Rumus reduksi dengan pi. Rumus pengurangan fungsi trigonometri

Bagaimana cara mengingat rumus pengurangan fungsi trigonometri? Mudah saja jika Anda menggunakan asosiasi, asosiasi ini tidak saya temukan. Seperti yang telah disebutkan, pergaulan yang baik harus “menangkap”, yaitu membangkitkan emosi yang jelas. Saya tidak bisa menyebut emosi yang disebabkan oleh asosiasi ini positif. Namun hal ini memberikan hasil - memungkinkan Anda mengingat rumus reduksi, yang berarti ia berhak untuk hidup. Lagi pula, kalau tidak suka, tidak perlu digunakan, bukan?

Rumus reduksinya berbentuk: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Ingatlah bahwa +α memberikan gerakan berlawanan arah jarum jam, - α memberikan gerakan searah jarum jam.

Untuk bekerja dengan rumus reduksi, Anda memerlukan dua poin:

1) beri tanda fungsi awal (di buku teks ditulis: dapat direduksi. Tapi agar tidak bingung, lebih baik disebut inisial), jika kita menganggap α sebagai sudut kuarter pertama, yaitu , kecil.

2) Diameter horizontal - π±α, 2π±α, 3π±α... - secara umum, jika tidak ada pecahan, nama fungsinya tidak berubah. Vertikal π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - bila ada pecahan, nama fungsinya berubah: sinus - menjadi kosinus, kosinus - menjadi sinus, tangen - menjadi kotangen dan kotangen - bersinggungan.

Sekarang, sebenarnya, asosiasinya:

diameter vertikal (ada pecahan) -

berdiri dalam keadaan mabuk. Apa yang akan terjadi padanya lebih awal?

atau sudah terlambat? Itu benar, itu akan jatuh.

Nama fungsi akan berubah.

Jika diameternya mendatar, berarti pemabuk sudah berbaring. Dia mungkin sedang tidur. Tidak akan terjadi apa-apa padanya, dia sudah menerimanya posisi horisontal. Oleh karena itu, nama fungsinya tidak berubah.

Artinya, sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α), dst. berikan ±cosα,

dan sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.

Kami sudah tahu caranya.

Bagaimana itu bekerja? Mari kita lihat contohnya.

1) cos(π/2+α)=?

Kita menjadi π/2. Karena +α berarti kita maju, berlawanan arah jarum jam. Kita berada di kuartal kedua, di mana kosinus memiliki tanda “-”. Nama fungsinya berubah (“orang mabuk berdiri”, yang artinya dia akan jatuh). Jadi,

cos(π/2+α)=-sin α.

Mari kita ke 2π. Karena -α - kita mundur, yaitu searah jarum jam. Kita sampai pada kuartal IV, di mana garis singgungnya memiliki tanda “-”. Nama fungsinya tidak berubah (diameternya mendatar, “pemabuk sudah berbaring”). Jadi, tan(2π-α)=- tanα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Contoh di mana suatu fungsi dipangkatkan bahkan lebih mudah diselesaikan. Derajat genap “-” menghilangkannya, yaitu Anda hanya perlu mencari tahu apakah nama fungsinya berubah atau tetap. Diameternya vertikal (ada pecahan “berdiri mabuk”, nanti jatuh), nama fungsinya berubah. Kita mendapatkan: ctg²(3π/2-α)= tan²α.

Rumus reduksi adalah hubungan yang memungkinkan Anda beralih dari sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dengan sudut `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` dengan fungsi yang sama dari sudut `\alpha`, yang terletak di seperempat pertama lingkaran satuan. Jadi, rumus reduksi “mengarahkan” kita untuk bekerja dengan sudut dalam kisaran 0 hingga 90 derajat, yang sangat memudahkan.

Secara keseluruhan ada 32 rumus reduksi. Mereka pasti akan berguna selama Ujian Negara Bersatu, ujian, dan ulangan. Namun izinkan kami segera memperingatkan Anda bahwa tidak perlu menghafalnya! Anda perlu meluangkan sedikit waktu dan memahami algoritma penerapannya, maka tidak akan sulit bagi Anda untuk mendapatkan persamaan yang diperlukan pada waktu yang tepat.

Pertama, mari kita tuliskan semua rumus reduksinya:

Untuk sudut (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) atau (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Untuk sudut (`\pi \pm \alpha`) atau (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Untuk sudut (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) atau (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Untuk sudut (`2\pi \pm \alpha`) atau (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Anda sering dapat menemukan rumus reduksi dalam bentuk tabel yang sudutnya ditulis dalam radian:

Untuk menggunakannya, kita perlu memilih baris dengan fungsi yang kita perlukan dan kolom dengan argumen yang diinginkan. Misalnya, untuk mengetahui dengan menggunakan tabel berapa nilai ` sin(\pi + \alpha)`, cukup mencari jawabannya di perpotongan baris ` sin \beta` dan kolom ` \pi + \alfa`. Kita mendapatkan ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Dan tabel kedua yang serupa, di mana sudut ditulis dalam derajat:

Aturan mnemonik untuk rumus reduksi atau cara mengingatnya

Seperti yang telah kami sebutkan, tidak perlu menghafal semua hubungan di atas. Jika Anda memperhatikannya dengan cermat, Anda mungkin memperhatikan beberapa pola. Mereka memungkinkan kita merumuskan aturan mnemonik (mnemonik - ingat), yang dengannya kita dapat dengan mudah mendapatkan rumus reduksi apa pun.

Mari kita segera perhatikan bahwa untuk menerapkan aturan ini Anda harus pandai mengidentifikasi (atau mengingat) tanda-tanda fungsi trigonometri di berbagai bagian lingkaran satuan.
Vaksinnya sendiri terdiri dari 3 tahap:

1. 1. Argumen fungsi harus direpresentasikan sebagai `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, dan `\alpha` tentu merupakan sudut lancip (dari 0 hingga 90 derajat).
   2. Untuk argumen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` fungsi trigonometri ekspresi yang dikonversi berubah menjadi kofungsi, yaitu kebalikannya (sinus ke kosinus, tangen ke kotangen, dan sebaliknya). Untuk argumen `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` fungsinya tidak berubah.
   3. Tanda fungsi aslinya ditentukan. Fungsi yang dihasilkan di ruas kanan akan mempunyai tanda yang sama.

Untuk melihat bagaimana aturan ini dapat diterapkan dalam praktiknya, mari kita ubah beberapa ekspresi:

1. `cos(\pi + \alfa)`.

Fungsinya tidak terbalik. Sudut `\pi + \alpha` berada pada kuarter ketiga, kosinus pada kuarter ini bertanda “-”, sehingga fungsi yang ditransformasi juga akan bertanda “-”.

Jawaban: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `dosa(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.

Menurut aturan mnemonik, fungsinya akan dibalik. Sudut `\frac (3\pi)2 - \alpha` berada pada kuarter ketiga, sinus disini bertanda “-”, jadi hasilnya juga bertanda “-”.

Jawaban: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi )2-\alfa))`. Mari kita nyatakan `3\pi` sebagai `2\pi+\pi`. `2\pi` adalah periode fungsi.

Penting: Fungsi `cos \alpha` dan `sin \alpha` memiliki periode `2\pi` atau `360^\circ`, nilainya tidak akan berubah jika argumen ditambah atau dikurangi sebesar nilai tersebut.

Berdasarkan hal ini, ekspresi kita dapat ditulis sebagai berikut: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Menerapkan aturan mnemonik dua kali, kita mendapatkan: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Jawaban: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

Aturan kuda

Poin kedua dari aturan mnemonik yang dijelaskan di atas disebut juga aturan rumus reduksi kuda. Saya bertanya-tanya mengapa kuda?

Jadi, kita mempunyai fungsi dengan argumen `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, titik `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` adalah kuncinya, terletak pada sumbu koordinat. `\pi` dan `2\pi` berada pada sumbu x horizontal, dan `\frac (\pi)2` dan `\frac (3\pi)2` berada pada sumbu vertikal ordinat

Kita bertanya pada diri sendiri pertanyaan: “Apakah suatu fungsi berubah menjadi kofungsi?” Untuk menjawab pertanyaan ini, Anda perlu menggerakkan kepala Anda sepanjang sumbu tempat titik kunci berada.

Artinya, untuk argumen yang poin-poin kuncinya terletak pada sumbu horizontal, kita menjawab “tidak” dengan menggelengkan kepala ke samping. Dan untuk sudut yang titik-titik kuncinya terletak pada sumbu vertikal, kita menjawab “ya” dengan menganggukkan kepala dari atas ke bawah seperti kuda :)

Kami menyarankan Anda menonton video tutorial yang penulis menjelaskan secara detail cara mengingat rumus reduksi tanpa menghafalnya.

Contoh praktis penggunaan rumus reduksi

Penggunaan rumus reduksi dimulai pada kelas 9 dan 10. Banyak soal yang menggunakannya diserahkan ke Ujian Negara Bersatu. Berikut beberapa soal yang mengharuskan Anda menerapkan rumus ini:

• masalah untuk menyelesaikan segitiga siku-siku;
• konversi numerik dan alfabet ekspresi trigonometri, perhitungan nilainya;
• tugas stereometrik.

Contoh 1. Hitung menggunakan rumus reduksi a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Penyelesaian: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Contoh 2. Setelah menyatakan kosinus melalui sinus menggunakan rumus reduksi, bandingkan bilangan: 1) `sin \frac (9\pi)8` dan `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` dan `cos \frac (3\pi)10`.

Penyelesaian: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`dosa \frac (\pi)8

`dosa \frac (\pi)8

Mari kita buktikan dulu dua rumus sinus dan cosinus dari argumen `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` dan ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Sisanya berasal dari mereka.

Mari kita ambil lingkaran satuan dan titik A di atasnya dengan koordinat (1,0). Biarkan setelah beralih ke sudut `\alpha` akan menuju ke titik `A_1(x, y)`, dan setelah memutar sudut `\frac (\pi)2 + \alpha` ke titik `A_2(-y, x)`. Dengan menjatuhkan garis tegak lurus dari titik-titik ini ke garis OX, kita melihat bahwa segitiga `OA_1H_1` dan `OA_2H_2` adalah sama besar, karena sisi miring dan sudut-sudut yang berdekatan sama besar. Kemudian, berdasarkan definisi sinus dan cosinus, kita dapat menulis `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Dimana kita dapat menulis bahwa ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` dan ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, yang membuktikan reduksi rumus sudut sinus dan cosinus `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Berdasarkan definisi tangen dan kotangen, diperoleh ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` dan ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, yang membuktikan rumus reduksi tangen dan kotangen sudut `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Untuk membuktikan rumus dengan argumen `\frac (\pi)2 - \alpha`, cukup dengan menyatakannya sebagai `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` dan ikuti jalur yang sama seperti di atas. Misalnya, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Sudut `\pi + \alpha` dan `\pi - \alpha` dapat direpresentasikan sebagai `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` dan `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` masing-masing.

Dan `\frac (3\pi)2 + \alpha` dan `\frac (3\pi)2 - \alpha` sebagai `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` dan `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Mereka termasuk dalam bagian trigonometri matematika. Esensinya adalah mereduksi fungsi trigonometri sudut menjadi bentuk yang “sederhana”. Banyak yang bisa ditulis tentang pentingnya mengetahuinya. Sudah ada 32 rumus ini!

Jangan khawatir, Anda tidak perlu mempelajarinya, seperti banyak rumus lainnya dalam kursus matematika. Tidak perlu mengisi kepala Anda dengan informasi yang tidak perlu, Anda perlu mengingat “kunci” atau hukumnya, dan mengingat atau menurunkan rumus yang diperlukan tidak akan menjadi masalah. Ngomong-ngomong, ketika saya menulis di artikel “...kamu perlu belajar!!!” - Artinya sangat perlu dipelajari.

Jika Anda tidak terbiasa dengan rumus reduksi, maka kesederhanaan penurunannya akan mengejutkan Anda - ada "hukum" yang dapat digunakan untuk melakukan hal ini dengan mudah. Dan Anda dapat menulis salah satu dari 32 rumus tersebut dalam 5 detik.

Saya hanya akan mencantumkan beberapa soal yang akan muncul pada Ujian Negara Terpadu matematika, dimana tanpa mengetahui rumus-rumus tersebut kemungkinan besar akan gagal dalam menyelesaikannya. Misalnya:

– soal penyelesaian segitiga siku-siku, yang membahas tentang sudut luar, dan soal sudut dalam, beberapa rumus ini juga diperlukan.

– tugas menghitung nilai ekspresi trigonometri; mengkonversi ekspresi trigonometri numerik; mengonversi ekspresi trigonometri literal.

– soal garis singgung dan arti geometri garis singgung, diperlukan rumus reduksi garis singgung, serta soal-soal lainnya.

– soal stereometrik, dalam penyelesaiannya sering kali perlu menentukan sinus atau kosinus suatu sudut yang terletak pada kisaran 90 hingga 180 derajat.

Dan ini hanyalah poin-poin yang berhubungan dengan Unified State Examination. Dan dalam mata kuliah aljabar sendiri terdapat banyak permasalahan yang penyelesaiannya tidak dapat dilakukan tanpa mengetahui rumus-rumus reduksi.

Jadi apa yang menyebabkan hal ini dan bagaimana rumus yang diberikan memudahkan kita dalam menyelesaikan masalah?

Misalnya, Anda perlu menentukan sinus, cosinus, tangen, atau kotangen sudut mana pun dari 0 hingga 450 derajat:

sudut alfa berkisar antara 0 hingga 90 derajat

* * *

Jadi, perlu dipahami “hukum” yang berlaku di sini:

1. Tentukan tanda fungsi pada kuadran yang bersesuaian.

Izinkan saya mengingatkan Anda:

2. Ingatlah hal berikut:

perubahan fungsi menjadi fungsi

fungsi tidak berubah menjadi fungsi

Apa arti konsep - suatu fungsi berubah menjadi kofungsi?

Jawaban: sinus berubah menjadi cosinus atau sebaliknya, bersinggungan dengan kotangen atau sebaliknya.

Itu saja!

Sekarang, menurut hukum yang disajikan, kami akan menuliskan sendiri beberapa rumus reduksi:

Sudut ini terletak pada kuarter ketiga, kosinus pada kuarter ketiga negatif. Fungsi tersebut tidak kita ubah menjadi kofungsi, karena kita mempunyai sudut 180 derajat, yang artinya:

Sudutnya terletak pada kuarter pertama, sinus pada kuarter pertama positif. Fungsi tersebut tidak kita ubah menjadi cofunction, karena kita mempunyai 360 derajat yang artinya:

Berikut ini konfirmasi tambahan lainnya bahwa sinus sudut-sudut yang berdekatan adalah sama:

Sudutnya terletak pada kuarter kedua, sinus pada kuarter kedua positif. Kita tidak mengubah fungsinya menjadi cofunction, karena kita mempunyai 180 derajat, yang artinya:

Kerjakan setiap rumus secara mental atau tertulis, dan Anda akan yakin bahwa tidak ada yang rumit.

***

Dalam artikel tentang solusinya, fakta berikut dicatat - sinus dari satu sudut lancip dalam segitiga siku-siku sama dengan kosinus sudut lancip lainnya di dalamnya.