Catat a b 3 ke basis a. Sifat-sifat logaritma natural: grafik, basis, fungsi, limit, rumus dan domain definisi

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Logaritma bilangan positif b dengan basis a (a>0, a tidak sama dengan 1) adalah bilangan c sedemikian rupa sehingga a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Perhatikan bahwa logaritma bilangan non-positif tidak terdefinisi. Selain itu, basis logaritma harus berupa bilangan positif yang tidak sama dengan 1. Misalnya, jika kita mengkuadratkan -2, kita mendapatkan angka 4, tetapi ini tidak berarti logaritma ke basis -2 dari 4 sama dengan 2.

Identitas logaritma dasar

Penting agar cakupan definisi ruas kanan dan kiri rumus ini berbeda. Ruas kiri terdefinisi hanya untuk b>0, a>0 dan a ≠ 1. Ruas kanan terdefinisi untuk sembarang b, dan tidak bergantung pada a sama sekali. Dengan demikian, penerapan “identitas” logaritmik dasar saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dapat menyebabkan perubahan OD.

Dua konsekuensi nyata dari definisi logaritma

Memang, jika bilangan a dipangkatkan satu, kita mendapatkan bilangan yang sama, dan jika dipangkatkan nol, kita mendapat satu.

Logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memperingatkan anak-anak sekolah agar tidak menggunakan rumus-rumus ini secara sembarangan saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Saat menggunakannya “dari kiri ke kanan”, ODZ menyempit, dan saat berpindah dari jumlah atau selisih logaritma ke logaritma hasil kali atau hasil bagi, ODZ melebar.

Memang benar, ekspresi log a (f (x) g (x)) didefinisikan dalam dua kasus: ketika kedua fungsi benar-benar positif atau ketika f(x) dan g(x) keduanya kurang dari nol.

Mengubah ekspresi ini menjadi jumlah log a f (x) + log a g (x), kita terpaksa membatasi diri hanya pada kasus ketika f(x)>0 dan g(x)>0. Terdapat penyempitan kisaran nilai yang dapat diterima, dan hal ini sangat tidak dapat diterima, karena dapat mengakibatkan hilangnya solusi. Masalah serupa juga terjadi pada rumus (6).

Derajatnya bisa diambil dari tanda logaritma

Dan sekali lagi saya ingin meminta keakuratan. Perhatikan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ruas kiri persamaan jelas terdefinisi untuk semua nilai f(x) kecuali nol. Sisi kanan hanya untuk f(x)>0! Dengan mengeluarkan derajat dari logaritma, kita kembali mempersempit ODZ. Prosedur sebaliknya mengarah pada perluasan kisaran nilai yang dapat diterima. Semua pernyataan ini berlaku tidak hanya untuk pangkat 2, tetapi juga untuk pangkat genap apa pun.

Formula untuk pindah ke yayasan baru

Kasus yang jarang terjadi ketika ODZ tidak berubah selama transformasi. Jika Anda telah memilih basis c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), rumus pindah ke basis baru sepenuhnya aman.

Jika kita memilih bilangan b sebagai basis baru c, kita memperoleh kasus khusus yang penting dari rumus (8):

Log a b = 1 log ba (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Beberapa contoh sederhana dengan logaritma

Contoh 1. Hitung: log2 + log50.
Larutan. log2 + log50 = log100 = 2. Kami menggunakan rumus jumlah logaritma (5) dan definisi logaritma desimal.

Contoh 2. Hitung: lg125/lg5.
Larutan. log125/log5 = log 5 125 = 3. Kita menggunakan rumus untuk berpindah ke basis baru (8).

Tabel rumus yang berhubungan dengan logaritma

Ketika masyarakat berkembang dan produksi menjadi lebih kompleks, matematika juga berkembang. Gerakan dari yang sederhana ke yang kompleks. Dari akuntansi biasa yang menggunakan metode penjumlahan dan pengurangan, dengan pengulangan yang berulang-ulang, kita sampai pada konsep perkalian dan pembagian. Mengurangi operasi perkalian berulang menjadi konsep eksponensial. Tabel pertama ketergantungan bilangan pada basis dan bilangan eksponensial disusun pada abad ke-8 oleh ahli matematika India Varasena. Dari jumlah tersebut Anda dapat menghitung waktu terjadinya logaritma.

Sketsa sejarah

Kebangkitan Eropa pada abad ke-16 juga mendorong perkembangan mekanika. T memerlukan perhitungan dalam jumlah besar berkaitan dengan perkalian dan pembagian bilangan multidigit. Meja-meja kuno sangat bermanfaat. Mereka memungkinkan untuk mengganti operasi kompleks dengan operasi yang lebih sederhana - penjumlahan dan pengurangan. Sebuah langkah maju yang besar adalah karya ahli matematika Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, di mana ia mewujudkan gagasan banyak ahli matematika. Hal ini memungkinkan penggunaan tabel tidak hanya untuk pangkat dalam bentuk bilangan prima, tetapi juga untuk bilangan rasional sembarang.

Pada tahun 1614, orang Skotlandia John Napier, yang mengembangkan gagasan ini, pertama kali memperkenalkan istilah baru “logaritma bilangan”. Tabel kompleks baru disusun untuk menghitung logaritma sinus dan kosinus, serta garis singgung. Hal ini sangat mengurangi pekerjaan para astronom.

Tabel baru mulai bermunculan, yang berhasil digunakan oleh para ilmuwan selama tiga abad. Banyak waktu berlalu sebelum operasi baru dalam aljabar memperoleh bentuk akhirnya. Definisi logaritma diberikan dan sifat-sifatnya dipelajari.

Baru pada abad ke-20, dengan munculnya kalkulator dan komputer, umat manusia meninggalkan tabel kuno yang telah berhasil digunakan sepanjang abad ke-13.

Hari ini kita menyebut logaritma b dengan basis a sebagai bilangan x yang merupakan pangkat dari a untuk menghasilkan b. Ini ditulis sebagai rumus: x = log a(b).

Misalnya, log 3(9) akan sama dengan 2. Hal ini jelas jika Anda mengikuti definisinya. Jika kita menaikkan 3 menjadi 2, kita mendapatkan 9.

Jadi, definisi yang dirumuskan hanya menetapkan satu batasan: bilangan a dan b harus real.

Jenis logaritma

Definisi klasik disebut logaritma real dan sebenarnya merupakan solusi persamaan a x = b. Opsi a = 1 berada pada batas dan tidak menarik. Perhatian: 1 pangkat apa pun sama dengan 1.

Nilai riil logaritma didefinisikan hanya jika basis dan argumennya lebih besar dari 0, dan basisnya tidak boleh sama dengan 1.

Tempat khusus di bidang matematika mainkan logaritma, yang akan diberi nama tergantung pada ukuran basisnya:

Aturan dan batasan

Sifat dasar logaritma adalah aturannya: logaritma suatu produk sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).

Sebagai varian dari pernyataan ini akan ada: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), hasil bagi fungsi sama dengan selisih fungsi-fungsi tersebut.

Dari dua aturan sebelumnya mudah terlihat bahwa: log a(bp) = p * log a(b).

Properti lainnya termasuk:

Komentar. Tidak perlu membuat kesalahan umum - logaritma suatu jumlah tidak sama dengan jumlah logaritma.

Selama berabad-abad, pencarian logaritma merupakan tugas yang memakan waktu. Matematikawan menggunakan rumus terkenal dari teori logaritma ekspansi polinomial:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), dengan n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang menentukan keakuratan perhitungan.

Logaritma dengan basis lain dihitung menggunakan teorema transisi dari satu basis ke basis lainnya dan properti logaritma produk.

Karena metode ini sangat padat karya dan ketika memecahkan masalah praktis sulit untuk diterapkan, kami menggunakan tabel logaritma yang telah dikompilasi sebelumnya, yang secara signifikan mempercepat semua pekerjaan.

Dalam beberapa kasus, grafik logaritma yang disusun secara khusus digunakan, yang memberikan akurasi lebih rendah, namun secara signifikan mempercepat pencarian nilai yang diinginkan. Kurva fungsi y = log a(x), yang dibangun pada beberapa titik, memungkinkan Anda menggunakan penggaris biasa untuk mencari nilai fungsi di titik lainnya. Untuk waktu yang lama, para insinyur menggunakan apa yang disebut kertas grafik untuk tujuan ini.

Pada abad ke-17, kondisi komputasi analog tambahan pertama muncul, yang pada abad ke-19 memperoleh bentuk yang lengkap. Perangkat yang paling sukses disebut mistar hitung. Meskipun perangkatnya sederhana, penampilannya secara signifikan mempercepat proses semua perhitungan teknik, dan ini sulit untuk ditaksir terlalu tinggi. Saat ini, hanya sedikit orang yang mengenal perangkat ini.

Munculnya kalkulator dan komputer membuat penggunaan perangkat lain menjadi sia-sia.

Persamaan dan pertidaksamaan

Untuk menyelesaikan berbagai persamaan dan pertidaksamaan dengan menggunakan logaritma digunakan rumus sebagai berikut:

• Perpindahan dari satu basis ke basis lainnya: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Sebagai konsekuensi dari pilihan sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).

Untuk mengatasi kesenjangan, ada gunanya mengetahui:

• Nilai logaritma akan positif hanya jika basis dan argumennya lebih besar atau kurang dari satu; jika setidaknya satu kondisi dilanggar, nilai logaritma akan menjadi negatif.
• Jika fungsi logaritma diterapkan pada ruas kanan dan kiri suatu pertidaksamaan, dan basis logaritma lebih besar dari satu, maka tanda pertidaksamaan tersebut dipertahankan; jika tidak maka akan berubah.

Contoh masalah

Mari pertimbangkan beberapa opsi untuk menggunakan logaritma dan propertinya. Contoh penyelesaian persamaan:

Pertimbangkan opsi untuk menempatkan logaritma dalam pangkat:

• Soal 3. Hitung 25^log 5(3). Solusi: dalam kondisi soal, entrinya mirip dengan berikut (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tulis secara berbeda: 5^log 5(3*2), atau kuadrat suatu bilangan sebagai argumen fungsi dapat ditulis sebagai kuadrat dari fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan properti logaritma, ekspresi ini sama dengan 3^2. Jawab: dari hasil perhitungan didapat 9.

Penggunaan praktis

Sebagai alat matematika murni, tampaknya logaritma yang jauh dari kehidupan nyata tiba-tiba menjadi sangat penting untuk mendeskripsikan objek di dunia nyata. Sulit menemukan ilmu yang tidak digunakan. Hal ini sepenuhnya berlaku tidak hanya pada bidang ilmu alam, tetapi juga pada bidang ilmu kemanusiaan.

Ketergantungan logaritmik

Berikut adalah beberapa contoh ketergantungan numerik:

Mekanika dan fisika

Secara historis, mekanika dan fisika selalu berkembang dengan menggunakan metode penelitian matematika dan sekaligus menjadi pendorong bagi perkembangan matematika, termasuk logaritma. Teori sebagian besar hukum fisika ditulis dalam bahasa matematika. Mari kita berikan dua contoh penjelasan hukum fisika menggunakan logaritma.

Masalah menghitung besaran kompleks seperti kecepatan roket dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus Tsiolkovsky, yang meletakkan dasar bagi teori eksplorasi ruang angkasa:

V = I * ln (M1/M2), dimana

• V adalah kecepatan akhir pesawat.
• I – impuls spesifik mesin.
• M 1 – massa awal roket.
• M 2 – massa akhir.

Contoh penting lainnya- ini digunakan dalam rumus ilmuwan besar lainnya Max Planck, yang berfungsi untuk mengevaluasi keadaan setimbang dalam termodinamika.

S = k * ln (Ω), dimana

• S – properti termodinamika.
• k – Konstanta Boltzmann.
• Ω adalah bobot statistik dari berbagai negara bagian.

Kimia

Yang kurang jelas adalah penggunaan rumus kimia yang mengandung perbandingan logaritma. Mari kita berikan dua contoh saja:

• Persamaan Nernst, kondisi potensial redoks medium terhadap aktivitas zat dan konstanta kesetimbangan.
• Perhitungan konstanta seperti indeks autolisis dan keasaman larutan juga tidak dapat dilakukan tanpa fungsi kita.

Psikologi dan biologi

Dan sama sekali tidak jelas apa hubungannya psikologi dengan hal itu. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai rasio kebalikan dari nilai intensitas stimulus terhadap nilai intensitas yang lebih rendah.

Setelah contoh di atas, tidak mengherankan lagi jika topik logaritma banyak digunakan dalam biologi. Seluruh volume dapat ditulis tentang bentuk biologis yang berhubungan dengan spiral logaritmik.

Daerah lain

Tampaknya keberadaan dunia tidak mungkin terjadi tanpa kaitan dengan fungsi ini, dan ia mengatur semua hukum. Apalagi jika hukum alam dikaitkan dengan perkembangan geometri. Sebaiknya kunjungi situs web MatProfi, dan ada banyak contoh serupa di bidang aktivitas berikut:

Daftarnya tidak ada habisnya. Setelah menguasai prinsip dasar fungsi ini, Anda dapat terjun ke dunia kebijaksanaan tanpa batas.