Metode untuk memecahkan masalah non-standar. Metode non-standar untuk memecahkan masalah
“Memecahkan pertidaksamaan kuadrat” - Memecahkan pertidaksamaan. Apa itu fungsi nol? Larutan pertidaksamaan kuadrat. Bagaimana cara mencari angka nol suatu fungsi? Tujuan pelajaran: Apa yang bergantung pada tanda koefisien pertama suatu fungsi kuadrat? Bagaimana pengaruh tanda diskriminan terhadap penyelesaian pertidaksamaan kuadrat?
"Menyelesaikan Pertidaksamaan 2" - Tinjau sifat-sifat pertidaksamaan numerik. Aritmatika mental adalah latihan untuk pikiran. Menumbuhkan minat dalam matematika. Tahapan solusi grafis persamaan. Spidol, krayon warna yang berbeda, penggaris, komputer. Menyelesaikan pertidaksamaan derajat pertama dengan satu variabel (solusi grafis). Peralatan. Memperbarui pengetahuan.
“Pelajaran nonstandar” - Penolakan terhadap pola penyelenggaraan pembelajaran, rutinitas dan formalisme dalam pelaksanaannya. Pengaruh bentuk pembelajaran yang tidak baku terhadap proses pendidikan. Keterlibatan maksimal siswa kelas dalam kegiatan aktif selama pembelajaran. Rencana MO: Periode persiapan, analisis pelajaran sebenarnya. Menggunakan penilaian sebagai alat formatif (dan bukan hanya efektif).
“Sifat-sifat ketidaksetaraan” - Sifat-sifat ketidaksetaraan. Apa itu ketimpangan? Pekerjaan lisan. Sifat-sifat pertidaksamaan apa yang kamu ketahui? Penjumlahan dan perkalian pertidaksamaan numerik. Buktikan ketidaksetaraan tersebut. Selesaikan ketimpangan tersebut. Definisi ketimpangan. Properti apa yang Anda gunakan untuk menyelesaikan pertidaksamaan? Memecahkan kesenjangan. Ketimpangan.
“Persamaan dan pertidaksamaan irasional” - Persamaan dan pertidaksamaan irasional. Persamaan dan pertidaksamaan irasional. 3. Pengenalan variabel bantu. Metode solusi. 5. Mempersempit daerah pencarian akar-akar persamaan dengan mencari ODZ. Persamaan irasional Metode penyelesaian. 1. Eksponensial. 6. Metode grafis. Persamaan irasional dan pertidaksamaan dengan suatu parameter.
“Persamaan dan Pertidaksamaan” - Solusi Sistem secara grafis. 2. Temukan jumlah bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut. Temukan domain definisi fungsi. "Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan." Rumusan tugas. Ketimpangan dalam CIM. Temukan produk x*y, di mana (x;y) adalah solusi sistem. kamu=x+2. x2 – 2x – 3 =0 Mari kita nyatakan sebagai x2 –3 = 2x.
Teks karya diposting tanpa gambar dan rumus.
Versi lengkap pekerjaan tersedia di tab "File Kerja" dalam format PDF
Perkenalan
Pendidikan matematika yang diterima di sekolah merupakan komponen yang penting pendidikan umum dan budaya umum manusia modern. Hampir segala sesuatu yang ada di sekitar manusia modern semuanya berhubungan dengan matematika. A pencapaian terbaru dalam fisika, teknologi dan teknologi Informasi jangan ada keraguan bahwa di masa depan keadaannya akan tetap sama. Oleh karena itu, menyelesaikan banyak masalah praktis berarti menyelesaikannya berbagai jenis persamaan.
Persamaan menempati tempat terdepan dalam kursus aljabar sekolah. Lebih banyak waktu dicurahkan untuk mempelajarinya dibandingkan topik lainnya. kursus sekolah matematika. Kekuatan teori persamaan adalah bahwa teori ini tidak hanya memiliki signifikansi teoritis untuk pengetahuan hukum alam, namun juga memiliki tujuan praktis tertentu.
Relevansi topik adalah dalam pelajaran aljabar, geometri, dan fisika kita sangat sering menjumpai penyelesaian persamaan kuadrat. Permasalahan terbanyak mengenai bentuk spasial dan hubungan kuantitatif dunia nyata turun untuk memecahkan berbagai jenis persamaan. Dengan menguasai cara penyelesaiannya, masyarakat menemukan jawaban atas berbagai pertanyaan dari ilmu pengetahuan dan teknologi (transportasi, Pertanian, industri, komunikasi, dll). Oleh karena itu, setiap siswa harus mampu menyelesaikan persamaan kuadrat dengan benar dan rasional, hal ini juga berguna bagi saya ketika menyelesaikan masalah yang lebih kompleks, termasuk di kelas 9, kelas 10 dan 11, dan ketika lulus ujian.
Target: Jelajahi cara standar dan non-standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Tugas
- Nyatakan yang paling banyak metode yang diketahui menyelesaikan persamaan
- Jelaskan cara non-standar untuk menyelesaikan persamaan
- Menarik kesimpulan
Objek studi: persamaan kuadrat
Subyek studi: cara menyelesaikan persamaan kuadrat
Metode penelitian:
- Teoritis: studi literatur tentang topik penelitian;
- Analisis: informasi yang diperoleh dari studi literatur; hasil yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan berbagai cara.
- Perbandingan metode rasionalitas penggunaannya dalam menyelesaikan persamaan kuadrat.
Bab 1. Persamaan kuadrat dan solusi standar
1.1.Definisi persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat disebut persamaan bentuk kapak 2 + bx + c= 0, dimana X- variabel , a, b Dan Dengan- beberapa nomor, dan A≠ 0.
Angka a, b Dan Dengan - koefisien persamaan kuadrat. Nomor A disebut koefisien pertama, bilangan B- koefisien dan angka kedua C- anggota gratis.
Persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan kuadrat yang ketiga sukunya ada, yaitu koefisien dalam dan с berbeda dari nol.
Persamaan kuadrat tidak lengkap adalah persamaan yang paling sedikit salah satu koefisiennya di atau, c sama dengan nol.
Definisi 3. Akar persamaan kuadrat Oh 2 + BX + Dengan= 0 adalah nilai apa pun dari variabel x yang merupakan trinomial kuadrat Oh 2 + BX+ Dengan menjadi nol.
Definisi 4. Memecahkan persamaan kuadrat berarti menemukan semuanya
akar atau membuktikan bahwa tidak ada akar.
Contoh: - 7 x+ 3 =0
Dalam setiap persamaan bentuk A + bx + c= 0, dimana A≠ 0, derajat variabel tertinggi X- persegi. Oleh karena itu namanya: persamaan kuadrat.
Persamaan kuadrat yang koefisiennya di X 2 sama dengan 1, disebut persamaan kuadrat yang diberikan.
Contoh
X 2 - 11x+ 30=0, X 2 -8x= 0.
1.2.Metode standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengkuadratkan binomial
Menyelesaikan persamaan kuadrat yang koefisien variabel yang tidak diketahui dan suku bebasnya bukan nol. Metode penyelesaian persamaan kuadrat ini disebut mengkuadratkan binomial.
Memfaktorkan Ruas Kiri Persamaan.
Mari kita selesaikan persamaannya x 2 + 10x - 24 = 0. Mari kita faktorkan ruas kiri:
x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).
Oleh karena itu, persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut: (x + 12)(x - 2) = 0
Hasil kali faktor-faktor adalah nol jika paling sedikit salah satu faktornya adalah nol.
Jawaban: -12; 2.
Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus.
Diskriminan persamaan kuadratkapak 2 + bx + C= 0 ekspresi b 2 - 4ac = D - berdasarkan tanda yang digunakan untuk menilai apakah persamaan ini mempunyai akar real.
Kemungkinan kasus tergantung pada nilai D:
- Jika D>0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.
- Jika D= 0, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar: x =
- Jika D< 0, maka persamaan tersebut tidak mempunyai akar.
Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta.
Dalil: Jumlah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua yang diambil tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebasnya.
Persamaan kuadrat yang diberikan adalah:
x 2 + bx + c= 0.
Mari kita nyatakan koefisien kedua dengan huruf p, dan suku bebas dengan huruf q:
x 2 + piksel + q= 0, maka
x 1 + x 2 = - hal; x 1 x 2 = q
Bab 2. Metode non-standar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
2.1 Penyelesaian menggunakan sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat
Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat adalah cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang akan membantu Anda menemukan akar-akar persamaan dengan cepat dan verbal:
kapak 2 + bx + c= 0
- Jikaa+ b+c= 0, laluX 1 = 1, X 2 =
Contoh. Perhatikan persamaan x 2 + 3x - 4 = 0.
A+ b + c = 0, maka x 1 = 1, x 2 =
1+3+(-4) = 0, maka x 1 = 1, x 2 = = - 4
Mari kita periksa akar-akar yang diperoleh dengan mencari diskriminannya:
D= b 2- 4ac= 3 2 - 4·1·(-4) = 9+16= 25
x 1 = = = = = - 4
Oleh karena itu, jika +b +c= 0, maka x 1 = 1, x 2 =
- Jikab = A + C , ItuX 1 = -1, X 2 =
x 2 + 4X+1 = 0, a=3, b=4, c=1
Jika b=A + C, lalu x 1 = -1, x 2 = , lalu 4 = 3 + 1
Akar persamaan: x 1 = -1, x 2 =
Jadi akar persamaannya adalah -1 dan. Mari kita periksa dengan mencari diskriminannya:
D= b 2- 4ac= 4 2 - 4 3 1 = 16 - 12 = 4
x 1 = = = = = - 1
Karena itu, b=A + C, maka x 1 = -1, x 2 =
2.2.Metode “transfer”
Dengan metode ini koefisiennya A dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” padanya, itulah sebabnya disebut metode transfer. Metode ini digunakan jika akar persamaan dapat dengan mudah ditemukan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.
Jika A± b+c≠0, maka teknik transfer yang digunakan:
3x 2 +4x+ 1=0; 3+4+1 ≠ 0
Dengan menggunakan metode “transfer” kita mendapatkan:
X 2 + 4x+3= 0
Jadi, dengan menggunakan teorema Vieta, kita memperoleh akar persamaan:
x 1 = - 3, x 2 = -1.
Namun, akar-akar persamaan harus dibagi 3 (angka yang “dilempar”):
Artinya kita mendapatkan akar-akarnya: x 1 = -1, x 2 = .
Menjawab: ; - 1
2.3 Penyelesaian menggunakan keteraturan koefisien
- Jika persamaannyakapak 2 + bx + c= 0, koefisienB= (A 2 +1), dan koefisienC = A, maka akar-akarnya adalah x 1 = - A, x 2 =
kapak 2 +(sebuah 2+ 1)∙ x + a= 0
Contoh. Perhatikan Persamaan 3 x 2 +10x+3 = 0.
Jadi, akar-akar persamaannya adalah: x 1 = -3 , x 2 =
D= b 2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64
x 1 = = = = = - 3
x 2 = = = = = ; Oleh karena itu x 1 = - A, x 2 =
- Jika persamaannyakapak 2 - bx + c= 0, koefisienB= (A 2 +1), dan koefisienC = A, maka akar-akarnya adalah x 1 = A, x 2 =
Jadi, persamaan yang akan diselesaikan harus berbentuk
kapak 2 -(sebuah 2+ 1)∙ x+ a= 0
Contoh. Perhatikan Persamaan 3 x 2 - 10x+3 = 0.
, x 2 =
Mari kita periksa solusi ini menggunakan diskriminan:
D= b 2- 4ac= 10 2 - 4 3 3 = 100 - 36 = 64
A, x 2 =
- Jika persamaannyakapak 2 + bx - c= 0, koefisienB= (A 2 -1), dan koefisienC = A, maka akar-akarnya adalah x 1 = - A, x 2 =
Jadi, persamaan yang akan diselesaikan harus berbentuk
kapak 2 +(dan 2 - 1)∙ x - sebuah= 0
Contoh. Perhatikan Persamaan 3 x 2 + 8x - 3 = 0..
Jadi, akar-akar persamaannya adalah: X 1 = - 3, X 2 =
Mari kita periksa solusi ini menggunakan diskriminan:
D= b 2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100
x 1 = = = = = - 3
x 2 = = = = = ;Jadi, x 1 = - A, x 2 =
- Jika persamaannyakapak 2 - bx - c= 0, koefisienB= (A 2 -1), dan koefisienC = A, maka akar-akarnya adalah x 1 = A, x 2 =
Jadi, persamaan yang akan diselesaikan harus berbentuk
kapak 2 -(dan 2 - 1)∙ x - sebuah= 0
Contoh. Perhatikan Persamaan 3 x 2 - 8x - 3 = 0..
Jadi, akar-akar persamaannya adalah: x 1 = 3 , x 2 = -
Mari kita periksa solusi ini menggunakan diskriminan:
D= b 2- 4ac= 8 2 + 4 3 3 = 64 + 36 = 100
x 2 = = = = = 3; Oleh karena itu x 1 = A, x 2 = -
2.4 Penyelesaiannya menggunakan kompas dan penggaris
Saya mengusulkan metode berikut untuk mencari akar persamaan kuadrat ah 2+Bx + c = 0 menggunakan kompas dan penggaris (Gbr. 6).
Mari kita asumsikan bahwa lingkaran yang diinginkan memotong sumbunya
absis dalam poin B(x 1; 0) Dan D(x 2 ; 0), Di mana x 1 Dan x 2- akar persamaan ah 2+Bx + c = 0, dan melewati titik-titik tersebut
SEBUAH(0; 1) Dan C(0;C/ A) pada sumbu ordinat. Kemudian, berdasarkan teorema garis potong, kita punya O.B. . OD. = O.A. . O.C., Di mana O.C. = = =
Pusat lingkaran berada pada titik potong garis tegak lurus SF Dan S.K., dipulihkan di tengah-tengah akord AC Dan BD, Itu sebabnya
1) buatlah titik S (pusat lingkaran) dan A(0; 1) ;
2) menggambar lingkaran dengan jari-jari S.A.;
3) absis titik potong lingkaran ini dengan sumbunya Oh adalah akar-akar persamaan kuadrat asli.
Dalam hal ini, ada tiga kasus yang mungkin terjadi.
1) Jari-jari lingkaran lebih besar dari ordinat pusatnya (SEBAGAI > S.K., atauR > A + C/2 A) , lingkaran memotong sumbu Sapi di dua titik (Gbr. 7a) B(x 1; 0) Dan D(x 2; 0), Di mana x 1 Dan x 2- akar persamaan kuadrat ah 2+Bx + c = 0.
2) Jari-jari lingkaran sama dengan ordinat pusatnya (SEBAGAI = S.B., atauR = A + C/2 A) , lingkaran menyentuh sumbu Ox (Gbr. 8b) di titik tersebut B(x 1; 0), di mana x 1 adalah akar persamaan kuadrat.
3) Jari-jari lingkaran lebih kecil dari ordinat pusatnya SEBAGAI< S, R<
lingkaran tidak memiliki titik persekutuan dengan sumbu absis (Gbr. 7c), dalam hal ini persamaan tidak memiliki solusi.
A)SEBAGAI>SB, R>
B) SEBAGAI=SB, R=
V) SEBAGAI
Dua solusi X 1 DanX 2 Satu solusi X 1 Tidak ada keputusan
Contoh.
Mari kita selesaikan persamaannya x 2 - 2x - 3 = 0(Gbr. 8).
Larutan. Mari kita tentukan koordinat titik pusat lingkaran dengan menggunakan rumus:
X = - = - = 1,
kamu = = = -1
Mari kita menggambar lingkaran dengan jari-jari SA, dimana A (0; 1).
Menjawab: x 1 = - 1; x 2 = 3.
2.5 Metode geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.
Pada zaman dahulu, ketika geometri lebih berkembang daripada aljabar, persamaan kuadrat diselesaikan bukan secara aljabar, melainkan secara geometris. Saya akan memberikan contoh terkenal dari “Aljabar” al-Khorezmi.
Contoh.
1) Mari kita selesaikan persamaannya x 2 + 10x = 39.
Dalam bahasa aslinya, soal ini dirumuskan sebagai berikut: “Sebuah kuadrat dan sepuluh akar sama dengan 39” (Gbr. 9).
Larutan. Misalkan sebuah persegi dengan sisi x, persegi panjang dibuat pada sisi-sisinya sehingga sisi yang lain masing-masing adalah 2,5, jadi luas masing-masing adalah 2,5x. Gambar yang dihasilkan kemudian dijumlahkan dengan persegi ABCD baru, dengan membuat empat persegi sama besar di sudut-sudutnya, masing-masing sisinya 2,5, dan luasnya 6,25.
Persegi S persegi ABCD dapat direpresentasikan sebagai jumlah luas:
persegi asli x 2, empat persegi panjang (4.2,5x = 10x) dan empat kotak terlampir (6,25. 4 = 25) , yaitu. S = x 2 + 10x + 25. Mengganti
x 2 + 10x nomor 39 , kami mengerti S = 39 + 25 = 64 , yang artinya sisi persegi ABCD, yaitu. segmen garis AB = 8. Untuk sisi yang diperlukan X dari persegi asli kita peroleh:
x = 8 - 2 - 2 = 3
2) Tapi, misalnya, bagaimana orang Yunani kuno memecahkan persamaan tersebut kamu 2 + 6kamu - 16 = 0.
Larutan disajikan pada Gambar 10. dimana
y 2 + 6y = 16, atau y 2 + 6y + 9 = 16 + 9.
Larutan. Ekspresi kamu 2 + 6 tahun + 9 Dan 16 + 9 mewakili secara geometris
kuadrat yang sama, dan persamaan aslinya kamu 2 + 6 tahun - 16 + 9 - 9 = 0- persamaan yang sama. Dari mana kita mendapatkannya kamu + 3 = ± 5, atau kamu 1 = 2, kamu 2 = - 8(beras. .
Gambar 10
3) Selesaikan persamaan geometri kamu 2 - 6 tahun - 16 = 0.
Mengubah persamaan, kita dapatkan
kamu 2 - 6 tahun = 16.
Pada Gambar 11 kita menemukan “gambar” dari ekspresi tersebut kamu 2 - 6 tahun, itu. dari luas persegi yang sisinya y, kurangi luas persegi yang sisinya sama dengan 3 . Artinya jika pada ekspresi kamu 2 - 6 tahun menambahkan 9 , maka kita mendapatkan luas persegi dengan sisinya kamu - 3. Mengganti ekspresi kamu 2 - 6 tahun itu sama dengan angka 16,
kita mendapatkan: (kamu - 3) 2 = 16 + 9, itu. y - 3 = ± √25, atau y - 3 = ± 5, dimana kamu 1 = 8 Dan kamu 2 = - 2.
Kesimpulan
Dalam melaksanakan pekerjaan penelitian saya, saya yakin bahwa saya telah mencapai maksud dan tujuan yang telah ditetapkan, saya mampu menggeneralisasi dan mensistematisasikan materi yang dipelajari pada topik yang disebutkan di atas.
Perlu dicatat bahwa setiap metode penyelesaian persamaan kuadrat memiliki keunikan tersendiri. Beberapa solusi membantu menghemat waktu, yang penting saat menyelesaikan tugas ujian dan ujian. Saat mengerjakan topik tersebut, saya menetapkan tugas untuk mencari tahu metode mana yang standar dan mana yang tidak standar.
Jadi, metode standar(lebih sering digunakan saat menyelesaikan persamaan kuadrat):
- Menyelesaikannya dengan mengkuadratkan binomial
- Memfaktorkan ruas kiri
- Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus
- Solusi menggunakan teorema Vieta
- Solusi grafis persamaan
- Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat
- Solusi dengan mentransfer koefisien
- Solusi menggunakan pola koefisien
- Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan kompas dan penggaris.
- Mempelajari persamaan interval sumbu nyata
- Metode geometris
Perlu dicatat bahwa setiap metode memiliki karakteristik dan batasan penerapannya masing-masing.
Menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta
Caranya cukup mudah, sehingga akar-akar persamaan dapat langsung terlihat, sedangkan hanya akar-akar utuh saja yang mudah ditemukan.
Menyelesaikan persamaan menggunakan metode transfer
Dalam jumlah langkah minimum, Anda dapat menemukan akar-akar persamaan, yang digunakan bersama dengan metode teorema Vieta, dan juga mudah untuk menemukan hanya akar bilangan bulat.
Sifat-sifat koefisien persamaan kuadrat
Metode yang dapat diakses untuk mencari akar persamaan kuadrat secara verbal, tetapi hanya cocok untuk beberapa persamaan
Solusi grafis dari persamaan kuadrat
Cara visual untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, tetapi kesalahan mungkin terjadi saat menggambar grafik
Menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan kompas dan penggaris
Cara visual untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, tetapi kesalahan juga dapat terjadi
Metode geometris untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Sebuah metode visual, mirip dengan metode pemilihan persegi lengkap
Menyelesaikan persamaan dengan cara yang berbeda, saya sampai pada kesimpulan bahwa dengan mengetahui seperangkat metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, Anda dapat menyelesaikan persamaan apa pun yang diajukan selama proses pembelajaran.
Pada saat yang sama, perlu dicatat bahwa salah satu cara yang lebih rasional untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah metode “mentransfer” koefisien. Namun, metode yang paling universal dapat dianggap sebagai metode standar penyelesaian persamaan menggunakan rumus, karena metode ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun, meskipun terkadang dalam waktu yang lebih lama. Selain itu, metode penyelesaian seperti metode “transfer”, properti koefisien, dan teorema Vieta membantu menghemat waktu, yang sangat penting saat menyelesaikan tugas dalam ujian dan tes.
Saya pikir pekerjaan saya akan menarik bagi siswa kelas 9-11, serta mereka yang ingin belajar bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat rasional dan mempersiapkan diri dengan baik untuk ujian akhir. Ini juga akan menarik bagi guru matematika, karena pertimbangan sejarah persamaan kuadrat dan sistematisasi metode penyelesaiannya.
Bibliografi
- Glaser, GI. Sejarah matematika di sekolah / G.I. Glazer.-M.: Pencerahan, 1982- 340 hal.
- Gusev, V.A. Matematika. Bahan referensi/ V.A. Gusev, A.G. Mordkovich - M.: Pendidikan, 1988, 372 hal.
- Kovaleva G. I., Konkina E. V. “Metode fungsional untuk menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan”, 2014
- Kulagin E. D. “300 masalah kompetitif dalam matematika”, 2013
- Potapov M.K. “Persamaan dan pertidaksamaan. Metode solusi non-standar" M. "Drofa", 2012
- .Barvenov S. A “Metode penyelesaian persamaan aljabar”, M. “Aversev”, 2006
- Suprun V.P. “Metode non-standar untuk memecahkan masalah dalam matematika” - Minsk “Polymya”, 2010
- Shabunin M.I. “Manual matematika untuk pelamar ke universitas,” 2005.
- Bashmakov M.I. Aljabar: buku teks. untuk kelas 8. pendidikan umum institusi. - M.: Pendidikan, 2004. - 287 hal.
- Shatalova S. Pelajaran - lokakarya dengan topik "Persamaan Kuadrat" - 2004.
Kompetisi kota penelitian dan karya kreatif anak sekolah
"Melangkah ke dalam Sains"
bagian MATEMATIKA
Subjek: Metode non-standar untuk memecahkan masalah irasional
persamaan.
Nuzhdina Maria, Sekolah Menengah MAOU No.2
kelas 10, desa Karymskoe
Pembimbing Ilmiah: Vasilyeva Elena Valerievna,
guru matematika
Sekolah menengah MAOU No. 2, desa Karymskoe
Desa Karymskoe, 2013
Abstrak……………………………………………………………………….3
Rencana penelitian…………………………………………………......4-5
Uraian pekerjaan:
§1. Teknik dasar menyelesaikan persamaan irasional………………6-9
§2. Menyelesaikan persamaan irasional dengan mengganti persamaan yang tidak diketahui…10-14
§3. Persamaan irasional dapat direduksi menjadi modulus………….15-17
§4. Faktorisasi………………………………………...…..18-19
§5. Persamaan bentuk…………………………………………………20-22
§6. Teorema mean geometrik dalam persamaan irasional
; ……………………………23-24
4) Daftar referensi………………………………………………….....25
Anotasi.
Topik penelitian kami adalah: “Teknik non-standar untuk menyelesaikan persamaan irasional.”
Saat melakukan pekerjaan, perlu untuk: membandingkan metode penyelesaian yang berbeda; berpindah dari metode umum ke metode khusus, dan sebaliknya; memperdebatkan dan membuktikan pernyataan yang dibuat; mempelajari dan mensintesis informasi yang dikumpulkan dari berbagai sumber. Berkaitan dengan itu, metode penelitian berikut dapat dibedakan: empiris; logis dan teoritis (penelitian); selangkah demi selangkah; reproduktif dan heuristik;
Dari hasil pekerjaan yang dilakukan diperoleh hal-hal sebagai berikut hasil dan kesimpulan:
Ada banyak teknik untuk menyelesaikan persamaan irasional;
Tidak semua persamaan irasional dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik standar;
Kami telah mempelajari substitusi yang sering terjadi dengan bantuan persamaan irasional kompleks yang direduksi menjadi persamaan paling sederhana;
Kami melihat teknik non-standar untuk menyelesaikan persamaan irasional
Topik: “Teknik non-standar untuk menyelesaikan persamaan irasional”
Nuzhdina M.P., Wilayah Trans-Baikal, desa Karymskoe, Sekolah Menengah MAOU No. 2, kelas 10.
Rencana penelitian.
Daerah objek Bidang tempat kami melakukan penelitian adalah aljabar. Sebuah Objek riset- memecahkan persamaan. Di antara banyak persamaan, kami mempertimbangkan persamaan irasional - barang penelitian kami.
Dalam kursus aljabar sekolah, hanya metode standar dan teknik penyelesaian (dipangkatkan dan teknik substitusi sederhana) yang dipertimbangkan. Namun selama penelitian menjadi jelas bahwa ada persamaan irasional yang tidak cukup diselesaikan dengan teknik dan metode standar. Persamaan tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode lain yang lebih rasional.
Oleh karena itu, kami percaya bahwa mempelajari teknik solusi seperti itu merupakan pekerjaan yang perlu dan menarik.
Selama penelitian, menjadi jelas bahwa ada banyak sekali persamaan irasional dan mengelompokkannya berdasarkan jenis dan metode merupakan masalah.
Tujuan penelitian adalah studi dan sistematisasi metode penyelesaian persamaan irasional.
Hipotesa: Jika Anda mengetahui metode non-standar untuk menyelesaikan persamaan irasional, ini akan meningkatkan kualitas pelaksanaan beberapa tugas tes Olimpiade dan Ujian Negara Bersatu.
Untuk mencapai tujuan dan menguji hipotesis, perlu diselesaikan hal-hal berikut tugas:
Jelaskan jenis-jenis persamaan irasional.
Membangun hubungan antara jenis dan metode penyelesaian.
Menilai pentingnya memeriksa dan menemukan DL.
Pertimbangkan kasus-kasus non-standar ketika menyelesaikan persamaan irasional (teorema mean geometris, sifat monotonisitas fungsi).
Selama proses penelitian, banyak buku teks yang dipelajari oleh penulis seperti M.I. Skanavi, I.F. Sharygina, O.Yu. Cherkasov, A.N. Rurukin, I.T. Borodulya, serta artikel dari jurnal ilmiah-teori dan metodologi "Matematika di sekolah".
Topik: “Teknik non-standar untuk menyelesaikan persamaan irasional”
Nuzhdina M.P., Wilayah Trans-Baikal, desa Karymskoe, Sekolah Menengah MAOU No. 2, kelas 10.
Uraian pekerjaan.
§1 Teknik dasar untuk menyelesaikan persamaan irasional
Persamaan y(x)=0 adalah irasional jika fungsi y(x) mengandung akar-akar yang besarannya tidak diketahui x atau ekspresi yang bergantung pada x.
Banyak persamaan irasional yang dapat diselesaikan hanya berdasarkan konsep akar dan kisaran nilai persamaan yang diizinkan (ADV), tetapi ada metode lain, beberapa di antaranya akan dibahas dalam makalah ini.
Teknik utama dalam menyelesaikan persamaan irasional adalah dengan mengisolasi radikal pada salah satu bagian persamaan, kemudian menaikkan kedua bagian persamaan tersebut ke pangkat yang sesuai. Jika ada beberapa radikal seperti itu, maka persamaan tersebut harus dipangkatkan berulang-ulang ke pangkat aslinya; omong-omong, tidak perlu peduli bahwa ekspresi di bawah tanda radikal soliter adalah non-negatif.
Namun, jika dipangkatkan genap, akar-akar asing mungkin muncul, yaitu akar-akar yang bukan merupakan solusi persamaan awal.
Oleh karena itu, ketika menggunakan metode pengambilan keputusan seperti itu, akar-akarnya harus diperiksa dan akar-akarnya harus dibuang; dalam hal ini, verifikasi adalah salah satu elemen dari keputusan dan diperlukan bahkan dalam kasus-kasus di mana akar-akar yang tidak perlu tidak muncul, tetapi jalannya keputusan itu. sedemikian rupa sehingga mereka bisa muncul. Di sisi lain, terkadang lebih mudah melakukan pemeriksaan daripada membuktikan bahwa hal itu perlu.
Mari kita lihat beberapa contoh:
Jawaban: tidak ada akar
– akar asing
Dalam contoh ini, kita melihat metode standar untuk menyelesaikan persamaan irasional (pangkatkan kedua ruas dan periksa akar-akarnya).
Namun, banyak persamaan irasional yang dapat diselesaikan dengan
hanya berdasarkan konsep akar dan ODZ persamaan.
Karena persamaan tersebut hanya mencakup radikal dengan derajat genap, persamaan tersebut cukup untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan.
3x -2x 2 +5 ≥0 (kondisi persamaan ODZ)
4х 2 -26х +40 ≥0
Memecahkan sistem pertidaksamaan ini kita peroleh:
x € Dimana x = 2,5.
x € (-∞; 2,5] ᴗ )
