rumah » Pakaian musim semi » Cara menyelesaikan persamaan dengan pangkat yang tidak diketahui. Memecahkan persamaan eksponensial

Cara menyelesaikan persamaan dengan pangkat yang tidak diketahui. Memecahkan persamaan eksponensial

Pada tahap persiapan ujian akhir, siswa SMA perlu meningkatkan pengetahuannya pada topik “Persamaan Eksponensial”. Pengalaman beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu menimbulkan kesulitan tertentu bagi anak sekolah. Oleh karena itu, siswa sekolah menengah, terlepas dari tingkat persiapannya, perlu menguasai teori secara menyeluruh, mengingat rumus, dan memahami prinsip penyelesaian persamaan tersebut. Setelah belajar mengatasi masalah jenis ini, lulusan dapat mengandalkan nilai tinggi ketika lulus Ujian Negara Terpadu dalam matematika.

Bersiaplah untuk ujian ujian dengan Shkolkovo!

Saat meninjau materi yang telah dipelajari, banyak siswa dihadapkan pada masalah dalam menemukan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku pelajaran sekolah tidak selalu tersedia, dan memilih informasi yang diperlukan tentang suatu topik di Internet membutuhkan waktu lama.

Portal pendidikan Shkolkovo mengundang siswa untuk menggunakan basis pengetahuan kami. Kami menerapkan sepenuhnya metode baru persiapan ujian akhir. Dengan belajar di website kami, Anda akan dapat mengidentifikasi kesenjangan pengetahuan dan memperhatikan tugas-tugas yang paling menimbulkan kesulitan.

Guru Shkolkovo mengumpulkan, mensistematisasikan, dan menyajikan segala sesuatu yang diperlukan berhasil diselesaikan Materi Ujian Negara Bersatu dalam bentuk yang paling sederhana dan paling mudah diakses.

Definisi dan rumus dasar disajikan pada bagian “Latar Belakang Teoritis”.

Untuk lebih memahami materi, sebaiknya Anda berlatih menyelesaikan tugas. Tinjau dengan cermat contoh-contoh yang disajikan di halaman ini. persamaan eksponensial dengan solusi untuk memahami algoritma perhitungan. Setelah itu, lanjutkan untuk melakukan tugas di bagian “Direktori”. Anda dapat memulai dengan tugas yang paling mudah atau langsung menyelesaikan persamaan eksponensial kompleks dengan beberapa hal yang tidak diketahui atau . Basis data latihan di situs web kami terus ditambah dan diperbarui.

Contoh-contoh dengan indikator yang menyebabkan Anda kesulitan dapat ditambahkan ke “Favorit”. Dengan cara ini Anda dapat dengan cepat menemukannya dan mendiskusikan solusinya dengan guru Anda.

Agar berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, belajarlah di portal Shkolkovo setiap hari!

Dalam pelajaran ini kita akan melihat penyelesaian persamaan eksponensial yang lebih kompleks, mengingat kembali prinsip-prinsip teoritis dasar mengenai Fungsi eksponensial.

1. Pengertian dan sifat-sifat fungsi eksponensial, metode penyelesaian persamaan eksponensial paling sederhana

Mari kita mengingat kembali definisi dan sifat dasar fungsi eksponensial. Penyelesaian semua persamaan dan pertidaksamaan eksponensial didasarkan pada sifat-sifat ini.

Fungsi eksponensial adalah fungsi dari bentuk , dengan basis adalah derajat dan Di sini x adalah variabel bebas, argumen; y adalah variabel terikat, fungsi.

Beras. 1. Grafik fungsi eksponensial

Grafik menunjukkan eksponen naik dan turun, yang menggambarkan fungsi eksponensial dengan basis lebih besar dari satu dan kurang dari satu tetapi lebih besar dari nol.

Kedua kurva melewati titik (0;1)

Sifat-sifat Fungsi Eksponensial:

Domain: ;

Jarak nilai: ;

Fungsinya monotonik, bertambah seiring, berkurang seiring.

Fungsi monotonik mengambil setiap nilainya dengan nilai argumen tunggal.

Ketika argumen bertambah dari minus ke plus tak terhingga, fungsinya bertambah dari nol inklusif menjadi plus tak terhingga. Sebaliknya, ketika argumen bertambah dari minus ke plus tak terhingga, fungsinya berkurang dari tak terhingga ke nol, tidak inklusif.

2. Menyelesaikan persamaan eksponensial standar

Izinkan kami mengingatkan Anda cara menyelesaikan persamaan eksponensial paling sederhana. Solusinya didasarkan pada monotonisitas fungsi eksponensial. Hampir semua persamaan eksponensial kompleks dapat direduksi menjadi persamaan tersebut.

Kesetaraan eksponen dengan basis yang sama disebabkan oleh sifat fungsi eksponensial, yaitu monotonisitasnya.

Metode solusi:

Menyamakan dasar derajat;

Samakan eksponennya.

Mari kita beralih ke persamaan eksponensial yang lebih kompleks; tujuan kita adalah mereduksi masing-masing persamaan tersebut menjadi persamaan yang paling sederhana.

Mari kita hilangkan akar di sisi kiri dan bawa derajatnya ke basis yang sama:

Untuk mereduksi persamaan eksponensial kompleks menjadi persamaan yang paling sederhana, sering digunakan substitusi variabel.

Mari kita gunakan properti power:

Kami memperkenalkan penggantinya. Biarkan saja

Mari kalikan persamaan yang dihasilkan dengan dua dan pindahkan semua suku ke ruas kiri:

Akar pertama tidak memenuhi rentang nilai y, jadi kita membuangnya. Kita mendapatkan:

Mari kita turunkan derajat ke indikator yang sama:

Mari kita perkenalkan penggantinya:

Biarkan saja . Dengan penggantian seperti itu, jelas y menerima dengan tegas nilai-nilai positif. Kita mendapatkan:

Kita tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat seperti itu, kita bisa menuliskan jawabannya:

Untuk memastikan akar-akarnya ditemukan dengan benar, Anda dapat memeriksanya menggunakan teorema Vieta, yaitu mencari jumlah akar-akar dan hasil kali akar-akar tersebut, lalu membandingkannya dengan koefisien persamaan yang sesuai.

Kita mendapatkan:

3. Metodologi penyelesaian persamaan eksponensial homogen derajat kedua

Mari kita pelajari jenis persamaan eksponensial penting berikut ini:

Persamaan jenis ini disebut homogen derajat kedua terhadap fungsi f dan g. Di sisi kirinya terdapat trinomial persegi terhadap f dengan parameter g atau trinomial persegi terhadap g dengan parameter f.

Metode solusi:

Persamaan ini dapat diselesaikan sebagai persamaan kuadrat, tetapi lebih mudah untuk menyelesaikannya secara berbeda. Ada dua kasus yang perlu dipertimbangkan:

Dalam kasus pertama yang kita dapatkan

Dalam kasus kedua, kita berhak membagi dengan derajat tertinggi dan mendapatkan:

Kita harus memperkenalkan perubahan variabel, kita dapatkan persamaan kuadrat relatif terhadap kamu:

Perhatikan bahwa fungsi f dan g dapat berupa apa saja, tetapi kita tertarik pada kasus yang merupakan fungsi eksponensial.

4. Contoh penyelesaian persamaan homogen

Mari kita pindahkan semua suku ke ruas kiri persamaan:

Karena fungsi eksponensial memperoleh nilai yang sangat positif, kita berhak segera membagi persamaan tersebut dengan , tanpa mempertimbangkan kasus ketika:

Kita mendapatkan:

Mari kita perkenalkan penggantinya: (menurut sifat-sifat fungsi eksponensial)

Kami mendapat persamaan kuadrat:

Kami menentukan akar menggunakan teorema Vieta:

Akar pertama tidak memenuhi rentang nilai y, kita membuangnya, kita mendapatkan:

Mari gunakan properti derajat dan kurangi semua derajat menjadi basis sederhana:

Sangat mudah untuk memperhatikan fungsi f dan g:

Karena fungsi eksponensial memperoleh nilai yang benar-benar positif, kita berhak segera membagi persamaan tersebut dengan , tanpa mempertimbangkan kasus ketika .

Memecahkan persamaan eksponensial. Contoh.

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)

Apa yang terjadi persamaan eksponensial? Ini adalah persamaan yang memuat bilangan-bilangan yang tidak diketahui (x) dan persamaan-persamaannya indikator beberapa derajat. Dan hanya di sana! Itu penting.

Anda disana contoh persamaan eksponensial:

3 x 2 x = 8 x+3

Catatan! Di dasar derajat (di bawah) - hanya angka. DI DALAM indikator derajat (atas) - berbagai macam ekspresi dengan X. Jika, tiba-tiba, tanda X muncul pada persamaan di tempat lain selain indikator, misalnya:

ini akan menjadi persamaan tipe campuran. Persamaan seperti itu tidak memiliki aturan yang jelas untuk menyelesaikannya. Kami tidak akan mempertimbangkannya untuk saat ini. Di sini kita akan menanganinya menyelesaikan persamaan eksponensial dalam bentuknya yang paling murni.

Faktanya, persamaan eksponensial murni pun tidak selalu dapat diselesaikan dengan jelas. Namun ada beberapa jenis persamaan eksponensial yang dapat dan harus diselesaikan. Ini adalah tipe yang akan kami pertimbangkan.

Memecahkan persamaan eksponensial sederhana.

Pertama, mari kita selesaikan sesuatu yang sangat mendasar. Misalnya:

Bahkan tanpa teori apapun, dengan seleksi sederhana jelas bahwa x = 2. Tidak lebih, kan!? Tidak ada nilai X lain yang berfungsi. Sekarang mari kita lihat solusi persamaan eksponensial yang rumit ini:

Apa yang telah kita lakukan? Kami sebenarnya membuangnya begitu saja alasan yang identik(bertiga). Benar-benar dibuang. Dan, kabar baiknya adalah, kita berhasil!

Memang jika dalam persamaan eksponensial ada kiri dan kanan sama bilangan dalam pangkat apa pun, bilangan tersebut dapat dihilangkan dan eksponennya dapat disamakan. Matematika memungkinkan. Masih menyelesaikan persamaan yang lebih sederhana. Hebat, kan?)

Namun, mari kita ingat dengan tegas: Anda dapat menghapus basis hanya ketika nomor basis di kiri dan kanan berada dalam isolasi yang bagus! Tanpa tetangga dan koefisien. Katakanlah dalam persamaan:

2 x +2 x+1 = 2 3, atau

berpasangan tidak dapat dihilangkan!

Ya, kita sudah menguasai hal yang paling penting. Bagaimana berpindah dari ekspresi eksponensial jahat ke persamaan yang lebih sederhana.

"Itulah saatnya!" - kamu bilang. “Siapa yang akan memberikan pelajaran primitif tentang ulangan dan ujian!?”

Saya harus setuju. Tidak ada yang mau. Tapi sekarang Anda tahu ke mana harus mengarahkan ketika memecahkan contoh-contoh rumit. Harus dibawa ke bentuk bilangan pokok yang sama di kiri dan kanan. Maka segalanya akan menjadi lebih mudah. Sebenarnya, ini adalah matematika klasik. Kami mengambil contoh asli dan mengubahnya menjadi yang diinginkan kita pikiran. Tentu saja sesuai dengan kaidah matematika.

Mari kita lihat contoh-contoh yang memerlukan upaya tambahan untuk menyederhanakannya menjadi yang paling sederhana. Mari kita hubungi mereka persamaan eksponensial sederhana.

Memecahkan persamaan eksponensial sederhana. Contoh.

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, aturan utamanya adalah tindakan dengan derajat. Tanpa pengetahuan tentang tindakan ini, tidak ada yang akan berhasil.

Untuk tindakan yang bertingkat, seseorang harus menambahkan observasi pribadi dan kecerdikan. Kami membutuhkan nomor yang sama-alasan? Jadi kami mencarinya di contoh dalam bentuk eksplisit atau terenkripsi.

Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan dalam praktiknya?

Mari kita diberi contoh:

2 2x - 8 x+1 = 0

Pandangan tajam pertama ada pada alasan. Mereka... Mereka berbeda! Dua dan delapan. Namun masih terlalu dini untuk berkecil hati. Sudah waktunya untuk mengingat hal itu

Dua dan delapan adalah saudara sederajat.) Sangat mungkin untuk menulis:

8 x+1 = (2 3) x+1

Jika kita mengingat rumus operasi dengan derajat:

(sebuah) m = sebuah nm ,

ini berhasil dengan baik:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Contoh aslinya mulai terlihat seperti ini:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Kami mentransfer 2 3 (x+1) ke kanan (tidak ada yang membatalkan operasi dasar matematika!), kita mendapatkan:

2 2x = 2 3(x+1)

Itu saja. Menghapus pangkalan:

Kami memecahkan monster ini dan mendapatkannya

Ini adalah jawaban yang benar.

Dalam contoh ini, mengetahui kekuatan dua hal membantu kita. Kami diidentifikasi di delapan ada dua yang terenkripsi. Teknik ini (enkripsi alasan umum di bawah nomor yang berbeda) adalah teknik yang sangat populer dalam persamaan eksponensial! Ya, dan dalam logaritma juga. Anda harus bisa mengenali pangkat bilangan lain dalam bilangan. Ini sangat penting untuk menyelesaikan persamaan eksponensial.

Faktanya adalah menaikkan angka berapa pun ke pangkat apa pun bukanlah masalah. Lipat gandakan, bahkan di atas kertas, dan itu saja. Misalnya, siapa pun dapat menaikkan 3 pangkat lima. 243 akan berhasil jika Anda mengetahui tabel perkaliannya.) Namun dalam persamaan eksponensial, persamaan eksponensial lebih sering tidak perlu dipangkatkan, tetapi sebaliknya... Cari tahu nomor berapa sampai derajat berapa tersembunyi di balik angka 243, atau, katakanlah, 343... Tidak ada kalkulator yang akan membantu Anda di sini.

Kamu perlu mengetahui kekuatan beberapa angka dengan melihat kan... Ayo berlatih?

Tentukan pangkat apa dan bilangan berapa bilangan tersebut:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Jawaban (berantakan, tentu saja!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Jika Anda perhatikan lebih dekat, Anda akan melihat fakta yang aneh. Ada lebih banyak jawaban daripada tugas! Ya, itu terjadi... Misalnya, 2 6, 4 3, 8 2 - semuanya 64.

Mari kita asumsikan bahwa Anda telah mencatat informasi tentang pengenalan angka.) Izinkan saya juga mengingatkan Anda bahwa untuk menyelesaikan persamaan eksponensial kita menggunakan semua bekal pengetahuan matematika. Termasuk mereka yang berasal dari kalangan junior dan menengah. Kamu tidak langsung masuk SMA, kan?)

Misalnya, ketika menyelesaikan persamaan eksponensial, menempatkan faktor persekutuan di luar tanda kurung sering kali membantu (halo kelas 7!). Mari kita lihat sebuah contoh:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dan sekali lagi, pandangan pertama tertuju pada fondasinya! Dasar derajatnya berbeda... Tiga dan sembilan. Tapi kami ingin mereka sama. Nah, dalam hal ini keinginan itu terpenuhi sepenuhnya!) Karena:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Menggunakan aturan yang sama untuk menangani derajat:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Bagus sekali, Anda bisa menuliskannya:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Kami memberi contoh untuk alasan yang sama. Jadi, apa selanjutnya!? Anda tidak bisa membuang bertiga... Jalan buntu?

Sama sekali tidak. Ingatlah aturan pengambilan keputusan yang paling universal dan kuat setiap orang tugas matematika:

Jika Anda tidak tahu apa yang Anda perlukan, lakukan apa yang Anda bisa!

Lihat, semuanya akan berhasil).

Apa yang ada dalam persamaan eksponensial ini Bisa Mengerjakan? Ya, di sisi kiri hanya minta dikeluarkan dari tanda kurung! Pengganda keseluruhan 3 2x dengan jelas mengisyaratkan hal ini. Mari kita coba, dan kita akan lihat:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Contohnya terus menjadi lebih baik dan lebih baik!

Kita ingat bahwa untuk menghilangkan alasan kita memerlukan derajat murni, tanpa koefisien apa pun. Angka 70 mengganggu kita. Jadi kita bagi kedua ruas persamaan dengan 70, kita peroleh:

Ups! Semuanya menjadi lebih baik!

Ini adalah jawaban terakhir.

Namun, hal ini terjadi bahwa taxiing dengan dasar yang sama dapat dicapai, namun penghapusannya tidak mungkin dilakukan. Hal ini terjadi pada jenis persamaan eksponensial lainnya. Mari kita kuasai tipe ini.

Mengganti variabel dalam menyelesaikan persamaan eksponensial. Contoh.

Mari selesaikan persamaannya:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Pertama - seperti biasa. Mari beralih ke satu basis. Untuk dua kali lipat.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Kami mendapatkan persamaan:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dan disinilah kami berkumpul. Teknik sebelumnya tidak akan berhasil, tidak peduli bagaimana Anda melihatnya. Kita harus mengeluarkan metode lain yang ampuh dan universal dari gudang senjata kita. Ini disebut penggantian variabel.

Inti dari metode ini ternyata sangat sederhana. Alih-alih satu ikon kompleks (dalam kasus kami - 2 x), kami menulis ikon lain yang lebih sederhana (misalnya - t). Penggantian yang tampaknya tidak berarti ini membuahkan hasil yang luar biasa!) Semuanya menjadi jelas dan dapat dimengerti!

Jadi biarkan

Maka 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Dalam persamaan kita, kita mengganti semua pangkat dengan x dengan t:

Nah, apakah Anda sadar?) Apakah Anda sudah lupa persamaan kuadrat? Menyelesaikan diskriminan, kita mendapatkan:

Hal utama di sini adalah jangan berhenti, seperti yang terjadi... Ini belum jawabannya, kita perlu x, bukan t. Mari kita kembali ke tanda X, yaitu. kami melakukan penggantian terbalik. Pertama untuk t 1:

Itu adalah,

Satu akar ditemukan. Kami mencari yang kedua dari t 2:

Hm... 2 x di kiri, 1 di kanan... Masalah? Sama sekali tidak! Cukup diingat (dari operasi dengan kekuatan ya...) bahwa itu adalah satuan setiap angka pangkat nol. Setiap. Apapun yang dibutuhkan, kami akan menginstalnya. Kami membutuhkan dua. Cara:

Itu saja sekarang. Kami mendapat 2 akar:

Inilah jawabannya.

Pada menyelesaikan persamaan eksponensial pada akhirnya terkadang Anda berakhir dengan ekspresi canggung. Jenis:

Tujuh tidak dapat diubah menjadi dua melalui kekuatan sederhana. Mereka bukan saudara... Bagaimana kita bisa menjadi saudara? Mungkin ada yang bingung... Tapi orang yang membaca di situs ini topik “Apa itu logaritma?” , hanya tersenyum tipis dan menuliskan dengan tangan tegas jawaban yang benar-benar benar:

Tidak mungkin ada jawaban seperti itu pada tugas “B” pada Unified State Examination. Di sana diperlukan nomor tertentu. Tapi dalam tugas “C” itu mudah.

Pelajaran ini memberikan contoh penyelesaian persamaan eksponensial yang paling umum. Mari kita soroti poin-poin utamanya.

Saran praktis:

1. Pertama-tama, kita lihat alasan derajat. Kami bertanya-tanya apakah mungkin untuk membuatnya identik. Mari kita coba melakukannya dengan menggunakan secara aktif tindakan dengan derajat. Jangan lupa bahwa bilangan tanpa x juga bisa diubah menjadi pangkat!

2. Kita coba bawa persamaan eksponensial ke bentuk bila di kiri dan di kanan ada sama angka dalam kekuatan apa pun. Kita gunakan tindakan dengan derajat Dan faktorisasi. Apa yang bisa dihitung dalam angka, kami hitung.

3. Jika tips kedua tidak berhasil, coba gunakan penggantian variabel. Hasilnya mungkin berupa persamaan yang dapat diselesaikan dengan mudah. Paling sering - persegi. Atau pecahan, yang juga direduksi menjadi persegi.

4. Agar berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial, Anda perlu mengetahui pangkat beberapa bilangan secara langsung.

Seperti biasa, di akhir pelajaran Anda diajak untuk memutuskan sedikit.) Sendiri. Dari yang sederhana hingga yang rumit.

Selesaikan persamaan eksponensial:

Lebih sulit:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Temukan produk dari akar:

2 3 + 2 x = 9

Telah terjadi?

Baiklah kalau begitu contoh yang paling rumit(memutuskan, bagaimanapun, dalam pikiran...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Apa yang lebih menarik? Maka inilah contoh buruk untuk Anda. Cukup tertarik kesulitan yang meningkat. Izinkan saya memberi petunjuk bahwa dalam contoh ini, yang menyelamatkan Anda adalah kecerdikan dan aturan paling universal untuk menyelesaikan semua masalah matematika.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720x

Contoh yang lebih sederhana, untuk relaksasi):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dan untuk hidangan penutup. Temukan jumlah akar persamaan:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ya ya! Ini adalah persamaan tipe campuran! Yang tidak kami pertimbangkan dalam pelajaran ini. Mengapa mempertimbangkannya, mereka perlu diselesaikan!) Pelajaran ini cukup untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Nah, kamu butuh kecerdikan... Dan semoga kelas tujuh membantu Anda (ini petunjuk!).

Jawaban (berantakan, dipisahkan dengan titik koma):

1; 2; 3; 4; tidak ada solusi; 2; -2; -5; 4; 0.

Apakah semuanya berhasil? Besar.

Ada masalah? Tidak masalah! Bagian Khusus 555 menyelesaikan semua persamaan eksponensial ini dengan penjelasan rinci. Apa, mengapa, dan mengapa. Dan, tentu saja, ada informasi tambahan yang berharga tentang cara bekerja dengan segala jenis persamaan eksponensial. Bukan hanya yang ini.)

Satu pertanyaan menyenangkan terakhir untuk dipertimbangkan. Dalam pelajaran ini kita bekerja dengan persamaan eksponensial. Mengapa saya tidak mengatakan sepatah kata pun tentang ODZ di sini? Omong-omong, dalam persamaan, ini adalah hal yang sangat penting...

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang persamaan yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen. Persamaan eksponensial paling sederhana berbentuk: a x = a b, dimana a> 0, a 1, x tidak diketahui.

Sifat utama pangkat yang mengubah persamaan eksponensial: a>0, b>0.

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, sifat-sifat fungsi eksponensial berikut juga digunakan: y = a x, a > 0, a1:

Untuk menyatakan suatu bilangan sebagai suatu pangkat, gunakan bilangan dasar identitas logaritmik: b = , a > 0, a1, b > 0.

Soal dan tes pada topik "Persamaan Eksponensial"

Persamaan eksponensial
Pelajaran: 4 Tugas: 21 Tes: 1
Persamaan eksponensial - Topik penting untuk review Unified State Examination dalam matematika
Tugas: 14
Sistem persamaan eksponensial dan logaritma - Demonstratif dan fungsi logaritmik Kelas 11
Pelajaran: 1 Tugas: 15 Tes: 1
§2.1. Memecahkan persamaan eksponensial
Pelajaran: 1 Tugas: 27
§7 Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial dan logaritma - Bagian 5. Fungsi eksponensial dan logaritma, kelas 10
Pelajaran: 1 Tugas: 17

Agar berhasil menyelesaikan persamaan eksponensial, Anda harus mengetahui sifat dasar pangkat, sifat fungsi eksponensial, dan identitas logaritma dasar.

Saat menyelesaikan persamaan eksponensial, dua metode utama digunakan:

transisi dari persamaan a f(x) = a g(x) ke persamaan f(x) = g(x);
pengenalan baris baru.

Contoh.

1. Persamaan direduksi menjadi yang paling sederhana. Penyelesaiannya adalah dengan mereduksi kedua ruas persamaan menjadi pangkat dengan basis yang sama.

3 x = 9 x – 2.

Larutan:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Menjawab: 4.

2. Persamaan diselesaikan dengan mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Larutan:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Menjawab: 3.

3. Persamaan diselesaikan dengan menggunakan perubahan variabel.

Larutan:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Kami menyatakan 2 x = y.
kamu 2 + kamu – 12 = 0
kamu 1 = - 4; kamu2 = 3.
a) 2 x = - 4. Persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian, karena 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Menjawab: catatan 2 3.

4. Persamaan yang mengandung pangkat dengan dua basis yang berbeda (tidak dapat direduksi satu sama lain).

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 ×23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2)x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Menjawab: 2.

5. Persamaan homogen terhadap a x dan b x.

Bentuk umum: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Larutan:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Mari kita nyatakan (3/2) x = y.
kamu 2 – 2,5kamu + 1 = 0,
kamu 1 = 2; kamu 2 = ½.

Menjawab: catatan 3/2 2; - catatan 3/2 2.

Pada artikel ini Anda akan mengenal semua jenis persamaan eksponensial dan algoritma untuk menyelesaikannya, belajar mengenali jenisnya persamaan eksponensial, yang perlu Anda selesaikan, dan terapkan metode yang tepat untuk menyelesaikannya. Solusi contoh yang terperinci persamaan eksponensial Anda dapat menonton setiap jenis di VIDEO PELAJARAN yang sesuai.

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang persamaan yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen.

Sebelum Anda mulai menyelesaikan persamaan eksponensial, ada baiknya Anda melakukan beberapa hal tindakan awal , yang secara signifikan dapat memfasilitasi proses penyelesaiannya. Berikut langkah-langkahnya:

1. Bagilah semua basis pangkat menjadi faktor prima.

2. Sajikan akar-akarnya sebagai derajat.

3. Desimal bayangkan sebagai orang biasa.

4. Nomor campuran tulis sebagai pecahan biasa.

Anda akan menyadari manfaat tindakan ini dalam proses penyelesaian persamaan.

Mari kita lihat tipe utamanya persamaan eksponensial dan algoritma untuk menyelesaikannya.

1. Persamaan bentuk

Persamaan ini setara dengan persamaan

Tonton solusi persamaannya di VIDEO TUTORIAL ini tipe ini.

2. Persamaan bentuk

Dalam persamaan jenis ini:

b) koefisien untuk hal yang tidak diketahui dalam eksponennya adalah sama.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, Anda perlu memfaktorkan faktor terkecil.

Contoh penyelesaian persamaan jenis ini:

tonton VIDEO TUTORIALnya.

3. Persamaan bentuk

Persamaan jenis ini berbeda dalam hal itu

a) semua derajat mempunyai basis yang sama

b) koefisien untuk hal yang tidak diketahui dalam eksponennya berbeda.

Persamaan jenis ini diselesaikan dengan menggunakan perubahan variabel. Sebelum memperkenalkan penggantinya, disarankan untuk menghilangkan suku bebas dalam eksponen. (, , dll)

Tonton VIDEO TUTORIAL untuk menyelesaikan persamaan jenis ini:

4. Persamaan homogen baik

Ciri khas persamaan homogen:

a) semua monomial mempunyai derajat yang sama,

b) suku bebasnya nol,

c) persamaan tersebut mengandung pangkat dengan dua basis yang berbeda.

Persamaan homogen diselesaikan menggunakan algoritma serupa.

Untuk menyelesaikan persamaan jenis ini, kita bagi kedua ruas persamaan tersebut dengan (bisa dibagi atau dengan)

Perhatian! Saat membagi ruas kanan dan kiri suatu persamaan dengan ekspresi yang mengandung persamaan yang tidak diketahui, Anda bisa kehilangan akar-akarnya. Oleh karena itu, perlu diperiksa apakah akar-akar persamaan yang kita gunakan untuk membagi kedua ruas persamaan merupakan akar-akar persamaan aslinya.

Dalam kasus kita, karena ekspresi tersebut bukanlah nol untuk nilai apa pun yang tidak diketahui, kita dapat membaginya tanpa rasa takut. Mari kita bagi ruas kiri persamaan dengan ekspresi ini suku demi suku. Kita mendapatkan: