Metode pencarian acak. Metode pengoptimalan apa yang ada? Metode untuk mengoptimalkan keputusan manajemen Metode rasio emas

Optimasi adalah proses menemukan titik ekstrem (maksimum atau minimum global) dari suatu fungsi tertentu atau memilih opsi terbaik (optimal) dari serangkaian kemungkinan. Cara yang paling dapat diandalkan untuk menemukan pilihan terbaik adalah dengan melakukan penilaian komparatif terhadap semua kemungkinan pilihan (alternatif). Jika jumlah alternatif banyak, metode pemrograman matematika biasanya digunakan untuk mencari alternatif terbaik. Metode-metode ini dapat diterapkan jika ada rumusan masalah yang ketat: sekumpulan variabel ditentukan, area kemungkinan perubahannya ditetapkan (batasannya ditentukan), dan jenis fungsi tujuan (fungsi yang ekstremnya perlu ditemukan) dari variabel-variabel tersebut ditentukan. Yang terakhir adalah ukuran kuantitatif (kriteria) untuk menilai tingkat pencapaian tujuan.

Masalah optimasi tak terbatas adalah mencari nilai minimum atau maksimum suatu fungsi tanpa adanya batasan apa pun. Meskipun sebagian besar masalah optimasi praktis mengandung batasan, mempelajari metode optimasi tanpa batasan penting dari beberapa sudut pandang. Banyak algoritma untuk memecahkan masalah yang dibatasi melibatkan pengurangannya menjadi serangkaian masalah optimasi yang tidak dibatasi. Kelas metode lainnya didasarkan pada pencarian arah yang sesuai dan kemudian meminimalkan arah tersebut. Pembenaran metode optimasi tidak dibatasi secara alami dapat diperluas ke pembenaran prosedur untuk memecahkan masalah dengan kendala.

Masalah optimasi terbatas adalah mencari nilai minimum atau maksimum fungsi skalar f(x) dari argumen vektor berdimensi n. Penyelesaian masalah ini didasarkan pada pendekatan linier atau kuadrat dari fungsi tujuan untuk menentukan pertambahan x1, ..., xn pada setiap iterasi. Ada juga metode perkiraan untuk menyelesaikan masalah nonlinier. Ini adalah metode yang didasarkan pada metode pendekatan linier sepotong-sepotong. Keakuratan dalam menemukan solusi bergantung pada banyaknya interval di mana kita menemukan solusi untuk masalah linier yang sedekat mungkin dengan solusi nonlinier. Metode ini memungkinkan perhitungan dilakukan dengan menggunakan metode simpleks. Biasanya, dalam model linier, koefisien fungsi tujuan adalah konstan dan tidak bergantung pada nilai variabel. Namun, ada sejumlah masalah dimana biaya bergantung secara nonlinier pada volume.

Algoritma solusi:

• 1. Pekerjaan dimulai dengan membangun simpleks beraturan dalam ruang variabel bebas dan memperkirakan nilai fungsi tujuan pada setiap simpul simpleks.
• 2. Titik puncak ditentukan - nilai fungsi terbesar.
• 3. Simpul tersebut diproyeksikan melalui pusat massa simpul-simpul yang tersisa ke suatu titik baru, yang digunakan sebagai simpul dari simpleks baru.
• 4. Jika fungsi menurun cukup lancar, iterasi berlanjut hingga titik min tertutup, atau pergerakan siklik sepanjang 2 simpleks atau lebih dimulai.
• 5. Pencarian berakhir ketika dimensi simpleks atau perbedaan antara nilai fungsi pada simpul tetap cukup kecil.

Tugas: optimalisasi kapasitas. Mencapai biaya minimal untuk pembuatan wadah dengan volume 2.750 liter untuk menyimpan pasir.

Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 + C5X5 menit;

dimana: X1 - jumlah logam yang dibutuhkan, kg;

C1 - biaya logam, gosok/kg;

X2 - massa elektroda yang dibutuhkan, kg;

C2 - biaya elektroda, gosok/kg;

X3 - jumlah listrik yang dikonsumsi, kWh;

C3 - biaya listrik, gosok/kWh;

X4 - waktu kerja tukang las, jam;

C4 - tarif tarif tukang las, gosok/jam;

X5 - waktu pengoperasian angkat, jam;

C5 - biaya lift, gosok/jam.

1. Temukan luas permukaan wadah yang optimal:

F = 2ab+2bh+2ah menit (1)

dimana V=2750 liter.

x1=16.331; x2=10,99

Fungsi minimum yang diperoleh pada proses optimasi menggunakan metode Box - 1196.065 dm2

Sesuai dengan Gost 19903 - 74, kami menerima:

h=16,50 dm, b=10,00 dm.

Mari kita nyatakan a dari (1) dan dapatkan:

Mari kita hitung ketebalan lembaran logam yang optimal

Mari kita pilih baja karbon biasa St2sp

Untuk baja ini 320 MPa, ;

Massa pasir.

Muat pada dinding wadah yang luasnya paling besar :

Mari kita hitung beban per 1 sentimeter linier lembaran lebar 100 cm:

Mari kita tentukan ketebalan dinding berdasarkan kondisi:

dimana: l adalah panjang lembaran (sebaiknya yang terpanjang untuk memberikan margin keamanan tambahan);

q - beban per 1 sentimeter linier, kg/cm;

Ketebalan lembaran logam, m

Tegangan logam maksimum yang diijinkan, N/mm2.

Mari kita nyatakan ketebalan dinding dari (2):

Mengingat 320 MPa = 3263 kg/cm2,

Berat logam

dimana: F - luas permukaan wadah, m2;

Ketebalan dinding logam, m;

Massa jenis logam, kg/m3.

Harga baja St2sp sekitar 38 rubel/kg.

2. Panjang las:

Kami akan menggunakan elektroda untuk baja tahan karat “UONI-13/45”

Harga 88,66 gosok/kg;

dimana: Sweld - luas penampang las, m2;

l adalah panjang las, m;

Massa jenis logam yang diendapkan, kg/m3.

3. Waktu pengelasan:

dimana l adalah panjang las, m;

v - kecepatan pengelasan, m/jam.

Total konsumsi daya:

jumlah = 5 17 = 85 kWh;

Biaya listrik adalah 5,7 rubel/kWh.

4. Untuk pengelasan busur manual, biaya waktu bantu, persiapan dan waktu akhir untuk servis di tempat kerja rata-rata 40 - 60%. Mari kita gunakan nilai rata-rata 50%.

Total waktu:

Pembayaran untuk tukang las kategori VI adalah 270 rubel/jam.

Ditambah koefisien tarif sebesar 17% untuk bekerja di ruang terbatas dan berventilasi buruk:

Pembayaran asisten akan menjadi 60% dari pembayaran tukang las:

8055 0,6 = 4833 gosok.

Jumlah: 8055+4833 = 12888 rubel.

5. Derek diperlukan untuk menahan lembaran logam selama pengelasan, bongkar muat lembaran logam dan wadah jadi itu sendiri.

Untuk “mencengkeram” seluruh struktur, tukang las perlu mengaplikasikan sekitar 30% jahitannya.

Pembayaran untuk derek adalah 1000 rubel/jam.

Total biaya kontainer.

5. Optimasi multidimensi

Pemrograman linier

Optimasi adalah kegiatan yang bertujuan untuk memperoleh hasil terbaik dalam kondisi yang sesuai.

Penilaian kuantitatif terhadap kualitas yang dioptimalkan disebut kriteria optimalitas atau fungsi sasaran .Dapat ditulis dalam bentuk:

(5.1)

dimana x 1, x 2, …, xn– beberapa parameter objek optimasi.

Ada dua jenis masalah optimasi – tidak bersyarat dan bersyarat.

Tugas tanpa syarat optimasi terdiri dari mencari maksimum atau minimum dari fungsi nyata (5.1) dariNvariabel nyata dan menentukan nilai argumen yang sesuai.

Masalah optimasi bersyarat , atau masalah pembatasan, adalah masalah yang rumusannya dikenakan pembatasan berupa persamaan atau ketidaksetaraan terhadap nilai-nilai dalilnya.

Memecahkan masalah optimasi di mana kriteria optimalitasnya adalah fungsi linier dari variabel independen (yaitu, memuat variabel-variabel ini hingga derajat pertama) dengan batasan linier pada variabel tersebut adalah subjek dari pemrograman linier.

Kata “pemrograman” di sini mencerminkan tujuan akhir penelitian – menentukan rencana optimal atau program optimal, yang menurutnya, dari sekian banyak kemungkinan opsi untuk proses yang diteliti, opsi terbaik dan optimal dipilih berdasarkan beberapa kriteria.

Contoh tugas seperti itu adalah masalah distribusi bahan baku yang optimal antara industri yang berbeda dengan biaya produksi maksimum.

Misalkan dua jenis produk dibuat dari dua jenis bahan mentah.

Mari kita nyatakan: x 1 , x 2 – jumlah unit produk jenis pertama dan kedua; c 1 , c 2 – harga satuan produk jenis pertama dan kedua. Maka total biaya semua produk adalah:

(5.2)

Sebagai hasil produksi, diharapkan total biaya produksi dapat dimaksimalkan.R (x 1 , x 2 ) adalah fungsi tujuan dalam soal ini.

b 1, b 2 – jumlah bahan baku jenis pertama dan kedua yang tersedia;sebuah ij- jumlah unit Saya -jenis bahan mentah yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu unitJ-jenis produk.

Mengingat bahwa konsumsi sumber daya tertentu tidak dapat melebihi jumlah totalnya, kami menuliskan kondisi pembatasan sumber daya:

(5.3)

Mengenai variabel x 1 , x 2 kita juga dapat mengatakan bahwa mereka tidak negatif dan tidak terbatas:

(5.4)

Di antara sekian banyak penyelesaian sistem pertidaksamaan (5.3) dan (5.4), perlu dicari penyelesaian seperti itu ( x 1 , x 2 ), yang fungsinyaRmencapai nilai terbesarnya.

Apa yang disebut masalah transportasi (tugas mengatur pengiriman barang, bahan baku atau produk secara optimal dari berbagai gudang ke beberapa tujuan dengan biaya transportasi yang minimal) dan beberapa lainnya dirumuskan dalam bentuk yang serupa.

Metode grafis untuk memecahkan masalah pemrograman linier.

Biarkan itu diperlukan untuk menemukan x 1 dan x 2 , memuaskan sistem ketidaksetaraan:

(5.5)

dan kondisi non-negatif:

(5.6)

Untuk fungsinya siapa

(5. 7 )

mencapai maksimum.

Larutan.

Mari kita membangun sistem koordinat persegi panjang x 1 x 2 area solusi yang mungkin untuk masalah tersebut (Gbr. 11). Untuk melakukan ini, dengan mengganti setiap pertidaksamaan (5.5) dengan persamaan, kita membangunnya sesuai garis batasnya:

(Saya = 1, 2, … , R)

Beras. sebelas

Garis lurus ini membagi seluruh bidang menjadi dua setengah bidang. Untuk koordinat x 1 , x 2 poin apa pun A pertidaksamaan berikut berlaku pada setengah bidang:

dan untuk koordinat titik mana pun DI DALAM setengah bidang lainnya – pertidaksamaan kebalikannya:

Koordinat titik mana pun pada garis batas memenuhi persamaan:

Untuk menentukan di sisi mana garis batas letak setengah bidang yang bersesuaian dengan pertidaksamaan tertentu, cukup dengan “menguji” satu titik (cara termudah adalah dengan titik TENTANG(0;0)). Jika, ketika koordinatnya disubstitusikan ke sisi kiri pertidaksamaan, terpenuhi, maka setengah bidang tersebut diputar ke arah titik yang diuji; jika pertidaksamaan tidak terpenuhi, maka setengah bidang yang bersesuaian diputar ke arah yang berlawanan. . Arah setengah bidang ditunjukkan pada gambar dengan menetas. Ketimpangan:

sesuai dengan setengah bidang yang terletak di sebelah kanan sumbu ordinat dan di atas sumbu absis.

Pada gambar kita membuat garis batas dan setengah bidang yang bersesuaian dengan semua pertidaksamaan.

Bagian umum (persimpangan) dari semua setengah bidang ini akan mewakili wilayah solusi yang layak untuk masalah ini.

Saat membangun wilayah solusi yang layak, bergantung pada jenis sistem pembatasan (ketidaksetaraan) variabel tertentu, salah satu dari empat kasus berikut dapat terjadi:

Beras. 12. Wilayah solusi yang layak adalah kosong, yang berhubungan dengan inkonsistensi sistem pertidaksamaan; tidak ada solusi

Beras. 13. Daerah solusi layak diwakili oleh satu titik A, yang merupakan satu-satunya solusi pada sistem

Beras. 14. Luas penyelesaian yang mungkin terbatas dan digambarkan sebagai poligon cembung. Ada banyak sekali solusi yang layak

Beras. 15. Daerah penyelesaian layak tidak terbatas, berupa daerah poligonal cembung. Ada banyak sekali solusi yang layak

Representasi grafis dari fungsi tujuan

pada nilai tetapRmendefinisikan garis lurus, dan ketika berubahR- keluarga garis sejajar dengan parameterR. Untuk semua titik yang terletak pada salah satu garis, fungsinya R mengambil satu nilai tertentu, sehingga disebut garis lurus yang ditunjukkan garis tingkat untuk fungsi R.

Vektor gradien:

tegak luruske garis datar, menunjukkan arah kenaikanR.

Masalah menemukan solusi optimal dari sistem pertidaksamaan (5.5), yang fungsi tujuannya adalahR(5.7) mencapai maksimum, secara geometris direduksi menjadi penentuan di wilayah solusi yang dapat diterima titik yang akan dilalui oleh garis level yang sesuai dengan nilai parameter terbesarR

Beras. 16

Jika daerah penyelesaian layak adalah poligon cembung, maka fungsi ekstremnya adalahR tercapai setidaknya pada salah satu simpul poligon ini.

Jika nilai ekstrimRdicapai pada dua simpul, maka nilai ekstrim yang sama dicapai pada setiap titik pada segmen yang menghubungkan kedua simpul tersebut. Dalam hal ini, tugas tersebut dikatakan telah alternatif yang optimal .

Dalam kasus wilayah tak terbatas, fungsi ekstremRentah tidak ada, atau tercapai di salah satu simpul wilayah, atau mempunyai alternatif optimal.

Contoh.

Misalkan kita perlu mencari nilainya x 1 dan x 2 , memenuhi sistem ketidaksetaraan:

dan kondisi non-negatif:

Untuk yang fungsinya adalah:

mencapai maksimum.

Larutan.

Mari kita ganti setiap pertidaksamaan dengan persamaan dan buat garis batasnya:

Beras. 17

Mari kita tentukan setengah bidang yang bersesuaian dengan pertidaksamaan ini dengan “menguji” titik (0;0). Mempertimbangkan non-negatif x 1 dan x 2 kita memperoleh wilayah solusi yang layak untuk masalah ini dalam bentuk poligon cembung OAVDE.

Di wilayah solusi yang layak, kita menemukan solusi optimal dengan membangun vektor gradien

menunjukkanarah peningkatanR.

Solusi optimal sesuai dengan maksudnya DI DALAM, yang koordinatnya dapat ditentukan baik secara grafis atau dengan menyelesaikan sistem dua persamaan yang bersesuaian dengan garis batas AB dan VD:

Menjawab: x 1 = 2; x 2 = 6; Maks = 22.

Tugas. Tentukan posisi titik ekstrem dan nilai ekstrem fungsi tujuan

di bawah batasan yang diberikan.

Tabel 9
Opsi No.	Ekstrim				Pembatasan
	M kapak				; ; ; ;
	Maks				; ; ; ;
					; ;
					; ; ; ;
					; ; ; ;
					; ;

Metode pengoptimalan klasik tanpa batasan

Perkenalan

Seperti diketahui, masalah optimasi klasik tak dibatasi berbentuk:

Ada metode analitis dan numerik untuk memecahkan masalah ini.

Pertama-tama, mari kita ingat kembali metode analitis untuk menyelesaikan masalah optimasi tak terbatas.

Metode pengoptimalan tanpa batasan menempati tempat penting dalam kursus ML. Hal ini disebabkan penggunaan langsungnya dalam menyelesaikan sejumlah masalah optimasi, serta dalam penerapan metode untuk menyelesaikan sebagian besar masalah optimasi bersyarat (masalah MP).

1. Kondisi yang diperlukan untuk titik minimum (maksimum) lokal

Misalkan m memberikan nilai minimum dari fungsi tersebut. Diketahui bahwa pada titik ini kenaikan fungsi tersebut non-negatif, yaitu.

Mari kita cari menggunakan perluasan fungsi deret Taylor di lingkungan m.

dimana, adalah jumlah suku-suku suatu deret yang ordenya relatif terhadap kenaikan (dua) atau lebih.

Dari (4) jelas berikut ini

Misalkan saja

Dengan mempertimbangkan (6) kita memiliki: . (7)

Mari kita asumsikan bahwa itu positif, yaitu. . Mari kita pilih produk yang bertentangan (1).

Jadi itu sangat jelas.

Dengan alasan serupa untuk variabel lain, kita memperoleh kondisi yang diperlukan untuk titik minimum lokal dari suatu fungsi banyak variabel

Mudah untuk membuktikan bahwa untuk titik maksimum lokal kondisi yang diperlukan akan sama persis dengan titik minimum lokal, yaitu. kondisi (8).

Jelas bahwa hasil pembuktiannya adalah pertidaksamaan yang berbentuk: - kondisi kenaikan non-positif suatu fungsi di sekitar maksimum lokal.

Kondisi perlu yang diperoleh tidak menjawab pertanyaan: apakah titik stasioner tersebut merupakan titik minimum atau titik maksimum.

Jawaban atas pertanyaan ini dapat diperoleh dengan mempelajari kondisi yang cukup. Kondisi tersebut memerlukan studi tentang matriks turunan kedua fungsi tujuan.

2. Kondisi yang memadai untuk titik minimum (maksimum) lokal

Mari kita nyatakan perluasan suatu fungsi di lingkungan suatu titik dalam deret Taylor hingga suku kuadrat.

Dekomposisi (1) dapat disajikan secara lebih singkat dengan menggunakan konsep: “hasil kali skalar vektor” dan “hasil kali vektor-matriks”.

Matriks dua turunan fungsi tujuan terhadap variabel-variabel yang bersesuaian.

Kenaikan suatu fungsi berdasarkan (1") dapat ditulis sebagai:

Dengan mempertimbangkan kondisi yang diperlukan:

Mari kita substitusikan (3) ke dalam bentuk:

Bentuk kuadrat disebut bentuk kuadrat diferensial (DQF).

Jika DCFnya pasti positif, maka titik stasionernya juga merupakan titik minimum lokal.

Jika DCF dan matriks yang merepresentasikannya adalah definit negatif, maka titik stasionernya juga merupakan titik maksimum lokal.

Jadi, syarat perlu dan cukup untuk titik minimum lokal berbentuk

(kondisi yang diperlukan ini dapat ditulis sebagai berikut:

Kondisi cukup.

Dengan demikian, kondisi perlu dan cukup untuk maksimum lokal berbentuk:

Mari kita mengingat kembali kriteria yang memungkinkan kita menentukan apakah bentuk kuadrat dan matriks yang mewakilinya adalah pasti positif atau pasti negatif.

3. Kriteria Sylvester

Memungkinkan Anda menjawab pertanyaan: apakah bentuk kuadrat dan matriks yang mewakilinya pasti positif atau pasti negatif.

Disebut matriks Hessian.

Penentu utama matriks Hessian

dan DCF yang diwakilinya akan menjadi pasti positif jika semua determinan utama matriks Hessian () adalah positif (yaitu, skema tanda berikut berlaku:

Misalnya, jika terdapat skema tanda yang berbeda untuk determinan utama matriks Hessian, maka matriks dan DCF terdefinisi negatif.

4. Metode Euler - metode klasik untuk menyelesaikan masalah optimasi tak terbatas

Metode ini didasarkan pada kondisi perlu dan cukup yang dipelajari pada 1.1 - 1.3; berlaku untuk menemukan ekstrem lokal yang hanya memiliki fungsi terdiferensiasi kontinu.

Algoritma metode ini cukup sederhana:

1) Dengan menggunakan kondisi yang diperlukan, kita membentuk sistem persamaan nonlinier dalam kasus umum. Perhatikan bahwa tidak mungkin menyelesaikan sistem ini secara analitis dalam kasus umum; perlu menerapkan metode numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier (NL) (lihat "FM"). Oleh karena itu, metode Euler akan menjadi metode analitis-numerik. Dengan menyelesaikan sistem persamaan yang ditunjukkan, kita menemukan koordinat titik stasioner.;

2) kita mempelajari DCF dan matriks Hessian yang mewakilinya. Dengan menggunakan kriteria Sylvester, kita menentukan apakah suatu titik stasioner merupakan titik minimum atau titik maksimum;

3) menghitung nilai fungsi tujuan pada titik ekstrim

Dengan menggunakan metode Euler, selesaikan masalah optimasi tak terbatas berikut: temukan 4 titik stasioner dari suatu fungsi yang berbentuk:

Cari tahu sifat titik-titik tersebut, apakah titik minimum atau titik pelana (lihat). Buatlah tampilan grafis dari fungsi ini dalam ruang dan bidang (menggunakan garis datar).

5. Masalah optimasi terkendala klasik dan metode penyelesaiannya: Metode eliminasi dan metode pengali Lagrange (LML)

Seperti diketahui, masalah optimasi terkendala klasik berbentuk:

Grafik yang menjelaskan rumusan masalah (1), (2) dalam ruang.

Persamaan garis datar

Jadi, ODR pada soal yang dibahas adalah kurva tertentu yang diwakili oleh persamaan (2").

Terlihat dari gambar, titik tersebut merupakan titik maksimum global tanpa syarat; titik - titik minimum lokal bersyarat (relatif); titik - titik maksimum lokal bersyarat (relatif).

Soal (1"), (2") dapat diselesaikan dengan metode eliminasi (substitusi) dengan menyelesaikan persamaan (2") terhadap variabel dan mensubstitusikan solusi yang ditemukan (1").

Masalah awal (1"), (2") diubah menjadi masalah optimasi fungsi tanpa syarat, yang dapat dengan mudah diselesaikan dengan metode Euler.

Metode eliminasi (substitusi).

Biarkan fungsi tujuan bergantung pada variabel:

disebut variabel terikat (atau variabel keadaan); karenanya, Anda dapat memasukkan vektornya

Variabel selebihnya disebut variabel keputusan independen.

Oleh karena itu, kita dapat berbicara tentang vektor kolom:

dan vektor.

Dalam masalah optimasi terbatas klasik:

Sistem (2), sesuai dengan metode eliminasi (substitusi), harus diselesaikan terhadap variabel terikat (variabel keadaan), yaitu. Ekspresi berikut untuk variabel terikat harus diperoleh:

Apakah sistem persamaan (2) selalu dapat diselesaikan terhadap variabel terikat - tidak selalu; ini hanya mungkin jika determinannya, disebut Jacobian, yang unsur-unsurnya berbentuk:

tidak sama dengan nol (lihat teorema terkait pada mata kuliah MA)

Seperti dapat dilihat, fungsi-fungsi tersebut harus merupakan fungsi terdiferensiasi kontinu; kedua, elemen-elemen determinan harus dihitung pada titik stasioner fungsi tujuan.

Substitusikan (3) ke dalam fungsi tujuan (1), kita peroleh:

Fungsi yang diteliti dapat dibawa ke titik ekstrem dengan metode Euler - metode optimasi tanpa syarat dari fungsi terdiferensiasi kontinu.

Jadi, metode eliminasi (substitusi) memungkinkan Anda menggunakan masalah optimasi bersyarat klasik untuk mengubahnya menjadi masalah optimasi tanpa syarat dari suatu fungsi - fungsi variabel dalam kondisi (4), yang memungkinkan Anda memperoleh sistem ekspresi (3 ).

Kerugian dari metode eksklusi: kesulitan dan terkadang ketidakmungkinan memperoleh sistem ekspresi (3). Bebas dari kekurangan ini, namun memerlukan terpenuhinya kondisi (4) adalah MML.

5.2. Metode pengali Lagrange. Kondisi yang diperlukan dalam masalah optimasi terbatas klasik. Fungsi lagrange

MML memungkinkan masalah asli dari optimasi terbatas klasik:

Ubah menjadi masalah optimasi tak terbatas dari fungsi yang dibangun secara khusus - fungsi Lagrange:

dimana, adalah pengali Lagrange;

Seperti yang Anda lihat, ini adalah jumlah yang terdiri dari fungsi tujuan asli dan jumlah fungsi “tertimbang” - fungsi yang mewakili batasannya (2) dari masalah aslinya.

Misalkan titik tersebut adalah titik ekstrem tak bersyarat dari fungsi tersebut, maka, seperti diketahui, atau (diferensial total fungsi pada titik tersebut).

Menggunakan konsep variabel terikat dan variabel bebas – variabel terikat; - variabel bebas, maka kita sajikan (5) dalam bentuk diperluas:

Dari (2) jelas mengikuti sistem persamaan berbentuk:

Hasil penghitungan diferensial total untuk masing-masing fungsi

Mari kita sajikan (6) dalam bentuk “diperluas”, menggunakan konsep variabel terikat dan bebas:

Perhatikan bahwa (6"), tidak seperti (5"), adalah sistem yang terdiri dari persamaan.

Mari kita kalikan setiap persamaan sistem (6") dengan pengali Lagrange yang sesuai. Jumlahkan keduanya dan dengan persamaan (5") dan dapatkan ekspresi:

Mari kita susun pengali Lagrange sedemikian rupa sehingga ekspresi dalam tanda kurung siku di bawah tanda jumlah pertama (dengan kata lain, koefisien diferensial variabel bebas) sama dengan nol.

Istilah “membuang” pengali Lagrange dengan cara di atas berarti perlunya menyelesaikan beberapa sistem persamaan.

Struktur sistem persamaan seperti itu dapat dengan mudah diperoleh dengan menyamakan ekspresi dalam tanda kurung siku di bawah tanda penjumlahan pertama dengan nol:

Mari kita tulis ulang (8) dalam bentuk

Sistem (8") adalah sistem persamaan linier yang diketahui: . Sistem tersebut dapat dipecahkan jika (itulah sebabnya, seperti dalam metode eliminasi dalam kasus yang sedang dipertimbangkan, kondisinya harus dipenuhi). (9)

Karena dalam ekspresi kunci (7) jumlah pertama sama dengan nol, mudah untuk memahami bahwa jumlah kedua juga akan sama dengan nol, yaitu. terjadi sistem persamaan berikut:

Sistem persamaan (8) terdiri dari persamaan, dan sistem persamaan (10) terdiri dari persamaan; persamaan total dalam dua sistem, dan tidak diketahui

Persamaan yang hilang diberikan oleh sistem persamaan kendala (2):

Jadi, ada sistem persamaan untuk mencari yang tidak diketahui:

Hasil yang diperoleh - sistem persamaan (11) - merupakan konten utama MML.

Sangat mudah untuk memahami bahwa sistem persamaan (11) dapat diperoleh dengan sangat sederhana dengan memasukkan fungsi Lagrange (3) yang dibangun secara khusus ke dalam pertimbangan.

Benar-benar

Jadi, sistem persamaan (11) dapat direpresentasikan sebagai (menggunakan (12), (13)):

Sistem persamaan (14) mewakili kondisi yang diperlukan dalam masalah optimasi klasik yang dibatasi.

Nilai vektor yang diperoleh sebagai hasil penyelesaian sistem ini disebut titik stasioner bersyarat.

Untuk mengetahui sifat suatu titik stasioner bersyarat, perlu menggunakan kondisi yang cukup.

5.3 Kondisi cukup dalam masalah optimasi berbatas klasik. Algoritma MML

Kondisi ini memungkinkan untuk mengetahui apakah suatu titik stasioner bersyarat merupakan titik minimum bersyarat lokal, atau titik maksimum bersyarat lokal.

Relatif sederhana, mirip dengan bagaimana kondisi yang cukup diperoleh dalam masalah ekstrem tanpa syarat. Hal ini juga memungkinkan untuk memperoleh kondisi yang cukup dalam masalah optimasi klasik yang dibatasi.

Hasil penelitian ini:

dimana adalah titik minimum bersyarat lokal.

dimana adalah titik maksimum bersyarat lokal, adalah matriks Hessian dengan elemen

Matriks Hessian memiliki dimensi.

Dimensi matriks Hessian dapat direduksi dengan syarat Jacobian tidak nol: . Dengan kondisi ini variabel terikat dapat dinyatakan melalui variabel bebas, maka matriks Hessian akan mempunyai dimensi yaitu. kita perlu berbicara tentang matriks dengan elemen

maka kondisi cukupnya akan tampak seperti:

Titik minimum bersyarat lokal.

Titik maksimum bersyarat lokal.

Bukti: Algoritma MML:

1) buat fungsi Lagrange: ;

2) menggunakan kondisi yang diperlukan, kita membentuk sistem persamaan:

3) dari solusi sistem ini kita menemukan suatu titik;

4) dengan menggunakan kondisi cukup, kita tentukan apakah titik tersebut merupakan titik minimum atau maksimum bersyarat lokal, kemudian kita temukan

1.5.4. Metode grafis-analitis untuk memecahkan masalah klasik optimasi terbatas dalam ruang dan modifikasinya ketika memecahkan masalah IP dan AP yang paling sederhana

Metode ini menggunakan interpretasi geometri dari masalah optimasi terkendala klasik dan didasarkan pada sejumlah fakta penting yang melekat dalam masalah ini.

B adalah garis singgung persekutuan untuk fungsi tersebut dan fungsi yang mewakili ODR.

Terlihat dari gambar, suatu titik adalah titik minimum tanpa syarat, suatu titik adalah titik minimum lokal bersyarat, suatu titik adalah titik maksimum lokal bersyarat.

Mari kita buktikan bahwa pada titik-titik ekstrem lokal bersyarat terdapat kurva dan garis-garis datar yang bersesuaian

Dari mata kuliah MA diketahui bahwa pada titik kontak kondisinya terpenuhi

di mana adalah koefisien sudut garis singgung yang ditarik oleh garis datar yang bersesuaian; - koefisien sudut garis singgung yang ditarik ke fungsi tersebut

Ekspresi (MA) untuk koefisien ini diketahui:

Mari kita buktikan bahwa koefisien-koefisien ini sama.

karena kondisi yang diperlukan “berbicara” tentang hal itu

Hal di atas memungkinkan kita untuk merumuskan algoritma GFA untuk memecahkan masalah optimasi klasik yang dibatasi:

1) membangun sekumpulan garis tingkat fungsi tujuan:

2) membangun ODD menggunakan persamaan kendala

3) untuk mengoreksi pertambahan fungsi, kita mencari dan memperjelas sifat titik-titik ekstrim;

4) kita mempelajari interaksi garis datar dan fungsi, sambil mencari dari sistem persamaan koordinat titik-titik stasioner bersyarat - minimum bersyarat lokal dan maksimum bersyarat lokal.

5) menghitung

Perlu diperhatikan secara khusus bahwa tahapan utama metode GFA untuk menyelesaikan masalah optimasi bersyarat klasik bertepatan dengan tahapan utama metode GFA untuk menyelesaikan masalah LP dan LP, perbedaannya hanya pada ODR, serta dalam mencari solusinya. lokasi titik-titik ekstrem dalam ODD (misalnya, dalam soal LP, titik-titik ini harus terletak di simpul poligon cembung yang mewakili ODR).

5.5. Tentang arti praktis MML

Mari kita bayangkan masalah optimasi terbatas klasik sebagai:

dimana adalah besaran variabel yang mewakili sumber daya variabel dalam masalah teknis dan ekonomi terapan.

Di luar angkasa, soal (1), (2) berbentuk:

dimana adalah besaran variabel. (2")

Biarkan menjadi titik ekstrem bersyarat:

Saat mengubah perubahan

Nilai fungsi tujuan akan berubah:

Mari kita hitung turunannya:

Dari (3), (4), (5). (6)

Substitusikan (5") ke (3) dan dapatkan:

Dari (6) bahwa pengali Lagrange mencirikan nilai “reaksi” (ortogonal terhadap nilai fungsi tujuan) terhadap perubahan parameter.

Secara umum (6) berbentuk:

Dari (6), (7), pengganda mencirikan perubahan ketika sumber daya terkait berubah sebesar 1.

Jika adalah keuntungan maksimum atau biaya minimum, maka cirikan perubahan nilai ini bila diubah dengan 1.

5.6. Masalah klasik optimasi terbatas, seperti masalah mencari titik pelana fungsi Lagrange:

Suatu pasangan disebut titik pelana jika pertidaksamaan tetap ada.

Jelas dari (1). (2)

Dari (2), itu. (3)

Seperti yang Anda lihat, sistem (3) berisi persamaan yang mirip dengan persamaan yang mewakili kondisi yang diperlukan dalam masalah optimasi terbatas klasik:

di mana adalah fungsi Lagrange.

Sehubungan dengan analogi sistem persamaan (3) dan (4), masalah klasik optimasi terbatas dapat dianggap sebagai masalah pencarian titik pelana fungsi Lagrange.

Dokumen serupa

Masalah optimasi multidimensi dalam studi proses teknologi di industri tekstil, analisis kesulitan yang muncul. Menemukan ekstrem, jenis ekstrem, nilai fungsi tujuan optimasi multidimensi tak terbatas.

tes, ditambahkan 26/11/2011


Karakteristik metode klasik optimasi tak terbatas. Penentuan kondisi perlu dan cukup bagi adanya fungsi ekstrem dari satu dan beberapa variabel. Aturan pengganda Lagrange. Kondisi perlu dan cukup untuk optimalitas.

tugas kursus, ditambahkan 13/10/2013


Metodologi dan ciri-ciri pemecahan masalah optimasi, khususnya pada distribusi investasi dan pemilihan jalur dalam jaringan transportasi. Kekhususan pemodelan menggunakan metode Hamming dan Brown. Identifikasi, stimulasi dan motivasi sebagai fungsi manajemen.

tes, ditambahkan 12/12/2009


Pernyataan, analisis, solusi grafis masalah optimasi linier, metode simpleks, dualitas dalam optimasi linier. Pernyataan masalah transportasi, sifat-sifat dan mencari solusi referensi. Optimalisasi bersyarat di bawah batasan kesetaraan.

manual pelatihan, ditambahkan 11/07/2010


Jalur kritis dalam grafik. Distribusi aliran optimal dalam jaringan transportasi. Masalah pemrograman linier diselesaikan secara grafis. Masalah transportasi yang tidak seimbang. Metode numerik untuk memecahkan masalah optimasi statis satu dimensi.

tugas kursus, ditambahkan 21/06/2014


Metode grafis untuk memecahkan masalah optimalisasi proses produksi. Penerapan algoritma simpleks untuk memecahkan masalah manajemen produksi yang dioptimalkan secara ekonomi. Metode pemrograman dinamis untuk memilih profil jalur optimal.

tes, ditambahkan 15/10/2010


Metode optimasi untuk memecahkan masalah ekonomi. Rumusan klasik dari masalah optimasi. Optimalisasi fungsi. Optimalisasi fungsionalitas. Optimalisasi multikriteria. Metode untuk mereduksi masalah multikriteria menjadi masalah dengan kriteria tunggal. Metode konsesi.

abstrak, ditambahkan 20/06/2005


Penerapan metode pemrograman nonlinier untuk menyelesaikan masalah fungsi variabel nonlinier. Kondisi optimal (teorema Kuhn-Tucker). Metode optimasi bersyarat (metode Wolfe); desain gradien; fungsi penalti dan penghalang.

abstrak, ditambahkan 25/10/2009


Konsep, definisi, penyorotan fitur, kemampuan dan karakteristik masalah optimasi multikriteria yang ada dan cara penyelesaiannya. Perhitungan metode deviasi sama dan terkecil dari optimasi multikriteria dan penerapannya dalam praktik.

tugas kursus, ditambahkan 21/01/2012


Konsep dasar pemodelan. Konsep umum dan definisi model. Menetapkan masalah optimasi. Metode pemrograman linier. Masalah umum dan tipikal dalam pemrograman linier. Metode simpleks untuk menyelesaikan masalah program linier.

Masalah 1. Menemukan

dimana x = (x 1 .. xp) e E hal

Masalah ini direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan

dan pelajari nilai diferensial kedua

pada titik (a-|, (*2, a n) solusi persamaan (7.3).

Jika bentuk kuadrat (7.4) berdefinisi negatif pada suatu titik, maka ia mencapai nilai maksimumnya, dan jika berbentuk pasti positif, ia mencapai nilai minimumnya.

Contoh:

Sistem persamaan memiliki solusi:

Titik (-1; 3.0) merupakan titik maksimum, dan titik (1; 3.2) merupakan titik minimum.

Tugas 2. Temukan

dalam kondisi:

Masalah 2 ini diselesaikan dengan metode pengali Lagrange, yang dengannya solusi sistem ditemukan (t + p) persamaan:

Contoh 2. Temukan sisi-sisi persegi panjang dengan luas maksimum yang terdapat dalam lingkaran Luas L suatu persegi panjang

dapat ditulis sebagai: A= 4xy, maka

Di mana

Tugas 3. Temukan dalam kondisi:

Masalah ini mencakup berbagai pengaturan yang ditentukan oleh fungsinya F dan Rabu Jika linear, maka permasalahannya adalah masalah pemrograman linier.

Tugas Untuk.

dalam kondisi

Ini diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks, yang, dengan menggunakan peralatan aljabar linier, melakukan pencarian yang ditargetkan pada simpul polihedron yang ditentukan oleh (7.13).

Metode simpleks terdiri dari dua tahap.

Tahap 1. Menemukan solusi referensi x^ 0). Solusi referensinya adalah salah satu titik polihedron (7.13).

Tahap 2. Menemukan solusi optimal. Hal ini diperoleh dengan menghitung secara berurutan simpul-simpul polihedron (7.13), yang nilai fungsi tujuan z tidak berkurang pada setiap langkah, yaitu:

Kasus khusus dari masalah program linier adalah apa yang disebut masalah transportasi.

Masalah transportasi. Misalkan pada poin a-1, a 2, .... a l terdapat gudang yang menyimpan barang masing-masing dalam jumlah x 1, x 2, ..., x l. Pada titik b-|, b 2,..., b t terdapat konsumen yang perlu menyediakan barang tersebut dalam jumlah y- kamu 2, kamu t masing-masing. Mari kita tunjukkan Cjj biaya pengangkutan satu unit muatan antar titik a-| dan oleh.

Kami mengkaji pengoperasian pengangkutan barang oleh konsumen dalam jumlah yang cukup untuk memenuhi kebutuhan pelanggan. Mari kita nyatakan dengan Hu jumlah barang yang diangkut dari titik a ke titik oleh.

Untuk memenuhi kebutuhan konsumen, nilai x, y harus memenuhi syarat:

Pada saat yang sama, tidak mungkin mengekspor lebih banyak produk dari gudang daripada yang tersedia di sana. Artinya besaran yang dibutuhkan harus memenuhi sistem pertidaksamaan:

Memenuhi kondisi (7.14), (7.15), yaitu. Ada banyak cara untuk membuat rencana transportasi yang memenuhi kebutuhan konsumen. Agar peneliti operasi dapat memilih solusi optimal tertentu, mis. menetapkan tertentu Xjj, beberapa aturan seleksi harus dirumuskan, ditentukan dengan menggunakan kriteria yang mencerminkan gagasan subjektif kita tentang tujuan.

Masalah kriteria diselesaikan secara independen dari studi operasi - kriteria harus ditetapkan oleh pihak pengoperasi. Dalam permasalahan yang sedang dipertimbangkan, salah satu kriteria yang mungkin adalah biaya transportasi. Jumlahnya adalah

Kemudian masalah transportasi dirumuskan sebagai masalah program linier: tentukan nilai x,y > O yang memenuhi batasan (7.14), (7.15) dan berikan nilai minimum pada fungsi (7.16). Kendala (7.15) merupakan kondisi keseimbangan; kondisi (7.14) dapat disebut sebagai tujuan operasi, karena yang dimaksud dengan operasi adalah memenuhi kebutuhan konsumen.

Menentukan dua kondisi pada dasarnya merupakan model operasi. Implementasi operasi akan tergantung pada kriteria yang digunakan untuk mencapai tujuan operasi. Sebuah kriteria dapat muncul dalam berbagai peran. Ini dapat bertindak baik sebagai cara untuk memformalkan suatu tujuan dan sebagai prinsip untuk memilih tindakan dari antara tindakan yang diperbolehkan, yaitu. memenuhi batasannya.

Salah satu metode yang terkenal untuk menyelesaikan masalah transportasi adalah metode potensial, yang skemanya adalah sebagai berikut.

Pada tahap pertama penyelesaian masalah, dibuat rencana transportasi awal yang memenuhi batasan (7.14), (7.15). Jika

(yaitu total kebutuhan tidak sesuai dengan total stok produk di gudang), maka titik konsumsi fiktif dimasukkan ke dalam pertimbangan atau gudang fiktif

dengan biaya transportasi sama dengan nol. Untuk tugas baru, jumlah barang di gudang sama dengan total permintaannya. Kemudian, dengan beberapa metode (misalnya, elemen terkecil atau sudut barat laut) ditemukan denah aslinya. Pada langkah selanjutnya, prosedur dari rencana yang dihasilkan membangun suatu sistem karakteristik khusus – potensi. Kondisi yang perlu dan cukup untuk suatu rencana yang optimal adalah potensinya. Prosedur penyempurnaan rencana diulangi hingga rencana menjadi potensial (optimal).

Tugas 36. Secara umum, masalah (7.10-7.11) disebut masalah pemrograman nonlinier. Mari kita pertimbangkan dalam bentuk

dalam kondisi

Untuk mengatasi masalah ini, digunakan metode relaksasi. Proses membangun barisan titik-titik disebut relaksasi jika:

Metode keturunan (skema umum). Semua metode penurunan dalam menyelesaikan masalah optimasi tak terbatas (7.17) berbeda baik dalam pilihan arah penurunan atau dalam metode pergerakan sepanjang arah penurunan. Metode penurunan terdiri dari prosedur konstruksi urutan berikut (xk).

Titik sembarang Xq dipilih sebagai perkiraan awal. Perkiraan berturut-turut dibangun sesuai dengan skema berikut:

• titik xk arah keturunan dipilih - S k ;
• menemukan (Ke+ 1) perkiraan menurut rumus

dimana sebagai kuantitas $k pilihlah bilangan apa saja yang memenuhi pertidaksamaan tersebut

dimana nomornya X k - bilangan apa saja sehingga 0 X k min f(x k - $ Sk).

Di sebagian besar metode penurunan, nilainya Xk dipilih sama dengan satu. Jadi, untuk menentukan (3^ perlu diselesaikan masalah minimalisasi satu dimensi.

Metode penurunan gradien. Karena anti-gradien adalah G(xk) menunjukkan arah penurunan fungsi tercepat f(x), maka wajar untuk berpindah dari titik tersebut x sampai arah ini. Metode keturunan di mana Sk = f"(xk) disebut metode penurunan gradien. Jika Xk= 1, maka proses relaksasi disebut metode penurunan paling curam.

Metode arah konjugasi. DI DALAM Dalam aljabar linier, metode ini dikenal sebagai metode gradien konjugasi untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier OH= b, dan oleh karena itu, sebagai metode untuk meminimalkan fungsi kuadrat f(x) =((Dx - b)) 2 .

Diagram metode:

Jika fk = 0, maka rangkaian ini berubah menjadi rangkaian metode penurunan paling curam. Pemilihan nilai yang tepat tk menjamin konvergensi metode arah konjugasi dengan kecepatan orde yang sama seperti pada metode penurunan gradien, dan memastikan bahwa jumlah iterasi dalam penurunan kuadrat terbatas (misalnya,

Koordinasikan penurunan. Pada setiap iterasi, sebagai arah turunnya S k arah sepanjang salah satu sumbu koordinat dipilih. Metode ini memiliki tingkat konvergensi proses minimalisasi orde 0 (1 //77), dan sangat bergantung pada dimensi ruang.

Diagram metode:

Di mana koordinat vektor,

Jika pada intinya xk ada informasi tentang perilaku gradien fungsi f(x), Misalnya,

lalu sebagai arah turunnya S k kita dapat mengambil vektor koordinat ey. Dalam hal ini, tingkat konvergensi metode tersebut adalah P kali lebih sedikit dibandingkan dengan penurunan gradien.

Pada tahap awal proses minimisasi dapat menggunakan metode penurunan koordinat demi koordinat secara siklik, dimana penurunan terlebih dahulu dilakukan ke arah e-|, kemudian ke arah b2, dan seterusnya. hingga e hal, setelah itu seluruh siklus berulang. Yang lebih menjanjikan daripada yang dijelaskan adalah penurunan koordinat demi koordinat, di mana arah penurunan dipilih secara acak. Dengan pendekatan pemilihan arah ini, terdapat perkiraan apriori yang menjamin fungsi tersebut f(x) dengan probabilitas cenderung satu ketika proses konvergen pada kecepatan orde 0(1 1t).

Diagram metode:

Di setiap langkah proses P angka (1, 2, ..., P) sebuah nomor dipilih secara acak j(k) dan sebagai sk vektor koordinat satuan dipilih vsch, setelah itu penurunan terjadi:

Metode keturunan acak. Sebuah titik acak dipilih pada bola satuan berdimensi n yang berpusat di titik asal Sk, mematuhi distribusi seragam pada bidang ini, dan kemudian sesuai dengan elemen yang dihitung pada langkah proses xk bertekad xk+] :

Tingkat konvergensi metode keturunan acak di P kali lebih kecil dari metode penurunan gradien, tapi P kali lebih besar dibandingkan dengan metode penurunan koordinat acak. Metode penurunan yang dipertimbangkan juga berlaku untuk fungsi yang belum tentu cembung dan menjamin konvergensinya di bawah batasan yang sangat kecil (seperti tidak adanya minimum lokal).

Metode relaksasi pemrograman matematika. Mari kita kembali ke soal 36 ((7.17) - (7.18)):

dalam kondisi

Dalam masalah optimasi dengan kendala, pilihan arah penurunan melibatkan kebutuhan untuk terus-menerus memeriksa nilai baru tersebut x k +" harus sama dengan yang sebelumnya xk, memenuhi sistem kendala X.

Metode gradien bersyarat. DI DALAM Pada metode ini ide pemilihan arah turunnya adalah sebagai berikut: pada titik xk linierkan fungsinya

f(x), membangun fungsi linier f(x) = f(x k) + (y"(x k), x-x k), dan kemudian meminimalkan f(x) di satu set X, menemukan suatu titik di k. Setelah itu mereka percaya Sk = yk - xk dan kemudian turun ke arah ini Xk+ 1= xk - $k (xk -yk), jadi g X.

Jadi, untuk menemukan arah S k masalah meminimalkan fungsi linier pada himpunan X harus diselesaikan. Jika X, pada gilirannya, ditentukan oleh batasan linier, maka ini menjadi masalah pemrograman linier.

Metode kemungkinan arah. Ide metode ini: di antara semua kemungkinan arah pada titik xk, pilih arah yang sesuai dengan fungsinya f(x) menurun paling cepat, dan kemudian turun sepanjang arah ini.

Arah S pada intinya X e X disebut mungkin_jika ada bilangan seperti itu (3 > O, itu X- (3 detik e X untuk semua (3 g. Untuk mencari kemungkinan arah, perlu diselesaikan masalah pemrograman linier atau masalah pemrograman kuadrat paling sederhana: ya?=>menit dalam kondisi

Membiarkan dk Dan sk- solusi untuk masalah ini. Kondisi (7.25) menjamin arah sk mungkin. Kondisi (7.26) memastikan nilai maksimum (/"( xk),s), itu. di antara semua arah yang mungkin S, arah sk menyediakan fungsi penurunan tercepat f(x). Kondisi (7.27) menghilangkan ketidakterbatasan solusi masalah. Metode kemungkinan arah tahan terhadap kemungkinan kesalahan komputasi. Namun, tingkat konvergensinya sulit diperkirakan secara umum, dan masalah ini masih belum terpecahkan.

Metode pencarian acak. Penerapan metode minimalisasi yang dijelaskan sebelumnya umumnya sangat memakan waktu, kecuali untuk kasus paling sederhana ketika kumpulan batasan memiliki struktur geometris sederhana (misalnya, paralelepiped multidimensi). Secara umum, metode pencarian acak, ketika arah keturunan dipilih secara acak, bisa sangat menjanjikan. Dalam hal ini, akan ada kerugian yang signifikan dalam kecepatan konvergensi, namun kesederhanaan dalam memilih arah dapat mengkompensasi kerugian ini dalam hal total biaya tenaga kerja untuk menyelesaikan masalah minimalisasi.

Diagram metode:

pada bola satuan berdimensi n yang berpusat di titik asal, sebuah titik acak dipilih gu tunduk pada distribusi seragam di bidang ini, dan kemudian arah turunnya - s^ dari kondisi

Sebagai perkiraan awal, kami memilih xc e X. Berdasarkan poin yang dihitung pada setiap iterasi X? dalam masa pembangunan (k+ 1) poin x^+ kamu:

Nomor berapa pun dari memuaskan ketimpangan

Konvergensi metode ini dibuktikan pada batasan yang sangat tidak kaku pada fungsi / (konveksitas) dan himpunan batasan X(cembung dan tertutup).

Pilihan keputusan yang paling dapat diterima, yang diambil di tingkat manajerial mengenai suatu masalah, dianggap optimal, dan proses pencariannya dianggap optimal.

Saling ketergantungan dan kompleksitas aspek organisasi, sosial-ekonomi, teknis dan lainnya dari manajemen produksi saat ini bermuara pada pengambilan keputusan manajemen yang mempengaruhi sejumlah besar faktor berbeda yang saling terkait erat satu sama lain, sehingga tidak mungkin untuk menganalisis masing-masing secara terpisah. menggunakan metode analisis tradisional.

Sebagian besar faktor sangat menentukan dalam proses pengambilan keputusan, dan faktor-faktor tersebut (secara inheren) tidak dapat diukur. Ada juga yang praktis tidak berubah. Dalam hal ini, menjadi perlu untuk mengembangkan metode khusus yang mampu memastikan pemilihan keputusan manajemen yang penting dalam kerangka masalah organisasi, ekonomi, teknis yang kompleks (penilaian ahli, riset operasi dan metode optimasi, dll.).

Metode yang ditujukan untuk riset operasi digunakan untuk menemukan solusi optimal dalam bidang manajemen seperti pengorganisasian proses produksi dan transportasi, perencanaan produksi skala besar, pasokan material dan teknis.

Metode untuk mengoptimalkan solusi melibatkan penelitian dengan membandingkan perkiraan numerik sejumlah faktor, yang analisisnya tidak dapat dilakukan dengan menggunakan metode tradisional. Solusi optimal adalah yang terbaik di antara opsi-opsi yang mungkin dalam kaitannya dengan sistem ekonomi, dan yang paling dapat diterima dalam kaitannya dengan masing-masing elemen sistem adalah solusi suboptimal.

Inti dari metode riset operasi

Seperti disebutkan sebelumnya, mereka membentuk metode untuk mengoptimalkan keputusan manajemen. Dasarnya adalah model matematis (deterministik), probabilistik yang mewakili proses, jenis aktivitas atau sistem yang diteliti. Jenis model ini mewakili karakteristik kuantitatif dari masalah yang bersangkutan. Mereka berfungsi sebagai dasar untuk membuat keputusan manajemen yang penting dalam proses menemukan pilihan terbaik.

Daftar masalah yang memainkan peran penting bagi manajer produksi langsung dan diselesaikan selama penggunaan metode yang dipertimbangkan:

• tingkat validitas pilihan keputusan yang dipilih;
• seberapa baik alternatif tersebut dibandingkan alternatif lainnya;
• tingkat pertimbangan faktor penentu;
• apa kriteria optimalitas solusi yang dipilih.

Metode optimalisasi keputusan (manajerial) ini bertujuan untuk menemukan solusi optimal bagi sebanyak mungkin perusahaan, perusahaan, atau divisinya. Mereka didasarkan pada pencapaian yang ada di bidang statistik, matematika dan ekonomi (teori permainan, antrian, grafik, pemrograman optimal, statistik matematika).

Metode penilaian ahli

Metode untuk mengoptimalkan keputusan manajemen ini digunakan ketika suatu masalah sebagian atau seluruhnya tidak dapat diformalkan, dan solusinya tidak dapat ditemukan dengan menggunakan metode matematika.

Keahlian adalah studi tentang isu-isu khusus yang kompleks pada tahap pengembangan keputusan manajemen tertentu oleh orang-orang terkait yang memiliki basis pengetahuan khusus dan pengalaman yang mengesankan untuk memperoleh kesimpulan, rekomendasi, pendapat, dan penilaian. Dalam proses penelitian pakar, capaian terkini baik ilmu pengetahuan maupun teknologi digunakan dalam kerangka peminatan pakar.

Metode yang dipertimbangkan untuk mengoptimalkan sejumlah keputusan manajemen (penilaian ahli) efektif dalam menyelesaikan tugas-tugas manajemen berikut di bidang produksi:

1. Studi tentang proses, fenomena, situasi, sistem yang kompleks, yang dicirikan oleh karakteristik informal dan kualitatif.
2. Pemeringkatan dan penentuan, menurut kriteria tertentu, dari faktor-faktor penting yang menentukan fungsi dan pengembangan sistem produksi.
3. Metode optimasi yang dipertimbangkan sangat efektif dalam memprediksi tren perkembangan sistem produksi, serta interaksinya dengan lingkungan eksternal.
4. Meningkatkan keandalan penilaian ahli terutama pada fungsi sasaran yang bersifat kuantitatif dan kualitatif, dengan merata-ratakan pendapat spesialis yang berkualifikasi.

Dan ini hanyalah beberapa metode untuk mengoptimalkan sejumlah keputusan manajemen (penilaian ahli).

Klasifikasi metode yang dipertimbangkan

Metode penyelesaian masalah optimasi berdasarkan jumlah parameternya dapat dibedakan menjadi:

• Metode optimasi satu dimensi.
• Metode optimasi multidimensi.

Mereka juga disebut “metode optimasi numerik”. Tepatnya, ini adalah algoritma untuk mencarinya.

Sebagai bagian dari penggunaan derivatif, metodenya adalah:

• metode optimasi langsung (zero order);
• metode gradien (urutan pertama);
• metode pesanan ke-2, dll.

Sebagian besar metode optimasi multidimensi dekat dengan masalah metode kelompok kedua (optimasi satu dimensi).

Metode optimasi satu dimensi

Setiap metode optimasi numerik didasarkan pada perhitungan perkiraan atau eksak dari karakteristik seperti nilai fungsi tujuan dan fungsi yang menentukan himpunan yang diizinkan dan turunannya. Jadi, untuk setiap tugas individu, pertanyaan mengenai pilihan karakteristik untuk perhitungan dapat diselesaikan tergantung pada sifat-sifat yang ada dari fungsi yang dipertimbangkan, kemampuan yang ada dan keterbatasan dalam menyimpan dan memproses informasi.

Ada beberapa metode berikut untuk menyelesaikan masalah optimasi (satu dimensi):

• metode Fibonacci;
• dikotomi;
• rasio emas;
• menggandakan langkahnya.

metode Fibonacci

Pertama, Anda perlu mengatur koordinat titik x pada interval sebagai bilangan yang sama dengan perbandingan selisih (x - a) dengan selisih (b - a). Oleh karena itu, a mempunyai koordinat 0 terhadap interval, dan b mempunyai koordinat 1, dan titik tengahnya adalah ½.

Jika kita asumsikan F0 dan F1 sama besar dan mengambil nilai 1, maka F2 sama dengan 2, F3 - 3, ..., maka Fn = Fn-1 + Fn-2. Jadi, Fn adalah bilangan Fibonacci, dan pencarian Fibonacci adalah strategi optimal untuk apa yang disebut pencarian sekuensial maksimum karena fakta bahwa ia terkait erat dengannya.

Sebagai bagian dari strategi optimal, biasanya memilih xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. Untuk salah satu dari dua interval (atau), yang masing-masing dapat bertindak sebagai interval ketidakpastian yang menyempit, titik (yang diwarisi) relatif terhadap interval baru tersebut akan memiliki koordinat , atau . Selanjutnya, sebuah titik diambil sebagai xn - 2 yang memiliki salah satu koordinat yang disajikan relatif terhadap interval baru. Jika Anda menggunakan F(xn - 2), nilai fungsi yang diwarisi dari interval sebelumnya, interval ketidakpastian dapat dikurangi dan mewarisi satu nilai fungsi.

Pada langkah terakhir, dimungkinkan untuk berpindah ke interval ketidakpastian seperti, sedangkan titik tengahnya diwarisi dari langkah sebelumnya. Sebagai x1, sebuah titik ditetapkan yang memiliki koordinat relatif ½+ε, dan interval ketidakpastian akhir adalah atau [½, 1] terhadap .

Pada langkah pertama, panjang interval ini dikurangi menjadi Fn-1:Fn (dari satu). Pada langkah akhir, pengurangan panjang interval yang bersesuaian diwakili oleh angka Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, ..., F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε ). Jadi, panjang interval seperti versi final akan bernilai (1 + 2ε) : Fn.

Jika kita mengabaikan ε, maka secara asimtotik 1: Fn akan sama dengan rn, dengan n→∞, dan r = (√5 - 1) : 2, yang kira-kira sama dengan 0,6180.

Perlu dicatat bahwa secara asimtotik untuk n signifikan, setiap langkah pencarian Fibonacci berikutnya secara signifikan mempersempit interval yang dipertimbangkan dengan koefisien di atas. Hasil ini harus dibandingkan dengan 0,5 (koefisien penyempitan interval ketidakpastian dalam metode bagi bagi untuk mencari nol fungsi).

Metode dikotomi

Jika kita membayangkan suatu fungsi tujuan tertentu, maka pertama-tama kita perlu mencari titik ekstremnya pada interval (a; b). Untuk melakukan ini, sumbu absis dibagi menjadi empat bagian yang setara, kemudian perlu ditentukan nilai fungsi yang dimaksud pada 5 titik. Selanjutnya, jumlah minimum di antara mereka dipilih. Titik ekstrem suatu fungsi harus berada dalam interval (a"; b"), yang berbatasan dengan titik minimum. Batas pencarian dipersempit 2 kali lipat. Dan jika nilai minimumnya terletak di titik a atau b, maka menyempit sebanyak empat kali lipat. Interval baru juga dibagi menjadi empat segmen yang sama besar. Karena nilai fungsi ini di tiga titik telah ditentukan pada tahap sebelumnya, maka fungsi tujuan di dua titik perlu dihitung.

Metode rasio emas

Untuk nilai signifikan n, koordinat titik seperti xn dan xn-1 mendekati 1 - r, sama dengan 0,3820, dan r ≈ 0,6180. Dorongan dari nilai-nilai tersebut sangat mendekati strategi optimal yang diinginkan.

Jika kita berasumsi bahwa F(0,3820) > F(0,6180), maka intervalnya telah diuraikan. Namun karena 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, maka F sudah diketahui saat ini. Akibatnya, pada setiap tahap, mulai dari tahap ke-2, hanya diperlukan satu perhitungan fungsi tujuan, dan setiap tahap mengurangi panjang interval yang dipertimbangkan sebanyak 0,6180 kali.

Berbeda dengan pencarian Fibonacci, metode ini tidak memerlukan penetapan angka n sebelum memulai pencarian.

Bagian emas suatu bagian (a; b) adalah suatu bagian yang perbandingan panjang r terhadap bagian yang lebih besar (a; c) sama dengan perbandingan bagian yang lebih besar r terhadap bagian yang lebih kecil, yaitu , (a; c) sampai (c; b). Tidak sulit untuk menebak bahwa r ditentukan oleh rumus di atas. Akibatnya, untuk n signifikan, metode Fibonacci masuk ke dalam metode ini.

Metode penggandaan langkah

Intinya adalah mencari arah penurunan fungsi tujuan, pergerakan ke arah ini jika pencarian berhasil dengan langkah yang meningkat secara bertahap.

Pertama, kita tentukan koordinat awal M0 dari fungsi F(M), nilai langkah minimum h0, dan arah pencarian. Kemudian kita definisikan fungsinya di titik M0. Selanjutnya, kita mengambil langkah dan mencari nilai fungsi ini pada titik ini.

Jika fungsinya lebih kecil dari nilai pada langkah sebelumnya, maka langkah selanjutnya harus diambil ke arah yang sama, setelah dinaikkan terlebih dahulu sebanyak 2 kali. Jika nilainya lebih besar dari yang sebelumnya, Anda perlu mengubah arah pencarian dan kemudian mulai bergerak ke arah yang dipilih dengan langkah h0. Algoritma yang disajikan dapat dimodifikasi.

Metode optimasi multidimensi

Metode orde nol di atas tidak memperhitungkan turunan dari fungsi yang diperkecil, oleh karena itu penggunaannya bisa efektif jika timbul kesulitan dalam menghitung turunan.

Kelompok metode orde 1 juga disebut metode gradien, karena untuk menentukan arah pencarian, digunakan gradien fungsi tertentu - vektor, yang komponennya merupakan turunan parsial dari fungsi yang diminimalkan terhadap parameter optimal yang sesuai. .

Pada kelompok metode orde 2 digunakan 2 turunan (penggunaannya cukup terbatas karena kesulitan dalam perhitungannya).

Daftar metode pengoptimalan yang tidak dibatasi

Saat menggunakan pencarian multidimensi tanpa menggunakan turunan, metode optimasi tanpa batasan adalah sebagai berikut:

• Hook and Jeeves (melakukan 2 jenis pencarian - berbasis pola dan eksplorasi);
• minimalisasi dengan simpleks yang benar (mencari titik minimum dari fungsi yang bersesuaian dengan membandingkan nilainya pada simpul simpleks pada setiap iterasi individu);
• penurunan koordinat siklik (menggunakan vektor koordinat sebagai titik acuan);
• Rosenbrock (berdasarkan penggunaan minimalisasi satu dimensi);
• minimalisasi menggunakan simpleks terdeformasi (modifikasi metode minimalisasi menggunakan simpleks biasa: menambahkan prosedur kompresi dan regangan).

Dalam situasi penggunaan turunan dalam proses pencarian multidimensi, metode penurunan paling curam dibedakan (prosedur paling mendasar untuk meminimalkan fungsi terdiferensiasi dengan beberapa variabel).

Ada juga metode lain yang menggunakan arah konjugasi (metode Davidon-Fletcher-Powell). Esensinya adalah representasi arah pencarian sebagai Dj*grad(f(y)).

Klasifikasi metode optimasi matematika

Secara konvensional, berdasarkan dimensi fungsi (target) adalah:

• dengan 1 variabel;
• multidimensi.

Tergantung pada fungsinya (linier atau nonlinier), ada sejumlah besar metode matematika yang bertujuan untuk menemukan titik ekstrem untuk menyelesaikan masalah.

Berdasarkan kriteria penggunaan turunannya, metode optimasi matematis dibedakan menjadi:

• metode penghitungan 1 turunan fungsi tujuan;
• multidimensi (gradien besaran vektor turunan pertama).

Berdasarkan efisiensi perhitungannya, ada:

• metode penghitungan ekstrem dengan cepat;
• perhitungan yang disederhanakan.

Ini adalah klasifikasi bersyarat dari metode yang sedang dipertimbangkan.

Optimasi Proses Bisnis

Berbagai metode dapat digunakan di sini, tergantung masalah yang dipecahkan. Merupakan kebiasaan untuk membedakan metode berikut untuk mengoptimalkan proses bisnis:

• pengecualian (mengurangi tingkat proses yang ada, menghilangkan penyebab gangguan dan pengendalian masuk, mengurangi jalur transportasi);
• penyederhanaan (pemrosesan pesanan yang difasilitasi, pengurangan kompleksitas struktur produk, distribusi pekerjaan);
• standardisasi (penggunaan program khusus, metode, teknologi, dll);
• akselerasi (rekayasa paralel, stimulasi, desain operasional prototipe, otomatisasi);
• perubahan (perubahan bahan baku, teknologi, metode kerja, staf, sistem kerja, volume pesanan, prosedur pemrosesan);
• memastikan interaksi (terkait dengan unit organisasi, personel, sistem kerja);
• seleksi dan inklusi (relatif terhadap proses, komponen yang diperlukan).

Optimalisasi pajak: metode

Undang-undang Rusia memberi pembayar pajak peluang yang sangat besar untuk mengurangi pajak, oleh karena itu merupakan kebiasaan untuk membedakan metode yang bertujuan meminimalkannya sebagai metode umum (klasik) dan khusus.

Metode optimasi pajak secara umum adalah sebagai berikut:

• penjabaran kebijakan akuntansi perusahaan dengan memanfaatkan peluang yang diberikan oleh undang-undang Rusia semaksimal mungkin (prosedur penghapusan usaha kecil, pilihan metode untuk menghitung pendapatan dari penjualan barang, dll.);
• optimalisasi melalui kontrak (kesimpulan transaksi preferensial, penggunaan kata-kata yang jelas dan kompeten, dll.);
• penerapan berbagai jenis manfaat dan pembebasan pajak.

Metode kelompok kedua juga dapat digunakan oleh semua perusahaan, namun cakupan penerapannya masih agak sempit. Metode optimasi perpajakan khusus adalah sebagai berikut:

• penggantian hubungan (suatu operasi yang melibatkan perpajakan yang memberatkan digantikan oleh yang lain, yang memungkinkan seseorang mencapai tujuan yang sama, tetapi pada saat yang sama menggunakan perlakuan pajak preferensial).
• pembagian hubungan (penggantian hanya sebagian dari suatu transaksi bisnis);
• penundaan pembayaran pajak (penundaan saat munculnya objek pajak ke masa kalender lain);
• pengurangan objek pajak secara langsung (menghilangkan banyak transaksi atau harta benda kena pajak tanpa menimbulkan dampak negatif terhadap kegiatan ekonomi utama perusahaan).