Rumus tinggi badan yang ditarik dari sudut siku-siku. Segitiga siku-siku

Faktanya, semuanya tidak begitu menakutkan sama sekali. Tentu saja, definisi “sebenarnya” dari sinus, cosinus, tangen, dan kotangen harus dilihat di artikel. Tapi aku benar-benar tidak mau, kan? Kita bisa bersukacita: untuk menyelesaikan soal segitiga siku-siku, Anda cukup mengisi hal-hal sederhana berikut ini:

Bagaimana dengan sudutnya? Apakah ada kaki yang berhadapan dengan sudut, yaitu kaki yang berhadapan (untuk suatu sudut)? Tentu saja! Ini adalah kaki!

Bagaimana dengan sudutnya? Perhatikan baik-baik. Kaki manakah yang berdekatan dengan sudut? Tentu saja kakinya. Artinya untuk sudut tersebut kaki berdekatan, dan

Sekarang, perhatikan! Lihat apa yang kami dapatkan:

Lihat betapa kerennya:

Sekarang mari kita beralih ke garis singgung dan kotangen.

Bagaimana saya bisa menuliskannya dengan kata-kata sekarang? Apa hubungan kaki dengan sudut? Di seberangnya, tentu saja - "terletak" di seberang sudut. Bagaimana dengan kakinya? Berdekatan dengan sudut. Jadi apa yang kita punya?

Lihat bagaimana pembilang dan penyebutnya bertukar tempat?

Dan sekarang tikungan lagi dan melakukan pertukaran:

Ringkasan

Mari kita tuliskan secara singkat semua yang telah kita pelajari.

Teori Pitagoras:

Teorema utama tentang segitiga siku-siku adalah teorema Pythagoras.

teori Pitagoras

Ngomong-ngomong, apakah kamu ingat betul apa itu kaki dan sisi miring? Jika kurang bagus, lihat gambarnya - segarkan pengetahuan Anda

Mungkin saja Anda sudah sering menggunakan teorema Pythagoras, namun pernahkah Anda bertanya-tanya mengapa teorema seperti itu benar? Bagaimana saya bisa membuktikannya? Mari kita lakukan seperti orang Yunani kuno. Mari kita menggambar persegi dengan salah satu sisinya.

Lihat betapa cerdiknya kami membagi sisi-sisinya menjadi panjang dan!

Sekarang mari kita hubungkan titik-titik yang ditandai

Namun di sini kami mencatat hal lain, tetapi Anda sendiri melihat gambarnya dan memikirkan mengapa demikian.

Berapa luas persegi yang lebih besar?

Benar, .

Bagaimana dengan area yang lebih kecil?

Tentu, .

Total luas keempat penjuru tetap ada. Bayangkan kita mengambil keduanya sekaligus dan menyandarkannya satu sama lain dengan sisi miringnya.

Apa yang telah terjadi? Dua persegi panjang. Artinya luas “pemotongan” adalah sama.

Mari kita gabungkan semuanya sekarang.

Mari kita bertransformasi:

Jadi kami mengunjungi Pythagoras - kami membuktikan teoremanya dengan cara kuno.

Segitiga siku-siku dan trigonometri

Untuk segitiga siku-siku, hubungan berikut berlaku:

Sinus sudut lancip sama dengan perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring

Kosinus sudut lancip sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Garis singgung suatu sudut lancip sama dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.

Kotangen suatu sudut lancip sama dengan perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan.

Dan sekali lagi semua ini dalam bentuk tablet:

Sangat nyaman!

Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku

I. Di dua sisi

II. Dengan kaki dan sisi miring

AKU AKU AKU. Dengan sisi miring dan sudut lancip

IV. Sepanjang kaki dan sudut lancip

A)

B)

Perhatian! Sangat penting di sini bahwa kakinya “sesuai”. Misalnya saja seperti ini:

MAKA SEGITIGA TIDAK SAMA, meskipun faktanya mereka memiliki satu sudut lancip yang identik.

Perlu pada kedua segitiga kakinya bersebelahan, atau pada keduanya berseberangan.

Pernahkah Anda memperhatikan perbedaan tanda persamaan segitiga siku-siku dengan tanda persamaan segitiga pada umumnya?

Perhatikan topik “dan perhatikan fakta bahwa untuk persamaan segitiga “biasa”, tiga elemennya harus sama: dua sisi dan sudut di antara keduanya, dua sudut dan sisi di antara keduanya, atau tiga sisi.

Namun untuk persamaan segitiga siku-siku, cukup dua elemen yang bersesuaian saja. Hebat, bukan?

Keadaan yang kurang lebih sama terjadi pada tanda-tanda kesebangunan segitiga siku-siku.

Tanda-tanda kesebangunan segitiga siku-siku

I. Sepanjang sudut lancip

II. Di dua sisi

AKU AKU AKU. Dengan kaki dan sisi miring

Median pada segitiga siku-siku

Mengapa demikian?

Daripada menggunakan segitiga siku-siku, pertimbangkan persegi panjang utuh.

Mari kita menggambar sebuah diagonal dan perhatikan sebuah titik – titik potong diagonal-diagonalnya. Apa yang kamu ketahui tentang diagonal-diagonal persegi panjang?

Dan apa akibatnya?

Jadi ternyata begitu

1. - median:

Ingat fakta ini! Sangat membantu!

Yang lebih mengejutkan lagi adalah hal sebaliknya juga terjadi.

Apa gunanya jika median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring? Mari kita lihat gambarnya

Perhatikan baik-baik. Kita mempunyai: , yaitu jarak dari titik ke ketiga simpul segitiga ternyata sama. Tetapi hanya ada satu titik dalam segitiga yang jarak ketiga titik sudut segitiga tersebut sama, yaitu PUSAT LINGKARAN. Jadi apa yang terjadi?

Jadi mari kita mulai dengan ini “selain…”.

Mari kita lihat dan.

Tetapi segitiga-segitiga sebangun mempunyai semua sudut yang sama besar!

Hal yang sama dapat dikatakan tentang dan

Sekarang mari kita gambarkan bersama-sama:

Manfaat apa yang dapat diperoleh dari “kesamaan rangkap tiga” ini?

Misalnya - dua rumus tinggi segitiga siku-siku.

Mari kita tuliskan hubungan pihak-pihak yang bersesuaian:

Untuk mencari tingginya, kita selesaikan proporsinya dan dapatkan rumus pertama "Tinggi pada segitiga siku-siku":

Nah, sekarang, dengan menerapkan dan menggabungkan pengetahuan ini dengan pengetahuan lain, Anda akan menyelesaikan masalah apa pun dengan segitiga siku-siku!

Jadi, mari kita terapkan persamaannya: .

Apa yang akan terjadi sekarang?

Sekali lagi kita selesaikan proporsinya dan dapatkan rumus kedua:

Anda perlu mengingat kedua rumus ini dengan baik dan menggunakan salah satu yang lebih nyaman.

Mari kita tuliskan lagi

Teori Pitagoras:

Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya: .

Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku:

• di dua sisi:
• dengan kaki dan sisi miring: atau
• sepanjang kaki dan sudut lancip yang berdekatan: atau
• sepanjang kaki dan sudut lancip berlawanan: atau
• dengan sisi miring dan sudut lancip: atau.

Tanda-tanda kesebangunan segitiga siku-siku :

• satu sudut lancip: atau
• dari proporsionalitas dua kaki:
• dari proporsionalitas kaki dan sisi miring: atau.

Sinus, cosinus, tangen, kotangen pada segitiga siku-siku

• Sinus sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi berhadapan dengan sisi miring:
• Kosinus sudut lancip segitiga siku-siku adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring:
• Garis singgung sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan:
• Kotangen sudut lancip segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berhadapan: .

Tinggi segitiga siku-siku: atau.

Dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan setengah sisi miring: .

Luas segitiga siku-siku:

• melalui kaki:

Segitiga.

Konsep dasar.

Segi tiga adalah bangun datar yang terdiri dari tiga ruas dan tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus.

Segmen tersebut disebut Para Pihak, dan poinnya adalah puncak.

Jumlah sudut segitiga adalah 180º.

Tinggi segitiga.

Tinggi segitiga- ini adalah garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut ke sisi yang berlawanan.

Dalam segitiga lancip, tingginya terdapat di dalam segitiga (Gbr. 1).

Pada segitiga siku-siku, kaki-kakinya adalah tinggi segitiga (Gbr. 2).

Pada segitiga tumpul, tingginya berada di luar segitiga (Gbr. 3).

Sifat-sifat tinggi segitiga:

Garis bagi suatu segitiga.

Garis bagi suatu segitiga- ini adalah segmen yang membagi sudut titik sudut menjadi dua dan menghubungkan titik sudut tersebut ke titik di sisi yang berlawanan (Gbr. 5).

Sifat-sifat garis bagi:

Median suatu segitiga.

Median suatu segitiga- ini adalah ruas yang menghubungkan titik sudut dengan titik tengah sisi yang berhadapan (Gbr. 9a).

Panjang median dapat dihitung dengan menggunakan rumus: 2B 2 + 2C 2 - A 2 m a 2 = —————— 4 Di mana m a- median ditarik ke samping A. Pada segitiga siku-siku, median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring: C m c = — 2 Di mana m c- median ditarik ke sisi miring C(Gbr.9c) Median segitiga berpotongan di satu titik (di pusat massa segitiga) dan dibagi oleh titik tersebut dengan perbandingan 2:1, dihitung dari titik sudut. Artinya, ruas dari titik sudut ke pusat adalah dua kali lebih besar dari ruas dari pusat ke sisi segitiga (Gbr. 9c). Tiga median suatu segitiga membaginya menjadi enam segitiga sama besar.

Garis tengah segitiga.

Garis tengah segitiga- ini adalah segmen yang menghubungkan titik tengah kedua sisinya (Gbr. 10).

Garis tengah segitiga sejajar dengan sisi ketiga dan sama dengan setengahnya

Sudut luar suatu segitiga.

Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan (Gbr. 11).

Sudut luar suatu segitiga lebih besar dari sudut yang tidak berdekatan.

Segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sudut siku-siku (Gbr. 12).

Sisi segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring.

Dua sisi lainnya disebut kaki.

Segmen proporsional dalam segitiga siku-siku.

1) Pada segitiga siku-siku, ketinggian yang ditarik dari sudut siku-siku membentuk tiga segitiga sebangun: ABC, ACH, dan HCB (Gbr. 14a). Jadi, sudut-sudut yang dibentuk oleh ketinggian sama dengan sudut A dan B.

Gambar 14a

Segitiga sama kaki.

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang (Gbr. 13).

Sisi-sisi yang sejajar ini disebut sisi, dan yang ketiga - dasar segi tiga.

Pada segitiga sama kaki, sudut alasnya sama besar. (Dalam segitiga kita, sudut A sama dengan sudut C).

Pada segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alasnya adalah garis bagi dan tinggi segitiga.

Segitiga sama sisi.

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang semua sisinya sama panjang (Gbr. 14).

Sifat-sifat segitiga sama sisi:

Sifat-sifat segitiga yang luar biasa.

Segitiga memiliki sifat unik yang akan membantu Anda berhasil memecahkan masalah yang melibatkan bentuk-bentuk ini. Beberapa properti ini diuraikan di atas. Namun kami mengulanginya lagi, menambahkan beberapa fitur luar biasa lainnya:

1) Pada segitiga siku-siku dengan sudut kaki 90º, 30º dan 60º B, terletak berhadapan dengan sudut 30º, sama dengan setengah dari sisi miring. Sebuah kakiA lebih banyak kakiB√3 kali (Gbr. 15 A). Misalnya, jika kaki b adalah 5, maka sisi miringnya C tentu sama dengan 10, dan kaki A sama dengan 5√3. 2) Pada segitiga siku-siku sama kaki dengan sudut 90º, 45º dan 45º, sisi miringnya √2 kali lebih besar dari kaki (Gbr. 15 B). Misalnya, jika kakinya 5, maka sisi miringnya adalah 5√2. 3) Garis tengah segitiga sama dengan setengah sisi sejajarnya (Gbr. 15 Dengan). Misalnya, jika sisi suatu segitiga adalah 10, maka garis tengah yang sejajar dengannya adalah 5. 4) Dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengah sisi miring (Gbr. 9c): m c= s/2. 5) Median suatu segitiga yang berpotongan di satu titik, dibagi dengan titik tersebut dengan perbandingan 2:1. Artinya, ruas titik potong median ke titik potong median adalah dua kali lebih besar ruas titik potong median ke sisi segitiga (Gbr. 9c) 6) Pada segitiga siku-siku, titik tengah sisi miringnya adalah pusat lingkaran yang dibatasi (Gbr. 15 D).

Tanda-tanda persamaan segitiga.

Tanda pertama kesetaraan: jika dua sisi dan sudut antara kedua segitiga sama dengan dua sisi dan sudut antara kedua segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Tanda kesetaraan kedua: jika suatu sisi dan sudut-sudut yang berdekatan pada suatu segitiga sama dengan sisi dan sudut-sudut yang berdekatan pada segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Tanda kesetaraan yang ketiga: Jika tiga sisi suatu segitiga sama dengan tiga sisi segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Ketimpangan segitiga.

Dalam segitiga apa pun, masing-masing sisinya lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya.

Teori Pitagoras.

Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya:

C 2 = A 2 + B 2 .

Luas segitiga.

1) Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali sisinya dan tinggi yang ditarik ke sisi tersebut:

ah
S = ——
2

2) Luas segitiga sama dengan setengah hasil kali dua sisinya dan sinus sudut di antara keduanya:

1
S = — AB · AC · dosa A
2

Segitiga yang dibatasi pada lingkaran.

Suatu lingkaran disebut bertulisan dalam segitiga jika menyentuh semua sisinya (Gbr. 16 A).

Sebuah segitiga tertulis dalam lingkaran.

Suatu segitiga dikatakan berada dalam lingkaran jika semua titik sudutnya bersinggungan dengan segitiga tersebut (Gbr. 17 A).

Sinus, kosinus, tangen, kotangen sudut lancip segitiga siku-siku (Gbr. 18).

Sinus sudut lancip X di depan kaki ke sisi miring.
Dilambangkan sebagai berikut: dosaX.

Kosinus sudut lancip X segitiga siku-siku adalah perbandingannya bersebelahan kaki ke sisi miring.
Dilambangkan sebagai berikut: cos X.

Garis singgung sudut lancip X- ini adalah perbandingan sisi yang berlawanan dengan sisi yang berdekatan.
Ditetapkan sebagai berikut: tgX.

Kotangens sudut lancip X- ini adalah perbandingan sisi yang berdekatan dengan sisi yang berlawanan.
Ditunjuk sebagai berikut: ctgX.

Aturan:

Kaki berlawanan sudut X, sama dengan hasil kali sisi miring dan sin X:

b = c dosa X

Kaki berdekatan dengan sudut X, sama dengan hasil kali sisi miring dan cos X:

a = c karena X

Kaki berlawanan sudut X, sama dengan hasil kali leg kedua dengan tg X:

b = sebuah tg X

Kaki berdekatan dengan sudut X, sama dengan hasil kali leg kedua dengan ctg X:

a = b· ctg X.

Untuk sudut lancip apa pun X:

dosa (90° - X) = karena X

karena (90° - X) = dosa X

Segitiga siku-siku- ini adalah segitiga yang salah satu sudutnya lurus, yaitu sama dengan 90 derajat.

• Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring (pada gambar ditunjukkan sebagai C atau AB)
• Sisi yang berdekatan dengan sudut siku-siku disebut kaki. Setiap segitiga siku-siku memiliki dua kaki (pada gambar ditunjuk sebagai A dan b atau AC dan BC)

Rumus dan sifat segitiga siku-siku

Sebutan rumus:

(lihat gambar di atas)

a, b- kaki segitiga siku-siku

C- sisi miring

α, β - sudut lancip suatu segitiga

S- persegi

H- tinggi diturunkan dari titik sudut siku-siku ke sisi miring

m a A dari sudut seberang ( α )

m b- median ditarik ke samping B dari sudut seberang ( β )

m c- median ditarik ke samping C dari sudut seberang ( γ )

DI DALAM segitiga siku-siku salah satu kakinya lebih kecil dari sisi miring(Formula 1 dan 2). Properti ini merupakan konsekuensi dari teorema Pythagoras.

Kosinus salah satu sudut lancip kurang dari satu (Formula 3 dan 4). Properti ini mengikuti dari yang sebelumnya. Karena salah satu kakinya lebih kecil dari sisi miring, rasio kaki terhadap sisi miring selalu kurang dari satu.

Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya (teorema Pythagoras). (Rumus 5). Properti ini terus-menerus digunakan dalam memecahkan masalah.

Luas segitiga siku-siku sama dengan setengah hasil kali kaki (Rumus 6)

Jumlah median kuadrat ke kaki sama dengan lima kuadrat median sisi miring dan lima kuadrat sisi miring dibagi empat (Rumus 7). Selain yang di atas, ada 5 formula lagi Oleh karena itu, disarankan agar Anda juga membaca pelajaran “Median Segitiga Siku-siku” yang menjelaskan sifat-sifat median secara lebih rinci.

Tinggi segitiga siku-siku sama dengan hasil kali kaki-kaki dibagi sisi miring (Rumus 8)

Kuadrat kaki-kakinya berbanding terbalik dengan kuadrat tinggi yang diturunkan ke sisi miring (Rumus 9). Identitas ini juga merupakan salah satu konsekuensi dari teorema Pythagoras.

Panjang sisi miring sama dengan diameter (dua jari-jari) lingkaran yang dibatasi (Rumus 10). Sisi miring dari segitiga siku-siku adalah diameter lingkaran luar. Properti ini sering digunakan dalam pemecahan masalah.

Jari-jari tertulis V segitiga siku-siku lingkaran dapat ditemukan sebagai setengah dari ekspresi termasuk jumlah kaki segitiga ini dikurangi panjang sisi miringnya. Atau sebagai hasil kali kaki-kaki dibagi dengan jumlah semua sisi (keliling) suatu segitiga. (Rumus 11)
Sinus sudut kaitannya dengan sebaliknya sudut ini kaki ke sisi miring(menurut definisi sinus). (Rumus 12). Properti ini digunakan ketika memecahkan masalah. Dengan mengetahui ukuran sisi-sisinya, Anda dapat mengetahui sudut yang dibentuknya.

Kosinus sudut A (α, alpha) pada segitiga siku-siku akan sama dengan sikap bersebelahan sudut ini kaki ke sisi miring(menurut definisi sinus). (Rumus 13)

Properti: 1. Dalam segitiga siku-siku mana pun, ketinggian yang diambil dari sudut siku-siku (oleh sisi miring) membagi segitiga siku-siku menjadi tiga segitiga sebangun.

Properti: 2. Tinggi segitiga siku-siku, diturunkan ke sisi miring, sama dengan rata-rata geometri proyeksi kaki-kaki ke sisi miring (atau rata-rata geometrik segmen-segmen yang tingginya membagi sisi miring).

Properti: 3. Kaki sama dengan rata-rata geometri sisi miring dan proyeksi kaki ini ke sisi miring.

Properti: 4. Kaki yang berhadapan dengan sudut 30 derajat sama dengan setengah sisi miring.

Formula 1.

rumus 2., dimana sisi miringnya; , kaki.

Properti: 5. Dalam segitiga siku-siku, median yang ditarik ke sisi miring sama dengan setengahnya dan sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Sifat: 6. Hubungan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku:

44. Teorema kosinus. Akibat wajar: hubungan antara diagonal dan sisi jajar genjang; menentukan jenis segitiga; rumus menghitung panjang median suatu segitiga; Perhitungan kosinus sudut segitiga.

Akhir pekerjaan -

Topik ini termasuk dalam bagian:

Kelas. Program kolokium tentang planimetri dasar

Sifat-sifat sudut yang berdekatan.. Pengertian dua sudut bertetangga jika kedua sudut tersebut mempunyai satu sisi yang sama dan dua sisi lainnya membentuk garis lurus..

Jika Anda memerlukan materi tambahan tentang topik ini, atau Anda tidak menemukan apa yang Anda cari, kami sarankan untuk menggunakan pencarian di database karya kami:

Apa yang akan kami lakukan dengan materi yang diterima:

Jika materi ini bermanfaat bagi Anda, Anda dapat menyimpannya ke halaman Anda di jejaring sosial:

Saat memecahkan masalah geometri, ada gunanya mengikuti algoritma seperti itu. Sambil membaca kondisi permasalahan, hal itu perlu dilakukan

• Buatlah gambar. Gambar tersebut harus sedapat mungkin sesuai dengan kondisi masalah, sehingga tugas utamanya adalah membantu menemukan solusi
• Letakkan semua data dari rumusan masalah pada gambar
• Tuliskan semua konsep geometri yang muncul pada soal
• Ingat semua teorema yang berhubungan dengan konsep-konsep ini
• Gambarkan pada gambar tersebut semua hubungan antara unsur-unsur suatu bangun geometri yang mengikuti teorema-teorema ini

Misalnya, jika soal berisi kata-kata garis bagi suatu sudut segitiga, Anda perlu mengingat definisi dan sifat-sifat garis bagi dan menunjukkan segmen dan sudut yang sama atau sebanding dalam gambar.

Pada artikel ini Anda akan menemukan sifat-sifat dasar segitiga yang perlu Anda ketahui agar berhasil menyelesaikan masalah.

SEGI TIGA.

Luas segitiga.

1. ,

di sini - sisi sembarang segitiga, - tingginya diturunkan ke sisi ini.

2. ,

di sini dan adalah sisi-sisi sembarang segitiga, dan merupakan sudut antara sisi-sisi ini:

3. Rumus bangau:

Berikut adalah panjang sisi-sisi segitiga, adalah setengah keliling segitiga,

4. ,

di sini adalah setengah keliling segitiga, dan merupakan jari-jari lingkaran yang tertulis.

Misalkan adalah panjang ruas garis singgung.

Maka rumus Heron dapat dituliskan sebagai berikut:

6. ,

di sini - panjang sisi segitiga, - jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Jika suatu titik diambil pada sisi segitiga yang membagi sisi tersebut dengan perbandingan m:n, maka ruas yang menghubungkan titik tersebut dengan titik sudut yang berhadapan membagi segitiga tersebut menjadi dua segitiga yang luasnya perbandingannya M N:

Perbandingan luas segitiga-segitiga sebangun sama dengan kuadrat koefisien kesebangunan.

Median suatu segitiga

Ini adalah ruas yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan.

Median segitiga berpotongan di satu titik dan dibagi titik potong dengan perbandingan 2:1 dihitung dari titik sudut.

Titik potong median segitiga beraturan membagi median menjadi dua segmen, yang lebih kecil sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi, dan yang lebih besar sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Jari-jari lingkaran yang dibatasi adalah dua kali jari-jari lingkaran yang dibatasi: R=2r

Panjang rata-rata segitiga sewenang-wenang

,

di sini - median yang ditarik ke samping - panjang sisi-sisi segitiga.

Garis bagi suatu segitiga

Ini adalah garis bagi setiap sudut segitiga yang menghubungkan titik sudut tersebut dengan sisi dihadapannya.

Garis bagi suatu segitiga membagi suatu sisi menjadi beberapa bagian yang sebanding dengan sisi-sisi yang berdekatan:

Garis bagi suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang merupakan pusat lingkaran yang tertulis.

Semua titik pada garis bagi sudut mempunyai jarak yang sama terhadap sisi-sisi sudut.

Tinggi segitiga

Ini adalah segmen tegak lurus yang dijatuhkan dari titik sudut segitiga ke sisi yang berlawanan, atau kelanjutannya. Pada segitiga tumpul, tinggi yang ditarik dari titik sudut lancip terletak di luar segitiga.

Ketinggian suatu segitiga berpotongan di satu titik, yang disebut ortopusat segitiga.

Untuk mencari tinggi segitiga ditarik ke samping, Anda perlu mencari luasnya dengan cara apa pun yang tersedia, lalu menggunakan rumus:

Pusat lingkaran luar suatu segitiga, terletak pada titik potong garis-bagi tegak lurus yang ditarik ke sisi-sisi segitiga.

Jari-jari keliling suatu segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Berikut adalah panjang sisi-sisi segitiga, dan merupakan luas segitiga.

,

dimana adalah panjang sisi segitiga dan merupakan sudut dihadapannya. (Rumus ini mengikuti teorema sinus.)

Ketimpangan segitiga

Masing-masing sisi segitiga lebih kecil dari jumlah dan lebih besar dari selisih dua sisi lainnya.

Jumlah panjang dua sisi selalu lebih besar dari panjang sisi ketiga:

Di seberang sisi yang lebih besar terdapat sudut yang lebih besar; Berlawanan dengan sudut yang lebih besar terletak sisi yang lebih besar:

Jika , maka sebaliknya.

Teorema sinus:

Sisi-sisi suatu segitiga sebanding dengan sinus sudut-sudut yang berhadapan:

Teorema kosinus:

Kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya tanpa dua kali hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut di antara keduanya:

Segitiga siku-siku

- Ini adalah segitiga yang salah satu sudutnya 90°.

Jumlah sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah 90°.

Sisi miring adalah sisi yang berhadapan dengan sudut 90°. Sisi miring adalah sisi terpanjang.

Teori Pitagoras:

kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya:

Jari-jari lingkaran pada segitiga siku-siku adalah sama dengan

,

berikut jari-jari lingkaran yang tertulis, - kaki, - sisi miring:

Pusat lingkaran luar segitiga siku-siku terletak di tengah sisi miring:

Median segitiga siku-siku ditarik ke sisi miring, sama dengan setengah sisi miring.

Pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen segitiga siku-siku Lihat

Perbandingan unsur-unsur pada segitiga siku-siku:

Kuadrat tinggi segitiga siku-siku yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan hasil kali proyeksi kaki-kaki ke sisi miring:

Kuadrat kaki sama dengan hasil kali sisi miring dan proyeksi kaki ke sisi miring:

Kaki tergeletak di seberang sudut sama dengan setengah sisi miring:

Segitiga sama kaki.

Garis bagi segitiga sama kaki yang ditarik ke alasnya adalah median dan tinggi.

Pada segitiga sama kaki, sudut alasnya sama besar.

Sudut puncak.

Dan - sisi,

Dan - sudut di pangkalan.

Tinggi, garis bagi dan median.

Perhatian! Tinggi, garis bagi, dan median yang ditarik ke samping tidak sama.

Segitiga beraturan

(atau segitiga sama sisi ) adalah segitiga yang semua sisi dan sudutnya sama besar.

Luas segitiga beraturan sama dengan

dimana adalah panjang sisi segitiga.

Pusat lingkaran terdapat pada segitiga beraturan, bertepatan dengan pusat lingkaran yang dibatasi pada segitiga beraturan dan terletak pada titik potong median.

Titik potong median segitiga beraturan membagi median menjadi dua segmen, yang lebih kecil sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi, dan yang lebih besar sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi.

Jika salah satu sudut suatu segitiga sama kaki adalah 60°, maka segitiga tersebut beraturan.

Garis tengah segitiga

Ini adalah segmen yang menghubungkan titik tengah dua sisi.

Pada gambar DE merupakan garis tengah segitiga ABC.

Garis tengah segitiga sejajar dengan sisi ketiga dan sama dengan setengahnya: DE||AC, AC=2DE

Sudut luar suatu segitiga

Ini adalah sudut yang berdekatan dengan sudut mana pun dalam segitiga.

Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut yang tidak berdekatan.

Fungsi trigonometri sudut luar:

Tanda-tanda persamaan segitiga:

1 . Jika dua sisi dan sudut antara kedua segitiga sama dengan dua sisi dan sudut antara kedua segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

2 . Jika salah satu sisi dan dua sudut yang berdekatan pada suatu segitiga sama besar dengan salah satu sisi dan dua sudut yang berdekatan pada segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

3 Jika tiga sisi suatu segitiga masing-masing sama dengan tiga sisi segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Penting: karena dalam segitiga siku-siku dua sudut jelas sama besar, maka untuk persamaan dua segitiga siku-siku persamaan hanya dua elemen yang diperlukan: dua sisi, atau satu sisi dan sudut lancip.

Tanda-tanda kesebangunan segitiga :

1 . Jika dua sisi suatu segitiga sebanding dengan dua sisi segitiga lainnya, dan sudut antara sisi-sisi tersebut sama besar, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.

2 . Jika tiga sisi suatu segitiga sebanding dengan tiga sisi segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun.

3 . Jika dua sudut suatu segitiga sama dengan dua sudut segitiga lain, maka kedua segitiga tersebut sebangun.

Penting: Pada segitiga sebangun, sisi-sisi yang sebangun terletak berhadapan pada sudut yang sama besar.

Teorema Menelaus

Misalkan sebuah garis memotong sebuah segitiga, dan merupakan titik potongnya dengan sisi , adalah titik potongnya dengan sisi , dan merupakan titik potongnya dengan kelanjutan sisi . Kemudian