Apa yang terjadi jika Anda mengkuadratkan akarnya? Sifat-sifat fungsi z=√y pada bidang bilangan real R

Saatnya untuk menyelesaikannya metode ekstraksi akar. Mereka didasarkan pada sifat-sifat akar, khususnya pada persamaan, yang berlaku untuk semua angka negatif B.

Di bawah ini kita akan melihat metode utama mengekstraksi akar satu per satu.

Mari kita mulai dengan kasus paling sederhana - mengekstrak akar dari bilangan asli menggunakan tabel kuadrat, tabel kubus, dll.

Jika tabel persegi, kubus, dll. Jika Anda tidak memilikinya, masuk akal untuk menggunakan metode mengekstraksi akar, yang melibatkan penguraian bilangan radikal menjadi faktor prima.

Perlu disebutkan secara khusus apa yang mungkin terjadi pada akar-akar dengan eksponen ganjil.

Terakhir, mari kita pertimbangkan metode yang memungkinkan kita menemukan digit nilai akar secara berurutan.

Mari kita mulai.

Menggunakan tabel persegi, tabel kubus, dll.

Dalam kasus paling sederhana, tabel kuadrat, kubus, dll. memungkinkan Anda mengekstrak akar. Apa saja tabel-tabel ini?

Tabel kuadrat bilangan bulat dari 0 hingga 99 inklusif (ditunjukkan di bawah) terdiri dari dua zona. Zona pertama tabel terletak pada latar belakang abu-abu; dengan memilih baris tertentu dan kolom tertentu, Anda dapat membuat angka dari 0 hingga 99. Misalnya kita pilih baris 8 puluhan dan kolom 3 satuan, dengan ini kita tetapkan angka 83. Zona kedua menempati sisa tabel. Setiap sel terletak di perpotongan baris tertentu dan kolom tertentu, dan berisi kuadrat angka yang sesuai dari 0 hingga 99. Di perpotongan baris 8 puluhan yang kita pilih dan kolom 3 satuan terdapat sel dengan angka 6.889, yang merupakan kuadrat dari angka 83.

Tabel kubus, tabel pangkat empat angka dari 0 sampai 99, dan seterusnya mirip dengan tabel kuadrat, hanya saja memuat kubus, pangkat empat, dst pada zona kedua. nomor yang sesuai.

Tabel kuadrat, kubus, pangkat empat, dll. memungkinkan Anda mengekstrak akar kuadrat, akar pangkat tiga, akar keempat, dll. sesuai dengan angka-angka dalam tabel ini. Mari kita jelaskan prinsip penggunaannya saat mengekstraksi akar.

Katakanlah kita perlu mengekstrak akar ke-n dari bilangan a, sedangkan bilangan a terdapat dalam tabel pangkat ke-n. Dengan menggunakan tabel ini kita menemukan bilangan b sedemikian rupa sehingga a=b n. Kemudian , oleh karena itu, bilangan b akan menjadi akar derajat ke-n yang diinginkan.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan cara menggunakan tabel pangkat tiga untuk mengekstrak akar pangkat tiga dari 19,683. Kita menemukan bilangan 19.683 pada tabel kubus, dari situ kita mengetahui bahwa bilangan tersebut adalah pangkat tiga dari bilangan 27, oleh karena itu, .

Jelas bahwa tabel pangkat ke-n sangat berguna untuk mengekstraksi akar. Namun, sering kali dokumen tersebut tidak tersedia dan memerlukan waktu untuk menyusunnya. Selain itu, seringkali perlu untuk mengekstrak akar dari angka-angka yang tidak terdapat dalam tabel terkait. Dalam kasus ini, Anda harus menggunakan metode ekstraksi akar lainnya.

Memfaktorkan suatu bilangan radikal menjadi faktor prima

Cara yang cukup mudah untuk mengekstrak akar suatu bilangan asli (jika, tentu saja, akarnya diekstraksi) adalah dengan menguraikan bilangan radikal menjadi faktor prima. Miliknya intinya adalah ini: setelah itu cukup mudah untuk merepresentasikannya sebagai pangkat dengan eksponen yang diinginkan, yang memungkinkan Anda memperoleh nilai root. Mari kita perjelas hal ini.

Misalkan akar ke-n dari bilangan asli a diambil dan nilainya sama dengan b. Dalam hal ini, persamaan a=b n benar. Nomor b seperti apa pun bilangan asli dapat direpresentasikan sebagai hasil kali semua faktor prima p 1 , p 2 , …, p m dalam bentuk p 1 · p 2 · … · p m , dan bilangan radikal a dalam hal ini direpresentasikan sebagai (p 1 · p 2 · … · sore) n. Karena penguraian suatu bilangan menjadi faktor prima bersifat unik, maka penguraian bilangan radikal a menjadi faktor prima akan berbentuk (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, yang memungkinkan untuk menghitung nilai akar sebagai .

Perhatikan bahwa jika penguraian menjadi faktor prima suatu bilangan radikal a tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, maka akar ke-n dari bilangan a tersebut tidak terekstraksi seluruhnya.

Mari kita cari tahu saat memecahkan contoh.

Contoh.

Ambil akar kuadrat dari 144.

Larutan.

Jika Anda melihat tabel kuadrat pada paragraf sebelumnya, Anda dapat melihat dengan jelas bahwa 144 = 12 2, yang menunjukkan bahwa akar kuadrat dari 144 sama dengan 12.

Namun mengingat hal ini, kami tertarik pada bagaimana akar diekstraksi dengan menguraikan bilangan radikal 144 menjadi faktor prima. Mari kita lihat solusi ini.

Mari kita terurai 144 ke faktor prima:

Artinya, 144=2·2·2·2·3·3. Berdasarkan penguraian yang dihasilkan, dapat dilakukan transformasi sebagai berikut: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Karena itu, .

Dengan menggunakan sifat-sifat derajat dan sifat-sifat akar, penyelesaiannya dapat dirumuskan sedikit berbeda: .

Menjawab:

Untuk mengkonsolidasikan materi, pertimbangkan solusi dari dua contoh lagi.

Contoh.

Hitung nilai akarnya.

Larutan.

Faktorisasi prima dari bilangan radikal 243 berbentuk 243=3 5 . Dengan demikian, .

Menjawab:

Contoh.

Apakah nilai root merupakan bilangan bulat?

Larutan.

Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita faktorkan bilangan radikal menjadi faktor prima dan lihat apakah bilangan tersebut dapat direpresentasikan sebagai pangkat tiga dari bilangan bulat.

Kita punya 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Perluasan yang dihasilkan tidak direpresentasikan sebagai kubus bilangan bulat, karena derajatnya faktor utama 7 bukan kelipatan tiga. Oleh karena itu, akar pangkat tiga dari 285.768 tidak dapat diekstraksi seluruhnya.

Menjawab:

TIDAK.

Mengekstraksi akar dari bilangan pecahan

Saatnya mencari cara untuk mengekstrak root bilangan pecahan. Biarkan bilangan radikal pecahan ditulis sebagai p/q. Berdasarkan sifat akar suatu hasil bagi, persamaan berikut ini benar. Dari sini kesetaraan muncul aturan untuk mengekstrak akar pecahan: Akar suatu pecahan sama dengan hasil bagi akar pembilangnya dibagi akar penyebutnya.

Mari kita lihat contoh mengekstraksi akar dari pecahan.

Contoh.

Apa akar kuadrat dari pecahan biasa 25/169 .

Larutan.

Dengan menggunakan tabel kuadrat, kita menemukan bahwa akar kuadrat dari pembilang pecahan asal adalah 5, dan akar kuadrat dari penyebutnya adalah 13. Kemudian . Ini menyelesaikan ekstraksi akar pecahan biasa 25/169.

Menjawab:

Akar pecahan desimal atau bilangan campuran diekstraksi setelah mengganti bilangan radikal dengan pecahan biasa.

Contoh.

Ambil akar pangkat tiga dari pecahan desimal 474.552.

Larutan.

Mari kita bayangkan aslinya desimal sebagai pecahan biasa: 474.552=474552/1000. Kemudian . Tetap mengekstrak akar pangkat tiga yang ada di pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan. Karena 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 dan 1 000 = 10 3, maka Dan . Yang tersisa hanyalah menyelesaikan perhitungan .

Menjawab:

.

Mengambil akar dari bilangan negatif

Penting untuk memikirkan mengekstraksi akar dari bilangan negatif. Saat mempelajari akar, kita mengatakan bahwa jika eksponen akar adalah bilangan ganjil, maka terdapat bilangan negatif di bawah tanda akar. Kami memberi arti berikut pada entri ini: untuk bilangan negatif −a dan eksponen ganjil dari akar 2 n−1, . Kesetaraan ini memberi aturan untuk mengekstrak akar ganjil dari bilangan negatif: untuk mengekstrak akar bilangan negatif, Anda perlu mengambil akar bilangan positif yang berlawanan, dan memberi tanda minus di depan hasilnya.

Mari kita lihat contoh solusinya.

Contoh.

Temukan nilai akarnya.

Larutan.

Mari kita ubah ekspresi aslinya sehingga muncul di bawah tanda akar nomor positif: . Sekarang nomor campuran gantikan dengan pecahan biasa: . Kami menerapkan aturan untuk mengekstraksi akar pecahan biasa: . Tetap menghitung akar-akar pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan: .

Berikut ringkasan singkat solusinya: .

Menjawab:

.

Penentuan nilai akar secara bitwise

DI DALAM kasus umum di bawah akar ada bilangan yang, dengan menggunakan teknik yang dibahas di atas, tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat ke-n dari bilangan apa pun. Namun dalam hal ini perlu diketahui arti dari suatu akar kata, paling tidak sampai tanda tertentu. Dalam hal ini, untuk mengekstrak root, Anda dapat menggunakan algoritme yang memungkinkan Anda memperoleh jumlah nilai digit yang cukup dari angka yang diinginkan secara berurutan.

Langkah pertama dari algoritma ini adalah mencari tahu bit paling signifikan dari nilai akar. Caranya, bilangan 0, 10, 100, ... dipangkatkan n secara berurutan hingga diperoleh suatu bilangan yang melebihi bilangan radikal. Maka angka yang kita pangkatkan n pada tahap sebelumnya akan menunjukkan angka paling signifikan yang sesuai.

Misalnya, pertimbangkan langkah algoritme ini saat mengekstraksi akar pangkat dua dari lima. Ambil angka 0, 10, 100, ... dan kuadratkan hingga diperoleh angka yang lebih besar dari 5. Kita punya 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, artinya angka yang paling berarti adalah angka satuan. Nilai bit ini, serta bit yang lebih rendah, akan ditemukan pada langkah selanjutnya dari algoritma ekstraksi akar.

Semua langkah algoritma selanjutnya ditujukan untuk memperjelas nilai akar secara berurutan dengan mencari nilai bit berikutnya dari nilai akar yang diinginkan, dimulai dari yang tertinggi dan berpindah ke yang terendah. Misalnya nilai akar pada langkah pertama ternyata 2, pada langkah kedua – 2.2, pada langkah ketiga – 2.23, dan seterusnya 2.236067977…. Mari kita jelaskan bagaimana nilai-nilai digit ditemukan.

Digit-digit tersebut ditemukan dengan mencari kemungkinan nilai 0, 1, 2, ..., 9. Dalam hal ini, pangkat ke-n dari bilangan-bilangan yang bersesuaian dihitung secara paralel, dan dibandingkan dengan bilangan radikal. Jika pada tahap tertentu nilai derajat melebihi bilangan radikal, maka nilai digit yang sesuai dengan nilai sebelumnya dianggap ditemukan, dan transisi ke langkah berikutnya dari algoritma ekstraksi akar dilakukan; jika hal ini tidak terjadi, maka nilai angka tersebut adalah 9.

Mari kita jelaskan poin-poin ini menggunakan contoh yang sama dalam mengekstraksi akar kuadrat dari lima.

Pertama kita cari nilai digit satuannya. Kita akan menelusuri nilai 0, 1, 2, ..., 9, masing-masing menghitung 0 2, 1 2, ..., 9 2 hingga kita mendapatkan nilai yang lebih besar dari bilangan radikal 5. Semua perhitungan ini akan lebih mudah disajikan dalam bentuk tabel:

Jadi nilai angka satuannya adalah 2 (karena 2 2<5 , а 2 3 >5 ). Mari kita lanjutkan mencari nilai tempat persepuluhan. Dalam hal ini, kita akan mengkuadratkan angka 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, membandingkan nilai yang dihasilkan dengan angka radikal 5:

Sejak 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, maka nilai tempat persepuluhannya adalah 2. Anda dapat melanjutkan untuk mencari nilai tempat perseratus:

Dengan demikian ditemukan nilai akar lima selanjutnya, yaitu sama dengan 2,23. Jadi Anda dapat terus menemukan nilai: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis ekstraksi akar dengan akurasi seperseratus menggunakan algoritma yang dipertimbangkan.

Pertama kita tentukan angka paling penting. Untuk melakukan ini, kita pangkatkan angka 0, 10, 100, dst. sampai kita mendapatkan angka yang lebih besar dari 2.151.186. Kita punya 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , jadi angka paling penting adalah angka puluhan.

Mari kita tentukan nilainya.

Sejak 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, maka nilai tempat puluhannya adalah 1. Mari beralih ke unit.

Jadi, nilai angka satuannya adalah 2. Mari kita beralih ke persepuluhan.

Karena genap 12,9 3 lebih kecil dari bilangan radikal 2 151.186, maka nilai persepuluhannya adalah 9. Tetap melakukan langkah terakhir dari algoritma; ini akan memberi kita nilai root dengan akurasi yang diperlukan.

Pada tahap ini, nilai akar ditemukan akurat hingga seperseratus: .

Sebagai penutup artikel ini, saya ingin mengatakan bahwa ada banyak cara lain untuk mengekstrak akar. Namun untuk sebagian besar tugas, tugas yang kami pelajari di atas sudah cukup.

Bibliografi.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8. lembaga pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Fakta 1.
\(\bullet\) Mari kita ambil bilangan non-negatif \(a\) (yaitu, \(a\geqslant 0\) ). Lalu (aritmatika) akar pangkat dua dari bilangan \(a\) disebut bilangan non-negatif \(b\) , jika dikuadratkan kita memperoleh bilangan \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(sama dengan )\quad a=b^2\] Dari definisi tersebut berikut ini \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Pembatasan ini merupakan syarat penting bagi keberadaan akar kuadrat dan harus diingat!
Ingatlah bahwa bilangan apa pun jika dikuadratkan memberikan hasil non-negatif. Yaitu, \(100^2=10000\geqslant 0\) dan \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) \(\sqrt(25)\) sama dengan apa? Kita tahu bahwa \(5^2=25\) dan \((-5)^2=25\) . Karena menurut definisi kita harus mencari bilangan non-negatif, maka \(-5\) tidak cocok, oleh karena itu, \(\sqrt(25)=5\) (karena \(25=5^2\) ).
Mencari nilai \(\sqrt a\) disebut mengambil akar kuadrat dari bilangan \(a\) , dan bilangan \(a\) disebut ekspresi radikal.
\(\bullet\) Berdasarkan definisi, ekspresi \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), dll. tidak masuk akal.

Fakta 2.
Untuk perhitungan cepat, akan berguna untuk mempelajari tabel kuadrat bilangan asli dari \(1\) hingga \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \kuad17^2=289\\ 8^2=64 & \kuad18^2=324\\ 9^2=81 & \kuad19^2=361\\ 10^2=100& \kuad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fakta 3.
Operasi apa yang dapat Anda lakukan dengan akar kuadrat?
\(\peluru\) Artinya, jumlah atau selisih akar kuadrat TIDAK SAMA dengan akar kuadrat dari jumlah atau selisihnya \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Jadi, jika Anda perlu menghitung, misalnya \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , maka awalnya Anda harus mencari nilai \(\sqrt(25)\) dan \(\ sqrt(49)\ ) lalu lipat. Karena itu, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Jika nilai \(\sqrt a\) atau \(\sqrt b\) tidak dapat ditemukan saat menambahkan \(\sqrt a+\sqrt b\), maka ekspresi seperti itu tidak diubah lebih lanjut dan tetap apa adanya. Misalnya, dalam penjumlahan \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) kita dapat menemukan \(\sqrt(49)\) adalah \(7\) , tetapi \(\sqrt 2\) tidak dapat diubah menjadi bagaimanapun juga, Itu sebabnya \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Sayangnya ungkapan ini tidak dapat disederhanakan lagi\(\bullet\) Hasil kali/hasil bagi akar kuadrat sama dengan akar kuadrat hasil kali/hasil bagi, yaitu \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \teks(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (asalkan kedua sisi persamaan tersebut masuk akal)
Contoh: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Dengan menggunakan properti ini, akan lebih mudah untuk mencari akar kuadrat dari bilangan besar dengan memfaktorkannya.
Mari kita lihat sebuah contoh. Mari kita temukan \(\sqrt(44100)\) . Karena \(44100:100=441\) , maka \(44100=100\cdot 441\) . Berdasarkan kriteria habis dibagi, bilangan \(441\) habis dibagi \(9\) (karena jumlah angka-angkanya adalah 9 dan habis dibagi 9), maka \(441:9=49\), yaitu, \(441=9\ cdot 49\) .
Jadi kami mendapatkan: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Mari kita lihat contoh lainnya: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Mari kita tunjukkan cara memasukkan angka di bawah tanda akar kuadrat menggunakan contoh ekspresi \(5\sqrt2\) (notasi singkat untuk ekspresi \(5\cdot \sqrt2\)). Karena \(5=\sqrt(25)\) , maka \ Perhatikan juga bahwa, misalnya,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Mengapa demikian? Mari kita jelaskan menggunakan contoh 1). Seperti yang sudah Anda pahami, kita tidak bisa mengubah bilangan \(\sqrt2\). Bayangkan \(\sqrt2\) adalah suatu bilangan \(a\) . Oleh karena itu, ekspresi \(\sqrt2+3\sqrt2\) tidak lebih dari \(a+3a\) (satu angka \(a\) ditambah tiga angka lagi yang sama \(a\)). Dan kita tahu bahwa ini sama dengan empat bilangan \(a\) , yaitu \(4\sqrt2\) .

Fakta 4.
\(\bullet\) Mereka sering mengatakan “Anda tidak dapat mengekstrak akarnya” ketika Anda tidak dapat menghilangkan tanda \(\sqrt () \ \) dari akar (radikal) saat mencari nilai suatu bilangan . Misalnya, Anda dapat mengambil akar bilangan \(16\) karena \(16=4^2\) , maka \(\sqrt(16)=4\) . Tetapi tidak mungkin mengekstrak akar bilangan \(3\), yaitu menemukan \(\sqrt3\), karena tidak ada bilangan yang akan dikuadratkan \(3\) .
Angka-angka seperti itu (atau ekspresi dengan angka-angka seperti itu) tidak rasional. Misalnya saja angka \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) dan seterusnya. tidak rasional.
Yang juga tidak rasional adalah bilangan \(\pi\) (bilangan “pi”, kira-kira sama dengan \(3.14\)), \(e\) (bilangan ini disebut bilangan Euler, kira-kira sama dengan \(2.7 \)) dll.
\(\bullet\) Perlu diketahui bahwa bilangan apa pun bisa bersifat rasional atau irasional. Dan bersama-sama semua bilangan rasional dan irasional membentuk suatu himpunan yang disebut sekumpulan bilangan real. Himpunan ini dilambangkan dengan huruf \(\mathbb(R)\) .
Artinya semua bilangan yang kita ketahui saat ini disebut bilangan real.

Fakta 5.
\(\bullet\) Modulus bilangan real \(a\) adalah bilangan non-negatif \(|a|\) yang sama dengan jarak dari titik \(a\) ke \(0\) di garis nyata. Misalnya, \(|3|\) dan \(|-3|\) sama dengan 3, karena jarak dari titik \(3\) dan \(-3\) ke \(0\) adalah sama dan sama dengan \(3 \) .
\(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan non-negatif, maka \(|a|=a\) .
Contoh: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka \(|a|=-a\) .
Contoh: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Mereka mengatakan bahwa untuk bilangan negatif modulusnya “memakan” minus, sedangkan bilangan positif, serta bilangan \(0\), tidak diubah oleh modulusnya.
TETAPI Aturan ini hanya berlaku untuk angka. Jika di bawah tanda modulus Anda ada yang tidak diketahui \(x\) (atau yang tidak diketahui lainnya), misalnya \(|x|\) , yang kita tidak tahu apakah itu positif, nol atau negatif, maka singkirkan dari modulus kita tidak bisa. Dalam hal ini, ungkapan ini tetap sama: \(|x|\) . \(\bullet\) Rumus berikut berlaku: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \teks( disediakan ) a\geqslant 0\] Sangat sering terjadi kesalahan berikut: mereka mengatakan bahwa \(\sqrt(a^2)\) dan \((\sqrt a)^2\) adalah satu dan sama. Hal ini hanya berlaku jika \(a\) adalah bilangan positif atau nol. Namun jika \(a\) adalah bilangan negatif, maka bilangan tersebut salah. Cukuplah untuk mempertimbangkan contoh ini. Mari kita ambil bilangan \(-1\) sebagai ganti \(a\). Kemudian \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , tetapi ekspresi \((\sqrt (-1))^2\) tidak ada sama sekali (lagipula, tidak mungkin menggunakan tanda akar untuk memasukkan angka negatif!).
Oleh karena itu, kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa \(\sqrt(a^2)\) tidak sama dengan \((\sqrt a)^2\) ! Contoh 1) \(\sqrt(\kiri(-\sqrt2\kanan)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), Karena \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Karena \(\sqrt(a^2)=|a|\) , maka \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (pernyataan \(2n\) menunjukkan bilangan genap)
Artinya, ketika mengambil akar suatu bilangan yang derajatnya sampai taraf tertentu, derajatnya dibelah dua.
Contoh:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (perhatikan jika modul tidak diberikan, ternyata akar bilangan tersebut sama dengan \(-25\ ) ; tapi kita ingat, bahwa menurut definisi akar hal ini tidak dapat terjadi: ketika mengekstrak akar, kita harus selalu mendapatkan bilangan positif atau nol)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (karena bilangan apa pun pangkat genap adalah non-negatif)

Fakta 6.
Bagaimana cara membandingkan dua akar kuadrat?
\(\bullet\) Untuk akar kuadrat benar: jika \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aContoh:
1) bandingkan \(\sqrt(50)\) dan \(6\sqrt2\) . Pertama, mari kita ubah ekspresi kedua menjadi \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Jadi, sejak \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Di antara bilangan bulat manakah \(\sqrt(50)\) berada?
Karena \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , dan \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Mari kita bandingkan \(\sqrt 2-1\) dan \(0.5\) . Mari kita asumsikan bahwa \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(selaras) &\sqrt 2-1>0,5 \ \besar| +1\quad \text((tambahkan satu ke kedua sisi))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((mengkuadratkan kedua sisi))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(sejajar)\] Kami melihat bahwa kami telah memperoleh pertidaksamaan yang salah. Oleh karena itu, asumsi kami salah dan \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Perhatikan bahwa menambahkan bilangan tertentu pada kedua ruas pertidaksamaan tidak mempengaruhi tandanya. Mengalikan/membagi kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan bilangan positif juga tidak mempengaruhi tandanya, tetapi mengalikan/membagi dengan bilangan negatif akan membalikkan tanda pertidaksamaan tersebut!
Anda dapat mengkuadratkan kedua ruas persamaan/pertidaksamaan HANYA JIKA kedua ruas tersebut non-negatif. Misalnya, pada pertidaksamaan pada contoh sebelumnya, Anda dapat mengkuadratkan kedua sisi, pada pertidaksamaan \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Perlu diingat hal itu \[\begin(selaras) &\sqrt 2\kira-kira 1,4\\ &\sqrt 3\kira-kira 1,7 \end(selaras)\] Mengetahui perkiraan arti angka-angka ini akan membantu Anda saat membandingkan angka! \(\bullet\) Untuk mengekstrak akar (jika dapat diekstraksi) dari suatu bilangan besar yang tidak ada dalam tabel kuadrat, pertama-tama Anda harus menentukan di antara “ratusan” yang mana, lalu – di antara “yang mana” puluhan”, lalu tentukan angka terakhir bilangan tersebut. Mari kita tunjukkan cara kerjanya dengan sebuah contoh.
Mari kita ambil \(\sqrt(28224)\) . Kita tahu bahwa \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), dll. Perhatikan bahwa \(28224\) berada di antara \(10\,000\) dan \(40\,000\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(100\) dan \(200\) .
Sekarang mari kita tentukan di antara “puluhan” mana bilangan kita berada (yaitu, misalnya, antara \(120\) dan \(130\)). Juga dari tabel kuadrat kita mengetahui bahwa \(11^2=121\) , \(12^2=144\) dst., lalu \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Jadi kita melihat bahwa \(28224\) berada di antara \(160^2\) dan \(170^2\) . Oleh karena itu, bilangan \(\sqrt(28224)\) berada di antara \(160\) dan \(170\) .
Mari kita coba menentukan digit terakhir. Mari kita ingat bilangan satu digit manakah yang jika dikuadratkan akan menghasilkan \(4\) di akhir? Ini adalah \(2^2\) dan \(8^2\) . Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)\) akan berakhiran 2 atau 8. Mari kita periksa. Mari kita cari \(162^2\) dan \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Oleh karena itu, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Untuk menyelesaikan Ujian Negara Bersatu dalam matematika secara memadai, Anda harus terlebih dahulu mempelajari materi teoretis, yang memperkenalkan Anda pada berbagai teorema, rumus, algoritme, dll. Pada pandangan pertama, tampaknya ini cukup sederhana. Namun, menemukan sumber yang menyajikan teori Ujian Negara Terpadu matematika dengan cara yang mudah dan dapat dipahami oleh siswa dengan tingkat pelatihan apa pun sebenarnya merupakan tugas yang agak sulit. Buku pelajaran sekolah tidak selalu bisa disimpan. Dan menemukan rumus dasar UN Unified State dalam matematika bisa jadi sulit bahkan di Internet.

Mengapa mempelajari teori matematika begitu penting tidak hanya bagi mereka yang mengikuti Ujian Negara Bersatu?

1. Karena itu memperluas wawasan Anda. Mempelajari materi teori matematika bermanfaat bagi siapa saja yang ingin mendapatkan jawaban atas berbagai pertanyaan yang berkaitan dengan pengetahuan tentang dunia sekitarnya. Segala sesuatu di alam ini teratur dan memiliki logika yang jelas. Inilah tepatnya yang tercermin dalam sains, yang melaluinya kita dapat memahami dunia.
2. Karena itu mengembangkan kecerdasan. Dengan mempelajari bahan referensi Ujian Negara Terpadu matematika, serta memecahkan berbagai masalah, seseorang belajar berpikir dan bernalar secara logis, merumuskan pikiran secara kompeten dan jelas. Ia mengembangkan kemampuan menganalisis, menggeneralisasi, dan menarik kesimpulan.

Kami mengundang Anda untuk mengevaluasi secara pribadi semua keuntungan dari pendekatan kami terhadap sistematisasi dan penyajian materi pendidikan.

Siswa selalu bertanya: “Mengapa saya tidak bisa menggunakan kalkulator dalam ujian matematika? Bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat suatu bilangan tanpa kalkulator? Mari kita coba menjawab pertanyaan ini.

Bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat suatu bilangan tanpa bantuan kalkulator?

Tindakan akar pangkat dua kebalikan dari aksi mengkuadratkan.

√81= 9 9 2 =81

Jika Anda mengambil akar kuadrat dari suatu bilangan positif dan mengkuadratkan hasilnya, Anda akan mendapatkan bilangan yang sama.

Dari bilangan-bilangan kecil yang merupakan kuadrat eksak dari bilangan asli, misalnya 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, akar kuadrat dapat diekstraksi secara lisan. Biasanya di sekolah mereka mengajarkan tabel kuadrat bilangan asli sampai dua puluh. Dengan mengetahui tabel ini, mudah untuk mengekstrak akar kuadrat dari angka 121.144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Dari angka yang lebih besar dari 400 Anda dapat mengekstraknya menggunakan metode seleksi dengan menggunakan beberapa tips. Mari kita coba melihat metode ini dengan sebuah contoh.

Contoh: Ekstrak akar angka 676.

Kita perhatikan bahwa 20 2 = 400, dan 30 2 = 900, yang berarti 20< √676 < 900.

Kuadrat eksak bilangan asli diakhiri dengan 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Angka 6 diberikan oleh 4 2 dan 6 2.
Artinya jika akarnya diambil dari 676, maka akarnya adalah 24 atau 26.

Masih harus diperiksa: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Menjawab: √676 = 26 .

Lagi contoh: √6889 .

Karena 80 2 = 6400, dan 90 2 = 8100, maka 80< √6889 < 90.
Angka 9 diberikan oleh 3 2 dan 7 2, maka √6889 sama dengan 83 atau 87.

Mari kita periksa: 83 2 = 6889.

Menjawab: √6889 = 83 .

Jika Anda kesulitan menyelesaikannya dengan metode seleksi, Anda dapat memfaktorkan ekspresi radikalnya.

Misalnya, temukan √893025.

Mari kita faktorkan angka 893025, ingat, Anda melakukannya di kelas enam.

Kita peroleh: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Lagi contoh: √20736. Mari kita faktorkan angka 20736:

Kita peroleh √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Tentu saja, faktorisasi memerlukan pengetahuan tentang tanda-tanda habis dibagi dan keterampilan faktorisasi.

Dan akhirnya, ada aturan untuk mengekstraksi akar kuadrat. Mari berkenalan dengan aturan ini dengan contoh.

Hitung √279841.

Untuk mengekstrak akar bilangan bulat multi-digit, kita membaginya dari kanan ke kiri menjadi sisi-sisi yang berisi 2 digit (tepi paling kiri mungkin berisi satu digit). Kami menulisnya seperti ini: 27'98'41

Untuk mendapatkan digit pertama dari akar (5), kita ambil akar kuadrat dari kuadrat sempurna terbesar yang terdapat pada sisi pertama di sebelah kiri (27).
Kemudian kuadrat angka pertama akar (25) dikurangkan dari muka pertama dan muka berikutnya (98) dijumlahkan (dikurangi).
Di sebelah kiri bilangan yang dihasilkan 298, tuliskan dua digit akar (10), bagi dengan bilangan puluhan bilangan yang diperoleh sebelumnya (29/2 ≈ 2), uji hasil bagi (102 ∙ 2 = 204 tidak boleh lebih dari 298) dan tulis (2) setelah digit pertama akar.
Kemudian hasil bagi 204 dikurangi dari 298 dan sisi berikutnya (41) ditambahkan ke selisihnya (94).
Di sebelah kiri bilangan yang dihasilkan 9441, tulis hasil kali ganda dari angka-angka akar (52 ∙2 = 104), bagi bilangan puluhan bilangan 9441 (944/104 ≈ 9) dengan hasil kali ini, ujilah hasil bagi (1049 ∙9 = 9441) haruslah 9441 dan tuliskan (9) setelah angka kedua dari akarnya.

Kami menerima jawaban √279841 = 529.

Ekstrak dengan cara yang sama akar pecahan desimal. Hanya bilangan radikal yang harus dibagi menjadi wajah-wajah sehingga koma berada di antara wajah-wajah tersebut.

Contoh. Carilah nilai √0.00956484.

Ingatlah bahwa jika pecahan desimal memiliki jumlah desimal ganjil, akar kuadrat tidak dapat diambil darinya.

Jadi sekarang Anda telah melihat tiga cara untuk mengekstrak root. Pilih salah satu yang paling cocok untuk Anda dan praktikkan. Untuk belajar memecahkan masalah, Anda perlu menyelesaikannya. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, daftarlah untuk mengikuti pelajaran saya.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Pada artikel ini kami akan memperkenalkan konsep akar suatu bilangan. Kita akan melanjutkan secara berurutan: kita akan mulai dengan akar kuadrat, dari sana kita akan melanjutkan ke deskripsi akar pangkat tiga, setelah itu kita akan menggeneralisasi konsep akar, mendefinisikan akar ke-n. Pada saat yang sama, kami akan memperkenalkan definisi, notasi, memberikan contoh akar dan memberikan penjelasan dan komentar yang diperlukan.

Akar kuadrat, akar kuadrat aritmatika

Untuk memahami definisi akar suatu bilangan, dan khususnya akar kuadrat, Anda perlu memiliki . Pada titik ini kita akan sering menjumpai pangkat kedua suatu bilangan – kuadrat suatu bilangan.

Mari kita mulai dengan definisi akar kuadrat.

Definisi

Akar kuadrat dari a adalah bilangan yang kuadratnya sama dengan a.

Untuk membawa contoh akar kuadrat, ambil beberapa bilangan, misalnya 5, −0.3, 0.3, 0, dan kuadratkan, kita peroleh masing-masing bilangan 25, 0.09, 0.09 dan 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 dan 0 2 =0·0=0 ). Maka, berdasarkan definisi yang diberikan di atas, angka 5 adalah akar kuadrat dari angka 25, angka −0,3 dan 0,3 adalah akar kuadrat dari 0,09, dan 0 adalah akar kuadrat dari nol.

Perlu dicatat bahwa tidak untuk bilangan a apa pun terdapat a yang kuadratnya sama dengan a. Yaitu, untuk sembarang bilangan negatif a, tidak ada bilangan real b yang kuadratnya sama dengan a. Faktanya, persamaan a=b 2 tidak mungkin untuk sembarang a negatif, karena b 2 adalah bilangan non-negatif untuk sembarang b. Dengan demikian, tidak ada akar kuadrat dari bilangan negatif pada himpunan bilangan real. Dengan kata lain, pada himpunan bilangan real, akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dan tidak mempunyai arti.

Hal ini menimbulkan pertanyaan logis: “Apakah ada akar kuadrat dari a untuk a yang tidak negatif”? Jawabannya iya. Fakta ini dapat dibenarkan dengan metode konstruktif yang digunakan untuk mencari nilai akar kuadrat.

Kemudian muncul pertanyaan logis berikutnya: “Berapa jumlah semua akar kuadrat dari suatu bilangan non-negatif a - satu, dua, tiga, atau bahkan lebih”? Inilah jawabannya: jika a adalah nol, maka satu-satunya akar kuadrat dari nol adalah nol; jika a suatu bilangan positif, maka banyaknya akar kuadrat dari bilangan a adalah dua, dan akar-akarnya adalah . Mari kita benarkan hal ini.

Mari kita mulai dengan kasus a=0 . Pertama, mari kita tunjukkan bahwa nol memang merupakan akar kuadrat dari nol. Ini mengikuti persamaan yang jelas 0 2 =0·0=0 dan definisi akar kuadrat.

Sekarang mari kita buktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol. Mari kita gunakan metode sebaliknya. Misalkan ada bilangan bukan nol b yang merupakan akar kuadrat dari nol. Maka kondisi b 2 =0 harus dipenuhi, yang tidak mungkin dilakukan, karena untuk sembarang b yang bukan nol, nilai ekspresi b 2 adalah positif. Kita telah sampai pada sebuah kontradiksi. Hal ini membuktikan bahwa 0 adalah satu-satunya akar kuadrat dari nol.

Mari kita beralih ke kasus di mana a adalah bilangan positif. Telah kita katakan di atas bahwa selalu ada akar kuadrat dari bilangan non-negatif apa pun, misalkan akar kuadrat dari a adalah bilangan b. Katakanlah ada bilangan c yang juga merupakan akar kuadrat dari a. Maka, menurut definisi akar kuadrat, persamaan b 2 =a dan c 2 =a adalah benar, sehingga b 2 −c 2 =a−a=0, tetapi karena b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , maka (b−c)·(b+c)=0 . Kesetaraan yang dihasilkan adalah valid sifat-sifat operasi dengan bilangan real hanya mungkin jika b−c=0 atau b+c=0 . Jadi, bilangan b dan c sama atau berlawanan.

Jika kita asumsikan ada bilangan d yang merupakan akar kuadrat lain dari bilangan a, maka dengan alasan yang sama dengan yang telah diberikan, dibuktikan bahwa d sama dengan bilangan b atau bilangan c. Jadi, banyaknya akar kuadrat suatu bilangan positif adalah dua, dan akar kuadratnya adalah bilangan yang berlawanan.

Untuk kenyamanan bekerja dengan akar kuadrat, akar negatif “dipisahkan” dari akar positif. Untuk tujuan ini, diperkenalkan definisi akar kuadrat aritmatika.

Definisi

Akar kuadrat aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan a.

Notasi akar kuadrat aritmatika dari a adalah . Tanda tersebut disebut tanda akar kuadrat aritmatika. Ini juga disebut tanda radikal. Oleh karena itu, terkadang Anda dapat mendengar “root” dan “radikal”, yang artinya objek yang sama.

Bilangan yang berada di bawah tanda akar kuadrat aritmatika disebut bilangan radikal, dan ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal, sedangkan istilah “bilangan radikal” sering diganti dengan “ekspresi radikal”. Misalnya pada notasi bilangan 151 merupakan bilangan radikal, dan pada notasi ekspresi a merupakan ekspresi radikal.

Saat membaca, kata "aritmatika" sering dihilangkan, misalnya entri dibaca "akar kuadrat dari tujuh koma dua puluh sembilan". Kata “aritmatika” hanya digunakan jika mereka ingin menekankan bahwa kita berbicara secara khusus tentang akar kuadrat positif suatu bilangan.

Mengingat notasi yang diperkenalkan, definisi akar kuadrat aritmatika dapat disimpulkan bahwa untuk sembarang bilangan non-negatif a .

Akar kuadrat dari bilangan positif a ditulis menggunakan tanda akar kuadrat aritmatika sebagai dan . Misalnya, akar kuadrat dari 13 adalah dan . Akar kuadrat aritmatika dari nol adalah nol, yaitu . Untuk bilangan negatif a, kita tidak akan memberi arti pada notasi tersebut sampai kita mempelajarinya bilangan kompleks. Misalnya ungkapan dan tidak ada artinya.

Berdasarkan pengertian akar kuadrat, dibuktikan sifat-sifat akar kuadrat yang sering digunakan dalam praktek.

Sebagai kesimpulan dari poin ini, kita perhatikan bahwa akar kuadrat dari bilangan a adalah solusi berbentuk x 2 =a terhadap variabel x.

Akar pangkat tiga suatu bilangan

Definisi akar pangkat tiga dari bilangan a diberikan serupa dengan definisi akar kuadrat. Hanya saja didasarkan pada konsep kubus suatu bilangan, bukan persegi.

Definisi

Akar pangkat tiga dari a adalah bilangan yang pangkat tiganya sama dengan a.

Mari kita memberi contoh akar pangkat tiga. Caranya, ambil beberapa bilangan, misalnya 7, 0, −2/3, dan pangkatkan bilangan tersebut: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Kemudian, berdasarkan definisi akar pangkat tiga, kita dapat mengatakan bahwa bilangan 7 adalah akar pangkat tiga dari 343, 0 adalah akar pangkat tiga dari nol, dan −2/3 adalah akar pangkat tiga dari −8/27.

Dapat ditunjukkan bahwa akar pangkat tiga suatu bilangan, tidak seperti akar kuadrat, selalu ada, tidak hanya untuk a non-negatif, tetapi juga untuk sembarang bilangan real a. Untuk melakukannya, Anda dapat menggunakan metode yang sama seperti yang kami sebutkan saat mempelajari akar kuadrat.

Selain itu, hanya ada satu akar pangkat tiga dari suatu bilangan a. Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Untuk melakukannya, perhatikan tiga kasus secara terpisah: a adalah bilangan positif, a=0, dan a adalah bilangan negatif.

Mudah untuk menunjukkan bahwa jika a positif, akar pangkat tiga dari a tidak boleh berupa bilangan negatif atau nol. Memang, misalkan b adalah akar pangkat tiga dari a, maka menurut definisi kita dapat menulis persamaan b 3 =a. Jelas bahwa persamaan ini tidak berlaku untuk b negatif dan b=0, karena dalam kasus ini b 3 =b·b·b masing-masing akan berupa bilangan negatif atau nol. Jadi akar pangkat tiga dari bilangan positif a adalah bilangan positif.

Sekarang misalkan selain bilangan b ada akar pangkat tiga lain dari bilangan a, dinotasikan dengan c. Maka c 3 =a. Oleh karena itu, b 3 −c 3 =a−a=0, tetapi b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(inilah rumus perkalian yang disingkat perbedaan kubus), maka (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Persamaan yang dihasilkan hanya mungkin jika b−c=0 atau b 2 +b·c+c 2 =0. Dari persamaan pertama kita mempunyai b=c, dan persamaan kedua tidak mempunyai penyelesaian, karena ruas kirinya adalah bilangan positif untuk sembarang bilangan positif b dan c yang merupakan jumlah dari tiga suku positif b 2, b·c dan c 2. Hal ini membuktikan keunikan akar pangkat tiga dari bilangan positif a.

Jika a=0, akar pangkat tiga dari bilangan a hanyalah bilangan nol. Memang, jika kita berasumsi bahwa ada bilangan b, yang merupakan akar pangkat tiga bukan nol dari nol, maka persamaan b 3 =0 harus berlaku, yang hanya mungkin terjadi jika b=0.

Untuk a negatif, argumen serupa dengan kasus a positif dapat diberikan. Pertama, kita tunjukkan bahwa akar pangkat tiga suatu bilangan negatif tidak bisa sama dengan bilangan positif atau nol. Kedua, kita berasumsi bahwa ada akar pangkat tiga kedua dari bilangan negatif dan menunjukkan bahwa bilangan tersebut pasti bertepatan dengan bilangan pertama.

Jadi, selalu ada akar pangkat tiga dari suatu bilangan real a, dan bilangan unik.

Mari kita memberi definisi akar pangkat tiga aritmatika.

Definisi

Akar pangkat tiga aritmatika dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang pangkat tiganya sama dengan a.

Akar pangkat tiga aritmatika suatu bilangan non-negatif a dilambangkan dengan , tandanya disebut tanda akar pangkat tiga aritmatika, bilangan 3 pada notasi ini disebut indeks akar. Bilangan di bawah tanda akar adalah bilangan radikal, ekspresi di bawah tanda akar adalah ekspresi radikal.

Meskipun akar pangkat tiga aritmatika hanya didefinisikan untuk bilangan non-negatif a, akan lebih mudah juga untuk menggunakan notasi yang bilangan negatifnya terdapat di bawah tanda akar pangkat tiga aritmatika. Kita akan memahaminya sebagai berikut: , dimana a adalah bilangan positif. Misalnya, .

Sifat-sifat akar pangkat tiga akan kita bahas pada artikel umum sifat-sifat akar.

Menghitung nilai akar pangkat tiga disebut mengekstraksi akar pangkat tiga; tindakan ini dibahas dalam artikel mengekstrak akar: metode, contoh, solusi.

Untuk menyimpulkan poin ini, misalkan akar pangkat tiga dari bilangan a adalah solusi berbentuk x 3 =a.

akar ke-n, akar aritmatika derajat n

Mari kita menggeneralisasi konsep akar suatu bilangan - kami perkenalkan definisi akar ke-n untuk n.

Definisi

akar ke-n dari a adalah bilangan yang pangkat ke-nnya sama dengan a.

Dari definisi tersebut jelas bahwa akar derajat pertama dari bilangan a adalah bilangan a itu sendiri, karena ketika mempelajari derajat dengan eksponen natural kita mengambil a 1 =a.

Di atas kita melihat kasus khusus dari akar ke-n untuk n=2 dan n=3 - akar kuadrat dan akar pangkat tiga. Artinya, akar kuadrat adalah akar derajat kedua, dan akar pangkat tiga adalah akar derajat ketiga. Untuk mempelajari akar-akar derajat ke-n untuk n=4, 5, 6, ..., akan lebih mudah untuk membaginya menjadi dua kelompok: kelompok pertama - akar-akar derajat genap (yaitu, untuk n = 4, 6, 8 , ...), kelompok kedua - akar derajat ganjil (yaitu, dengan n=5, 7, 9, ...). Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa akar pangkat genap mirip dengan akar kuadrat, dan akar pangkat ganjil mirip dengan akar pangkat tiga. Mari kita hadapi mereka satu per satu.

Mari kita mulai dengan akar-akar yang pangkatnya adalah bilangan genap 4, 6, 8, ... Seperti yang telah kami katakan, akar-akar tersebut mirip dengan akar kuadrat dari bilangan a. Artinya, akar dari setiap derajat genap dari bilangan a hanya ada untuk bilangan non-negatif a. Apalagi jika a=0, maka akar-akar a unik dan sama dengan nol, dan jika a>0, maka ada dua akar-akar bilangan a yang berpangkat genap, dan keduanya merupakan bilangan-bilangan yang berlawanan.

Mari kita buktikan pernyataan terakhir. Misalkan b adalah akar genap (kita menyatakannya sebagai 2·m, dimana m adalah suatu bilangan asli) dari bilangan a. Misalkan ada bilangan c - akar lain yang berderajat 2·m dari bilangan a. Maka b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Namun kita mengetahui bentuk b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), lalu (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Dari persamaan ini diperoleh b−c=0, atau b+c=0, atau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dua persamaan pertama berarti bilangan b dan c sama atau b dan c berlawanan. Dan persamaan terakhir hanya berlaku untuk b=c=0, karena di sisi kirinya terdapat ekspresi non-negatif untuk sembarang b dan c sebagai jumlah dari bilangan non-negatif.

Adapun akar-akar derajat ke-n untuk n ganjil mirip dengan akar pangkat tiga. Artinya, akar pangkat ganjil dari bilangan a ada untuk sembarang bilangan real a, dan untuk bilangan tertentu a bilangan tersebut unik.

Keunikan akar pangkat ganjil 2·m+1 bilangan a dibuktikan dengan analogi pembuktian keunikan akar pangkat tiga a. Hanya di sini, bukannya kesetaraan a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) persamaan bentuk b 2 m+1 −c 2 m+1 = digunakan (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Ekspresi dalam tanda kurung terakhir dapat ditulis ulang menjadi b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Misalnya, dengan m=2 kita punya b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Jika a dan b sama-sama positif atau keduanya negatif, hasil kali keduanya adalah bilangan positif, maka ekspresi b 2 +c 2 +b·c dalam tanda kurung tertinggi adalah positif sebagai jumlah dari bilangan-bilangan positif tersebut. Sekarang, secara berurutan beralih ke ekspresi dalam tanda kurung dari derajat penyatuan sebelumnya, kami yakin bahwa ekspresi tersebut sama positifnya dengan jumlah bilangan positif. Hasilnya, kita memperoleh persamaan b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 hanya mungkin jika b−c=0, yaitu bila bilangan b sama dengan bilangan c.

Saatnya memahami notasi akar ke-n. Untuk tujuan ini diberikan definisi akar aritmatika derajat ke-n.

Definisi

Akar aritmatika derajat ke-n suatu bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif yang pangkat ke-nnya sama dengan a.

Sebelum adanya kalkulator, siswa dan guru menghitung akar kuadrat dengan tangan. Ada beberapa cara untuk menghitung akar kuadrat suatu bilangan secara manual. Beberapa dari mereka hanya menawarkan solusi perkiraan, yang lain memberikan jawaban yang tepat.

Langkah

Faktorisasi prima

Faktorkan bilangan radikal menjadi faktor-faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Bergantung pada bilangan radikalnya, Anda akan mendapatkan jawaban perkiraan atau eksak. Bilangan kuadrat adalah bilangan yang dapat diambil seluruh akar kuadratnya. Faktor adalah bilangan yang bila dikalikan akan menghasilkan bilangan aslinya. Misalnya faktor bilangan 8 adalah 2 dan 4, karena 2 x 4 = 8, maka bilangan 25, 36, 49 adalah bilangan kuadrat, karena √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Faktor kuadrat adalah faktor yang merupakan bilangan kuadrat. Pertama, cobalah memfaktorkan bilangan radikal menjadi faktor kuadrat.

• Misalnya, hitung akar kuadrat dari 400 (dengan tangan). Pertama-tama cobalah memfaktorkan 400 menjadi faktor kuadrat. 400 adalah kelipatan 100, yaitu habis dibagi 25 - ini adalah bilangan kuadrat. Membagi 400 dengan 25 menghasilkan 16. Angka 16 juga merupakan bilangan kuadrat. Jadi, 400 dapat difaktorkan menjadi faktor kuadrat dari 25 dan 16, yaitu 25 x 16 = 400.
• Dapat ditulis sebagai berikut: √400 = √(25 x 16).

1. Akar kuadrat hasil kali beberapa suku sama dengan hasil kali akar kuadrat masing-masing suku, yaitu √(a x b) = √a x √b. Gunakan aturan ini untuk mengambil akar kuadrat dari setiap faktor kuadrat dan mengalikan hasilnya untuk menemukan jawabannya.

   • Dalam contoh kita, ambil akar dari 25 dan 16.
     • √(25x16)
     • √25x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jika bilangan radikal tidak difaktorkan menjadi dua faktor kuadrat (dan hal ini sering terjadi), Anda tidak akan dapat menemukan jawaban pastinya dalam bentuk bilangan bulat. Namun Anda dapat menyederhanakan soal dengan menguraikan bilangan radikal menjadi faktor kuadrat dan faktor biasa (bilangan yang tidak dapat diambil seluruh akar kuadratnya). Kemudian Anda akan mengambil akar kuadrat dari faktor kuadrat dan mengambil akar dari faktor persekutuannya.

   • Misalnya, hitung akar kuadrat dari angka 147. Angka 147 tidak dapat difaktorkan menjadi dua faktor kuadrat, tetapi dapat difaktorkan menjadi faktor berikut: 49 dan 3. Selesaikan soal sebagai berikut:
     • = √(49 x 3)
     • = √49x √3
     • = 7√3

3. Jika perlu, perkirakan nilai akarnya. Sekarang Anda dapat memperkirakan nilai akar (mencari nilai perkiraan) dengan membandingkannya dengan nilai akar-akar bilangan kuadrat yang paling dekat (di kedua sisi garis bilangan) dengan bilangan radikal. Anda akan menerima nilai akar sebagai pecahan desimal, yang harus dikalikan dengan angka di belakang tanda akar.

   • Mari kita kembali ke contoh kita. Bilangan radikalnya adalah 3. Bilangan kuadrat yang paling dekat dengannya adalah bilangan 1 (√1 = 1) dan 4 (√4 = 2). Jadi, nilai √3 terletak di antara 1 dan 2. Karena nilai √3 kemungkinan lebih dekat ke 2 daripada ke 1, perkiraan kita adalah: √3 = 1,7. Nilai ini kita kalikan dengan angka pada tanda akar: 7 x 1,7 = 11,9. Jika Anda menghitungnya dengan kalkulator, Anda akan mendapatkan 12,13, yang hampir sama dengan jawaban kami.
     • Cara ini juga bisa digunakan pada jumlah yang besar. Misalnya, pertimbangkan √35. Bilangan radikalnya adalah 35. Bilangan kuadrat terdekatnya adalah bilangan 25 (√25 = 5) dan 36 (√36 = 6). Jadi, nilai √35 terletak di antara 5 dan 6. Karena nilai √35 jauh lebih dekat ke 6 dibandingkan ke 5 (karena 35 hanya 1 kurang dari 36), kita dapat mengatakan bahwa √35 sedikit lebih kecil dari 6 Periksa kalkulator memberi kita jawaban 5,92 - kita benar.

4. Cara lainnya adalah dengan memfaktorkan bilangan radikal menjadi faktor prima. Faktor prima adalah bilangan yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Tuliskan faktor prima dalam suatu deret dan temukan pasangan faktor yang identik. Faktor-faktor tersebut dapat dikeluarkan dari tanda akarnya.

   • Misalnya, hitung akar kuadrat dari 45. Kita faktorkan bilangan radikal tersebut menjadi faktor prima: 45 = 9 x 5, dan 9 = 3 x 3. Jadi, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 dapat diambil sebagai tanda akar: √45 = 3√5. Sekarang kita dapat memperkirakan √5.
   • Mari kita lihat contoh lainnya: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Anda menerima tiga pengganda 2; ambil beberapa di antaranya dan pindahkan melampaui tanda akar.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Sekarang Anda dapat mengevaluasi √2 dan √11 dan menemukan perkiraan jawabannya.

   Menghitung akar kuadrat secara manual

   Menggunakan pembagian panjang

   1. Metode ini melibatkan proses yang mirip dengan pembagian panjang dan memberikan jawaban yang akurat. Pertama, gambarlah garis vertikal yang membagi lembaran menjadi dua bagian, lalu ke kanan dan sedikit di bawah tepi atas lembaran, gambarlah garis horizontal ke garis vertikal. Sekarang bagilah bilangan radikal menjadi pasangan-pasangan bilangan, dimulai dengan bagian pecahan setelah koma. Jadi angka 79520789182.47897 ditulis "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Misalnya, mari kita hitung akar kuadrat dari angka 780,14. Gambarlah dua garis (seperti yang ditunjukkan pada gambar) dan tuliskan angka yang diberikan dalam bentuk “7 80, 14” di kiri atas. Wajar jika digit pertama dari kiri merupakan digit tidak berpasangan. Anda akan menulis jawabannya (akar dari angka ini) di kanan atas.

   2. Untuk pasangan bilangan (atau bilangan tunggal) pertama dari kiri, carilah n bilangan bulat terbesar yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan pasangan bilangan (atau bilangan tunggal) yang dimaksud. Dengan kata lain, carilah bilangan kuadrat yang terdekat, namun lebih kecil dari, pasangan bilangan pertama (atau bilangan tunggal) dari kiri, dan ambil akar kuadrat dari bilangan kuadrat tersebut; Anda akan mendapatkan nomor n. Tulis n yang Anda temukan di kanan atas, dan tuliskan kuadrat n di kanan bawah.

      • Dalam kasus kita, angka pertama di sebelah kiri adalah 7. Selanjutnya, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Kurangi kuadrat bilangan n yang baru saja Anda temukan dari pasangan bilangan pertama (atau bilangan tunggal) di sebelah kiri. Tuliskan hasil perhitungannya di bawah tanda pengurang (kuadrat dari bilangan n).

      • Dalam contoh kita, kurangi 4 dari 7 dan dapatkan 3.

   4. Catat pasangan angka kedua dan tuliskan di sebelah nilai yang diperoleh pada langkah sebelumnya. Kemudian gandakan angka di kanan atas dan tuliskan hasilnya di kanan bawah dengan tambahan "_×_=".

      • Dalam contoh kita, pasangan angka kedua adalah "80". Tulis "80" setelah 3. Kemudian, gandakan angka di kanan atas menjadi 4. Tulis "4_×_=" di kanan bawah.

   5. Isilah bagian yang kosong di sebelah kanan.

      • Dalam kasus kita, jika kita menggunakan angka 8 sebagai pengganti tanda hubung, maka 48 x 8 = 384, yang berarti lebih dari 380. Oleh karena itu, 8 adalah angka yang terlalu besar, tetapi 7 sudah cukup. Tulis 7 sebagai pengganti tanda hubung dan dapatkan: 47 x 7 = 329. Tulis 7 di kanan atas - ini adalah digit kedua dari akar kuadrat yang diinginkan dari angka 780,14.

   6. Kurangi angka yang dihasilkan dari angka saat ini di sebelah kiri. Tuliskan hasil langkah sebelumnya di bawah angka saat ini di sebelah kiri, cari selisihnya dan tuliskan di bawah tanda pengurang.

      • Dalam contoh kita, kurangi 329 dari 380, sehingga hasilnya adalah 51.

   7. Ulangi langkah 4. Jika pasangan bilangan yang dipindahkan merupakan bagian pecahan dari bilangan aslinya, maka berilah tanda pemisah (koma) antara bagian bilangan bulat dan pecahan pada akar kuadrat yang diperlukan di kanan atas. Di sebelah kiri, turunkan pasangan angka berikutnya. Gandakan angka di kanan atas dan tulis hasilnya di kanan bawah dengan tambahan "_×_=".

      • Dalam contoh kita, pasangan angka berikutnya yang akan dihilangkan adalah bagian pecahan dari angka 780.14, jadi tempatkan pemisah bagian bilangan bulat dan pecahan pada akar kuadrat yang diinginkan di kanan atas. Catat 14 dan tulis di kiri bawah. Gandakan angka di kanan atas (27) adalah 54, jadi tulislah "54_×_=" di kanan bawah.

   8. Ulangi langkah 5 dan 6. Temukan angka terbesar di tempat tanda hubung di sebelah kanan (sebagai pengganti tanda hubung, Anda harus mengganti angka yang sama) sehingga hasil perkaliannya kurang dari atau sama dengan angka di sebelah kiri saat ini.

      • Dalam contoh kita, 549 x 9 = 4941, yang lebih kecil dari angka di sebelah kiri saat ini (5114). Tuliskan 9 di kanan atas dan kurangi hasil perkaliannya dengan angka di sebelah kiri saat ini: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jika Anda perlu mencari lebih banyak tempat desimal untuk akar kuadrat, tulis beberapa angka nol di sebelah kiri angka saat ini dan ulangi langkah 4, 5, dan 6. Ulangi langkah tersebut hingga Anda mendapatkan jawaban yang presisi (jumlah tempat desimal) Anda membutuhkan.

   Memahami Prosesnya

   Untuk menguasai metode ini, bayangkan bilangan yang akar kuadratnya perlu Anda cari sebagai luas persegi S. Dalam hal ini, Anda akan mencari panjang sisi L dari persegi tersebut. Kita hitung nilai L sehingga L² = S.

   Berikan huruf untuk setiap nomor pada jawaban. Mari kita nyatakan dengan A digit pertama dari nilai L (akar kuadrat yang diinginkan). B akan menjadi digit kedua, C akan menjadi digit ketiga, dan seterusnya.

   Tentukan huruf untuk setiap pasangan digit pertama. Mari kita nyatakan dengan S a pasangan digit pertama dari nilai S, dengan S b pasangan digit kedua, dan seterusnya.

   Pahami hubungan antara metode ini dan pembagian panjang. Sama seperti dalam pembagian, dimana kita hanya tertarik pada digit berikutnya dari angka yang kita bagi setiap kali, ketika menghitung akar kuadrat, kita mengerjakan sepasang digit secara berurutan (untuk mendapatkan satu digit berikutnya dalam nilai akar kuadrat) .

   1. Perhatikan pasangan digit pertama Sa dari bilangan S (Sa = 7 dalam contoh kita) dan temukan akar kuadratnya. Dalam hal ini, digit pertama A dari nilai akar kuadrat yang diinginkan adalah digit yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan S a (yaitu, kita mencari A sedemikian sehingga pertidaksamaan A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Katakanlah kita perlu membagi 88962 dengan 7; di sini langkah pertamanya akan serupa: kita perhatikan digit pertama dari bilangan habis dibagi 88962 (8) dan pilih bilangan terbesar yang jika dikalikan 7 akan menghasilkan nilai kurang dari atau sama dengan 8. Artinya, kita mencari bilangan d yang pertidaksamaannya benar: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Bayangkan secara mental sebuah persegi yang luasnya perlu Anda hitung. Carilah L yaitu panjang sisi persegi yang luasnya sama dengan S. A, B, C adalah bilangan-bilangan pada bilangan L. Anda dapat menuliskannya secara berbeda: 10A + B = L (untuk bilangan dua angka) atau 100A + 10B + C = L (untuk bilangan tiga angka) dan seterusnya.

      • Membiarkan (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Ingatlah bahwa 10A+B adalah bilangan yang angka B melambangkan satuan dan angka A melambangkan puluhan. Misalnya A=1 dan B=2, maka 10A+B sama dengan angka 12. (10A+B)² adalah luas seluruh persegi, 100A²- luas alun-alun dalam yang besar, B²- luas persegi kecil bagian dalam, 10A×B- luas masing-masing dua persegi panjang. Dengan menjumlahkan luas bangun-bangun yang dijelaskan, Anda akan menemukan luas persegi aslinya.