Derajat dengan indikator alami dan sifat-sifatnya. Ujian tertulis Gelar dengan eksponen nyata disebut ekspresi bentuk
Kekuatan angka A dengan indikator alami N, lebih besar dari 1, disebut produk N faktor yang masing-masing sama A:
Dalam ekspresi dan:
Nomor A(faktor berulang) disebut dasar gelar
Nomor N(menunjukkan berapa kali pengali diulang) – eksponen
Misalnya:
2 5 = 2 2 2 2 2 = 32,
Di Sini:
2 – gelar dasar,
5 – eksponen,
32 – nilai derajat
Perhatikan bahwa dasar derajat dapat berupa angka berapa pun.
Menghitung nilai suatu pangkat disebut tindakan eksponensial. Ini adalah tindakan tahap ketiga. Artinya, ketika menghitung nilai suatu ekspresi yang tidak mengandung tanda kurung, pertama-tama lakukan tindakan tahap ketiga, lalu tahap kedua (perkalian dan pembagian) dan terakhir tahap pertama (penjumlahan dan pengurangan).
Untuk menulis bilangan besar sering digunakan pangkat 10. Jadi, jarak bumi ke matahari yang kira-kira sama dengan 150 juta km ditulis 1,5 10 8
Setiap bilangan yang lebih besar dari 10 dapat dituliskan sebagai: a · 10 n, dimana 1 ≤ a< 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.
Contoh: 4578 = 4,578 · 10 3 ;
103000 = 1,03 · 10 5.
Sifat-sifat derajat dengan eksponen natural:
1 . Pada melipatgandakan kekuatan dengan basis yang sama, basisnya tetap sama, dan eksponennya ditambahkan
saya · sebuah n = saya + n
misalnya: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8
2. Pada pembagian derajat dengan basis yang sama, basisnya tetap sama dan eksponennya dikurangi
am / an = am - n ,
dimana, m > n,
sebuah ≠ 0
misalnya: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6
3. Pada meningkatkan kekuatan menjadi kekuatan basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.
(saya) n = saya n
misalnya: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6
4. Pada meningkatkan kekuatan produk Setiap faktor dipangkatkan ke pangkat ini
(a · b) n = a n · b m ,
misalnya:(2 3) 3 = 2 n 3 m,
5. Pada eksponen suatu pecahan Pembilang dan penyebutnya dipangkatkan
(a / b) n = a n / b n
misalnya: (2 / 5) 3 =(2 / 5)·(2 / 5)·(2 / 5) = 2 3 /5 3
Kekuatan dengan eksponen rasional
Pangkat bilangan a > 0 c indikator rasional, dimana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli (n > 1), disebut bilangan
Misalnya:
Pangkat 0 ditentukan hanya untuk eksponen positif;
menurut definisi 0 r = 0, untuk sembarang r > 0
Catatan
Untuk derajat dengan eksponen rasional, sifat dasar derajat dipertahankan, berlaku untuk semua indikator (asalkan dasar derajatnya positif).
Gelar dengan eksponen nyata
Jadi, untuk bilangan riil apa pun kita telah mendefinisikan operasi menaikkan ke pangkat alami; untuk bilangan apa pun, kami telah menetapkan pangkat nol dan bilangan bulat negatif; untuk semua yang telah kami definisikan operasi menaikkan ke pangkat pecahan positif; untuk apa pun kita telah mendefinisikan operasi menaikkan ke pangkat pecahan negatif.
Sebuah pertanyaan wajar muncul: apakah mungkin untuk mendefinisikan operasi menaikkan ke pangkat irasional, dan, oleh karena itu, menentukan arti dari ekspresi ax untuk bilangan real x? Ternyata untuk bilangan positif dapat diberi makna pada notasi a α , dimana α merupakan bilangan irasional. Untuk melakukan ini, kita perlu mempertimbangkan tiga kasus: a = 1, a > 1, 0< a < 1.
Jadi, untuk a > 0 kita telah mendefinisikan pangkat dengan eksponen real apa pun.
Setelah pangkat suatu bilangan ditentukan, maka masuk akal untuk membicarakannya sifat derajat. Pada artikel ini kami akan memberikan sifat dasar pangkat suatu bilangan, sambil menyentuh semua kemungkinan eksponen. Di sini kami akan memberikan bukti semua sifat derajat, dan juga menunjukkan bagaimana sifat-sifat ini digunakan saat menyelesaikan contoh.
Navigasi halaman.
Sifat-sifat derajat dengan eksponen natural
Menurut definisi pangkat dengan eksponen natural, pangkat a n adalah hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Berdasarkan definisi ini, dan juga menggunakan sifat-sifat perkalian bilangan real, kita dapat memperoleh dan membenarkan hal berikut sifat derajat dengan eksponen natural:
- sifat utama derajat am ·a n =am+n, generalisasinya;
- sifat hasil bagi dengan basis identik a m:an =a m−n ;
- properti kekuatan produk (a·b) n =a n ·b n , perpanjangannya;
- sifat hasil bagi pangkat alami (a:b) n =a n:b n ;
- menaikkan derajat ke pangkat (am) n =a m·n, generalisasinya (((an 1) n 2) …) n k =an 1 ·n 2 ·…·n k;
- perbandingan derajat dengan nol:
- jika a>0, maka n>0 untuk sembarang bilangan asli n;
- jika a=0, maka an =0;
- jika sebuah<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jika sebuah<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- jika a dan b bilangan positif dan a
- jika m dan n adalah bilangan asli sehingga m>n , maka pada 0
- jika m dan n adalah bilangan asli sehingga m>n , maka pada 0
Mari kita segera perhatikan bahwa semua persamaan tertulis adalah identik sesuai dengan kondisi yang ditentukan, bagian kanan dan kirinya dapat ditukar. Misalnya, sifat utama pecahan a m ·a n =am+n dengan menyederhanakan ekspresi sering digunakan dalam bentuk a m+n =am ·a n .
Sekarang mari kita lihat masing-masing secara detail.
Mari kita mulai dengan sifat hasil kali dua pangkat dengan basis yang sama, yang disebut properti utama dari gelar tersebut: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, persamaan am ·a n =am+n benar.
Mari kita buktikan sifat utama derajat tersebut. Berdasarkan definisi pangkat dengan eksponen alami, hasil kali pangkat dengan basis yang sama berbentuk a m ·a n dapat ditulis sebagai hasil kali. Karena sifat perkalian, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis sebagai 
, dan hasil kali ini adalah pangkat dari bilangan a dengan eksponen natural m+n, yaitu a m+n. Ini melengkapi buktinya.
Mari kita beri contoh yang menegaskan sifat utama derajat. Mari kita ambil derajat dengan basis 2 dan pangkat alami 2 dan 3 yang sama, dengan menggunakan sifat dasar derajat kita dapat menulis persamaan 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Mari kita periksa validitasnya dengan menghitung nilai ekspresi 2 2 · 2 3 dan 2 5 . Melakukan eksponensial, kita punya 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 dan 2 5 =2·2·2·2·2=32, karena diperoleh nilai yang sama, maka persamaan 2 2 ·2 3 =2 5 benar, dan ini menegaskan sifat utama derajat.
Sifat dasar suatu derajat berdasarkan sifat perkalian dapat digeneralisasikan menjadi hasil kali tiga pangkat atau lebih dengan basis dan eksponen natural yang sama. Jadi untuk sembarang bilangan k dari bilangan asli n 1, n 2, …, n k persamaan berikut ini benar: a n 1 ·an 2 ·…·an k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Misalnya, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Kita dapat beralih ke sifat pangkat berikutnya dengan eksponen alami – sifat hasil bagi dengan basis yang sama: untuk sembarang bilangan real bukan nol a dan bilangan asli sembarang m dan n yang memenuhi syarat m>n, persamaan a m:an =a m−n benar.
Sebelum memaparkan pembuktian sifat ini, mari kita bahas pengertian syarat tambahan dalam rumusan tersebut. Kondisi a≠0 diperlukan untuk menghindari pembagian dengan nol, karena 0 n =0, dan ketika kita mengenal pembagian, kita sepakat bahwa kita tidak dapat membagi dengan nol. Kondisi m>n diperkenalkan agar kita tidak melampaui eksponen natural. Memang benar, untuk m>n eksponen a m−n adalah bilangan asli, jika tidak maka eksponennya akan menjadi nol (yang berlaku untuk m−n ) atau bilangan negatif (yang berlaku untuk m Bukti. Sifat utama pecahan memungkinkan kita menulis persamaan a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Dari persamaan yang dihasilkan a m−n ·a n =am dan dapat disimpulkan bahwa a m−n adalah hasil bagi pangkat a m dan a n . Ini membuktikan sifat hasil bagi dengan basis identik. Mari kita beri contoh. Mari kita ambil dua derajat dengan basis yang sama π dan eksponen natural 5 dan 2, persamaan π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 sesuai dengan sifat derajat yang dipertimbangkan. Sekarang mari kita pertimbangkan properti kekuatan produk: pangkat alami n hasil kali dua bilangan real a dan b sama dengan hasil kali pangkat a n dan b n , yaitu (a·b) n =an ·b n . Memang, menurut definisi derajat dengan eksponen natural, kita punya Berikut ini contohnya: Sifat ini mencakup perkalian tiga faktor atau lebih. Artinya, sifat derajat alami n hasil kali k faktor ditulis sebagai (a 1 ·a 2 ·…·ak) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak n. Untuk kejelasan, kami akan menunjukkan properti ini dengan sebuah contoh. Untuk hasil kali tiga faktor pangkat 7 kita punya. Properti berikut adalah properti hasil bagi dalam bentuk barang: hasil bagi bilangan real a dan b, b≠0 pangkat n sama dengan hasil bagi pangkat a n dan b n, yaitu (a:b) n =a n:b n. Pembuktiannya dapat dilakukan dengan menggunakan sifat sebelumnya. Jadi (a:b) n b n =((a:b) b) n =an, dan dari persamaan (a:b) n ·b n =an =an maka (a:b) n adalah hasil bagi dari a n dibagi b n . Mari tulis properti ini menggunakan angka tertentu sebagai contoh: Sekarang mari kita menyuarakannya properti untuk meningkatkan suatu kekuatan menjadi suatu kekuatan: untuk sembarang bilangan real a dan sembarang bilangan asli m dan n, pangkat m pangkat n sama dengan pangkat bilangan a dengan eksponen m·n, yaitu (am) n =am·n. Misalnya, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. Bukti dari sifat pangkat-ke-derajat adalah rantai persamaan berikut: Properti yang dipertimbangkan dapat diperluas ke derajat ke derajat, dll. Misalnya, untuk sembarang bilangan asli p, q, r dan s, persamaannya Masih memikirkan sifat-sifat membandingkan derajat dengan eksponen alami. Mari kita mulai dengan membuktikan sifat membandingkan nol dan pangkat dengan eksponen natural. Pertama, mari kita buktikan bahwa a n >0 untuk sembarang a>0. Hasil kali dua bilangan positif adalah bilangan positif, berikut pengertian perkaliannya. Fakta ini dan sifat-sifat perkalian menunjukkan bahwa hasil perkalian sejumlah bilangan positif juga akan berupa bilangan positif. Dan pangkat suatu bilangan a dengan eksponen natural n, menurut definisi, adalah hasil kali n faktor, yang masing-masing sama dengan a. Argumen-argumen ini memungkinkan kita untuk menegaskan bahwa untuk sembarang basis positif a, derajat a n adalah bilangan positif. Karena sifat terbukti 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 dan Jelas sekali bahwa untuk sembarang bilangan asli n dengan a=0 derajat an adalah nol. Memang, 0 n =0·0·…·0=0 . Misalnya, 0 3 =0 dan 0 762 =0. Mari beralih ke basis derajat negatif. Mari kita mulai dengan kasus ketika eksponennya adalah bilangan genap, mari kita nyatakan sebagai 2·m, dengan m adalah bilangan asli. Kemudian Terakhir, jika basis a adalah bilangan negatif dan eksponennya adalah bilangan ganjil 2 m−1, maka Mari kita beralih ke sifat membandingkan pangkat dengan eksponen alami yang sama, yang memiliki rumusan sebagai berikut: dari dua pangkat dengan eksponen alami yang sama, n lebih kecil dari yang basisnya lebih kecil, dan lebih besar adalah yang basisnya lebih besar . Mari kita buktikan. Ketimpangan dan n sifat-sifat ketidaksetaraan pertidaksamaan bentuk an yang dapat dibuktikan juga benar (2.2) 7 dan Yang terakhir dari sifat-sifat pangkat yang terdaftar masih harus dibuktikan dengan eksponen alami. Mari kita rumuskan. Dari dua pangkat yang eksponen natural dan basis positif identiknya kurang dari satu, pangkat yang pangkatnya lebih kecil adalah yang lebih besar; dan dari dua pangkat yang eksponen alami dan basisnya sama lebih besar dari satu, pangkat yang lebih besar adalah yang lebih besar. Mari kita lanjutkan ke pembuktian properti ini. Mari kita buktikan untuk m>n dan 0 Masih membuktikan bagian kedua dari properti. Mari kita buktikan bahwa untuk m>n dan a>1 am >an n benar. Selisih a m −a n setelah mengeluarkan n dari tanda kurung berbentuk a n ·(a m−n −1) . Hasil kali ini positif, karena untuk a>1 derajat a n adalah bilangan positif, dan selisih a m−n −1 adalah bilangan positif, karena m−n>0 disebabkan oleh kondisi awal, dan untuk a>1 derajat a m−n lebih besar dari satu . Akibatnya, a m −a n >0 dan a m >an n , itulah yang perlu dibuktikan. Sifat ini diilustrasikan dengan pertidaksamaan 3 7 >3 2.
. Berdasarkan sifat-sifat perkalian, hasil perkalian terakhir dapat ditulis ulang menjadi 
, yang sama dengan a n · b n .
.
.
.
. Untuk lebih jelasnya, berikut adalah contoh dengan angka tertentu: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Untuk setiap hasil kali bentuk a·a sama dengan hasil kali modulus bilangan a dan a, yang berarti bilangan positif. Oleh karena itu, produknya juga akan positif 
dan derajat a 2·m. Mari kita beri contoh: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 dan .
. Semua hasil kali a·a adalah bilangan positif, hasil kali bilangan positif ini juga positif, dan perkaliannya dengan sisa bilangan negatif a menghasilkan bilangan negatif. Karena sifat ini (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Sifat-sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat
Karena bilangan bulat positif adalah bilangan asli, maka semua sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat positif sama persis dengan sifat pangkat dengan pangkat asli yang tercantum dan dibuktikan pada paragraf sebelumnya.
Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat negatif, serta derajat dengan eksponen nol, sedemikian rupa sehingga semua sifat derajat dengan eksponen alami, yang dinyatakan dengan persamaan, tetap valid. Oleh karena itu, semua sifat ini berlaku untuk eksponen nol dan eksponen negatif, sedangkan, tentu saja, basis pangkatnya berbeda dari nol.
Jadi, untuk bilangan real dan bukan nol a dan b, serta bilangan bulat m dan n, pernyataan berikut ini benar: sifat-sifat pangkat dengan eksponen bilangan bulat:
- am ·a n =am+n ;
- aku:an =aku−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (saya) n = saya·n ;
- jika n bilangan bulat positif, a dan b bilangan positif, dan a b−n ;
- jika m dan n bilangan bulat, dan m>n , maka pada 0
Ketika a=0, pangkat a m dan a n hanya masuk akal jika m dan n keduanya adalah bilangan bulat positif, yaitu bilangan asli. Jadi, sifat-sifat yang baru ditulis juga berlaku untuk kasus ketika a=0 dan bilangan m dan n adalah bilangan bulat positif.
Membuktikan masing-masing sifat tersebut tidaklah sulit, untuk itu cukup menggunakan definisi derajat dengan eksponen natural dan bilangan bulat, serta sifat-sifat operasi dengan bilangan real. Sebagai contoh, mari kita buktikan bahwa sifat pangkat-pangkat berlaku untuk bilangan bulat positif dan bilangan bulat non-positif. Untuk melakukannya, Anda perlu menunjukkan bahwa jika p adalah nol atau bilangan asli dan q adalah nol atau bilangan asli, maka persamaannya (ap) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (ap ) −q =ap·(−q) dan (a −p) −q =a (−p)·(−q). Ayo lakukan.
Untuk p dan q positif, persamaan (ap) q =a p·q telah dibuktikan pada paragraf sebelumnya. Jika p=0, maka kita mempunyai (a 0) q =1 q =1 dan a 0·q =a 0 =1, sehingga (a 0) q =a 0·q. Demikian pula, jika q=0, maka (ap) 0 =1 dan a p·0 =a 0 =1, maka (ap) 0 =a p·0. Jika p=0 dan q=0, maka (a 0) 0 =1 0 =1 dan a 0·0 =a 0 =1, maka (a 0) 0 =a 0·0.
Sekarang kita buktikan bahwa (a −p) q =a (−p)·q . Menurut definisi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif, maka 
. Berdasarkan sifat hasil bagi dengan pangkat yang kita miliki 
. Karena 1 p =1·1·…·1=1 dan , maka . Ekspresi terakhir, menurut definisi, adalah pangkat dalam bentuk a −(p·q), yang, karena aturan perkalian, dapat ditulis sebagai a (−p)·q.
Juga 
.
DAN 
.
Dengan menggunakan prinsip yang sama, Anda dapat membuktikan semua sifat derajat lainnya dengan eksponen bilangan bulat, yang ditulis dalam bentuk persamaan.
Di bagian kedua dari belakang dari sifat-sifat yang tercatat, ada baiknya memikirkan bukti pertidaksamaan a −n >b −n, yang berlaku untuk bilangan bulat negatif −n dan bilangan positif a dan b yang kondisinya terpenuhi . Karena dengan syarat a 0 . Hasil kali a n · b n juga positif sebagai hasil kali bilangan positif a n dan b n . Maka pecahan yang dihasilkan adalah positif sebagai hasil bagi dari bilangan positif b n −an dan a n ·b n . Oleh karena itu, dari mana a −n >b −n , itulah yang perlu dibuktikan.
Sifat terakhir dari pangkat dengan eksponen bilangan bulat dibuktikan dengan cara yang sama seperti sifat serupa dari pangkat dengan eksponen alami.
Sifat-sifat pangkat dengan eksponen rasional
Kita mendefinisikan derajat dengan eksponen pecahan dengan memperluas sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Dengan kata lain, pangkat dengan eksponen pecahan mempunyai sifat yang sama dengan pangkat dengan pangkat bilangan bulat. Yaitu:
Pembuktian sifat-sifat derajat dengan eksponen pecahan didasarkan pada definisi derajat dengan eksponen pecahan, dan pada sifat-sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat. Mari kita berikan bukti.
Menurut definisi pangkat dengan eksponen pecahan dan , maka 
. Sifat-sifat akar aritmatika memungkinkan kita menulis persamaan berikut. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat derajat dengan eksponen bilangan bulat, kita peroleh , dari mana, menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan, kita peroleh 
, dan indikator derajat yang diperoleh dapat ditransformasikan sebagai berikut: . Ini melengkapi buktinya.
Sifat kedua pangkat dengan eksponen pecahan dibuktikan dengan cara yang sangat mirip: 
Persamaan lainnya dibuktikan dengan menggunakan prinsip serupa: 
Mari kita lanjutkan ke pembuktian properti berikutnya. Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang a dan b positif, a b hal. Mari kita tulis bilangan rasional p sebagai m/n, dengan m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ketentuan hal<0 и p>0 dalam hal ini kondisi m<0 и m>0 sesuai. Untuk m>0 dan a
Demikian pula untuk m<0 имеем a m >b m , dari mana, yaitu, dan a p >bp p .
Masih membuktikan properti terakhir yang terdaftar. Mari kita buktikan bahwa untuk bilangan rasional p dan q, p>q di 0 
Dan 
. Dan definisi derajat dengan eksponen rasional memungkinkan kita beralih ke ketidaksetaraan dan, karenanya. Dari sini kita menarik kesimpulan akhir: untuk p>q dan 0
Sifat-sifat pangkat dengan eksponen irasional
Dari cara mendefinisikan derajat dengan eksponen irasional, kita dapat menyimpulkan bahwa ia memiliki semua sifat derajat dengan eksponen rasional. Jadi untuk bilangan a>0, b>0 dan bilangan irasional p dan q, pernyataan berikut ini benar sifat-sifat pangkat dengan eksponen irasional:
- a p ·a q =a p+q ;
- ap:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (ap) q =a p·q ;
- untuk sembarang bilangan positif a dan b, a 0 pertidaksamaan a hal b p ;
- untuk bilangan irasional p dan q, p>q di 0
Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa pangkat dengan sembarang eksponen nyata p dan q untuk a>0 mempunyai sifat yang sama.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika untuk kelas 5. lembaga pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 7. lembaga pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8. lembaga pendidikan.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 9. lembaga pendidikan.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).
Kami mengingatkan Anda bahwa dalam pelajaran ini kami akan memahaminya sifat derajat dengan indikator alami dan nol. Pangkat-pangkat dengan eksponen rasional dan sifat-sifatnya akan dibahas pada pelajaran kelas 8.
Pangkat dengan eksponen natural memiliki beberapa sifat penting yang memungkinkan kita menyederhanakan perhitungan dalam contoh pangkat.
Properti No.1
Produk kekuasaan
Ingat!
Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, basisnya tetap tidak berubah, dan eksponen pangkatnya ditambahkan.
am · a n = am + n, dengan “a” adalah sembarang bilangan, dan “m”, “n” adalah sembarang bilangan asli.
Properti kekuasaan ini juga berlaku untuk produk dari tiga kekuasaan atau lebih.
- Sederhanakan ekspresi tersebut.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Sajikan sebagai gelar.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Sajikan sebagai gelar.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Penting!
Harap dicatat bahwa di properti yang ditunjukkan kami hanya berbicara tentang mengalikan kekuatan dengan dengan alasan yang sama . Ini tidak berlaku untuk penambahannya.
Anda tidak dapat mengganti jumlah (3 3 + 3 2) dengan 3 5. Hal ini dapat dimengerti jika
hitung (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, dan 3 5 = 243
Properti No.2
Gelar parsial
Ingat!
Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, basisnya tetap tidak berubah, dan eksponen pembagi dikurangi dari eksponen pembagi.
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 443 8: t = 3 4
T = 3 8 − 4
Jawaban : t = 3 4 = 81Dengan menggunakan properti No. 1 dan No. 2, Anda dapat dengan mudah menyederhanakan ekspresi dan melakukan penghitungan.
- Contoh. Sederhanakan ekspresi tersebut.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5 - Contoh. Temukan nilai ekspresi menggunakan properti eksponen.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Penting!
Harap dicatat bahwa di Properti 2 kita hanya berbicara tentang pembagian kekuasaan dengan basis yang sama.
Selisihnya (4 3 −4 2) tidak dapat diganti dengan 4 1. Hal ini dapat dimengerti jika Anda menghitungnya (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , dan 4 1 = 4
Hati-hati!
Properti No.3
Menaikkan derajat menjadi suatu kekuatanIngat!
Saat menaikkan derajat ke pangkat, basis derajatnya tetap tidak berubah, dan eksponennya dikalikan.
(a n) m = a n · m, dengan “a” adalah sembarang bilangan, dan “m”, “n” adalah sembarang bilangan asli.
Properti 4
Kekuatan produkIngat!
Saat menaikkan suatu produk ke suatu pangkat, masing-masing faktor dipangkatkan. Hasil yang diperoleh kemudian dikalikan.
(a b) n = a n b n, dengan “a”, “b” adalah sembarang bilangan rasional; "n" adalah bilangan asli apa pun.
- Contoh 1.
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2 - Contoh 2.
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
Penting!
Harap dicatat bahwa properti No. 4, seperti properti derajat lainnya, juga diterapkan dalam urutan terbalik.
(a n · b n)= (a · b) nArtinya, untuk mengalikan pangkat dengan eksponen yang sama, Anda dapat mengalikan basisnya, tetapi membiarkan eksponennya tidak berubah.
- Contoh. Menghitung.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000 - Contoh. Menghitung.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Dalam contoh yang lebih kompleks, mungkin ada kasus di mana perkalian dan pembagian harus dilakukan pada pangkat dengan basis berbeda dan eksponen berbeda. Dalam hal ini, kami menyarankan Anda untuk melakukan hal berikut.
Misalnya, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Contoh menaikkan desimal menjadi pangkat.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4Properti 5
Kekuatan hasil bagi (pecahan)Ingat!
Untuk menaikkan hasil bagi ke pangkat, Anda dapat menaikkan dividen dan pembagi secara terpisah ke pangkat ini, dan membagi hasil pertama dengan hasil kedua.
(a: b) n = a n: b n, dengan “a”, “b” adalah sembarang bilangan rasional, b ≠ 0, n adalah sembarang bilangan asli.
- Contoh. Sajikan ekspresi tersebut sebagai hasil bagi pangkat.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Kami mengingatkan Anda bahwa hasil bagi dapat direpresentasikan sebagai pecahan. Oleh karena itu, kita akan membahas topik menaikkan pecahan secara lebih rinci di halaman berikutnya.
- Contoh 1.
Topik pelajaran: Gelar dengan eksponen rasional dan nyata.
Sasaran:
menggeneralisasi konsep derajat;
melatih kemampuan mencari nilai suatu derajat dengan eksponen nyata;
mengkonsolidasikan kemampuan untuk menggunakan sifat-sifat derajat saat menyederhanakan ekspresi;
mengembangkan keterampilan menggunakan sifat-sifat derajat dalam perhitungan.
perkembangan intelektual, emosional, pribadi siswa;
mengembangkan kemampuan menggeneralisasi, mensistematisasikan berdasarkan perbandingan, dan menarik kesimpulan;
mengintensifkan aktivitas mandiri;
mengembangkan minat kognitif.
membina budaya komunikatif dan informasi siswa;
Pendidikan estetika dilaksanakan melalui pembentukan kemampuan menyusun tugas secara rasional dan akurat di papan tulis dan buku catatan.
Pendidikan :
Pembangunan :
Pendidikan :
Siswa harus mengetahui: definisi dan sifat-sifat derajat dengan eksponen real
Siswa harus mampu:
menentukan apakah suatu ekspresi dengan derajat masuk akal;
menggunakan properti derajat dalam perhitungan dan penyederhanaan ekspresi;
menyelesaikan contoh yang mengandung derajat;
membandingkan, menemukan persamaan dan perbedaan.
Format pelajaran: seminar - workshop, dengan unsur penelitian. Dukungan komputer.
Bentuk organisasi pelatihan: individu, kelompok.
Teknologi pendidikan : pembelajaran berbasis masalah, pembelajaran kolaboratif, pembelajaran berpusat pada siswa, komunikatif.
Jenis pelajaran: pelajaran penelitian dan kerja praktek.
Visual pelajaran dan handout:
presentasi
rumus dan tabel (Lampiran 1.2)
tugas untuk pekerjaan mandiri (Lampiran 3)
Rencana belajar
№Tahap pelajaran
Tujuan panggung
Waktu, menit.
Mulai dari pelajaran
Melaporkan topik pelajaran, menetapkan tujuan pelajaran.
1-2 menit
Pekerjaan lisan
Ulangi rumus kekuatan.
Sifat derajat.
4-5 menit.
Solusi depan
papan dari buku teks No. 57 (1,3,5)
№58(1,3,5) dengan kepatuhan rinci terhadap rencana solusi.
Pembentukan keterampilan dan kemampuan
siswa menerapkan properti
derajat saat menemukan nilai ekspresi.
8-10 menit.
Bekerja dalam kelompok mikro.
Mengidentifikasi kesenjangan pengetahuan
siswa, menciptakan kondisi untuk
perkembangan individu siswa
di pelajaran.
15-20 menit.
Menyimpulkan pekerjaan.
Lacak keberhasilan pekerjaan
Siswa, ketika secara mandiri memecahkan masalah pada suatu topik, mencari tahu
sifat kesulitan, penyebabnya,
menunjukkan solusi kolektif.
5-6 menit.
Pekerjaan rumah
Perkenalkan siswa pada tugas pekerjaan rumah. Berikan penjelasan yang diperlukan.
1-2 menit.
SELAMA KELAS
Waktu pengorganisasian
Hallo teman-teman! Tuliskan tanggal dan topik pelajaran di buku catatan Anda.
Mereka mengatakan bahwa penemu catur, sebagai hadiah atas penemuannya, meminta beras kepada Raja: di kotak pertama papan ia meminta untuk menaruh satu butir, di kotak kedua - 2 kali lebih banyak, yaitu 2 butir, di atas ketiga - 2 kali lebih banyak, yaitu 4 butir, dst hingga 64 sel.
Permintaannya tampak terlalu sederhana bagi raja, tetapi segera menjadi jelas bahwa permintaan itu tidak mungkin dipenuhi. Banyaknya butir yang harus diberikan kepada penemu catur sebagai hadiah dinyatakan dengan jumlah
1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .
Jumlah ini sama dengan jumlah yang sangat besar
18446744073709551615
Dan ukurannya sangat besar sehingga jumlah butiran tersebut dapat menutupi seluruh permukaan planet kita, termasuk lautan di dunia, dengan lapisan 1 cm.
Pangkat digunakan saat menulis angka dan ekspresi, yang membuatnya lebih ringkas dan nyaman untuk melakukan tindakan.
Derajat sering kali digunakan untuk mengukur besaran fisika, yang bisa “sangat besar” atau “sangat kecil”.
Massa bumi 6000000000000000000000t ditulis sebagai hasil kali 6.10 21 T
Diameter molekul air 0,0000000003 m ditulis sebagai hasil kali
3.10 -10 M.
1. Konsep matematika apa yang diasosiasikan dengan kata-kata:
Basis
Indeks(Derajat)
Kata-kata apa yang bisa digunakan untuk menggabungkan kata-kata:
Bilangan rasional
Bilangan bulat
Bilangan asli
Bilangan irasional(bilangan asli)
Merumuskan topik pelajaran.(Gelar dengan eksponen nyata)
2. Jadi a X,Di manax adalah bilangan real. Pilih dari ekspresi
Dengan indikator alami
Dengan indikator bilangan bulat
Dengan eksponen rasional
Dengan indikator yang tidak rasional
3.
Apa tujuan kita?(MENGGUNAKAN)
Yangtujuan pelajaran kita
?
– Menggeneralisasikan konsep derajat.
Tugas:
– ulangi sifat derajat
– pertimbangkan penggunaan properti derajat dalam perhitungan dan penyederhanaan ekspresi
– pengembangan keterampilan komputasi
4 . Kekuatan dengan eksponen rasional
Basisderajat
Gelar dengan indikatorR, basis a (NN, MN
R= N
R= - N
R= 0
R= 0
r =0
A N= A. A. … . A
A -N=
A 0 =1
A N=a.a. ….A
A -N=
Tidak ada
Tidak ada
A 0 =1
sebuah=0
0 N=0
Tidak ada
Tidak ada
Tidak ada
5 . Dari ungkapan berikut, pilihlah ungkapan yang tidak masuk akal:
6 . Definisi
Jika nomornyaR- alami, lalu a Rada pekerjaanRbilangan yang masing-masing sama dengan a:
A R= A. A. … . A
Jika nomornyaR- pecahan dan positif, yaitu dimanaMDanN- alami
angka, lalu
Jika indikatornyaRadalah rasional dan negatif, maka ekspresinyaA R
didefinisikan sebagai kebalikan dariA - R
atau
Jika
7 . Misalnya
8 . Pangkat bilangan positif mempunyai sifat dasar sebagai berikut:
9 . Menghitung
10. Operasi (operasi matematika) apa yang dapat dilakukan dengan derajat?
Cocok:
A) Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama1) Basisnya dikalikan, tetapi indikatornya tetap sama
B) Saat membagi pangkat dengan basis yang sama
2) Basisnya terbagi, tetapi indikatornya tetap sama
B) Saat meningkatkan kekuatan menjadi kekuatan
3) Basisnya tetap sama, tetapi indikatornya berlipat ganda
D) Saat mengalikan pangkat dengan eksponen yang sama
4) Basisnya tetap sama, tetapi indikatornya dikurangi
D) Saat membagi derajat dengan eksponen yang sama
5) Dasarnya tetap sama, namun indikatornya bertambah
11 . Dari buku teks (di papan tulis)
Untuk menyelesaikannya di kelas:
№57 (1,3,5)
№58 (1, 3, 5)
№59 (1, 3)
№60 (1,3)
12 . Berdasarkan materi Ujian Negara Bersatu
(pekerjaan mandiri) di selembar kertas
XIVabad.
Menjawab: Orezma. 13. Selain itu (secara individu) bagi mereka yang menyelesaikan tugas lebih cepat:14. Pekerjaan rumah
§ 5 (mengetahui definisi, rumus)
№57 (2, 4, 6)
№58 (2,4)
№59 (2,4)
№60 (2,4) .
Di akhir pelajaran:
“Matematika harus diajarkan nanti karena itu menertibkan pikiran”
– Demikian kata matematikawan besar Rusia Mikhail Lomonosov.
- Terima kasih atas pelajarannya!
Lampiran 1
1. Derajat. Properti dasar
Indikator
sebuah 1 =sebuah
A N=a.a. ….A
sebuah R n
3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,
(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8
Derajat dengan eksponen bilangan bulat
sebuah 0 =1,
dimana
0 0 - tidak ditentukan.
Gelar dengan rasional
Indikator
Di manaA
M N
Gelar dengan eksponen irasional
Jawaban: ==25,9...
1. A X. A kamu=a x+y
2.a X: A kamu==sebuah xy
3. .(A X) kamu=a x.y
4.(a.b) N=a N.B N
5. (=
6. (
Lampiran 2
2. Gelar dengan eksponen rasional
Basisderajat
Gelar dengan indikatorR, basis a (NN, MN
R= N
R= - N
R= 0
R= 0
r =0
A N= A. A. … . A
A -N=
A 0 =1
A N=a.a. ….A
A -N=
Tidak ada
Tidak ada
A 0 =1
sebuah=0
0 N=0
Tidak ada
Tidak ada
Tidak ada
Lampiran 3
3. Kerja mandiri
Operasi pangkat pertama kali digunakan oleh ahli matematika PerancisXIVabad.
Menguraikan nama ilmuwan Perancis.
S.Shestakov,
Moskow
Ujian tertulis
Kelas 11
1. Perhitungan. Mengonversi Ekspresi
§ 3. Kekuatan dengan eksponen nyata
Latihan pada § 5 bab pertama kumpulan ini terutama berkaitan dengan fungsi eksponensial dan sifat-sifatnya. Pada paragraf ini, seperti paragraf sebelumnya, tidak hanya diuji kemampuan melakukan transformasi berdasarkan sifat-sifat yang diketahui, tetapi juga penguasaan siswa terhadap simbolisme fungsional. Di antara tugas-tugas dalam koleksi, kelompok-kelompok berikut dapat dibedakan:
- latihan menguji penguasaan definisi fungsi eksponensial (1.5.A06, 1.5.B01–B04) dan kemampuan menggunakan simbol fungsional (1.5A02, 1.5.B05, 1.5C11);
- latihan untuk mengubah ekspresi yang mengandung pangkat dengan eksponen nyata, dan untuk menghitung nilai ekspresi tersebut dan nilai fungsi eksponensial (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10 dan lain-lain);
- latihan membandingkan nilai ekspresi yang mengandung pangkat dengan eksponen nyata, memerlukan penggunaan sifat-sifat pangkat dengan eksponen nyata dan fungsi eksponensial (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11) ;
- latihan lainnya (termasuk yang berkaitan dengan notasi posisi angka, perkembangan, dll.) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.
Mari kita perhatikan sejumlah masalah yang berkaitan dengan simbolisme fungsional.
1.5.A02. e) Fungsi diberikan
Temukan nilai ekspresi f 2 (x) – g 2 (x).
Larutan. Mari kita gunakan rumus selisih kuadrat:
Jawaban: –12.
1.5.C11. b) Fungsi diberikan
Tentukan nilai ekspresi f(x) f(y) – g(x) g(y), jika f(x – y) = 9.
Kami menyajikan solusi singkat untuk latihan mentransformasikan ekspresi yang mengandung pangkat dengan eksponen nyata, dan untuk menghitung nilai ekspresi tersebut dan nilai fungsi eksponensial.
1.5.B07. a) Diketahui 6 A – 6 –A= 6. Tentukan nilai ekspresi (6 A– 6) 6 A .
Larutan. Dari kondisi masalah berikut ini 6 A – 6 = 6 -A. Kemudian
(6 A– 6) 6a = 6 -A· 6 A = 1.
1.5.C05. b) Temukan nilai ekspresi 7 a–b, Jika 
Larutan. Dengan syarat 
Bagilah pembilang dan penyebut ruas kiri persamaan ini dengan 7 b. Kita mendapatkan 
Mari kita buat penggantinya. Misalkan y = 7 a–b. Kesetaraan mengambil bentuknya
Mari selesaikan persamaan yang dihasilkan
Kelompok latihan berikutnya adalah tugas membandingkan nilai ekspresi yang mengandung pangkat dengan eksponen nyata, yang memerlukan penggunaan sifat-sifat pangkat dengan eksponen nyata dan fungsi eksponensial.
1.5.B11. b) Susunlah bilangan f(60), g(45) dan h(30) secara menurun jika f(x) = 5 x , g(x) = 7 x dan h(x) = 3 x .
Larutan. f(60) = 5 60 , g(45) = 7 45 dan h(30) = 3 30 .
Mari kita ubah derajat ini untuk mendapatkan indikator yang sama:
5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .
Mari kita tuliskan basisnya dalam urutan menurun: 625 > 343 > 9.
Oleh karena itu, orde yang diperlukan adalah f(60), g(45), h(30).
Jawaban: f(60), g(45), jam(30).
1.5.C12. a) Bandingkan 
, dimana x dan y adalah beberapa bilangan real.
Larutan. 
Itu sebabnya 
Itu sebabnya 
Karena 3 2 > 2 3, kita peroleh hasilnya 
Menjawab: 
1.5.D11. a) Bandingkan angka-angkanya 
Sejak kita mendapatkannya 
Menjawab: 
Untuk melengkapi tinjauan kami tentang masalah pangkat dengan eksponen nyata, kami akan mempertimbangkan latihan yang berkaitan dengan notasi posisi angka, perkembangan, dll.
1.5.A03. b) Diketahui fungsi f(x) = (0,1) x. Temukan nilai ekspresi 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0).
4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 1 + 4 0,1 + 9 0,01 + 6 0,001 = 4,496.
Jadi, persamaan ini merupakan perluasan ke dalam jumlah satuan desimal 4,496.
Jawaban: 4.496.
1.5.D07. a) Diketahui fungsi f(x) = 0,1 x. Tentukan nilai ekspresi f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ...
f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0 ,1 9 + ...+(–1) n–1 · 0,1 3n + ...
Persamaan ini adalah jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan suku pertama 0,001 dan penyebut –0,001. Jumlahnya adalah 
1.5.D09. a) Tentukan nilai persamaan 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x jika 5 x –5 y =3, x + y = 3.
5 2x +5 2y +25 x 5 y –25 y 5 x =(5 x – 5 y) 2 +2 5 x 5 y +5 x 5 y (5 x – 5 y)=3 2 +2 · 5 x +y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634.
Jawaban: 634.
§ 4. Ekspresi logaritma
Saat mengulang topik “Transformasi ekspresi logaritma” (§ 1.6 dari koleksi), Anda harus mengingat sejumlah rumus dasar yang berkaitan dengan logaritma:
Berikut adalah beberapa rumus yang pengetahuannya tidak diperlukan untuk menyelesaikan masalah pada level A dan B, tetapi mungkin berguna saat menyelesaikan masalah yang lebih kompleks (jumlah rumus ini dapat dikurangi atau ditambah tergantung pandangan guru. dan tingkat kesiapan siswa):
Sebagian besar latihan dari § 1.6 koleksi dapat diklasifikasikan ke dalam salah satu kelompok berikut:
- latihan penggunaan langsung definisi dan sifat-sifat logaritma (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, 1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08 , 1.6.D10);
- latihan menghitung nilai ekspresi logaritma dari nilai tertentu dari ekspresi atau logaritma lain (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);
- latihan membandingkan nilai dua ekspresi yang mengandung logaritma (1.6.C11);
- latihan dengan tugas multi-langkah yang kompleks (1.6.D11, 1.6.D12).
Kami menyajikan solusi singkat untuk latihan penggunaan langsung definisi dan sifat logaritma.
1.6.B05. a) Temukan arti dari ekspresi tersebut 
Larutan. 
Ekspresinya mengambil bentuk
1.6.D08. b) Temukan nilai ekspresi (1 – log 4 36)(1 – log 9 36).
Larutan. Mari kita gunakan properti logaritma:
(1 – catatan 4 36)(1 – catatan 9 36) =
= (1 – catatan 4 4 – catatan 4 9)(1 – catatan 9 4 – catatan 9 9) =
= –log 4 9 · (–log 9 4) = 1.
1.6.D10. a) Temukan arti dari ekspresi tersebut 
Larutan. Mari kita ubah pembilangnya:
catatan 6 42 catatan 7 42=(1 + catatan 6 7)(1 + catatan 7 6)=1 + catatan 6 7 + catatan 7 6 + catatan 6 7 catatan 7 6.
Tapi log 6 7 log 7 6 = 1. Jadi, pembilangnya adalah 2 + log 6 7 + log 7 6, dan pecahannya adalah 1.
Mari kita lanjutkan ke latihan penyelesaian menghitung nilai ekspresi logaritma dari nilai tertentu dari ekspresi atau logaritma lain.
1.6.D02. a) Tentukan nilai ekspresi log 70 320 jika log 5 7= A, catatan 7 2= B.
Larutan. Mari kita ubah ekspresinya. Mari beralih ke basis 7:
Dari kondisi tersebut dapat disimpulkan bahwa 
. Itu sebabnya 
Soal berikut mengharuskan Anda membandingkan nilai dua ekspresi yang mengandung logaritma.
1.6.C11. a) Bandingkan angka-angkanya 
Larutan. Mari kita kurangi kedua logaritma menjadi basis 2.
Oleh karena itu, angka-angka ini sama.
Jawaban: angka-angka ini sama.
