Aksi gaya sentrifugal. Gerakan rotasi tubuh
Beras. 4.8
Pada setiap saat, batu harus bergerak dalam garis lurus yang bersinggungan dengan lingkaran. Namun dihubungkan ke sumbu rotasi dengan seutas tali. Tali diregangkan, timbul gaya elastis yang bekerja pada batu, diarahkan sepanjang tali menuju pusat putaran. Inilah gaya sentripetal (ketika Bumi berputar pada porosnya, gaya gravitasi berperan sebagai gaya sentripetal).
Tapi sejak itu
| (4.5.2) | |||
| (4.5.3) |
Gaya sentripetal timbul akibat aksi batu pada tali, yaitu. apakah gaya diterapkan pada tubuh - gaya inersia jenis kedua. Itu fiktif - tidak ada.
Gaya yang diterapkan pada sambungan dan diarahkan secara radial dari pusat disebut sentrifugal.
Ingatlah bahwa gaya sentripetal diterapkan pada benda yang berputar, dan gaya sentrifugal diterapkan pada sambungan.
Gaya tarik-menarik gravitasi diarahkan ke pusat bumi.
Gaya reaksi dasar (tekanan normal) diarahkan tegak lurus terhadap permukaan gerak.
Dari sudut pandang pengamat yang dikaitkan dengan kerangka acuan non-inersia, ia tidak mendekati pusat, meskipun ia melihatnya F cs berlaku (ini dapat dinilai dari pembacaan dinamometer pegas). Oleh karena itu, dari sudut pandang pengamat, dalam sistem non-inersia terdapat gaya yang menyeimbangkan F cs, sama besarnya dan berlawanan arah:
Karena sebuah= ω 2 R(di sini ω adalah kecepatan sudut rotasi batu, dan υ linier), maka
| F tsb = Mω 2 R. | (4.5.4) |
Kita semua (dan juga instrumen fisik) berada di Bumi, berputar pada suatu poros, oleh karena itu, berada dalam sistem non-inersia (Gambar 4.9).
Beras. 4.9
Mari kita asumsikan bahwa benda tegar A (Gbr. 1.19, a) dapat berputar pada suatu sumbu tetap. Untuk menyebabkan rotasi suatu benda (untuk mengubah kecepatan sudutnya), diperlukan pengaruh eksternal. Akan tetapi, gaya yang arahnya melalui sumbu rotasi, atau gaya yang sejajar sumbu, tidak dapat mengubah kecepatan sudut suatu benda.
Oleh karena itu, dari gaya luar yang diterapkan pada benda, perlu diisolasi komponen-komponen yang tidak menimbulkan putaran. Rotasi hanya dapat disebabkan oleh suatu gaya (gaya putar) yang terletak pada bidang yang tegak lurus sumbu rotasi dan diarahkan secara tangensial terhadap lingkaran yang dibatasi oleh titik penerapannya.
Perhatikan bahwa ketika benda berputar, komponen-komponennya tidak melakukan kerja, karena titik penerapan gaya-gaya ini bergerak tegak lurus terhadap arahnya. Usaha dilakukan hanya oleh gaya rotasi, yaitu proyeksi gaya yang bekerja pada benda ke arah pergerakan titik penerapan gaya ini.
Mari kita tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya putar jika titik penerapannya bergerak sepanjang lingkaran berjari-jari sebesar (Gbr. 1.19, b). Mari kita asumsikan bahwa besarnya gaya tetap konstan. Kemudian
Hasil kali gaya putar dan jari-jari adalah momen gaya putar, atau torsi yang bekerja pada benda tertentu, dan dilambangkan dengan (ingat bahwa momen gaya tertentu terhadap sumbu mana pun adalah hasil kali gaya ini dengan lengannya, yaitu dengan panjang tegak lurus yang ditarik dari yang ditentukan
sumbu terhadap arah gaya). Jadi, dalam rumus (2.8)
oleh karena itu, usaha yang dilakukan oleh torsi sama dengan hasil kali momen ini dan sudut rotasi benda:
Jika torsi (gaya atau lengannya) berubah seiring waktu, maka usaha yang dilakukan ditentukan sebagai jumlah:
Torsi gaya putar direpresentasikan sebagai vektor yang berimpit dengan sumbu rotasi; orientasi positif dari vektor ini dipilih ke arah pergerakan sekrup kanan yang diputar saat ini.
Torsi yang diterapkan pada benda memberikan percepatan sudut tertentu sesuai dengan arah vektor yang telah kita pilih; vektor-vektor tersebut berorientasi sepanjang sumbu rotasi dalam arah yang sama. Hubungan antara besarnya torsi dan besarnya percepatan sudut yang diberikan dapat ditentukan dengan dua cara:
a) kita dapat menggunakan fakta bahwa kerja gaya penggerak sama dengan perubahan energi kinetik benda yang menerima gaya ini: Untuk benda yang berputar, menurut rumus (2.9) dan (2.4), kita memiliki
Di sini kita berasumsi bahwa momen inersia suatu benda tidak berubah selama rotasi. Membagi persamaan ini dengan dan menguranginya dengan kita peroleh
b) Anda dapat memanfaatkan fakta bahwa momen gaya putar sama dengan jumlah momen gaya-gaya yang memberikan percepatan tangensial pada masing-masing komponen benda; gaya-gaya ini sama dan momennya adalah
Mari kita ganti percepatan tangensial dengan percepatan sudut, yang sama untuk semua partikel benda yang berputar (jika benda tidak berubah bentuk selama rotasi): Maka
Rumus (2.12) menyatakan hukum dasar dinamika gerak rotasi benda padat (tidak dapat berubah bentuk), yang mana
percepatan sudut yang diperoleh suatu benda di bawah pengaruh torsi tertentu berbanding lurus dengan besarnya momen ini dan berbanding terbalik dengan momen inersia benda terhadap sumbu rotasi:
Dalam bentuk vektor, hukum ini ditulis sebagai
Jika suatu benda mengalami deformasi selama rotasi, maka momen inersianya terhadap sumbu rotasi akan berubah. Mari kita bayangkan secara mental sebuah benda berputar yang terdiri dari banyak bagian dasar (titik); maka deformasi seluruh benda berarti perubahan jarak dari bagian tubuh tersebut ke sumbu rotasi. Namun, perubahan jarak kecepatan sudut rotasi tertentu co akan disertai dengan perubahan kecepatan linier partikel tersebut, dan juga energi kinetiknya. Jadi, pada kecepatan sudut rotasi benda yang konstan, perubahan jarak (maka, perubahan momen inersia benda) akan disertai dengan perubahan energi kinetik rotasi seluruh benda.
Dari rumus (2.4), jika kita mengasumsikan variabel maka dapat diperoleh
Suku pertama menunjukkan perubahan energi kinetik benda yang berputar, yang terjadi hanya karena perubahan kecepatan sudut rotasi (pada momen inersia benda tertentu), dan suku kedua menunjukkan perubahan energi kinetik , yang terjadi hanya karena perubahan momen inersia benda (pada kecepatan sudut rotasi tertentu).
Namun, ketika jarak dari suatu benda titik ke sumbu rotasi berubah, gaya-gaya dalam yang menghubungkan benda tersebut dengan sumbu rotasi akan melakukan usaha: negatif jika benda menjauh, dan positif jika benda mendekati sumbu rotasi; usaha ini dapat dihitung jika kita berasumsi bahwa gaya yang menghubungkan partikel ke sumbu rotasi secara numerik sama dengan gaya sentripetal:
Untuk seluruh benda, yang terdiri dari banyak partikel bermassa, kita peroleh
Dalam kasus umum, ketika torsi eksternal bekerja pada suatu benda, perubahan energi kinetik harus disamakan dengan jumlah dua usaha: torsi eksternal dan gaya internal.Dengan rotasi yang dipercepat, nilainya akan bertanda positif, - negatif
tanda (karena partikel benda menjauh dari sumbu rotasi); Kemudian
Mengganti nilai dari ekspresi (2.15) di sini dan menggantinya dengan yang kita dapatkan
atau setelah pengurangan
Ini adalah bentuk umum hukum dasar mekanika untuk benda yang berputar pada sumbu tetap; hukum ini juga berlaku untuk benda yang mengalami deformasi. Ketika rumus (2.16) berubah menjadi rumus (2.14).
Perhatikan bahwa untuk benda yang mengalami deformasi, perubahan kecepatan sudut rotasi dimungkinkan bahkan tanpa adanya torsi eksternal. Memang, kapan - dari rumus (2.16) kita memperoleh:
Dalam hal ini, kecepatan sudut rotasi hanya berubah karena perubahan momen inersia benda yang disebabkan oleh gaya dalam.
3.1. Pertanyaan. Apakah mungkin untuk memutar “dengan inersia”? Apa perbedaan inersia linier dengan inersia rotasi?
Menjawab. Sekilas, rotasi menunjukkan sifat inersia lebih jelas daripada gerak linier. Roda gila yang berputar dalam ruang hampa pada suspensi magnetik dapat bergerak selama bertahun-tahun, karena pengaruh eksternal terhadapnya diminimalkan.
Newton dalam menjelaskan hukum inersia yang ditemukannya memberikan penjelasan sebagai berikut: “Sebuah puncak, yang bagian-bagiannya karena saling menempel, saling mengalihkan perhatian dari gerak lurus, tidak berhenti berputar secara seragam, karena rotasi ini tidak diperlambat. oleh hambatan udara.” Ungkapan Newton ini membuat Anda berpikir serius tentang pertanyaan yang diajukan.
Namun, sebenarnya, gerak inersia hanya bisa seragam dan lurus. Artinya tidak mungkin ada rotasi karena inersia dalam mekanika Newton yang kita terima. Tetapi benda padat masif tetap dalam keadaan diam atau berotasi seragam sampai ia dikeluarkan dari keadaan ini oleh momen gaya luar. Oleh karena itu, sebenarnya fenomena inersia juga terjadi di sini, meski berbeda dengan kasus klasik. Apa persamaan dan perbedaan antara inersia rotasi dan inersia pada gerak lurus?
Inersia suatu titik masif (benda) hanya bergantung pada massanya. Massa adalah ukuran inersia suatu benda selama gerak translasi, termasuk gerak linier. Artinya dengan gerakan seperti itu, inersia tidak mempengaruhi distribusi massa dalam benda, dan benda tersebut dapat dengan aman dianggap sebagai titik material (masif). Massa titik ini sama dengan massa benda, dan titik tersebut terletak di pusat massa atau pusat inersia benda. Jika Anda memutar sebuah batang dengan beban besar yang dipasang di atasnya di sekitar sumbu vertikal Z (Gbr. 6), Anda akan melihat bahwa selama beban berada di dekat pusat, batang tersebut dapat dengan mudah dilepaskan. Namun jika beban digeser menjauh, maka akan semakin sulit untuk melepaskan lilitan batang tersebut, meskipun massanya tidak berubah.
Beras. 6. Skema perubahan momen inersia suatu benda.
Oleh karena itu, inersia suatu benda selama rotasi tidak hanya bergantung pada massa, tetapi lebih jauh lagi pada distribusi massa ini relatif terhadap sumbu rotasi. Ukuran inersia suatu benda selama rotasi adalah momen inersia aksial SAYA, sama dengan jumlah produk massa T semua partikel tubuh dengan kuadrat jaraknya H dari sumbu rotasi:
Momen inersia aksial memainkan peran yang sama selama gerak rotasi seperti halnya massa selama gerak translasi (lurus), dan dengan demikian merupakan ukuran kelembaman (inersia) suatu benda selama gerak rotasi.
Seperti kita ketahui, hukum inersia menetapkan kesetaraan antara diam relatif dan gerak lurus beraturan - gerak dengan inersia. Tidak mungkin untuk menentukan dengan eksperimen mekanis apa pun apakah suatu benda diam atau bergerak beraturan dan lurus. Hal ini tidak terjadi pada gerak rotasi. Misalnya, sama sekali tidak berbeda apakah puncaknya diam atau berputar beraturan dengan kecepatan sudut konstan. Sebagaimana dikemukakan oleh A. Yu.Ishlinsky, kecepatan sudut benda padat adalah besaran yang mencirikan keadaan fisiknya. Kecepatan sudut dapat diukur, misalnya, dengan menentukan deformasi elastis suatu benda, tanpa informasi apa pun tentang posisi benda tersebut dalam kaitannya dengan sistem koordinat “mutlak”. Oleh karena itu, istilah “kecepatan sudut absolut suatu benda”, berbeda dengan “kecepatan absolut suatu titik”, harus digunakan dalam arti literal (tanpa tanda kutip).
Dengan demikian, fenomena mekanis pada sistem stasioner dan sistem berputar akan berlangsung secara berbeda, belum lagi jika benda dipelintir cukup kuat maka akan terkoyak akibat tegangan yang timbul di dalamnya.
Perbedaan lainnya adalah gerak lurus beraturan dan diam adalah ekuivalen, dan rotasi, meskipun dengan kecepatan sudut konstan, dapat dibedakan dengan jelas tidak hanya dari keadaan diam, tetapi juga dari rotasi dengan kecepatan sudut yang berbeda.
Di sini patut disebutkan pandangan fisikawan Austria Ernst Mach (1838–1916), yang mempunyai pengaruh besar terhadap pembentukan prinsip kesetaraan Einstein. Mach, dengan “memilih” sistem koordinat yang sesuai, berusaha memberikan bentuk hukum mekanika sedemikian rupa sehingga tidak bergantung pada rotasi. Apa yang akan terjadi jika dia berhasil? Mari kita tempatkan pengamat yang berputar cepat pada roda gila yang diam. Maka kita dapat mengatakan bahwa, relatif terhadap pengamat, roda gila berputar dengan cepat, bahkan mungkin lebih cepat dari kekuatan yang dimungkinkannya. Namun roda gila tersebut tidak akan pecah, meskipun bagi pengamat tampaknya ada tekanan yang sangat besar yang menimpanya. Dan pengamat yang berputar itu sendiri mungkin menderita, karena selama rotasi di dalam dirinya timbul tekanan mekanis.
3.2. Pertanyaan. Apakah mungkin merumuskan hukum inersia rotasi dengan cara yang mirip dengan hukum pertama Newton?
Menjawab. Anda dapat dengan bebas merumuskan “hukum” inersia gerak rotasi sesuai dengan gambaran dan kemiripan hukum pertama Newton: “Benda tegar mutlak yang diisolasi dari momen eksternal akan mempertahankan keadaan diam atau rotasi seragam di sekitar sumbu tetap sampai momen eksternal yang diterapkan pada tubuh ini akan memaksanya mengubah keadaan ini.”
Mengapa benda itu benar-benar kokoh dan bukan benda apa pun? Karena momen inersia benda tak kaku akan berubah akibat deformasi paksa selama rotasi, dan ini setara dengan perubahan massa suatu titik menurut hukum pertama Newton.
Dalam kasus gerak rotasi, jika momen inersia tidak konstan, yang perlu diambil sebagai konstanta bukanlah kecepatan sudut, tetapi hasil kali kecepatan sudut ω dan momen inersia / - yang disebut kinetik momen KE. Dalam hal ini, “hukum” inersia rotasi akan mengambil bentuk yang lebih umum: “Sebuah benda yang terisolasi dari momen eksternal akan menjaga vektor momen kinetiknya tetap konstan.” Jika benda berputar pada sumbu tetap: “Benda yang terisolasi dari momen eksternal terhadap sumbu rotasi akan mempertahankan momen kinetik konstan terhadap sumbu tersebut.” Namun hukum-hukum ini dalam rumusan yang sedikit berbeda disebut hukum kekekalan momentum sudut.
3.3. Pertanyaan. Bumi dan Bulan berputar mengelilingi pusat massa yang sama. Apakah gaya sentrifugal bekerja pada benda langit tersebut?
Menjawab. Gagasan bahwa ketika titik-titik dan benda-benda material berputar mengelilingi suatu sumbu atau titik tetap, gaya sentrifugal (yaitu, diarahkan dari pusat rotasi) harus bekerja padanya adalah kesalahpahaman yang umum.
Misalnya, Bumi dan Bulan dipengaruhi oleh gaya gravitasi yang diarahkan satu sama lain, dan karenanya menuju pusat rotasi (Gbr. 7). Tidak ada kekuatan yang diarahkan dari pusat sama sekali di sini. Agar benda yang bergerak secara inersia, yaitu seragam dan lurus, menyimpang dari jalur ini dan mulai bergerak sepanjang kurva, benda tersebut harus dipengaruhi oleh gaya sentripetal, yaitu gaya yang diarahkan ke pusat rotasi. Ini adalah kekuatan gravitasi.
Beras. 7. Diagram gaya-gaya yang bekerja pada sistem Bumi-Bulan.
Jika titik tersebut berputar A, terikat pada suatu penyangga TENTANG pada koneksi tanpa bobot yang fleksibel - utas (Gbr. 8, A), kemudian, dengan mengabaikan gaya gravitasi (misalkan percobaan dilakukan dalam kondisi tanpa bobot), kita dapat mengatakan bahwa gaya sentripetal juga bekerja pada titik ini. Fts. Di utas itu sendiri, sebagai sambungan, dari sisi titik A ada reaksi yang diarahkan dari pusat R1 = Fc, dan dari sisi dukungan TENTANG - memaksa R2 = Fc(Gbr. 8, b). Tentang dukungan TENTANG tindakan paksa Fc, diarahkan dari pusat. Sistem gaya seimbang bekerja pada benang, yang tidak dapat mempengaruhi pergerakan titik A.
Beras. 8. Gaya-gaya yang bekerja pada benda dalam sistem berputar: A - gaya-gaya yang bekerja pada suatu titik yang berputar melingkar A dan dukungan TENTANG; B - gaya-gaya yang bekerja pada sambungan tersebut.
Dalam beberapa buku pelajaran, misalnya, untuk sekolah yang mempelajari fisika secara mendalam, secara khusus ditekankan bahwa “gaya sentrifugal inersia tidak bekerja pada semua benda di permukaan bumi”. Rumusan ini berarti bahwa gaya sentrifugal ada dan bekerja pada suatu benda. Tentu saja hal ini tidak benar.
3.4. Pertanyaan. Mengapa, ketika suatu benda berputar dengan cepat, ia mengalami tekanan mekanis dan bahkan mungkin runtuh, karena tidak ada benda lain yang bersentuhan dengannya, tidak ada medan gaya yang bekerja padanya, dan sebagainya?
Menjawab. Memang, jika percobaan rotasi, katakanlah, sebuah cincin logam dilakukan dalam kondisi tanpa bobot dan dalam ruang hampa, maka tidak ada benda lain, bahkan udara, yang akan berinteraksi dengan benda tersebut. Cincin ini dapat dipercepat oleh medan elektromagnetik yang berputar (misalnya timbul pada stator motor listrik asinkron), terutama jika cincin tersebut terbuat dari baja. Setelah percepatan selesai, apakah benda tersebut berputar bebas dengan kecepatan sudut? cincin tersebut akan mempunyai energi kinetik E:
dan akan diregangkan oleh tekanan mekanis?:
Di mana SAYA– momen inersia aksial cincin;
? – kepadatan bahan cincin;
v – kecepatan linier cincin.
Apa yang menyebabkan ketegangan ini? Kita melihat di atas bahwa sambungannya adalah sebuah utas (lihat Gambar 8, a, b) ada gaya tarik yang disebabkan oleh titik tersebut A, berputar di sekitar dukungan TENTANG. Bagaimanapun, koneksi itulah yang bertindak pada intinya A gaya sentripetal Fc, terus-menerus mematikannya dari jalur lurus alami. Dalam hal ini, massa (titik A) dan sambungan (benang tanpa bobot) dibedakan dengan jelas. Tapi kalau intinya A hilangkan, alih-alih benang, ambil benda besar - batang atau rantai - dan putar di sekitar suatu titik TENTANG, maka gambarannya akan menjadi lebih rumit.
Dalam kasus seperti itu, ketika sambungan itu sendiri memiliki massa, akan lebih mudah untuk membayangkannya sebagai sambungan (utas) tanpa bobot yang diisi dengan titik-titik masif individu (Gbr. 9).
Beras. 9. Koneksi tanpa bobot - utas yang diisi dengan massa titik.
Jika jumlah titiknya kecil, gaya sentripetal yang bekerja pada titik-titik ini mudah ditentukan: di titik 1 adalah Fts1, Pada titik 2 – jumlah dua gaya (Ft1+ Fts2), dan pada titik 3 maksimum - jumlah dari tiga gaya (Ft1+ Ft2 + Ft3). Dari sini mudah untuk beralih ke kasus ketika massa terdistribusi secara merata sepanjang ikatan.
Begitu pula dengan cincin yang berputar - jika Anda membayangkannya digantikan oleh poligon benang tak berbobot dengan beban ditempatkan di titik sudutnya. T(Gbr. 10, a), kemudian dengan memilih salah satu beban (Gbr. 10, b), kita dapat menentukan gaya-gaya Pertama, bekerja pada beban (reaksinya bekerja pada benang):
Di mana Fts = m?2R atau mv2/R, yang mengikuti rumus (2.4).
Setelah mendistribusikan beban T merata di sepanjang benang, kita memperoleh cincin besar dengan kepadatan ?, yang memiliki kekuatan ikatan (Gbr. 11). Untuk mempermudah perhitungan, kita membuang bagian bawah cincin dan melambangkannya dengan F gaya tarik yang bekerja pada sisinya pada setengah cincin atas. Mengingat pusat massa setengah lingkaran atas C terletak pada jarak 2R/? naik dari tengah TENTANG, percepatan normal pusat massa tersebut adalah:
Kami menulis hukum kedua Newton dalam proyeksi ke arah percepatan normal:
Mengingat tegangan apa? = F/S, Di mana S - luas penampang cincin, massa setengah cincin M= ??R.S. dan kecepatan linier itu ay= ?R, kami menulis dengan mempertimbangkan (3.6):
Jadi, kita memperoleh rumus (3.3).
Akibatnya, cincin yang berputar akan meregang dengan kuat F dan stres? bahkan tanpa kontak dengan tubuh lain. Dengan cara yang sama, tegangan timbul pada benda berputar dengan konfigurasi apa pun, misalnya, pada sambungan tertutup masif yang fleksibel - ikat pinggang, rantai, serta roda gila - akumulator energi kinetik.
Beras. 10. Representasi skema dari cincin yang berputar: A - poligon berputar tertutup dengan massa titik ditempatkan di titik sudut; B - gaya-gaya yang bekerja pada suatu beban.
Beras. 11. Skema penentuan tegangan pada cincin yang berputar.
3.5. Pertanyaan. Bagaimana cara mengumpulkan energi kinetik terbesar pada roda gila yang berputar?
Menjawab. Energi kinetik dari cincin bermassa tipis yang berputar T, adapun massa yang bergerak lurus sebanding dengan kuadrat kecepatan linier (melingkar):
Memang, dalam kedua kasus tersebut massa T bergerak dengan kecepatan yang sama ay. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa dalam kasus gerak lurus, tidak ada tegangan yang timbul pada benda yang bergerak, tetapi ketika cincin berputar (serta sabuk, rantai, sambungan tertutup masif datar), timbul tegangan di dalamnya yang tidak bergantung pada jari-jari cincin dan ditentukan oleh rumus ( 3.3). Akibatnya, dalam massa yang bergerak lurus, kecepatan dan energi kinetik dapat ditingkatkan tanpa batas (dalam kerangka mekanika klasik). Dalam massa yang berputar, dalam hal ini cincin, kita dibatasi secara ketat oleh kekuatan material, dan baik energi kinetik maupun tegangan pada material sebanding dengan kuadrat kecepatan kelilingnya.
Bagaimana jika itu bukan cincin, tapi benda yang bentuknya berbeda? Apakah mungkin untuk mengumpulkan energi kinetik yang lebih besar dengan kekuatan material yang sama? Untuk menganalisis masalah ini, cara paling mudah untuk mengekspresikan energi dan kekuatan melalui indikator spesifik - intensitas energi spesifik e = E/t dan kekuatan spesifik x = ?/?. Kemudian untuk flywheel yang berbentuk cincin berputar :
Untuk roda gila dengan bentuk lain, koefisien k akan mengambil nilai yang berbeda. Misalnya, untuk disk dengan lubang tengah yang sangat kecil maka akan menjadi 0,3; untuk disk tanpa lubang sama sekali - 0,6. Bentuk roda gila terbaik untuk menyimpan energi kinetik adalah piringan dengan kekuatan yang sama. Misalnya, piringan turbin uap dan gas memiliki bentuk berikut - tebal di bagian tengah dan tipis di bagian pinggir.
3.6. Pertanyaan. Mungkinkah membuat roda gila yang boros energi dengan momen inersia yang bervariasi?
Menjawab. Perangkat yang ditunjukkan pada Gambar. 6, pada prinsipnya, memungkinkan akumulasi energi kinetik dan perubahan momen inersia. Namun karena kekuatannya yang rendah, desain seperti itu akan memiliki intensitas energi spesifik yang dapat diabaikan. Jika flywheel dibuat dari karet, maka pada saat berputar momen inersianya akan bertambah, semakin besar pula kecepatan sudut flywheel tersebut. Dalam hal ini, energi potensial yang terakumulasi selama peregangan karet akan ditambahkan ke energi kinetik.
Namun yang menarik bukan pada roda gila dengan perubahan momen inersia “pasif”, tetapi pada roda gila yang indikatornya dapat diubah secara paksa. Mengapa hal ini mungkin diperlukan?
Dengan momentum sudut roda gila yang konstan, momen inersia dapat diperbesar dengan menurunkan kecepatan sudut dan sebaliknya. Contohnya adalah seorang pria dengan dumbel di tangannya pada apa yang disebut platform Zhukovsky - sebuah piringan yang dipasang pada dudukan bantalan (Gbr. 12, a, B).
Beras. 12. Pria di platform (bangku) Zhukovsky: A– dengan tangan terentang ke samping dan momen inersia yang besar; B– dengan tangan digeser ke tengah dan momen inersia minimal
Jika seseorang, berdiri di platform ini dengan tangan terentang ke samping, berputar (Gbr. 12, a), kemudian dengan membawa tangannya dengan dumbel ke tengah (Gbr. 12, b), ia mengurangi momen inersianya, sehingga secara signifikan meningkatkan kecepatan sudut. Roda gila dengan momen inersia variabel yang dapat disesuaikan dapat memberikan hampir semua kecepatan sudut yang dibutuhkan oleh bagian kerja mesin, misalnya roda mobil.
3.7. Pertanyaan. Apa akibat yang timbul dari penggantian kerangka acuan inersia dengan kerangka acuan noninersia, misalnya kerangka acuan berputar?
Menjawab. Setiap gerak relatif suatu benda dalam kerangka acuan berputar dapat dikaitkan dengan gerak benda yang persis sama relatif terhadap sistem koordinat inersia. Tetapi untuk korespondensi seperti itu, perlu untuk mereproduksi tidak hanya gaya-gaya nyata yang bekerja pada benda asli, tetapi juga untuk menambahkan gaya-gaya baru yang sesuai dengan gaya inersia Euler dalam gerak relatif benda asli. Gaya inersia Euler didefinisikan di sini sebagai gaya nyata yang bekerja pada suatu benda, dengan asumsi bahwa kerangka acuan yang bergerak secara konvensional dianggap sebagai kerangka acuan yang diam. Misalnya, jika kita menganggap bus yang berbelok sebagai bus yang diam, maka kita harus menganggap gaya sentrifugal yang bekerja pada belokan itu sebagai gaya nyata.
Jadi, jika kita menghubungkan sistem koordinat bergerak dengan Bumi, maka percepatan suatu titik di Bumi dalam sistem “mutlak” - percepatan nyata - akan menjadi jumlah vektor dari tiga percepatan: relatif, portabel, dan Coriolis (dinamai menurut nama Mekanik Perancis abad ke-19 Gustav Coriolis), yang terjadi ketika sistem koordinat bergerak berputar. Dengan percepatan Coriolis dan gaya Coriolis yang sesuai inilah “keajaiban” mulai terjadi, serupa dengan yang terjadi dengan gaya inersia d'Alembert. Mereka mulai dianggap benar-benar ada, tindakan yang sesuai dikaitkan dengan mereka, dll.
Di sini kita harus ingat dengan tegas bahwa baik gaya transfer maupun gaya inersia Coriolis adalah gaya yang tidak nyata, mereka hanya bergantung pada pilihan sistem koordinat dan tidak mencerminkan interaksi suatu titik tertentu dengan titik lain. Gaya-gaya ini tidak mempunyai reaksi, yang menurut hukum ketiga Newton, harus dimiliki oleh setiap gaya. Kekuatan inersia, apa pun bentuknya, selalu tidak nyata; dan Anda tidak dapat mempercayainya, meskipun buku teks mengatakan bahwa mereka “bertindak” terhadap sesuatu (lihat pertanyaan 3.3). Gaya-gaya ini, dalam ungkapan kiasan fisikawan terkenal Richard Feynman, adalah “gaya semu”.
3.8. Pertanyaan. Apakah mungkin untuk mendefinisikan gaya inersia Euler tidak secara formal, tetapi berdasarkan esensi fisik dari fenomena tersebut?
Menjawab. Itu mungkin, meski membutuhkan imajinasi. Mari kita pertimbangkan badan tambahan, yang sepenuhnya identik dengan badan utama. Biarkan benda bantu ini melakukan gerakan yang persis sama dalam kaitannya dengan sistem koordinat “mutlak” yang dipilih secara sewenang-wenang seperti yang dilakukan benda utama dalam kaitannya dengan sistem koordinat non-inersia yang dipilih. Jadi, gaya fisik yang sama bekerja pada semua titik benda bantu seperti pada benda utama. Namun, agar pergerakan benda bantu relatif terhadap sistem koordinat “mutlak” mengulangi secara tepat pergerakan benda utama relatif terhadap sistem koordinat non-inersia, maka perlu diterapkan gaya tambahan pada sistem bantu, di tambahan untuk semua kekuatan fisik sistem utama. Karena gerak dianggap dalam kaitannya dengan kerangka acuan inersia yang “mutlak”, maka ini hanya dapat berupa gaya fisik. Jelasnya, gaya-gaya tersebut bersesuaian persis dengan gaya inersia Euler.
Dengan demikian, gaya inersia Euler sama dengan gaya fisik yang harus ditambahkan ke gaya fisik asli untuk secara akurat mereproduksi gerak relatif suatu benda sebagai gerak absolut, yaitu dalam kerangka acuan inersia.
3.9. Pertanyaan. Jika gaya inersia Coriolis tidak nyata, bagaimana bisa menyebabkan erosi tepian sungai? Apa efek giroskopiknya?
Menjawab. Erosi tepian sungai dapat dijelaskan secara kualitatif tanpa menggunakan kerangka acuan bergerak, gaya inersia Euler, dan asumsi lainnya.
Diketahui bahwa tepi kanan sungai yang mengalir di belahan bumi utara tersapu bersih. Mari kita lihat Bumi dari atas dari Kutub Utaranya. Mari kita bayangkan secara sederhana bahwa sungai, yang bermula dari garis khatulistiwa, mengalir langsung ke utara, melintasi Kutub Utara dan juga berakhir di garis khatulistiwa, tetapi di sisi yang lain. Air pada sungai yang terletak di garis khatulistiwa mempunyai kecepatan yang sama dari arah barat ke timur dengan tepiannya (bukan kecepatan aliran sungai, melainkan kecepatan air bersama dengan tepian dan dengan bumi). Dengan rotasi harian Bumi, kecepatannya sekitar 0,5 km/s. Saat Anda mendekati kutub, kecepatan pantai berkurang, dan di kutub itu sendiri kecepatannya nol. Tetapi air di sungai “tidak mau” mengurangi kecepatannya - ia mematuhi hukum inersia. Dan kecepatan ini diarahkan searah rotasi bumi - dari barat ke timur. Maka air mulai “menekan” tepian timur sungai, yang ternyata berada di sisi kanan aliran. Setelah mencapai kutub, air di sungai akan kehilangan kecepatannya sepenuhnya dalam arah “lateral”, karena kutub merupakan titik diam di Bumi. Namun sungai tersebut kini terus mengalir ke selatan, dan tepiannya berputar lagi dari barat ke timur dengan kecepatan yang semakin meningkat saat mendekati garis khatulistiwa. Tepian barat mulai “menekan” air di sungai, mempercepatnya dari barat ke timur, dan air, menurut hukum ketiga Newton, “menekan” tepian ini, yang kebetulan berada di sisi kanan aliran. .
Di belahan bumi selatan, yang terjadi justru sebaliknya. Jika Anda melihat Bumi dari Kutub Selatan, bumi berputar ke arah yang berbeda. Siapa pun yang memiliki globe dapat memeriksanya. Berikut hukum Baer, yang diambil dari nama naturalis Rusia Karl Baer (1792–1876), yang memperhatikan ciri sungai ini.
Dan di sini tidak jauh dari penjelasan efek giroskopik secara umum. Mari kita lanjutkan sungai kita lebih jauh dan gunakan untuk menggambarkan lingkaran setan di permukaan bumi. Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa seluruh bagian utara sungai, yang terletak di Belahan Bumi Utara, akan cenderung ke kanan, dan seluruh bagian selatan - ke kiri. Itu saja penjelasan tentang efek giroskopik, yang mungkin dianggap paling sulit dalam mekanika teoretis!
Jadi, sungai kita adalah sebuah cincin besar atau roda gila yang berputar searah dengan aliran sungai. Jika roda gila ini diputar searah rotasi bumi, maka seluruh bagian utaranya akan menyimpang ke kanan, dan bagian selatan akan menyimpang ke kiri (Gbr. 13). Dengan kata lain, flywheel akan berputar sedemikian rupa sehingga putarannya bertepatan dengan arah putaran bumi! Ini adalah manifestasi kualitatif dari efek giroskopik.
Beras. 13. Skema rotasi roda gila yang “melilit” Bumi.
3.10. Pertanyaan. Efek giroskopiknya disebut-sebut bisa menjaga sepeda agar tidak terjatuh. Apakah begitu?
Efek giroskopik adalah terjadinya momen ketika dilakukan upaya untuk memutar secara paksa sumbu benda yang berputar. Namun kami belum menentukan besarnya momen giroskopik. Saat memutar sumbu roda sepeda, momen ini sama dengan hasil kali momen inersia roda dan kecepatan sudut putarannya dan putaran sumbunya (presesi paksa). Untuk mempermudah, kita putuskan bahwa massa roda adalah 2 kg, jari-jarinya 0,25 m dan, oleh karena itu, momen inersia, kira-kira sama dengan hasil kali massa dan kuadrat jari-jari, sama dengan 0,125 kg? m2. Seorang pengendara sepeda dengan tenang bermanuver dengan kecepatan 1 m/s, dan roda berputar dengan kecepatan sudut 4 rad/s. Kecepatan sudut putaran sumbu roda 20 kali lebih kecil dan kira-kira 0,2 rad/s. Hasilnya, kita memperoleh momen giroskopik sebesar 0,1 N?m. Sama halnya dengan menggantungkan beban seberat 1 kg pada ujung paku yang hanya menonjol 1 cm dari dinding, kecil kemungkinan momen sekecil itu dapat mengubah apapun dalam pergerakan sepeda.
Pada saat yang sama, seorang pengendara sepeda yang berbelok hanya 10 cm dari garis lurus, jika tidak condong ke arah belokan, akan menimbulkan momen guling yang sama dengan beratnya ditambah kira-kira setengah berat sepeda dikalikan 0,1 m. , yang mencapai sekitar 100 N?m. Momen ini seribu kali lebih besar dari momen giroskopik! Dengan cara ini, dengan condong ke tengah belokan, pengendara sepeda tetap menjaga stabilitas.
Omong-omong, jika kita berbicara tentang kendaraan “monorel” khusus yang menjaga keseimbangan secara tepat berkat roda gila yang besar dan berputar cepat, maka efek giroskopik sangat membantu di sini. Dengan menghasilkan presesi paksa (rotasi sumbu) roda gila dengan momen kinetik yang besar, kita menyebabkan momen giroskopik yang sangat besar yang menahan mesin multi-ton pada posisi vertikal. Misalnya, dengan momen inersia roda gila sebesar 100 kg?m2 (kira-kira sebesar roda dari gerbong penumpang kereta api), kecepatan sudut sebesar 600 rad/s dan presesi paksa yang sama seperti sebelumnya sebesar 0,2 rad/s, momen giroskopik akan sama dengan 12 kN?m, yang setara dengan beban 1,2 ton yang digantung pada lengan sepanjang 1 m.Momen sebesar itu tidak hanya dapat menstabilkan kendaraan berat, tetapi juga menghancurkan bantalan roda gila yang berputar cepat. Oleh karena itu, kemungkinan terjadinya momen giroskopik harus selalu diperhitungkan saat menghitung bantalan.
3.11. Pertanyaan. Jika Anda menembakkan meriam secara vertikal ke atas, apakah pelurunya akan jatuh kembali ke dalam laras meriam?
Menjawab. Masalah ini menghantui mekanika abad ke-19. Tentu saja proyektil akan jatuh kembali ke dalam laras jika semuanya terjadi dalam kerangka acuan absolut. Namun dalam kehidupan nyata, yaitu di Bumi yang berotasi, segalanya akan berbeda. Biasanya masalah ini dipertimbangkan dengan transisi ke kerangka acuan yang berputar, yang sangat memperumitnya, setidaknya dalam istilah matematika. Mari kita coba di sini untuk mempertimbangkan hanya sisi kualitatif dari masalah ini dalam kerangka acuan inersia.
Misalkan, di garis lintang Moskow, sebuah titik masif jatuh dalam ruang hampa dari sebuah menara setinggi 100 m Bumi berputar dari barat ke timur, dan pada saat jatuhnya titik tersebut memiliki kecepatan keliling yang lebih besar dari permukaan bumi. , karena letaknya jauh dari pusatnya. Saat jatuh, titik tersebut mempertahankan kecepatan kelilingnya, dan titik tersebut akan bersentuhan dengan Bumi, bergerak menuju kecepatan berlebih, yaitu ke timur. Perhitungan menunjukkan bahwa perpindahan ini kecil - hanya 1,2 cm.
Sekarang mari kita menembakkan proyektil titik secara vertikal ke atas. Pada saat tembakan - di permukaan bumi - kecepatan keliling suatu titik lebih kecil daripada di ketinggian. Oleh karena itu, jika naik ke atas, titik tersebut akan melenceng ke barat. Titik tersebut akan menghabiskan waktu yang sangat lama di zona atas penerbangannya, karena kecepatan vertikal di sana rendah, sehingga jalur yang ditempuh ke barat akan cukup panjang. Dalam perjalanan pulang, titiknya juga akan melenceng ke barat, meski sekarang semakin lambat. Dengan demikian, ia akan jatuh di sebelah barat moncong meriam.
Ngomong-ngomong, dengan memiringkan laras meriam sedikit ke timur, pada prinsipnya Anda dapat memastikan bahwa proyektil, ketika jatuh, menyentuh moncong meriam lagi; tetapi pada kenyataannya, terutama dengan mempertimbangkan pengaruh atmosfer, hal ini tidak mungkin dilakukan - tugas ini murni teoretis.
Tentu saja, seluruh perhitungan dapat dilakukan secara akurat, dan tanpa menggunakan gaya Coriolis fiktif. Namun sebagian besar ahli mekanik percaya bahwa dengan menempatkan senjata kita dalam sistem koordinat rotasi relatif dan memperkenalkan gaya Coriolis fiktif, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih singkat dan sederhana. Sekalipun demikian, maka kita tidak akan kehilangan hal utama - perasaan akan realitas apa yang terjadi, yang memainkan peran penting dalam fisika!
Gerakan paling sederhana dari benda tegar adalah rotasi pada sumbu tetap: benda dipasang pada suatu sumbu, yang posisinya dalam ruang ditentukan oleh bantalan. Posisi benda ditentukan oleh satu parameter - sudut rotasi lih. Laju perubahan sudut ini terhadap waktu ω = d(p/d/ disebut kecepatan sudut rotasi benda. Semua titik pada benda bergerak melingkar dengan kecepatan v = selatan, di mana G- jarak dari titik ke sumbu rotasi.
Mari kita pecahkan tubuh menjadi elemen-elemen kecil, Pada.- massa elemen ke-i, g - jaraknya ke sumbu. Kecepatan elemen ini adalah v, = c atau.. Kami memiliki (lihat rumus (2.43)):
Di Sini Fxt- gaya luar tangensial yang bekerja pada elemen, AF.- kekuatan internal tangensial. Mari kalikan persamaan (3.102) dengan g hal Mari kita nyatakan kecepatan suatu elemen melalui kecepatan sudut dan jumlahkan persamaan yang dihasilkan untuk semua elemen. Kita mendapatkan
Jumlah di sisi kiri persamaan ini
ditelepon momen inersia benda terhadap sumbu tertentu, jumlah pertama di sisi kanan
ditelepon momen gaya luar relatif terhadap sumbu tertentu.
Catatan. Kontribusi pada saat ini hanya berasal dari komponen tangensial gaya luar, yaitu proyeksi gaya ke garis singgung lingkaran pada titik penerapan gaya. Artinya gaya-gaya yang diarahkan sepanjang tegak lurus sumbu atau sejajar sumbu tidak menyumbang momen.
Jumlah kedua di ruas kanan (3,103) sama dengan nol (gaya dalam tidak mempengaruhi putaran benda pada porosnya). Jadi, kita dapatkan persamaan gerak benda tegar pada sumbu tertentu:
Besaran e = ~ disebut percepatan sudut.
Catatan. Persamaan (3.106) adalah skalar. Namun, tanda-tanda besaran yang termasuk dalam persamaan harus diperhitungkan. Hal ini dilakukan sebagai berikut: kita mengatur (secara sewenang-wenang) arah positif dari sudut rotasi; momen gaya yang memutar benda ke arah positif ditulis dengan tanda plus, sebaliknya - dengan tanda minus.
Soal 3.24. Disk homogen dengan radius R dapat berputar mengelilingi sumbu horizontal yang melalui pusatnya. Luka pada disk
benang yang ujungnya diberi gaya F. Benang terlepas dari disk di bawah pengaruh gaya ini (Gbr. 3.5). Tentukan panjang benang yang terlepas dari disk pada waktu /.
Larutan. Jika piringan berputar membentuk sudut d
Rdtp. Dari sini
seutas benang dengan panjang ds = /?d akan muat
Masalahnya adalah menemukan sudut di mana disk akan berputar dalam waktu /. Mari kita beralih ke persamaan (3.106). Gaya tegangan benang bekerja pada piringan pada titik di mana benang meninggalkan piringan. Jika massa benangnya adalah
nol, gaya ini sama dengan gaya F. Gaya ini bersifat tangensial, dan momennya terhadap sumbu rotasi sama dengan A/= Perancis. Persamaannya menjadi
catatan. Persamaan (3.106) dalam struktur matematisnya identik dengan hukum kedua untuk gerak satu dimensi suatu partikel (seorang matematikawan akan mengatakan bahwa persamaan tersebut identik hingga notasi), oleh karena itu metode penyelesaian persamaan ini (hingga notasi) sama seperti pada bagian 2.2.8.
karena kecepatan sudut awal adalah nol. Lebih jauh,
Kami menemukan sudut rotasi disk sebagai fungsi waktu. Ini adalah contoh gerak rotasi dipercepat beraturan.
Sumbu putaran piringan bertepatan dengan salah satu sumbu utama, jadi
/ = /, = Tn 72.
Soal 3.25. Disk dari soal sebelumnya berputar dengan inersia, kapan T= 0 kecepatan sudutnya sama dengan co(0). Piringan ditindaklanjuti dengan momen gaya gesek (terhadap udara), sebanding dengan kecepatan: M= mata. Berapa kecepatan disk pada waktu /?
Larutan. Kami menulis:
Dengan demikian,
(Adalah berguna untuk membandingkan ini dengan solusi pada Soal 2.30.)
Soal 3.26. Berapa banyak putaran yang akan dilakukan disk dari soal sebelumnya pada saat itu P
Larutan. Masalahnya, tentu saja, waktu terjadinya satu revolusi berbeda-beda. Kecepatan tidak(t)= (ср(г) - ф(0))/2я, dan hasilnya adalah mencari sudut rotasi dalam waktu T. Kami menulis:
yang memecahkan masalah. Periksa: untuk kecil /, perbesar eksponensial, kita peroleh
kita peroleh, dengan asumsi / -»: Df = co(0)-.
Komentar. Solusi untuk kecepatan sudut yang diperoleh pada Soal 3.25 tidak sepenuhnya sesuai dengan kenyataan: menurut solusi ini, kecepatan sudut cenderung nol secara asimtotik, tetapi, jelas, piringan akan benar-benar berhenti setelah jangka waktu tertentu. Ini berarti bahwa hukum momen gaya gesekan yang diterima dilanggar pada kecepatan sudut yang cukup rendah. Namun, hasil sudut putaran penuh masuk akal (mengapa?)
Mari kita kembali ke persamaan (3.106). Kalikan persamaan ini dengan co = dtp/d T. Kita mendapatkan
Fr.i1F t ds., tetapi ini adalah jumlah usaha yang dilakukan oleh semua gaya luar ketika benda berputar membentuk sudut dtp. Dari hukum kekekalan energi (lihat rumus (3.30)) maka persamaan dalam tanda kurung di sebelah kiri (3.107) adalah energi kinetik benda padat yang berputar (karena jarak antar partikel benda padat tersebut adalah tidak berubah, energi potensial internal benda padat adalah konstan dan gaya-gaya internal tidak melakukan kerja). Dari rumus (3.107) kita peroleh
Perubahan energi kinetik benda yang berputar sama dengan kerja gaya luar. Ini adalah kasus khusus dari hukum kekekalan energi. Dalam hal ini, energi kinetik benda tegar yang berputar di sekitar sumbu tetap, sama dengan
kerja kekuatan eksternal
Soal 3.27. Ke disk dari soal 3.24, berputar dengan sudut
kecepatan dengan, tekan dengan kekuatan F Pedal Rem. Berapa putaran yang dilakukan disk sebelum berhenti? Koefisien gesekan antara cakram dan bantalan Ke.
Larutan. Dengan analogi penyelesaian Soal 3.25, seluruh kinematika gerak piringan dapat ditemukan, namun jawaban atas pertanyaan yang diajukan dapat langsung diberikan berdasarkan rumus (3.108). Piringan tersebut dikenai gaya gesek /^ (gaya tangensial!) dengan momen M= - kFR. Tidak ada momen lain. Kita punya:
Soal 3.28. Roda gila yang berputar adalah contoh perangkat penyimpan energi mekanik. Perkirakan berapa kecepatan sudut yang Anda perlukan untuk memutar piringan dengan radius R= 0,3 m dan massa 100 kg, sehingga karena energi tersebut mobil dapat menempuh jarak 20 km.
Larutan. Kita asumsikan mobil dengan tenaga mesin 80 hp. s., atau 60 kW, menempuh jarak ini dalam 20 menit. Mesinnya bekerja A = tidak. Jika usaha dilakukan karena energi roda gila, maka
Mengganti angka-angkanya, kita mendapatkan
atau 900 rp. (Mobil dengan sumber energi seperti itu telah diuji secara praktis.)
Mari kita kembali ke persamaan (3.106) lagi. Seperti yang telah kita lihat, persamaan ini memungkinkan kita untuk menentukan seluruh kinematika gerak suatu benda pada sumbu tetap. Timbul pertanyaan: apakah persamaan ini memungkinkan kita menjawab semua pertanyaan yang terkait dengan gerakan tersebut, dan apa hubungannya persamaan ini dengan persamaan tersebut?
Jawaban atas pertanyaan pertama adalah negatif. Persamaan tersebut hanya memperhitungkan momen gaya-gaya yang memutar benda pada suatu sumbu (terletak pada bidang yang ortogonal terhadap sumbu sehingga garis kerjanya tidak melalui sumbu). Persamaan tersebut tidak memungkinkan kita untuk menentukan gaya-gaya yang bekerja pada sumbu.
Adapun jawaban atas pertanyaan kedua, kami tegaskan sekali lagi bahwa gerak suatu benda tegar ditentukan oleh hukum
Di Sini V- kecepatan pusat massa; ?„ - momentum sudut intrinsik (relatif terhadap pusat massa); ditentukan oleh rumus (3.86), M 0- momen gaya relatif terhadap pusat massa. Energi kinetik suatu benda ditentukan dengan rumus (3.99). Ini hukum fundamental (selalu adil). Mari kita terapkan rumus-rumus ini pada kasus yang sedang dipertimbangkan.
Mari kita pilih asal koordinat di suatu titik pada sumbu rotasi.
Membiarkan R- vektor jari-jari pusat massa benda dan l - vektor satuan sepanjang sumbu rotasi, searah dengan vektor
kecepatan sudut. Kita mempunyai: co = lo>, |k| = |wxl| = aso, dimana A - jarak dari sumbu rotasi ke pusat massa.
Energi kinetik tubuh
(Persamaan terakhir diperoleh berdasarkan rumus (3.109).) Jika A - 0 (sumbu melewati pusat massa),
dimana / 0 - momen inersia suatu benda terhadap sumbu yang melalui pusat massa.
Besarnya aku? 0 adalah proyeksi momentum sudut benda pada sumbu rotasi. Dari rumus (3.113) kita peroleh
Kembali ke rumus (3.112), dengan memperhitungkan (3.114) kita akan mendapatkan
Dari sini kita menemukan hubungan antara momen inersia terhadap sumbu tertentu dan sumbu yang sejajar dengannya, melewati pusat massa:
(yang disebut teorema Steiner).
Mari kita lihat momentum sudutnya. Mari kita pilih titik asal koordinat sumbu rotasi pada titik potong sumbu dengan bidang tempat pusat massa berputar (ini tidak perlu, tetapi membuat analisis lebih mudah). Kita punya:
Suku pertama di sisi kanan (momentum orbital) memberikan vektor yang diarahkan sepanjang sumbu rotasi: bagian 2a>. Momentum sudut intrinsik 
atau, mengingat co = kedelai,
Vektor basis berputar bersama benda, jadi, misalnya, cl/ _ r
mer, - = co x /, oleh karena itu
(diperhitungkan bahwa th adalah vektor konstan dan dn/dt= 0). Hasil ini berarti bahwa komponen-komponen vektor d adalah konstan, dan ini, pada gilirannya,
berputar, berarti (menurut rumus (3.117)) bahwa vektor Z 0 berputar bersama benda dan berubah terhadap waktu, meskipun kecepatan sudut rotasi benda adalah konstan (vektor Z 0 menggambarkan permukaan kerucut, sumbu dari yang ditentukan oleh vektor d). Dari rumus (3.117) kita peroleh
(Ingatlah bahwa untuk vektor apa pun yang “dibekukan” menjadi suatu benda, ^ = c oh ha.)
Persamaan pertama (3.111) akan berbentuk
(asal titik pusat lingkaran |l| = A, di mana pusat massa bergerak), yang kedua -
Kedua persamaan ini menentukan gaya dan momen gaya yang bekerja pada benda yang berputar pada sumbu tetap. Jika suatu benda berputar dengan kecepatan sudut konstan dan tidak ada gaya, kecuali gaya dari sumbu, yang bekerja padanya, rumus (3.119) dan (3.120) menentukan gaya dan momen gaya yang bekerja pada benda dari sumbu, dan diambil dengan tanda berlawanan - dari sisi tubuh ke sumbu. Persamaan pertama memberikan “gaya sentrifugal” yang diarahkan tegak lurus terhadap sumbu. Jika sumbu melewati pusat massa, maka gayanya nol. Yang kedua mengambil bentuk
Kita melihat bahwa vektor momen gaya diarahkan tegak lurus terhadap bidang di mana sumbu rotasi dan momen momentum berada, dan berputar bersama dengan benda. Momen ini cenderung memutar sumbu pada bidang ortogonal terhadap momen gaya, dan harus dikompensasi oleh gaya pada bantalan yang menahan sumbu. Momen ini akan hilang jika sumbu rotasi dan vektor momentum sudut sejajar, dan hal ini hanya mungkin terjadi jika sumbu rotasi sejajar dengan salah satu sumbu utama tensor inersia. Dalam teknologi, masalah keseimbangan roda gila yang berputar cepat sangatlah penting.
Beralih ke rumus (3.116), kami menulis
Mengalikan persamaan ini secara skalar dengan vektor H dan dengan memperhatikan rumus (3.114), (3.115), kita memperoleh
Jadi, besaran yang muncul di ruas kiri persamaan (3,106) adalah proyeksi momentum sudut total pada sumbu rotasi benda. Maka sisi kanan persamaan ini adalah proyeksi yang lengkap
momen gaya pada sumbu rotasi: M= saya M(ini bisa diverifikasi secara langsung). Jadi, persamaan (3.106) yang diturunkan di awal paragraf ini hanyalah konsekuensi dari persamaan fundamental
kesimpulan
Kinematika rotasi benda tegar pada sumbu tetap ditentukan oleh rumus (3.106). Momen inersia terhadap sumbu ditentukan oleh rumus (3.105) dan dihubungkan secara kompleks dengan tensor inersia. Momen gaya terhadap sumbu (rumus (3.105)) adalah proyeksi momen gaya pada sumbu rotasi. Energi kinetik suatu benda yang berputar pada sumbu tetap ditentukan oleh rumus (3.109), yang merupakan konsekuensi dari rumus umum (3.9). Gaya-gaya yang bekerja pada sumbu dapat dicari dari rumus (3.111).
Catatan. Penting untuk membedakan antara konsep "momen impuls dan gaya relatif terhadap sumbu" dan sekadar "momen...". Yang pertama besaran skalar, yang kedua besaran vektor. Untuk menentukan yang pertama, Anda perlu menentukan sumbu, untuk yang terakhir, sebuah titik.
Soal 3.29. Benda tegar dapat berputar pada sumbu horizontal yang tidak melalui pusat massa. Momen inersia benda terhadap sumbu /, jarak sumbu ke pusat massa /, massa benda T. Benda menyimpang dari posisi setimbangnya sebesar suatu sudut 
Larutan. Sumbu X- sumbu horisontal pada- vertikal ke bawah, pusat massa bergerak pada bidang xOu, sumbu rotasi melewati titik asal, R- vektor radius pusat massa, R dan sumbu kamu. Benda dikenai gaya: dari sumbu F dan gaya gravitasi. Ketika benda dibelokkan dengan sudut M = -wg/sincp (di sini / adalah jarak sumbu ke pusat massa). Persamaan (3.106) menjadi
Persamaan ini, hingga notasinya, identik dengan persamaan (2.149) dan dapat diselesaikan dengan cara yang persis sama (lakukan ini). Untuk sudut defleksi kecil yang kita peroleh
Ini adalah osilasi harmonik.
Soal 3.30. Pendulum adalah piringan dengan jari-jari /?, massa T pada batang tak berbobot yang panjangnya /. Bidang piringan berada pada bidang ayunan pendulum. Bagaimana pendulum seperti itu bisa bergerak dengan sudut defleksi yang kecil?
Larutan. Rumus (3.123) memberikan jawabannya, tetapi momen inersia sistem ini terhadap sumbu rotasi perlu ditentukan. Sumbu rotasi sejajar dengan salah satu sumbu utama piringan dengan momen inersia terhadap sumbu ini /. = - ya 2. Nilai ini akan sama dengan momen inersia sistem / 0 terhadap sumbu yang melalui pusat massa. Kita mencari momen inersia pendulum menggunakan teorema Steiner: / = / n + ta 2 = tYa 2 /2 + m(l + saya / 2) Nilai ini harus disubstitusikan ke dalam rumus (3.123). Alih-alih / dalam rumus ini, Anda perlu mengganti /+ SAYA/ 2.
Soal 3.31. Apakah hasil soal sebelumnya akan berubah jika piringan diputar sehingga bidangnya tegak lurus terhadap bidang ayunan pendulum?
Menjawab. Akan berubah. Dalam hal ini, sumbu rotasi sistem sejajar dengan sumbu utama piringan lainnya dengan momen inersia lebih kecil (setengah).
Soal 3.32. Bagaimana penyelesaian soal 3.30 berubah jika kita memperhitungkan massa batang /i?
Larutan. Momen inersia terhadap suatu sumbu merupakan besaran tambahan: momen inersia suatu benda sama dengan jumlah momen inersia bagian-bagiannya. Oleh karena itu, pada momen inersia piringan yang terdapat pada Soal 3.30, perlu ditambahkan momen inersia batang terhadap sumbu yang melalui ujungnya tegak lurus batang. Sumbu ini sejajar dengan salah satu sumbu utama batang dengan momen /2=/3= ml 2/12. Dengan menggunakan teorema Steiner, kita mengetahui bahwa momen terhadap ujung batang akan sama dengan ml 2 /3.
Soal 3.33. Pada kondisi soal 3.29, tentukan gaya yang bekerja pada sumbu bandul.
Larutan. Ada dua gaya luar yang bekerja pada pendulum: Fx dari sumbu dan gravitasi mg. Kita punya (untuk notasi lihat Soal 3.29):
Persamaan (3.119) menjadi
Penyelesaian Soal 3.29 menunjukkan bahwa - = 1 -sintp.
Itu turun untuk menemukan kecepatan sudut. Mari kita beralih ke hukum kekekalan energi. Jelas bahwa dengan tidak adanya gaya gesekan, yang tidak kita perhitungkan, energi mekanik sistem akan kekal: Wk + Wn= konstanta. Energi potensial W n - itu energi
pendulum di bidang gravitasi. Kita punya: R= /7 sintp + jl biaya,
Hukum kekekalan energi memberikan persamaannya
(di sebelah kanan adalah energi awal sistem). Dari sini
Kami menemukan kecepatan sudut sebagai fungsi dari posisi pendulum. Kembali ke rumus (3.124) untuk gaya, kita peroleh
Ini adalah gaya yang bekerja pada sumbu pendulum. Kita melihat bahwa komponen gaya horizontal bukan nol, tetapi sama dengan nol pada posisi setimbang. Komponen vertikal maksimum pada posisi setimbang. Jelaslah bahwa pendulum matematika (titik material di ujung batang tak berbobot) adalah kasus khusus dari sistem yang dipertimbangkan. Dengan asumsi /= ml 2, kita mendapatkan hasil untuk pendulum matematika.
Soal 3.34. KE bersandar pada dinding vertikal adalah sebuah papan dengan panjang 1/2 dan massa T. Pada suatu saat T= 0 papan mulai jatuh. Temukan gaya yang bekerja pada ujung penyangga papan.
massa papan bergerak dalam bidang xOy, R=/-jsin
vektor jari-jari pusat massa (
- - g dtp g
- (HAI = -k- =-xo. Kekuatan eksternal bekerja di papan: F ke bawah pada
akhir dan gravitasi mg di pusat massa. Persamaan (3.119) menjadi
Kecepatan sudut, seperti pada soal sebelumnya, dapat dicari dari hukum kekekalan energi:
(Diperhitungkan bahwa momen inersia papan, seperti batang tipis,
tt 1 gram
sama SAYA = -^-.)
Untuk menentukan percepatan sudut perlu mengacu pada persamaan (3.106). Pusat massa papan yang diberi gaya gravitasi bergerak melingkar, komponen tangensial gaya gravitasi sama dengan /ngsin
sumbu M =-^-sincp, tidak ada poin lainnya. Dengan demikian, Persamaan (3.126) menjadi
dimana m adalah vektor garis singgung satuan terhadap lintasan pusat massa. Substitusikan ini ke dalam rumus (3.127) dan selesaikan persamaan gaya yang dihasilkan, kita peroleh
Ini adalah gaya yang bekerja pada ujung bawah papan. Komponen gaya horizontal pada
kemudian mulai berkurang, dan kapan
Ini berarti papan kemudian kehilangan kontak dengan dinding, dan pada sudut yang besar solusinya salah. (Jika ujung bawah papan berengsel, solusinya akan benar pada sudut mana pun.) Selain itu, analisis numerik menunjukkan bahwa komponen vertikal gaya pada suatu sudut
Vladimir.erashov.rf
Pertama, kita merumuskan kesatuan hukum inersia, yang berlaku untuk semua benda dan semua jenis gerak:
Keadaan kinematik benda selanjutnya berbeda dari keadaan sebelumnya hanya jika, dalam periode antar keadaan, gaya eksternal atau momen gaya baru mulai bekerja pada benda dan hanya berbeda dalam besarnya respons benda terhadap efek ini.
Dengan hukum ini kita tidak membuka halaman baru dalam kinematika benda; hukum ini diperoleh berdasarkan hukum Newton, namun dengan gerak kompleks suatu benda, hukum ini membantu menyederhanakan tugas menggambarkan gerak ini. Kami melanjutkan dari fakta bahwa dalam keadaan kinematik sebelumnya, tidak peduli gaya apa yang bekerja pada benda, ia telah merespons aksi gaya-gaya ini dan akan terus bergerak sesuai dengan hukum yang diperoleh. Misalnya, pada keadaan awal, percepatan bekerja pada benda A , tubuh di bawah pengaruh percepatan ini memperoleh kecepatan v, tetapi percepatannya terus berlanjut hingga keadaan berikutnya. Ini berarti bahwa tubuh akan meningkatkan kecepatan antar negara bagian secara besar-besaran pada. Jika percepatan tambahan muncul di antara negara-negara bagian, maka cukup dengan memaksakan pengaruhnya pada hasil yang diperoleh sebelumnya, yaitu memanfaatkan independensi aksi gaya-gaya. Benang utama dari kesatuan hukum inersia adalah jika tidak ada perubahan gaya-gaya yang bekerja antar keadaan, maka tidak ada perubahan dalam hukum gerak benda, seperti dalam kehidupan, hari berikutnya dirangkai dengan hari sebelumnya. Jika kemarin Anda tidak memiliki uang sepeser pun di jiwa Anda, maka hari ini Anda akan bangun tanpa uang sepeser pun. Jika kemarin Anda melakukan perjalanan laut yang jauh dengan kapal pesiar, maka hari ini Anda akan terbangun di kapal pesiar. Kalau bajumu bersih, berarti ada yang mencucinya. Tidak ada setitik debu atau sehelai rambut pun yang akan rontok dengan sendirinya, pasti ada alasannya (baca semacam paksaan). Jika sebelum rotasi sumbu utama inersia suatu benda tegak lurus terhadap permukaan bumi dan diam relatif terhadap permukaan tersebut, maka setelah berputar benda tersebut akan diam relatif terhadap bumi, seperti sebelumnya (dalam kasus stabil). rotasi, jika rotasi tidak stabil, gaya tertentu bekerja pada benda). Perubahan keadaan suatu benda dapat terjadi, tetapi hanya di bawah pengaruh gaya atau momen gaya tertentu dan tidak ada yang lain.
Untuk mempermudah memahami cara kerja hukum yang dirumuskan, dan bahkan mencoba memperoleh manfaat praktis dari hukum ini, mari kita perhatikan contoh spesifik - ini adalah Bumi kita yang berputar dan benda-benda di permukaannya.
Yang pertama, mari kita perjelas, bertindak di Bumi Hukum gravitasi universal Newton , jadi bentuknya bulat seperti bola.
Kedua, Bumi terkena percepatan sentrifugal dari rotasi; di bawah pengaruh percepatan ini, Bumi berbentuk geoid rotasi. Mari kita perjelas bahwa sifat geoid Bumi adalah bahwa pada titik mana pun di permukaan bumi, benda apa pun tetap tidak bergerak (meskipun ia mampu bergerak bebas) karena gaya yang dihasilkan yang bekerja pada benda dari gaya tersebut. gravitasi dan gaya inersia sentrifugal diarahkan tegak lurus terhadap permukaan dan diimbangi oleh reaksi permukaan ini (properti geoid). Karena rotasi geoid, bahkan lautan di permukaan bumi mencapai keadaan setimbang dan menjadi tidak bergerak relatif terhadap permukaan, oleh karena itu disebut geoid.
Mari kita kembali ke benda di permukaan bumi; tidak ada yang menghentikan kita untuk berasumsi bahwa sebuah balok berbentuk paralelepiped persegi panjang terletak di permukaan bumi. Sumbu inersia utama balok ini melewati titik tumpu di permukaan dan tegak lurus permukaan. Perhatikan bahwa relatif terhadap Bumi, balok tersebut tidak bergerak, namun relatif terhadap bintang, bersama dengan Bumi, ia melakukan satu revolusi per hari.
Mari kita soroti kepada para pembaca bahwa, relatif terhadap bintang, batang adalah benda yang berputar dengan satu putaran per hari, sumbu inersia utama batang ini tegak lurus terhadap permukaan bumi dan tidak bergerak terhadap Bumi. Mari kita putar balok ke kecepatan tinggi relatif terhadap sumbu inersia utamanya. Akankah sumbu balok tetap tegak lurus dan tidak bergerak terhadap Bumi? Atau, seperti yang diyakini secara umum, akankah ia memperoleh gerakan (rotasi) terhadap Bumi dan, relatif terhadap bintang-bintang, akan mengubah keadaannya dari berputar dengan satu putaran per hari menjadi keadaan diam?
Menurut hukum inersia terpadu, setelah berputar, balok harus mempertahankan keadaan stasioner sumbu rotasi (sumbu utama inersia) relatif terhadap Bumi, dan relatif terhadap bintang, balok harus tetap berputar dengan kecepatan sudut satu. revolusi per hari. Hal ini dilatarbelakangi oleh kenyataan bahwa ketika sebuah balok diputar, jika balok tersebut seimbang terhadap sumbu rotasinya, maka gaya yang sama akan bekerja pada pusat massa balok seperti pada keadaan sebelumnya (sebelum berputar). Akibatnya, keadaan balok selanjutnya (setelah pemintalan) identik dengan keadaan sebelumnya (sebelum pemintalan) dan balok harus mempertahankan semua sifat keadaan sebelumnya dan tidak menerima perubahan apa pun, termasuk sumbu putaran balok harus tetap ada. diam dan tegak lurus terhadap permukaan bumi.
Jika seseorang tidak menyukai gabungan hukum inersia dan tidak setuju dengan kesimpulan menurut hukum gabungan tersebut, maka perilaku balok (benda yang berputar) setelah berputar untuk mempertahankan keadaan semula, kami jelaskan dengan fakta bahwa pemintalan tidak dilakukan. tambahkan gaya baru pada sentimeter massa balok, dan semua parameter pergerakan pusat massa balok di ruang angkasa tetap sama.
Secara umum, dalam kondisi Bumi, gaya-gaya berikut bekerja pada suatu benda, baik berputar maupun tidak:
1. Gaya gravitasi bumi.
2. Kekuatan inersia.
3. Reaksi dasar.
Tidak ada gaya lain di alam; ada juga percepatan Coriolis, tetapi merupakan turunan dari gaya inersia (bukan gaya yang berdiri sendiri) dan hanya muncul ketika ada pergerakan benda relatif terhadap permukaan bumi. . Percepatan Coriolis sendiri tidak dapat memindahkan suatu benda dari keadaan diam relatif terhadap bumi ke keadaan bergerak, tidak ada pergerakan relatif terhadap bumi, dan tidak ada percepatan Coriolis.
Benda yang berputar cepat terhadap sumbu inersia utama disebut giroskop. Giroskop memiliki sejumlah sifat unik. Mari pertimbangkan properti ini juga. Secara umum diterima bahwa sifat utama giroskop adalah bahwa mereka selalu menjaga posisi sumbu rotasi relatif terhadap bintang tetap.
Teori kami memberikan klarifikasi yang signifikan tentang sifat giroskop ini. Dalam sistem referensi inersia, properti giroskop ini diamati dengan ketat, di sini kami setuju dengan teori yang diterima, namun dalam sistem referensi non-inersia, khususnya yang terkait dengan permukaan Bumi yang berputar, properti ini tidak bertindak berbeda; the sumbu giroskop, jika rotasinya stabil, mempertahankan posisi aslinya baik relatif terhadap bintang maupun relatif terhadap Bumi. Namun karena pada posisi awal sumbu giroskop berputar relatif terhadap bintang, ia akan terus berputar relatif terhadap bintang dengan kecepatan yang sama, dan relatif terhadap Bumi, karena tidak bergerak, ia akan tetap tidak bergerak. Keadaan benda inert, gerak sumbunya inert, dan tidak arahnya ke arah apapun.
Kesimpulannya pada awalnya tidak biasa (inersia berpikir), sehingga diperlukan komentar tambahan. Ambil meme serigala sederhana ke (yule). Mari kita luncurkan bagian atas ke. Anggaplah gaya gesekan pada dasar sumbu bagian atas minimal, dan dapat mempertahankan rotasi dalam waktu yang relatif lama. Menurut teori kami, sumbu rotasi bagian atas tetap diam dan tegak lurus terhadap permukaan bumi, oleh karena itu, tidak ada yang menghalangi bagian atas untuk melakukan rotasi yang stabil dan jangka panjang. Dalam kehidupan, sebuah puncak tidak dapat sepenuhnya terisolasi dari gaya-gaya luar; beberapa gaya luar, sebut saja gaya acak, masih bekerja pada sumbu puncak dan membelokkannya dari posisi vertikalnya. Selanjutnya, gaya berat menyimpang dari titik tumpu, timbul momen gaya, yang ditanggapi serigala dengan presesi.
Jika sumbu rotasi bagian atas, seperti yang diyakini secara umum, harus tetap diam terhadap bintang-bintang, maka ia tidak dapat mempertahankan posisi vertikal relatif terhadap permukaan bumi untuk waktu yang lama; ia akan miring dari timur ke barat dengan kecepatan tertentu. kecepatan satu putaran per hari (12 derajat per jam). Sumbu rotasi puncak tersebut akan menyimpang dari vertikal sekitar satu derajat dalam waktu lima menit rotasi. Jika sebelumnya pada posisi sumbu rotasi vertikal, gaya gravitasi yang bekerja pada pusat massa terletak pada sumbu rotasi dan melewati titik tumpu dan tidak menimbulkan pergerakan pusat massa, maka ketika sumbu rotasi putarannya miring maka akan terjadi momen guling. Selain itu, momen guling tidak hanya bersirkulasi dalam arah, tetapi juga besarannya. Maksimum pada posisi bawah pusat massa dan minimum pada posisi atas. Jadi, momen ini seharusnya tidak menyebabkan presesi pada bagian atas, melainkan nutasinya. Hal ini bertentangan dengan hasil eksperimen gasing berputar. Pada gasing, pergerakan utamanya adalah presesi, dan nutasi hanya muncul pada akhir rotasi, ketika rotasi sudah mendekati acak.
Ada unit seperti sentrifugal di industri. Karena jumlah putarannya yang sangat tinggi, satuan-satuan ini sangat peka terhadap kekuatan luar. Jika sumbu rotasinya tetap diam terhadap bintang-bintang, tetapi miring terhadap permukaan bumi, maka unit-unit ini akan terbang menjauh dan terbang menjauh, namun tetap bekerja. Oleh karena itu, interpretasi kami tentang perilaku benda berputar dalam sistem koordinat non-inersia adalah valid, dan bukan interpretasi yang diterima secara umum. Yang diterima berdasarkan pengalaman, dan bukan berdasarkan teori. Artinya mereka kurang memahami materi percobaan dengan baik, mereka mengambil yang bukan sebagai dalil.
Kesimpulan
Hukum inersia terpadu berlaku di semua sistem referensi, baik inersia maupun non-inersia. Berdasarkan hukum ini, terungkap gagasan yang salah tentang hukum pertama giroskop yang ada, yang menyatakan bahwa sumbu rotasi giroskop harus selalu diam terhadap bintang. Telah ditetapkan bahwa giroskop berperilaku seperti ini hanya dalam kerangka acuan inersia, dalam kerangka non-inersia, bukan aturan ini yang perlu digunakan, tetapi hukum inersia terpadu.
12 Juli 2018
