Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Keluaran

Jawaban: 0,25. 34. Solusi. Hanya ada 4 pilihan: o; o o; hal; hal; HAI. Menguntungkan 1: o; R. Peluangnya adalah 1/4 = 0,25. Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas bahwa hasil OP akan terjadi (mengarah pertama kali, mengikuti kedua kalinya).

Geser 35 dari presentasi “Menyelesaikan tugas B6”. Ukuran arsip dengan presentasi adalah 1329 KB.

Matematika kelas 11

ringkasan presentasi lainnya

"Menyelesaikan tugas B6" - Tas yang dibeli. Kemungkinan terjadinya peristiwa independen. Angka kelahiran anak perempuan. Keluaran. Banyak. Peluang untuk menang. Peserta. Piring berkualitas tinggi. Bahasa asing. Tim. Situasi. Probabilitas yang diinginkan. Manusia. Kombinasi. Kopi. Baterai. Acara. Toko. Pertanyaan botani. Jam tangan mekanis. Kartu dengan nomor kelompok. Peluang untuk bertahan hidup. Pompa. Tembakan pistol. Atlet.

“Persiapan ujian matematika” - Ruang informasi dan metodologis untuk guru matematika. Koleksi Ujian Negara Terpadu Matematika. Memecahkan sejumlah besar masalah dari “Bank Tugas”. Rekomendasi bagi lulusan dalam persiapan Ujian Negara Bersatu. Dari pengalaman mempersiapkan sertifikasi akhir siswa yang tidak termotivasi. Buku kerja matematika B1-B12, C1 – C6 untuk UN Unified State 2011. Hasil UN Unified State. Dukungan informasi untuk Ujian Negara Bersatu. Tes pendidikan dan pelatihan Unified State Exam 2011 bidang matematika.

“Memecahkan soal cerita dalam matematika” - Ada total 82 soal prototipe di bagian prototipe blok B12. Tugas pergerakan. Pergerakan benda satu sama lain. Sebuah tim pelukis sedang mengecat pagar sepanjang 240 meter. Tugas untuk bekerja. Prototipe tugas B12. Tugas dan kinerja pekerjaan. Empat kemeja 8% lebih murah daripada jaket. Masalah pada “konsentrasi, campuran dan paduan”. Pendekatan umum untuk pemecahan masalah. Pergerakan pengendara sepeda dan pengendara motor. Pergerakan perahu mengikuti arus dan melawan arus.

“Pilihan untuk tugas-tugas USE dalam matematika” - Akarnya tidak rasional. Tugas cerita. Berikan grafik fungsi yang diberikan oleh rumus. Jenis persamaan dan pertidaksamaan yang paling sederhana. Analisis isi tugas matematika USE. Bentuk geometris dan sifat-sifatnya. Tugas bagian kedua dan ketiga (bentuk B dan C). Brigade pelajar. Arti dari ekspresi. Temukan arti dari ekspresi tersebut. Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan tersebut? Struktur pekerjaan dalam matematika. Topik konten dasar dalam matematika.

"Struktur Ujian Negara Terpadu Matematika" - Pekerjaan pelatihan. Struktur Ujian Negara Terpadu KIM. Contoh Ujian Negara Bersatu KIM Matematika 2012. Saran dari Psikolog. Pilihan ujian yang khas. Matematika Ujian Negara Terpadu 2012. Trik yang berguna. Formulir jawaban. Penskalaan. Evaluasi makalah Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Rekomendasi untuk mempelajari materi. Perubahan Ujian Negara Terpadu Matematika 2012. Struktur versi KIM. Tugas tes yang khas. Aljabar.

“Tugas B1 dalam Ujian Negara Terpadu Matematika” - Sebotol sampo. Persiapan Ujian Negara Terpadu Matematika. Isi tugas. Persyaratan yang dapat diverifikasi. Kapal motor. Data numerik nyata. asam sitrat. Sekoci. Tugas untuk solusi mandiri. Asam sitrat dijual dalam bentuk sachet. Memo untuk siswa. Jumlah terbesar. Prototipe tugas.

Formulasi masalah: Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Tentukan peluang munculnya kepala (ekor) satu kali saja (akan muncul tepat/minimal 1, 2 kali).

Soal tersebut merupakan bagian dari Ujian Negara Terpadu matematika tingkat dasar untuk kelas 11 di bawah nomor 10 (Definisi klasik tentang probabilitas).

Mari kita lihat bagaimana masalah tersebut diselesaikan dengan menggunakan contoh.

Contoh tugas 1:

Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas bahwa kepala tidak akan muncul sekali pun.

OO ATAU RO RR

Total ada 4 kombinasi seperti itu, kami hanya tertarik pada kombinasi yang tidak mengandung satu elang pun. Hanya ada satu kombinasi seperti itu (PP).

P = 1/4 = 0,25

Jawaban: 0,25

Contoh tugas 2:

Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas mendapatkan gambar tepat dua kali.

Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi yang dapat terjadi jika sebuah koin dilempar dua kali. Untuk kenyamanan, kami akan menunjukkan kepala dengan huruf O, dan ekor dengan huruf P:

OO ATAU RO RR

Total ada 4 kombinasi seperti itu, kami hanya tertarik pada kombinasi yang kepala muncul tepat 2 kali. Hanya ada satu kombinasi seperti itu (OO).

P = 1/4 = 0,25

Jawaban: 0,25

Contoh tugas 3:

Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan peluang munculnya gambar tepat satu kali.

Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi yang dapat terjadi jika sebuah koin dilempar dua kali. Untuk kenyamanan, kami akan menunjukkan kepala dengan huruf O, dan ekor dengan huruf P:

OO ATAU RO RR

Total ada 4 kombinasi seperti itu, kami hanya tertarik pada kombinasi yang muncul tepat 1 kali. Hanya ada dua kombinasi seperti itu (OR dan RO).

Jawaban: 0,5

Contoh tugas 4:

Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas bahwa kepala akan muncul setidaknya satu kali.

Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi yang dapat terjadi jika sebuah koin dilempar dua kali. Untuk kenyamanan, kami akan menunjukkan kepala dengan huruf O, dan ekor dengan huruf P:

OO ATAU RO RR

Total ada 4 kombinasi seperti itu. Kami hanya tertarik pada kombinasi yang kepalanya muncul setidaknya sekali. Hanya ada tiga kombinasi seperti itu (OO, OP dan RO).

P = 3/4 = 0,75

Dalam teori probabilitas, terdapat sekelompok masalah yang cukup untuk mengetahui definisi klasik probabilitas dan secara visual mewakili situasi yang diusulkan. Masalah tersebut mencakup sebagian besar masalah lempar koin dan masalah melempar dadu. Mari kita mengingat kembali definisi klasik tentang probabilitas.

Peluang kejadian A (kemungkinan obyektif suatu peristiwa terjadi dalam bentuk numerik) sama dengan rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa ini dengan jumlah total semua hasil dasar yang sama-sama mungkin tidak kompatibel: P(A)=m/n, Di mana:

• m adalah banyaknya hasil tes dasar yang mendukung terjadinya kejadian A;
• n adalah jumlah total semua kemungkinan hasil tes dasar.

Lebih mudah untuk menentukan jumlah kemungkinan hasil tes dasar dan jumlah hasil yang diinginkan dalam soal yang sedang dipertimbangkan dengan menghitung semua opsi yang mungkin (kombinasi) dan penghitungan langsung.

Dari tabel kita melihat bahwa banyaknya hasil dasar yang mungkin adalah n=4. Hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (kepala muncul 1 kali) sesuai dengan pilihan No. 2 dan No. 3 dari percobaan, ada dua pilihan seperti itu m = 2.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=2/4=0,5

Masalah 2 . Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Temukan probabilitas bahwa Anda tidak akan mendapat kepala sama sekali.

Larutan . Karena koin dilempar dua kali, maka, seperti pada soal 1, banyaknya kemungkinan hasil elementer adalah n=4. Hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (kepala tidak akan muncul sekali pun) sesuai dengan opsi No. 4 percobaan (lihat tabel pada soal 1). Hanya ada satu pilihan seperti itu, yang berarti m=1.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=1/4=0,25

Masalah 3 . Pada suatu percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak tiga kali. Tentukan peluang munculnya gambar tepat 2 kali.

Larutan . Kami menyajikan opsi yang memungkinkan untuk tiga pelemparan koin (semua kemungkinan kombinasi kepala dan ekor) dalam bentuk tabel:

Dari tabel kita melihat bahwa banyaknya hasil dasar yang mungkin adalah n=8. Hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (kepala muncul 2 kali) sesuai dengan pilihan No. 5, 6 dan 7 dari percobaan. Ada tiga pilihan seperti itu, artinya m=3.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=3/8=0,375

Masalah 4 . Pada suatu percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak empat kali. Tentukan peluang munculnya gambar tepat 3 kali.

Larutan . Kami menyajikan opsi yang memungkinkan untuk empat pelemparan koin (semua kemungkinan kombinasi kepala dan ekor) dalam bentuk tabel:

Opsi No.	lemparan pertama	lemparan ke-2	lemparan ke-3	lemparan ke-4	Opsi No.	lemparan pertama	lemparan ke-2	lemparan ke-3	lemparan ke-4
1	Burung rajawali	Burung rajawali	Burung rajawali	Burung rajawali	9	Ekor	Burung rajawali	Ekor	Burung rajawali
2	Burung rajawali	Ekor	Ekor	Ekor	10	Burung rajawali	Ekor	Burung rajawali	Ekor
3	Ekor	Burung rajawali	Ekor	Ekor	11	Burung rajawali	Ekor	Ekor	Burung rajawali
4	Ekor	Ekor	Burung rajawali	Ekor	12	Burung rajawali	Burung rajawali	Burung rajawali	Ekor
5	Ekor	Ekor	Ekor	Burung rajawali	13	Ekor	Burung rajawali	Burung rajawali	Burung rajawali
6	Burung rajawali	Burung rajawali	Ekor	Ekor	14	Burung rajawali	Ekor	Burung rajawali	Burung rajawali
7	Ekor	Burung rajawali	Burung rajawali	Ekor	15	Burung rajawali	Burung rajawali	Ekor	Burung rajawali
8	Ekor	Ekor	Burung rajawali	Burung rajawali	16	Ekor	Ekor	Ekor	Ekor

Dari tabel kita melihat bahwa banyaknya hasil dasar yang mungkin adalah n=16. Hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (kepala akan muncul 3 kali) sesuai dengan pilihan percobaan No. 12, 13, 14 dan 15, yang berarti m = 4.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=4/16=0,25

Menentukan Probabilitas dalam Soal Dadu

Masalah 5 . Tentukan peluang pada pelemparan sebuah dadu (dadu yang adil) anda akan mendapat lebih dari 3 poin.

Larutan . Saat melempar dadu (dadu biasa), salah satu dari enam permukaannya bisa rontok, mis. salah satu peristiwa dasar terjadi - hilangnya 1 hingga 6 titik (poin). Artinya banyaknya kemungkinan hasil dasar adalah n=6.
Kejadian A = (lebih dari 3 poin) berarti 4, 5 atau 6 poin (poin) dilempar. Artinya banyaknya hasil yang diinginkan adalah m=3.
Peluang kejadian P(A)=m/n=3/6=0,5

Masalah 6 . Tentukan peluang terambilnya sebuah dadu dengan jumlah poin tidak lebih dari 4. Bulatkan hasilnya ke seperseribu terdekat.

Larutan . Saat melempar dadu, salah satu dari enam mukanya bisa rontok, mis. salah satu peristiwa dasar terjadi - hilangnya 1 hingga 6 titik (poin). Artinya banyaknya kemungkinan hasil dasar adalah n=6.
Kejadian A = (tidak lebih dari 4 poin yang dilempar) berarti 4, 3, 2 atau 1 poin (poin) dilempar. Artinya banyaknya hasil yang diinginkan adalah m=4.
Peluang kejadian Р(А)=m/n=4/6=0.6666…≈0.667

Masalah 7 . Dadu dilempar dua kali. Tentukan peluang terambilnya angka kurang dari 4 pada kedua kali.

Larutan . Karena dadu (dadu) dilempar dua kali, maka kita beralasan sebagai berikut: jika dadu pertama menunjukkan satu poin, maka dadu kedua mendapat 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kita mendapatkan pasangan (1;1 ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) dan seterusnya dengan masing-masing wajah. Mari kita sajikan semua kasus dalam bentuk tabel 6 baris dan 6 kolom:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Kita menghitung hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (kedua kali angkanya kurang dari 4) (keduanya disorot dalam huruf tebal) dan kita mendapatkan m=9.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=9/36=0,25

Masalah 8 . Dadu dilempar dua kali. Tentukan peluang terambilnya angka terbesar adalah 5. Bulatkan jawabanmu ke ribuan terdekat.

Larutan . Kami menyajikan semua kemungkinan hasil pelemparan dua dadu dalam tabel:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Dari tabel kita melihat bahwa banyaknya hasil dasar yang mungkin adalah n=6*6=36.
Kita menghitung hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (angka terbesar dari dua angka yang diambil adalah 5) (ditandai dengan huruf tebal) dan kita mendapatkan m=8.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=8/36=0.2222…≈0.222

Masalah 9 . Dadu dilempar dua kali. Tentukan peluang munculnya angka kurang dari 4 paling sedikit satu kali.

Larutan . Kami menyajikan semua kemungkinan hasil pelemparan dua dadu dalam tabel:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Dari tabel kita melihat bahwa banyaknya hasil dasar yang mungkin adalah n=6*6=36.
Yang dimaksud dengan “setidaknya sekali muncul angka kurang dari 4” adalah “munculnya angka kurang dari 4 satu atau dua kali”, maka banyaknya hasil yang menguntungkan dari kejadian A = (setidaknya sekali muncul angka kurang dari 4 ) (ditandai dengan huruf tebal) m=27.
Tentukan peluang kejadian P(A)=m/n=27/36=0,75

Soal lempar koin terbilang cukup sulit. Dan sebelum menyelesaikannya, diperlukan sedikit penjelasan. Coba pikirkan, masalah apa pun dalam teori probabilitas pada akhirnya bermuara pada rumus standar:

dimana p adalah probabilitas yang diinginkan, k adalah banyaknya kejadian yang sesuai dengan kita, n adalah jumlah total kejadian yang mungkin terjadi.

Sebagian besar masalah B6 dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus ini secara harfiah dalam satu baris - cukup baca kondisinya. Tetapi dalam kasus pelemparan koin, rumus ini tidak ada gunanya, karena dari teks soal seperti itu sama sekali tidak jelas sama dengan angka k dan n. Di sinilah letak kesulitannya.

Namun, setidaknya ada dua metode solusi yang berbeda secara mendasar:

1. Metode penghitungan kombinasi adalah algoritma standar. Semua kombinasi kepala dan ekor ditulis, setelah itu yang diperlukan dipilih;
2. Rumus probabilitas khusus adalah definisi standar probabilitas, yang ditulis ulang secara khusus agar mudah digunakan dengan koin.

Untuk mengatasi masalah B6 Anda perlu mengetahui kedua metode tersebut. Sayangnya, hanya yang pertama yang diajarkan di sekolah. Jangan sampai kita mengulangi kesalahan sekolah. Jadi ayo pergi!

Metode pencarian kombinasi

Metode ini juga disebut “solusi ke depan”. Terdiri dari tiga langkah:

1. Kami menuliskan semua kemungkinan kombinasi kepala dan ekor. Misalnya: ATAU, RO, OO, RR. Banyaknya kombinasi tersebut adalah n;
2. Di antara kombinasi yang diperoleh, kami mencatat kombinasi yang diperlukan oleh kondisi masalah. Kami menghitung kombinasi yang ditandai - kami mendapatkan nomor k;
3. Masih mencari probabilitas: p = k: n.

Sayangnya, cara ini hanya berhasil pada jumlah lemparan yang sedikit. Karena dengan setiap lemparan baru, jumlah kombinasi menjadi dua kali lipat. Misalnya, untuk 2 koin Anda hanya perlu menuliskan 4 kombinasi. Untuk 3 koin sudah ada 8, dan untuk 4 - 16, dan kemungkinan kesalahan mendekati 100%. Lihatlah contohnya dan Anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugas. Pada percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar dua kali. Tentukan peluang terambilnya jumlah kepala dan ekor yang sama.

Jadi, uang logam tersebut dilempar dua kali. Mari kita tuliskan semua kemungkinan kombinasi (O - kepala, P - ekor):

Jumlah n = 4 pilihan. Sekarang mari kita tuliskan opsi yang sesuai dengan kondisi permasalahan:

Ada k = 2 pilihan seperti itu. Tentukan peluangnya:

Tugas. Koin tersebut dilempar sebanyak empat kali. Temukan kemungkinan bahwa Anda tidak akan pernah mendapat perhatian.

Sekali lagi kami menuliskan semua kemungkinan kombinasi kepala dan ekor:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

Total ada n = 16 pilihan. Sepertinya saya belum melupakan apa pun. Dari pilihan tersebut, kami hanya puas dengan kombinasi “OOOO”, yang tidak mengandung ekor sama sekali. Oleh karena itu, k = 1. Masih mencari probabilitas:

Seperti yang Anda lihat, pada soal terakhir saya harus menuliskan 16 opsi. Apakah Anda yakin dapat menuliskannya tanpa membuat satu kesalahan pun? Secara pribadi, saya tidak yakin. Jadi mari kita lihat solusi kedua.

Rumus probabilitas khusus

Jadi, soal koin memiliki rumus probabilitasnya sendiri. Saking sederhana dan pentingnya, saya memutuskan untuk merumuskannya dalam bentuk teorema. Lihatlah:

Dalil. Biarkan uang logam tersebut dilempar sebanyak n kali. Maka peluang munculnya kepala tepat sebanyak k kali dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Dimana C n k adalah banyaknya kombinasi n unsur dengan k, yang dihitung dengan rumus:

Jadi, untuk menyelesaikan soal koin, Anda memerlukan dua angka: jumlah pelemparan dan jumlah kepala. Paling sering, angka-angka ini diberikan langsung dalam teks soal. Selain itu, tidak masalah apa sebenarnya yang Anda hitung: ekor atau kepala. Jawabannya akan sama.

Sekilas, teorema ini tampak terlalu rumit. Namun begitu Anda berlatih sedikit, Anda tidak akan ingin lagi kembali ke algoritma standar yang dijelaskan di atas.

Tugas. Koin tersebut dilempar sebanyak empat kali. Tentukan peluang munculnya gambar tepat tiga kali.

Sesuai dengan kondisi soal, total lemparan adalah n = 4. Jumlah kepala yang dibutuhkan: k = 3. Substitusikan n dan k ke dalam rumus:

Tugas. Koin tersebut dilempar sebanyak tiga kali. Temukan kemungkinan bahwa Anda tidak akan pernah mendapat perhatian.

Kita tuliskan lagi angka n dan k. Karena uang logam dilempar sebanyak 3 kali, maka n = 3. Dan karena tidak boleh ada kepala, maka k = 0. Tetap mengganti angka n dan k ke dalam rumus:

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa 0! = 1 menurut definisi. Oleh karena itu C 3 0 = 1.

Tugas. Pada suatu percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak 4 kali. Tentukan peluang munculnya kepala lebih sering daripada ekor.

Agar jumlah kepala lebih banyak daripada ekor, maka harus muncul 3 kali (maka akan ada 1 ekor) atau 4 kali (maka tidak akan ada ekor sama sekali). Mari kita cari peluang masing-masing kejadian tersebut.

Misalkan p 1 adalah peluang munculnya gambar sebanyak 3 kali. Maka n = 4, k = 3. Kita mempunyai:

Sekarang mari kita cari p 2 - peluang munculnya kepala sebanyak 4 kali. Dalam hal ini n = 4, k = 4. Kita mempunyai:

Untuk mendapatkan jawabannya, yang tersisa hanyalah menjumlahkan probabilitas p 1 dan p 2 . Ingat: Anda hanya dapat menambahkan probabilitas untuk kejadian yang saling eksklusif. Kita punya:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125