Sifat-sifat fungsi y 5 pangkat x. Fungsi daya dan sifat-sifatnya

Menyediakan data referensi untuk Fungsi eksponensial- sifat dasar, grafik dan rumus. Masalah-masalah berikut dipertimbangkan: domain definisi, himpunan nilai, monotonisitas, fungsi invers, turunan, integral, perluasan dalam seri kekuatan dan representasi menggunakan bilangan kompleks.

Definisi

Fungsi eksponensial adalah generalisasi hasil kali n bilangan sama dengan a:
kamu (n) = sebuah n = a·a·a···a,
ke himpunan bilangan real x:
kamu (x) = kapak.
Di sini a adalah bilangan real tetap, yang disebut dasar fungsi eksponensial.
Fungsi eksponensial dengan basis a disebut juga eksponen ke basis a.

Generalisasinya dilakukan sebagai berikut.
Untuk x alami = 1, 2, 3,... , fungsi eksponensial adalah hasil kali faktor x:
.
Selain itu, ia memiliki sifat (1,5-8) (), yang mengikuti aturan perkalian bilangan. Untuk nilai bilangan bulat nol dan negatif, fungsi eksponensial ditentukan menggunakan rumus (1.9-10). Untuk nilai pecahan x = m/n angka rasional, , ditentukan dengan rumus (1.11). Untuk real, fungsi eksponensial didefinisikan sebagai batas urutan:
,
di mana barisan bilangan rasional sembarang yang konvergen ke x: .
Dengan definisi ini, fungsi eksponensial didefinisikan untuk semua , dan memenuhi properti (1,5-8), seperti untuk x natural.

Rumusan matematis yang cermat tentang definisi fungsi eksponensial dan pembuktian sifat-sifatnya diberikan pada halaman “Definisi dan pembuktian sifat-sifat fungsi eksponensial”.

Sifat-sifat Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial y = a x memiliki sifat-sifat berikut pada himpunan bilangan real ():
(1.1) pasti dan berkesinambungan, untuk, untuk semua;
(1.2) untuk ≠ 1 memiliki banyak arti;
(1.3) meningkat tajam pada , menurun tajam pada ,
konstan di ;
(1.4) pada ;
pada ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Formula berguna lainnya.
.
Rumus untuk mengubah fungsi eksponensial dengan basis eksponen berbeda:

Ketika b = e, kita memperoleh ekspresi fungsi eksponensial melalui eksponensial:

Nilai-nilai pribadi

, , , , .

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi eksponensial
kamu (x) = kapak
untuk empat nilai dasar gelar: sebuah = 2 , sebuah = 8 , sebuah = 1/2 dan sebuah = 1/8 . Dapat dilihat bahwa untuk > 1 fungsi eksponensial meningkat secara monoton. Semakin besar pangkal derajat a maka semakin kuat pertumbuhannya. Pada 0 < a < 1 fungsi eksponensial berkurang secara monoton. Semakin kecil eksponen a, semakin kuat penurunannya.

Naik turun

Fungsi eksponensial untuk bersifat monotonik sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti utamanya disajikan dalam tabel.

Fungsi terbalik

Invers fungsi eksponensial dengan basis a adalah logaritma dengan basis a.

Jika kemudian
.
Jika kemudian
.

Diferensiasi fungsi eksponensial

Untuk mendiferensiasikan suatu fungsi eksponensial, basisnya harus direduksi menjadi bilangan e, terapkan tabel turunan dan aturan diferensiasi fungsi yang kompleks.

Untuk melakukan ini, Anda perlu menggunakan properti logaritma
dan rumus dari tabel turunannya:
.

Biarkan fungsi eksponensial diberikan:
.
Kami membawanya ke pangkalan e:

Mari kita terapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks. Untuk melakukan ini, perkenalkan variabelnya

Kemudian

Dari tabel turunan yang kita peroleh (ganti variabel x dengan z):
.
Karena merupakan konstanta, maka turunan z terhadap x sama dengan
.
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks:
.

Turunan dari fungsi eksponensial

.
Turunan dari orde ke-n:
.
Menurunkan rumus > > >

Contoh diferensiasi fungsi eksponensial

Temukan turunan suatu fungsi
kamu = 3 5x

Larutan

Mari kita nyatakan basis fungsi eksponensial melalui bilangan e.
3 = e dalam 3
Kemudian
.
Masukkan variabel
.
Kemudian

Dari tabel turunan kita temukan:
.
Karena 5ln 3 adalah suatu konstanta, maka turunan z terhadap x sama dengan:
.
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks, kita mempunyai:
.

Menjawab

Integral

Ekspresi menggunakan bilangan kompleks

Pertimbangkan fungsinya bilangan kompleks z:
F (z) = az
dimana z = x + iy; Saya 2 = - 1 .
Mari kita nyatakan konstanta kompleks a dalam modulus r dan argumen φ:
a = r e saya φ
Kemudian


.
Argumen φ tidak didefinisikan secara unik. DI DALAM pandangan umum
φ = φ 0 + 2 n,
dimana n adalah bilangan bulat. Oleh karena itu fungsinya f (z) juga tidak jelas. Makna utamanya sering kali dipertimbangkan
.

Ekspansi seri

.

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, KA. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa, “Lan”, 2009.

Untuk memudahkan mempertimbangkan fungsi pangkat, kita akan mempertimbangkan 4 kasus terpisah: fungsi pangkat dengan eksponen alami, fungsi pangkat dengan pangkat bilangan bulat, fungsi pangkat dengan pangkat rasional, dan fungsi pangkat dengan pangkat irasional.

Fungsi pangkat dengan eksponen natural

Pertama, mari kita perkenalkan konsep derajat dengan eksponen natural.

Definisi 1

Pangkat bilangan real $a$ dengan eksponen natural $n$ adalah bilangan yang sama dengan hasil kali faktor $n$, yang masing-masing sama dengan bilangan $a$.

Gambar 1.

$a$ adalah dasar derajat.

$n$ adalah eksponennya.

Sekarang mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen natural, sifat-sifatnya, dan grafiknya.

Definisi 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen natural.

Untuk kenyamanan lebih lanjut, kami mempertimbangkan secara terpisah fungsi pangkat dengan eksponen genap $f\left(x\right)=x^(2n)$ dan fungsi pangkat dengan eksponen ganjil $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\dalam N)$.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen genap natural

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- fungsinya genap.

Area nilai -- $\

Fungsinya berkurang saat $x\in (-\infty ,0)$ dan bertambah saat $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\kiri(x\kanan)=(\kiri(2n\cdot x^(2n-1)\kanan))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1 ))\ge 0$

Fungsinya cembung di seluruh domain definisi.

Perilaku di akhir domain:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafik (Gbr. 2).

Gambar 2. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n)$

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen ganjil natural

Domain definisinya adalah semua bilangan real.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- fungsinya ganjil.

$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.

Rentangnya adalah semua bilangan real.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Fungsinya meningkat di seluruh domain definisi.

$f\kiri(x\kanan)0$, untuk $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\kiri(x\kanan))=(\kiri(\kiri(2n-1\kanan)\cdot x^(2\kiri(n-1\kanan))\kanan))"=2 \kiri(2n-1\kanan)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Fungsinya cekung untuk $x\in (-\infty ,0)$ dan cembung untuk $x\in (0,+\infty)$.

Grafik (Gbr. 3).

Gambar 3. Grafik fungsi $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat

Pertama, mari kita perkenalkan konsep derajat dengan eksponen bilangan bulat.

Definisi 3

Derajat bilangan real$a$ dengan eksponen bilangan bulat $n$ ditentukan dengan rumus:

Gambar 4.

Sekarang mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat, properti dan grafiknya.

Definisi 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ disebut fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat.

Jika derajatnya lebih besar dari nol, maka kita sampai pada kasus fungsi pangkat dengan eksponen natural. Kami sudah membahasnya di atas. Untuk $n=0$ kita dapatkan fungsi linear$y=1$. Kami akan menyerahkan pertimbangannya kepada pembaca. Masih mempertimbangkan sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif

Domain definisinya adalah $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Jika eksponennya genap maka fungsinya genap, jika ganjil maka fungsinya ganjil.

$f(x)$ kontinu di seluruh domain definisi.

Cakupan:

Jika eksponennya genap, maka $(0,+\infty)$; jika ganjil, maka $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Untuk eksponen ganjil, fungsinya berkurang $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Jika eksponennya genap, fungsinya berkurang $x\in (0,+\infty)$. dan bertambah seiring $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ di seluruh domain definisi

Fungsi pangkat disebut fungsi dengan bentuk y=x n (dibaca karena y sama dengan x pangkat n), dengan n adalah suatu bilangan tertentu. Kasus khusus fungsi pangkat adalah fungsi berbentuk y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/x dan masih banyak lainnya. Mari beri tahu Anda lebih banyak tentang masing-masingnya.

Fungsi linier y=x 1 (y=x)

Grafiknya berupa garis lurus yang melalui titik (0;0) dengan sudut 45 derajat terhadap arah positif sumbu Ox.

Grafiknya disajikan di bawah ini.

Sifat dasar fungsi linier:

• Fungsi tersebut meningkat dan terdefinisi pada seluruh garis bilangan.
• Itu tidak memiliki nilai maksimum atau minimum.

Fungsi kuadrat y=x 2

Grafik fungsi kuadrat adalah parabola.

Sifat dasar fungsi kuadrat:

• 1. Pada x =0, y=0, dan y>0 pada x0
• 2. Fungsi kuadrat mencapai nilai minimumnya pada titik puncaknya. Ymin di x=0; Perlu diperhatikan juga bahwa fungsi tersebut tidak memiliki nilai maksimal.
• 3. Fungsinya berkurang pada interval (-∞;0] dan bertambah pada interval)