Contoh penyelesaian persamaan trigonometri kompleks. Metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri
Metode penyelesaian persamaan trigonometri
Pendahuluan 2
Metode penyelesaian persamaan trigonometri 5
Aljabar 5
Menyelesaikan persamaan menggunakan syarat persamaan fungsi trigonometri bernama sama 7
Faktorisasi 8
Reduksi ke persamaan homogen 10
Pengenalan sudut bantu 11
Ubah hasil kali menjadi jumlah 14
Substitusi universal 14
Kesimpulan 17
Perkenalan
Sampai kelas sepuluh, urutan tindakan dari banyak latihan yang mengarah ke tujuan, sebagai suatu peraturan, ditentukan dengan jelas. Misalnya persamaan dan pertidaksamaan linier dan kuadrat, persamaan dan persamaan pecahan yang dapat direduksi menjadi persamaan kuadrat, dan lain-lain. Tanpa memeriksa secara rinci prinsip penyelesaian setiap contoh yang disebutkan, kami mencatat hal-hal umum yang diperlukan agar penyelesaiannya berhasil.
Dalam kebanyakan kasus, Anda perlu menentukan jenis tugas yang dimaksud, mengingat urutan tindakan yang mengarah ke tujuan, dan melakukan tindakan ini. Jelasnya, keberhasilan atau kegagalan seorang siswa dalam menguasai teknik penyelesaian persamaan terutama bergantung pada seberapa baik ia mampu menentukan jenis persamaan dengan benar dan mengingat urutan semua tahapan penyelesaiannya. Tentu saja, siswa diasumsikan memiliki keterampilan untuk melakukan transformasi dan perhitungan yang identik.
Situasi yang sangat berbeda muncul ketika seorang anak sekolah dihadapkan pada persamaan trigonometri. Selain itu, tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut bersifat trigonometri. Kesulitan muncul ketika menemukan tindakan yang akan membawa hasil positif. Dan di sini siswa menghadapi dua masalah. Sulit untuk menentukan jenisnya berdasarkan tampilan persamaannya. Dan tanpa mengetahui jenisnya, hampir tidak mungkin untuk memilih formula yang diinginkan dari beberapa lusin formula yang tersedia.
Untuk membantu siswa menemukan jalan melewati labirin persamaan trigonometri yang kompleks, pertama-tama mereka diperkenalkan dengan persamaan yang direduksi menjadi persamaan kuadrat ketika variabel baru diperkenalkan. Kemudian mereka menyelesaikan persamaan homogen dan persamaan yang dapat direduksi menjadi persamaan tersebut. Biasanya, semuanya diakhiri dengan persamaan, yang penyelesaiannya perlu memfaktorkan ruas kiri, lalu menyamakan masing-masing faktor dengan nol.
Menyadari bahwa selusin setengah persamaan yang dibahas dalam pelajaran jelas tidak cukup untuk mengarahkan siswa pada perjalanan mandiri melalui “laut” trigonometri, guru menambahkan beberapa rekomendasinya sendiri.
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mencoba:
Bawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke “sudut yang sama”;
Kurangi persamaan tersebut menjadi “fungsi identik”;
Faktorkan ruas kiri persamaan, dst.
Namun meskipun mengetahui tipe dasar persamaan trigonometri dan beberapa prinsip untuk mencari solusinya, banyak siswa masih bingung dengan setiap persamaan yang sedikit berbeda dari yang diselesaikan sebelumnya. Masih belum jelas apa yang harus diperjuangkan ketika memiliki persamaan ini atau itu, mengapa dalam satu kasus perlu menggunakan rumus sudut ganda, di kasus lain - setengah sudut, dan di kasus ketiga - rumus penjumlahan, dll.
Definisi 1. Persamaan trigonometri adalah persamaan yang di dalamnya terdapat persamaan yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri.
Definisi 2. Suatu persamaan trigonometri dikatakan mempunyai sudut yang sama jika semua fungsi trigonometri yang termasuk di dalamnya mempunyai argumen yang sama. Suatu persamaan trigonometri dikatakan mempunyai fungsi identik jika persamaan tersebut hanya memuat salah satu fungsi trigonometri saja.
Definisi 3. Pangkat monomial yang mengandung fungsi trigonometri adalah jumlah eksponen pangkat fungsi trigonometri yang termasuk di dalamnya.
Definisi 4. Suatu persamaan dikatakan homogen jika semua monomial yang termasuk di dalamnya mempunyai derajat yang sama. Derajat ini disebut orde persamaan.
Definisi 5. Persamaan trigonometri hanya berisi fungsi dosa Dan karena, disebut homogen jika semua monomial terhadap fungsi trigonometri mempunyai derajat yang sama, dan fungsi trigonometri itu sendiri mempunyai sudut yang sama besar dan jumlah monomialnya 1 lebih besar dari orde persamaannya.
Metode penyelesaian persamaan trigonometri.
Penyelesaian persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap: mentransformasikan persamaan tersebut hingga memperoleh bentuk paling sederhana dan menyelesaikan persamaan trigonometri paling sederhana yang dihasilkan. Ada tujuh metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
SAYA. Metode aljabar. Metode ini terkenal dari aljabar. (Metode penggantian dan substitusi variabel).
Selesaikan persamaan.
1)
Mari kita perkenalkan notasinya X=2 dosa3 T, kita mendapatkan
Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan: 
atau 
itu. dapat dituliskan
Saat mencatat solusi yang dihasilkan karena adanya tanda-tanda 
derajat 
tidak ada gunanya menuliskannya.
Menjawab: 
Mari kita tunjukkan 
Kami mendapatkan persamaan kuadrat 
. Akarnya adalah angka 
Dan 
. Oleh karena itu, persamaan ini direduksi menjadi persamaan trigonometri paling sederhana 
Dan 
. Memecahkannya, kami menemukan itu 
atau 
.
Menjawab: 
; 
.
Mari kita tunjukkan 
tidak memenuhi syarat 
Cara 
Menjawab: 
Mari kita ubah ruas kiri persamaan:
Dengan demikian, persamaan awal ini dapat ditulis sebagai:
, yaitu.
Setelah ditunjuk 
, kita mendapatkan 
Memecahkan persamaan kuadrat ini kita mempunyai:
tidak memenuhi syarat 
Kami menuliskan solusi persamaan awal:
Menjawab: 
Pengganti 
mereduksi persamaan ini menjadi persamaan kuadrat 
. Akarnya adalah angka 
Dan 
. Karena 
, maka persamaan yang diberikan tidak memiliki akar.
Jawaban: tidak ada akar.
II. Menyelesaikan persamaan menggunakan syarat persamaan fungsi trigonometri bernama sama.
A) 
, Jika
B) 
, Jika
V) 
, Jika 
Dengan menggunakan kondisi ini, pertimbangkan penyelesaian persamaan berikut:
6) 
Dengan menggunakan apa yang dikatakan di bagian a) kita menemukan bahwa persamaan tersebut memiliki solusi jika dan hanya jika 
.
Memecahkan persamaan ini, kami menemukan 
.
Kami memiliki dua kelompok solusi: 
.
7) Selesaikan persamaan: 
.
Dengan menggunakan kondisi butir b) kami menyimpulkannya 
.
Memecahkan persamaan kuadrat ini, kita mendapatkan:
.
8) Selesaikan persamaannya 
.
Dari persamaan ini kita menyimpulkan bahwa. Memecahkan persamaan kuadrat ini, kami menemukan itu 
.
AKU AKU AKU. Faktorisasi.
Kami mempertimbangkan metode ini dengan contoh.
9) Selesaikan persamaannya 
.
Larutan. Mari kita pindahkan semua suku persamaan ke kiri: .
Mari kita transformasikan dan faktorkan ekspresi di ruas kiri persamaan: 
.
.
.
1)
2) 
Karena 
Dan 
tidak menerima nilai nol
sekaligus, lalu kita bagi kedua bagiannya
persamaan untuk 
, 
Menjawab: 
10) Selesaikan persamaan:
Larutan.
atau 
Menjawab: 
11) Selesaikan persamaannya
Larutan:
1)
2)
3)
, 
Menjawab: 
IV. Reduksi menjadi persamaan homogen.
Untuk menyelesaikan persamaan homogen yang Anda butuhkan:
Pindahkan semua anggotanya ke sisi kiri;
Tempatkan semua faktor persekutuan di luar tanda kurung;
Samakan semua faktor dan tanda kurung dengan nol;
Tanda kurung sama dengan nol memberikan persamaan homogen dengan derajat lebih rendah, yang harus dibagi 
(atau 
) di tingkat senior;
Selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan untuk 
.
Mari kita lihat contohnya:
12) Selesaikan persamaan:
Larutan.
Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan 
, 
Memperkenalkan sebutan 
, nama
akar persamaan ini: 
karenanya 1) 
2) 
Menjawab: 
13) Selesaikan persamaan:
Larutan. Dengan menggunakan rumus sudut ganda dan identitas trigonometri dasar, persamaan ini direduksi menjadi argumen setengah:
Setelah mengurangi istilah serupa yang kita miliki:
Membagi persamaan terakhir yang homogen dengan 
, kita mendapatkan
saya akan menunjukkan 
, kita mendapatkan persamaan kuadrat 
, yang akarnya adalah bilangan 
Dengan demikian 
Ekspresi 
menuju nol pada 
, yaitu. pada 
, 
.
Solusi persamaan yang kami peroleh tidak menyertakan angka-angka ini.
Menjawab: 
, .
V. Pengenalan sudut bantu.
Pertimbangkan persamaan bentuk
Di mana a, b, c- koefisien, X- tidak dikenal.
Mari kita bagi kedua ruas persamaan ini dengan 
Sekarang koefisien persamaan tersebut mempunyai sifat sinus dan cosinus, yaitu: modulus masing-masing tidak melebihi satu, dan jumlah kuadratnya sama dengan 1.
Kemudian kita dapat menunjuk mereka sesuai dengan itu 
(Di Sini 
- sudut bantu) dan persamaan kita berbentuk: .
Kemudian 
Dan keputusannya
Perhatikan bahwa notasi yang diperkenalkan dapat dipertukarkan satu sama lain.
14) Selesaikan persamaan: 
Larutan. Di Sini 
, jadi kita bagi kedua ruas persamaan tersebut dengan 
Menjawab: 
15) Selesaikan persamaannya
Larutan. Karena 
, maka persamaan ini ekuivalen dengan persamaan tersebut
Karena 
, maka ada sudut sedemikian rupa 
, 
(itu. 
).
Kita punya 
Karena 
, maka kita akhirnya mendapatkan:
.
Perhatikan bahwa persamaan bentuk mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika 
16) Selesaikan persamaan:
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita mengelompokkan fungsi trigonometri dengan argumen yang sama
Bagilah kedua ruas persamaan dengan dua
Mari kita ubah jumlah fungsi trigonometri menjadi hasil kali:
Menjawab: 
VI. Mengubah produk menjadi jumlah.
Rumus yang sesuai digunakan di sini.
17) Selesaikan persamaan:
Larutan. Mari kita ubah ruas kiri menjadi jumlah:
VII.Substitusi universal.
, 
rumus ini berlaku untuk semua orang 
Pengganti 
disebut universal.
18) Selesaikan persamaan: 
Solusi: Ganti dan 
untuk ekspresi mereka melalui 
dan menunjukkan 
.
Kami mendapatkan persamaan rasional 
, yang diubah menjadi persegi 
.
Akar persamaan ini adalah angka 
.
Oleh karena itu, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian dua persamaan 
.
Kami menemukan itu 
.
Lihat nilai 
tidak memenuhi persamaan awal, yang diverifikasi dengan memeriksa - mengganti nilai yang diberikan T ke dalam persamaan aslinya.
Menjawab: 
.
Komentar. Persamaan 18 dapat diselesaikan dengan cara lain.
Mari kita bagi kedua ruas persamaan ini dengan 5 (yaitu dengan 
): 
.
Karena 
, lalu ada nomor seperti itu 
, Apa 
Dan 
. Oleh karena itu persamaannya berbentuk: 
atau 
. Dari sini kita menemukan hal itu 
Di mana 
.
19) Selesaikan persamaannya 
.
Larutan. Sejak fungsinya 
Dan 
mempunyai nilai terbesar sama dengan 1, maka jumlahnya sama dengan 2 jika 
Dan 
, secara bersamaan, yaitu 
.
Menjawab: 
.
Saat menyelesaikan persamaan ini, batasan fungsi dan digunakan.
Kesimpulan.
Saat mengerjakan topik “Menyelesaikan persamaan trigonometri”, ada baiknya bagi setiap guru untuk mengikuti rekomendasi berikut:
Sistematisasikan metode penyelesaian persamaan trigonometri.
Pilih sendiri langkah-langkah untuk melakukan analisis persamaan dan tanda-tanda kelayakan menggunakan metode solusi tertentu.
Pikirkan cara untuk memantau sendiri aktivitas Anda dalam menerapkan metode ini.
Belajarlah untuk menyusun persamaan “Anda sendiri” untuk setiap metode yang sedang dipelajari.
Lampiran No.1
Memecahkan persamaan homogen atau dapat direduksi menjadi persamaan homogen.
1. | Reputasi. |
Reputasi. |
|
Reputasi. |
|
5. | Reputasi. |
Reputasi. |
|
7. | Reputasi. |
Reputasi. |
|
Saat menyelesaikan banyak hal masalah matematika, terutama yang terjadi sebelum kelas 10, urutan tindakan yang dilakukan yang akan mengarah pada tujuan telah ditentukan dengan jelas. Permasalahan tersebut misalnya persamaan linier dan kuadrat, pertidaksamaan linier dan kuadrat, persamaan pecahan, dan persamaan yang direduksi menjadi persamaan kuadrat. Prinsip keberhasilan penyelesaian setiap masalah yang disebutkan adalah sebagai berikut: Anda perlu menentukan jenis masalah apa yang sedang Anda pecahkan, mengingat urutan tindakan yang diperlukan yang akan mengarah pada hasil yang diinginkan, yaitu. jawab dan ikuti langkah berikut.
Jelaslah bahwa keberhasilan atau kegagalan dalam menyelesaikan suatu masalah tertentu terutama bergantung pada seberapa benar jenis persamaan yang diselesaikan ditentukan, seberapa benar urutan semua tahapan penyelesaiannya direproduksi. Tentunya dalam hal ini diperlukan keterampilan untuk melakukan transformasi dan perhitungan yang identik.
Situasinya berbeda dengan persamaan trigonometri. Sama sekali tidak sulit untuk menetapkan fakta bahwa persamaan tersebut bersifat trigonometri. Kesulitan muncul ketika menentukan urutan tindakan yang akan menghasilkan jawaban yang benar.
Terkadang sulit untuk menentukan jenisnya berdasarkan kemunculan suatu persamaan. Dan tanpa mengetahui jenis persamaannya, hampir tidak mungkin memilih persamaan yang tepat dari beberapa lusin rumus trigonometri.
Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, Anda perlu mencoba:
1. membawa semua fungsi yang termasuk dalam persamaan ke “sudut yang sama”;
2. membawa persamaan ke “fungsi identik”;
3. faktorkan ruas kiri persamaan, dst.
Mari kita pertimbangkan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
I. Reduksi ke persamaan trigonometri paling sederhana
Diagram solusi
Langkah 1. Nyatakan fungsi trigonometri dalam komponen-komponen yang diketahui.
Langkah 2. Temukan argumen fungsi menggunakan rumus:
karena x = sebuah; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
dosa x = a; x = (-1) n busursin a + πn, n Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Z.
Langkah 3. Temukan variabel yang tidak diketahui.
Contoh.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Larutan.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Z.
Jawaban: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Penggantian variabel
Diagram solusi
Langkah 1. Ubah persamaan tersebut menjadi bentuk aljabar terhadap salah satu fungsi trigonometri.
Langkah 2. Nyatakan fungsi yang dihasilkan dengan variabel t (jika perlu, berikan batasan pada t).
Langkah 3. Tuliskan dan selesaikan persamaan aljabar yang dihasilkan.
Langkah 4. Lakukan penggantian terbalik.
Langkah 5. Selesaikan persamaan trigonometri paling sederhana.
Contoh.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Larutan.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Misalkan sin (x/2) = t, dimana |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 atau e = -3/2, tidak memenuhi syarat |t| ≤ 1.
4) dosa(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Z;
x = π + 4πn, n Z.
Jawaban: x = π + 4πn, n Z.
AKU AKU AKU. Metode pengurangan orde persamaan
Diagram solusi
Langkah 1. Gantikan persamaan ini dengan persamaan linier, menggunakan rumus pengurangan derajat:
dosa 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Langkah 2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode I dan II.
Contoh.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Larutan.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Z;
x = ±π/6 + πn, n Z.
Jawaban: x = ±π/6 + πn, n Z.
IV. Persamaan homogen
Diagram solusi
Langkah 1. Kurangi persamaan ini ke bentuk
a) a sin x + b cos x = 0 (persamaan homogen derajat satu)
atau ke pemandangan
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (persamaan homogen derajat kedua).
Langkah 2. Bagilah kedua ruas persamaan dengan
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
dan dapatkan persamaan untuk tan x:
a) tan x + b = 0;
b) tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Langkah 3. Selesaikan persamaan menggunakan metode yang diketahui.
Contoh.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Larutan.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Misalkan tg x = t
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 atau t = -4 yang artinya
tg x = 1 atau tg x = -4.
Dari persamaan pertama x = π/4 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua x = -arctg 4 + πk, k Z.
Jawaban: x = π/4 + πn, n Z; x = -arctg 4 + πk, k Z.
V. Metode transformasi persamaan menggunakan rumus trigonometri
Diagram solusi
Langkah 1. Dengan menggunakan semua rumus trigonometri yang mungkin, kurangi persamaan ini menjadi persamaan yang diselesaikan dengan metode I, II, III, IV.
Langkah 2. Selesaikan persamaan yang dihasilkan menggunakan metode yang diketahui.
Contoh.
dosa x + dosa 2x + dosa 3x = 0.
Larutan.
1) (dosa x + dosa 3x) + dosa 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) dosa 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 atau 2cos x + 1 = 0;
Dari persamaan pertama 2x = π/2 + πn, n Є Z; dari persamaan kedua cos x = -1/2.
Kita mempunyai x = π/4 + πn/2, n Є Z; dari persamaan kedua x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Hasilnya, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.
Jawaban: x = π/4 + πn/2, n Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Z.
Kemampuan dan keterampilan menyelesaikan persamaan trigonometri sangat baik 
Yang terpenting, pengembangannya memerlukan usaha yang besar, baik dari pihak siswa maupun dari pihak guru.
Banyak masalah stereometri, fisika, dll yang terkait dengan penyelesaian persamaan trigonometri.Proses penyelesaian masalah tersebut mewujudkan banyak pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dengan mempelajari unsur-unsur trigonometri.
Persamaan trigonometri menempati tempat penting dalam proses pembelajaran matematika dan pengembangan pribadi secara umum.
Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.
Pelajaran pertama gratis!
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Persamaan trigonometri bukanlah topik yang mudah. Mereka terlalu beragam.) Misalnya, ini:
dosa 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Dll...
Tapi monster trigonometri ini (dan semua lainnya) memiliki dua ciri umum dan wajib. Pertama - Anda tidak akan percaya - ada fungsi trigonometri dalam persamaan tersebut.) Kedua: semua ekspresi dengan x ditemukan dalam fungsi yang sama. Dan hanya di sana! Jika X muncul di suatu tempat di luar, Misalnya, sin2x + 3x = 3, ini sudah menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu memerlukan pendekatan individual. Kami tidak akan mempertimbangkannya di sini.
Kami juga tidak akan menyelesaikan persamaan jahat dalam pelajaran ini.) Di sini kami akan membahasnya persamaan trigonometri paling sederhana. Mengapa? Ya karena solusinya setiap persamaan trigonometri terdiri dari dua tahap. Pada tahap pertama, persamaan jahat direduksi menjadi persamaan sederhana melalui berbagai transformasi. Pada tahap kedua, persamaan paling sederhana ini terpecahkan. Tidak ada jalan lain.
Jadi, jika Anda mempunyai masalah pada tahap kedua, tahap pertama tidak masuk akal.)
Seperti apa persamaan trigonometri dasar?
sinx = a
karenax = a
tgx = a
ctgx = a
Di Sini A singkatan dari nomor apa pun. Setiap.
Ngomong-ngomong, di dalam suatu fungsi mungkin tidak ada X murni, tapi semacam ekspresi, seperti:
cos(3x+π /3) = 1/2
dll. Hal ini memperumit hidup, tetapi tidak mempengaruhi metode penyelesaian persamaan trigonometri.
Bagaimana cara menyelesaikan persamaan trigonometri?
Persamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan dua cara. Cara pertama: menggunakan logika dan lingkaran trigonometri. Kami akan melihat jalan ini di sini. Cara kedua - menggunakan memori dan rumus - akan dibahas pada pelajaran berikutnya.
Cara pertama jelas, dapat diandalkan, dan sulit untuk dilupakan.) Cara ini bagus untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, pertidaksamaan, dan segala macam contoh rumit yang tidak standar. Logika lebih kuat dari ingatan!)
Menyelesaikan persamaan menggunakan lingkaran trigonometri.
Kami menyertakan logika dasar dan kemampuan menggunakan lingkaran trigonometri. Apakah kamu tidak tahu caranya? Namun... Anda akan kesulitan dalam trigonometri...) Tapi itu tidak masalah. Lihatlah pelajaran "Lingkaran trigonometri...... Apa itu?" dan "Mengukur sudut pada lingkaran trigonometri." Semuanya sederhana di sana. Berbeda dengan buku teks...)
Oh, kamu tahu!? Dan bahkan menguasai “Kerja Praktek dengan lingkaran trigonometri”!? Selamat. Topik ini akan dekat dan dapat dimengerti oleh Anda.) Yang paling menyenangkan adalah lingkaran trigonometri tidak peduli persamaan apa yang Anda selesaikan. Sinus, cosinus, tangen, kotangen - semuanya sama baginya. Hanya ada satu prinsip solusi.
Jadi kita ambil persamaan trigonometri dasar apa pun. Setidaknya ini:
karenax = 0,5
Kita perlu menemukan X. Berbicara dalam bahasa manusia, Anda perlu tentukan sudut (x) yang kosinusnya 0,5.
Bagaimana kita sebelumnya menggunakan lingkaran? Kami menggambar sudut di atasnya. Dalam derajat atau radian. Dan segera gergaji fungsi trigonometri sudut ini. Sekarang mari kita lakukan yang sebaliknya. Mari kita menggambar cosinus pada lingkaran sama dengan 0,5 dan segera kita lihat saja nanti sudut. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya.) Ya, ya!
Gambarlah sebuah lingkaran dan tandai cosinusnya sama dengan 0,5. Tentu saja pada sumbu cosinus. Seperti ini:
Sekarang mari kita menggambar sudut yang dihasilkan kosinus ini. Arahkan mouse Anda ke atas gambar (atau sentuh gambar di tablet Anda), dan Anda akan melihat sudut ini X.
Kosinus sudut manakah yang besarnya 0,5?
x = π /3
karena 60°= karena( /3) = 0,5
Beberapa orang akan tertawa skeptis, ya... Seperti, apakah layak membuat lingkaran ketika semuanya sudah jelas... Anda tentu saja bisa tertawa...) Tapi faktanya ini adalah jawaban yang salah. Atau lebih tepatnya, tidak cukup. Penikmat lingkaran memahami bahwa ada banyak sudut lain di sini yang juga memberikan kosinus 0,5.
Jika Anda memutar sisi bergerak OA putaran penuh, titik A akan kembali ke posisi semula. Dengan kosinus yang sama sama dengan 0,5. Itu. sudutnya akan berubah sebesar 360° atau 2π radian, dan kosinus - tidak. Sudut baru 60° + 360° = 420° juga akan menjadi solusi persamaan kita, karena
Jumlah putaran penuh yang tak terhingga dapat dilakukan... Dan semua sudut baru ini akan menjadi solusi persamaan trigonometri kita. Dan semuanya perlu ditulis sebagai tanggapan. Semua. Kalau tidak, keputusannya tidak masuk hitungan ya..)
Matematika dapat melakukan ini dengan sederhana dan elegan. Tuliskan dalam satu jawaban singkat himpunan tak terbatas keputusan. Berikut tampilan persamaan kita:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Saya akan menguraikannya. Masih menulis secara bermakna Itu lebih menyenangkan daripada dengan bodohnya menggambar beberapa huruf misterius, kan?)
/3 - ini adalah sudut yang sama dengan kita gergaji pada lingkaran dan bertekad sesuai dengan tabel cosinus.
2π adalah satu revolusi lengkap dalam radian.
N - ini adalah jumlah yang lengkap, mis. utuh rpm Hal ini jelas bahwa N bisa sama dengan 0, ±1, ±2, ±3.... dan seterusnya. Seperti yang ditunjukkan oleh entri singkat:
n ∈ Z
N milik ( ∈ ) himpunan bilangan bulat ( Z ). Ngomong-ngomong, bukannya surat N huruf mungkin dapat digunakan k, m, t dll.
Notasi ini berarti Anda dapat mengambil bilangan bulat apa pun N . Setidaknya -3, setidaknya 0, setidaknya +55. Apapun yang kamu mau. Jika Anda mengganti angka ini ke dalam jawabannya, Anda akan mendapatkan sudut tertentu, yang pasti akan menjadi solusi persamaan kasar kita.)
Atau, dengan kata lain, x = π /3 adalah satu-satunya akar dari himpunan tak hingga. Untuk mendapatkan semua akar lainnya, cukup dengan menambahkan sejumlah putaran penuh ke π /3 ( N ) dalam radian. Itu. 2π n radian.
Semua? TIDAK. Aku sengaja memperpanjang kenikmatannya. Untuk mengingat lebih baik.) Kami hanya menerima sebagian jawaban atas persamaan kami. Saya akan menulis bagian pertama dari solusi ini seperti ini:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - bukan hanya satu akar saja, melainkan serangkaian akar yang utuh, dituliskan dalam bentuk yang singkat.
Namun ada juga sudut yang juga memberikan kosinus 0,5!
Mari kita kembali ke gambar tempat kita menuliskan jawabannya. Ini dia:
Arahkan mouse Anda ke atas gambar dan kami melihat sudut lain itu juga memberikan kosinus 0,5. Menurutmu itu setara dengan apa? Segitiganya sama... Ya! Itu sama dengan sudut X , hanya tertunda ke arah negatif. Ini adalah sudutnya -X. Tapi kita sudah menghitung x. π /3 atau 60°. Oleh karena itu, kita dapat dengan aman menulis:
x 2 = - /3
Tentu saja kita jumlahkan semua sudut yang diperoleh melalui putaran penuh:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Itu saja sekarang.) Pada lingkaran trigonometri kita gergaji(siapa yang mengerti, tentu saja)) Semua sudut yang menghasilkan kosinus 0,5. Dan kami menuliskan sudut-sudut ini dalam bentuk matematika singkat. Jawabannya menghasilkan dua rangkaian akar tak terhingga:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ini adalah jawaban yang benar.
Harapan, prinsip umum untuk menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan lingkaran sudah jelas. Kami menandai cosinus (sinus, tangen, kotangen) dari persamaan yang diberikan pada sebuah lingkaran, menggambar sudut-sudut yang bersesuaian dan menuliskan jawabannya. Tentu saja, kita perlu mencari tahu di sudut mana kita berada gergaji di lingkaran. Terkadang tidak begitu jelas. Yah, saya katakan bahwa logika diperlukan di sini.)
Misalnya, mari kita lihat persamaan trigonometri lainnya:
Harap diingat bahwa angka 0,5 bukanlah satu-satunya angka yang mungkin ada dalam persamaan!) Hanya saja lebih mudah bagi saya untuk menuliskannya daripada akar dan pecahan.
Kami bekerja berdasarkan prinsip umum. Kami menggambar sebuah lingkaran, tandai (pada sumbu sinus, tentu saja!) 0,5. Kami menggambar semua sudut yang bersesuaian dengan sinus ini sekaligus. Kami mendapatkan gambar ini:
Mari kita bahas sudutnya dulu X di kuartal pertama. Kita mengingat tabel sinus dan menentukan nilai sudut ini. Ini masalah sederhana:
x = /6
Kami mengingat putaran penuh dan, dengan hati nurani yang bersih, menuliskan rangkaian jawaban pertama:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Separuh pekerjaan sudah selesai. Tapi sekarang kita perlu menentukannya tikungan kedua... Memang lebih rumit dari pada menggunakan cosinus ya... Tapi logika akan menyelamatkan kita! Cara menentukan sudut kedua melalui x? Ya Mudah! Segitiga pada gambar sama, dan sudutnya berwarna merah X sama dengan sudut X . Hanya saja dihitung dari sudut π ke arah negatif. Makanya warnanya merah.) Dan untuk jawabannya kita membutuhkan sudut, diukur dengan benar, dari semi-sumbu positif OX, yaitu. dari sudut 0 derajat.
Kami mengarahkan kursor ke gambar dan melihat semuanya. Saya menghapus sudut pertama agar tidak mempersulit gambar. Sudut yang kita minati (digambar dengan warna hijau) akan sama dengan:
π - x
X kita tahu ini /6 . Oleh karena itu, sudut kedua adalah:
π - π /6 = 5π /6
Sekali lagi kita ingat tentang menjumlahkan putaran penuh dan menuliskan rangkaian jawaban kedua:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Itu saja. Jawaban lengkap terdiri dari dua rangkaian akar:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Persamaan tangen dan kotangen dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan prinsip umum yang sama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Jika tentunya anda mengetahui cara menggambar garis singgung dan kotangen pada lingkaran trigonometri.
Pada contoh di atas, saya menggunakan tabel nilai sinus dan cosinus: 0,5. Itu. salah satu makna yang diketahui siswa harus. Sekarang mari kita kembangkan kemampuan kita menjadi semua nilai lainnya. Putuskan, jadi putuskan!)
Jadi, misalkan kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri ini:
Tidak ada nilai cosinus dalam tabel pendek. Kami dengan dingin mengabaikan fakta buruk ini. Gambarlah sebuah lingkaran, tandai 2/3 pada sumbu kosinus dan gambarlah sudut-sudut yang bersesuaian. Kami mendapatkan gambar ini.
Mari kita lihat, pertama, sudut pada kuarter pertama. Seandainya kita mengetahui x sama dengan apa, kita akan segera menuliskan jawabannya! Kami tidak tahu... Gagal!? Tenang! Matematika tidak membiarkan bangsanya sendiri dalam kesulitan! Dia datang dengan arc cosinus untuk kasus ini. Tidak tahu? Sia-sia. Cari tahu, Ini jauh lebih mudah dari yang Anda kira. Tidak ada satu pun mantra rumit tentang "fungsi trigonometri terbalik" di tautan ini... Ini tidak berguna dalam topik ini.
Jika Anda sudah mengetahuinya, katakan saja pada diri sendiri: “X adalah sudut yang kosinusnya sama dengan 2/3.” Dan segera, berdasarkan definisi arc cosinus, kita dapat menulis:
Kami mengingat putaran tambahan dan dengan tenang menuliskan deret pertama akar persamaan trigonometri kami:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Rangkaian akar kedua untuk sudut kedua hampir otomatis dituliskan. Semuanya sama, hanya X (arccos 2/3) yang minus:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Dan itu saja! Ini adalah jawaban yang benar. Bahkan lebih mudah dibandingkan dengan nilai tabel. Tidak perlu mengingat apa pun.) Ngomong-ngomong, orang yang paling penuh perhatian akan melihat bahwa gambar ini menunjukkan solusi melalui arc cosinus pada intinya tidak berbeda dengan gambaran persamaan cosx = 0,5.
Tepat! Prinsip umumnya hanya itu! Saya sengaja menggambar dua gambar yang hampir identik. Lingkaran menunjukkan sudutnya X oleh kosinusnya. Apakah itu kosinus tabel atau bukan, tidak diketahui semua orang. Sudut macam apa ini, π /3, atau berapa arc cosinusnya - terserah kita untuk memutuskan.
Lagu yang sama dengan sinus. Misalnya:
Gambarlah sebuah lingkaran lagi, tandai sinusnya sama dengan 1/3, gambarlah sudut-sudutnya. Inilah gambaran yang kami dapatkan:
Dan sekali lagi gambarannya hampir sama dengan persamaannya sinx = 0,5. Sekali lagi kita mulai dari tendangan sudut di kuarter pertama. Berapakah nilai X jika sinusnya 1/3? Tidak masalah!
Sekarang paket akar pertama sudah siap:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Mari kita bahas sudut kedua. Pada contoh dengan nilai tabel 0,5 sama dengan:
π - x
Di sini juga akan sama persis! Hanya x saja yang berbeda, arcsin 1/3. Terus!? Anda dapat dengan aman menuliskan paket akar kedua:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ini adalah jawaban yang sepenuhnya benar. Meski kelihatannya tidak terlalu familiar. Tapi sudah jelas, saya harap.)
Beginilah cara menyelesaikan persamaan trigonometri dengan menggunakan lingkaran. Jalan ini jelas dan dapat dimengerti. Dialah yang menyimpan persamaan trigonometri dengan pemilihan akar pada interval tertentu, dalam pertidaksamaan trigonometri - umumnya hampir selalu diselesaikan dalam lingkaran. Singkatnya, dalam tugas apa pun yang sedikit lebih sulit daripada tugas standar.
Mari kita terapkan ilmunya dalam praktik?)
Selesaikan persamaan trigonometri:
Pertama, lebih sederhana, langsung dari pelajaran ini.
Sekarang lebih rumit.
Petunjuk: di sini Anda harus memikirkan tentang lingkaran. Sendiri.)
Dan sekarang mereka tampak sederhana... Mereka juga disebut kasus khusus.
dosa = 0
dosa = 1
karena = 0
karena = -1
Petunjuk: di sini Anda perlu mencari tahu dalam lingkaran di mana ada dua rangkaian jawaban dan di mana ada satu... Dan bagaimana cara menulis satu, bukan dua rangkaian jawaban. Ya, agar tidak ada satu akar pun dari bilangan tak terhingga yang hilang!)
Ya, sangat sederhana):
dosa = 0,3
karena = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Petunjuk : disini anda perlu mengetahui apa itu arcsinus dan arccosine? Apa itu tangen busur, tangen busur? Definisi paling sederhana. Namun Anda tidak perlu mengingat nilai tabel apa pun!)
Jawabannya tentu saja berantakan):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Tidak semuanya berhasil? Terjadi. Bacalah pelajaran itu lagi. Hanya dengan penuh pertimbangan(ada kata yang ketinggalan jaman...) Dan ikuti tautannya. Tautan utamanya adalah tentang lingkaran. Tanpanya, trigonometri ibarat menyeberang jalan dengan mata tertutup. Kadang-kadang berhasil.)
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Kursus video "Dapatkan nilai A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika dengan 60-65 poin. Selesaikan semua tugas 1-13 Profil Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!
Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.
Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.
Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.
Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks Bagian 2 Ujian Negara Bersatu.
Sebuah pelajaran dalam penerapan pengetahuan yang terintegrasi.
Tujuan pelajaran.
- Tinjau berbagai metode untuk menyelesaikan persamaan trigonometri.
- Mengembangkan kemampuan kreatif siswa dengan memecahkan persamaan.
- Mendorong siswa untuk mengendalikan diri, saling mengontrol, dan menganalisis diri terhadap kegiatan pendidikannya.
Perlengkapan: layar, proyektor, bahan referensi.
Selama kelas
Percakapan perkenalan.
Metode utama untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah dengan mereduksinya ke bentuk yang paling sederhana. Dalam hal ini, metode yang biasa digunakan, misalnya faktorisasi, serta teknik yang hanya digunakan untuk menyelesaikan persamaan trigonometri. Teknik-teknik tersebut cukup banyak, misalnya berbagai substitusi trigonometri, transformasi sudut, transformasi fungsi trigonometri. Penerapan transformasi trigonometri yang sembarangan biasanya tidak menyederhanakan persamaan, tetapi malah memperumitnya. Untuk mengembangkan rencana umum penyelesaian persamaan, untuk menguraikan cara mereduksi persamaan menjadi yang paling sederhana, Anda harus terlebih dahulu menganalisis sudut - argumen fungsi trigonometri yang termasuk dalam persamaan.
Hari ini kita akan berbicara tentang metode penyelesaian persamaan trigonometri. Metode yang dipilih dengan benar seringkali dapat menyederhanakan penyelesaian secara signifikan, sehingga semua metode yang telah kita pelajari harus selalu diingat untuk menyelesaikan persamaan trigonometri menggunakan metode yang paling tepat.
II. (Dengan menggunakan proyektor, kami mengulangi metode penyelesaian persamaan.)
1. Metode mereduksi persamaan trigonometri menjadi persamaan aljabar.
Semua fungsi trigonometri perlu dinyatakan dalam satu, dengan argumen yang sama. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan identitas trigonometri dasar dan konsekuensinya. Kami memperoleh persamaan dengan satu fungsi trigonometri. Menganggapnya sebagai hal yang tidak diketahui baru, kita memperoleh persamaan aljabar. Kami menemukan akarnya dan kembali ke hal lama yang tidak diketahui, memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana.
2. Metode faktorisasi.
Untuk mengubah sudut, rumus pengurangan, jumlah dan selisih argumen sering kali berguna, serta rumus untuk mengubah jumlah (selisih) fungsi trigonometri menjadi hasil kali dan sebaliknya.
sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x
3. Metode memasukkan sudut tambahan.
4. Metode penggunaan substitusi universal.
Persamaan bentuk F(sinx, cosx, tanx) = 0 direduksi menjadi aljabar menggunakan substitusi trigonometri universal
Menyatakan sinus, cosinus dan tangen dalam bentuk garis singgung setengah sudut. Teknik ini dapat menghasilkan persamaan orde yang lebih tinggi. Solusi yang sulit.
