rumah » gaun modis » Apa itu bilangan rasional dan irasional. Apa yang dimaksud dengan bilangan irasional?

Apa itu bilangan rasional dan irasional. Apa yang dimaksud dengan bilangan irasional?

Kami sebelumnya telah menunjukkan bahwa $1\frac25$ mendekati $\sqrt2$. Jika sama persis dengan $\sqrt2$, . Maka rasionya adalah $\frac(1\frac25)(1)$, yang dapat diubah menjadi rasio bilangan bulat $\frac75$ dengan mengalikan bagian atas dan bawah pecahan dengan 5, dan akan menjadi nilai yang diinginkan.

Namun sayangnya, $1\frac25$ bukanlah nilai pasti dari $\sqrt2$. Jawaban yang lebih akurat, $1\frac(41)(100)$, memberi kita relasi $\frac(141)(100)$. Kita mencapai akurasi yang lebih besar lagi ketika kita menyamakan $\sqrt2$ dengan $1\frac(207)(500)$. Dalam hal ini, rasio dalam bilangan bulat akan sama dengan $\frac(707)(500)$. Namun $1\frac(207)(500)$ bukanlah nilai pasti dari akar kuadrat dari 2. Matematikawan Yunani menghabiskan banyak waktu dan tenaga untuk menghitung nilai yang tepat$\sqrt2$, tetapi mereka tidak pernah berhasil. Mereka tidak dapat mewakili rasio $\frac(\sqrt2)(1)$ sebagai rasio bilangan bulat.

Terakhir, matematikawan besar Yunani Euclid membuktikan bahwa tidak peduli seberapa besar peningkatan akurasi perhitungan, tidak mungkin mendapatkan nilai pasti $\sqrt2$. Tidak ada pecahan yang jika dikuadratkan akan memberikan hasil 2. Mereka mengatakan bahwa Pythagoras adalah orang pertama yang sampai pada kesimpulan ini, tetapi fakta yang tidak dapat dijelaskan ini sangat mengejutkan ilmuwan tersebut sehingga dia bersumpah pada dirinya sendiri dan mengambil sumpah dari murid-muridnya untuk menjaganya. rahasia penemuan ini. Namun, informasi ini mungkin tidak benar.

Namun jika bilangan $\frac(\sqrt2)(1)$ tidak dapat direpresentasikan sebagai perbandingan bilangan bulat, maka tidak ada bilangan yang mengandung $\sqrt2$, misalnya $\frac(\sqrt2)(2)$ atau $\frac (4)(\sqrt2)$ juga tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat, karena semua pecahan tersebut dapat dikonversi menjadi $\frac(\sqrt2)(1)$ dikalikan dengan angka tertentu. Jadi $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \kali \frac12$. Atau $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, yang dapat dikonversi dengan mengalikan atas dan bawah dengan $\sqrt2$ untuk mendapatkan $\frac(4) (\sqrt2)$. (Kita harus ingat bahwa berapapun angka $\sqrt2$, jika kita mengalikannya dengan $\sqrt2$ kita mendapatkan 2.)

Karena bilangan $\sqrt2$ tidak dapat direpresentasikan sebagai rasio bilangan bulat, maka disebut bilangan irasional. Sebaliknya, semua bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai perbandingan bilangan bulat disebut rasional.

Semua bilangan bulat dan bilangan pecahan, baik positif maupun negatif.

Ternyata, sebagian besar akar kuadrat adalah bilangan irasional. Rasional akar kuadrat Hanya angka-angka yang termasuk dalam rangkaian angka persegi yang memilikinya. Angka-angka ini disebut juga kuadrat sempurna. Bilangan rasional juga merupakan pecahan yang dibuat dari kuadrat sempurna ini. Misalnya, $\sqrt(1\frac79)$ adalah bilangan rasional karena $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ atau $1\frac13$ (4 adalah akarnya akar kuadrat dari 16, dan 3 adalah akar kuadrat dari 9).

Bilangan rasional– bilangan yang diwakili oleh pecahan biasa m/n, dengan pembilang m adalah bilangan bulat, dan penyebut n adalah bilangan asli. Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal tak hingga periodik. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q.

Jika suatu bilangan riil tidak rasional, maka bilangan tersebut rasional bilangan irasional . Pecahan desimal yang menyatakan bilangan irasional bersifat tak terhingga dan non-periodik. Himpunan bilangan irasional biasanya dilambangkan dengan huruf kapital I.

Bilangan real disebut aljabar, jika itu adalah akar dari suatu polinomial (derajat bukan nol) dengan koefisien rasional. Bilangan non-aljabar apa pun disebut teramat.

Beberapa properti:

Himpunan bilangan rasional terletak di mana-mana secara padat pada sumbu bilangan: di antara dua bilangan rasional yang berbeda terdapat paling sedikit satu bilangan rasional (dan oleh karena itu merupakan himpunan bilangan rasional yang tak terhingga). Namun ternyata himpunan bilangan rasional Q dan himpunan bilangan asli N ekuivalen, yaitu korespondensi satu-satu dapat dibuat di antara keduanya (semua elemen himpunan bilangan rasional dapat dinomori ulang).

Himpunan Q bilangan rasional ditutup pada penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, yaitu jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi dua bilangan rasional juga merupakan bilangan rasional.

Semua bilangan rasional bersifat aljabar (kebalikannya salah).

Setiap bilangan transendental real adalah irasional.

Setiap bilangan irasional bersifat aljabar atau transendental.

Himpunan bilangan irasional padat di mana-mana pada garis bilangan: di antara dua bilangan mana pun terdapat bilangan irasional (dan oleh karena itu terdapat himpunan bilangan irasional yang tak terhingga).

Himpunan bilangan irasional tidak dapat dihitung.

Saat memecahkan masalah, akan lebih mudah, bersama dengan bilangan irasional a + b√ c (dimana a, b adalah bilangan rasional, c adalah bilangan bulat yang bukan kuadrat dari bilangan asli), untuk mempertimbangkan bilangan “konjugasi” a – b√ c: jumlah dan hasil kali dengan bilangan rasional – asal. Jadi a + b√ c dan a – b√ c adalah akar-akar persamaan kuadrat dengan koefisien bilangan bulat.

Masalah dengan solusi

1. Buktikan itu

a) angka √ 7;

b) log nomor 80;

c) bilangan √ 2 + 3 √ 3;

tidak rasional.

a) Misalkan bilangan √ 7 adalah bilangan rasional. Lalu, terdapat koprima p dan q sehingga √ 7 = p/q, sehingga diperoleh p 2 = 7q 2 . Karena p dan q relatif prima, maka p 2, sehingga p habis dibagi 7. Maka p = 7k, dengan k adalah suatu bilangan asli. Oleh karena itu q 2 = 7k 2 = pk, yang bertentangan dengan fakta bahwa p dan q adalah koprima.

Jadi anggapan tersebut salah, artinya bilangan √ 7 tidak rasional.

b) Misalkan bilangan log 80 adalah bilangan rasional. Lalu ada p dan q natural sehingga log 80 = p/q, atau 10 p = 80 q, sehingga kita memperoleh 2 p–4q = 5 q–p. Mengingat bilangan 2 dan 5 relatif prima, kita mengetahui bahwa persamaan terakhir hanya mungkin untuk p–4q = 0 dan q–p = 0. Oleh karena itu p = q = 0, hal ini tidak mungkin, karena p dan q dipilih menjadi alami.

Jadi anggapan tersebut salah, artinya bilangan lg 80 tidak rasional.

c) Mari kita tunjukkan nomor yang diberikan melalui x.

Maka (x – √ 2) 3 = 3, atau x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2). Setelah mengkuadratkan persamaan ini, kita mengetahui bahwa x harus memenuhi persamaan tersebut

x 6 – 6x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 36x + 1 = 0.

Akar rasionalnya hanya bisa berupa angka 1 dan –1. Pengecekan menunjukkan bahwa 1 dan –1 bukan akar.

Jadi bilangan yang diberikan √ 2 + 3 √ 3 adalah irasional.

2. Diketahui bilangan a,b, √a –√b,- rasional. Buktikan itu √a dan √b juga merupakan bilangan rasional.

Mari kita lihat pekerjaannya

(√ a – √ b)·(√ a + √ b) = a – b.

Nomor √a +√b, yang sama dengan perbandingan bilangan a – b dan √a –√b, adalah rasional, karena hasil bagi dua bilangan rasional adalah bilangan rasional. Jumlah dua bilangan rasional

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a – √ b) = √ a

– bilangan rasional, selisihnya,

½ (√ a + √ b) – ½ (√ a – √ b) = √ b,

juga merupakan bilangan rasional yang perlu dibuktikan.

3. Buktikan ada bilangan irasional positif a dan b yang bilangan a bnya merupakan bilangan asli.

4. Apakah ada bilangan rasional a, b, c, d yang memenuhi persamaan

(a + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

di mana n adalah bilangan asli?

Jika persamaan yang diberikan dalam kondisi terpenuhi, dan bilangan a, b, c, d rasional, maka persamaan tersebut juga terpenuhi:

(a–b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Namun 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan bahwa persamaan awal tidak mungkin terjadi.

Jawaban: mereka tidak ada.

5. Jika ruas-ruas yang panjangnya a, b, c membentuk segitiga, maka untuk semua n = 2, 3, 4, . . . ruas-ruas yang panjangnya n √ a, n √ b, n √ c juga membentuk segitiga. Buktikan itu.

Jika ruas-ruas yang panjangnya a, b, c membentuk segitiga, maka timbul pertidaksamaan segitiga

Oleh karena itu kita punya

(n √ a + n √ b) n > a + b > c = (n √ c) n,

N √ a + n √ b > n √ c.

Kasus-kasus lain dalam memeriksa pertidaksamaan segitiga dipertimbangkan dengan cara yang sama, yang kemudian diambil kesimpulannya.

6. Buktikan bahwa pecahan desimal tak hingga 0,1234567891011121314... (setelah koma semua bilangan asli ditulis berurutan) adalah bilangan irasional.

Seperti yang Anda ketahui, bilangan rasional dinyatakan sebagai pecahan desimal yang periodenya dimulai dari tanda tertentu. Oleh karena itu, cukup dibuktikan bahwa pecahan ini tidak periodik dengan tanda apa pun. Misalkan hal ini tidak terjadi, dan beberapa barisan T yang terdiri dari n digit adalah periode pecahan, dimulai dari tempat desimal ke-m. Jelas bahwa di antara angka-angka setelah tanda ke-m ada yang bukan nol, oleh karena itu pada barisan angka T ada angka yang bukan nol. Artinya, dimulai dari angka ke-m setelah koma, di antara n angka yang berurutan terdapat angka yang bukan nol. Namun notasi desimal pecahan ini harus memuat notasi desimal bilangan 100...0 = 10 k, dimana k > m dan k > n. Jelas bahwa entri ini muncul di sebelah kanan digit ke-m dan berisi lebih dari n angka nol berturut-turut. Jadi, kita memperoleh kontradiksi yang melengkapi pembuktian.

7. Diberikan pecahan desimal tak hingga 0,a 1 a 2 ... . Buktikan bahwa angka-angka dalam notasi desimalnya dapat disusun ulang sehingga pecahan yang dihasilkan menyatakan bilangan rasional.

Ingatlah bahwa pecahan menyatakan bilangan rasional jika dan hanya jika pecahan tersebut periodik, dimulai dari tanda tertentu. Kita akan membagi bilangan-bilangan dari 0 sampai 9 menjadi dua kelas: pada kelas pertama kita memasukkan bilangan-bilangan yang muncul pada pecahan asal sebanyak beberapa kali, pada kelas kedua kita memasukkan bilangan-bilangan yang muncul pada pecahan asal dalam jumlah tak terhingga. waktu. Mari kita mulai menuliskan pecahan periodik yang dapat diperoleh dari pecahan asli dengan menyusun ulang angka-angkanya. Pertama, setelah nol dan koma, kita menulis secara acak semua bilangan dari kelas pertama - masing-masing sebanyak yang muncul dalam notasi pecahan aslinya. Digit kelas pertama yang dicatat akan mendahului titik di bagian pecahan desimal. Selanjutnya, mari kita tuliskan angka-angka dari kelas kedua satu per satu dalam urutan tertentu. Kami akan menyatakan kombinasi ini sebagai titik dan mengulanginya berkali-kali. Jadi, kami telah menuliskan pecahan periodik yang diperlukan yang menyatakan bilangan rasional tertentu.

8. Buktikan bahwa dalam setiap pecahan desimal tak hingga terdapat barisan tempat desimal yang panjangnya sembarang, yang muncul berkali-kali tak terhingga dalam penguraian pecahan tersebut.

Misalkan m adalah bilangan asli yang diberikan secara sembarang. Mari kita bagi pecahan desimal tak hingga ini menjadi segmen-segmen yang masing-masing memiliki m digit. Segmen seperti itu akan jumlahnya tak terhingga. Di sisi lain, hanya ada 10 m sistem berbeda yang terdiri dari m digit, yaitu bilangan berhingga. Akibatnya, setidaknya satu dari sistem ini harus diulangi di sini berkali-kali tanpa batas.

Komentar. Untuk bilangan irasional √ 2, π atau e kita bahkan tidak tahu digit mana yang diulang berkali-kali dalam pecahan desimal tak hingga yang mewakilinya, meskipun masing-masing bilangan ini dapat dengan mudah dibuktikan mengandung setidaknya dua digit berbeda.

9. Buktikan secara mendasar bahwa akar persamaan tersebut positif

tidak rasional.

Untuk x > 0, ruas kiri persamaan bertambah dengan x, dan mudah untuk melihat bahwa pada x = 1,5 kurang dari 10, dan pada x = 1,6 lebih besar dari 10. Oleh karena itu, satu-satunya akar positif dari persamaannya terletak di dalam interval (1.5 ; 1.6).

Mari kita tulis akarnya sebagai pecahan tak tereduksi p/q, di mana p dan q adalah bilangan asli yang relatif prima. Maka pada x = p/q persamaannya akan berbentuk sebagai berikut:

p 5 + pq 4 = 10q 5,

maka p adalah pembagi 10, maka p sama dengan salah satu bilangan 1, 2, 5, 10. Namun, ketika menulis pecahan dengan pembilang 1, 2, 5, 10, kita langsung memperhatikan bahwa tidak ada satupun yang termasuk dalam interval (1.5; 1.6).

Jadi, akar positif dari persamaan awal tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa, yang artinya bilangan irasional.

10. a) Apakah ada tiga titik A, B dan C pada bidang sedemikian rupa sehingga untuk setiap titik X panjang paling sedikit salah satu ruas XA, XB dan XC adalah irasional?

b) Koordinat titik sudut segitiga rasional. Buktikan bahwa koordinat pusat lingkarannya juga rasional.

c) Apakah ada bola yang di atasnya terdapat tepat satu titik rasional? (Titik rasional adalah titik yang ketiga koordinat Kartesiusnya merupakan bilangan rasional.)

a) Ya, mereka ada. Misalkan C adalah titik tengah ruas AB. Maka XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Jika bilangan AB 2 irasional, maka bilangan XA, XB dan XC tidak bisa rasional sekaligus.

b) Misalkan (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) dan (a 3 ; b 3) adalah koordinat titik-titik sudut segitiga. Koordinat pusat lingkaran yang dibatasi diberikan oleh sistem persamaan:

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2,

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2.

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa persamaan-persamaan ini linier, yang berarti bahwa solusi sistem persamaan yang dipertimbangkan adalah rasional.

c) Lingkungan seperti itu ada. Misalnya bola dengan persamaan

(x – √ 2 ) 2 + kamu 2 + z 2 = 2.

Titik O dengan koordinat (0; 0; 0) merupakan titik rasional yang terletak pada bola tersebut. Titik-titik lainnya pada bola tersebut tidak rasional. Mari kita buktikan.

Mari kita asumsikan sebaliknya: misalkan (x; y; z) adalah titik rasional bola, berbeda dengan titik O. Jelas bahwa x berbeda dari 0, karena pada x = 0 terdapat solusi unik (0; 0; 0), yang tidak tersedia bagi kami yang sekarang tertarik. Mari kita buka tanda kurung dan nyatakan √ 2:

x 2 – 2√ 2 x + 2 + kamu 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + kamu 2 + z 2)/(2x),

yang tidak dapat terjadi dengan rasional x, y, z dan irasional √ 2. Jadi, O(0; 0; 0) adalah satu-satunya titik rasional pada bidang yang ditinjau.

Masalah tanpa solusi

1. Buktikan bahwa bilangan tersebut

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

tidak rasional.

2. Untuk bilangan bulat m dan n manakah persamaan (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n berlaku?

3. Apakah ada suatu bilangan a sehingga bilangan a – √ 3 dan 1/a + √ 3 bilangan bulat?

4. Dapatkah bilangan 1, √ 2, 4 menjadi anggota (tidak harus berdekatan) suatu barisan aritmatika?

5. Buktikan bahwa untuk sembarang bilangan asli n persamaan (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 tidak mempunyai solusi pada bilangan rasional (x; y).

Bilangan irasional- Ini bilangan real, yang tidak rasional, yaitu tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana bilangan bulat, . Bilangan irasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal non-periodik tak terhingga.

Himpunan bilangan irasional biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital yang dicetak tebal tanpa arsiran. Jadi: , yaitu. ada banyak bilangan irasional perbedaan antara himpunan bilangan real dan rasional.

Tentang keberadaan bilangan irasional lebih tepatnya segmen yang tidak dapat dibandingkan dengan segmen dengan satuan panjang telah diketahui oleh para ahli matematika kuno: mereka mengetahui, misalnya, ketidakterbandingan diagonal dan sisi persegi, yang setara dengan irasionalitas suatu bilangan.

Properti

Bilangan real apa pun dapat ditulis sebagai pecahan desimal tak hingga, sedangkan bilangan irasional dan hanya bilangan tersebut dapat ditulis sebagai pecahan desimal tak hingga non-periodik.
Bilangan irasional mendefinisikan pemotongan Dedekind pada himpunan bilangan rasional yang tidak mempunyai bilangan terbesar di golongan bawah dan tidak mempunyai bilangan terkecil di golongan atas.
Setiap bilangan transendental real adalah irasional.
Setiap bilangan irasional bersifat aljabar atau transendental.
Himpunan bilangan irasional padat di mana-mana pada garis bilangan: di antara dua bilangan ada bilangan irasional.
Urutan himpunan bilangan irasional isomorfik terhadap urutan himpunan bilangan transendental real.
Himpunan bilangan irasional tidak terhitung dan merupakan himpunan kategori kedua.

Contoh

Bilangan irasional
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - -

Yang tidak rasional adalah:

Contoh bukti irasionalitas

Akar dari 2

Mari kita asumsikan sebaliknya: rasional, yaitu direpresentasikan sebagai pecahan tak tereduksi, yang merupakan bilangan bulat dan merupakan bilangan asli. Mari kita hitung persamaan yang seharusnya:

Oleh karena itu genap adalah genap dan . Biarkan itu menjadi tempat keseluruhannya. Kemudian

Oleh karena itu, genap berarti genap dan . Kami menemukan bahwa dan genap, yang bertentangan dengan pecahan yang tidak dapat direduksi. Artinya asumsi awal salah dan merupakan bilangan irasional.

Logaritma biner dari angka 3

Mari kita asumsikan sebaliknya: rasional, yaitu direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat dipilih menjadi positif. Kemudian

Tapi genap dan ganjil. Kami mendapatkan kontradiksi.

e

Cerita

Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manava (c. 750 SM - c. 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61 tidak dapat dinyatakan secara eksplisit. .

Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemukan bukti ini dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi-bagi, yang memasuki segmen mana pun beberapa kali bilangan bulat. Namun Hippasus berpendapat bahwa tidak ada satuan panjang yang tunggal, karena anggapan keberadaannya menimbulkan kontradiksi. Dia menunjukkan bahwa jika sisi miring segitiga siku-siku sama kaki berisi bilangan bulat dari satuan segmen, maka bilangan tersebut harus genap dan ganjil. Buktinya terlihat seperti ini:

Perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki segitiga siku-siku sama kaki dapat dinyatakan sebagai A:B, Di mana A Dan B dipilih sekecil mungkin.
Menurut teorema Pythagoras: A² = 2 B².
Karena A- bahkan, A harus genap (karena kuadrat suatu bilangan ganjil adalah ganjil).
Karena A:B tidak dapat direduksi B pasti ganjil.
Karena A bahkan, kami menyatakannya A = 2kamu.
Kemudian A² = 4 kamu² = 2 B².
B² = 2 kamu², oleh karena itu B- bahkan kemudian B bahkan.
Namun, hal itu telah terbukti B aneh. Kontradiksi.

Matematikawan Yunani menyebut rasio kuantitas yang tidak dapat dibandingkan ini alogos(tak terkatakan), tetapi menurut legenda mereka tidak menghormati Hippasus. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan ini saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh pengikut Pythagoras lainnya “karena menciptakan elemen alam semesta yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya.” Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematika Pythagoras, menghancurkan asumsi mendasar bahwa bilangan dan objek geometris adalah satu dan tidak dapat dipisahkan.

Para ahli matematika kuno sudah mengetahui tentang segmen satuan panjang: mereka mengetahui, misalnya, ketidakterbandingan diagonal dan sisi persegi, yang setara dengan irasionalitas suatu bilangan.

Yang tidak rasional adalah:

Contoh bukti irasionalitas

Akar dari 2

Mari kita asumsikan sebaliknya: rasional, yaitu direpresentasikan dalam bentuk pecahan tak tersederhanakan, di mana dan adalah bilangan bulat. Mari kita hitung persamaan yang seharusnya:

Oleh karena itu genap adalah genap dan . Biarkan itu menjadi tempat keseluruhannya. Kemudian

Oleh karena itu, genap berarti genap dan . Kami menemukan bahwa dan genap, yang bertentangan dengan pecahan yang tidak dapat direduksi. Artinya asumsi awal salah dan merupakan bilangan irasional.

Logaritma biner dari angka 3

Mari kita asumsikan sebaliknya: rasional, yaitu direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat dipilih menjadi positif. Kemudian

Tapi genap dan ganjil. Kami mendapatkan kontradiksi.

e

Cerita

Perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki segitiga siku-siku sama kaki dapat dinyatakan sebagai A:B, Di mana A Dan B dipilih sekecil mungkin.
Menurut teorema Pythagoras: A² = 2 B².
Karena A- bahkan, A harus genap (karena kuadrat suatu bilangan ganjil adalah ganjil).
Karena A:B tidak dapat direduksi B pasti ganjil.
Karena A bahkan, kami menyatakannya A = 2kamu.
Kemudian A² = 4 kamu² = 2 B².
B² = 2 kamu², oleh karena itu B- bahkan kemudian B bahkan.
Namun, hal itu telah terbukti B aneh. Kontradiksi.

Lihat juga

Catatan

Sistem numerik
Perhitungan set	Bilangan asli () Bilangan bulat ()

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana . Q adalah himpunan semua bilangan rasional.

Bilangan rasional dibagi menjadi: positif, negatif dan nol.

Setiap bilangan rasional dapat diasosiasikan dengan satu titik pada garis koordinat. Relasi “lebih ke kiri” untuk titik-titik sama dengan relasi “kurang dari” untuk koordinat titik-titik tersebut. Anda dapat melihat bahwa setiap bilangan negatif kurang dari nol dan setiap bilangan negatif nomor positif; dari dua angka negatif yang lebih kecil adalah yang modulusnya lebih besar. Jadi, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik. Misalnya, .

Algoritma untuk operasi bilangan rasional mengikuti aturan tanda untuk operasi yang sesuai pada pecahan nol dan positif. Di Q, pembagian dilakukan kecuali pembagian dengan nol.

Setiap persamaan linier, yaitu. persamaan bentuk ax+b=0, dimana , dapat diselesaikan pada himpunan Q, namun tidak dapat diselesaikan pada himpunan Q mana pun persamaan kuadrat baik , dapat dipecahkan dalam bilangan rasional. Tidak semua titik pada garis koordinat mempunyai titik rasional. Kembali pada akhir abad ke-6 SM. N. e dalam aliran Pythagoras terbukti bahwa diagonal suatu persegi tidak sepadan dengan tingginya, yang sama saja dengan pernyataan: “Persamaan tersebut tidak mempunyai akar rasional.” Semua hal di atas menyebabkan perlunya perluasan himpunan Q, dan konsep bilangan irasional diperkenalkan. Mari kita nyatakan himpunan bilangan irasional dengan huruf J .

Pada suatu garis koordinat, saya mempunyai koordinat irasional semua titik yang tidak mempunyai koordinat rasional. , dimana r – set bilangan real. Cara universal untuk menentukan bilangan real adalah desimal. Desimal periodik menentukan bilangan rasional, dan desimal non-periodik menentukan bilangan irasional. Jadi, 2,03(52) adalah bilangan rasional, 2,03003000300003... (periode setiap bilangan berikutnya “3” ditulis satu nol lagi) adalah bilangan irasional.

Himpunan Q dan R mempunyai sifat positif: di antara dua bilangan rasional ada bilangan rasional, misalnya esoi a

Untuk bilangan irasional apa pun α Anda dapat menunjukkan perkiraan rasional dengan kekurangan dan kelebihan dengan akurasi apa pun: a< α

Pengoperasian akar suatu bilangan rasional menghasilkan bilangan irasional. Mengekstraksi akar derajat alami adalah operasi aljabar, yaitu. pengenalannya dikaitkan dengan solusi bentuk persamaan aljabar . Jika n ganjil, mis. n=2k+1, di mana , maka persamaan tersebut mempunyai akar tunggal. Jika n genap, n=2k, di mana , maka untuk a=0 persamaan tersebut mempunyai akar tunggal x=0, untuk a<0 корней нет, при a>0 mempunyai dua akar yang saling berhadapan. Mengekstraksi akar adalah operasi kebalikan dari peningkatan kekuatan alami.

Akar aritmatika (disingkat akar) derajat ke-n dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif b, yang merupakan akar persamaan. Akar ke-n suatu bilangan dilambangkan dengan simbol. Ketika n=2, derajat akar 2 tidak ditunjukkan: .

Misalnya karena 2 2 =4 dan 2>0; , Karena 3 3 =27 dan 3>0; tidak ada karena -4<0.

Untuk n=2k dan a>0, akar-akar persamaan (1) ditulis sebagai dan . Misalnya akar-akar persamaan x 2 =4 adalah 2 dan -2.

Untuk n ganjil, persamaan (1) mempunyai akar unik untuk sembarang . Jika a≥0, maka adalah akar persamaan ini. Jika sebuah<0, то –а>0 dan merupakan akar persamaan. Jadi persamaan x 3 = 27 mempunyai akar.

Tampilan