Menghitung contoh trigonometri. Memecahkan persamaan trigonometri

Konsep penyelesaian persamaan trigonometri.

• Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, ubah persamaan tersebut menjadi satu atau lebih persamaan trigonometri dasar. Menyelesaikan persamaan trigonometri pada akhirnya bermuara pada penyelesaian empat persamaan trigonometri dasar.

Memecahkan persamaan trigonometri dasar.

• Ada 4 jenis persamaan trigonometri dasar:
• dosa x = a; karena x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Menyelesaikan persamaan trigonometri dasar melibatkan melihat posisi x yang berbeda pada lingkaran satuan, serta menggunakan tabel konversi (atau kalkulator).
• Contoh 1. dosa x = 0,866. Dengan menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda akan mendapatkan jawabannya: x = π/3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: 2π/3. Ingat: semua fungsi trigonometri bersifat periodik, artinya nilainya berulang. Misalnya periodisitas sin x dan cos x adalah 2πn, dan periodisitas tg x dan ctg x adalah πn. Oleh karena itu jawabannya ditulis sebagai berikut:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Contoh 2. cos x = -1/2. Dengan menggunakan tabel konversi (atau kalkulator), Anda akan mendapatkan jawabannya: x = 2π/3. Lingkaran satuan memberikan jawaban lain: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Contoh 3.tg (x - π/4) = 0.
• Jawaban: x = π/4 + πn.
• Contoh 4.ctg 2x = 1,732.
• Jawaban: x = π/12 + πn.

Transformasi yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri.

• Untuk mentransformasikan persamaan trigonometri digunakan transformasi aljabar (faktorisasi, reduksi suku homogen, dll) dan identitas trigonometri.
• Contoh 5: Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan sin x + sin 2x + sin 3x = 0 diubah menjadi persamaan 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Jadi, diperlukan soal-soal dasar berikut untuk dipecahkan persamaan trigonometri: karena x = 0; dosa(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Menemukan sudut dengan nilai-nilai yang diketahui fungsi.

  • Sebelum mempelajari cara menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mempelajari cara mencari sudut menggunakan nilai fungsi yang diketahui. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan tabel konversi atau kalkulator.
  • Contoh: cos x = 0,732. Kalkulator akan memberikan jawaban x = 42,95 derajat. Lingkaran satuan akan memberikan sudut tambahan, yang kosinusnya juga 0,732.

• Sisihkan larutan pada lingkaran satuan.

  • Anda dapat memplot solusi persamaan trigonometri pada lingkaran satuan. Penyelesaian persamaan trigonometri pada lingkaran satuan adalah titik sudut poligon beraturan.
  • Contoh: Solusi x = π/3 + πn/2 pada lingkaran satuan mewakili titik sudut persegi.
  • Contoh: Solusi x = π/4 + πn/3 pada lingkaran satuan mewakili simpul-simpul segi enam beraturan.

• Metode penyelesaian persamaan trigonometri.

  • Jika persamaan trigonometri tertentu hanya berisi satu fungsi trigonometri, selesaikan persamaan ini sebagai persamaan trigonometri dasar. Jika persamaan yang diberikan mencakup dua atau lebih fungsi trigonometri, maka ada 2 metode untuk menyelesaikan persamaan tersebut (tergantung kemungkinan transformasinya).
    • Metode 1.
  • Ubah persamaan ini menjadi persamaan dengan bentuk: f(x)*g(x)*h(x) = 0, dengan f(x), g(x), h(x) adalah persamaan dasar trigonometri.
  • Contoh 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Larutan. Dengan menggunakan rumus sudut rangkap sin 2x = 2*sin x*cos x, ganti sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos x = 0 dan (sin x + 1) = 0.
  • Contoh 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Penyelesaian: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan dengan bentuk: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2cos x + 1) = 0.
  • Contoh 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Penyelesaian: Dengan menggunakan identitas trigonometri, ubah persamaan ini menjadi persamaan dengan bentuk: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Sekarang selesaikan dua persamaan dasar trigonometri: cos 2x = 0 dan (2sin x + 1) = 0 .
    • Metode 2.
  • Ubah persamaan trigonometri yang diberikan menjadi persamaan yang hanya mengandung satu fungsi trigonometri. Kemudian ganti fungsi trigonometri tersebut dengan fungsi yang belum diketahui, misalnya t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, dst).
  • Contoh 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Larutan. Pada persamaan ini, ganti (cos^2 x) dengan (1 - sin^2 x) (sesuai identitasnya). Persamaan yang diubah adalah:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Gantikan sin x dengan t. Sekarang persamaannya menjadi seperti ini: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat yang memiliki dua akar: t1 = -1 dan t2 = 9/5. Akar kedua t2 tidak memenuhi rentang fungsi (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Contoh 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Larutan. Gantikan tg x dengan t. Tulis ulang persamaan aslinya sebagai berikut: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Sekarang cari t lalu cari x untuk t = tan x.

Membutuhkan pengetahuan tentang rumus dasar trigonometri - jumlah kuadrat sinus dan kosinus, ekspresi garis singgung melalui sinus dan kosinus, dan lain-lain. Bagi yang lupa atau belum mengetahuinya, kami sarankan membaca artikel "".
Jadi, kita sudah mengetahui rumus dasar trigonometri, sekarang saatnya mempraktikkannya. Memecahkan persamaan trigonometri dengan pendekatan yang tepat, ini merupakan kegiatan yang cukup mengasyikkan, seperti misalnya memecahkan kubus Rubik.

Berdasarkan namanya sendiri, jelas bahwa persamaan trigonometri adalah persamaan yang tidak diketahui persamaannya yang berada di bawah tanda fungsi trigonometri.
Ada yang disebut persamaan trigonometri paling sederhana. Berikut penampakannya: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Mari kita pertimbangkan bagaimana menyelesaikan persamaan trigonometri tersebut, untuk lebih jelasnya kita akan menggunakan lingkaran trigonometri yang sudah kita kenal.

sinx = a

karena x = a

tan x = a

tempat tidur x = a

Persamaan trigonometri apa pun diselesaikan dalam dua tahap: kita mereduksi persamaan tersebut ke bentuk paling sederhana dan kemudian menyelesaikannya sebagai persamaan trigonometri sederhana.
Ada 7 metode utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.

1. Substitusi variabel dan metode substitusi

Selesaikan persamaan 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Dengan menggunakan rumus reduksi kita peroleh:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Ganti cos(x + /6) dengan y untuk menyederhanakan dan mendapatkan persamaan kuadrat biasa:

2 tahun 2 – 3 tahun + 1 + 0

Akar-akarnya adalah y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sekarang mari kita lakukan dalam urutan terbalik

Kami mengganti nilai y yang ditemukan dan mendapatkan dua pilihan jawaban:

2. Menyelesaikan persamaan trigonometri melalui faktorisasi

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan sin x + cos x = 1?

Mari kita pindahkan semuanya ke kiri sehingga 0 tetap di kanan:

dosa x + cos x – 1 = 0

Mari kita gunakan identitas yang dibahas di atas untuk menyederhanakan persamaan:

dosa x - 2 dosa 2 (x/2) = 0

Mari kita faktorkan:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Kami mendapatkan dua persamaan

3. Reduksi menjadi persamaan homogen

Suatu persamaan dikatakan homogen terhadap sinus dan kosinus jika semua sukunya relatif terhadap sinus dan kosinus yang berpangkat sama dan sudut yang sama. Untuk menyelesaikan persamaan homogen, lakukan sebagai berikut:

a) memindahkan seluruh anggotanya ke sisi kiri;

b) keluarkan semua faktor persekutuan dari tanda kurung;

c) menyamakan semua faktor dan tanda kurung dengan 0;

d) diterima dalam tanda kurung persamaan homogen pada tingkat yang lebih rendah, pada gilirannya dibagi menjadi sinus atau kosinus pada tingkat yang tertinggi;

e) selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk tg.

Selesaikan persamaan 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Mari kita gunakan rumus sin 2 x + cos 2 x = 1 dan hilangkan dua bilangan terbuka di sebelah kanan:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Bagi dengan cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Gantikan tan x dengan y dan dapatkan persamaan kuadrat:

y 2 + 4y +3 = 0, yang akar-akarnya adalah y 1 =1, y 2 = 3

Dari sini kita menemukan dua solusi persamaan awal:

x 2 = arctan 3 + k

4. Memecahkan persamaan melalui transisi ke setengah sudut

Selesaikan persamaan 3sin x – 5cos x = 7

Mari kita lanjutkan ke x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Mari kita pindahkan semuanya ke kiri:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Bagi dengan cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Pengenalan sudut bantu

Sebagai pertimbangan, mari kita ambil persamaan bentuk: a sin x + b cos x = c,

di mana a, b, c adalah beberapa koefisien sembarang, dan x tidak diketahui.

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan:



Sekarang koefisien persamaan menurut rumus trigonometri mempunyai sifat sin dan cos, yaitu: modulusnya tidak lebih dari 1 dan jumlah kuadratnya = 1. Mari kita nyatakan masing-masing sebagai cos dan sin, dimana - inilah yang disebut sudut bantu. Maka persamaannya akan berbentuk:

cos * sin x + sin * cos x = C

atau dosa(x + ) = C

Penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana ini adalah

x = (-1) k * arcsin C - + k, dimana



Perlu dicatat bahwa notasi cos dan sin dapat dipertukarkan.

Selesaikan persamaan sin 3x – cos 3x = 1

Koefisien dalam persamaan ini adalah:

a = , b = -1, jadi bagi kedua ruasnya dengan = 2

Bukan rahasia lagi bahwa keberhasilan atau kegagalan dalam proses penyelesaian hampir semua masalah terutama bergantung pada penentuan yang benar dari jenis persamaan tertentu, serta pada reproduksi yang benar dari urutan semua tahapan penyelesaiannya. Namun, dalam kasus persamaan trigonometri, menentukan fakta bahwa persamaan tersebut trigonometri sama sekali tidak sulit. Namun dalam proses menentukan urutan tindakan yang seharusnya mengarahkan kita pada jawaban yang benar, kita mungkin menghadapi kesulitan-kesulitan tertentu. Mari kita cari tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri dengan benar sejak awal.

Memecahkan persamaan trigonometri

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mencoba poin-poin berikut:

• Kami mengurangi semua fungsi yang termasuk dalam persamaan kami menjadi “sudut identik”;
• Persamaan yang diberikan perlu dibawa ke “fungsi identik”;
• Kami menguraikan ruas kiri persamaan yang diberikan menjadi faktor-faktor atau komponen lain yang diperlukan.

Metode

Metode 1. Persamaan tersebut harus diselesaikan dalam dua tahap. Pertama, kita transformasikan persamaan tersebut untuk mendapatkan bentuknya yang paling sederhana (disederhanakan). Persamaan: Cosx = a, Sinx = a dan sejenisnya disebut persamaan trigonometri paling sederhana. Tahap kedua adalah menyelesaikan persamaan paling sederhana yang diperoleh. Perlu dicatat bahwa persamaan paling sederhana dapat diselesaikan metode aljabar, yang kita kenal dari kursus sekolah aljabar. Ini juga disebut metode substitusi dan penggantian variabel. Dengan menggunakan rumus reduksi, pertama-tama Anda perlu melakukan transformasi, lalu melakukan substitusi, lalu mencari akar-akarnya.

Selanjutnya, kita perlu memfaktorkan persamaan kita ke dalam faktor-faktor yang mungkin; untuk melakukan ini, kita perlu memindahkan semua suku ke kiri dan kemudian kita dapat memfaktorkannya. Sekarang kita perlu membawa persamaan ini ke persamaan homogen, di mana semua suku sama derajatnya, dan cosinus serta sinusnya memiliki sudut yang sama.

Sebelum menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu memindahkan suku-sukunya ke ruas kiri, mengambilnya dari ruas kanan, lalu mengeluarkan semua penyebut yang sama dari tanda kurung. Kami menyamakan tanda kurung dan faktor kami dengan nol. Kurung persamaan kita mewakili persamaan homogen dengan derajat tereduksi, yang harus dibagi dengan sin (cos) sampai derajat tertinggi. Sekarang mari kita putuskan persamaan aljabar, yang diperoleh, dalam kaitannya dengan tan.

Metode 2. Metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah dengan menggunakan setengah sudut. Misalnya, kita menyelesaikan persamaan: 3sinx-5cosx=7.

Kita harus pergi ke setengah sudut, dalam kasus kita adalah: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2).Dan setelah itu, kita kurangi semua suku menjadi satu bagian (untuk memudahkan, lebih baik memilih yang benar) dan lanjutkan menyelesaikan persamaannya.

Jika perlu, Anda dapat memasukkan sudut bantu. Hal ini dilakukan jika Anda perlu mengganti nilai bilangan bulat sin (a) atau cos (a) dan tanda “a” hanya berfungsi sebagai sudut bantu.

Produk untuk dijumlahkan

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan hasil kali penjumlahan? Sebuah metode yang dikenal sebagai konversi produk-ke-jumlah juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Dalam hal ini, perlu menggunakan rumus yang sesuai dengan persamaan tersebut.

Misalnya, kita mempunyai persamaan: 2sinx * sin3x= сos4x

Kita perlu menyelesaikan masalah ini dengan mengubah ruas kiri menjadi penjumlahan, yaitu:

cos 4x –cos8x=cos4x,

x = hal/16 + hal/8.

Jika metode di atas tidak cocok, dan Anda masih belum tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana, Anda dapat menggunakan metode lain - substitusi universal. Ini dapat digunakan untuk mengubah ekspresi dan membuat substitusi. Contoh: Cos(x/2)=u. Sekarang Anda dapat menyelesaikan persamaan dengan parameter u yang ada. Dan setelah menerima hasil yang diinginkan, jangan lupa untuk mengubah nilai ini menjadi kebalikannya.

Banyak siswa “berpengalaman” menyarankan untuk meminta orang menyelesaikan persamaan secara online. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri online, Anda bertanya. Untuk solusi daring tugas, Anda dapat mengunjungi forum tentang topik yang relevan, di mana mereka dapat membantu Anda dengan saran atau pemecahan masalah. Namun yang terbaik adalah mencoba melakukannya sendiri.

Keterampilan dan kemampuan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri sangat penting dan bermanfaat. Perkembangannya akan membutuhkan banyak usaha dari Anda. Banyak masalah dalam fisika, stereometri, dll. yang terkait dengan penyelesaian persamaan tersebut. Dan proses penyelesaian masalah tersebut sendiri mengandaikan adanya keterampilan dan pengetahuan yang dapat diperoleh selama mempelajari unsur-unsur trigonometri.

Mempelajari rumus trigonometri

Dalam proses menyelesaikan suatu persamaan, Anda mungkin menghadapi kebutuhan untuk menggunakan rumus apa pun dari trigonometri. Anda tentu saja dapat mulai mencarinya di buku teks dan lembar contekan Anda. Dan jika rumus-rumus ini disimpan di kepala Anda, Anda tidak hanya akan menyelamatkan saraf Anda, tetapi juga membuat tugas Anda lebih mudah, tanpa membuang waktu untuk mencari. informasi yang perlu. Dengan demikian, Anda akan memiliki kesempatan untuk memikirkan cara paling rasional untuk menyelesaikan masalah.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, ulasan, keinginan Anda! Semua materi telah diperiksa oleh program anti-virus.

Manual dan simulator di toko online Integral untuk kelas 10 dari 1C
Kami memecahkan masalah dalam geometri. Tugas interaktif untuk membangun di luar angkasa
Lingkungan perangkat lunak "1C: Konstruktor Matematika 6.1"

Apa yang akan kita pelajari:
1. Apa yang dimaksud dengan persamaan trigonometri?

3. Dua metode utama penyelesaian persamaan trigonometri.
4. Persamaan trigonometri homogen.
5. Contoh.

Apa persamaan trigonometri?

Teman-teman, kita sudah mempelajari arcsinus, arccosine, arctangent, dan arccotangent. Sekarang mari kita lihat persamaan trigonometri secara umum.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang suatu variabel berada di bawah tanda fungsi trigonometri.

Mari kita ulangi bentuk penyelesaian persamaan trigonometri paling sederhana:

1)Jika |a|≤ 1, maka persamaan cos(x) = a mempunyai penyelesaian:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jika |a|≤ 1, maka persamaan sin(x) = a mempunyai penyelesaian:

3) Jika |a| > 1, maka persamaan sin(x) = a dan cos(x) = a tidak mempunyai penyelesaian 4) Persamaan tg(x)=a mempunyai penyelesaian: x=arctg(a)+ πk

5) Persamaan ctg(x)=a mempunyai penyelesaian: x=arcctg(a)+ πk

Untuk semua rumus, k adalah bilangan bulat

Persamaan trigonometri paling sederhana berbentuk: T(kx+m)=a, T adalah suatu fungsi trigonometri.

Contoh.

Selesaikan persamaan: a) sin(3x)= √3/2

Larutan:

A) Mari kita nyatakan 3x=t, lalu kita tulis ulang persamaan kita dalam bentuk:

Solusi persamaan ini adalah: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Dari tabel nilai yang kita peroleh: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Mari kita kembali ke variabel kita: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Maka x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Jawab: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, dimana n adalah bilangan bulat. (-1)^n – dikurangi satu pangkat n.

Lebih banyak contoh persamaan trigonometri.

Selesaikan persamaan: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Larutan:

A) Kali ini mari kita langsung beralih ke menghitung akar-akar persamaan:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Maka x/5= πk => x=5πk

Jawaban: x=5πk, dimana k adalah bilangan bulat.

B) Kita tuliskan dalam bentuk: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Kita tahu bahwa: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Jawaban: x=2π/9 + πk/3, dimana k adalah bilangan bulat.

Selesaikan persamaan: cos(4x)= √2/2. Dan temukan semua akar pada ruas tersebut.

Larutan:

Kami akan memutuskannya pandangan umum persamaan kita: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sekarang mari kita lihat akar apa yang ada di segmen kita. Pada k Pada k=0, x= π/16, kita berada pada segmen tertentu.
Dengan k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, kita pukul lagi.
Untuk k=2, x= π/16+ π=17π/16, namun di sini kita tidak memukul, artinya untuk k yang besar kita juga jelas tidak akan memukul.

Jawaban: x= π/16, x= 9π/16

Dua metode solusi utama.

Kita telah melihat persamaan trigonometri yang paling sederhana, tetapi ada juga persamaan yang lebih kompleks. Untuk menyelesaikannya digunakan metode pemasukan variabel baru dan metode faktorisasi. Mari kita lihat contohnya.

Mari selesaikan persamaannya:

Larutan:
Untuk menyelesaikan persamaan kita, kita akan menggunakan metode memasukkan variabel baru, yang menyatakan: t=tg(x).

Sebagai hasil penggantian kita mendapatkan: t 2 + 2t -1 = 0

Mari kita temukan akarnya persamaan kuadrat: t=-1 dan t=1/3

Maka tg(x)=-1 dan tg(x)=1/3, kita peroleh persamaan trigonometri paling sederhana, cari akar-akarnya.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Jawaban: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Contoh penyelesaian persamaan

Selesaikan persamaan: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Larutan:

Mari kita gunakan identitasnya: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Persamaan kita akan berbentuk: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Mari kita perkenalkan penggantian t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=2 dan t=-1/2

Maka cos(x)=2 dan cos(x)=-1/2.

Karena cosinus tidak dapat mengambil nilai lebih dari satu, maka cos(x)=2 tidak mempunyai akar.

Untuk cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Jawaban: x= ±2π/3 + 2πk

Persamaan trigonometri homogen.

Definisi: Persamaan bentuk a sin(x)+b cos(x) disebut persamaan trigonometri homogen derajat pertama.

Persamaan bentuk

persamaan trigonometri homogen derajat kedua.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat pertama, bagilah dengan cos(x): Anda tidak dapat membagi dengan cosinus jika sama dengan nol, pastikan hal ini tidak terjadi:
Misalkan cos(x)=0, maka asin(x)+0=0 => sin(x)=0, tetapi sinus dan cosinus tidak sama dengan nol pada saat yang sama, kita mendapatkan kontradiksi, sehingga kita dapat membagi dengan aman dengan nol.

Selesaikan persamaan:
Contoh: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Larutan:

Mari kita keluarkan faktor persekutuannya: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Maka kita perlu menyelesaikan dua persamaan:

Cos(x)=0 dan cos(x)+sin(x)=0

Karena(x)=0 di x= π/2 + πk;

Perhatikan persamaan cos(x)+sin(x)=0 Bagilah persamaan kita dengan cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Jawaban: x= π/2 + πk dan x= -π/4+πk

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri homogen derajat kedua?
Teman-teman, selalu ikuti aturan ini!

1. Lihat berapa koefisien a, jika a=0 maka persamaan kita akan berbentuk cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), contoh penyelesaiannya ada pada slide sebelumnya

2. Jika a≠0, maka kedua ruas persamaan harus dibagi dengan kosinus kuadrat, kita mendapatkan:

Kami mengubah variabel t=tg(x) dan mendapatkan persamaan:

Selesaikan contoh No.:3

Selesaikan persamaan:
Larutan:

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan kosinus kuadrat:

Kita ubah variabelnya t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Mari kita cari akar persamaan kuadrat: t=-3 dan t=1

Maka: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Jawaban: x=-arctg(3) + πk dan x= π/4+ πk

Selesaikan contoh No.:4

Selesaikan persamaan:

Larutan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Kita dapat menyelesaikan persamaan berikut: x= - π/4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Jawaban: x= - π/4 + 2πk dan x=5π/4 + 2πk

Selesaikan contoh no.:5

Selesaikan persamaan:

Larutan:
Mari kita ubah ekspresi kita:

Mari kita perkenalkan penggantian tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Solusi persamaan kuadrat kita adalah akar-akarnya: t=-2 dan t=1/2

Kemudian kita mendapatkan: tg(2x)=-2 dan tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= busur(1/2) + πk => x= busur(1/2)/2+ πk/2

Jawaban: x=-arctg(2)/2 + πk/2 dan x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Masalah untuk solusi mandiri.

1) Selesaikan persamaannya

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Selesaikan persamaan: sin(3x)= √3/2. Dan temukan semua akar pada ruas [π/2; π].

3) Selesaikan persamaan: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Selesaikan persamaan: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Selesaikan persamaan: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Selesaikan persamaan: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi orang tertentu atau hubungan dengannya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal seperti audit, analisis data, dan berbagai penelitian dalam rangka meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberikan Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari lembaga pemerintah di Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.