Huruf apa yang melambangkan bilangan rasional? Bilangan bulat dan bilangan rasional
Angka adalah abstraksi yang digunakan untuk mengukur objek. Angka-angka muncul kembali masyarakat primitif karena kebutuhan orang untuk menghitung benda. Seiring berjalannya waktu, seiring berkembangnya ilmu pengetahuan, bilangan berubah menjadi konsep matematika yang paling penting.
Untuk menyelesaikan masalah dan membuktikan berbagai teorema, Anda perlu memahami jenis bilangan apa saja. Jenis angka utama meliputi: bilangan bulat, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real.
bilangan bulat- ini adalah angka yang diperoleh dengan menghitung benda secara alami, atau lebih tepatnya dengan memberi nomor (“pertama”, “kedua”, “ketiga”...). Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf latin N (Anda dapat mengingatnya berdasarkan kata Bahasa Inggris alami). bisa dibilang N ={1,2,3,....}
Bilangan bulat- ini adalah angka dari himpunan (0, 1, -1, 2, -2, ....). Himpunan ini terdiri dari tiga bagian - bilangan asli, bilangan bulat negatif (kebalikan dari bilangan asli) dan bilangan 0 (nol). Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf latin Z . bisa dibilang Z ={1,2,3,....}.
Angka rasional adalah bilangan yang direpresentasikan sebagai pecahan, dengan m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Huruf latin digunakan untuk menunjukkan bilangan rasional Q . Semua bilangan asli dan bilangan bulat adalah rasional. Contoh bilangan rasional antara lain :,,.
Bilangan nyata- ini adalah angka yang digunakan untuk mengukur besaran kontinu. Sekelompok bilangan real dilambangkan dengan huruf latin R. Bilangan real meliputi bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan yang dihasilkan dari perbuatan berbagai operasi dengan bilangan rasional (misalnya, mengambil akar, menghitung logaritma), tetapi tidak rasional. Contoh bilangan irasional adalah,,.
Bilangan real apa pun dapat ditampilkan pada garis bilangan:
Untuk himpunan bilangan di atas, pernyataan berikut ini benar:
Artinya, himpunan bilangan asli termasuk dalam himpunan bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat termasuk dalam himpunan bilangan rasional. Dan himpunan bilangan rasional termasuk dalam himpunan bilangan real. Pernyataan ini dapat diilustrasikan dengan menggunakan lingkaran Euler.
Negara lembaga pendidikan
rata-rata pendidikan kejuruan
"Perguruan Tinggi Teknik Mesin Aleksinsky"
numerik
set
Dirancang oleh
guru
matematikawan
Khristoforova M.Yu.
Nomor - konsep dasar , digunakan untuk karakteristik, perbandingan, dan bagian mereka. Tanda tertulis untuk menunjukkan angka adalah , Dan matematis .
Konsep bilangan muncul pada zaman dahulu dari kebutuhan praktis manusia dan berkembang dalam proses perkembangan manusia. Wilayah aktifitas manusia diperluas dan, oleh karena itu, kebutuhan akan deskripsi dan penelitian kuantitatif meningkat. Pada awalnya konsep bilangan ditentukan oleh kebutuhan berhitung dan mengukur yang muncul dalam aktivitas praktis manusia yang semakin kompleks. Nantinya bilangan menjadi konsep dasar matematika, dan kebutuhan ilmu ini menentukan perkembangan selanjutnya dari konsep tersebut.
Himpunan yang elemen-elemennya berupa bilangan disebut numerik.
Contoh himpunan bilangan adalah:
N=(1; 2; 3; ...; n; ... ) - himpunan bilangan asli;
Zo=(0; 1; 2; ...; n; ... ) - himpunan bilangan bulat non-negatif;
Z=(0; ±1; ±2; ...; ±n; ...) - himpunan bilangan bulat;
Q=(m/n: m Z, hal N) adalah himpunan bilangan rasional.
R-himpunan bilangan real.
Ada hubungan antara himpunan-himpunan ini
N Zo Z Q R.
Nomor formulirN = (1, 2, 3, ....) disebutalami . Bilangan asli muncul sehubungan dengan kebutuhan untuk menghitung benda.
Setiap , lebih besar dari kesatuan, dapat direpresentasikan sebagai produk kekuatan bilangan prima, dan dengan cara yang unik hingga urutan faktornya. Misalnya, 121968=2 4 ·3 2 ·7·11 2
Jikam, n, k - bilangan asli, lalu kapanm - n = k mereka mengatakan itum - minuend, n - pengurangan, k - selisih; padam: n = k mereka mengatakan itum - dividen, n - pembagi, k - hasil bagi, nomorM disebut jugakelipatan angkaN, dan nomornyan - pembagi angkaM, Jika nomornyaM- kelipatan suatu bilanganN, maka ada bilangan aslik, seperti yangm = buku.
Dari bilangan-bilangan yang menggunakan tanda aritmatika dan tanda kurung disusunekspresi numerik. Jika Anda melakukan tindakan yang ditunjukkan dalam ekspresi numerik, mengamati urutan yang diterima, Anda akan mendapatkan nomor yang dipanggilnilai ekspresi .
Urutan operasi aritmatika: tindakan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu; Di dalam tanda kurung apa pun, perkalian dan pembagian dilakukan terlebih dahulu, lalu penjumlahan dan pengurangan.
Jika bilangan asliM tidak habis dibagi bilangan asliN, itu. tidak ada hal seperti itubilangan asli k, Apam =kn, kemudian mereka mempertimbangkanpembagian dengan sisa: m = np + r, Di manam - dividen, n - pembagi (m>n), p - hasil bagi, r - sisa .
Jika suatu bilangan hanya mempunyai dua pembagi (bilangan itu sendiri dan satu), maka disebutsederhana : jika suatu bilangan mempunyai lebih dari dua pembagi, maka disebutgabungan.
Bilangan asli komposit apa pun bisamenguraikan pd pengali , dan hanya satu cara. Saat memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima, gunakantanda-tanda perpecahan .
A DanB dapat ditemukanpembagi persekutuan terbesar. Itu ditunjukColek). Jika angkanyaA DanB adalah seperti ituD(a,b) = 1, lalu angkanyaA DanB disebutsaling sederhana.
Untuk bilangan asli apa punA DanB dapat ditemukankelipatan persekutuan terkecil. Itu ditunjukK(a,b). Kelipatan persekutuan apa pun dari bilanganA DanB dibagi denganK(a,b).
Jika angkanyaA Danb relatif prima , yaitu.D(a,b) = 1, ItuK(a,b) = ab .
Nomor formulir:Z = (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....) disebut bilangan bulat , itu. Bilangan bulat adalah bilangan asli, kebalikan dari bilangan asli, dan bilangan 0.
Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5.... disebut juga bilangan bulat positif. Bilangan -1, -2, -3, -4, -5, ..., kebalikan dari bilangan asli, disebut bilangan bulat negatif.
Angka yang signifikan suatu bilangan adalah semua digitnya kecuali angka nol di depannya.
Sekelompok angka yang berulang secara berurutan setelah koma dalam notasi desimal suatu bilangan disebutperiode, dan pecahan desimal tak hingga yang memiliki periode seperti itu dalam notasinya disebutberkala . Jika periode dimulai tepat setelah koma, maka disebut pecahanperiodik murni ; jika ada tempat desimal lain antara titik desimal dan titik, maka disebut pecahanperiodik campuran .
Bilangan yang bukan bilangan bulat atau pecahan disebutirasional .
Setiap bilangan irasional direpresentasikan sebagai pecahan desimal tak terbatas non-periodik.
Himpunan segala sesuatu yang berhingga dan tak terhingga desimal diteleponbanyak bilangan real : rasional dan irasional.
Himpunan R bilangan real mempunyai sifat sebagai berikut.
1. Diurutkan: untuk dua bilangan berbeda α dan b, salah satu dari dua relasi berlaku: a
2. Himpunan R padat: antara dua bilangan berbeda a dan b terdapat himpunan bilangan real x yang tak terhingga, yaitu bilangan yang memenuhi pertidaksamaan a<х
Jadi, jika sebuah
(A 2a< A+bA+b<2b 2 A A<(a+b)/2
Bilangan real dapat direpresentasikan sebagai titik-titik pada garis bilangan. Untuk menentukan garis bilangan, Anda perlu menandai sebuah titik pada garis yang sesuai dengan angka 0 - titik asal, lalu memilih segmen satuan dan menunjukkan arah positif.
Setiap titik pada garis koordinat mempunyai suatu bilangan, yang didefinisikan sebagai panjang ruas dari titik asal sampai ke titik yang bersangkutan, dengan satuan ruas diambil sebagai satuan pengukuran. Angka tersebut merupakan koordinat titik tersebut. Jika suatu titik diambil ke sebelah kanan titik asal, maka koordinatnya positif, dan jika ke kiri maka negatif. Misalnya titik O dan A masing-masing mempunyai koordinat 0 dan 2 yang dapat dituliskan sebagai berikut: 0(0), A(2).
Dari sejumlah besar himpunan yang beragam, himpunan numeriklah yang paling menarik dan penting, yaitu. himpunan yang elemen-elemennya berupa bilangan. Tentunya, untuk bekerja dengan himpunan numerik, Anda harus memiliki keterampilan menuliskannya, serta menggambarkannya pada garis koordinat.
Menulis himpunan numerik
Sebutan yang diterima secara umum untuk himpunan apa pun adalah huruf kapital Latin. Kumpulan angka tidak terkecuali. Misalnya, kita dapat berbicara tentang himpunan bilangan B, F atau S, dan seterusnya. Namun, ada juga penandaan himpunan numerik yang diterima secara umum tergantung pada elemen yang termasuk di dalamnya:
N – himpunan semua bilangan asli; Z – himpunan bilangan bulat; Q – himpunan bilangan rasional; J – himpunan bilangan irasional; R – himpunan bilangan real; C adalah himpunan bilangan kompleks.
Jelaslah bahwa penunjukan, misalnya, suatu himpunan yang terdiri dari dua bilangan: - 3, 8 dengan huruf J dapat menyesatkan, karena huruf ini menandai himpunan bilangan irasional. Oleh karena itu, untuk menyatakan himpunan - 3, 8, akan lebih tepat menggunakan huruf netral: A atau B, misalnya.
Mari kita ingat juga notasi berikut:
- ∅ – himpunan kosong atau himpunan yang tidak mempunyai unsur penyusun;
- ∈ atau ∉ merupakan tanda apakah suatu unsur termasuk atau tidak termasuk dalam suatu himpunan. Misalnya notasi 5 ∈ N berarti bilangan 5 merupakan bagian dari himpunan semua bilangan asli. Notasi - 7, 1 ∈ Z mencerminkan fakta bahwa bilangan - 7, 1 bukan merupakan anggota himpunan Z, karena Z – himpunan bilangan bulat;
- tanda-tanda bahwa suatu himpunan termasuk dalam suatu himpunan:
⊂ atau ⊃ - masing-masing tanda “termasuk” atau “termasuk”. Misalnya notasi A ⊂ Z berarti semua anggota himpunan A termasuk dalam himpunan Z, yaitu. himpunan bilangan A termasuk dalam himpunan Z. Atau sebaliknya, notasi Z ⊃ A akan memperjelas bahwa himpunan semua bilangan bulat Z termasuk himpunan A.
⊆ atau ⊇ adalah tanda dari apa yang disebut inklusi tidak ketat. Berarti masing-masing "disertakan atau cocok" dan "termasuk atau cocok".
Sekarang mari kita perhatikan skema untuk mendeskripsikan himpunan numerik menggunakan contoh kasus standar utama yang paling sering digunakan dalam praktik.
Pertama-tama kita akan membahas himpunan numerik yang mengandung sejumlah elemen berhingga dan kecil. Himpunan seperti itu dapat dengan mudah dijelaskan hanya dengan membuat daftar semua elemennya. Unsur-unsur yang berbentuk bilangan ditulis, dipisahkan dengan koma, dan diapit oleh kurung kurawal (yang sesuai dengan aturan umum untuk mendeskripsikan himpunan). Misalnya kita menulis himpunan bilangan 8, - 17, 0, 15 sebagai (8, - 17, 0, 15).
Kebetulan jumlah elemen suatu himpunan cukup banyak, tetapi semuanya mengikuti pola tertentu: kemudian elipsis digunakan dalam deskripsi himpunan. Misalnya, kita menulis himpunan semua bilangan genap dari 2 sampai 88 sebagai: (2, 4, 6, 8, …, 88).
Sekarang mari kita bicara tentang mendeskripsikan himpunan numerik yang jumlah elemennya tidak terbatas. Terkadang mereka dijelaskan menggunakan elipsis yang sama. Misalnya kita menulis himpunan semua bilangan asli sebagai berikut: N = (1, 2, 3, ...).
Dimungkinkan juga untuk menulis himpunan numerik dengan jumlah elemen tak terhingga dengan menentukan properti elemen-elemennya. Notasi (x | properti) digunakan. Misalnya, (n | 8 n + 3, n ∈ N) mendefinisikan himpunan bilangan asli yang jika dibagi 8 akan menyisakan sisa 3. Himpunan yang sama dapat ditulis sebagai: (11, 19, 27,…).
Dalam kasus khusus, himpunan numerik dengan jumlah elemen tak terhingga adalah himpunan terkenal N, Z, R, dst., atau interval numerik. Namun pada dasarnya, himpunan numerik adalah gabungan dari interval numerik penyusunnya dan himpunan numerik dengan jumlah elemen yang terbatas (kita membicarakannya di awal artikel).
Mari kita lihat sebuah contoh. Misalkan komponen suatu himpunan bilangan tertentu adalah bilangan - 15, - 8, - 7, 34, 0, serta semua bilangan ruas [- 6, - 1, 2] dan bilangan-bilangan garis bilangan terbuka (6, + ∞). Sesuai dengan definisi gabungan himpunan, kita tuliskan himpunan bilangan tersebut sebagai: ( - 15 , - 8 , - 7 , 34 ) ∪ [ - 6 , - 1 , 2 ] ∪ ( 0 ) ∪ (6 , + ∞) . Notasi seperti itu sebenarnya berarti himpunan yang memuat semua anggota himpunan (- 15, - 8, - 7, 34, 0), [- 6, - 1, 2] dan (6, + ∞).
Dengan cara yang sama, dengan menggabungkan berbagai interval numerik dan himpunan bilangan individual, dimungkinkan untuk memberikan deskripsi himpunan numerik apa pun yang terdiri dari bilangan real. Berdasarkan penjelasan di atas, menjadi jelas mengapa berbagai jenis interval numerik diperkenalkan, seperti interval, setengah interval, segmen, sinar numerik terbuka, dan sinar numerik. Semua jenis interval ini, bersama dengan sebutan himpunan bilangan individual, memungkinkan untuk mendeskripsikan himpunan numerik apa pun melalui kombinasinya.
Penting juga untuk memperhatikan fakta bahwa angka-angka individual dan interval numerik saat menulis suatu himpunan dapat diurutkan dalam urutan menaik. Secara umum, ini bukan persyaratan wajib, tetapi pengurutan seperti itu memungkinkan Anda untuk merepresentasikan himpunan numerik dengan lebih sederhana, dan juga menampilkannya dengan benar pada garis koordinat. Perlu juga diperjelas bahwa catatan tersebut tidak menggunakan interval numerik dengan elemen yang sama, karena catatan ini dapat diganti dengan menggabungkan interval numerik, tidak termasuk elemen yang sama. Misalnya, gabungan himpunan bilangan dengan elemen persekutuan [- 15, 0] dan (- 6, 4) akan menjadi setengah interval [- 15, 4). Hal yang sama berlaku untuk gabungan interval numerik dengan bilangan batas yang sama. Misalnya, gabungan (4, 7] ∪ (7, 9] adalah himpunan (4, 9). Poin ini akan dibahas secara rinci pada topik mencari perpotongan dan gabungan himpunan bilangan.
Dalam contoh praktis, akan lebih mudah untuk menggunakan interpretasi geometris dari himpunan numerik - gambarnya pada garis koordinat. Misalnya, metode ini akan membantu dalam menyelesaikan pertidaksamaan yang perlu memperhitungkan ODZ - ketika Anda perlu menampilkan himpunan numerik untuk menentukan kesatuan dan/atau perpotongannya.
Kita mengetahui bahwa terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik pada garis koordinat dan bilangan real: seluruh garis koordinat adalah model geometri himpunan semua bilangan real R. Oleh karena itu, untuk menggambarkan himpunan semua bilangan real, kita menggambar garis koordinat dan menerapkan bayangan sepanjang keseluruhannya:
Seringkali asal dan segmen unit tidak disebutkan:
Perhatikan gambar himpunan bilangan yang terdiri dari sejumlah bilangan individual yang terbatas. Misalnya, mari kita tampilkan kumpulan angka (- 2, - 0, 5, 1, 2). Model geometri suatu himpunan adalah tiga titik pada garis koordinat dengan koordinat yang bersesuaian:
Dalam kebanyakan kasus, akurasi absolut gambar tidak dapat dipertahankan: gambar skema tanpa memperhatikan skala, tetapi mempertahankan posisi relatif titik-titik relatif satu sama lain sudah cukup, mis. setiap titik dengan koordinat lebih besar harus berada di sebelah kanan titik dengan koordinat lebih kecil. Dengan demikian, gambar yang ada mungkin terlihat seperti ini:
Secara terpisah dari himpunan numerik yang mungkin, interval numerik dibedakan: interval, setengah interval, sinar, dll.)
Sekarang mari kita perhatikan prinsip penggambaran himpunan numerik, yang merupakan gabungan beberapa interval numerik dan himpunan yang terdiri dari angka-angka individual. Tidak ada kesulitan dalam hal ini: menurut definisi gabungan, semua komponen himpunan dari himpunan numerik tertentu perlu ditampilkan pada garis koordinat. Sebagai contoh, mari kita buat ilustrasi himpunan bilangan (- ∞ , - 15) ∪ ( - 10 ) ∪ [ - 3 , 1) ∪ ( log 2 5 , 5 ) ∪ (17 , + ∞) .
Hal ini juga cukup umum untuk himpunan bilangan yang ditarik mencakup seluruh himpunan bilangan real kecuali satu atau lebih poin. Himpunan seperti itu sering kali ditentukan oleh kondisi seperti x ≠ 5 atau x ≠ - 1, dll. Dalam kasus seperti ini, himpunan dalam model geometrinya adalah seluruh garis koordinat kecuali titik-titik tertentu. Secara umum diterima untuk mengatakan bahwa titik-titik ini perlu “dipetik” dari garis koordinat. Titik yang tertusuk digambarkan sebagai lingkaran dengan pusat kosong. Untuk mendukung apa yang telah dikatakan dengan contoh praktis, mari kita tampilkan pada garis koordinat suatu himpunan dengan kondisi tertentu x ≠ - 2 dan x ≠ 3:
Informasi yang diberikan dalam artikel ini dimaksudkan untuk membantu Anda memperoleh keterampilan melihat rekaman dan representasi himpunan numerik semudah interval numerik individual. Idealnya, himpunan numerik tertulis harus segera direpresentasikan dalam bentuk gambaran geometris pada garis koordinat. Dan sebaliknya: dari gambar, himpunan numerik yang bersesuaian harus dengan mudah dibentuk melalui gabungan interval numerik dan himpunan yang merupakan bilangan terpisah.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
bilangan bulat
Bilangan yang digunakan dalam penghitungan disebut bilangan asli. Misalnya, $1,2,3$, dll. Bilangan asli merupakan himpunan bilangan asli yang dilambangkan dengan $N$ Sebutan ini berasal dari kata latin naturalis- alami.
Angka yang berlawanan
Definisi 1
Jika dua bilangan hanya berbeda tandanya, maka disebut dalam matematika angka yang berlawanan.
Misalnya angka $5$ dan $-5$ adalah angka yang berlawanan, karena Mereka hanya berbeda dalam tanda-tandanya.
Catatan 1
Untuk bilangan apa pun pasti ada bilangan yang berlawanan, dan hanya satu.
Catatan 2
Angka nol adalah kebalikan dari dirinya sendiri.
Bilangan bulat
Definisi 2
Utuh bilangan adalah bilangan asli, kebalikannya, dan nol.
Himpunan bilangan bulat meliputi himpunan bilangan asli dan lawannya.
Menunjukkan bilangan bulat $Z.$
Bilangan pecahan
Bilangan berbentuk $\frac(m)(n)$ disebut pecahan atau bilangan pecahan. Bilangan pecahan juga dapat ditulis dalam bentuk desimal, yaitu. dalam bentuk pecahan desimal.
Misalnya: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ dll.
Sama seperti bilangan bulat, bilangan pecahan juga bisa positif atau negatif.
Angka rasional
Definisi 3
Angka rasional adalah himpunan bilangan yang memuat himpunan bilangan bulat dan pecahan.
Bilangan rasional apa pun, baik bilangan bulat maupun pecahan, dapat direpresentasikan sebagai pecahan $\frac(a)(b)$, dengan $a$ adalah bilangan bulat dan $b$ adalah bilangan asli.
Jadi, bilangan rasional yang sama dapat ditulis dengan cara yang berbeda.
Misalnya,
Hal ini menunjukkan bahwa bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan periodik desimal tak hingga.
Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan $Q$.
Sebagai hasil dari melakukan operasi aritmatika pada bilangan rasional, jawaban yang dihasilkan adalah bilangan rasional. Hal ini mudah dibuktikan, karena ketika menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan dan membagi pecahan biasa, diperoleh pecahan biasa.
Bilangan irasional
Saat mempelajari mata pelajaran matematika, seringkali Anda harus berhadapan dengan bilangan-bilangan yang tidak rasional.
Misalnya, untuk memverifikasi keberadaan himpunan bilangan selain bilangan rasional, selesaikan persamaan $x^2=6$. Akar persamaan ini adalah bilangan $\surd 6$ dan -$\surd 6$ . Angka-angka ini tidak rasional.
Selain itu, ketika mencari diagonal persegi dengan sisi $3$, kita menerapkan teorema Pythagoras dan menemukan bahwa diagonalnya akan sama dengan $\surd 18$. Angka ini juga tidak rasional.
Nomor-nomor tersebut disebut irasional.
Jadi, bilangan irasional adalah pecahan desimal non-periodik yang tak terhingga.
Salah satu bilangan irasional yang sering dijumpai adalah bilangan $\pi$
Saat melakukan operasi aritmatika dengan bilangan irasional, hasil yang dihasilkan dapat berupa bilangan rasional atau irasional.
Mari kita buktikan dengan menggunakan contoh mencari hasil kali bilangan irasional. Mari temukan:
$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$
$\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$
Berdasarkan keputusan
$\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$
$\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$
Contoh ini menunjukkan bahwa hasilnya dapat berupa bilangan rasional atau bilangan irasional.
Jika bilangan rasional dan irasional dilibatkan dalam operasi aritmatika secara bersamaan, maka hasilnya adalah bilangan irasional (kecuali, tentu saja, perkalian dengan $0$).
Bilangan nyata
Himpunan bilangan real adalah himpunan yang memuat himpunan bilangan rasional dan irasional.
Himpunan bilangan real dilambangkan dengan $R$. Secara simbolis, himpunan bilangan real dapat dilambangkan dengan $(-?;+?).$
Telah kita katakan sebelumnya bahwa bilangan irasional adalah pecahan desimal non-periodik tak terhingga, dan bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal berhingga atau pecahan periodik desimal tak hingga, sehingga pecahan desimal berhingga dan tak terhingga akan menjadi bilangan real.
Saat melakukan operasi aljabar, aturan berikut akan diikuti:
- Jika bilangan positif dikalikan dan dibagi, maka bilangan yang dihasilkan akan positif
- Saat mengalikan dan membagi bilangan negatif, bilangan yang dihasilkan akan positif
- Saat mengalikan dan membagi bilangan negatif dan positif, bilangan yang dihasilkan akan menjadi negatif
Bilangan real juga dapat dibandingkan satu sama lain.
Dari berbagai macam jenis set Yang menarik adalah apa yang disebut kumpulan angka, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa bilangan. Jelas bahwa untuk dapat bekerja dengan nyaman dengan mereka, Anda harus bisa menuliskannya. Kami akan memulai artikel ini dengan notasi dan prinsip penulisan himpunan numerik. Selanjutnya, mari kita lihat bagaimana himpunan numerik digambarkan pada garis koordinat.
Navigasi halaman.
Menulis himpunan numerik
Mari kita mulai dengan notasi yang diterima. Seperti yang Anda ketahui, huruf kapital alfabet Latin digunakan untuk menunjukkan himpunan. Himpunan numerik, sebagai kasus himpunan khusus, juga ditetapkan. Misalnya kita berbicara tentang himpunan bilangan A, H, W, dan seterusnya. Himpunan bilangan natural, bilangan bulat, rasional, real, kompleks, dll. sangat penting, notasinya sendiri telah diadopsi untuknya:
- N – himpunan semua bilangan asli;
- Z – himpunan bilangan bulat;
- Q – himpunan bilangan rasional;
- J – himpunan bilangan irasional;
- R – himpunan bilangan real;
- C adalah himpunan bilangan kompleks.
Dari sini jelas bahwa Anda tidak boleh menyatakan suatu himpunan yang terdiri dari, misalnya, dua bilangan 5 dan −7 sebagai Q, sebutan ini akan menyesatkan, karena huruf Q biasanya melambangkan himpunan semua bilangan rasional. Untuk menunjukkan himpunan numerik yang ditentukan, lebih baik menggunakan huruf “netral” lainnya, misalnya A.
Karena kita berbicara tentang notasi, mari kita ingat juga di sini tentang notasi himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak mengandung unsur. Dilambangkan dengan tanda ∅.
Mari kita ingat juga sebutan apakah suatu elemen termasuk atau tidak termasuk dalam suatu himpunan. Untuk melakukan ini, gunakan tanda ∈ - milik dan ∉ - bukan milik. Misalnya, notasi 5∈N berarti bilangan 5 termasuk dalam himpunan bilangan asli, dan 5.7∉Z - pecahan desimal 5.7 bukan termasuk dalam himpunan bilangan bulat.
Dan mari kita ingat juga notasi yang digunakan untuk memasukkan satu himpunan ke himpunan lain. Jelas bahwa semua anggota himpunan N termasuk dalam himpunan Z, sehingga himpunan bilangan N termasuk dalam Z, dilambangkan dengan N⊂Z. Anda juga dapat menggunakan notasi Z⊃N, yang berarti himpunan semua bilangan bulat Z mencakup himpunan N. Relasi yang tidak disertakan dan tidak disertakan masing-masing ditandai dengan ⊄ dan . Tanda penyertaan tidak ketat dalam bentuk ⊆ dan ⊇ juga digunakan, artinya masing-masing disertakan atau bertepatan dan termasuk atau bertepatan.
Kita telah membicarakan tentang notasi, mari beralih ke deskripsi himpunan numerik. Dalam hal ini, kami hanya akan menyentuh kasus-kasus utama yang paling sering digunakan dalam praktik.
Mari kita mulai dengan himpunan numerik yang berisi sejumlah elemen berhingga dan kecil. Lebih mudah untuk mendeskripsikan himpunan numerik yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga dengan membuat daftar semua elemennya. Semua unsur bilangan ditulis dipisahkan dengan koma dan diapit tanda , sesuai dengan ketentuan umum aturan untuk mendeskripsikan himpunan. Misalnya, himpunan yang terdiri dari tiga bilangan 0, −0.25 dan 4/7 dapat digambarkan sebagai (0, −0.25, 4/7).
Kadang-kadang, ketika jumlah elemen suatu himpunan numerik cukup besar, tetapi elemen-elemen tersebut mengikuti pola tertentu, elipsis digunakan untuk deskripsi. Misalnya, himpunan semua bilangan ganjil dari 3 sampai 99 inklusif dapat ditulis sebagai (3, 5, 7, ..., 99).
Jadi kita dengan lancar mendekati deskripsi himpunan numerik, yang jumlah elemennya tidak terbatas. Terkadang mereka dapat dijelaskan menggunakan elips yang sama. Sebagai contoh, mari kita gambarkan himpunan semua bilangan asli: N=(1, 2. 3, …) .
Mereka juga menggunakan deskripsi himpunan numerik dengan menunjukkan sifat-sifat elemennya. Dalam hal ini, notasi (x| properti) digunakan. Misalnya, notasi (n| 8·n+3, n∈N) menetapkan himpunan bilangan asli yang, jika dibagi 8, menyisakan sisa 3. Himpunan yang sama ini dapat digambarkan sebagai (11,19, 27, ...).
Dalam kasus khusus, himpunan numerik dengan jumlah elemen tak terhingga adalah himpunan yang diketahui N, Z, R, dst. atau interval angka. Pada dasarnya, himpunan numerik direpresentasikan sebagai Persatuan interval numerik individual penyusunnya dan himpunan numerik dengan jumlah elemen yang terbatas (yang telah kita bicarakan sedikit di atas).
Mari kita tunjukkan sebuah contoh. Misalkan himpunan bilangan tersebut terdiri dari bilangan −10, −9, −8.56, 0, semua bilangan pada ruas [−5, −1,3] dan bilangan pada garis bilangan terbuka (7, +∞). Karena definisi gabungan himpunan, himpunan numerik yang ditentukan dapat ditulis sebagai {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Notasi ini sebenarnya berarti himpunan yang memuat semua elemen himpunan (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] dan (7, +∞).
Demikian pula, dengan menggabungkan interval bilangan yang berbeda dan himpunan bilangan individual, himpunan bilangan apa pun (yang terdiri dari bilangan real) dapat dideskripsikan. Di sini menjadi jelas mengapa jenis interval numerik seperti interval, setengah interval, segmen, sinar numerik terbuka, dan sinar numerik diperkenalkan: semuanya, ditambah dengan notasi untuk himpunan bilangan individual, memungkinkan untuk mendeskripsikan himpunan numerik apa pun melalui persatuan mereka.
Harap dicatat bahwa saat menulis kumpulan angka, angka-angka penyusunnya dan interval numeriknya diurutkan dalam urutan menaik. Ini bukanlah kondisi yang perlu tetapi diinginkan, karena himpunan numerik terurut lebih mudah untuk dibayangkan dan digambarkan pada garis koordinat. Perhatikan juga bahwa catatan tersebut tidak menggunakan interval numerik dengan elemen yang sama, karena catatan tersebut dapat diganti dengan menggabungkan interval numerik tanpa elemen yang sama. Misalnya, gabungan himpunan numerik dengan elemen persekutuan [−10, 0] dan (−5, 3) adalah interval setengah [−10, 3) . Hal yang sama berlaku untuk gabungan interval bilangan dengan bilangan batas yang sama, misalnya gabungan (3, 5]∪(5, 7] adalah himpunan (3, 7] , kita akan membahasnya secara terpisah ketika kita belajar cara temukan perpotongan dan gabungan himpunan bilangan
Representasi himpunan bilangan pada garis koordinat
Dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk menggunakan gambar geometris dari himpunan numerik - gambarnya aktif. Misalnya kapan menyelesaikan kesenjangan, di mana ODZ perlu diperhitungkan, perlu untuk menggambarkan himpunan numerik untuk menemukan perpotongan dan/atau kesatuannya. Jadi akan berguna untuk memiliki pemahaman yang baik tentang semua nuansa penggambaran himpunan numerik pada garis koordinat.
Diketahui terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik garis koordinat dengan bilangan real, artinya garis koordinat itu sendiri merupakan model geometri himpunan semua bilangan real R. Jadi, untuk menggambarkan himpunan semua bilangan real, Anda perlu menggambar garis koordinat dengan bayangan sepanjang keseluruhannya:
Dan seringkali mereka bahkan tidak menunjukkan asal dan segmen unitnya: 
Sekarang mari kita bicara tentang gambaran himpunan numerik, yang mewakili sejumlah bilangan individual tertentu. Sebagai contoh, mari kita gambarkan himpunan bilangan (−2, −0.5, 1.2) . Bayangan geometri himpunan ini, yang terdiri dari tiga bilangan −2, −0.5 dan 1.2, akan menjadi tiga titik pada garis koordinat dengan koordinat yang bersesuaian: 
Perhatikan bahwa biasanya untuk tujuan praktis tidak perlu menggambar dengan tepat. Seringkali gambar skema sudah cukup, yang menyiratkan bahwa tidak perlu mempertahankan skala; dalam hal ini, yang penting hanyalah mempertahankan posisi relatif titik-titik relatif satu sama lain: titik mana pun dengan koordinat yang lebih kecil harus berada pada titik tersebut. kiri suatu titik yang koordinatnya lebih besar. Gambar sebelumnya secara skematis akan terlihat seperti ini: 
Secara terpisah, dari semua jenis himpunan numerik, interval numerik (interval, setengah interval, sinar, dll.) dibedakan, yang mewakili gambar geometrisnya; kami memeriksanya secara rinci di bagian ini. Kami tidak akan mengulanginya di sini.
Dan yang tersisa hanyalah memikirkan gambaran himpunan numerik, yang merupakan gabungan dari beberapa interval numerik dan himpunan yang terdiri dari angka-angka individual. Tidak ada yang rumit di sini: menurut arti penyatuan dalam kasus ini, pada garis koordinat perlu untuk menggambarkan semua komponen himpunan dari himpunan numerik tertentu. Sebagai contoh, mari kita tampilkan gambar kumpulan angka (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪
(log 2 5, 5)∪(17, +∞) : 
Dan mari kita membahas kasus-kasus yang cukup umum ketika himpunan numerik yang digambarkan mewakili seluruh himpunan bilangan real, dengan pengecualian satu atau beberapa titik. Himpunan seperti itu sering kali ditentukan oleh kondisi seperti x≠5 atau x≠−1, x≠2, x≠3.7, dll. Dalam kasus ini, secara geometris mereka mewakili seluruh garis koordinat, dengan pengecualian titik-titik yang bersesuaian. Dengan kata lain, titik-titik tersebut perlu “dipetik” dari garis koordinat. Mereka digambarkan sebagai lingkaran dengan pusat kosong. Untuk lebih jelasnya, mari kita gambarkan himpunan numerik yang sesuai dengan kondisi 
(kumpulan ini pada dasarnya ada): 
Meringkaskan. Idealnya, informasi dari paragraf sebelumnya harus membentuk tampilan rekaman dan penggambaran himpunan numerik yang sama dengan tampilan interval numerik individual: rekaman himpunan numerik harus segera memberikan gambarannya pada garis koordinat, dan dari gambar pada garis koordinat kita harus siap untuk dengan mudah mendeskripsikan himpunan numerik yang bersesuaian melalui gabungan interval individual dan himpunan yang terdiri dari bilangan individual.
Bibliografi.
- Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 9. Dalam 2 jam Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-13, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.
