dosa>a, di mana -1≤ A≤1, lalu busursin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, tidakZ.
Pelajari rumus!
Dan terakhir: tahukah Anda bahwa matematika itu definisi, aturan dan FORMULA?!
Tentu saja! Dan yang paling penasaran, setelah mempelajari artikel ini dan menonton videonya, berseru: “Betapa panjang dan sulitnya! Apakah ada rumus yang memungkinkan Anda menyelesaikan pertidaksamaan tersebut tanpa grafik atau lingkaran?” Ya, tentu saja ada!
UNTUK MENYELESAIKAN KETIMPANGAN BENTUK: dosa (-1≤A≤1) rumusnya valid:
— π — busursin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Terapkan pada contoh yang dibahas dan Anda akan mendapatkan jawabannya lebih cepat!
Kesimpulan: PELAJARI FORMULA YA TEMAN!
Halaman 1 dari 1 1
1.5 Pertidaksamaan trigonometri dan cara penyelesaiannya
1.5.1 Menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri sederhana
Sebagian besar penulis buku teks matematika modern menyarankan untuk mulai mempertimbangkan topik ini dengan menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri yang paling sederhana. Prinsip penyelesaian pertidaksamaan trigonometri paling sederhana didasarkan pada pengetahuan dan keterampilan menentukan pada lingkaran trigonometri nilai-nilai tidak hanya sudut trigonometri utama, tetapi juga nilai-nilai lainnya.
Sedangkan penyelesaian pertidaksamaan berbentuk , , , dapat dilakukan sebagai berikut: pertama-tama kita cari interval () yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, lalu tuliskan jawaban akhirnya dengan menjumlahkan ujung-ujung interval yang ditemukan a bilangan yang merupakan kelipatan periode sinus atau cosinus : ( 
). Dalam hal ini nilainya mudah ditemukan, karena atau . Pencarian makna didasarkan pada intuisi siswa, kemampuan mereka untuk memperhatikan persamaan busur atau segmen, memanfaatkan simetri masing-masing bagian grafik sinus atau kosinus. Dan hal ini terkadang di luar kemampuan sejumlah siswa yang cukup besar. Untuk mengatasi kesulitan-kesulitan yang disebutkan dalam buku teks di tahun terakhir Pendekatan yang berbeda digunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana, namun hal ini tidak memberikan peningkatan apapun pada hasil pembelajaran.
Selama beberapa tahun, kami telah cukup berhasil menggunakan rumus akar-akar persamaan yang bersesuaian untuk menemukan solusi pertidaksamaan trigonometri.
Kami mempelajari topik ini dengan cara berikut:
1. Kita membuat grafik dan y = a, dengan asumsi bahwa .
Kemudian kita tuliskan persamaan dan penyelesaiannya. Memberi n 0; 1; 2, kita menemukan tiga akar persamaan yang dikompilasi: . Nilainya adalah absis tiga titik potong grafik yang berurutan dan y = a. Jelas terlihat bahwa pertidaksamaan selalu berada pada interval (), dan pertidaksamaan selalu berada pada interval ().
Dengan menambahkan ke ujung-ujung interval ini suatu bilangan yang merupakan kelipatan periode sinus, pada kasus pertama kita memperoleh solusi pertidaksamaan dalam bentuk: ; dan dalam kasus kedua, solusi pertidaksamaan berupa:
Hanya berbeda dengan sinus dari rumus yang merupakan penyelesaian persamaan, untuk n = 0 kita memperoleh dua akar, dan akar ketiga untuk n = 1 berbentuk 
. Dan lagi, mereka adalah tiga absis berturut-turut dari titik potong grafik dan . Pada interval () terjadi pertidaksamaan, pada interval () terjadi pertidaksamaan
Sekarang tidak sulit untuk menuliskan solusi atas ketidaksetaraan dan . Dalam kasus pertama kita mendapatkan: ;
dan yang kedua: .
Meringkaskan. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan atau, Anda perlu membuat persamaan yang sesuai dan menyelesaikannya. Dari rumus yang dihasilkan, carilah akar-akar dari dan , dan tuliskan jawaban pertidaksamaan tersebut dalam bentuk: .
Saat menyelesaikan pertidaksamaan , dari rumus akar-akar persamaan yang bersangkutan kita temukan akar-akarnya dan , dan tuliskan jawaban pertidaksamaan tersebut dalam bentuk: .
Teknik ini memungkinkan Anda untuk mengajari semua siswa cara menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri, karena Teknik ini bergantung sepenuhnya pada keterampilan yang siswa kuasai. Ini adalah keterampilan untuk memecahkan masalah sederhana dan mencari nilai suatu variabel menggunakan rumus. Selain itu, sama sekali tidak perlu menyelesaikan sejumlah besar latihan dengan hati-hati di bawah bimbingan seorang guru untuk mendemonstrasikan segala macam teknik penalaran tergantung pada tanda pertidaksamaan, nilai modulus bilangan a dan tandanya. . Dan proses penyelesaian ketimpangan itu sendiri menjadi singkat dan, yang terpenting, seragam.
Keuntungan lain dari metode ini adalah memungkinkan Anda menyelesaikan pertidaksamaan dengan mudah meskipun ruas kanannya bukan nilai tabel sinus atau cosinus.
Mari kita tunjukkan ini dengan contoh spesifik. Misalkan kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan. Mari buat persamaan yang sesuai dan selesaikan:
Mari kita cari nilai dan .
Ketika n = 1 
Ketika n = 2 
Kami menuliskan jawaban akhir atas ketidaksetaraan ini:
Dalam contoh penyelesaian pertidaksamaan trigonometri paling sederhana, hanya ada satu kelemahan - adanya sejumlah formalisme. Namun jika semuanya dinilai hanya dari posisi-posisi ini, maka rumus-rumus akar-akar persamaan kuadrat, dan semua rumus penyelesaian persamaan trigonometri, dan masih banyak lagi, dapat dituduh formalisme.
Meskipun metode yang diusulkan menempati tempat yang layak dalam pembentukan keterampilan dalam menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri, pentingnya dan fitur metode lain untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri tidak dapat dianggap remeh. Ini termasuk metode interval.
Mari kita pertimbangkan esensinya.
Set diedit oleh A.G. Mordkovich, meskipun Anda juga tidak boleh mengabaikan buku teks lainnya. § 3. Metodologi pengajaran topik “Fungsi trigonometri” pada mata kuliah aljabar dan permulaan analisis Dalam pembelajaran fungsi trigonometri di sekolah, dapat dibedakan dua tahap utama: ü Pengenalan awal dengan fungsi trigonometri...
Dalam melaksanakan penelitian, tugas-tugas berikut diselesaikan: 1) Buku teks aljabar saat ini dan permulaan analisis matematika dianalisis untuk mengidentifikasi metode yang disajikan di dalamnya untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan irasional. Analisis tersebut memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan berikut: ·di sekolah menengah, perhatian yang kurang diberikan pada metode untuk menyelesaikan berbagai persamaan irasional, terutama...
Pertidaksamaan trigonometri paling sederhana yang berbentuk sin x>a merupakan dasar untuk menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri yang lebih kompleks.
Mari kita selesaikan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana berbentuk sin x>a pada lingkaran satuan.
1) pada 0
Dengan menggunakan asosiasi cosinus-bun (keduanya dimulai dengan co-, keduanya “bulat”), kita ingat bahwa cosinus adalah x, dan sinus adalah y. Dari sini kita membuat grafik y=a - garis lurus yang sejajar dengan sumbu sapi. Jika pertidaksamaannya tegas maka titik potong lingkaran satuan dan garis lurus y=a tertusuk, jika pertidaksamaan tidak tegas kita cat pada titik-titik tersebut (betapa mudahnya mengingat kapan suatu titik tertusuk dan kapan itu diarsir, lihat). Kesulitan terbesar dalam menyelesaikan pertidaksamaan trigonometri paling sederhana disebabkan oleh penentuan titik potong lingkaran satuan dan garis y=a dengan benar.
Poin pertama mudah ditemukan - ini adalah arcsin a. Kita menentukan jalur yang kita lalui dari titik pertama ke titik kedua. Pada garis y=a sinx=a, di atas garis, sin x>a, dan di bawah, di bawah garis, sin x
2) a=0, yaitu sin x>0
Dalam hal ini, titik pertama interval adalah 0, titik kedua adalah n. Pada kedua ujung interval, dengan memperhitungkan periode sinus, kita tambahkan 2n.
3) untuk a=-1, yaitu sinx>-1
Dalam hal ini, titik pertama adalah p/2, dan untuk mencapai titik kedua, kita mengelilingi seluruh lingkaran berlawanan arah jarum jam. Kita langsung ke intinya -p/2+2p=3p/2. Untuk memperhitungkan semua interval yang merupakan solusi pertidaksamaan ini, kita tambahkan 2n pada kedua ujungnya.
4) sinx>-a, pada 0
Poin pertama, seperti biasa, arcsin(-a)=-arcsina. Untuk sampai ke titik kedua, kita berjalan ke atas, yaitu ke arah pertambahan sudut.
Kali ini kita bergerak melampaui n. Berapa lama lagi kita akan melakukannya? Di arcsin x. Artinya titik kedua adalah n+arcsin x. Kenapa tidak ada minusnya? Karena minus pada notasi -arcsin berarti pergerakan searah jarum jam, namun kita bergerak berlawanan arah jarum jam. Dan terakhir, tambahkan 2pn pada setiap akhir interval.
5) sinx>a, jika a>1.
Lingkaran satuan seluruhnya terletak di bawah garis lurus y=a. Tidak ada satu titik pun yang berada di atas garis lurus. Jadi tidak ada solusi.
6) sinx>-a, dimana a>1.
Dalam hal ini, seluruh lingkaran satuan terletak seluruhnya di atas garis lurus y=a. Oleh karena itu, titik mana pun memenuhi kondisi sinx>a. Artinya x adalah bilangan apa pun.
Dan di sini x adalah bilangan apa pun, karena titik -n/2+2nn termasuk dalam penyelesaian, berbeda dengan pertidaksamaan tegas sinx>-1. Tidak perlu mengecualikan apa pun.
Satu-satunya titik di lingkaran yang memuaskan keadaan ini, adalah p/2. Dengan memperhitungkan periode sinus, penyelesaian pertidaksamaan ini adalah himpunan titik x=n/2+2n.
Misalnya, selesaikan pertidaksamaan sinx>-1/2:
