Artikel obskurantisme baru dan pencerahan Rusia. Vladimir Arnold

“SEKOLAH ADALAH UJIAN APAKAH ORANG TUA BISA MELINDUNGI ANAKNYA ATAU TIDAK” Bayangkan Anda, seorang dewasa, menjalani kehidupan seperti itu. Anda bangun sebelum fajar dan berangkat kerja yang tidak Anda sukai sama sekali. Dalam pekerjaan ini, Anda menghabiskan enam atau tujuh jam untuk melakukan sesuatu yang biasanya tidak Anda sukai dan tidak Anda anggap ada gunanya. Anda sama sekali tidak memiliki kesempatan untuk mengabdikan diri pada pekerjaan yang Anda minati, yang Anda sukai. Beberapa kali sehari, atasan Anda (dan ada banyak di antaranya) mengevaluasi pekerjaan Anda, dan khususnya - dengan poin berdasarkan sistem lima poin. Saya ulangi: beberapa kali sehari. Anda memiliki buku tertentu yang mencatat poin-poin yang diterima dan komentar-komentarnya. Bos mana pun dapat menegur Anda jika dia menyadari bahwa Anda tidak berperilaku sesuai keinginannya, bos. Katakanlah Anda berjalan terlalu cepat di koridor. Atau terlalu lambat. Atau berbicara terlalu keras. Bos mana pun, pada prinsipnya, dapat dengan mudah menghina Anda atau bahkan memukul tangan Anda dengan penggaris. Mengeluh tentang atasan Anda secara teori mungkin dilakukan, tetapi dalam praktiknya ini adalah prosedur yang sangat panjang, hanya sedikit orang yang terlibat di dalamnya: lebih mudah untuk menahannya. Akhirnya anda pulang ke rumah, namun disini pun anda tidak mempunyai kesempatan untuk diganggu, karena di rumah anda wajib melakukan sesuatu yang perlu, melakukan sesuatu yang tidak anda sukai. Bos bisa menelepon anak Anda kapan saja dan menceritakan segala macam hal buruk tentang Anda sehingga generasi muda dapat memengaruhi Anda. Dan di malam hari, anak tersebut akan memarahi Anda karena berjalan terlalu cepat di sepanjang koridor layanan atau mendapatkan sedikit poin. Atau dia mungkin melarang Anda minum segelas cognac setiap malam - Anda tidak pantas mendapatkannya. Empat kali setahun Anda diberikan nilai akhir atas pekerjaan Anda. Kemudian ujian dimulai. Dan kemudian - ujian yang paling mengerikan, sangat tidak dapat dipahami dan sulit sehingga Anda harus mempersiapkannya selama beberapa tahun. Apakah aku terlalu melebih-lebihkan kehidupan sekolah? Dan berapa lama waktu yang Anda butuhkan, sebagai orang dewasa, untuk menjadi gila karena kehidupan seperti itu? Dan anak-anak kita hidup seperti ini selama sebelas tahun! Dan tidak ada. Dan - sepertinya memang begitulah seharusnya. Anak-anak dengan cepat memahami bahwa sekolah adalah dunia yang harus diperjuangkan: kebanyakan orang tidak bisa hidup di sekolah. Dan kemudian anak itu mulai berpikir: di pihak siapa orang tua berada? Apakah dia untuknya atau untuk gurunya? Apakah ibu dan ayah juga berpikir bahwa kamu harus dengan senang hati melakukan apa yang tidak kamu sukai? Apakah ibu dan ayah juga yakin bahwa guru selalu benar dan anak selalu bersalah? Dalam hubungan kita dengan anak, sekolah adalah ujian apakah orang tua bisa melindungi anaknya atau tidak. Ya, saya sangat yakin: melindungi anak adalah tugas utama orang tua. Melindungi, bukan mendidik. Melindungi, bukan memaksa, mengerjakan pekerjaan rumah. Lindungi, dan jangan terus menerus memarahi dan mencela, karena jika mau, selalu ada yang bisa dimarahi dan dikritik oleh anak Anda. Ada banyak omong kosong dan omong kosong yang terjadi di sekolah. Sangat menyedihkan bila orang tua sepertinya tidak melihat hal ini. Sungguh mengerikan ketika seorang siswa mengetahui bahwa dia akan dimarahi dan dipermalukan di sekolah, dan kemudian hal yang sama akan berlanjut di rumah. Lalu di mana jalan keluarnya? Sekolah merupakan ujian berat yang harus dilalui bersama oleh orang tua dan anak. Bersama. Seorang anak sekolah harus mengerti: dia memiliki rumah di mana dia akan selalu dimengerti dan tidak akan tersinggung. Tugas utama orang tua bukanlah menjadikan anak menjadi siswa yang unggul, tetapi memastikan bahwa ia menemukan panggilannya dan menerima sebanyak mungkin pengetahuan yang diperlukan untuk memenuhi panggilan tersebut. Inilah yang harus kita fokuskan. Bodoh sekali jika memberi tahu seorang anak yang bercita-cita menjadi seniman bahwa ia membutuhkan aljabar. Itu tidak benar. Juga tidak benar bahwa seorang anak laki-laki bisa tumbuh menjadi ahli matematika jika anak laki-laki tersebut tidak mengetahui pada usia berapa Natasha Rostova pergi ke pesta dansa. Namun kenyataannya dalam matematika dan sastra Anda harus memiliki setidaknya nilai C untuk bisa pindah ke kelas lain. Anda tidak boleh memarahi anak yang “kemanusiaan” karena nilai matematikanya yang turun dari D ke C. Seseorang harus merasa kasihan padanya - lagipula, dia terpaksa melakukan sesuatu yang tidak menarik atau tidak perlu baginya. Dan bantulah semaksimal mungkin. Jika seorang anak tidak memiliki hubungan yang baik dengan gurunya karena, katakanlah, gurunya adalah orang yang tidak cerdas, Anda perlu membicarakan hal ini dengannya. Dan jelaskan bahwa dalam hidup Anda sering kali harus menjalin hubungan dengan orang bodoh. Anda memiliki kesempatan untuk mempelajari ini. Mengapa tidak memanfaatkan hal ini? Jika seorang anak mendapat nilai buruk karena pekerjaan rumahnya yang belum selesai, itu buruk. Dia mendapat nilai buruk bukan karena kurangnya pemahaman, tapi karena kemalasan. Saya bisa saja tidak menerimanya, namun saya menerimanya. Ini layak untuk dibicarakan. Jika anak terus menerus ditegur karena berperilaku buruk di kelas, sebaiknya jangan terus menerus memberitahunya bahwa belajar itu sangat penting. Jika seorang anak bosan di kelas, berarti mereka tidak bisa mengajarinya apa pun. Namun, kami dapat mengklarifikasi: meskipun Anda harus mencoba melakukan hanya apa yang menarik dalam hidup, sayangnya, terkadang Anda harus melakukan hal-hal yang membosankan. Belajar - Anda tidak dapat hidup tanpa keterampilan ini. Memang benar memarahi seorang anak karena tidak mempelajari mata pelajaran yang berguna baginya dalam kehidupan. Orang kecil harus mengerti: jika Anda telah memilih sebuah panggilan, Anda harus melakukan segalanya untuk memenuhinya. Mengapa kamu tidak melakukannya? Singkatnya: jangan berbohong kepada anak Anda. Kita harus mencoba yang terbaik untuk membantunya menemukan makna bahkan dalam situasi sekolah ketika makna ini sama sekali tidak jelas. Andrey Maksimov (dari buku “Bagaimana tidak menjadi musuh anak Anda”).

Vladimir Igorevich Arnold, ahli matematika dan pejuang

Sumber informasi - http://pedsovet.org/forum/index.php?autocom=blog&blogid=74&showentry=6105, http://www.svobodanews.ru/content/article/2061358.html(Diterbitkan 03/06/2010 20:23).

Alexandra Egorova

Pada tanggal 3 Juni, ahli matematika Rusia terkemuka Vladimir Arnold meninggal dunia. Dalam beberapa hari dia akan berusia 73 tahun. Teman dan kolega - akademisi Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia Yuri Ryzhov dan Viktor Maslov - mengingatnya.

Vladimir Igorevich Arnold lahir pada 12 Juni 1937 di Odessa. Ia lulus dari Fakultas Mekanika dan Matematika Universitas Negeri Moskow, tempat ia belajar dengan ahli matematika Soviet terkenal Andrei Kolmogorov. Pada usia dua puluh, ia memecahkan masalah Hilbert yang ketiga belas, membuktikan bahwa setiap fungsi kontinu dari beberapa variabel dapat direpresentasikan sebagai kombinasi dari sejumlah fungsi dua variabel yang terbatas. Selanjutnya, Vladimir Arnold menerbitkan banyak makalah ilmiah, di mana ia memberikan perhatian khusus pada pendekatan geometris dalam matematika. Dia bekerja di Institut Matematika Moskow. V.A.Steklov dan di Universitas Paris-Dauphine.

Vladimir Arnold adalah seorang akademisi dari Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia, anggota asing dari Akademi Ilmu Pengetahuan Nasional AS, Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis, Royal and Mathematical Society of London, dan seorang doktor kehormatan dari Universitas Pierre dan Marie Curie. Pemenang banyak penghargaan, termasuk Hadiah Lenin, Hadiah Lobachevsky dari Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia, Hadiah Crafoord dari Akademi Ilmu Pengetahuan Kerajaan Swedia, Hadiah Harvey, Hadiah Wolf, dan Hadiah Danny Heinemann di bidang fisika matematika . Dia dianugerahi Order of Merit for the Fatherland, gelar IV, dan Hadiah Negara Rusia atas kontribusinya yang luar biasa terhadap perkembangan matematika.

Dalam beberapa tahun terakhir, Vladimir Igorevich Arnold sering mengunjungi Paris - dia mengajar dan berobat, karena dia sakit parah. Dia meninggal pada 3 Juni di Paris. Kerabat Vladimir Arnold menceritakan hal ini kepada koresponden Radio Liberty.

Akademisi Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia Yuri Ryzhov menyebut Vladimir Arnold sebagai “pejuang pendidikan matematika”.

Kami belajar di sekolah yang sama - sekolah Moskow No. 59,” kenang akademisi Yuri Ryzhov. - Sekolah ini bisa disebut “lubang putih”: Saya duduk di meja yang sama dengan ahli matematika terkenal lainnya, akademisi Viktor Maslov. Vladimir Arnold lulus 6-7 tahun lebih lambat dari kami. Beberapa akademisi Akademi Rusia, anggota koresponden, lulus dari sekolah yang sama... Karakter Vladimir Igorevich Arnold adalah karakter pejuang kebenaran, sains, dan pendidikan. Rupanya, pada suatu waktu, ia bahkan tidak terlalu nyaman di kalangan akademis, karena sebagai anggota Akademi Soviet, ia pertama kali menjadi akademisi Akademi Prancis dan baru kemudian terpilih sebagai akademisi RSFSR.

Dia adalah pejuang yang gigih melawan segala macam reformasi sekolah yang akan merusak pendidikan, terutama di sekolah menengah, tetapi juga di pendidikan tinggi. Dia mendukung perlunya pendidikan matematika bagi semua orang, tidak hanya mereka yang mendalami ilmu alam. Rupanya beliau percaya bahwa tanpa pengetahuan dan pemahaman matematika yang baik, pemikiran logis tidak dapat dikembangkan, dan logika diperlukan dalam bidang aktivitas apa pun jika ingin melakukan sesuatu,” kata Yuri Ryzhov.

Doktor Ilmu Fisika dan Matematika, Akademisi Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia Viktor Maslov, dengan siapa Yuri Ryzhov duduk di meja yang sama, bertemu Vladimir Arnold pada tahun 1965. Ia yakin temannya adalah “dosen terbaik di dunia”:

Dia sibuk dengan sains tidak seperti orang lain. Dia dengan cepat menangkap ide dan menyajikannya dengan cemerlang,” kenang Viktor Maslov.

Artikel disajikan di website dalam bentuk singkat.

Vladimir Igorevich Arnold

Era ketidaktahuan akan datang

Percakapan dengan seorang akademisi tentang masalah pendidikan

Ilmuwan kita yang luar biasa, akademisi Vladimir Igorevich Arnold, menghadapi masa yang mengkhawatirkan, dan dia membicarakannya dengan jujur, terlebih lagi, kadang-kadang bahkan kasar - lagipula, kita berbicara tentang matematika favoritnya, yang mana ilmuwan tersebut mengabdikan seluruh hidupnya.

- Apa yang paling membuatmu khawatir?

— Yang terpenting, keadaan pendidikan di dunia sangat buruk. Namun, yang mengejutkan, di Rusia, kondisinya sedikit lebih baik, namun tetap saja buruk! Saya akan mulai dengan pernyataan yang dibuat pada salah satu pertemuan di Paris, di mana Menteri Sains, Pendidikan dan Teknologi Perancis berbicara. Apa yang dikatakannya berlaku di Perancis, namun juga relevan di Amerika Serikat, Inggris, dan Rusia. Hanya saja di Perancis bencana terjadi lebih awal, sedangkan di negara lain bencana masih terjadi. Pendidikan sekolah mulai mati akibat reformasi yang dilakukan secara intensif pada paruh kedua abad ke-20. Dan yang sangat menyedihkan adalah bahwa beberapa ahli matematika terkemuka, misalnya Akademisi Kolmogorov, yang saya hormati, berhubungan langsung dengan mereka... Menteri Prancis mencatat bahwa matematika secara bertahap dikeluarkan dari pendidikan sekolah. Ngomong-ngomong, menterinya bukan ahli matematika, tapi ahli geofisika. Jadi dia berbicara tentang eksperimennya. Dia bertanya kepada anak sekolahnya: “Berapakah dua tambah tiga?” Dan anak sekolah ini, anak yang pintar, siswa yang berprestasi, tidak menjawab, karena dia tidak tahu cara menghitung... Dia memiliki komputer, dan guru di sekolah mengajarinya cara menggunakannya, tetapi dia tidak dapat menjumlahkannya. “dua tambah tiga.” Benar, dia adalah anak yang cakap dan dia menjawab: “Dua tambah tiga sama dengan tiga tambah dua, karena penjumlahan bersifat komutatif…” Menteri terkejut dengan jawaban tersebut dan mengusulkan untuk mengeluarkan guru matematika dari semua sekolah yang mengajar anak-anak. cara ini.

— Dan menurut Anda apa alasan utama atas apa yang terjadi?

— Obrolan kosong berkembang pesat, dan menggantikan sains sejati. Saya dapat mendemonstrasikannya dengan contoh lain. Beberapa tahun yang lalu, apa yang disebut “Perang California” terjadi di Amerika. Negara bagian California tiba-tiba menyatakan bahwa siswa sekolah menengah tidak cukup siap untuk masuk perguruan tinggi. Anak-anak yang datang ke Amerika, misalnya dari Tiongkok, ternyata jauh lebih siap dibandingkan anak-anak Amerika. Dan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan ilmu-ilmu lainnya. Orang Amerika lebih unggul dibandingkan orang asing dalam segala bidang yang “terkait”—yang saya sebut “memasak” dan “merajut”—tetapi mereka tertinggal jauh dalam ilmu-ilmu dasar. Jadi, ketika masuk universitas, orang Amerika kalah bersaing dengan orang Cina, Korea, Jepang...

— Dan bagaimana reaksi masyarakat Amerika yang super-patriotik terhadap pengamatan seperti itu?

- Badai. Amerika segera membentuk komisi yang menentukan berbagai masalah, pertanyaan dan tugas yang harus diketahui oleh seorang siswa sekolah menengah ketika memasuki universitas. Komite Matematika diketuai oleh peraih Nobel Glenn Seaborg. Dia menyusun persyaratan untuk seorang siswa yang lulus sekolah. Yang utama adalah kemampuan membagi 111 dengan tiga!

- Apakah kamu bercanda?

- Sama sekali tidak! Pada usia 17 tahun, seorang siswa harus melakukan operasi aritmatika ini tanpa komputer. Ternyata orang Amerika tidak tahu bagaimana melakukan hal ini... 80 persen guru matematika modern di Amerika tidak tahu tentang pecahan. Mereka tidak dapat menambahkan setengahnya ke sepertiga. Di kalangan pelajar, angkanya sudah 95 persen!

Namun, Kongres dan senator mengecam negara bagian California karena berani mempertanyakan kualitas pendidikan Amerika. Salah satu senator dalam pidatonya mengatakan bahwa ia memperoleh 41,3 persen suara, hal ini menunjukkan kepercayaan masyarakat terhadap dirinya, dan ia selalu berjuang di bidang pendidikan hanya untuk apa yang ia pahami sendiri. Jika tidak, maka hal ini tidak boleh diajarkan. Pidato lainnya serupa. Selain itu, mereka mencoba memberikan nuansa “rasial” dan “politis” pada inisiatif California. Pertempuran ini berlangsung selama dua tahun. Namun, negara bagian California menang, karena seorang pengacara yang sangat teliti menemukan preseden dalam sejarah AS di mana Hukum Negara Bagian menjadi lebih unggul daripada Hukum Federal jika terjadi konflik. Dengan demikian, pendidikan di AS untuk sementara menang...

Saya mencoba memahami akar masalahnya dan menemukannya - ternyata semuanya dimulai dari Thomas Jefferson, Presiden kedua Amerika Serikat, Bapak Pendiri Amerika, pencipta Konstitusi, ideolog kemerdekaan, dan seterusnya. Dalam suratnya dari Virginia dia mendapatkan bagian berikut: “Saya tahu pasti bahwa tidak ada orang Negro yang bisa memahami Euclid dan memahami geometrinya.” Orang Amerika terbiasa menolak Euclid, matematika, dan geometri. Refleksi dan proses berpikir digantikan oleh tindakan mekanis, yang hanya mengetahui tombol mana yang harus ditekan. Dan ini, sebagai tambahan, disajikan sebagai perjuangan... melawan rasisme!

- Atau mungkin lebih mudah bagi mereka yang mengetahui pecahan untuk membeli daripada mempelajarinya sendiri?

- Mereka membelinya! Ilmuwan Amerika sebagian besar adalah emigran dari Eropa, dan mahasiswa pascasarjana adalah orang Tiongkok dan Jepang.

—Tetapi Anda tidak dapat menyangkal keberhasilan ilmu pengetahuan Amerika?

“Sekarang saya tidak sedang berbicara tentang keadaan ilmu pengetahuan di AS atau tentang “cara hidup” orang Amerika. Saya sedang berbicara tentang kondisi pengajaran matematika di sekolah-sekolah Amerika, dan situasi di sini sangat buruk. Saya membahas masalah ini dengan ahli matematika terkemuka di Amerika, banyak di antara mereka adalah teman saya, yang prestasinya saya banggakan. Saya mengajukan pertanyaan berikut kepada mereka: “Bagaimana Anda bisa mencapai tingkat sains yang tinggi dengan pendidikan sekolah yang rendah?” Dan salah satu dari mereka menjawab saya seperti ini: “Faktanya adalah saya belajar “berpikir ganda” sejak dini, yaitu, saya memiliki satu pemahaman tentang mata pelajaran untuk diri saya sendiri, dan satu lagi untuk guru di sekolah. Guru saya meminta saya menjawab bahwa dua kali tiga adalah delapan, tetapi saya sendiri tahu bahwa itu enam… Saya banyak belajar di perpustakaan, untungnya, ada buku-buku yang bagus… ”

- Tapi saat ini banyak ahli matematika terjun ke dunia bisnis...

- Dan ini cukup bisa dimengerti. Matematika adalah senam mental, oligarki juga membutuhkannya. Tapi, menurut saya, pilihan di sini tidak menentukan - yang ada hanyalah orang-orang yang memiliki bakat khusus untuk menghasilkan uang.

—Pernahkah Anda ingin terjun ke bidang ekonomi dan bisnis sendiri?

“Ini sangat dikontraindikasikan untuk saya.” Bukan milikku. Namun ancaman timbulnya zaman kebodohan nampaknya benar-benar nyata...

— Terkadang mereka mengatakan bahwa matematika adalah seni.

- Saya sangat tidak setuju! Matematika adalah ilmu. Dia selalu, sedang dan akan begitu! Saya juga percaya bahwa tidak ada ilmu yang “teoretis” dan ilmu yang “terapan”. Saya sepenuhnya setuju dengan Pasteur yang agung, yang mengatakan: “Tidak pernah ada, tidak akan ada, dan tidak akan pernah ada ilmu terapan, karena ada ilmu pengetahuan dan ada penerapannya.”

— Anda menghabiskan lebih banyak waktu di Paris, tempat Anda mengajar. Tidak merasa seperti ekspatriat?

- Sama sekali tidak! Apalagi mahasiswa Paris saya sering datang ke Moskow, dan mahasiswa Moskow sering datang ke Paris. Perancis mendanai proyek ini. Bagi ilmu pengetahuan dunia, hubungan seperti ini adalah hal yang lumrah. Rekan-rekan Prancis saya menjalani kehidupan yang serupa; mereka menghabiskan separuh waktunya di Jerman, Amerika, dan Inggris. Hal ini selalu terjadi di seluruh dunia. Dan di Rusia sebelum revolusi juga. Dan bahkan setelah revolusi, beberapa ilmuwan terkemuka telah lama bekerja di luar negeri. Saya ulangi, bagi sains dan ilmuwan, ini adalah kehidupan normal, dan tidak mungkin sebaliknya!

— Mari kita kembali ke pendidikan sekolah. Jika tren pelemahan matematika dari proses pendidikan terus berlanjut, apa ancamannya bagi Rusia?

- Itu akan berubah menjadi Amerika, dengan siapa kita mulai berbicara!

Fakta bahwa kita masih memiliki ahli matematika yang aktif bekerja sebagian dijelaskan oleh idealisme tradisional kaum intelektual Rusia (dari sudut pandang sebagian besar rekan asing kita, hanyalah kebodohan), dan sebagian lagi oleh bantuan besar yang diberikan oleh komunitas matematika Barat.

Pentingnya sekolah matematika Rusia bagi sains dunia selalu ditentukan oleh orisinalitas penelitian Rusia dan kemandiriannya dari mode Barat. Perasaan terlibat dalam bidang yang akan menjadi mode dalam dua puluh tahun sangatlah merangsang.

13 Maret 2008Percakapan tersebut dilakukan oleh Vladimir Gubarev. Wawancara tersebut dipublikasikan di situs web agen informasi “Century”.

Vladimir Igorevich Arnold

Apa yang menanti sekolah-sekolah Rusia?

Catatan analitik

Sumber informasi - http://scepsis.ru/library/id_653.html

Desember 2001

Analisis singkat berikut ini adalah penceritaan kembali secara singkat rencana modernisasi pendidikan di Rusia (proyek 2001). Penilaiannya diberikan setelah poin 4 dari uraian “strategi”.

1. Tujuan utama pendidikan dinyatakan “menumbuhkan kemandirian, budaya hukum, kemampuan bekerjasama dan berkomunikasi dengan orang lain, toleransi, pengetahuan ekonomi, hukum, manajemen, sosiologi dan ilmu politik, serta penguasaan bahasa asing.” Tidak ada ilmu pengetahuan yang dimasukkan dalam “tujuan pembelajaran”.

2. Sarana utama untuk mencapai tujuan ini dinyatakan sebagai “membongkar inti pendidikan umum”, “penolakan pendekatan ilmiah (yaitu ilmiah - V.A.) dan berpusat pada mata pelajaran” (yaitu dari pengajaran tabel perkalian - V.A.) , “a pengurangan volume pendidikan secara signifikan” (lihat di bawah, paragraf 4). Spesialis perlu dikecualikan dari diskusi program "spesialisasi mereka" (siapa yang setuju dengan obskurantisme? - V.A.)

3. Sistem penilaian “harus” diubah, “menyediakan sistem pendidikan bebas nilai”, “tidak mengevaluasi siswa, tetapi tim”, “menyerahkan mata pelajaran akademik” (sangat “sempit”: pelajaran sastra, geografi, aljabar...), “penolakan terhadap tuntutan sekolah menengah sehubungan dengan sekolah dasar” (mengapa mengetahui alfabet Rusia dan dapat menghitung dengan jari ketika ada komputer! - V.A.), “transisi ke objektifikasi pengambilan prosedur penilaian mempertimbangkan pengalaman internasional” (yaitu, dengan ujian alih-alih ujian - V.A.), penolakan untuk “mempertimbangkan konten minimum wajib pendidikan” (pertimbangan ini diduga “melebihi standar” - beberapa mulai menuntut agar anak-anak sekolah memahami alasannya dingin di musim dingin dan hangat di musim panas).

4. Di sekolah menengah, per minggu “seharusnya”: tiga jam bahasa Rusia, tiga jam matematika, tiga jam bahasa asing, tiga jam IPS, tiga jam ilmu alam; itulah keseluruhan program, yang menghapuskan “pendekatan berorientasi subjek yang buntu” dan memungkinkan “penyertaan modul tambahan”, yaitu “humanisasi dan kemanusiaan”, “refleksi budaya masyarakat lokal”, “integrasi gagasan tentang dunia”, “pengurangan pekerjaan rumah”, “diferensiasi”, “pengajaran teknologi komunikasi dan ilmu komputer”, “menggunakan teori pembelajaran umum”. Inilah rencana “modernisasi” sekolah.

Singkatnya, rencananya adalah untuk menghapuskan pelatihan semua pengetahuan dan mata pelajaran faktual (“sastra”, “fisika”, misalnya, dikeluarkan sepenuhnya bahkan dari daftar di mana berbagai jenis pelatihan militer, yang disebut “diferensiasi”, kini telah ada. muncul: Kalashnikov, bukan Shakespeare).

Daripada mengetahui bahwa ibu kota Perancis adalah Paris (seperti yang dikatakan Manilov kepada Chichikov), anak-anak sekolah kita sekarang akan diajari bahwa “ibu kota Amerika adalah New York” dan bahwa Matahari berputar mengelilingi bumi (menurunkan tingkat pengetahuan di bawah yang dibutuhkan). di bawah Tsar di sekolah paroki).

Kemenangan obskurantisme ini merupakan ciri luar biasa dari milenium baru, dan bagi Rusia ini adalah tren bunuh diri yang pertama-tama akan menyebabkan jatuhnya tingkat intelektual dan industri, dan selanjutnya - dan dengan cukup cepat - pada tingkat pertahanan dan militer negara tersebut. negara.

Satu-satunya hal yang memberi kita harapan adalah bahwa upaya (serupa dengan yang dilakukan sekarang) untuk menghancurkan tingkat pendidikan yang tinggi di Rusia, yang ditandai pada tahun dua puluhan dan tiga puluhan dengan “metode aliran brigade” dan menghancurkan gimnasium dan gimnasium nyata. sekolah, tidak berhasil: tingkat pendidikan di sekolah modern Rusia tetap tinggi (yang diakui bahkan oleh penulis dokumen yang sedang dibahas, yang menganggap tingkat ini “berlebihan”).

Vladimir Igorevich Arnold

Apakah matematika diperlukan di sekolah?

Sumber informasi- http://scepsis.ru/library/id_649.html

Laporan pada konferensi Seluruh Rusia “Matematika dan Masyarakat. Pendidikan matematika pada pergantian abad” di Dubna pada tanggal 21 September 2000.

Saya akan berbicara hari ini tentang keadaan yang agak menyedihkan seputar keadaan pendidikan matematika di seluruh dunia. Saya paling mengetahui situasinya, tentu saja, di Rusia, tetapi juga di Prancis dan Amerika Serikat. Namun proses yang akan saya bicarakan terjadi secara bersamaan di seluruh dunia. Memang agak luar biasa, tapi apa yang akan saya sampaikan, betapapun luar biasanya hal itu, adalah kebenaran yang murni.

Saya akan menyebut proses utama yang sekarang saya perhatikan, yang sekarang sedang berlangsung dan yang menimbulkan kekhawatiran utama - saya akan menyebut proses ini Amerikanisasi. Amerikanisasi terdiri dari fakta bahwa populasi dunia, miliaran orang yang hidup di dunia, semuanya menginginkan McDonald's di setiap rumah, dan oleh karena itu, mereka ingin memiliki “budaya” seperti di Amerika. Tapi apa yang dimaksud dengan “budaya” Amerika? Saya mungkin akan memberi Anda sebuah contoh agar tidak tidak berdasar. Di Harvard, saya melihat seorang siswa yang mengambil jurusan seni Eropa di kelas bahasa Prancisnya. Di sana dia harus berbicara bahasa Prancis, dan gurunya bertanya dalam bahasa Prancis: “Apakah kamu pernah ke Eropa?” - "Dulu." - “Apakah Anda pernah mengunjungi Prancis?” - “Aku mampir.” - “Apakah kamu melihat Paris?” - "Saya melihatnya." - “Pernahkah Anda melihat Notre-Dame de Paris di sana (yaitu, Katedral Notre-Dame)?” - "Saya melihatnya." - "Apakah kamu menyukainya?" - "TIDAK!" - “Mengapa demikian?” - “Dia sangat tua!”

Pandangan Amerika adalah bahwa segala sesuatu yang lama harus dibuang. Kalau mobil sudah tua perlu diganti yang baru, Katedral Notre Dame perlu dihancurkan, dan sebagainya. Jadi matematika harus dihilangkan dari pendidikan. Izinkan saya memberi Anda contoh lain.

Baru-baru ini saya membaca sebuah teks milik Thomas Jefferson, Presiden ketiga Amerika Serikat, penulis Deklarasi Kemerdekaan, salah satu “Bapak Bangsa”. Dan dia sudah berbicara tentang pendidikan matematika dalam bukunya “Letters from Georgia.” Dia mengatakan ini (dan pernyataan ini, menurut pendapat saya, sangat menentukan bagi pendidikan matematika di Amerika Serikat saat ini): “tidak ada orang kulit hitam yang akan memahami satu kata pun dari Euclid, dan tidak ada guru (atau buku teks) yang akan menjelaskan Euclidean kepadanya. dia tidak akan pernah mengerti.” Ini berarti bahwa semua geometri harus dikeluarkan dari pendidikan sekolah, karena evolusi demokrasi harus membuat segala sesuatu dapat dimengerti oleh kelompok minoritas; “siapa yang membutuhkannya, matematika ini…”

Contoh Perancis. Menteri Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Perancis menyampaikan (pada pertemuan pertemuan ahli matematika Paris di Palais des Discoveries) argumen yang menunjukkan bahwa pengajaran matematika di sekolah harus dihentikan sama sekali. Ini adalah orang yang cukup cerdas, Claude Allegret, seorang ahli geofisika, yang bergerak di bidang navigasi benua, menerapkan matematika, teori sistem dinamis. Argumennya adalah ini. Seorang anak sekolah Perancis, seorang anak laki-laki berusia sekitar delapan tahun, ditanyai berapa bilangan 2 + 3. Dia adalah siswa yang sangat baik dalam matematika, tetapi tidak tahu cara berhitung, karena begitulah matematika diajarkan di sana. Dia tidak tahu kalau hasilnya lima, tapi dia menjawab seperti siswa yang berprestasi, sehingga dia mendapat lima: “2 + 3 akan menjadi 3 + 2, karena penjumlahan bersifat komutatif.” Pendidikan Perancis semuanya diatur menurut skema ini. Mereka mempelajari hal-hal seperti itu dan akibatnya mereka tidak mengetahui apa pun. Dan menteri berpendapat, dari pada mengajar seperti ini, lebih baik tidak mengajar sama sekali. Ketika mereka membutuhkan sesuatu untuk bisnis, ketika mereka membutuhkannya, mereka akan mempelajarinya sendiri, dan mempelajari pseudosains ini hanya membuang-buang waktu. Inilah sudut pandang Perancis hari ini. Sangat menyedihkan, tapi begitulah adanya.

Amerikanisasi juga sedang terjadi di Perancis sekarang. Secara khusus, saya menerima surat dari Akademi Ilmu Pengetahuan mereka pada bulan April bahwa mereka merevisi piagam Akademi. Salah satu poin penting tentang bagaimana mengubah piagam Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis adalah bahwa tidak boleh ada anggota yang sesuai, semua anggota yang sesuai harus dianggap sebagai akademisi, dan dalam pemilihan baru tidak seorang pun boleh dipilih sebagai anggota. anggota koresponden, tetapi hanya akademisi. Lalu - dua puluh halaman pembenaran yang bersifat teologis ini, dikatakan bahwa Prancis itu seperti putri sulung Gereja Katolik, dan seterusnya... Pembenaran agama belum tentu ada, ada macam-macam, tapi saya tidak mengerti. apa pun, itu sangat sulit bagi saya sampai saya tidak mencapai baris terakhir di halaman yang jauh, dan kemudian saya menyadari bahwa saya telah mendengar baris ini berkali-kali selama dua puluh tahun saya mendengarkan diskusi ini. Prancis mungkin lebih maju, tapi kita juga akan sampai pada titik ini, dan argumen ini, dan alasan ini - semua ini akan ditemukan di Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia, saya yakin. Argumen yang, menurut pendapat saya, merupakan satu-satunya alasan yang signifikan dari semua pembenaran ini dan tampaknya menjadi alasan utama bagi mereka adalah: tidak ada anggota terkait di Akademi Ilmu Pengetahuan Nasional AS di Washington.

Proyek selanjutnya adalah umat manusia modern dihadapkan pada banyak masalah, dan akademi sains bersifat nasional, setiap negara memiliki akademi sendiri yang memecahkan masalahnya sendiri. Ini peninggalan, ini tidak bagus. Penting untuk menciptakan organisasi super-birokrasi, akademi super, yang mendunia dan hubungannya dengan akademi sains biasa akan sama dengan hubungan prefek polisi dengan petugas polisi biasa. Ini akan memutuskan apa masalah utama umat manusia, misalnya pemanasan global di atmosfer, masalah kelebihan populasi Malthus, lubang ozon, dan lain-lain, ada beberapa lusin masalah mendasar dan mendasar yang terdaftar: terlalu banyak mobil, dan mereka mencemari udara dengan timbal, dan sebagainya, saya tidak ingat seluruh daftarnya lagi. Jadi, kita perlu memutuskan masalah mana yang menjadi prioritas agar umat manusia dapat bertahan hidup, negara mana yang akan menyelesaikan masalah tersebut.

Dan selanjutnya dalam daftar ini tertulis masalah apa yang diajukan oleh putri sulung Gereja Katolik, Perancis, dan apa masalahnya, serta bagaimana cara Perancis menyelesaikan masalah tersebut. Masalah ini berhubungan langsung dengan topik konferensi kita hari ini. Masalahnya adalah: tingkat pendidikan merosot drastis di seluruh dunia. Generasi baru anak-anak datang yang tidak tahu apa-apa: baik tabel perkalian, maupun geometri Euclidean - mereka tidak tahu apa-apa, tidak mengerti, dan tidak ingin tahu. Mereka hanya ingin menekan tombol komputer dan tidak ada yang lain. Apa yang harus dilakukan, bagaimana menuju ke sini? Menteri di mana pun, di semua negara, adalah orang-orang yang tidak mengerti apa pun, dan jelas bahwa mereka perlu menghancurkan semua peradaban dan budaya, hanya untuk bertahan hidup, agar tetap berada di lingkungan tingkat budaya yang lebih tinggi, orang-orang ini perlu melakukannya menghancurkan semua budaya dan semua pendidikan. Bagaimana cara melakukannya? (Saya sedang berbicara tentang Prancis.)

Jadi, proyek Perancis: bagaimana memperbaiki situasi dengan pendidikan. Akademi Ilmu Pengetahuan Perancis mengusulkan: perempuan harus dididik. Ini lagi-lagi ide Amerika - ini feminisme, yang ada di Prancis, dan mungkin juga ada di sini. Dapat diperkirakan bahwa kami akan segera mengadopsi proyek yang sama.

Sekarang, setelah kata-kata sedih ini, saya ingin menyampaikan beberapa patah kata mengenai bagaimana kita sampai pada kehidupan ini, bagaimana ia terbentuk, bagaimana perkembangan matematika selama ribuan tahun, bagaimana kita sampai pada situasi ini. Saya harus mengatakan bahwa saya sedikit tertarik dengan sejarah ini dalam beberapa tahun terakhir dan menemukan bahwa segala sesuatu yang tertulis di buku teks tentang sejarah sains, sebagian besar adalah kesalahan besar, pernyataan yang sepenuhnya salah. Dan sekarang saya akan bercerita sedikit tentang sejarah perkembangan matematika, apa yang saya pelajari, hal-hal yang belum saya ketahui.

Tentu saja, para sejarawan mengetahui hal ini; bahkan ada buku-buku karya sejarawan yang memuat semua hal ini. Namun jika kita melihat apa yang ditulis oleh para matematikawan, apa yang ditulis oleh para guru, apa yang tertulis di dalam buku-buku yang diberikan kepada saya pada konferensi ini, di dalamnya bahkan teman-teman saya pun menulis tentang betapa hebatnya matematikawan itu, apa penemuan-penemuan hebat yang mereka buat, kapan, apa, bagaimana - banyak yang berbeda. Orang lain menemukan, penemuan harus muncul dengan nama lain...

Sekarang saya akan memberi tahu Anda sejumlah kebenaran ini, yang umumnya diketahui oleh para sejarawan, tetapi pada umumnya tidak diketahui oleh para ahli matematika. Baru-baru ini saya mengetahui tentang penemuan besar dari seorang ahli matematika hebat, yang namanya tidak diketahui, dia adalah kepala surveyor Firaun di Mesir dan dinyatakan sebagai dewa setelah kematiannya, dan nama ilahinya diketahui, tetapi saya, bagaimanapun juga, kasusnya, tidak tahu nama aslinya. Sebagai dewa Mesir dia dipanggil Thoth. Orang Yunani kemudian mulai menyebarkan teorinya dengan nama Hermes Trismegistus, dan pada Abad Pertengahan ada buku “The Emerald Tablet” yang terbit beberapa kali setiap tahunnya, dan edisi buku ini banyak sekali, misalnya di perpustakaan Newton, yang mempelajarinya dengan cermat. Dan banyak hal yang dikaitkan dengan Newton sebenarnya sudah terkandung di sana. Apa yang ditemukan Thoth? Saya akan membuat daftar beberapa penemuan kecil. Menurut pendapat saya, setiap orang yang berbudaya harus tahu bahwa Thoth itu ada, dan apa yang dia temukan, dan apa penemuan hebatnya. Fakta bahwa saya tidak mengetahuinya sampai tahun ini sungguh memalukan.

Hal pertama yang dia temukan adalah angka, deret natural. Di hadapannya, tentu saja, ada angka: 2, 3,... sebelum angka yang menyatakan jumlah seluruh pajak yang dibayarkan kepada firaun Mesir - angka yang menyatakan seluruh pajak tahunan ada, tetapi tidak ada angka besar. Gagasan bahwa bilangan dapat dilanjutkan tanpa batas waktu, bahwa tidak ada bilangan terbesar, bahwa Anda selalu dapat menjumlahkannya, bahwa Anda dapat membangun sistem bilangan di mana bilangan dapat ditulis sebesar yang Anda suka - ini adalah gagasan Thoth, ini adalah gagasannya ide pertama. Hari ini kami menyebutnya gagasan tentang ketidakterbatasan yang sebenarnya.

Penemuan kedua yang juga sangat signifikan adalah alfabet. Sebelumnya, ada hieroglif yang kata-katanya digambarkan sebagai tanda, misalnya “anjing”. Dan dia mendapatkan ide bahwa fonem dan bunyi harus ditulis, dengan menetapkan alih-alih ribuan hieroglif untuk kata-kata, hanya beberapa lusin hieroglif, misalnya, dengan “anjing” yang disederhanakan untuk mewakili bunyi “s” selalu , "s" dalam kata apa pun - akan terlihat seperti "anjing" ini, "anjing" yang disederhanakan. Dia menemukan alfabet Mesir. Semua alfabet Eropa kami berasal darinya. Kami memiliki legenda seperti itu, yang dapat ditemukan di semua buku teks, bahwa Champollion diduga menemukan “Batu Rosetta”, seolah-olah Champollion, yang mengambil “Batu Rosetta” ini, ahli tiga bahasa yang ada di sana, menemukan kecocokan, membaca hieroglif, dan seterusnya. Jadi, ini semua tidak benar. Sebenarnya saya akan sedikit menyimpang dari matematika, ini adalah sejarah ilmu yang berbeda, itu masih belum benar. Faktanya, cerita dengan Champollion adalah ini: Champollion benar-benar memecahkan alfabet ini, dia benar-benar membacanya, tetapi tanpa “batu Rosetta”. “Batu Rosetta” ini ditemukan setelah Champollion mempublikasikan teorinya. Ketika - sekitar dua puluh tahun kemudian - "Batu Rosetta" ditemukan, dia mengambil batu ini dan menunjukkan di batu ini apa yang diberikan teorinya, dan membandingkannya dengan terjemahan Yunani yang ada di batu itu, dan semuanya setuju. Jadi, ini buktinya, tapi teorinya sudah lama dipublikasikan saat ini. Champollion menemukan alfabet Mesir dengan cara yang sangat berbeda. Omong-omong, penemuan utama yang dimanfaatkan Champollion, yang dia ambil dari Plutarch, dan hal utama yang memungkinkan dia membaca hieroglif, teks hieroglif, alfabet ini, adalah penemuan yang sangat aneh yang tidak ada seorang pun sebelum dia karena alasan tertentu. dipahami. Ternyata teks hieroglif ditulis bukan dari kiri ke kanan seperti kita, melainkan dari kanan ke kiri. Plutarch mengetahui hal ini, cara penulisannya, Champollion memahami hal ini, dan dia mulai membaca dari arah lain, dan kemudian berhasil. Kemudian dia menemukan dekripsi. Tapi saya tidak akan membahas detail teori dekripsi.

Penemuan ketiga Thoth adalah geometri. Geometri dalam arti harfiah adalah survei tanah. Thoth dititipkan oleh firaun, dia harus tahu, sebidang tanah, dipagari, dengan ukuran ini dan itu, panen apa yang akan dihasilkannya. Tergantung daerahnya, dia harus mengukur daerah tersebut, membuat batas, memisahkan air dari sungai Nil, mengalirkan air dan semua kerja praktek ini. Dan dia belajar. Untuk ini dia menemukan geometri, semua yang kita ajarkan sekarang, geometri Euclidean, semua geometri ini sebenarnya adalah Thoth. Secara khusus, Thoth dan murid-muridnya kemudian mengukur jari-jari bumi menggunakan metode geometris mereka. Jari-jari Bumi yang mereka ukur diperoleh dengan kesalahan satu persen dibandingkan data modern, ini adalah akurasi yang sangat besar. Karavan unta berjalan di sepanjang Sungai Nil, dari Thebes ke Memphis, mereka berjalan hampir di sepanjang meridian dan menghitung langkah unta, sehingga mengetahui jaraknya. Pada saat yang sama, dengan mengamati bintang kutub, Anda dapat mengukur garis lintang kota dan, dengan mengetahui perbedaan garis lintang dan jarak sepanjang meridian, Anda dapat mengukur jari-jari Bumi, dan mereka melakukannya dengan sangat baik dan menemukan radius dengan akurasi 1%.

Dan akhirnya, penemuan terakhirnya, yang akan saya sebutkan, adalah hal yang relatif kecil, namun tetap menarik yang ia temukan: catur. Orang India punya catur, catur dikenal, tetapi ini adalah permainan yang kompleks dan bukan permainan yang populer, dia mendemokratisasi catur dan menemukan catur. Pemeriksa juga datang darinya.

Di dalam buku pelajaran sejarah masih terdapat puluhan lagi penemuan-penemuan dan segala macam penemuannya, agar singkatnya tentu saja saya tidak akan mencantumkannya sekarang.

Bagaimana kita mengetahui semua ini? Sekarang kita mengetahui geometri Euclidean. Dari manakah geometri Euclidean berasal, dari mana semua ini berasal? Ternyata kajian ilmu yang diciptakan oleh Thoth merupakan rahasia dagang Mesir. Di Aleksandria terdapat sebuah perpustakaan (musium) yang didalamnya tersimpan tujuh juta jilid, di mana semua ilmu pengetahuan ditulis, tetapi seseorang harus mendapat izin khusus untuk dapat menguasai materi ini, dan seseorang harus mendapat izin dari para pendeta. dari piramida sehingga semuanya mempelajari ini. Setidaknya ada empat ilmuwan besar Yunani (mata-mata industri) yang mencuri ilmu ini dari orang Mesir, yang tidak semuanya ditemukan oleh orang Mesir, mereka banyak meminjam - dari Kasdim, dari Babilonia, dari Hindu - tetapi, bagaimanapun juga, kasusnya, itu dirahasiakan.

Yang pertama rupanya adalah Pythagoras. Ada yang mengatakan bahwa dia tinggal di antara para imam ini selama empat belas tahun, ada pula yang mengatakan dua puluh tahun. Dia mendapat izin, membiasakan diri, mempelajari semua ilmu ini, semua geometri Euclidean, aljabar, aritmatika, dan menyatakan bahwa dia tidak akan pernah membuka klasifikasi informasi rahasia ini. Dan memang, tidak ada satu baris pun dari Pythagoras yang bertahan; dia tidak pernah menulis apa pun. Ajaran Pythagoras sekembalinya ke Yunani disebarkan secara lisan oleh murid-muridnya. Tidak ada buku Pythagoras. Teks-teks Euclid beberapa generasi kemudian dihasilkan oleh berbagai murid Pythagoras, yang kemudian menuliskan semuanya. Pythagoras sendiri tidak menulis apa pun karena dia bersumpah tidak akan menulis apa pun. Tetapi dia menyebarkan pengetahuan ini ke Yunani - aksioma, kecuali, mungkin, postulat kelima, yang tampaknya milik Euclid sendiri. Secara khusus, teorema Pythagoras jelas diterbitkan dua ribu tahun sebelumnya di Babilonia, dalam bentuk paku, dan selain teorema tersebut, kembar tiga Pythagoras juga dikenal (saya baru-baru ini diberi sebuah buku di mana Tikhomirov tampaknya mengklaim bahwa kembar tiga ini ditemukan oleh orang lain yang lain). Tetapi semua ini telah diketahui sejak lama, seribu tahun sebelum Pythagoras, dan para pendeta Mesir mengetahui semua ini dan menggunakan segitiga (3, 4, 5), (12, 13, 5) dan lainnya ketika membangun piramida, dan mereka mengetahuinya. rumus umum cara membuat semua segitiga tersebut. Semua ini sudah diketahui dengan baik, tetapi dikaitkan dengan Pythagoras (bersama dengan teori transmigrasi jiwa).

Saya pernah menerima surat dari fisikawan Inggris Michael Berry (dari “fase Berry” yang terkenal), yang menulis surat kepada saya sebagai konsekuensi dari diskusi kami tentang isu-isu prioritas. Dan dia menulis bahwa diskusi ini dapat diringkas dengan prinsip Arnold berikut: jika suatu benda memiliki nama pribadi (misalnya, kembar tiga Pythagoras atau teorema Pythagoras; Amerika, misalnya), maka benda itu tidak pernah menjadi nama penemunya. Itu selalu nama orang lain. Amerika tidak disebut Kolombia, meskipun Columbus menemukannya.

Ngomong-ngomong, kenapa Colombus menemukan Amerika? Ini terkait erat dengan apa yang baru saja saya katakan. Ketika Columbus menemui Ratu Spanyol Isabella untuk meminta ekspedisi (dia tidak akan menemukan Amerika, dia akan membuka rute melintasi Samudra Atlantik ke India), ratu mengatakan kepadanya: tidak, itu tidak mungkin. Dan inilah masalahnya. Dua ratus tahun setelah bangsa Mesir, pertanyaan tentang ukuran bumi dipertimbangkan oleh orang Yunani. Orang Yunani, dengan menggunakan informasi yang dicuri oleh Pythagoras, mengetahui tentang pengukuran Mesir, tetapi tidak mempercayai orang Mesir (pengukuran macam apa ini, beberapa unta, apa itu...). Dan mereka melakukan pengukuran lagi. Mereka mengambil trireme, kapal yang melintasi Laut Mediterania dari selatan ke utara, dari Alexandria ke pulau Rhodes, mengukur jalurnya, mengetahui kecepatan kapal dalam angin kencang, perbedaan garis lintang juga dapat diukur, dan menerima ukuran (radius) Bumi yang baru. Namun karena, tentu saja, metode Mesir dapat diandalkan, karena unta dapat mengukur jarak dengan baik, dan kecepatan kapal dalam angin kencang adalah sesuatu yang sangat tidak pasti, maka perkiraan Yunani dua kali lebih berbeda dari perkiraan Mesir. Dan orang-orang Yunani menerbitkan ini dan mengatakan bahwa orang-orang Mesir telah mengukurnya, tetapi karena mereka adalah orang-orang terbelakang, mereka tidak dapat mengukurnya dengan baik dan menerima bumi yang ukurannya setengah dari bumi aslinya; faktanya, mereka mempunyai data yang salah, dan ukuran bumi yang sebenarnya adalah dua kali lebih besar.

Dan karena semua ilmu pengetahuan Yunani - Euclid, Pythagoras, semua ini - kemudian menyebar ke mana-mana, seperti yang mereka ajarkan di sekolah, Ratu Isabella juga berpikir bahwa Bumi dua kali lebih besar, dan dia berkata kepada Columbus: “Kamu tidak akan berlayar ke sana. India, karena tidak ada kapal yang mampu memuat barel air sebanyak yang dibutuhkan untuk berlayar sejauh itu.” Karena jaraknya sangat jauh, dan tidak ada apa pun di jalan tersebut (Amerika tidak seharusnya berada di sana). Columbus mendatanginya enam kali dan pada akhirnya menghindari larangan tersebut dan tetap sampai di sana.

Tentu saja, tidak diragukan lagi, penemuan-penemuan ilmiah telah dicuri, selalu dicuri dan terus dicuri.

(Dari penonton: Dan mereka akan mencuri!)

Mungkin mereka akan mencuri, atau mungkin tidak, karena mereka tidak lagi tertarik pada ilmu pengetahuan, karena tidak akan ada yang membayar barang curian tersebut. Mungkin mereka akan berhenti mencuri ilmu pengetahuan hanya karena tidak ada lagi pelanggan, itu intinya.

Saya akan membuat daftar beberapa penemuan lagi yang sangat mencolok dan bukan disebabkan oleh penemunya, tetapi oleh orang yang sama sekali berbeda. Plato mencuri logika dari Mesir - seni penalaran, sesuatu yang kemudian diteruskan ke Eropa melalui Aristoteles, logika Aristotelian, sofisme, sorit (rantai panjang silogisme) - semua ilmu ini ada di kalangan pendeta Mesir, sangat mereka kenal. Itu dicuri oleh Plato, yang juga seorang mata-mata. Ada juga orang terkenal Orpheus, yang mencuri musik: harmoni, tangga nada, oktaf, seperlima, sepertiga... Pythagoras juga mempelajari musik dan mengetahui berapa panjang senar yang harus dibuat untuk mendapatkan rasio frekuensi yang sesuai, dan tegangan apa yang ada pada senar tersebut. senar harus diterapkan - Ini semua sepenuhnya standar di kalangan orang Mesir, hanya untuk musik ritual, mereka mengetahui hal ini dengan kepastian yang mutlak, dan orang Yunani meminjam semua ini. Semua musik kami dipinjam dari Mesir melalui Yunani. Dan terakhir, penemuan terakhir yang ingin saya sebutkan adalah kasus yang aneh. Nama ini mungkin kurang dikenal, meskipun penulisnya adalah orang yang sangat pantas kita terima kasih yang sebesar-besarnya – Eudoxus. Teori Eudoxus sekarang disebut teori bilangan. Eudox menemukan hal berikut. Orang Pythagoras sudah mengetahui (walaupun siapa yang pertama kali menemukannya tidak begitu jelas, mungkin Pythagoras, mungkin juga murid Pythagoras) bahwa diagonal suatu persegi tidak sebanding dengan sisinya sehingga terdapat bilangan irasional. Penemuan ini pun langsung diklasifikasikan oleh orang Yunani sendiri, karena untuk apa angka tersebut digunakan? Yang ada hanyalah bilangan rasional, dan berfungsi untuk pengukuran. Namun penemuan ini menunjukkan bahwa bilangan, yaitu pecahan rasional, tidak cukup untuk mengukur, karena diagonal suatu persegi tidak dapat diukur. Akibatnya, aritmatika adalah ilmu yang tidak cocok untuk kehidupan praktis, untuk fisika, untuk semua aplikasi. Akibatnya, jika konsumen - firaun, masyarakat pada umumnya - mengetahui hal semacam ini, maka mereka akan mengusir semua ahli matematika, karena mereka mempelajari proporsi, pecahan - semacam omong kosong yang tidak diperlukan siapa pun. Jadi, Eudox mengatasi kesulitan ini. Karena kesulitan ini, teori bilangan rasional dilarang, dan ia menciptakannya. Dia menciptakan apa yang sekarang disebut teori bagian Dedekind atau cincin Grothendieck, yang merupakan hal yang sama. Teori ini sebenarnya diciptakan sepenuhnya oleh Eudoxus dan diuraikan oleh Euclid dalam teori proporsi, menurut saya, dalam buku kelima Euclid. Beginilah bilangan irasional memasuki matematika.

Sekarang saya akan membiarkan diri saya sedikit menyimpang dari matematika dan berbicara tentang penemuan-penemuan yang dekat dengan matematika (bahkan, sebenarnya, saya akan memasukkan ini ke dalam matematika, tetapi beberapa orang sezaman saya tidak, saya akan membicarakan hal ini juga). Ini adalah teori astronomi. Astronomi dan mekanika angkasa memainkan peran besar dalam perkembangan matematika dan analisis - Newton dan Kepler sangat terkenal. Hukum Kepler, fakta bahwa gaya gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak - kami mengajarkan semua ini kepada siswa kami, kami menjelaskan penemuan hebat apa yang dibuat Newton, dan seterusnya. Jadi, Newton sendiri memiliki sudut pandang yang sangat berbeda tentang sejarah permasalahan ini. Dalam karya-karyanya yang tidak diterbitkan, baik yang bersifat alkimia maupun teologis, yang sepuluh kali lebih besar daripada karya-karya matematika dan fisika yang diterbitkan, ia mengakui prioritas orang Mesir, yang mengetahui semua ini beberapa ribu tahun sebelumnya. Faktanya, hal ini terkenal di Mesir - tidak begitu jelas siapa yang pertama kali menemukannya, tetapi, bagaimanapun juga, para pendeta Mesir sudah mengetahui, pertama, hukum kuadrat terbalik, kedua, hukum Kepler dan, ketiga, bahwa Hukum Kepler mengikuti hukum kuadrat terbalik. Newton menulis bahwa, sayangnya, kesimpulan satu sama lain tertulis dalam buku-buku itu, jutaan jilid yang terbakar dalam api di perpustakaan di Alexandria, dan oleh karena itu selama beberapa abad penalaran kuno yang menakjubkan ini hilang, dan dia bangga dengan kenyataan bahwa dia pantas mendapat pujian karena memulihkan bukti ini. Buktinya kini kembali menjelaskan mengapa hukum Kepler mengikuti hukum kuadrat terbalik. Namun kenyataannya semua ini sudah diketahui dengan baik. Pada abad ke-7 SM, raja Romawi Numa Pompilius, yang memerintah tak lama setelah Romulus, membangun Kuil Vesta di Roma, termasuk planetarium, yang dibangun menurut sistem heliosentris Copernicus. Omong-omong, Copernicus juga mengutip orang-orang kuno ini dan mengatakan bahwa sistem heliosentris bukanlah penemuannya, tetapi sudah dikenal sejak lama, tetapi ia hanya menarik perhatian orang-orang zaman modern pada apa yang dikenal di masa lalu. Di kuil Vesta, di tengahnya, terdapat api yang melambangkan Matahari. Di sekelilingnya, para pendeta membawa gambar Merkurius dengan kecepatan yang diperlukan dalam orbit elips yang diperlukan, lalu gambar Venus, lalu gambar Bumi, lalu gambar Mars, dan, tentu saja, Jupiter dan Saturnus. Pada hari apa pun Anda dapat berdiri di tempat para pendeta memegang Bumi pada saat itu, dan melihat, misalnya, ke arah tempat para pendeta memegang Mars, lalu keluar dan melihat di malam hari, dan lalu lihat Mars ke arah itu.

Jadi, seluruh penemuan mekanika angkasa ini - semua ini sudah ada dua ribu tahun sebelum Newton. Anda tidak akan menemukannya di buku teks. Newton merujuk, khususnya, pada buku teks arsitektur Vitruvius, yang mengutip, tetapi sekali lagi tanpa bukti, eliptisitas orbit, hukum Kepler, semuanya dikutip, semuanya diketahui, tetapi semuanya hancur. Semuanya hancur karena dianggap tidak berguna oleh ilmu pengetahuan murni. Siapa yang butuh astronomi, mekanika langit, planet... Tidak ada yang tertarik dengan hal ini, kecuali mungkin para astrolog. Namun arsitektur dan konstruksi adalah hal yang berbeda. Oleh karena itu, salinan buku-buku tentang urusan militer, navigasi dan arsitektur dilestarikan dari buku-buku kuno. Dan hanya di dalamnya dapat ditemukan jejak-jejak ketika dikutip bahwa di suatu tempat di Aleksandria ada sebuah kitab yang membuktikan ini dan itu. Newton membaca, menggunakan, menemukan bukti.

Di sini saya juga ingin mengutip satu pernyataan yang baru-baru ini saya baca di buku Hardy “Apology for a Mathematician,” yang baru saja diterbitkan di Izhevsk. Sebuah buku yang mengerikan oleh orang yang sangat buta huruf yang menulis, khususnya, hal-hal berikut. Dia menulis untuk memuji Gauss bahwa Gauss banyak bekerja pada teori bilangan dan bahwa teori bilangan pantas disebut ratu matematika (saya bahkan akan mengatakan ratu matematika, tapi menurut saya dia mengatakan "ratu"). Hardy menjelaskan mengapa teori bilangan adalah ratunya matematika. Demikian penjelasan Hardy yang baru-baru ini diulangi oleh Yuri Ivanovich Manin dalam bentuk yang sedikit menyimpang, namun ia mengatakan hal yang hampir sama. Penjelasan Hardy yang luar biasa adalah: teori bilangan, katanya, adalah ratu matematika karena ketidakbergunaannya. Tapi Yuri Ivanovich sedikit berbeda, dia menjelaskan hal lain: bahwa matematika secara umum adalah ilmu yang sangat berguna, bukan karena, seperti yang dikatakan beberapa orang - ini sebenarnya saya - bahwa matematika berkontribusi pada kemajuan teknologi, kemanusiaan, dan sebagainya, TIDAK; karena menghambat kemajuan ini, itulah manfaatnya, ini adalah masalah utama sains modern - untuk menghambat kemajuan, dan matematika terutama melakukan hal ini, karena jika para Fermatis, alih-alih membuktikan teorema Fermat, membuat pesawat terbang, mobil, mereka akan menyebabkan lebih banyak kerugiannya. Jadi matematika mengalihkan perhatian Anda, mengalihkan perhatian Anda dengan beberapa tugas bodoh yang tidak diperlukan siapa pun, dan kemudian semuanya baik-baik saja. Omong-omong, Hardy juga memiliki ide ini, dalam bentuk yang sedikit berbeda - sungguh menakjubkan betapa naifnya Anda di abad ke-20! - Hardy menulis ini: daya tarik matematika yang buruk, terutama jika dibandingkan dengan fisika dan kimia, adalah bahwa matematika “sama sekali tidak cocok untuk penerapan militer”. Sekarang, tentu saja, kami memiliki sudut pandang yang berbeda; mungkin Yuri Ivanovich setuju dengannya, tapi saya tidak. Mengenai militer, mereka juga memiliki sudut pandang yang sangat berbeda, dan harus dikatakan bahwa Hardy entah bagaimana berhasil bekerja dengan Littlewood, yang melakukan banyak matematika terapan, dan menerapkannya dengan serius pada urusan militer, dan Littlewood, tentu saja, tidak akan pernah menerima kata-kata bodoh seperti itu.

Manin berpendapat bahwa matematika adalah sejenis linguistik dengan daftar aturan tata bahasa yang sedikit diperluas, termasuk, katakanlah, 1 + 2 = 3, dan mengajar matematika adalah mengajarkan penipuan, karena tidak ada hal baru yang dapat ditemukan melalui transformasi identik, yang merupakan satu-satunya hal. yang dihadapi oleh ahli matematika.

Perwujudan modern paling lengkap dari gagasan ketidakbergunaan matematika adalah aktivitas sekte Bourbakist.

Faktanya, prinsip Bourbaki sebagian dirumuskan oleh Montaigne dan sebagian lagi oleh Descartes pada abad 16-17. Montaigne merumuskan dua prinsip dari seluruh ilmu pengetahuan Perancis, yang membedakan ilmu pengetahuan Perancis dengan ilmu-ilmu negara lain dan yang masih menjadi pedomannya. Prinsip pertama. Agar berhasil, seorang ilmuwan Perancis harus mematuhi aturan berikut dalam publikasinya: tidak satu kata pun dari apa yang dia terbitkan dapat dimengerti oleh siapa pun, karena jika ada sesuatu yang jelas bagi siapa pun, maka semua orang akan mengatakan bahwa itu sudah terjadi. diketahui, jadi Anda tidak menemukan apa pun. Oleh karena itu, perlu ditulis sedemikian rupa sehingga tidak jelas. Montaigne mengacu pada Tacitus, yang menyatakan bahwa “pikiran manusia cenderung mempercayai hal-hal yang tidak dapat dipahami”. Descartes adalah muridnya dalam hal ini, dan Bourbaki mengikutinya. Mengubah semua teks agar tidak dapat diakses sama sekali adalah prinsip pertama.

Saya akan memberikan beberapa argumen Montaigne yang membenarkan perlunya menulis secara tidak dapat dipahami (penekanan ditambahkan di seluruh):

“Saya benci belajar lebih dari sekedar ketidaktahuan.” (“Eksperimen”, buku III, bab VIII)

“Siapapun yang duduk di atas epicycle Merkurius, menurut saya dia sedang mencabut gigi saya. Lagi pula, mereka sendiri tidak mengetahui alasan pergerakan bola langit kedelapan, maupun waktu terjadinya banjir di Sungai Nil.” (Buku II, Bab XVII)

“Akan lebih mudah untuk memahami akar penyebab suatu fenomena, tapi saya tidak tahu bagaimana menjelaskannya. Saya tidak berusaha untuk kesederhanaan. Rekomendasi saya adalah yang paling vulgar.” (Buku II, Bab XVII)

“Ilmu pengetahuan menyampaikan teori yang terlalu halus dan dibuat-buat. Saat saya menulis, saya berusaha melupakan semua yang tertulis di buku agar kenangan tersebut tidak merusak bentuk komposisi saya.” (buku III, bab V)

“Bahasa kita yang biasa dimengerti tidak ada gunanya dalam kehidupan praktis, karena menjadi tidak dapat dipahami dan penuh kontradiksi ketika kita mencoba menerapkannya pada perumusan suatu kontrak atau wasiat.” (Buku III, Bab XIII)

Quintilian (Inst. Orat., X, 3) telah lama mencatat bahwa “kesulitan pemahaman disebabkan oleh doktrin.” (Buku III, Bab XIII) Dan Montaigne ingin menanamkan doktrin pada pembacanya.

Menurut Seneca (Epist., 89), “setiap benda yang terbagi menjadi beberapa bagian seperti bintik debu menjadi gelap dan tidak dapat dipahami” (Buku III, Bab XIII). Seneca mencatat (Epist., 118) bahwa “Miramur ex intervallo falltia” (yaitu “penipulah yang menyenangkan kita, karena letaknya yang terpencil”). (Bk. III, Bab XI) Untuk menggugah kekaguman, perlu adanya kabut dalam tulisan Anda.

“Kesimpulan utama dari semua penelitian saya adalah keyakinan akan kebodohan manusia yang universal, ciri yang paling dapat diandalkan dari semua sekolah di dunia.” (Buku III, Bab XIII) Prinsip Montaigne ini juga berlaku di sekolahnya.

Jelas Montaigne tak mau memaparkan secara gamblang prestasi sekolah-sekolah tersebut. Pascal mencatat bahwa sulit untuk memahami apa yang benar di Montaigne. Encyclopedia Britannica (1897) menulis bahwa Montaigne disalahpahami karena pelawak dan satiris ini menarik pembaca tanpa selera humor. Pengalaman Montaigne menular. Ia menulis: “di kalangan ilmuwan kita sering melihat orang-orang yang miskin mental” (Buku III, Bab VIII) dan “belajar mungkin bermanfaat bagi kantong, tetapi jarang memberikan manfaat apa pun bagi jiwa.” “Ilmu pengetahuan bukanlah bisnis yang mudah, seringkali membuat kewalahan.”

Prinsip kedua Montaigne adalah menghindari terminologi asing sepenuhnya. Semua terminologi harus menjadi milik Anda sendiri. Anda harus memperkenalkan konsep-konsep baru, Anda dapat merujuk pada karya-karya Anda sebelumnya di mana istilah-istilah tersebut diperkenalkan, sehingga Anda tidak dapat membaca karya-karya Anda selanjutnya tanpa menghafal yang sebelumnya. Dan karya penulis lain tidak boleh dikutip, dan dilarang keras mengutip orang asing. Prinsip inilah yang masih dianut hingga saat ini. Pada bulan April, Kementerian Ilmu Pengetahuan Perancis, serta otoritas keamanan, mengirimi saya undangan untuk mengambil bagian dalam pekerjaan komisi mereka, yang sangat penting (dan karena mereka tahu saya sibuk, jika saya tidak bisa datang, maka Kirimkan mahasiswa yang akan saya sampaikan pendapat saya disana, karena sangat penting bagi mereka untuk mengetahui pendapat saya), begitulah komisinya. Komisi Perlindungan Warisan Ilmu Pengetahuan Perancis dari Orang Asing.

(Tertawa di antara penonton.)

Perjuangan melawan kosmopolitanisme, yang kita lakukan pada akhir tahun empat puluhan, telah mencapai Perancis, namun karena alasan tertentu baru sekarang. Meskipun mereka, tentu saja, memiliki banyak jenis xenofobia dan menemukan di mana-mana bahwa segala sesuatu pasti ditemukan oleh orang Prancis, misalnya, mereka memiliki penemu radio sendiri - baik Popov maupun Marconi tidak mengakuinya - mereka memiliki monumennya sendiri. dekat stasiun Luksemburg di Paris kepada orang yang “menemukan radar”, dan seterusnya—semuanya dilakukan oleh orang Prancis. Ngomong-ngomong, saya juga ingin mengutip salah satu orang Prancis yang pernyataannya, sebaliknya, sangat saya sukai, adalah Pasteur. Pasteur berbicara tentang sains secara umum dan membuat pernyataan yang luar biasa, yang ingin saya rujuk, karena menurut saya, itu sangat penting bagi kita. Pernyataan Pasteur adalah: “Tidak pernah ada, tidak ada, dan tidak akan pernah ada ilmu terapan apa pun. Ada ilmu pengetahuan dan penerapannya.” Ada penemuan ilmiah, dan kemudian melekat pada sesuatu - ya, tetapi matematika terapan, fisika terapan, kimia terapan, biologi terapan - semua ini adalah penipuan untuk menyedot uang dari pembayar pajak atau pengusaha - tidak lebih. Tidak ada ilmu terapan, yang ada hanyalah ilmu – ilmu biasa saja.

Omong-omong, gagasan ini juga dapat ditemukan dalam Mayakovsky, yang mengatakan bahwa orang yang menemukan dua dan dua sama dengan empat adalah seorang ahli matematika yang hebat, bahkan jika dia menghitung puntung rokok. Dan siapa pun yang sekarang menggunakan rumus yang sama untuk menghitung benda yang jauh lebih besar, seperti lokomotif, bukanlah ahli matematika sama sekali. Inilah yang dimaksud dengan matematika terapan. Tidak ada matematika terapan; mengajarkan “matematika terapan” adalah sebuah kebohongan. Yang ada matematika saja, ada sains, dan di sains ini ada tabel perkalian, misalnya dua dan dua adalah empat, ada geometri Euclidean, semua itu harus diajarkan. Jika kita berhenti—apa akibat dari Amerikanisasi atau Bourbakisasi ini—kita berhenti mengajar, lalu apa yang akan terjadi? Chernobyl satu demi satu akan terjadi, dan karenanya, kapal selam akan tenggelam, dan karenanya, menara seperti menara Pisan dan Ostankino akan runtuh... Saya baru-baru ini membaca di Buletin Akademi Ilmu Pengetahuan bahwa Moskow akan menghadapi bencana yang serupa dengan yang ada di Ulyanovsk, yang mungkin, bahkan di musim dingin mendatang, hanya satu juta orang yang harus mati karena kedinginan, karena sistem pemanas, pembangkit listrik tenaga panas tidak dapat mengatasinya, pemanas Moskow tidak beradaptasi, tidak siap menahan dingin, yang khas untuk iklim kita. Jika ilmu pengetahuan dihentikan, maka semua kemalangan yang bersifat apokaliptik ini akan menimpa seluruh umat manusia, termasuk Rusia. Menurut data Amerika, saat ini beberapa negara, termasuk Rusia dan Tiongkok, masih menjadi oase di mana masih ada harapan bahwa proses degradasi pendidikan berjalan lebih lambat. Mereka menetapkan bahwa di Amerika, 80% guru matematika sekolah tidak tahu tentang pecahan: mereka tidak bisa menjumlahkan setengah dan sepertiga, mereka bahkan tidak tahu ada lebih, setengah atau sepertiga, mereka tidak mengerti apa-apa. Mereka tidak mengajar. Dan pengetahuan anak sekolah bahkan lebih buruk lagi. Sementara di Jepang, China, bahkan Korea situasinya jauh lebih baik. Anak-anak sekolah ini paham betul apa itu setengah, apa itu sepertiga, mereka bisa menambahkan setengahnya dengan sepertiga... Kita, seperti biasa, tertinggal dari umat manusia yang maju. Kehancuran ilmu pengetahuan, kehancuran budaya terjadi dimana-mana, namun di negara kita lebih lambat dibandingkan di tempat lain, yang berarti masih ada harapan bahwa kita akan mempertahankan tingkat budaya tradisional kita lebih lama dibandingkan dengan negara-negara yang disebut lebih maju. .
* * *

George Malaty, profesor universitas di Finlandia. Saya sangat senang mendengarkan laporan Anda, dan saya dapat mengatakan dengan jujur, dari lubuk hati saya, bahwa saya datang ke sini khusus untuk mendukung ide-ide Anda, karena jika suatu budaya jatuh, sangat sulit untuk menghentikannya kembali, di Barat kita tahu baiklah, kamu juga. Sangat mudah untuk menghancurkan suatu budaya. Dan sekarang kita tahu bahwa, tentu saja, secara logis, sangat sulit untuk menghentikannya kembali. Saya berterima kasih dan berharap kami semua mendengarkan Anda baik di sini maupun di luar negeri. Terima kasih lagi.

Dari hadirin: Menurut Anda, apakah geometri Euclidean perlu diajarkan di sekolah?

- Menurut pendapat saya, kami belum menemukan sesuatu yang lebih baik (dan apakah akan menyebutnya Euclidean atau yang lainnya - tentu saja ada pilihan yang berbeda). Saya mengetahui satu kasus seseorang yang tidak mempelajari geometri Euclidean di sekolah. Pria ini adalah Newton. Newton sudah membaca Euclid di universitas. Dia belajar geometri menurut Descartes, menggunakan sistem koordinat Cartesian, dan kemudian mempelajari Euclidean, dan berterima kasih kepada keduanya. Meskipun harus dikatakan bahwa Newton tidak menyukai Descartes, karena Descartes, katanya, mengatakan begitu banyak hal bodoh baik dalam fisika maupun matematika sehingga ia merugikan sains. Bagaimana Newton bisa belajar sesuatu darinya membuatku takjub. Teori Descartes - saya menyiapkannya, tetapi tidak punya waktu untuk menceritakannya - adalah ini. (Ini masih diadopsi di Perancis; kaum Bourbakis mengikutinya.) Ada empat prinsip dasar. Prinsip pertama Descartes: apakah aksioma asli sesuai dengan kenyataan tidak menjadi masalah. Pertanyaan eksperimental ini berkaitan dengan aplikasi dan beberapa ilmu khusus. Menurut Descartes, sains adalah turunan konsekuensi dari aksioma-aksioma yang diambil secara sewenang-wenang dan tidak ada hubungannya dengan eksperimen atau kenyataan apa pun. (Hilbert mengulanginya berkali-kali kemudian.) Prinsip kedua: kesesuaian kesimpulan akhir dengan eksperimen apa pun tidak terlalu berpengaruh. Kami melakukan semacam penalaran, seperti mengalikan angka multi-digit, kami menyimpulkan beberapa konsekuensi baru dari aksioma asli, dan membandingkan apa yang kami dapatkan dengan eksperimen adalah omong kosong belaka, yang hanya dapat dilakukan oleh beberapa orang kecil seperti Newton ( Descartes tidak mengucapkan kalimat terakhir; Newton tidak dikenalnya). Prinsip ketiga: matematika bukanlah sains. Agar matematika menjadi suatu ilmu, pertama-tama perlu dihilangkan semua jejak eksperimen yang muncul di dalamnya dalam bentuk gambar. Ketika kita menggambar garis lurus, lingkaran, dan terlibat dalam geometri Euclidean, maka menurut Descartes, kita melakukan aktivitas yang tidak perlu yang tidak ada hubungannya dengan sains. Oleh karena itu, semua garis lurus, lingkaran, dan sebagainya perlu diganti dengan ideal, modul, cincin, dan hanya menyisakan apa yang sekarang disebut geometri aljabar. Tetapi tidak diperlukan geometri (dalam pengertian biasa), menurut Descartes. Faktanya, kita perlu membuang semua tempat di mana imajinasi memainkan peran apa pun dari semua ilmu pengetahuan. Namun dalam geometri, hal ini memainkan peran yang sangat besar, sehingga harus dikecualikan. Dan terakhir, prinsip Descartes yang terakhir, keempat, yang berlaku langsung di Kementerian Pendidikan: “Semua metode pengajaran lain kecuali metode saya harus segera dilarang, karena metode pendidikan saya adalah satu-satunya metode yang benar-benar demokratis. Karakter demokratis dari metode pendidikan saya terletak pada kenyataan bahwa di antara mereka yang belajar menurut metode saya, orang yang berpikiran paling bodoh dan paling biasa-biasa saja akan mencapai kesuksesan yang sama dengan orang yang paling cemerlang.”

Misalnya, Descartes “menemukan” bahwa kecepatan cahaya di air 30% lebih besar daripada di udara (bertentangan dengan prinsip Fermat dan teori gelombang selubung Huygens). Tapi tidak perlu merujuk pada pendahulunya.

Ketika Pascal melaporkan kepada Descartes karyanya tentang hidrostatika dan pengukuran barometrik berdasarkan eksperimen dengan rongga Torricelli. Descartes dengan menghina mengusir pelaku eksperimen muda karena ketidaktahuan akan aksioma Aristoteles (“alam membenci ruang hampa”) dan karena melanggar dua prinsip pertama (anti-eksperimental). Dia menulis tentang hal ini kepada Presiden Akademi Ilmu Pengetahuan, Huygens: “secara pribadi, saya tidak melihat kekosongan di mana pun di alam, kecuali di kepala Pascal.” Enam bulan kemudian, teori Pascal diterima secara umum, dan Descartes sudah mengatakan bahwa Pascal datang untuk memberitahunya tentang hal itu, tetapi dia sendiri tidak mengerti apa pun pada saat itu; dan sekarang dia, Descartes, telah menjelaskan segalanya kepadanya, Pascal menceritakan bagaimana teorinya (Descartes) adalah miliknya.

Menariknya, sikap Leonardo da Vinci terhadap eksperimen benar-benar berbeda: dalam studi hidrodinamiknya (yang bahkan turbulensi sudah dianalisis), ia menekankan perlunya fokus pada bidang ini terutama pada eksperimen, dan baru kemudian pada penalaran. Selanjutnya ia membahas hukum kesamaan dan kesamaan diri.

S.G. Shekhovtsov: Anda berbicara tentang prinsip-prinsip Montaigne yang seharusnya ada... Tetapi faktanya adalah bahwa dalam bahasa Rusia, setidaknya dua kali, dan sekarang banyak "Eksperimen" telah mulai diterbitkan... Montaigne dalam "Pengalaman" ini terus menerus mengutip para penulis zaman dahulu. Bagaimana hubungannya? Mungkinkah itu hanya provokasi?

- Tidak, ini bukan provokasi. Dan intinya adalah ini. Montaigne sangat kritis terhadap budaya Perancis setelah perjalanannya ke luar negeri. Dia menulis tentang ini berkali-kali. Ia menulis bahwa jika kita membandingkan sains di Perancis dengan sains di negara lain: dengan sains di Jerman, di Inggris, di Roma, di Spanyol, di Belanda - di semua negara ini, maka prinsip-prinsip khas Prancis tersebut tidak berlaku di sana. dan itu jauh lebih baik. Montaigne mengkritik Perancis, dan ungkapan-ungkapan yang saya baca ini bukanlah pernyataan yang benar untuk Montaigne, tetapi ini adalah kritiknya terhadap cara berpikir khas Perancis. Tentang ajaran Bourbaki, Montaigne berkata: “Tout jugements universels sont laches et hazardeux” (“semua penilaian universal adalah pengecut dan berbahaya”) - dalam Essays di buku III, ch. VIII, halaman 35 edisi 1588. Dalam Esai banyak dibicarakan tentang gaya penyajian pada Bab XII Buku II, Bab VIII dan IX Buku III. Dalam buku I bab. XXVI secara khusus dikhususkan untuk pendidikan: “Yang utama adalah merangsang nafsu makan dan perasaan: jika tidak, Anda akan memelihara seekor keledai yang penuh dengan buku, pukulan cambuk dan mengisi kantong Anda dengan ilmu pengetahuan, yang tidak hanya harus Anda tempati di rumah Anda, tapi yang harus kamu nikahi.” Oleh karena itu, Anda benar sekali bahwa dia sendiri menganut sudut pandang berlawanan yang diungkapkan oleh prinsip, hal ini benar, tetapi dia menekankan bahwa di Prancis sudut pandang ini dominan. Ngomong-ngomong, menarik bahwa sudut pandang Prancis sudah seperti ini jauh sebelumnya. Jika kita mengambil catatan tentang Perang Galia Caesar, maka sudah ada kritik keras terhadap Prancis, tentu saja, Galia pada waktu itu, tetapi karakter Celtic dalam banyak hal tetap ada di antara orang Prancis saat ini, dan karakteristik Prancis yang dulu. yang diberikan oleh Julius Caesar sebagian besar masih setia hingga saat ini. Caesar tidak berbicara banyak tentang sains, meskipun dia juga membicarakannya. Dia mengatakan bahwa orang Prancis (Galia) dicirikan oleh sandiwara dan keinginan untuk menampilkan pertunjukan teater di mana mereka tidak dapat melakukan apa pun secara nyata. Mereka tidak bisa mencapai apa pun, tapi mereka bisa berpura-pura. Kemampuan untuk berpura-pura dan menganggap sempurna apa yang belum mereka capai adalah ciri khas mereka. Mereka, katanya, menandatangani perjanjian dengan Roma bahwa mereka tidak akan membiarkan satu pun orang Jerman lewat dan bahwa Roma sepenuhnya terlindungi dari Jerman, karena Prancis akan menjadi tembok dan menghentikan serangan Jerman (bukan Prancis, tapi Gaul). Namun, kata Caesar, hal tersebut tidak benar. Jika mereka (tentara Prancis) tidak diberi makanan yang pada umumnya tidak mungkin dibeli, dan tidak diberi anggur yang begitu nikmat, yang tidak dapat kita sediakan untuk mereka, maka mereka tidak akan mampu berperang sama sekali, atau mendaki Pegunungan Alpen, apalagi, hentikan Jerman. Segera setelah resimen Jerman pertama melintasi Rhine, seluruh pasukan Prancis akan berbaring agar tidak diperhatikan, dan akan membiarkan legiun Jerman lewat, yang akan menghancurkan Roma. Oleh karena itu, satu-satunya cara bagi Roma untuk mempertahankan diri melawan Jerman adalah dengan menaklukkan Galia, dan dimulailah Perang Galia.

D. V. Anosov: Menaklukkan suatu negara demi perlindungan dari negara ketiga adalah ide yang bagus.

Dari penonton: Anda telah menguraikan pandangan Anda tentang sejarah perkembangan matematika. Bagaimana perasaan Anda tentang teori, tentang pandangan Akademisi Fomenko tentang sejarah?

— Ada sebuah buku besar "Sejarah dan Antisejarah", yang baru-baru ini diterbitkan oleh penerbit "Bahasa Budaya Rusia" (Moskow, 2000), di mana para spesialis, sejarawan, astronom, dan segala macam orang lainnya menulis tentang hal ini dengan sangat rinci . Saya akan mengutip dari sana satu bagian kecil yang ditulis oleh Andrei Zaliznyak, spesialis utama dokumen kulit kayu birch Novgorod. Berdasarkan uraiannya, Fomenko menjelaskan asal usul orang Skotlandia yang dalam bahasa Inggris disebut Scots. Dua ribu tahun yang lalu, suku Scythian tinggal di utara Laut Hitam. Orang Skit adalah penggembala dan mereka mempunyai banyak ternak. Selain itu, mereka memiliki perahu untuk berlayar menyusuri berbagai sungai, dan mereka suka berenang. Mereka memuat ternak mereka ke perahu, berlayar menyusuri Dnieper, menyusuri Don, mendaki Oka, Dvina, menyeberangi Laut Baltik, ke Denmark, ke Laut Utara, ke Inggris, ke Skotlandia, menemukan tempat-tempat kosong di sana, membangun desa, menetap di sana. Tapi mereka tidak menyukainya karena iklimnya buruk, hujan terus-menerus, dingin. Dan mereka memutuskan untuk kembali. Namun karena Aeroflot tidak berfungsi dengan baik pada masa itu, mereka menyadari bahwa mereka tidak akan dapat memuat seluruh ternaknya dan segera kembali membawa ternaknya. Oleh karena itu, mereka harus meninggalkan ternaknya di sana, dan ternak tersebut tinggal di sana sejak saat itu, ini adalah ternak Skotlandia.

Penulis lain buku ini menunjukkan bahwa dari pengalaman kesuksesan komersial teori Fomenko, jelas terlihat bahwa kesimpulan penting bagi ilmu sejarah adalah bahwa tingkat budaya dan pendidikan penduduk kita di bidang sejarah sangat rendah.

MA. Tsfasman: Vladimir Igorevich, jika di antara penonton ini ada beberapa orang gila yang ingin melestarikan budaya, termasuk budaya matematika, apa yang Anda rekomendasikan untuk mereka lakukan?

- Anda tahu, ini pertanyaan yang sangat sulit. Saya akan merekomendasikan kembali ke Kiselev ketika mengajar di sekolah. Tapi itu pendapat pribadi saya. Guru saya, Andrei Nikolaevich Kolmogorov, benar-benar meyakinkan saya ketika dia memulai reformasinya, untuk mengambil bagian dalam reformasi ini dan menulis ulang semua buku pelajaran, membuatnya dengan cara baru dan menyajikannya sesuai keinginannya, untuk melakukan Bourbakize matematika sekolah dan sebagainya. Saya dengan tegas menolak, hampir bertengkar dengannya, karena ketika dia mulai menceritakan idenya kepada saya, itu sangat tidak masuk akal sehingga sangat jelas bagi saya bahwa dia tidak boleh bertemu dengan anak-anak sekolah. Sayangnya, setelah dia, beberapa akademisi lainnya terlewatkan, dan prestasi mereka bahkan lebih buruk daripada dia. Saya takut melakukan ini, sekarang saya tidak menjalankan bisnis ini, khususnya, memanfaatkan semua pengalaman ini. Orang-orang terkasih, A.D. Aleksandrov, Pogorelov, Tikhonov, Pontryagin - semuanya ambil bagian dan semuanya menulis dengan buruk. Saya dapat mengatakan dengan pasti bahwa Kolmogorov menulis dengan buruk, misalnya, dan saya tahu tentang orang lain juga; Saya bisa mengkritik buku teks yang mereka tawarkan, tapi saya tidak bisa menawarkan buku teks saya sendiri...

Saya sendiri mengajar di sekolah (tapi di pesantren - namun ini bukan sekolah biasa, tapi kebetulan saya juga mengajar di sekolah biasa) - di pesantren saya memberi ceramah, bahkan ada buku yang diterbitkan. oleh Alekseev, yang hadir di sini, berdasarkan ceramah saya. Dia adalah salah satu pendengar, anak-anak sekolah, yang merekam ceramah, latihan, dan buku bagus “Teorema Abel dalam Masalah dan Solusi.” Ada bukti teorema bahwa persamaan derajat kelima tidak dapat diselesaikan secara radikal. Pada saat yang sama, bilangan kompleks, permukaan Riemann, teori penutup, teori grup, grup yang dapat dipecahkan, dan banyak lagi disajikan di sepanjang jalan (untuk anak sekolah!). Saya telah berulang kali mengungkapkan pengalaman saya tentang bagaimana, menurut pendapat saya, matematika harus diajarkan, secara konkrit tentang hal-hal tertentu. Saya memberikan berbagai ceramah, direkam, diterbitkan, dan sebagainya. Aku bisa melakukan ini. Tapi menjadi pimpinan suatu proyek besar seperti itu akan menakutkan, karena menurut saya perlu ada semacam kompetisi, di mana pengalaman guru-guru terbaik bisa naik ke puncak, seperti yang terjadi pada Kiselev sendiri. , yang bukan ahli matematika terbaik di Rusia dan yang mencapai kesuksesan terbesarnya dengan berulang kali mengerjakan ulang bukunya yang awalnya tidak begitu sukses. Hal ini membutuhkan guru yang baik, guru yang baik perlu melakukannya, dan mereka perlu melakukannya dengan baik.

MA. Tsfasman: Apa yang harus dilakukan di pendidikan tinggi dan pascasarjana?

— Saya punya banyak pengalaman, tentu saja, dalam hal ini juga. Tesis pertama yang menimbulkan kerusakan besar pada pendidikan tinggi matematika adalah tesis yang juga sebagian besar berasal dari Perancis. Saya mempelajarinya dari teman saya Jean-Pierre Serres, seorang matematikawan Perancis, dan argumennya adalah sebagai berikut. Serres menegaskan: Anda, katanya, salah menulis di banyak tempat bahwa matematika adalah bagian dari fisika. Faktanya, matematika tidak ada hubungannya dengan fisika (menurut Serres), ini adalah ilmu yang sepenuhnya ortogonal. Kemudian Serre menulis kalimat yang saya sebut bumerang, yaitu membahayakan diri sendiri. Ungkapan ini adalah: “Namun, kita, para ahli matematika, tidak boleh berbicara tentang pertanyaan filosofis seperti itu, karena bahkan yang terbaik di antara kita - ya, jelas bahwa ketika kita berbicara dengannya, dialah - bahkan yang terbaik di antara kita pun mampu berbicara. mengenai isu-isu seperti itu adalah pernyataan yang tidak masuk akal.” Hilbert menerbitkan artikel “Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam” pada tahun 1930, di mana ia menulis bahwa geometri adalah bagian dari fisika. Dalam hal ini, saya seharusnya mengatakan bahwa dua ahli aljabar besar, Hilbert dan Serres, bertindak di sini dengan cara yang kontradiktif. Tetapi teman-teman saya, khususnya Dmitry Viktorovich Anosov, dan yang lainnya juga, mengatakan kepada saya bahwa pernyataan saya ini hanya didasarkan pada kenyataan bahwa saya buruk dengan logika formal, saya belum membaca Aristoteles. Sebenarnya kesimpulan dari kedua pernyataan tersebut bukanlah suatu kontradiksi sama sekali, namun dengan menalar secara logis sebagaimana diajarkan kepada anak-anak sekolah, seseorang dapat menarik kesimpulan yang tegas secara logis dari kedua pernyataan tersebut. Begini: geometri tidak ada hubungannya dengan matematika. Inilah logika orang Perancis. Mereka memutuskan demikian, dan mereka mengecualikan geometri dari pendidikan mereka. Dalam pendidikan universitas, dan juga dalam pendidikan sekolah, buku teks geometri dibuang, dan ditanyakan kepada beberapa siswa di Ecole Normale Superiore di Paris, misalnya, sesuatu tentang permukaan xy = z(2) atau tentang kurva bidang yang secara parametrik ditentukan oleh persamaan x = t( 3) - 3t, y = t(4) - 2t(2) tidak ada harapan, mereka tidak mengajarkan apa pun tentang hal itu. Buku pelajaran L'Hopital, Goursat, Jordan - semua buku pelajaran yang luar biasa ini, buku karya Klein, Poincaré - semuanya telah dibuang dari perpustakaan siswa.

D.V. Anosov: Hadamara...

- Hadamara juga... Semuanya dibuang! Semuanya dibuang hanya karena, seperti yang mereka jelaskan kepada saya, ini adalah buku-buku tua, mengandung virus yang menyebabkan seluruh perpustakaan membusuk, termasuk buku-buku Bourbaki. Apakah ini mungkin?

EV. Yurchenko: Saya ingin menyampaikan beberapa patah kata tentang studi geometri dan buku teks Kiselev, apa yang Anda katakan. Menurut saya akhir-akhir ini para guru mempunyai kesempatan yang besar untuk menggunakan buku teks yang berbeda-beda, dan ada pertanyaan yang sangat menarik tentang pembelajaran awal geometri, bahkan sampai mulai mempelajarinya dari kelas satu, karena banyak manfaatnya bagi perkembangannya. imajinasi pada anak-anak, dan berdasarkan pengalaman kerja saya, saya tidak akan bersikeras untuk hanya kembali ke buku teks Kiselev.

— Saya tidak membantah, mungkin ada buku teks yang lebih baik daripada buku teks Kiselev, itu sangat mungkin. Tapi, bagaimanapun juga, kita memerlukan buku teks tanpa trik ilmiah umum ini, tanpa Bourbakisme, itulah yang saya maksud.

A.Yu. Ovchinnikov: Pertanyaan yang sangat kecil. Dalam buku Anda yang luar biasa tentang persamaan diferensial biasa, terdapat banyak sekali jenis gambar yang indah, secara keseluruhan merupakan buku yang luar biasa, sangat menarik dan menyenangkan untuk dibaca. Namun, karena Anda dapat dengan mudah memverifikasinya dengan eksperimen yang sangat sederhana, sebagian besar siswa Anda, berkat buku ini, tidak dapat menyelesaikan persamaan diferensial yang sangat sederhana sekalipun. Menurut pendapat Anda, apa kaitannya dengan pendekatan yang tampaknya diterapkan dan sekarang Anda promosikan?

- Nah, jika diterapkan pada siswa saya secara pribadi, ini tidak benar, saya punya banyak pengalaman... Di akhir buku teks, di edisi terbaru, ada hampir seratus soal dengan persamaan yang cukup serius, dan saya memiliki banyak pengalaman ujian, ujian tertulis di mana siswa di Moskow dan Paris dengan sempurna menyelesaikan persamaan yang tidak dapat diselesaikan siswa di mata pelajaran lain. Dan pada saat yang sama, persamaan ini sepenuhnya standar; Ini bukanlah persamaan yang sulit, Anda tahu? Saya secara khusus menangani masalah ini - tentang persyaratan, dan beberapa kali saya menulis daftar tugas yang harus diperlukan agar dapat menyelesaikannya. Misalnya, saya memiliki artikel yang sangat besar, tidak hanya tentang persamaan diferensial, tentang semua matematika, yang saya tulis untuk Institut Fisika dan Teknologi, tetapi juga cocok untuk ahli matematika, mengenai ratusan masalah yang ada dalam keseluruhan kursus matematika. Ratusan soal Sukses ini telah diterbitkan, dan saya sangat merekomendasikan artikel ini, Mathematical Trivium. Ini adalah tugas yang mudah, ada banyak, ratusan, tetapi mudah. Misalnya, tugas pertama adalah: “Diberikan grafik suatu fungsi. Gambarlah grafik turunannya." Jika seseorang tidak tahu bagaimana melakukan ini, meskipun dia tahu bagaimana membedakan semua polinomial dan fungsi rasional, dia tidak mengerti apa-apa tentang turunan. Saya mengajarkan persamaan diferensial dengan cara yang persis sama, dan saya punya pengalaman, saya berpendapat bahwa jika seseorang mengajar di buku teks saya sedemikian rupa sehingga siswa tidak dapat menyelesaikan persamaan yang paling sederhana, maka ini adalah guru yang buruk.
* * *

Baru-baru ini saya harus menghadapi tugas yang dapat diselesaikan oleh anak-anak berusia lima tahun, tetapi tidak dipahami dan diputarbalikkan oleh editor salah satu jurnal akademis (“Advances in Physical Sciences”). Ada dua volume Pushkin di rak. Lembaran masing-masing volume berukuran 2 cm, dan setiap sampul berukuran 2 mm. Cacing itu menggerogoti dari halaman pertama jilid pertama hingga halaman terakhir jilid kedua. Seberapa jauh dia mengunyah?

Saya akan mengatakan beberapa kata lagi tentang tugas tersebut.

Berikut adalah contoh umum dari permasalahan yang dapat dengan mudah diatasi oleh anak-anak sekolah di Perancis: “Buktikan bahwa semua kereta RER di planet Mars berwarna merah dan biru.”

Berikut ini contoh solusinya:

Mari kita nyatakan dengan Xn(Y) himpunan semua rangkaian sistem Y di planet nomor n (dihitung dari Matahari, jika kita berbicara tentang tata surya).

Berdasarkan tabel yang diterbitkan CNRS saat itu, planet Mars memiliki nomor 4 di tata surya. Himpunan X4(RER) kosong. Menurut Teorema 999-в dari kursus analisis, semua elemen himpunan kosong mempunyai semua sifat yang telah ditentukan.

Oleh karena itu, semua kereta RER di planet Mars berwarna merah dan biru.

Pengajaran matematika, sebagai semacam kasuistis hukum yang didasarkan pada hukum yang dipilih secara sewenang-wenang, dimulai sejak usia dini: anak-anak sekolah di Prancis diajari bahwa bilangan real apa pun lebih besar dari bilangan itu sendiri, bahwa 0 adalah bilangan asli, bahwa segala sesuatu yang umum dan abstrak lebih penting. daripada yang khusus, konkrit.

Alih-alih mempelajari prinsip-prinsip sains yang sederhana dan mendasar, siswa Perancis dengan cepat terspesialisasi sehingga mereka menjadi ahli dalam beberapa bidang sains yang sempit, tanpa mengetahui apa pun yang lain.

Leonardo da Vinci telah mencatat bahwa setiap orang bodoh, yang telah mempelajari secara eksklusif satu topik sempit, setelah berlatih cukup lama, akan mencapai kesuksesan di dalamnya. Dia menulis ini sebagai instruksi untuk para seniman, namun dia sendiri terlibat dalam banyak bidang ilmu pengetahuan yang berbeda. Bagian berikutnya dari catatannya berisi instruksi rinci untuk penyabot bawah air (termasuk penggunaan api dalam pekerjaan bawah air dan rekomendasi untuk zat beracun).

Namun, ujian sekolah Amerika selama beberapa dekade mencakup tugas: temukan luas segitiga siku-siku dengan sisi miring 10 inci dan tinggi diturunkan padanya, panjang 6 inci. Semoga cawan ini meninggalkan kita.

Berikut adalah beberapa kutipan dari sumber-sumber lama yang menjelaskan bagaimana situasi menyedihkan saat ini di bidang pendidikan dan buta huruf penduduk saat ini terjadi.

Rousseau menulis dalam Confessions-nya bahwa dia tidak mempercayai rumus yang telah dia buktikan sendiri: "kuadrat dari jumlah tersebut sama dengan jumlah kuadrat dari suku-suku tersebut dengan hasil kali gandanya" sampai dia menggambar partisi persegi yang sesuai menjadi empat. persegi panjang.

Leibniz menjelaskan kepada Ratu Sophia-Charlotte, ingin menyelamatkannya dari pengaruh Newton yang ateis, bahwa keberadaan Tuhan paling mudah dibuktikan dengan mengamati kesadaran kita sendiri. Karena jika pengetahuan kita hanya datang dari peristiwa eksternal, kita tidak akan pernah mengetahui kebenaran universal dan mutlak diperlukan. Fakta bahwa kita mengenal mereka - dan dengan demikian dibedakan dari binatang - membuktikan, menurut Leibniz, asal mula ilahi kita.

Ketika mereformasi pendidikan sekolah, orang Prancis menulis pada tahun 1880: “Segala sesuatu bernilai sesuai dengan harga jualnya. Berapa harga pendidikan gratis Anda?

Abel mengeluh pada tahun 1820 bahwa matematikawan Perancis hanya ingin mengajar, tetapi tidak ingin belajar apa pun. Belakangan mereka menulis dengan nada menghina bahwa pria malang ini (yang esainya hilang oleh Akademi Ilmu Pengetahuan) “kembali dari Paris ke wilayahnya di Siberia, yang disebut Norwegia, dengan berjalan kaki di atas es”.

Pendidikan Abel dimulai dari ayahnya, yang mengajari putranya, khususnya, bahwa 0 + 1 = 0. Orang Prancis masih mengajari anak-anak sekolah dan siswanya bahwa setiap bilangan real lebih besar dari bilangan real itu sendiri dan bahwa 0 adalah bilangan asli (menurut Bourbaki dan Leibniz, semua konsep umum lebih penting daripada konsep pribadi).

Balzac menyebutkan “persegi yang panjang dan sangat sempit”.

Menurut Marat, “ahli matematika terbaik adalah Laplace, Monge, dan Cousin: sejenis automata, yang terbiasa mengikuti rumus tertentu, menerapkannya secara membabi buta.” Namun, Napoleon kemudian menggantikan Laplace sebagai Menteri Dalam Negeri “karena mencoba memperkenalkan semangat hal-hal yang sangat kecil ke dalam pemerintahan” (saya pikir Laplace ingin agar rekeningnya tetap dalam jumlah yang sangat kecil).

Presiden Amerika Taft menyatakan pada tahun 1912 bahwa segitiga bola dengan titik sudut di Kutub Utara, Kutub Selatan, dan Terusan Panama adalah sama sisi. Dengan bendera Amerika berkibar di puncaknya, ia menganggap “seluruh belahan bumi yang dicakup oleh segitiga ini” adalah miliknya.

A. Dumas sang Putra menyebutkan “arsitektur aneh” rumah-rumah yang terdiri dari “setengah plester, setengah bata, setengah kayu” (1856). Namun, sebuah surat kabar Paris menulis pada tahun 1911 bahwa “Simfoni kelima Mahler berlangsung selama satu seperempat jam tanpa jeda, sehingga pada menit ketiga pendengar melihat jam tangan mereka dan berkata pada diri mereka sendiri: seratus dua belas menit lagi!” Mungkin itulah yang terjadi.

Cerita selanjutnya terkait dengan Dubna. Dua tahun lalu, Akademi Lynch di Roma merayakan kenangan Bruno Pontecorvo, yang hidup dari tahun 1950 hingga kematiannya pada tahun 1996, baik di Moskow atau di Dubna. Sekitar tiga puluh tahun sebelum kematiannya, dia mengatakan bahwa dia pernah tersesat (di sekitar Dubna?) dan hanya sampai di rumah dengan mengendarai traktor. Sopir traktor, ingin bersikap sopan, bertanya: “Apa yang Anda lakukan di Institut di Dubna?” Pontecorvo menjawab dengan jujur: “Fisika neutrino.”

Pengemudi traktor sangat senang dengan percakapan tersebut, namun memuji bahasa Rusia orang asing tersebut: “Tetap saja, Anda masih memiliki aksen: fisika bukanlah neutrino, tetapi neutron!”

Seorang pembicara di Akademi Lynch, yang dalam Prosidingnya saya membaca seluruh kejadian di atas, mengomentarinya sebagai berikut: “Sekarang kita sudah dapat mengatakan bahwa prediksi Pontecorvo telah menjadi kenyataan: sekarang tidak ada yang tahu tidak hanya apa itu neutrino, tetapi juga apa itu neutrino. juga apa itu neutron!”

Catatan

Turaev B.A. Tuhan Thoth. - Leipzig, 1898.

. “Champollion Rusia” N.A. Nevsky menguraikan hieroglif Tangut dan memulihkan bahasa yang terlupakan ini; dia ditembak pada tahun 1937 dan direhabilitasi secara anumerta pada tahun 1957. “Tangut Filologi” dianugerahi Hadiah Lenin pada tahun 1962.

Sejarawan Diodorus Siculus menulis: “Pythagoras belajar dari orang Mesir ajarannya tentang para dewa, proposisi geometrisnya dan teori bilangan, orbit matahari…” (The Library of History, Buku I, 96-98).

Bagi Thoth, tampaknya, tempat postulat ini diambil alih oleh beberapa aksioma yang setara dengannya. Fakta bahwa mereka semua mengikuti salah satu dari mereka rupanya dibuktikan oleh Euclid.

Bahkan ada dugaan bahwa perempuan Mesir melacurkan diri mereka di depan umum dengan buaya (P.J. Proudhon, “De la celèbration du dimanche,” 1850). Alexander Agung berpendapat bahwa sumber Sungai Nil adalah Sungai Indus, karena kedua sungai ini penuh dengan buaya, dan tepiannya ditumbuhi bunga teratai. Dia juga percaya bahwa Amu Darya adalah Tanais, mengalir dari utara ke rawa-rawa Maeotian (yaitu Don, mengalir ke Laut Azov) dan bahwa Laut Kaspia dihubungkan oleh selat ke Teluk Benggala. Samudera Hindia (dan karena itu tidak pergi ke Cina dari India). Topologi kurang berkembang pada saat itu.

Bukti asli Newton (1666?) salah, tapi dia menyadarinya bertahun-tahun kemudian ketika, atas saran Halley, dia mencoba menggunakannya untuk menerima hadiah empat puluh shilling yang dijanjikan di sebuah pub oleh arsitek besar London Ren Hooke dan Halley , yang mencoba membuktikan eliptisitas orbit.

. Sistem koordinat "Cartesian" terus-menerus digunakan oleh orang Romawi kuno ketika mendirikan kamp militer sehingga setiap legiun dapat dengan mudah ditemukan. Jejak sistem koordinat ini masih terlihat pada topografi Latin Quarter Paris. Tak jauh dari aslinya kini ada toko bernama “Jeux Descartes” (“Permainan Descartes”). Namun, nama ini hampir tidak dapat dianggap sebagai upaya untuk mengaitkan keunggulan Caesar dengan Descartes: lagipula, “jeux des cartes” adalah “permainan kartu” yang dijual di toko tersebut.

Berikut rumusan eksplisit Montaigne: “Il ne faudra jamais rencontrer quelque idiome du pays (Toscan, Napolitan, dll.) et de se joindre? quelqu"une des taut de formes. Ne faudra quelqu"un de dire "Voila d"o? il le print" ("Eksperimen", buku II, bab XII, halaman 274 edisi 1588). Yaitu: "Anda tidak boleh menggunakan ekspresi bahasa asing - Tuscan, Neapolitan, dll., atau mengikuti -atau dari berbagai bentuk. Tidak perlu ada yang mengatakan: “Dari situlah dia mendapatkannya!”" Montaigne juga terkejut bahwa "ke mana pun rekan-rekan saya pergi, mereka selalu menghindari orang asing" (Buku III, Bab .ix).

Leibniz menganggap kecenderungan bawaan kita terhadap penalaran deduktif sebagai bukti keberadaan Tuhan, yang awalnya memasukkan kecenderungan ini ke dalam struktur otak kita. Literatur tentang perjuangan Descartes dan Leibniz melawan induksi dan Newton diberikan dalam artikel “L"enfance de l"Homme”, Jacques Cheminade, dalam jurnal Fusion, mars-avril 2000, Ed.Alcuin, Paris, hal . 44.

. “Bagi orang Prancis, penipuan dan pengkhianatan bukanlah dosa, melainkan cara hidup, suatu kehormatan, dari zaman Kaisar Valentinian hingga saat ini.” (Buku II, Bab XVIII)

Orang Prancis mengklaim bahwa geometri dan “bentuk trigonometri” bilangan kompleks (modul, argumen, dll.) ditemukan oleh Argan. Namun bertahun-tahun sebelum dia, semua ini dilakukan di Denmark oleh Wessel (yang idenya memengaruhi Abel). Ngomong-ngomong, Wessel mencoba menerapkan bilangan hiperkompleks (pada dasarnya angka empat) untuk menggambarkan rotasi ruang tiga dimensi. Rotasi dengan sudut mengelilingi sumbu bi + cj + dk (b2 + c2 + d2 = 1) berhubungan dengan angka empat cos(/2) + sin( /2). Setengah dari rumus ini memiliki signifikansi topologi yang sangat besar, dan dalam fisika hal ini menjelaskan apa yang disebut putaran partikel.

Revolusi Perancis mewajibkan semua warga negara untuk memanggil satu sama lain hanya dengan “Anda”, dan pelanggarnya dapat dihukum guillotine. Jadi di Paris kebiasaan ini berlanjut hingga saat ini.

Menurut informasi yang saya terima, rata-rata profesor Phystech mengatasi sepertiga dari tugas-tugas ini.

Kata "Lynch" berarti "Lynx": para peserta diharapkan memiliki kewaspadaan dan wawasan seperti lynx. Saya ingat, Galileo menandatangani urutan keenam dalam folio tebal tempat para anggota Akademi Lynch terdaftar (nomor Newton dalam folio Royal Society of London jauh lebih tinggi).

Vladimir Igorevich Arnold

Tentang nasib menyedihkan buku-buku pelajaran “akademik”.

Sumber informasi- http://scepsis.ru/library/id_652.html

Saya menganggap pengalaman pembuatan buku teks untuk sekolah menengah oleh ahli matematika abad kedua puluh sebagai sesuatu yang tragis. Guru saya yang terkasih, Andrei Nikolaevich Kolmogorov, telah lama meyakinkan saya tentang perlunya memberikan buku teks geometri yang "nyata" kepada anak-anak sekolah, mengkritik semua buku teks yang ada karena fakta bahwa di dalamnya konsep-konsep seperti "sudut 721 derajat" tetap tidak ada. definisi yang tepat.

Definisi sudut yang dia maksudkan untuk anak sekolah berusia sepuluh tahun tampaknya memakan waktu sekitar dua puluh halaman, dan saya hanya ingat versi yang disederhanakan: definisi setengah bidang.

Ini dimulai dengan “kesetaraan” titik-titik komplemen dengan sebuah garis pada bidang (dua titik dikatakan ekuivalen jika ruas yang menghubungkan keduanya tidak memotong garis tersebut). Kemudian - bukti kuat bahwa hubungan ini memenuhi aksioma hubungan kesetaraan; A setara dengan A dan seterusnya.

Beberapa teorema lainnya menetapkan secara berturut-turut bahwa “himpunan kelas ekuivalen yang ditentukan oleh teorema sebelumnya adalah berhingga”, dan kemudian bahwa “kardinalitas himpunan berhingga yang ditentukan oleh teorema sebelumnya adalah dua”.

Dan pada akhirnya, sebuah “definisi” yang benar-benar tidak masuk akal: “Masing-masing dari dua elemen himpunan berhingga, yang kardinalitasnya, menurut teorema sebelumnya, sama dengan dua, disebut setengah bidang.”

Kebencian anak sekolah yang mempelajari “geometri” ini baik terhadap geometri maupun matematika secara umum mudah diprediksi, itulah yang coba saya jelaskan kepada Kolmogorov. Namun dia menjawab dengan mengacu pada otoritas Bourbaki: dalam buku mereka “History of Mathematics” (dalam terjemahan bahasa Rusia dari “Architecture of Mathematics” yang diterbitkan di bawah editor Kolmogorov) dikatakan bahwa “seperti semua matematikawan hebat, menurut Dirichlet, kami selalu berusaha untuk menggantikan ide-ide transparan dengan perhitungan buta.” .

Dalam teks Perancis, seperti dalam pernyataan Jerman asli Dirichlet, tentu saja, "ganti perhitungan buta dengan ide-ide transparan." Namun Kolmogorov, menurutnya, menganggap versi yang diperkenalkan oleh penerjemah Rusia untuk mengungkapkan semangat Bourbaki jauh lebih akurat daripada teks naif mereka sendiri, yang berasal dari Dirichlet.

Namun demikian, Andrei Nikolaevich memaksa atau membujuk saya untuk mengambil bagian dalam eksperimennya, sehingga pada awal tahun enam puluhan saya memberikan kursus perkuliahan untuk anak sekolah (sekolah menengah).

Dimulai dengan geometri bilangan kompleks dan rumus Moavre, saya segera beralih ke kurva aljabar dan permukaan Riemann, grup dasar dan penutupnya, monodromi dan polihedra beraturan (termasuk barisan eksak, subgrup normal, grup transformasi, dan grup penyelesaian). Ketidakmampuan memecahkan kelompok simetri ikosahedron dapat dengan mudah disimpulkan dengan memperhatikan lima kubus Kepler yang tertulis di dalamnya. Dari geometri dasar ini, pada akhir semester, saya mendapatkan bukti teorema Abel tentang tidak terpecahkannya persamaan radikal pangkat kelima dan lebih tinggi.

Ide saya tentang buku pelajaran sekolah yang benar-benar modern dapat dipahami dari teks kursus sekolah ini, yang kemudian diterbitkan oleh salah satu anak sekolah saya saat itu, V.B. Alekseev, dalam bentuk buku “Teorema Abel dalam Masalah” (Moskow, Nauka, 1976), serta dalam ceramah saya yang baru-baru ini diterbitkan untuk anak-anak sekolah “Geometri bilangan kompleks, angka empat, dan putaran”.

Sebagian besar dari kedua buku tersebut ditujukan untuk siswa rata-rata dan menjelaskan matematika sebenarnya kepadanya (walaupun beberapa di antaranya mungkin tidak diketahui oleh sebagian besar profesor matematika universitas).

Saya ingin menyebutkan di sini bahwa kelanjutan teori Abel (yang akan berusia 200 tahun tahun depan) mencakup teorema luar biasa tentang non-representabilitas integral dengan fungsi dasar (misalnya, akar kuadrat dari polinomial derajat ketiga).

Abel memperkenalkan topologi ke dalam teori ini (secara luas menggunakan permukaan Riemann untuk mempelajari integral Abelian fungsi aljabar). Dia menetapkan sifat integral non-dasar dalam kasus ketika permukaan Riemann bukan bola, tetapi memiliki "pegangan" (seperti torus yang berhubungan dengan "integral elips" dari akar polinomial derajat tiga). Saya kira pertimbangannya bahkan mengarah pada “ketidak-dasar topologi” integral, yang berarti bahwa baik fungsi yang menyatakan integral dari batas atas (yang disebut integral elips, atau integral Abelian), maupun fungsi inversnya (yang disebut integral elips, atau integral Abelian), disebut "fungsi elips", seperti sinus elips, menggambarkan osilasi pendulum yang tidak terlalu kecil tanpa gesekan atau rotasi bebas satelit di sekitar pusat gravitasinya) - semua fungsi ini tidak hanya non-dasar, tetapi secara topologi tidak setara dengan apa pun fungsi dasar.

Namun, sayangnya, matematikawan pada tahun-tahun berikutnya kurang memahami sifat topologi dari alasan Abel (dan tidak memasukkan teorinya dalam kursus sekolah).

Misalnya, Hardy (yang merupakan anggota asing dari Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia) menulis dalam bukunya “Apology for a Mathematician,” yang baru-baru ini diterbitkan dalam bahasa Rusia di Izhevsk: “Tanpa Abel, Riemann, dan Poincaré, matematika akan tidak kehilangan apa pun.”

Akibatnya, bukti dari dua pernyataan yang dirumuskan di atas (tentang non-dasar topologi integral dan fungsi elips, atau Abelian), tampaknya, tetap tidak dipublikasikan, dan teori topologi Abel, Riemann dan Poincaré, yang sama-sama mengubah keduanya matematika dan fisika, termasuk yang pertama-tama didasarkan pada teori-teori ini, teori medan kuantum - ilmu-ilmu topologi ini tidak perlu lagi diabaikan oleh anak-anak sekolah modern, yang malah dipenuhi dengan definisi setengah bidang atau fitur khusus komputer dari berbagai perusahaan .

Menurut pendapat saya, buku teks matematika terbaik yang tersedia adalah “Matematika Tinggi untuk Fisikawan Pemula” oleh Ya.B. Zeldovich. Meskipun ia tampak berbicara kepada siswa pemula, menurut pendapat saya, inilah cara yang tepat untuk berbicara kepada anak sekolah.

Dan kemudian di salah satu buku teks terbaik kami, yang ditulis oleh ahli matematika terkemuka untuk anak sekolah ("Fungsi dan Grafik" oleh I.M. Gelfand, E.I. Shnol dan E.G. Glagoleva), saya membaca bahwa “nilai fungsi f(x) di titik a adalah dilambangkan dengan f(a).” Setelah berpikir bahwa f(x) adalah fungsi dan f(a) adalah bilangan, bagaimana Anda bisa memahami f(y) dan f(b)? Setelah permulaan seperti itu, mustahil untuk mengajarkan apa itu operator atau fungsi, karena posisi tukang cukur menjadi sulit setelah sang jenderal memerintahkan dia untuk “mencukur semua orang yang tidak mencukur dirinya sendiri.”

Pembedaan antara berbagai level objek matematika: elemen, himpunan, himpunan bagian, pemetaan, dan seterusnya hingga fungsi dan bahkan lebih jauh lagi merupakan bagian yang mutlak diperlukan dalam budaya matematika dasar, seperti pembedaan antara harga dan tagihan, atau Uzi dan pembunuh bayaran.

Pada suatu waktu, buku pelajaran matematika Kiselev menaklukkan Rusia dengan kelebihannya yang tak terbantahkan, meskipun ia sama sekali bukan ilmuwan hebat. Selain itu, sepuluh edisi pertama buku ajar tersebut masih jauh dari pencapaian yang dicapai selanjutnya akibat revisi berulang-ulang yang disebabkan oleh komentar para guru yang praktis menggunakan buku ajar tersebut. Oleh karena itu, menurut saya dalam kondisi kita saat ini atau bahkan masa depan, buku teks terbaik tidak akan ditulis oleh ilmuwan terhebat dan bukan oleh saya sama sekali, melainkan oleh guru yang paling berpengalaman, itupun tidak segera, melainkan setelah uji coba yang panjang. di banyak sekolah oleh rekan-rekannya yang sama-sama berpengalaman.

Saya hanya ingin memperingatkan agar tidak meminjam pengalaman asing secara tidak kritis, terutama pengalaman Amerika (di mana pecahan sederhana dihapuskan, terbatas pada pecahan komputer desimal) dan Prancis (di mana mereka berhenti mengajar berhitung sama sekali, sekali lagi mengacu pada kalkulator, dan gambar dibuang ke dalam nasihat Descartes).

Baru-baru ini saya menemukan kegembiraan yang besar dari para guru matematika Paris ketika mereka memilih perwakilan mereka di bagian pendidikan matematika untuk anak-anak sekolah di Persatuan Matematika Internasional. Mereka menjelaskan kepada saya bahwa mereka “mendorongnya” agar dia tidak mengganggu rekan-rekannya di Paris dengan idenya untuk “memperkenalkan didaktik komputer ke dalam pengajaran dasar-dasar analisis matematika kepada anak-anak sekolah.”

“Didaktik” ini terdiri dari penggantian latihan tradisional seperti “menggambar grafik fungsi sin2(x) dan sin(x)2” dengan menjejalkan aturan untuk menekan tombol komputer dan mengakses sistem “Matematika” (dan sejenisnya) dari pelatihan komputer standar .

Di sisi lain, murid-murid saya di Paris menjelaskan kepada saya bahwa pelatihan militer mereka mencakup pengajaran membaca, menulis, dan berhitung untuk merekrut tentara, yang sekitar dua puluh persennya kini buta huruf (dan dapat mengirimkan misil atas perintah tertulis yang tidak dapat mereka pahami, bukan di sisi itu!).

Upaya untuk menghadirkan metode pengajaran “modern” dari negara-negara “maju” akan membawa sistem pendidikan sekolah kita ke kondisi seperti ini. Semoga cawan ini meninggalkan kita!

Vladimir Igorevich Arnold

Obskurantisme baru dan pencerahan Rusia

Sumber informasi- http://scepsis.ru/library/id_650.html

Saya persembahkan untuk Guru saya - Andrei Nikolaevich Kolmogorov

Referensi: obskurantisme adalah sikap bermusuhan terhadap pendidikan dan sains.

“Jangan sentuh lingkaranku,” kata Archimedes kepada tentara Romawi yang membunuhnya. Ungkapan nubuatan ini terlintas di benak Duma Negara, ketika ketua rapat Komite Pendidikan (22 Oktober 2002) menyela saya dengan kata-kata: “Kami tidak memiliki Akademi Ilmu Pengetahuan, di mana kami dapat membela kebenaran. , tapi Duma Negara, di mana segala sesuatunya didasarkan pada apa yang kita miliki.” Setiap orang mempunyai pendapat yang berbeda mengenai isu yang berbeda.”

Pandangan yang saya anjurkan adalah bahwa tiga kali tujuh adalah dua puluh satu, dan mengajarkan anak-anak kita tabel perkalian dan penjumlahan satu digit angka dan pecahan genap merupakan kebutuhan nasional. Saya menyebutkan pengenalan baru-baru ini di negara bagian California (atas inisiatif peraih Nobel, fisikawan transuranium Glen Seaborg) tentang persyaratan baru bagi anak sekolah yang memasuki universitas: Anda harus dapat membagi angka 111 dengan 3 secara mandiri (tanpa komputer) .

Para pendengar di Duma, tampaknya, tidak dapat berpisah, dan karena itu tidak memahami saya atau Seaborg: di Izvestia, dengan presentasi ramah dari frasa saya, angka "seratus sebelas" diganti dengan "sebelas" (yang menjadikan pertanyaannya jauh lebih sulit, karena sebelas tidak habis dibagi tiga).

Saya menemukan kemenangan obskurantisme ketika saya membaca di Nezavisimaya Gazeta sebuah artikel “Kemunduran dan Penipu” yang mengagungkan piramida yang baru dibangun di dekat Moskow, di mana Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia dinyatakan sebagai kumpulan kemunduran yang menghambat perkembangan ilmu pengetahuan (mencoba di sia-sia menjelaskan segala sesuatu dengan “hukum alam” mereka). Saya harus mengatakan bahwa saya, tampaknya, juga seorang kemunduran, karena saya masih percaya pada hukum alam dan percaya bahwa Bumi berputar pada porosnya dan mengelilingi Matahari, dan bahwa anak-anak sekolah yang lebih muda perlu terus menjelaskan mengapa di sini dingin. di musim dingin dan hangat di musim panas, tanpa membiarkan tingkat pendidikan sekolah kita turun di bawah apa yang dicapai di sekolah-sekolah paroki sebelum revolusi (yaitu, para reformis kita saat ini sedang berjuang untuk menurunkan tingkat pendidikan dengan cara yang sama, mengutip sekolah Amerika yang sangat rendah tingkat).

Rekan-rekan Amerika menjelaskan kepada saya bahwa rendahnya tingkat budaya umum dan pendidikan sekolah di negara mereka merupakan pencapaian yang disengaja untuk tujuan ekonomi. Faktanya adalah, setelah membaca buku, orang yang berpendidikan menjadi pembeli yang lebih buruk: dia membeli lebih sedikit mesin cuci dan mobil, dan mulai lebih memilih Mozart atau Van Gogh, Shakespeare atau teorema daripada mereka. Perekonomian masyarakat konsumen menderita akibat hal ini dan, yang terpenting, pendapatan para pemilik kehidupan - sehingga mereka berusaha untuk mencegah budaya dan pendidikan (yang, selain itu, mencegah mereka memanipulasi populasi sebagai kawanan yang tidak memiliki kecerdasan).

Dihadapkan pada propaganda anti-ilmiah di Rusia, saya memutuskan untuk melihat piramida, yang baru-baru ini dibangun sekitar dua puluh kilometer dari rumah saya, dan bersepeda ke sana melewati hutan pinus berusia berabad-abad antara sungai Istra dan Moskow. Di sini saya menemui kesulitan: meskipun Peter the Great melarang menebang hutan yang jaraknya kurang dari dua ratus mil dari Moskow, beberapa kilometer persegi hutan pinus terbaik yang saya lalui baru-baru ini dipagari dan dimutilasi (seperti yang dijelaskan oleh penduduk desa setempat kepada saya, ini dilakukan oleh “seseorang yang dikenal [oleh semua orang kecuali saya!] V.A.] bandit Pashka"). Tetapi bahkan dua puluh tahun yang lalu, ketika saya sedang memungut seember raspberry di tempat terbuka yang sekarang sudah dibangun ini, sekawanan babi hutan yang berjalan di sepanjang tempat terbuka itu melewati saya, membuat setengah lingkaran dengan radius sepuluh meter.

Perkembangan serupa kini terjadi di mana-mana. Tidak jauh dari rumah saya, pada suatu waktu penduduk tidak mengizinkan (bahkan melalui protes televisi) pembangunan hutan oleh pejabat Mongolia dan pejabat lainnya. Namun sejak saat itu situasinya telah berubah: desa-desa bekas partai pemerintah menyita beberapa kilometer persegi hutan kuno di depan semua orang, dan tidak ada lagi yang melakukan protes (di Inggris abad pertengahan, “pagar” menyebabkan pemberontakan!).

Benar, di desa Soloslov, di sebelah saya, salah satu anggota dewan desa mencoba menolak pembangunan hutan. Dan kemudian, di siang hari bolong, sebuah mobil dengan bandit bersenjata tiba, yang menembaknya tepat di desa, di rumahnya. Dan sebagai hasilnya, perkembangan terjadi.

Di desa tetangga lainnya, Daryin, seluruh ladang telah dibangun kembali dengan rumah-rumah mewah. Sikap masyarakat terhadap peristiwa ini terlihat jelas dari nama yang mereka berikan di desa untuk lahan terbangun ini (sayangnya, nama tersebut belum tercantum di peta): “ladang pencuri”.

Penghuni kendaraan bermotor baru di bidang ini telah mengubah jalan raya yang mengarah dari kami ke stasiun Perkhushkovo menjadi kebalikannya. Bus hampir berhenti berjalan di sepanjang jalan itu dalam beberapa tahun terakhir. Pada awalnya, warga-pengendara baru mengumpulkan uang di stasiun terminal untuk sopir bus agar dia menyatakan busnya “rusak” dan penumpang akan membayar pedagang swasta. Mobil-mobil penghuni baru “lapangan” tersebut kini melaju di sepanjang jalan raya ini dengan kecepatan tinggi (dan seringkali di jalur orang lain). Dan saya, ketika berjalan sejauh lima mil ke stasiun, berisiko terjatuh, seperti banyak pejalan kaki pendahulu saya, yang tempat kematiannya baru-baru ini ditandai di pinggir jalan dengan karangan bunga. Namun kereta listrik kini juga terkadang tidak berhenti di stasiun yang ditentukan jadwalnya.

Sebelumnya, polisi mencoba mengukur kecepatan pengendara yang melakukan pembunuhan dan mencegahnya, namun setelah seorang polisi yang mengukur kecepatan dengan radar ditembak oleh penjaga orang yang lewat, tidak ada lagi yang berani menghentikan mobil. Dari waktu ke waktu saya menemukan selongsong peluru tepat di jalan raya, tetapi tidak jelas siapa yang tertembak. Adapun karangan bunga di tempat meninggalnya pejalan kaki, kini semuanya telah diganti dengan pemberitahuan “Dilarang Membuang Sampah”, digantung di pohon yang sama dengan sebelumnya terdapat karangan bunga bertuliskan nama orang yang dibuang.

Sepanjang jalan kuno dari Aksinin ke Chesnokov, menggunakan jalan yang dibuat oleh Catherine II, saya mencapai piramida dan melihat di dalamnya “rak untuk mengisi botol dan benda lain dengan energi intelektual gaib.” Instruksinya, yang berukuran beberapa meter persegi, mencantumkan manfaat dari beradanya benda atau pasien hepatitis A atau B selama beberapa jam di dalam piramida (saya membaca di surat kabar bahwa seseorang bahkan mengirim batu berbobot beberapa kilogram “ dibebankan” oleh piramida ke stasiun luar angkasa untuk uang publik).

Namun penyusun instruksi ini juga menunjukkan kejujuran yang tidak terduga bagi saya: mereka menulis bahwa tidak ada gunanya mengantri di rak-rak di dalam piramida, karena “puluhan meter dari piramida, di luar, efeknya akan sama. ” Menurut saya, hal ini sepenuhnya benar.

Jadi, sebagai sebuah “kemunduran” yang sebenarnya, saya menganggap seluruh usaha piramidal ini sebagai iklan yang berbahaya dan anti-ilmiah untuk sebuah toko yang menjual “memuat benda.”

Namun obskurantisme selalu mengikuti pencapaian ilmiah, mulai dari zaman kuno. Murid Aristoteles, Alexander Philipovich dari Makedonia, membuat sejumlah penemuan "ilmiah" (dijelaskan oleh rekannya, Arian, dalam Anabasis). Misalnya, ia menemukan sumber Sungai Nil: menurutnya, itu adalah Indus. Bukti “ilmiah”nya adalah: “Ini adalah dua sungai besar yang dipenuhi buaya” (dan konfirmasinya: “Selain itu, tepian kedua sungai tersebut ditumbuhi teratai”).

Namun, ini bukan satu-satunya penemuannya: ia juga “menemukan” bahwa Sungai Oxus (sekarang disebut Amu Darya) “mengalir dari utara, berbelok di dekat Ural, ke rawa Meotian di Euxine Pontus, yang disebut Tanais. ” (“Tanais " adalah Don, dan "rawa Meotian" adalah Laut Azov). Pengaruh ide-ide obskurantis terhadap peristiwa-peristiwa tidak selalu dapat diabaikan:

Alexander dari Sogdiana (yaitu, Samarkand) tidak pergi lebih jauh ke Timur, ke Cina, seperti yang ia inginkan pertama kali, tetapi ke selatan, ke India, karena takut akan penghalang air yang menghubungkan, menurut teori ketiganya, Kaspia (“Hyrcanian ”) Laut dengan Samudera Hindia (di kawasan Teluk Benggala). Karena dia percaya bahwa laut, “menurut definisinya,” adalah teluk samudera. Inilah jenis “sains” yang sedang kita tuju.

Saya ingin menyampaikan harapan bahwa militer kita tidak akan terlalu dipengaruhi oleh kaum obskurantis (mereka bahkan membantu saya menyelamatkan geometri dari upaya para “reformis” untuk mengeluarkannya dari sekolah). Namun upaya yang dilakukan saat ini untuk menurunkan tingkat pendidikan di Rusia agar sesuai dengan standar Amerika sangatlah berbahaya baik bagi negara tersebut maupun bagi dunia.

Di Prancis saat ini, 20% tentara yang direkrut benar-benar buta huruf, tidak memahami perintah tertulis dari perwira (dan dapat mengirim rudal dengan hulu ledak ke arah yang salah). Semoga cawan ini berlalu dari kita! Masyarakat kita masih membaca, namun para “para reformis” ingin menghentikan hal ini: “Baik Pushkin maupun Tolstoy keduanya keterlaluan!” - mereka menulis.

Akan terlalu mudah bagi saya, sebagai seorang ahli matematika, untuk menggambarkan bagaimana mereka berencana untuk menghilangkan pendidikan matematika yang secara tradisional berkualitas tinggi di sekolah-sekolah. Sebaliknya, saya akan membuat daftar beberapa gagasan obskurantis serupa mengenai pengajaran mata pelajaran lain: ekonomi, hukum, ilmu sosial, sastra (mata pelajaran, bagaimanapun, mereka mengusulkan untuk menghapuskan segala sesuatu di sekolah).

Proyek dua jilid “Standar Pendidikan Umum” yang diterbitkan oleh Kementerian Pendidikan Rusia berisi daftar besar topik yang pengetahuannya diusulkan untuk tidak lagi mengharuskan siswa mengetahuinya. Daftar inilah yang memberikan gambaran paling jelas tentang gagasan para “para reformis” dan pengetahuan “berlebihan” seperti apa yang mereka upayakan untuk “melindungi” generasi berikutnya.

Saya akan menahan diri dari komentar politik, namun berikut adalah contoh umum dari informasi yang dianggap “tidak perlu” yang diambil dari proyek Standards setebal empat ratus halaman:

Konstitusi Uni Soviet;
“orde baru” fasis di wilayah pendudukan;
Trotsky dan Trotskyisme;
partai politik besar;
demokrasi Kristen;
inflasi;
laba;
mata uang;
surat berharga;
sistem multi-partai;
jaminan hak dan kebebasan;
agensi penegak hukum;
uang dan surat berharga lainnya;
bentuk struktur negara-teritorial Federasi Rusia;
Ermak dan aneksasi Siberia;
kebijakan luar negeri Rusia (abad XVII, XVIII, XIX dan XX);
pertanyaan Polandia;
Konfusius dan Buddha;
Cicero dan Kaisar;
Joan of Arc dan Robin Hood;
Perorangan dan badan hukum;
status hukum seseorang dalam negara demokrasi yang diatur berdasarkan hukum;
pemisahan kekuatan;
sistem peradilan;
otokrasi, Ortodoksi dan kebangsaan (teori Uvarov);
masyarakat Rusia;
dunia Kristen dan Islam;
Louis XIV;
Luther;
Loyola;
Bismarck;
Duma Negara;
pengangguran;
kedaulatan;
pasar saham (bursa);
penerimaan negara;
pendapatan keluarga.

“Ilmu Sosial”, “Sejarah”, “Ekonomi”, dan “Hukum”, tanpa pembahasan semua konsep tersebut, hanyalah ibadah formal, tidak ada gunanya bagi pelajar. Di Perancis, saya mengenali obrolan teologis mengenai topik-topik abstrak ini melalui serangkaian kata-kata kunci: “Prancis, sebagai putri sulung Gereja Katolik...” (dapat diikuti dengan apa saja, misalnya: “... tidak perlu mengeluarkan uang untuk ilmu pengetahuan, karena Kami sudah memiliki ilmuwan dan masih memilikinya”), seperti yang saya dengar pada pertemuan Komite Nasional Republik Perancis untuk Ilmu Pengetahuan dan Penelitian, yang mana Menteri Ilmu Pengetahuan, Riset dan Teknologi Republik Perancis menunjuk saya sebagai anggota.

Agar tidak berat sebelah, saya juga akan memberikan daftar penulis dan karya yang “tidak diinginkan” (dalam arti yang sama “tidak dapat diterima” untuk studi serius mereka) yang disebutkan dalam kapasitas ini dengan “Standar” yang memalukan:

Glinka;
Chaikovsky;
Beethoven;
Mozart;
Grieg;
Raphael;
Leonardo da Vinci;
Rembrandt;
Van Gogh;
Omar Khayyam;
"Tom Sawyer";
"Oliver Memutar";
Soneta Shakespeare;
“Perjalanan dari St. Petersburg ke Moskow” oleh Radishchev;
"Prajurit Timah yang Teguh";
"Gobsek";
"Pere Goriot"
"Les Miserables";
"Taring Putih";
"Kisah Belkin";
"Boris Godunov";
"Poltava";
"Dubrovsky";
"Ruslan dan Lyudmila";
"Babi di Bawah Pohon Ek";
"Malam hari di Peternakan Dekat Dikanka";
"Nama keluarga kuda";
"Pantry Matahari";
"sisi Meshcherskaya";
"Tenang Don";
"Pigmalion";
"Dukuh";
"Faust";
"Perpisahan dengan Senjata";
"Sarang Mulia";
"Nyonya dengan seekor anjing";
"Peloncat";
"Awan di celana";
"Pria kulit hitam";
"Berlari";
"Bangsal Kanker";
"Pameran Kesombongan";
"Untuk siapa bel berdentang";
"Tiga Kawan";
"Di lingkaran pertama";
"Kematian Ivan Ilyich".

Dengan kata lain, mereka mengusulkan untuk menghapuskan Kebudayaan Rusia. Mereka mencoba untuk “melindungi” anak-anak sekolah dari pengaruh pusat kebudayaan yang “berlebihan”, menurut “Standar”; hal ini ternyata tidak diinginkan, menurut penyusun “Standar”, untuk disebutkan oleh guru di sekolah:

Museum Pertapaan;
Museum Rusia;
Galeri Tretyakov;
Museum Seni Rupa Pushkin di Moskow.

Bel berbunyi untuk kita!

Masih sulit untuk menolak dan tidak menyebutkan sama sekali apa sebenarnya yang diusulkan untuk dijadikan “opsional untuk pembelajaran” dalam ilmu eksakta (dalam hal apa pun, “Standar” merekomendasikan “tidak mengharuskan anak sekolah untuk menguasai bagian-bagian ini”):

Struktur atom;
konsep tindakan jangka panjang;
struktur mata manusia;
hubungan ketidakpastian mekanika kuantum;
interaksi mendasar;
langit berbintang;
Matahari itu seperti salah satu bintang;
struktur seluler organisme;
refleks;
genetika;
asal usul kehidupan di Bumi;
evolusi dunia kehidupan;
teori Copernicus, Galileo dan Giordano Bruno;
teori Mendeleev, Lomonosov, Butlerov;
manfaat Pasteur dan Koch;
natrium, kalsium, karbon dan nitrogen (perannya dalam metabolisme);
minyak;
polimer.

Dalam matematika, diskriminasi yang sama diterapkan pada topik-topik dalam Standar, yang tanpanya tidak ada guru yang dapat melakukannya (dan tanpa pemahaman penuh tentang mana anak sekolah akan benar-benar tidak berdaya dalam fisika, teknologi, dan sejumlah besar penerapan sains lainnya, termasuk keduanya. militer dan kemanusiaan):

Kebutuhan dan kecukupan;
tempat kedudukan poin;
sinus sudut pada 30o, 45o, 60o;
membuat garis bagi sudut;
membagi suatu segmen menjadi bagian-bagian yang sama;
mengukur sudut;
konsep panjang suatu segmen;
jumlah suku suatu barisan aritmatika;
wilayah sektor;
fungsi trigonometri terbalik;
pertidaksamaan trigonometri sederhana;
persamaan polinomial dan akar-akarnya;
geometri bilangan kompleks (diperlukan untuk fisika)
arus bolak-balik, dan untuk teknik radio, dan untuk mekanika kuantum);
tugas konstruksi;
sudut bidang dari sudut segitiga;
turunan dari fungsi kompleks;
mengubah pecahan sederhana menjadi desimal.

Satu-satunya harapan adalah ribuan guru terlatih yang ada akan terus memenuhi tugas mereka dan mengajarkan semua ini kepada anak-anak sekolah generasi baru, meskipun ada perintah dari Kementerian. Akal sehat lebih kuat dari disiplin birokrasi. Kita hanya perlu ingat untuk membayar guru-guru kita yang luar biasa dengan layak atas prestasi mereka.

Perwakilan Duma menjelaskan kepada saya bahwa situasinya bisa jauh lebih baik jika perhatian diberikan pada implementasi undang-undang pendidikan yang telah diadopsi.

Uraian situasi berikut disampaikan oleh Deputi I.I. Melnikov dalam laporannya di Institut Matematika. V.A. Steklov dari Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia di Moskow pada musim gugur 2002.

Misalnya, salah satu undang-undang mengatur peningkatan tahunan kontribusi anggaran untuk pelatihan sebesar sekitar 20% per tahun. Namun menteri mengatakan bahwa “tidak perlu khawatir tentang penerapan undang-undang ini, karena peningkatan hampir setiap tahun terjadi lebih dari 40%.” Tak lama setelah pidato menteri tersebut, diumumkan peningkatan (dengan persentase yang jauh lebih kecil) yang secara praktis dapat dilakukan pada tahun berikutnya (pada tahun 2002). Dan jika kita juga memperhitungkan inflasi, ternyata diambil keputusan untuk mengurangi kontribusi riil tahunan terhadap pendidikan.

Undang-undang lain mengatur persentase belanja anggaran yang harus dikeluarkan untuk pendidikan. Kenyataannya, jauh lebih sedikit yang dibelanjakan (saya tidak dapat mengetahui secara pasti berapa kali). Namun pengeluaran untuk “pertahanan melawan musuh internal” meningkat dari sepertiga menjadi setengah pengeluaran untuk pertahanan melawan musuh eksternal.

Berhenti mengajarkan pecahan kepada anak-anak adalah hal yang wajar, jika tidak, amit-amit, mereka akan mengerti!

Rupanya, justru untuk mengantisipasi reaksi para guru, penyusun “Standar” memberikan sejumlah nama penulis dalam daftar bacaan yang direkomendasikan (seperti nama Pushkin, Krylov, Lermontov, Chekhov, dan sejenisnya) dengan tanda “tanda bintang”, yang mereka artikan sebagai: “Sekehendak guru dapat memperkenalkan siswa pada satu atau dua karya lagi dari penulis yang sama” (dan bukan hanya “Monumen” yang mereka rekomendasikan dalam kasus Pushkin).

Tingkat pendidikan matematika tradisional kita yang lebih tinggi dibandingkan dengan negara-negara asing menjadi jelas bagi saya hanya setelah saya dapat membandingkan tingkat ini dengan pendidikan asing, setelah bekerja selama beberapa semester di universitas dan perguruan tinggi di Paris dan New York, Oxford dan Cambridge, Pisa dan Bologna. , Bonn dan Berkeley, Stanford dan Boston, Hong Kong dan Kyoto, Madrid dan Toronto, Marseille dan Strasbourg, Utrecht dan Rio de Janeiro, Conakry dan Stockholm.

“Tidak mungkin kami bisa mengikuti prinsip Anda dalam memilih kandidat berdasarkan pencapaian ilmiah mereka,” kata rekan-rekan saya di komisi undangan profesor baru ke salah satu universitas terbaik di Paris. “Lagi pula, dalam hal ini kita hanya harus memilih orang Rusia – keunggulan ilmiah mereka sangat jelas bagi kita semua!” (Saya juga berbicara tentang seleksi di antara orang Prancis).

Dengan risiko hanya dipahami oleh para ahli matematika, saya tetap akan memberikan contoh tanggapan dari calon guru besar matematika terbaik di sebuah universitas di Paris pada musim semi tahun 2002 (200 orang melamar untuk setiap posisi).

Kandidat tersebut telah mengajar aljabar linier di berbagai universitas selama beberapa tahun, mempertahankan disertasinya dan menerbitkan selusin artikel di jurnal matematika terbaik di Perancis.

Seleksinya meliputi wawancara, dimana kandidat selalu ditanyai pertanyaan-pertanyaan mendasar namun penting (pada level pertanyaan “Sebutkan ibu kota Swedia” jika subjeknya geografi).

Jadi saya bertanya, "Apa tanda tangan dari bentuk kuadrat xy?"

Kandidat tersebut meminta waktu 15 menit yang diberikan kepadanya untuk berpikir, setelah itu dia berkata: “Di komputer saya di Toulouse, saya memiliki (program) rutin yang dalam satu atau dua jam dapat mengetahui berapa plus dan berapa minus yang akan ada. dalam bentuk normal. Selisih kedua angka ini akan menjadi tanda tangannya - tetapi Anda hanya memberi waktu 15 menit, dan tanpa komputer, jadi saya tidak bisa menjawab, bentuk xy ini terlalu rumit.”

Bagi non spesialis, saya akan jelaskan bahwa jika kita berbicara tentang zoologi, maka jawabannya akan seperti ini: “Linnaeus mencantumkan semua hewan, tetapi apakah pohon birch itu mamalia atau bukan, saya tidak bisa menjawab tanpa buku.”

Kandidat berikutnya ternyata adalah seorang spesialis dalam “sistem persamaan diferensial parsial elips” (satu setengah dekade setelah mempertahankan disertasinya dan lebih dari dua puluh karya yang diterbitkan).

Saya bertanya yang ini: “Berapa Laplacian dari fungsi 1/r dalam ruang Euclidean tiga dimensi?”

Responsnya (dalam waktu 15 menit seperti biasanya) sungguh luar biasa bagi saya; “Jika r ada di pembilangnya, dan bukan di penyebutnya, dan turunan pertama diperlukan, dan bukan turunan kedua, maka saya akan bisa menghitungnya dalam waktu setengah jam, tapi sebaliknya pertanyaannya terlalu sulit.”

Izinkan saya menjelaskan bahwa pertanyaan tersebut berasal dari teori persamaan elips, seperti pertanyaan “Siapa penulis Hamlet?” dalam ujian Sastra Inggris. Mencoba membantu, saya mengajukan serangkaian pertanyaan yang mengarahkan (mirip dengan pertanyaan tentang Othello dan Ophelia): “Tahukah Anda apa hukum gravitasi? hukum Coulomb? Bagaimana hubungannya dengan Laplacian? Apa solusi mendasar dari persamaan Laplace?”

Tapi tidak ada yang membantu: baik Macbeth maupun King Lear tidak dikenal oleh kandidat tersebut jika kita berbicara tentang sastra.

Akhirnya, ketua panitia ujian menjelaskan kepada saya apa yang sedang terjadi: “Bagaimanapun, kandidat tidak hanya mempelajari satu persamaan elips, tetapi sistemnya, dan Anda bertanya kepadanya tentang persamaan Laplace, yang hanya satu - jelas bahwa dia belum pernah menemukannya!”

Dalam analogi sastra, “pembenaran” ini sesuai dengan ungkapan: “Kandidat mempelajari penyair Inggris, bagaimana dia bisa mengenal Shakespeare, dia adalah seorang penulis naskah drama!”

Kandidat ketiga (dan lusinan dari mereka diwawancarai) sedang mengerjakan “bentuk diferensial holomorfik”, dan saya bertanya kepadanya: “Apa yang dimaksud dengan permukaan garis singgung Riemann?” (Saya takut bertanya tentang garis singgung busur).

Jawaban: “Metrik Riemannian adalah bentuk kuadrat dari perbedaan koordinat, tetapi bentuk apa yang dikaitkan dengan fungsi tangen sama sekali tidak jelas bagi saya.”

Saya akan jelaskan lagi dengan contoh jawaban serupa, kali ini menggantikan matematika dengan sejarah (yang lebih disukai kaum Mitrofan). Di sini pertanyaannya adalah: “Siapakah Julius Caesar?”, dan jawabannya: “Para penguasa Byzantium disebut Kaisar, tetapi saya tidak mengenal Julius di antara mereka.”

Akhirnya muncul seorang kandidat probabilistik yang berbicara menarik tentang disertasinya. Ia membuktikan di dalamnya bahwa pernyataan “A dan B bersama-sama benar” adalah salah (pernyataan A dan B sendiri dirumuskan panjang lebar, jadi saya tidak akan mereproduksinya di sini).

Pertanyaan: Tapi bagaimana dengan pernyataan A saja, tanpa B: benar atau salah?

Jawaban: “Lagi pula, saya mengatakan bahwa pernyataan “A dan B” itu salah. Artinya A juga salah." Yaitu: “Karena tidak benar “Petya dan Misha terkena kolera”, maka Petya tidak terkena kolera.”

Di sini kebingungan saya kembali terhapuskan oleh ketua komisi: ia menjelaskan bahwa calon tersebut bukanlah seorang probabilist, seperti yang saya kira, melainkan seorang ahli statistik (dalam biografi yang disebut CV, tidak ada “proba”, tetapi “stat”) .

“Para ahli probabilistik,” ketua kami yang berpengalaman menjelaskan kepada saya, “memiliki logika yang normal, sama dengan logika ahli matematika, Aristotelian. Bagi ahli statistik, hal ini sangat berbeda: bukan tanpa alasan mereka mengatakan “ada kebohongan, kebohongan yang terang-terangan, dan statistik.” Semua alasan mereka tidak berdasar, semua kesimpulan mereka salah. Tetapi kesimpulan-kesimpulan ini selalu sangat penting dan berguna. Kami pasti harus menerima ahli statistik ini!”

Di Universitas Moskow, orang bodoh seperti itu tidak akan mampu menyelesaikan tahun ketiga Fakultas Mekanika dan Matematika. Permukaan Riemann dianggap sebagai puncak matematika oleh pendiri Moscow Mathematical Society, N. Bugaev (ayah dari Andrei Bely). Dia, bagaimanapun, percaya bahwa dalam matematika kontemporer pada akhir abad ke-19, objek mulai muncul yang tidak sesuai dengan arus utama teori lama ini - fungsi non-holomorfik dari variabel nyata, yang menurutnya adalah fungsi matematika. perwujudan gagasan kehendak bebas sama seperti permukaan Riemann dan fungsi holomorfik mewujudkan gagasan fatalisme dan takdir.

Sebagai hasil dari refleksi ini, Bugaev mengirim pemuda Moskow ke Paris untuk mempelajari “matematika kehendak bebas” baru di sana (dari Borel dan Lebesgue). Program ini dilaksanakan dengan gemilang oleh N.N. Luzin, yang sekembalinya ke Moskow menciptakan sekolah yang brilian, termasuk semua ahli matematika utama Moskow selama beberapa dekade: Kolmogorov dan Petrovsky, Aleksandrov dan Pontryagin, Menshov dan Keldysh, Novikov dan Lavrentiev, Gelfand dan Lyusternik.

Ngomong-ngomong, Kolmogorov merekomendasikan kepada saya Hotel Parisiana (di Jalan Tournefort, tidak jauh dari Pantheon) yang kemudian dipilih Luzin sendiri di Latin Quarter Paris. Selama Kongres Matematika Eropa Pertama di Paris (1992) saya menginap di hotel murah ini (dengan fasilitas abad ke-19, tanpa telepon, dll.). Dan pemilik tua hotel ini, setelah mengetahui bahwa saya datang dari Moskow, langsung bertanya kepada saya: “Bagaimana kabar tamu lama saya, Luzin, di sana? Sayang sekali dia sudah lama tidak mengunjungi kita.”

Beberapa tahun kemudian, hotel ini ditutup untuk renovasi (pemiliknya mungkin sudah meninggal) dan mereka mulai membangunnya kembali dengan cara Amerika, jadi sekarang Anda tidak dapat lagi melihat pulau abad ke-19 di Paris ini.

Kembali ke pemilihan profesor pada tahun 2002, saya perhatikan bahwa semua orang bodoh yang disebutkan di atas menerima (dari semua orang kecuali saya) nilai terbaik. Sebaliknya, satu-satunya kandidat yang menurut saya layak ditolak hampir dengan suara bulat. Dia menemukan (dengan bantuan "basis Gröbner" dan aljabar komputer) beberapa lusin sistem persamaan fisika matematika Hamilton yang sepenuhnya terintegrasi (pada saat yang sama, tetapi tidak termasuk dalam daftar yang baru, Korteweg-de Vries yang terkenal, Sayn-Gordon, dan persamaan sejenisnya).

Sebagai proyek masa depan, kandidat tersebut juga mengusulkan metode komputer baru untuk memodelkan pengobatan diabetes. Terhadap pertanyaan saya tentang penilaian metodenya oleh para dokter, dia menjawab dengan cukup masuk akal: “Metode tersebut sekarang sedang diuji di pusat-pusat dan rumah sakit ini dan itu, dan dalam enam bulan mereka akan memberikan kesimpulannya, membandingkan hasilnya dengan metode lain dan dengan metode lain. kelompok kontrol pasien, namun untuk saat ini pemeriksaan tersebut belum dilakukan, dan hanya ada penilaian awal, meskipun bagus.”

Mereka menolaknya dengan penjelasan sebagai berikut: “Di setiap halaman disertasinya disebutkan kelompok Lie atau aljabar Lie, tapi tidak ada seorang pun di sini yang memahaminya, jadi dia tidak akan cocok dengan tim kami sama sekali.” Benar, saya dan semua siswa saya bisa saja ditolak, tetapi beberapa rekan berpikir bahwa alasan penolakannya berbeda: tidak seperti semua kandidat sebelumnya, yang ini bukan orang Prancis (dia adalah murid seorang profesor Amerika yang terkenal. dari Minnesota).

Keseluruhan gambaran yang dijelaskan mengarah pada pemikiran sedih tentang masa depan sains Perancis, khususnya matematika. Meskipun “Komite Sains Nasional Prancis” cenderung untuk tidak membiayai penelitian ilmiah baru sama sekali, tetapi untuk mengeluarkan uang (disediakan oleh Parlemen untuk pengembangan ilmu pengetahuan) untuk pembelian resep Amerika yang sudah jadi, saya sangat menentang kebijakan bunuh diri ini. dan masih mencapai setidaknya beberapa penelitian baru yang disubsidi.

Namun kesulitan disebabkan oleh pembagian uang. Kedokteran, energi nuklir, kimia polimer, virologi, genetika, ekologi, perlindungan lingkungan, pembuangan limbah radioaktif dan banyak lagi secara konsisten dipilih sebagai tidak layak menerima subsidi melalui pemungutan suara (dalam pertemuan lima jam). Pada akhirnya, mereka memilih tiga “ilmu” yang disinyalir layak mendapatkan pendanaan untuk penelitian baru mereka. Ketiga “ilmu” tersebut adalah:

2) psikoanalisis;

3) cabang kimia farmasi yang kompleks, yang nama ilmiahnya tidak dapat saya reproduksi, tetapi terlibat dalam pengembangan obat-obatan psikotropika, mirip dengan gas lakrimogenik, yang mengubah kelompok pemberontak menjadi kawanan yang patuh.

Jadi sekarang Perancis telah diselamatkan!

Dari semua siswa Luzin, menurut pendapat saya, kontribusi paling luar biasa terhadap sains dibuat oleh Andrei Nikolaevich Kolmogorov. Dibesarkan di sebuah desa bersama kakeknya di dekat Yaroslavl, Andrei Nikolaevich dengan bangga menyebut kata-kata Gogol sebagai “seorang petani Roslavl yang efisien.”

Dia tidak berniat menjadi ahli matematika, bahkan setelah masuk Universitas Moskow, di mana dia segera mulai belajar sejarah (dalam seminar Profesor Bakhrushin) dan, sebelum dia berusia dua puluh tahun, menulis karya ilmiah pertamanya.

Karya ini dikhususkan untuk mempelajari hubungan ekonomi tanah di Novgorod abad pertengahan. Dokumen perpajakan telah disimpan di sini, dan analisis sejumlah besar dokumen ini dengan menggunakan metode statistik membawa sejarawan muda tersebut pada kesimpulan yang tidak terduga, yang dia bicarakan pada pertemuan Bakhrushin.

Laporannya sangat sukses, dan pembicaranya mendapat banyak pujian. Tapi dia bersikeras pada pernyataan lain: dia ingin kesimpulannya diakui benar.

Pada akhirnya, Bakhrushin mengatakan kepadanya: “Laporan ini harus dipublikasikan; dia sangat menarik. Namun mengenai kesimpulan, kami, para sejarawan, tidak selalu membutuhkan satu bukti saja, tapi setidaknya lima bukti untuk mengakui kesimpulan apa pun!”

Keesokan harinya, Kolmogorov mengubah sejarah menjadi matematika, di mana bukti saja sudah cukup. Dia tidak menerbitkan laporan tersebut, dan teks ini tetap ada di arsipnya sampai, setelah kematian Andrei Nikolaevich, teks tersebut diperlihatkan kepada sejarawan modern, yang mengakuinya tidak hanya sebagai sesuatu yang sangat baru dan menarik, tetapi juga cukup konklusif. Kini laporan Kolmogorov ini telah diterbitkan, dan dianggap oleh komunitas sejarawan sebagai kontribusi luar biasa bagi ilmu pengetahuan mereka.

Setelah menjadi ahli matematika profesional, Kolmogorov tetap, tidak seperti kebanyakan dari mereka, pertama-tama, seorang ilmuwan dan pemikir alam, dan sama sekali bukan pengganda bilangan multi-digit (yang terutama muncul ketika menganalisis aktivitas ahli matematika kepada orang-orang yang tidak terbiasa dengan matematika, termasuk L.D. Landau yang menilai matematika justru merupakan kelanjutan dari keterampilan berhitung: lima lima - dua puluh lima, enam enam - tiga puluh enam, tujuh tujuh - empat puluh tujuh, seperti yang saya baca dalam parodi Landau yang disusun oleh Fisika dan mahasiswa teknologi; namun, dalam surat Landau kepada saya, yang saat itu masih mahasiswa, matematika tidak lebih logis daripada di parodi ini).

Mayakovsky menulis: “Bagaimanapun, dia dapat mengekstrak akar kuadrat setiap detik” (tentang seorang profesor yang “tidak bosan karena para siswa aktif pergi ke gimnasium di bawah jendela”).

Namun dia dengan sempurna menggambarkan apa itu penemuan matematika, dengan mengatakan bahwa “Siapapun yang menemukan bahwa dua dan dua sama dengan empat adalah seorang ahli matematika yang hebat, bahkan jika dia menemukannya dengan menghitung puntung rokok. Dan siapa pun yang saat ini menghitung objek yang jauh lebih besar, seperti lokomotif, dengan menggunakan rumus yang sama, bukanlah ahli matematika sama sekali!”

Kolmogorov, tidak seperti banyak orang lainnya, tidak pernah terintimidasi oleh matematika terapan “lokomotif”, dan ia dengan senang hati menerapkan pertimbangan matematis ke berbagai bidang aktivitas manusia: dari hidrodinamika hingga artileri, dari mekanika angkasa hingga puisi, dari miniaturisasi komputer hingga dunia. teori gerak Brown, dari divergensi deret Fourier hingga teori transmisi informasi dan logika intuisionistik. Dia menertawakan kenyataan bahwa orang Prancis menulis “Mekanika Langit” dengan huruf kapital, dan “menerapkan” dengan huruf kecil.

Ketika saya pertama kali tiba di Paris pada tahun 1965, Profesor Fréchet yang sudah lanjut usia dengan hangat menyambut saya dengan kata-kata berikut: “Bagaimanapun, Anda adalah murid Kolmogorov, pemuda yang membuat contoh deret Fourier yang hampir selalu berbeda!”

Pekerjaan Kolmogorov yang disebutkan di sini diselesaikan olehnya pada usia sembilan belas tahun, memecahkan masalah klasik dan segera mempromosikan siswa ini ke peringkat ahli matematika kelas satu yang penting bagi dunia. Empat puluh tahun kemudian, pencapaian ini masih lebih penting bagi Frechet daripada semua karya fundamental Kolmogorov berikutnya yang jauh lebih penting, yang merevolusi teori probabilitas, teori fungsi, hidrodinamika, mekanika langit, teori perkiraan, dan teori fungsi. kompleksitas algoritmik, dan teori kohomologi dalam topologi, dan teori kendali sistem dinamis (di mana ketidaksetaraan Kolmogorov antara turunan dari ordo yang berbeda tetap menjadi salah satu pencapaian tertinggi saat ini, meskipun ahli teori kendali jarang memahami hal ini).

Namun Kolmogorov sendiri selalu agak skeptis terhadap matematika kesayangannya, menganggapnya sebagai bagian kecil dari ilmu pengetahuan alam dan dengan mudah mengabaikan batasan logis yang dikenakan oleh belenggu metode deduktif aksiomatik pada ahli matematika sejati.

“Akan sia-sia,” katanya kepada saya, “mencari konten matematis dalam karya saya tentang turbulensi. Saya berbicara di sini sebagai fisikawan dan sama sekali tidak peduli dengan pembuktian matematis atau turunan kesimpulan saya dari premis awal, seperti persamaan Navier-Stokes. Meskipun kesimpulan-kesimpulan ini belum terbukti, kesimpulan-kesimpulan ini benar dan terbuka, dan ini jauh lebih penting daripada membuktikannya!”

Banyak penemuan Kolmogorov tidak hanya tidak terbukti (baik oleh dirinya sendiri maupun oleh para pengikutnya), tetapi bahkan tidak dipublikasikan. Namun demikian, mereka telah dan terus mempunyai pengaruh yang menentukan pada sejumlah departemen ilmu pengetahuan (dan tidak hanya matematika).

Saya akan memberikan satu contoh terkenal saja (dari teori turbulensi).

Model matematika hidrodinamika adalah sistem dinamis dalam ruang medan kecepatan fluida, yang menggambarkan evolusi medan kecepatan awal partikel fluida di bawah pengaruh interaksinya: tekanan dan viskositas (serta di bawah kemungkinan pengaruh gaya luar). , misalnya gaya berat pada kasus sungai atau tekanan air pada pipa air).
Di bawah pengaruh evolusi ini, sistem dinamis dapat mencapai keadaan setimbang (stasioner), ketika kecepatan aliran di setiap titik wilayah aliran tidak berubah terhadap waktu (walaupun segala sesuatu mengalir, dan setiap partikel bergerak dan mengubah kecepatannya seiring waktu. waktu).

Aliran stasioner seperti itu (misalnya, aliran laminar dalam istilah hidrodinamika klasik) merupakan titik tarik-menarik dari sistem dinamis. Oleh karena itu mereka disebut penarik (titik).

Himpunan lain yang menarik tetangga juga dimungkinkan, misalnya kurva tertutup yang menggambarkan aliran yang berubah secara berkala seiring waktu dalam ruang fungsional medan kecepatan. Kurva seperti itu merupakan penarik ketika kondisi awal yang berdekatan, yang digambarkan oleh titik-titik “terganggu” dari ruang fungsional medan kecepatan yang dekat dengan kurva tertutup yang ditunjukkan, memulai, meskipun tidak berubah secara periodik terhadap waktu, aliran yang mendekatinya (yaitu, aliran aliran yang terganggu cenderung ke arah yang dijelaskan sebelumnya secara berkala seiring waktu).

Poincaré, yang pertama kali menemukan fenomena ini, menyebut kurva penarik tertutup tersebut sebagai “siklus batas stabil”. Dari sudut pandang fisik, mereka dapat disebut rezim aliran tunak periodik: gangguan secara bertahap memudar selama proses transisi yang disebabkan oleh gangguan pada kondisi awal, dan setelah beberapa waktu perbedaan antara gerakan dan aliran periodik yang tidak terganggu menjadi hampir tidak terlihat. .

Setelah Poincaré, siklus batas tersebut dipelajari secara ekstensif oleh A.A. Andronov, yang berdasarkan model matematika ini mempelajari dan menghitung generator gelombang radio, yaitu pemancar radio.

Penting untuk diingat bahwa teori lahirnya siklus batas dari posisi keseimbangan tidak stabil, yang ditemukan oleh Poincaré dan dikembangkan oleh Andronov, saat ini biasanya disebut (bahkan di Rusia) bifurkasi Hopf. E. Hopf menerbitkan sebagian teori ini beberapa dekade setelah publikasi Andronov dan lebih dari setengah abad setelah Poincaré, tetapi tidak seperti mereka, ia tinggal di Amerika, sehingga prinsip eponim yang terkenal berhasil: jika suatu benda menyandang nama seseorang, maka ini bukanlah nama penemunya (misalnya, Amerika tidak dinamai menurut nama Columbus).

Fisikawan Inggris M. Berry menyebut prinsip eponymous ini sebagai “prinsip Arnold”, menambahkan prinsip kedua ke dalamnya. Prinsip Berry: Prinsip Arnold berlaku untuk dirinya sendiri (yaitu, telah diketahui sebelumnya).

Saya sepenuhnya setuju dengan Berry dalam hal ini. Saya memberi tahu dia prinsip yang sama sebagai tanggapan terhadap cetakan awal tentang “fase Berry,” yang contoh-contohnya, sama sekali tidak kalah dengan teori umum, diterbitkan oleh S.M. beberapa dekade sebelum Berry. Rytov (dengan nama "inersia arah polarisasi") dan A.Yu. Ishlinsky (dengan judul “keberangkatan giroskop kapal selam karena perbedaan antara jalur kembali ke pangkalan dan jalur meninggalkannya”),

Namun, mari kita kembali ke penarik. Penarik, atau himpunan tarik-menarik, adalah keadaan gerak tetap, namun tidak harus periodik. Matematikawan juga telah mempelajari gerakan yang jauh lebih kompleks, yang juga dapat menarik gerakan tetangga yang terganggu, namun gerakan tersebut bisa sangat tidak stabil: penyebab kecil terkadang menimbulkan konsekuensi besar, kata Poincaré. Keadaan, atau “fase”, dari rezim pembatas tersebut (yaitu, sebuah titik pada permukaan penarik) dapat bergerak di sepanjang permukaan penarik dengan cara “kacau” yang aneh, dan sedikit penyimpangan dari titik awalnya. pada penarik dapat mengubah arah pergerakan secara signifikan tanpa mengubah rezim pembatas sama sekali. Rata-rata dalam waktu yang lama dari semua besaran yang mungkin dapat diamati akan mendekati nilai aslinya dan dalam gerakan yang terganggu, tetapi rinciannya pada saat tertentu dalam waktu, sebagai suatu peraturan, akan sangat berbeda.

Dalam istilah meteorologi, “rezim batas” (attractor) dapat diumpamakan dengan iklim, dan fase dengan cuaca. Perubahan kecil pada kondisi awal dapat berdampak besar pada cuaca besok (dan terlebih lagi pada cuaca seminggu dan sebulan dari sekarang). Namun perubahan seperti itu tidak akan menjadikan tundra sebagai hutan tropis: hanya badai petir yang mungkin terjadi pada hari Jumat, bukan Selasa, yang mungkin tidak mengubah rata-rata tahun tersebut (atau bahkan bulan tersebut).

Dalam hidrodinamika, derajat pelemahan gangguan awal biasanya dicirikan oleh viskositas (dapat dikatakan, gesekan timbal balik partikel-partikel fluida ketika mereka bergerak relatif satu sama lain), atau dengan viskositas terbalik, suatu nilai yang disebut “bilangan Reynolds”. Nilai bilangan Reynolds yang besar berhubungan dengan redaman gangguan yang lemah, dan nilai viskositas yang besar (yaitu bilangan Reynolds yang kecil), sebaliknya, mengatur aliran, mencegah gangguan dan perkembangannya. Dalam perekonomian, peran “viskositas” seringkali dimainkan oleh suap dan korupsi.

Karena viskositasnya yang tinggi, pada bilangan Reynolds yang rendah, aliran stasioner (laminar) yang stabil biasanya terbentuk, yang diwakili dalam ruang medan kecepatan oleh penarik titik.

Pertanyaan utamanya adalah bagaimana pola aliran akan berubah dengan meningkatnya bilangan Reynolds. Dalam pasokan air, hal ini berhubungan, misalnya, dengan peningkatan tekanan air, yang membuat aliran halus (laminar) dari keran menjadi tidak stabil, tetapi secara matematis, untuk meningkatkan bilangan Reynolds, akan lebih mudah untuk mengurangi koefisien gesekan partikel yang dinyatakan viskositas (yang dalam percobaan memerlukan penggantian cairan yang secara teknis rumit). Namun terkadang untuk mengubah bilangan Reynolds cukup dengan mengubah suhu di laboratorium. Saya melihat instalasi seperti itu di Novosibirsk di Institute of Precision Measurements, di mana bilangan Reynolds berubah (di digit keempat) ketika saya mendekatkan tangan saya ke silinder tempat aliran terjadi (tepatnya karena perubahan suhu), dan terus layar komputer yang memproses percobaan, perubahan bilangan Reynolds ini segera ditunjukkan oleh otomatisasi elektronik.

Memikirkan fenomena transisi dari aliran laminar (stasioner stabil) ke aliran turbulen badai, Kolmogorov sejak lama mengungkapkan sejumlah hipotesis (yang hingga saat ini masih belum terbukti). Saya pikir hipotesis ini berasal dari perselisihannya dengan Landau (1943) mengenai sifat turbulensi. Bagaimanapun, ia dengan jelas merumuskannya pada seminarnya (tentang hidrodinamika dan teori sistem dinamik) di Universitas Moskow pada tahun 1959, yang bahkan menjadi bagian dari pengumuman seminar yang ia posting saat itu. Namun saya tidak mengetahui adanya publikasi resmi dari hipotesis Kolmogorov ini, dan di Barat hipotesis tersebut biasanya dikaitkan dengan epigon Kolmogorov, yang mempelajarinya dan menerbitkannya puluhan tahun kemudian.

Inti dari hipotesis Kolmogorov ini adalah bahwa dengan meningkatnya bilangan Reynolds, penarik yang sesuai dengan rezim aliran tunak menjadi semakin kompleks, yaitu dimensinya meningkat.

Pertama berupa titik (penarik berdimensi nol), kemudian lingkaran (siklus batas Poincaré, penarik satu dimensi). Dan hipotesis Kolmogorov tentang penarik dalam hidrodinamika terdiri dari dua pernyataan: seiring dengan meningkatnya bilangan Reynolds, 1) penarik dengan dimensi yang semakin besar muncul; 2) semua penarik berdimensi rendah menghilang.

Dari persamaan 1 dan 2 maka bila bilangan Reynolds cukup besar, keadaan tunak tentu mempunyai banyak derajat kebebasan, sehingga untuk mendeskripsikan fasenya (titik-titik pada penarik) Anda perlu menetapkan banyak parameter, yang kemudian, ketika bergerak di sepanjang penarik, akan terjadi perubahan yang aneh dan non-periodik dengan cara yang “kacau”, dan perubahan kecil pada titik awal penarik, sebagai suatu peraturan, akan menyebabkan perubahan besar (setelah waktu yang lama) pada “cuaca ” (titik saat ini pada penarik), meskipun tidak mengubah penarik itu sendiri (artinya, tidak akan menyebabkan perubahan pada “iklim” ").

Pernyataan 1 saja tidak cukup di sini, karena penarik yang berbeda dapat hidup berdampingan, termasuk penarik dengan dimensi berbeda dalam satu sistem (yang, dengan demikian, dapat melakukan gerakan “laminar” yang tenang pada kondisi awal tertentu dan gerakan “turbulen” yang penuh badai pada kondisi awal lainnya, tergantung pada keadaan awalnya).

Pengamatan eksperimental terhadap efek “kehilangan stabilitas yang berkepanjangan” mengejutkan para fisikawan sejak lama, namun Kolmogorov menambahkan bahwa meskipun penarik berdimensi rendah tidak menghilang, hal itu mungkin tidak mengubah turbulensi yang diamati jika ukurannya zona tarik-menarik berkurang secara signifikan dengan meningkatnya bilangan Reynolds. Dalam hal ini, rezim laminar, meskipun pada prinsipnya mungkin (dan bahkan stabil), secara praktis tidak diamati karena sangat kecilnya area tarik-menariknya: sudah kecil, tetapi selalu ada dalam percobaan, gangguan dapat menyebabkan sistem dari daerah tarik-menarik penarik ini ke daerah tarik-menarik keadaan stabil lainnya yang sudah bergejolak, yang akan diamati.

Diskusi ini mungkin juga menjelaskan pengamatan aneh ini: beberapa eksperimen hidrodinamika terkenal pada abad ke-19 tidak dapat diulangi pada paruh kedua abad ke-20, meskipun mereka mencoba menggunakan peralatan yang sama di laboratorium yang sama. Namun ternyata eksperimen lama (dengan hilangnya stabilitas yang berkepanjangan) dapat terulang jika dilakukan bukan di laboratorium lama, tetapi di tambang bawah tanah.

Faktanya adalah bahwa lalu lintas jalan raya modern telah sangat meningkatkan besarnya gangguan yang “tidak terlihat”, yang mulai memberikan dampak (karena kecilnya zona tarik-menarik dari penarik “laminar” yang tersisa).

Berbagai upaya yang dilakukan oleh banyak ahli matematika untuk mengkonfirmasi hipotesis Kolmogorov 1 dan 2 (atau setidaknya yang pertama) dengan bukti sejauh ini hanya mengarah pada perkiraan dimensi penarik dalam bilangan Reynolds dari atas: dimensi ini tidak dapat menjadi terlalu besar selama viskositas mencegah hal ini.

Dimensi diperkirakan dalam karya ini dengan fungsi pangkat bilangan Reynolds (yaitu, derajat viskositas negatif), dan eksponennya bergantung pada dimensi ruang tempat aliran terjadi (dalam aliran tiga dimensi, turbulensi adalah lebih kuat dari pada masalah pesawat).

Adapun bagian yang paling menarik dari masalah ini, yaitu memperkirakan dimensi dari bawah (setidaknya untuk beberapa penarik, seperti dalam Hipotesis 1, atau bahkan untuk semua, seperti dalam Hipotesis 2, yang lebih diragukan oleh Kolmogorov), di sini matematikawan tidak mampu mencapai ketinggian, karena, sesuai dengan kebiasaan mereka, mereka mengganti masalah ilmiah alam yang sebenarnya dengan rumusan abstrak aksiomatik formal mereka dengan definisi yang tepat namun berbahaya.

Faktanya adalah bahwa konsep aksiomatik dari suatu penarik dirumuskan oleh para ahli matematika dengan hilangnya beberapa sifat dari mode gerak pembatas fisik, yang konsep matematikanya (tidak didefinisikan secara ketat) mereka coba aksiomakan dengan memperkenalkan istilah "penarik".

Mari kita perhatikan, misalnya, sebuah penarik berbentuk lingkaran (yang menjadi tempat semua lintasan dinamika terdekat mendekat secara spiral).
Pada lingkaran tarik-menarik tetangga ini, biarkan dinamikanya diatur sebagai berikut: dua titik berlawanan (di ujung-ujung diameter yang sama) tidak bergerak, tetapi salah satunya adalah penarik (menarik tetangga), dan yang lainnya adalah tolakan (menolak). mereka).

Misalnya, kita dapat membayangkan sebuah lingkaran berdiri vertikal, yang dinamikanya menggeser titik mana pun di sepanjang lingkaran ke bawah, kecuali kutub tetap yang tersisa: penarik di bagian bawah dan tolakan di bagian atas.

Dalam hal ini, meskipun terdapat penarik lingkaran satu dimensi dalam sistem, keadaan tunak fisik hanya akan berupa posisi diam yang stabil (penarik yang lebih rendah pada model “vertikal” di atas).

Di bawah gangguan kecil yang sewenang-wenang, gerakan pertama-tama akan berevolusi menuju lingkaran penarik. Namun dinamika internal pada penarik ini akan berperan, dan keadaan sistem pada akhirnya akan mendekati penarik berdimensi nol “laminar”, sedangkan penarik satu dimensi, meskipun ada secara matematis, tidak cocok untuk peran tersebut. suatu “keadaan stabil”.

Salah satu cara untuk menghindari masalah tersebut adalah dengan hanya mempertimbangkan penarik minimal sebagai penarik, yaitu penarik yang tidak mengandung penarik yang lebih kecil. Hipotesis Kolmogorov merujuk secara tepat pada penarik tersebut, jika kita ingin memberikan rumusan yang tepat kepada mereka.

Namun belum ada yang terbukti mengenai perkiraan dimensi dari bawah, meskipun banyak publikasi yang menyebutkan demikian.

Bahaya pendekatan deduktif-aksiomatik terhadap matematika telah dipahami dengan jelas oleh banyak pemikir bahkan sebelum Kolmogorov. Matematikawan Amerika pertama J. Sylvester menulis bahwa ide-ide matematika tidak boleh membatu, karena ide-ide tersebut kehilangan kekuatan dan penerapannya ketika mencoba melakukan aksiomatisasi sifat-sifat yang diinginkan. Ia mengatakan bahwa gagasan harus dianggap seperti air di sungai: kita tidak pernah memasuki air yang persis sama, meskipun arungannya sama. Demikian pula, sebuah ide dapat memunculkan banyak aksioma yang berbeda dan tidak setara, yang masing-masing tidak mencerminkan ide tersebut secara keseluruhan.

Sylvester sampai pada semua kesimpulan ini dengan memikirkan, dalam kata-katanya, “fenomena intelektual yang aneh bahwa pembuktian pernyataan yang lebih umum sering kali ternyata lebih sederhana daripada pembuktian kasus-kasus khusus yang dikandungnya.” Sebagai contoh, ia membandingkan geometri ruang vektor dengan analisis fungsional (yang belum ditetapkan pada saat itu).

Ide Sylvester ini banyak digunakan di masa depan. Misalnya, inilah yang menjelaskan keinginan Bourbaki untuk menjadikan semua konsep seumum mungkin. Mereka bahkan menggunakan kata “lebih” di Perancis dalam arti yang di negara lain (yang dengan hina mereka sebut “Anglo-Saxon”) mereka mengungkapkan dengan kata “lebih besar dari atau sama dengan,” karena di Perancis mereka menganggap konsep yang lebih umum. “>=” menjadi yang utama, dan yang lebih spesifik “ >" - contoh yang "tidak penting". Oleh karena itu, mereka mengajari siswa bahwa nol adalah bilangan positif (juga bilangan negatif, non-positif, non-negatif, dan natural), yang tidak dikenali di tempat lain.

Namun tampaknya mereka tidak sampai pada kesimpulan Sylvester tentang tidak dapat diterimanya teori fosilisasi (setidaknya di Paris, di perpustakaan Ecole Normale Superieure, halaman-halaman Koleksi Karyanya ini tidak dipotong ketika saya baru saja menemukannya).

Saya tidak dapat meyakinkan “para ahli” matematika untuk menafsirkan dengan benar hipotesis tentang pertumbuhan dimensi penarik, karena mereka, seperti pengacara, menolak saya dengan referensi formal terhadap kode hukum dogmatis yang ada yang berisi “definisi formal yang tepat” dari penarik orang bodoh.

Kolmogorov, sebaliknya, tidak pernah peduli dengan isi definisi seseorang, tetapi memikirkan esensi masalahnya.

Dia pernah menjelaskan kepada saya bahwa dia mengemukakan teori kohomologi topologinya sama sekali tidak secara kombinatorial atau aljabar, tetapi dengan memikirkan aliran fluida dalam hidrodinamika atau tentang medan magnet: dia ingin memodelkan fisika ini dalam situasi kombinatorial. dari kompleks abstrak dan melakukannya.

Pada tahun-tahun itu, saya dengan naif mencoba menjelaskan kepada Kolmogorov apa yang terjadi dalam topologi selama dekade di mana dia memperoleh semua pengetahuannya tentang topologi hanya dari P.S. Alexandrova. Karena isolasi ini, Kolmogorov tidak tahu apa-apa tentang topologi homotopi; dia meyakinkan saya bahwa “urutan spektral terkandung dalam karya Pavel Sergeevich di Kazan pada tahun 1942,” dan upaya untuk menjelaskan kepadanya apa urutan sebenarnya tidak lebih berhasil daripada upaya naif saya untuk menempatkannya di ski air atau menempatkannya di atas ski air. sepeda, pelancong dan pemain ski hebat ini.

Namun, yang mengejutkan saya adalah penilaian tinggi terhadap kata-kata Kolmogorov tentang kohomologi yang diberikan oleh seorang pakar ketat, Vladimir Abramovich Rokhlin. Dia menjelaskan kepada saya, sama sekali tidak kritis, bahwa kata-kata Kolmogorov ini berisi, pertama, penilaian yang sangat benar tentang hubungan antara dua pencapaiannya (terutama sulit jika, seperti di sini, kedua pencapaian tersebut luar biasa), dan kedua, pandangan ke depan yang cerdas tentang arti besar operasi kohomologi.

Dari semua pencapaian topologi modern, Kolmogorov paling menghargai bidang Milnor, yang dibicarakan pada tahun 1961 di Kongres Matematika Seluruh Serikat di Leningrad. Kolmogorov bahkan membujuk saya (yang saat itu masih mahasiswa pascasarjana) untuk memasukkan bidang-bidang ini ke dalam rencana pascasarjana saya, yang memaksa saya untuk mulai mempelajari topologi diferensial dari Rokhlin, Fuchs dan Novikov (sebagai akibatnya saya bahkan segera menjadi lawan dari Ph.D. yang terakhir. .D. tesis tentang struktur terdiferensiasi pada produk bola).

Ide Kolmogorov adalah menggunakan bola Milnor untuk membuktikan bahwa fungsi beberapa variabel tidak dapat diwakili oleh superposisi dalam soal Hilbert ke-13 (mungkin untuk fungsi aljabar), tapi saya tidak tahu satupun publikasinya tentang topik ini atau rumusan hipotesisnya .

Lingkaran gagasan Kolmogorov lainnya yang kurang diketahui berkaitan dengan pengendalian optimal sistem dinamis.

Tugas paling sederhana dari lingkaran ini adalah memaksimalkan di suatu titik turunan pertama dari suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu interval atau lingkaran, dengan mengetahui batas atas modul dari fungsi itu sendiri dan turunan keduanya. Turunan kedua mencegah turunan pertama agar tidak segera padam, dan jika turunan pertama terlalu besar, fungsinya melampaui batasan yang diberikan.

Mungkin, Hadamard adalah orang pertama yang mempublikasikan solusi masalah ini pada turunan kedua, dan kemudian Littlewood menemukannya kembali saat mengerjakan lintasan artileri. Kolmogorov, tampaknya, tidak mengetahui publikasi salah satu atau yang lain, dan memecahkan masalah memperkirakan dari atas setiap turunan perantara melalui nilai maksimum modul fungsi terdiferensiasi dan turunan orde tinggi (tetap).

Ide bagus Kolmogorov adalah secara eksplisit menunjukkan fungsi ekstrem, seperti polinomial Chebyshev (yang membuktikan ketidaksetaraan menjadi persamaan). Dan agar fungsinya menjadi ekstrem, ia tentu menduga bahwa nilai turunan tertinggi harus selalu dipilih menjadi nilai absolut maksimal, hanya mengubah tandanya.

Hal ini membawanya ke serangkaian fitur khusus yang luar biasa. Fungsi nol dari deret ini adalah tanda sinus argumen (di mana pun memiliki modulus maksimum). Fungsi berikutnya, pertama, adalah antiturunan dari nol (yaitu, “gergaji” kontinu, yang turunannya memiliki modulus maksimum di mana-mana). Fungsi selanjutnya diperoleh masing-masing dari fungsi sebelumnya dengan integrasi yang sama (menambah jumlah turunannya sebanyak satu). Anda hanya perlu memilih konstanta integrasi sehingga integral dari fungsi antiturunan yang dihasilkan selama periode tersebut selalu sama dengan nol (maka semua fungsi yang dibangun akan bersifat periodik).

Rumus eksplisit untuk fungsi polinomial sepotong-sepotong yang dihasilkan cukup rumit (integrasinya diperkenalkan oleh konstanta rasional yang diasosiasikan bahkan dengan bilangan Bernoulli).

Nilai fungsi yang dibangun dan turunannya diberikan oleh konstanta dalam perkiraan daya Kolmogorov (memperkirakan modulus turunan perantara dari atas melalui produk pangkat rasional maksimum modulus fungsi dan turunan tertinggi). Eksponen rasional yang ditunjukkan mudah ditebak dari pertimbangan kesamaan, kembali ke hukum kesamaan Leonardo da Vinci dan teori turbulensi Kolmogorov, bahwa kombinasi tersebut seharusnya tidak berdimensi, karena jelas (setidaknya dari Notasi Leibniz) bagaimana turunan dari ordo yang berbeda berperilaku ketika satuan berubah Argumen dan pengukuran fungsi. Misalnya, untuk soal Hadamard, kedua eksponen rasional sama dengan setengah, sehingga kuadrat turunan pertama diperkirakan dari atas dengan hasil kali maksimum modulus fungsi itu sendiri dan turunan keduanya (dengan koefisien bergantung pada panjang segmen atau lingkaran di mana fungsi tersebut dipertimbangkan).

Lebih mudah untuk membuktikan semua perkiraan ini daripada menghasilkan fungsi ekstrim yang dijelaskan di atas (dan yang menghasilkan, antara lain, teorema Gauss: probabilitas pecahan p/q yang tidak dapat direduksi dengan pembilang dan penyebut bilangan bulat adalah sama dengan 6/ P(2), yaitu sekitar 2/3).

Dalam teori kontrol modern, strategi yang dipilih oleh Kolmogorov disebut “big bang”: parameter kontrol harus selalu dipilih agar memiliki nilai ekstrem, moderasi apa pun hanya merugikan.

Adapun persamaan diferensial Hamilton untuk mengubah pilihan nilai ekstrem ini dari banyak kemungkinan seiring waktu, Kolmogorov mengetahuinya dengan baik, namun menyebutnya sebagai prinsip Huygens (yang benar-benar setara dengan persamaan ini dan dari situ Hamilton memperoleh persamaannya dengan berpindah dari amplop ke diferensial). Kolmogorov bahkan menunjukkan kepada saya, yang saat itu masih menjadi mahasiswa, bahwa deskripsi terbaik tentang geometri prinsip Huygens ini terdapat dalam buku teks mekanika Whittaker, tempat saya mempelajarinya, dan bahwa dalam bentuk aljabar yang lebih rumit ada dalam teori " Transformasi Berührung" dari Sophus Lie (sebagai gantinya saya mempelajari teori transformasi kanonik menurut “Sistem Dinamis” Birkhoff dan yang sekarang disebut geometri kontak).

Menelusuri asal-usul matematika modern dalam karya-karya klasik biasanya tidak mudah, terutama karena adanya perubahan terminologi yang diterima sebagai ilmu baru. Misalnya, hampir tidak ada yang memperhatikan bahwa apa yang disebut teori Poisson manifold telah dikembangkan oleh Jacobi. Faktanya adalah bahwa Jacobi mengikuti jalur varietas aljabar - varietas, dan bukan varietas halus - manifold. Yakni, dia tertarik pada variasi orbit sistem dinamik Hamilton. Sebagai objek topologi atau halus, ia memiliki ciri-ciri dan bahkan patologi yang lebih tidak menyenangkan (“non-Hausdorffness” dan sejenisnya) karena belitan orbit (kurva fase dari sistem dinamis yang kompleks).

Namun aljabar fungsi pada “manifold” ini (yang mungkin buruk) terdefinisi dengan sempurna: ia hanyalah aljabar integral pertama dari sistem aslinya. Berdasarkan teorema Poisson, braket Poisson dari dua integral pertama juga merupakan integral pertama. Oleh karena itu, dalam aljabar integral, selain perkalian, ada operasi bilinear lain - braket Poisson.

Interaksi operasi-operasi ini (perkalian dan tanda kurung) dalam ruang fungsi pada manifold halus tertentu inilah yang menjadikannya manifold Poisson. Saya melewatkan rincian formal definisinya (tidak rumit), terutama karena tidak semuanya terpenuhi dalam contoh yang menarik perhatian Jacobi, di mana manifold Poisson tidak mulus maupun Hausdorff.

Dengan demikian, teori Jacobi berisi studi tentang varietas yang lebih umum dengan singularitas daripada varietas halus Poisson modern, dan terlebih lagi, teori ini dibangun olehnya dalam gaya geometri aljabar cincin dan cita-cita, daripada geometri diferensial submanifold.

Mengikuti saran Sylvester, spesialis manifold Poisson, tidak membatasi diri pada aksiomatiknya, harus kembali ke kasus yang lebih umum dan lebih menarik, yang telah dipertimbangkan oleh Jacobi. Tetapi Sylvester tidak melakukan ini (terlambat, seperti yang dia katakan, untuk kapal yang berangkat ke Baltimore), dan para ahli matematika di masa sekarang sepenuhnya tunduk pada perintah para aksiomatis.

Kolmogorov sendiri, setelah memecahkan masalah estimasi atas untuk turunan perantara, memahami bahwa ia dapat menyelesaikan banyak masalah optimasi lainnya dengan menggunakan teknik yang sama dari Huygens dan Hamilton, tetapi ia tidak melakukan ini, terutama ketika Pontryagin, yang selalu ia coba bantu, menerbitkan "prinsip maksimum" -nya, yang pada dasarnya merupakan kasus khusus dari prinsip Huygens yang sama tentang geometri kontak yang terlupakan, namun diterapkan pada masalah yang tidak terlalu umum.

Kolmogorov dengan tepat berpendapat bahwa Pontryagin tidak memahami hubungan ini dengan prinsip Huygens, atau hubungan teorinya dengan karya Kolmogorov yang jauh lebih awal mengenai perkiraan turunan. Oleh karena itu, karena tidak ingin mengganggu Pontryagin, dia tidak menulis di mana pun tentang hubungan ini, yang dia ketahui dengan baik.

Tapi sekarang, menurut saya, hal ini sudah bisa dikatakan, dengan harapan seseorang dapat menggunakan koneksi ini untuk menemukan hasil baru.

Penting untuk dicatat bahwa ketidaksetaraan Kolmogorov antara turunan menjadi dasar pencapaian luar biasa Yu Moser dalam apa yang disebut teori KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser), yang memungkinkan dia untuk mentransfer hasil Kolmogorov tahun 1954 ke tori invarian sistem Hamiltonian analitik. menjadi hanya tiga ratus tiga puluh tiga kali sistem terdiferensiasi. Hal ini terjadi pada tahun 1962, dengan penemuan Moser atas kombinasi pemulusan Nash yang luar biasa dan metode konvergensi yang dipercepat Kolmogorov.

Sekarang jumlah turunan yang diperlukan untuk pembuktian telah dikurangi secara signifikan (terutama oleh J. Mather), sehingga tiga ratus tiga puluh tiga turunan yang diperlukan dalam masalah pemetaan cincin dua dimensi telah dikurangi menjadi tiga (sementara contoh tandingan telah telah ditemukan untuk dua turunan).

Menariknya, setelah kemunculan karya Moser, “ahli matematika” Amerika mencoba mempublikasikan “generalisasi teorema Moser ke sistem analitis” (yang generalisasinya hanyalah teorema Kolmogorov yang diterbitkan sepuluh tahun sebelumnya, yang berhasil digeneralisasikan oleh Moser). Namun, Moser dengan tegas mengakhiri upaya untuk mengaitkan hasil klasik Kolmogorov dengan orang lain (namun dengan tepat mencatat bahwa Kolmogorov tidak pernah menerbitkan presentasi rinci tentang buktinya).

Tampak bagi saya bahwa bukti yang diterbitkan oleh Kolmogorov dalam sebuah catatan di DAN cukup jelas (walaupun dia menulis lebih banyak untuk Poincaré daripada untuk Hilbert), berbeda dengan bukti Moser, di mana saya tidak memahami satu bagian pun. Saya bahkan merevisinya dalam ulasan saya pada tahun 1963 tentang teori Moser yang luar biasa. Moser kemudian menjelaskan kepada saya apa yang dimaksudnya di tempat yang tidak jelas ini, tetapi saya masih tidak yakin apakah penjelasan tersebut dipublikasikan dengan benar (dalam revisi saya, saya harus memilih

Saya persembahkan untuk Guru saya - Andrei Nikolaevich Kolmogorov

“Jangan sentuh lingkaranku,” kata Archimedes kepada tentara Romawi yang membunuhnya. Ungkapan nubuatan ini terlintas di benak Duma Negara, ketika ketua rapat Komite Pendidikan (22 Oktober 2002) menyela saya dengan kata-kata: “Kami tidak memiliki Akademi Ilmu Pengetahuan, di mana kami dapat membela kebenaran. , tapi Duma Negara, di mana segala sesuatunya didasarkan pada apa yang kita miliki.” Setiap orang mempunyai pendapat yang berbeda mengenai isu yang berbeda.”
Pandangan yang saya anjurkan adalah bahwa tiga kali tujuh adalah dua puluh satu, dan mengajarkan anak-anak kita tabel perkalian dan penjumlahan satu digit angka dan pecahan genap merupakan kebutuhan nasional. Saya menyebutkan pengenalan baru-baru ini di negara bagian California (atas inisiatif peraih Nobel, fisikawan transuranium Glen Seaborg) tentang persyaratan baru bagi anak sekolah yang memasuki universitas: Anda harus dapat membagi angka 111 dengan 3 secara mandiri (tanpa komputer) .
Para pendengar di Duma, tampaknya, tidak dapat berpisah, dan karena itu tidak memahami saya atau Seaborg: di Izvestia, dengan presentasi ramah dari frasa saya, angka "seratus sebelas" diganti dengan "sebelas" (yang menjadikan pertanyaannya jauh lebih sulit, karena sebelas tidak habis dibagi tiga).
Saya menemukan kemenangan obskurantisme ketika saya membaca di Nezavisimaya Gazeta sebuah artikel “Kemunduran dan Penipu” yang mengagungkan piramida yang baru dibangun di dekat Moskow, di mana Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia dinyatakan sebagai kumpulan kemunduran yang menghambat perkembangan ilmu pengetahuan (mencoba di sia-sia menjelaskan segala sesuatu dengan “hukum alam” mereka). Saya harus mengatakan bahwa saya, tampaknya, juga seorang kemunduran, karena saya masih percaya pada hukum alam dan percaya bahwa Bumi berputar pada porosnya dan mengelilingi Matahari, dan bahwa anak-anak sekolah yang lebih muda perlu terus menjelaskan mengapa di sini dingin. di musim dingin dan hangat di musim panas, tanpa membiarkan tingkat pendidikan sekolah kita turun di bawah apa yang dicapai di sekolah-sekolah paroki sebelum revolusi (yaitu, para reformis kita saat ini sedang berjuang untuk menurunkan tingkat pendidikan dengan cara yang sama, mengutip sekolah Amerika yang sangat rendah tingkat).
Rekan-rekan Amerika menjelaskan kepada saya bahwa rendahnya tingkat budaya umum dan pendidikan sekolah di negara mereka merupakan pencapaian yang disengaja untuk tujuan ekonomi. Faktanya adalah, setelah membaca buku, orang yang berpendidikan menjadi pembeli yang lebih buruk: dia membeli lebih sedikit mesin cuci dan mobil, dan mulai lebih memilih Mozart atau Van Gogh, Shakespeare atau teorema daripada mereka. Perekonomian masyarakat konsumen menderita akibat hal ini dan, yang terpenting, pendapatan para pemilik kehidupan - sehingga mereka berusaha untuk mencegah budaya dan pendidikan (yang, selain itu, mencegah mereka memanipulasi populasi sebagai kawanan yang tidak memiliki kecerdasan).
Dihadapkan pada propaganda anti-ilmiah di Rusia, saya memutuskan untuk melihat piramida, yang baru-baru ini dibangun sekitar dua puluh kilometer dari rumah saya, dan bersepeda ke sana melewati hutan pinus berusia berabad-abad antara sungai Istra dan Moskow. Di sini saya menemui kesulitan: meskipun Peter the Great melarang menebang hutan yang jaraknya kurang dari dua ratus mil dari Moskow, beberapa kilometer persegi hutan pinus terbaik yang saya lalui baru-baru ini dipagari dan dimutilasi (seperti yang dijelaskan oleh penduduk desa setempat kepada saya, ini dilakukan oleh “seseorang yang dikenal [oleh semua orang kecuali saya!] V.A.] bandit Pashka"). Tetapi bahkan dua puluh tahun yang lalu, ketika saya sedang memungut seember raspberry di tempat terbuka yang sekarang sudah dibangun ini, sekawanan babi hutan yang berjalan di sepanjang tempat terbuka itu melewati saya, membuat setengah lingkaran dengan radius sepuluh meter.
Perkembangan serupa kini terjadi di mana-mana. Tidak jauh dari rumah saya, pada suatu waktu penduduk tidak mengizinkan (bahkan melalui protes televisi) pembangunan hutan oleh pejabat Mongolia dan pejabat lainnya. Namun sejak saat itu situasinya telah berubah: desa-desa bekas partai pemerintah menyita beberapa kilometer persegi hutan kuno di depan semua orang, dan tidak ada lagi yang melakukan protes (di Inggris abad pertengahan, “pagar” menyebabkan pemberontakan!).
Benar, di desa Soloslov, di sebelah saya, salah satu anggota dewan desa mencoba menolak pembangunan hutan. Dan kemudian, di siang hari bolong, sebuah mobil dengan bandit bersenjata tiba, yang menembaknya tepat di desa, di rumahnya. Dan sebagai hasilnya, perkembangan terjadi.
Di desa tetangga lainnya, Daryin, seluruh ladang telah dibangun kembali dengan rumah-rumah mewah. Sikap masyarakat terhadap peristiwa ini terlihat jelas dari nama yang mereka berikan di desa untuk lahan terbangun ini (sayangnya, nama tersebut belum tercantum di peta): “ladang pencuri”.
Penghuni kendaraan bermotor baru di bidang ini telah mengubah jalan raya yang mengarah dari kami ke stasiun Perkhushkovo menjadi kebalikannya. Bus hampir berhenti berjalan di sepanjang jalan itu dalam beberapa tahun terakhir. Pada awalnya, warga-pengendara baru mengumpulkan uang di stasiun terminal untuk sopir bus agar dia menyatakan busnya “rusak” dan penumpang akan membayar pedagang swasta. Mobil-mobil penghuni baru “lapangan” tersebut kini melaju di sepanjang jalan raya ini dengan kecepatan tinggi (dan seringkali di jalur orang lain). Dan saya, ketika berjalan sejauh lima mil ke stasiun, berisiko terjatuh, seperti banyak pejalan kaki pendahulu saya, yang tempat kematiannya baru-baru ini ditandai di pinggir jalan dengan karangan bunga. Namun kereta listrik kini juga terkadang tidak berhenti di stasiun yang ditentukan jadwalnya.
Sebelumnya, polisi mencoba mengukur kecepatan pengendara yang melakukan pembunuhan dan mencegahnya, namun setelah seorang polisi yang mengukur kecepatan dengan radar ditembak oleh penjaga orang yang lewat, tidak ada lagi yang berani menghentikan mobil. Dari waktu ke waktu saya menemukan selongsong peluru tepat di jalan raya, tetapi tidak jelas siapa yang tertembak. Adapun karangan bunga di tempat meninggalnya pejalan kaki, kini semuanya telah diganti dengan pemberitahuan “Dilarang Membuang Sampah”, digantung di pohon yang sama dengan sebelumnya terdapat karangan bunga bertuliskan nama orang yang dibuang.
Sepanjang jalan kuno dari Aksinin ke Chesnokov, menggunakan jalan yang dibuat oleh Catherine II, saya mencapai piramida dan melihat di dalamnya “rak untuk mengisi botol dan benda lain dengan energi intelektual gaib.” Instruksinya, yang berukuran beberapa meter persegi, mencantumkan manfaat dari beradanya benda atau pasien hepatitis A atau B selama beberapa jam di dalam piramida (saya membaca di surat kabar bahwa seseorang bahkan mengirim batu berbobot beberapa kilogram “ dibebankan” oleh piramida ke stasiun luar angkasa untuk uang publik).
Namun penyusun instruksi ini juga menunjukkan kejujuran yang tidak terduga bagi saya: mereka menulis bahwa tidak ada gunanya mengantri di rak-rak di dalam piramida, karena “puluhan meter dari piramida, di luar, efeknya akan sama. ” Menurut saya, hal ini sepenuhnya benar.
Jadi, sebagai sebuah “kemunduran” yang sebenarnya, saya menganggap seluruh usaha piramidal ini sebagai iklan yang berbahaya dan anti-ilmiah untuk sebuah toko yang menjual “memuat benda.”
Namun obskurantisme selalu mengikuti pencapaian ilmiah, mulai dari zaman kuno. Murid Aristoteles, Alexander Philipovich dari Makedonia, membuat sejumlah penemuan "ilmiah" (dijelaskan oleh rekannya, Arian, dalam Anabasis). Misalnya, ia menemukan sumber Sungai Nil: menurutnya, itu adalah Indus. Bukti “ilmiah”nya adalah: “Ini adalah dua sungai besar yang dipenuhi buaya” (dan konfirmasinya: “Selain itu, tepian kedua sungai tersebut ditumbuhi teratai”).
Namun, ini bukan satu-satunya penemuannya: ia juga “menemukan” bahwa Sungai Oxus (sekarang disebut Amu Darya) “mengalir dari utara, berbelok di dekat Ural, ke rawa Meotian di Euxine Pontus, yang disebut Tanais. ” (“Tanais " adalah Don, dan "rawa Meotian" adalah Laut Azov). Pengaruh ide-ide obskurantis terhadap peristiwa-peristiwa tidak selalu dapat diabaikan:
Alexander dari Sogdiana (yaitu, Samarkand) tidak pergi lebih jauh ke Timur, ke Cina, seperti yang ia inginkan pertama kali, tetapi ke selatan, ke India, karena takut akan penghalang air yang menghubungkan, menurut teori ketiganya, Kaspia (“Hyrcanian ”) Laut dengan Samudera Hindia (di kawasan Teluk Benggala). Karena dia percaya bahwa laut, “menurut definisinya,” adalah teluk samudera. Inilah jenis “sains” yang sedang kita tuju.
Saya ingin menyampaikan harapan bahwa militer kita tidak akan terlalu dipengaruhi oleh kaum obskurantis (mereka bahkan membantu saya menyelamatkan geometri dari upaya para “reformis” untuk mengeluarkannya dari sekolah). Namun upaya yang dilakukan saat ini untuk menurunkan tingkat pendidikan di Rusia agar sesuai dengan standar Amerika sangatlah berbahaya baik bagi negara tersebut maupun bagi dunia.
Di Prancis saat ini, 20% tentara yang direkrut benar-benar buta huruf, tidak memahami perintah tertulis dari perwira (dan dapat mengirim rudal dengan hulu ledak ke arah yang salah). Semoga cawan ini berlalu dari kita! Masyarakat kita masih membaca, namun para “para reformis” ingin menghentikan hal ini: “Baik Pushkin maupun Tolstoy keduanya keterlaluan!” - mereka menulis.
Akan terlalu mudah bagi saya, sebagai seorang ahli matematika, untuk menggambarkan bagaimana mereka berencana untuk menghilangkan pendidikan matematika yang secara tradisional berkualitas tinggi di sekolah-sekolah. Sebaliknya, saya akan membuat daftar beberapa gagasan obskurantis serupa mengenai pengajaran mata pelajaran lain: ekonomi, hukum, ilmu sosial, sastra (mata pelajaran, bagaimanapun, mereka mengusulkan untuk menghapuskan segala sesuatu di sekolah).
Proyek dua jilid “Standar Pendidikan Umum” yang diterbitkan oleh Kementerian Pendidikan Rusia berisi daftar besar topik yang pengetahuannya diusulkan untuk tidak lagi mengharuskan siswa mengetahuinya. Daftar inilah yang memberikan gambaran paling jelas tentang gagasan para “para reformis” dan pengetahuan “berlebihan” seperti apa yang mereka upayakan untuk “melindungi” generasi berikutnya.
Saya akan menahan diri dari komentar politik, namun berikut adalah contoh umum dari informasi yang dianggap “tidak perlu” yang diambil dari proyek Standards setebal empat ratus halaman:
· Konstitusi Uni Soviet;
· “orde baru” fasis di wilayah pendudukan;
· Trotsky dan Trotskyisme;
· partai politik utama;
· Demokrasi Kristen;
· inflasi;
· laba;
· mata uang;
· sekuritas;
· sistem multi-partai;
· jaminan hak dan kebebasan;
· agensi penegak hukum;
· uang dan surat berharga lainnya;
· bentuk struktur negara-teritorial Federasi Rusia;
· Ermak dan aneksasi Siberia;
· Kebijakan luar negeri Rusia (abad XVII, XVIII, XIX dan XX);
· Pertanyaan Polandia;
· Konfusius dan Buddha;
· Cicero dan Kaisar;
· Joan of Arc dan Robin Hood;
· Perorangan dan badan hukum;
· status hukum seseorang dalam negara demokrasi yang diatur berdasarkan hukum;
· pemisahan kekuatan;
· sistem peradilan;
· otokrasi, Ortodoksi dan kebangsaan (teori Uvarov);
· masyarakat Rusia;
· Dunia Kristen dan Islam;
· Louis XIV;
· Luther;
· Loyola;
· Bismarck;
· Duma Negara;
· pengangguran;
· kedaulatan;
· pasar saham (bursa);
· penerimaan negara;
· pendapatan keluarga.
“Ilmu Sosial”, “Sejarah”, “Ekonomi”, dan “Hukum”, tanpa pembahasan semua konsep tersebut, hanyalah ibadah formal, tidak ada gunanya bagi pelajar. Di Perancis, saya mengenali obrolan teologis mengenai topik-topik abstrak ini melalui serangkaian kata-kata kunci: “Prancis, sebagai putri sulung Gereja Katolik...” (dapat diikuti dengan apa saja, misalnya: “... tidak perlu mengeluarkan uang untuk ilmu pengetahuan, karena Kami sudah memiliki ilmuwan dan masih memilikinya”), seperti yang saya dengar pada pertemuan Komite Nasional Republik Perancis untuk Ilmu Pengetahuan dan Penelitian, yang mana Menteri Ilmu Pengetahuan, Riset dan Teknologi Republik Perancis menunjuk saya sebagai anggota.
Agar tidak berat sebelah, saya juga akan memberikan daftar penulis dan karya yang “tidak diinginkan” (dalam arti yang sama “tidak dapat diterima” untuk studi serius mereka) yang disebutkan dalam kapasitas ini dengan “Standar” yang memalukan:
· Glinka;
· Chaikovsky;
· Beethoven;
·Mozart;
· Grieg;
· Rafael;
· Leonardo da Vinci;
· Rembrandt;
· Van Gogh;
· Umar Khayyam;
· "Tom Sawyer";
· "Oliver Memutar";
· Soneta Shakespeare;
· “Perjalanan dari St. Petersburg ke Moskow” oleh Radishchev;
· "Prajurit Timah yang Teguh";
· "Gobsek";
· “Bapa Goriot”;
· "Les Miserables";
· "Taring Putih";
· "Kisah Belkin";
· "Boris Godunov";
· "Poltava";
· "Dubrovsky";
· "Ruslan dan Lyudmila";
· “Babi di bawah pohon ek”;
· "Malam hari di Peternakan Dekat Dikanka";
· “Nama keluarga kuda”;
· “Pantry matahari”;
· “Sisi Meshcherskaya”;
· "Tenang Don";
· "Pigmalion";
· “Dusun”;
· "Faust";
· "Perpisahan dengan Senjata";
· "Sarang Mulia";
· "Wanita dengan seekor anjing";
· "Pelompat";
· "Awan di celana";
· "Pria kulit hitam";
· "Berlari";
· “Pembangunan kanker”;
· "Pameran Kesombongan";
· "Untuk siapa bel berdentang";
· “Tiga Kawan”;
· “Di lingkaran pertama”;
· “Kematian Ivan Ilyich.”
Dengan kata lain, mereka mengusulkan untuk menghapuskan Kebudayaan Rusia. Mereka mencoba untuk “melindungi” anak-anak sekolah dari pengaruh pusat kebudayaan yang “berlebihan”, menurut “Standar”; hal ini ternyata tidak diinginkan, menurut penyusun “Standar”, untuk disebutkan oleh guru di sekolah:
· Museum Pertapaan;
· Museum Rusia;
· Galeri Tretyakov;
· Museum Seni Rupa Pushkin di Moskow.
Bel berbunyi untuk kita!
Masih sulit untuk menolak dan tidak menyebutkan sama sekali apa sebenarnya yang diusulkan untuk dijadikan “opsional untuk pembelajaran” dalam ilmu eksakta (dalam hal apa pun, “Standar” merekomendasikan “tidak mengharuskan anak sekolah untuk menguasai bagian-bagian ini”):
· struktur atom;
· konsep tindakan jangka panjang;
struktur mata manusia;
· ketidakpastian hubungan mekanika kuantum;
· interaksi mendasar;
· langit berbintang;
· Matahari seperti salah satu bintang;
· struktur seluler organisme;
· refleks;
· genetika;
· asal usul kehidupan di Bumi;
· evolusi dunia kehidupan;
· teori Copernicus, Galileo dan Giordano Bruno;
· teori Mendeleev, Lomonosov, Butlerov;
· Kelebihan Pasteur dan Koch;
· natrium, kalsium, karbon dan nitrogen (perannya dalam metabolisme);
· minyak;
· polimer.
Dalam matematika, diskriminasi yang sama diterapkan pada topik-topik dalam Standar, yang tanpanya tidak ada guru yang dapat melakukannya (dan tanpa pemahaman penuh tentang mana anak sekolah akan benar-benar tidak berdaya dalam fisika, teknologi, dan sejumlah besar penerapan sains lainnya, termasuk keduanya. militer dan kemanusiaan):
· kebutuhan dan kecukupan;
· kedudukan titik-titik geometris;
· sinus sudut pada 30o, 45o, 60o;
· konstruksi garis bagi sudut;
· membagi suatu segmen menjadi bagian-bagian yang sama;
· mengukur sudut;
· konsep panjang suatu segmen;
· jumlah suku suatu barisan aritmatika;
· sektor area;
· fungsi trigonometri terbalik;
· pertidaksamaan trigonometri sederhana;
· persamaan polinomial dan akar-akarnya;
· geometri bilangan kompleks (diperlukan untuk fisika
arus bolak-balik, dan untuk teknik radio, dan untuk mekanika kuantum);
· tugas konstruksi;
· sudut datar dari sudut segitiga;
turunan dari fungsi kompleks;
Mengubah pecahan sederhana menjadi desimal.
Satu-satunya harapan adalah ribuan guru terlatih yang ada akan terus memenuhi tugas mereka dan mengajarkan semua ini kepada anak-anak sekolah generasi baru, meskipun ada perintah dari Kementerian. Akal sehat lebih kuat dari disiplin birokrasi. Kita hanya perlu ingat untuk membayar guru-guru kita yang luar biasa dengan layak atas prestasi mereka.

Rekan-rekan Amerika menjelaskan kepada saya bahwa rendahnya tingkat budaya umum dan pendidikan sekolah di negara mereka merupakan pencapaian yang disengaja untuk tujuan ekonomi. Faktanya adalah, setelah membaca buku, orang yang berpendidikan menjadi pembeli yang lebih buruk: dia membeli lebih sedikit mesin cuci dan mobil, dan mulai lebih memilih Mozart atau Van Gogh, Shakespeare atau teorema daripada mereka. Perekonomian masyarakat konsumen menderita akibat hal ini dan, yang terpenting, pendapatan para pemilik kehidupan - sehingga mereka berusaha untuk mencegah budaya dan pendidikan (yang, selain itu, mencegah mereka memanipulasi populasi sebagai kawanan yang tidak memiliki kecerdasan).

© V.I. Arnold, akademisi Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia. Salah satu matematikawan terhebat abad ke-20. (Dari artikel “Obskurantisme Baru dan Pencerahan Rusia”)

Vladimir Igorevich Arnold

obskurantisme baru
dan pendidikan Rusia

Saya persembahkan untuk Guru saya - Andrei Nikolaevich Kolmogorov

“Jangan sentuh lingkaranku,” kata Archimedes kepada tentara Romawi yang membunuhnya. Ungkapan nubuatan ini terlintas di benak Duma Negara, ketika ketua rapat Komite Pendidikan (22 Oktober 2002) menyela saya dengan kata-kata: “Saya punya bukan Akademi Ilmu Pengetahuan, tempat orang bisa membela kebenaran, tapi Duma Negara, tempat segala sesuatunya didasarkan pada fakta bahwa orang berbeda punya pendapat berbeda mengenai isu berbeda.”

Pandangan yang saya anjurkan adalah bahwa tiga kali tujuh adalah dua puluh satu, dan mengajarkan anak-anak kita tabel perkalian dan penjumlahan bilangan satu digit dan pecahan genap merupakan kebutuhan nasional. Saya menyebutkan pengenalan baru-baru ini di negara bagian California (atas inisiatif peraih Nobel, fisikawan transuranium Glen Seaborg) tentang persyaratan baru bagi anak sekolah yang memasuki universitas: Anda harus dapat membagi angka 111 dengan 3 secara mandiri (tanpa komputer) .

Para pendengar di Duma, tampaknya, tidak dapat berpisah, dan karena itu tidak memahami saya atau Seaborg: di Izvestia, dengan presentasi ramah dari frasa saya, angka "seratus sebelas" diganti dengan "sebelas" (yang menjadikan pertanyaannya jauh lebih sulit, karena sebelas tidak habis dibagi tiga).

Saya menemukan kemenangan obskurantisme ketika saya membaca di Nezavisimaya Gazeta sebuah artikel yang mengagungkan piramida yang baru dibangun di dekat Moskow, “Retrogrades and Charlatans,” di mana

Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia dinyatakan sebagai kumpulan kemunduran yang menghambat perkembangan ilmu pengetahuan (dengan sia-sia mencoba menjelaskan segala sesuatu dengan “hukum alam”). Saya harus mengatakan bahwa saya tampaknya juga seorang kemunduran, karena saya masih percaya pada hukum alam dan percaya bahwa Bumi berputar pada porosnya dan mengelilingi Matahari, dan bahwa anak sekolah yang lebih muda perlu terus menjelaskan mengapa cuaca dingin di musim dingin dan hangat di musim panas, tidak membiarkan tingkat pendidikan sekolah kita turun di bawah apa yang dicapai di sekolah-sekolah paroki sebelum revolusi (yaitu, penurunan tingkat pendidikan inilah yang dicita-citakan oleh para reformis kita saat ini, dengan alasan tingkat sekolah Amerika yang sangat rendah).

Rekan-rekan Amerika menjelaskan hal itu kepada saya rendahnya tingkat budaya umum dan pendidikan sekolah di negara mereka merupakan pencapaian yang disengaja untuk tujuan ekonomi. Faktanya adalah, setelah membaca buku, orang yang berpendidikan menjadi pembeli yang lebih buruk: dia membeli lebih sedikit mesin cuci dan mobil, dan mulai lebih memilih Mozart atau Van Gogh, Shakespeare atau teorema daripada mereka. Perekonomian masyarakat konsumen menderita akibat hal ini dan, di atas segalanya, pendapatan para pemilik kehidupan - begitulah yang mereka perjuangkan menghalangi kebudayaan dan pendidikan(yang, selain itu, mencegah mereka memanipulasi populasi seperti kawanan yang tidak memiliki kecerdasan).

Dihadapkan pada propaganda anti-ilmiah di Rusia, saya memutuskan untuk melihat piramida, yang baru-baru ini dibangun sekitar dua puluh kilometer dari rumah saya, dan bersepeda ke sana melewati hutan pinus berusia berabad-abad antara sungai Istra dan Moskow. Di sini saya menemui kesulitan: meskipun Peter the Great melarang menebang hutan yang jaraknya kurang dari dua ratus mil dari Moskow, beberapa kilometer persegi hutan pinus terbaik yang saya lalui baru-baru ini dipagari dan dimutilasi (seperti yang dijelaskan oleh penduduk desa setempat kepada saya, ini dilakukan oleh “seseorang yang dikenal [oleh semua orang kecuali saya! - V.A.] bandit Pashka"). Tetapi bahkan dua puluh tahun yang lalu, ketika saya mendapatkan ember dari lahan terbuka yang sekarang sudah dibangun

raspberry, sekawanan babi hutan berjalan di sepanjang tempat terbuka melewati saya, membuat setengah lingkaran dengan radius sekitar sepuluh meter.

Perkembangan serupa kini terjadi di mana-mana. Tidak jauh dari rumah saya, pada suatu waktu penduduk tidak mengizinkan (bahkan melalui protes televisi) pembangunan hutan oleh pejabat Mongolia dan pejabat lainnya. Namun sejak saat itu situasinya telah berubah: desa-desa bekas partai pemerintah menyita beberapa kilometer persegi hutan kuno di depan semua orang, dan tidak ada lagi yang melakukan protes (di Inggris abad pertengahan, “pagar” menyebabkan pemberontakan!).

Benar, di desa Soloslov, di sebelah saya, salah satu anggota dewan desa mencoba menolak pembangunan hutan. Dan kemudian di siang hari bolong sebuah mobil datang dengan membawa bandit bersenjata tepat di desa, di rumah, dan ditembak. Dan sebagai hasilnya, perkembangan terjadi.

Di desa tetangga lainnya, Daryin, seluruh ladang telah dibangun kembali dengan rumah-rumah mewah. Sikap masyarakat terhadap peristiwa ini terlihat jelas dari nama yang mereka berikan di desa untuk lahan terbangun ini (sayangnya, nama tersebut belum tercantum di peta): “ladang pencuri”.

Penghuni kendaraan bermotor baru di bidang ini telah mengubah jalan raya yang mengarah dari kami ke stasiun Perkhushkovo menjadi kebalikannya. Bus hampir berhenti berjalan di sepanjang jalan itu dalam beberapa tahun terakhir. Pada awalnya, warga-pengendara baru mengumpulkan uang di stasiun terminal untuk sopir bus agar dia menyatakan busnya “rusak” dan penumpang akan membayar pedagang swasta. Mobil-mobil penghuni baru “lapangan” tersebut kini melaju di sepanjang jalan raya ini dengan kecepatan tinggi (dan seringkali di jalur orang lain). Dan saya, ketika berjalan sejauh lima mil ke stasiun, berisiko terjatuh, seperti banyak pejalan kaki pendahulu saya, yang tempat kematiannya baru-baru ini ditandai di pinggir jalan dengan karangan bunga. Namun kereta listrik kini juga terkadang tidak berhenti di stasiun yang ditentukan jadwalnya.

Sebelumnya, polisi mencoba mengukur kecepatan pengendara yang melakukan pembunuhan dan mencegahnya, namun setelah seorang polisi yang mengukur kecepatan dengan radar ditembak oleh penjaga orang yang lewat, tidak ada lagi yang berani menghentikan mobil. Dari waktu ke waktu saya menemukan selongsong peluru tepat di jalan raya, tetapi tidak jelas siapa yang ditembak. Adapun karangan bunga di tempat meninggalnya pejalan kaki, kini semuanya telah diganti dengan pemberitahuan “Dilarang Membuang Sampah”, digantung di pohon yang sama dengan sebelumnya terdapat karangan bunga bertuliskan nama orang yang dibuang.

Sepanjang jalan kuno dari Aksinin ke Chesnokov, menggunakan jalan yang dibuat oleh Catherine II, saya mencapai piramida dan melihat di dalamnya “rak untuk mengisi botol dan benda lain dengan energi intelektual gaib.” instruksi V berukuran beberapa meter persegi mencantumkan manfaat dari tinggalnya beberapa jam suatu benda atau pasien dengan hepatitis A atau B di dalam piramida (saya membaca di surat kabar bahwa seseorang bahkan mengirim batu berbobot beberapa kilogram yang “diisi” oleh piramida ke stasiun luar angkasa untuk uang publik).

Tetapi penyusun instruksi ini juga menunjukkan kejujuran yang tidak terduga bagi saya: mereka menulisnya karena itu, tidak ada gunanya mengantri di rak-rak di dalam piramida<в десятках метров от пирамиды, снаружи, эффект будет таким же». Menurut saya, hal ini sepenuhnya benar.

Jadi, sebagai sebuah “kemunduran” yang sebenarnya, saya menganggap seluruh usaha piramidal ini sebagai iklan yang berbahaya dan anti-ilmiah untuk sebuah toko yang menjual “memuat benda.”

Namun obskurantisme selalu mengikuti pencapaian ilmiah, mulai dari zaman kuno. Murid Aristoteles, Alexander Philipovich dari Makedonia, membuat sejumlah penemuan "ilmiah" (dijelaskan oleh rekannya, Arian, dalam Anabasis). Misalnya, ia menemukan sumber Sungai Nil: menurutnya, itu adalah Indus. Bukti "ilmiah" adalah: " Ini adalah satu-satunya dua sungai besar yang dipenuhi buaya."(dan konfirmasi: “Selain itu, tepian kedua sungai tersebut ditumbuhi bunga teratai”).

Namun, ini bukan satu-satunya penemuannya: dia juga “menemukan” hal itu Sungai Oxus (sekarang disebut Amu Darya) “mengalir - dari utara, berbelok di dekat Ural - ke rawa Meotian di Pontus Euxine, yang disebut Tanais”(“Ta-nais” adalah Don, dan “rawa Meotian” adalah Laut Azov). Pengaruh ide-ide obskurantis terhadap peristiwa-peristiwa tidak selalu dapat diabaikan:

Alexander dari Sogdiana (yaitu, Samarkand) tidak pergi lebih jauh ke Timur, ke Cina, seperti yang diinginkannya pertama kali, tetapi ke selatan, ke India, karena takut penghalang air yang menghubungkan, menurut teori ketiganya, Laut Kaspia (“Hyrcanian”) dengan Samudera Hindia(V wilayah Teluk Benggala). Karena dia percaya bahwa laut, “menurut definisinya,” adalah teluk samudera. Inilah jenis “sains” yang sedang kita tuju.

Saya ingin menyampaikan harapan bahwa militer kita tidak akan terlalu dipengaruhi oleh kaum obskurantis (mereka bahkan membantu saya menyelamatkan geometri dari upaya para “reformis” untuk mengeluarkannya dari sekolah). Namun upaya yang dilakukan saat ini untuk menurunkan tingkat pendidikan di Rusia agar sesuai dengan standar Amerika sangatlah berbahaya baik bagi negara tersebut maupun bagi dunia.

Di Prancis saat ini, 20% tentara yang direkrut benar-benar buta huruf, tidak memahami perintah tertulis dari perwira (dan dapat mengirim rudal dengan hulu ledak ke arah yang salah). Semoga cawan ini berlalu dari kita! Masyarakat kita masih membaca, namun para “para reformis” ingin menghentikan hal ini: “Baik Pushkin maupun Tolstoy keduanya keterlaluan!” - mereka menulis.

Akan terlalu mudah bagi saya, sebagai seorang ahli matematika, untuk menggambarkan bagaimana mereka berencana untuk menghilangkan pendidikan matematika yang secara tradisional berkualitas tinggi di sekolah-sekolah. Sebaliknya, saya akan membuat daftar beberapa gagasan obskurantis serupa mengenai pengajaran mata pelajaran lain: ekonomi, hukum, ilmu sosial, sastra (mata pelajaran, bagaimanapun, mereka mengusulkan untuk menghapuskan segala sesuatu di sekolah).

Proyek dua volume "Standar Pendidikan Umum" yang diterbitkan oleh Kementerian Pendidikan Rusia berisi banyak topik pengetahuan yang diusulkan untuk berhenti menuntut dari peserta pelatihan. Daftar inilah yang memberikan gambaran paling jelas tentang gagasan para “para reformis” dan pengetahuan “berlebihan” seperti apa yang mereka upayakan untuk “melindungi” generasi berikutnya.

Saya akan menahan diri dari komentar politik, namun berikut adalah contoh umum dari informasi yang dianggap “tidak perlu” yang diambil dari proyek Standards setebal empat ratus halaman:

• Konstitusi Uni Soviet;
• “orde baru” fasis di wilayah pendudukan;
• Trotsky dan Trotskyisme;
• partai politik besar;
• demokrasi Kristen;
• inflasi;
• laba;
• mata uang;
• surat berharga;
• sistem multi-partai;
• jaminan hak dan kebebasan;
• agensi penegak hukum;
• uang dan surat berharga lainnya;
• bentuk struktur negara-teritorial Federasi Rusia;
• Ermak dan aneksasi Siberia;
• kebijakan luar negeri Rusia (abad XVII, XVIII, XIX dan XX);
• pertanyaan Polandia;
• Konfusius dan Buddha;
• Cicero dan Kaisar;
• Joan of Arc dan Robin Hood;
• Perorangan dan badan hukum;
• status hukum seseorang dalam negara demokrasi yang diatur berdasarkan hukum;
• pemisahan kekuatan;
• sistem peradilan;
• otokrasi, Ortodoksi dan kebangsaan (teori Uvarov);
• masyarakat Rusia;
• dunia Kristen dan Islam;
• Louis XIV;
• Luther;
• Loyola;
• Bismarck;
• Duma Negara;
• pengangguran;
• kedaulatan;
• pasar saham (bursa);
• penerimaan negara;
• pendapatan keluarga.

“Ilmu Sosial”, “Sejarah”, “Ekonomi”, dan “Hukum”, tanpa pembahasan semua konsep tersebut, hanyalah ibadah formal, tidak ada gunanya bagi pelajar. Di Prancis, saya mengenali obrolan teologis mengenai topik-topik abstrak ini melalui serangkaian kata-kata kunci: “Prancis ibarat putri sulung Gereja Katolik... " (apa pun bisa mengikuti, misalnya: "... tidak memerlukan pengeluaran untuk ilmu pengetahuan, karena kita sudah memiliki dan masih memiliki ilmuwan"), seperti yang saya dengar pada pertemuan Komite Nasional Republik Perancis untuk Ilmu Pengetahuan dan Penelitian, dimana saya menjadi anggotanya, saya ditunjuk oleh Menteri Ilmu Pengetahuan, Penelitian dan Teknologi Republik Perancis.

Agar tidak berat sebelah, saya juga akan memberikan daftar penulis dan karya yang “tidak diinginkan” (dalam arti yang sama “tidak dapat diterima” untuk studi serius mereka) yang disebutkan dalam kapasitas ini dengan “Standar” yang memalukan:

• Glinka;
• Chaikovsky;
• Beethoven;
• Mozart;
• Grieg;
• Raphael;
• Leonardo daVinci;
• Rembrandt;
• Van Togh;
• Omar Khayyam;
• "Tom Sawyer";
• "Oliver Memutar";
• Soneta Shakespeare;
• “Perjalanan dari St. Petersburg ke Moskow” oleh Radishchev;
• "Prajurit Timah yang Teguh";
• "Gobsek";
• "Pere Goriot"
• "Les Miserables";
• "Taring Putih";
• "Kisah Belkin";
• "Boris Godunov";
• "Poltava";
• "Dubrovsky";
• "Ruslan dan Lyudmila";
• "Babi di Bawah Pohon Ek";
• "Malam hari di Peternakan Dekat Dikanka";
• "Nama keluarga kuda";
• "Pantry Matahari";
• "sisi Meshcherskaya";
• "Tenang Don";
• "Pigmalion";
• "Dukuh";
• "Faust";
• "Perpisahan dengan Senjata";
• "Sarang Mulia";
• "Nyonya dengan seekor anjing";
• "Peloncat";
• "Awan di celana";
• "Pria kulit hitam";
• "Berlari";
• "Bangsal Kanker";
• "Pameran Kesombongan";
• "Untuk siapa bel berdentang";
• "Tiga Kawan";
• "Di lingkaran pertama";
• "Kematian Ivan Ilyich".

Dengan kata lain, mereka mengusulkan untuk menghapuskan Kebudayaan Rusia. Mereka mencoba untuk “melindungi” anak-anak sekolah dari pengaruh pusat kebudayaan yang “berlebihan”, menurut “Standar”; begitulah ternyata mereka ada di sini tidak diinginkan, menurut penyusun Standar, untuk disebutkan oleh guru di sekolah:

• Museum Pertapaan;
• Museum Rusia;
• Galeri Tretyakov;
• Museum Seni Rupa Pushkin di Moskow.

Bel berbunyi untuk kita!

Masih sulit untuk menahan diri untuk tidak menyebutkan apa sebenarnya yang diusulkan untuk dijadikan “opsional untuk pelatihan” dalam ilmu eksakta (dalam hal apa pun, “Standar” merekomendasikan “tidak mengharuskan siswa untuk menguasai bagian ini”):

• struktur atom;
• konsep tindakan jangka panjang;
• struktur mata manusia;
• hubungan ketidakpastian mekanika kuantum;
• interaksi mendasar;
• langit berbintang;
• Matahari itu seperti salah satu bintang;
• struktur seluler organisme;
• refleks;
• genetika;
• asal usul kehidupan di Bumi;
• evolusi dunia kehidupan;
• teori Copernicus, Galileo dan Giordano Bruno;
• teori Mendeleev, Lomonosov, Butlerov;
• manfaat Pasteur dan Koch;
• natrium, kalsium, karbon dan nitrogen (perannya dalam metabolisme);
• minyak;
• polimer.

Dalam matematika, diskriminasi yang sama diterapkan pada topik-topik dalam Standar, yang tanpanya tidak ada guru yang dapat melakukannya (dan tanpa pemahaman penuh tentang mana anak sekolah akan benar-benar tidak berdaya dalam fisika, teknologi, dan sejumlah besar penerapan sains lainnya, termasuk keduanya. militer dan kemanusiaan):

• kebutuhan dan kecukupan;
• tempat kedudukan poin;
• sinus sudut pada 30 o, 45 o, 60 o;
• membuat garis bagi sudut;
• membagi suatu segmen menjadi bagian-bagian yang sama;
• mengukur sudut;
• konsep panjang suatu segmen;
• jumlah suku suatu barisan aritmatika;
• wilayah sektor;
• fungsi trigonometri terbalik;
• pertidaksamaan trigonometri sederhana;
• persamaan polinomial dan akar-akarnya;
• geometri bilangan kompleks (diperlukan untuk fisika arus bolak-balik, teknik radio, dan mekanika kuantum);
• tugas konstruksi;
• sudut bidang dari sudut segitiga;
• turunan dari fungsi kompleks;
• mengubah pecahan sederhana menjadi desimal.

Satu-satunya hal yang memberi saya harapan adalah itu Ribuan guru terlatih yang ada akan terus memenuhi tugas mereka dan mengajarkan semua ini kepada anak-anak sekolah generasi baru, meskipun ada perintah dari Kementerian. Akal sehat lebih kuat dari disiplin birokrasi. Kita hanya perlu ingat untuk membayar guru-guru kita yang luar biasa dengan layak atas prestasi mereka.

Perwakilan Duma menjelaskan hal itu kepada saya Situasi ini bisa jauh lebih baik jika kita menerapkan kehati-hatian dalam menerapkan undang-undang pendidikan yang telah diadopsi.

Uraian keadaan berikut disampaikan oleh Deputi I. I. Melnikov dalam laporannya di Institut Matematika. V. A. Steklov dari Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia di Moskow pada musim gugur 2002.

Misalnya, salah satu undang-undang mengatur peningkatan tahunan kontribusi anggaran untuk pelatihan sebesar sekitar 20% per tahun. Namun menteri mengatakan bahwa “tidak perlu khawatir tentang penerapan undang-undang ini, karena peningkatan hampir setiap tahun terjadi lebih dari 40%.” Tak lama setelah pidato menteri tersebut, diumumkan peningkatan (dengan persentase yang jauh lebih kecil) yang secara praktis dapat dilakukan pada tahun berikutnya (pada tahun 2002). Dan jika kita juga memperhitungkan inflasi, ternyata demikian keputusan dibuat untuk mengurangi kontribusi tahunan riil terhadap pendidikan.

Undang-undang lain mengatur persentase belanja anggaran yang harus dikeluarkan untuk pendidikan. Kenyataannya, jauh lebih sedikit yang dibelanjakan (saya tidak dapat mengetahui secara pasti berapa kali). Namun pengeluaran untuk “pertahanan melawan musuh internal” meningkat dari sepertiga menjadi setengah pengeluaran untuk pertahanan melawan musuh eksternal.

Berhenti mengajarkan pecahan kepada anak-anak adalah hal yang wajar, jika tidak, amit-amit, mereka akan mengerti!

Rupanya, justru untuk mengantisipasi reaksi para guru, penyusun “Standar” memberikan sejumlah nama penulis dalam daftar bacaan yang direkomendasikan (seperti nama Pushkin, Krylov, Lermontov, Chekhov, dan sejenisnya) dengan tanda “tanda bintang”, yang mereka artikan sebagai: “Sesuai kebijaksanaannya, guru dapat memperkenalkan siswa pada satu atau dua karya lagi dari penulis yang sama.”(dan tidak hanya dengan “Monumen” yang mereka rekomendasikan dalam kasus Pushkin).

Tingkat pendidikan matematika tradisional kita yang lebih tinggi dibandingkan dengan negara-negara asing menjadi jelas bagi saya hanya setelah saya dapat membandingkan tingkat ini dengan pendidikan asing, setelah bekerja selama beberapa semester di universitas dan perguruan tinggi di Paris dan New York, Oxford dan Cambridge, Pisa dan Bologna. , Bonn dan Berkeley, Stanford dan Boston, Hong Kong dan Kyoto, Madrid dan Toronto, Marseille dan Strasbourg, Utrecht dan Rio de Janeiro, Conakry dan Stockholm.

“Kami tidak mungkin mengikuti prinsip Anda dalam memilih kandidat berdasarkan pencapaian ilmiah mereka,” kata rekan-rekan saya di komisi undangan profesor baru ke salah satu universitas terbaik di Paris kepada saya. - “Lagi pula, dalam hal ini kita hanya harus memilih orang Rusia - itulah keunggulan ilmiah mereka dibandingkan kita semua Itu sudah jelas!" (Saya juga berbicara tentang seleksi di antara orang Prancis).

Dengan risiko hanya dipahami oleh para ahli matematika, saya tetap akan memberikan contoh tanggapan dari calon guru besar matematika terbaik di sebuah universitas di Paris pada musim semi tahun 2002 (200 orang melamar untuk setiap posisi).

Kandidat tersebut telah mengajar aljabar linier di berbagai universitas selama beberapa tahun, mempertahankan disertasinya dan menerbitkan selusin artikel di jurnal matematika terbaik di Perancis.

Seleksinya meliputi wawancara, dimana calon selalu ditanyai pertanyaan-pertanyaan mendasar namun penting (tingkat pertanyaan "Sebutkan ibu kota Swedia" jika subjeknya adalah geografi).

Jadi saya bertanya, “Apa tanda dari bentuk kuadrat tersebut xy?»

Kandidat tersebut meminta waktu 15 menit yang diberikan kepadanya untuk berpikir, setelah itu dia berkata: “Di komputer saya di Toulouse, saya memiliki (program) rutin yang dalam satu atau dua jam dapat mengetahui berapa plus dan berapa minus yang akan ada. dalam bentuk normal. Perbedaan antara kedua angka ini akan menjadi tanda tangannya - tetapi Anda hanya memberi waktu 15 menit, dan tanpa komputer, jadi saya tidak bisa menjawab, formulir ini xy itu terlalu rumit.”

Bagi non-spesialis, izinkan saya menjelaskan bahwa jika kita berbicara tentang zoologi, maka jawabannya akan seperti ini: “Linnaeus mendaftar semua hewan, tapi apakah pohon birch itu mamalia atau bukan, saya tidak bisa menjawabnya tanpa buku.”

Kandidat berikutnya ternyata adalah seorang spesialis dalam “sistem persamaan diferensial parsial elips” (satu setengah dekade setelah mempertahankan disertasinya dan lebih dari dua puluh karya yang diterbitkan).

Saya bertanya yang ini: “Apa fungsi Laplacian 1/r dalam ruang Euclidean tiga dimensi?

Responsnya (dalam waktu 15 menit seperti biasanya) sungguh luar biasa bagi saya; "Jika R jika berdiri di pembilangnya, bukan di penyebutnya, dan turunan pertama yang dibutuhkan, bukan turunan kedua, maka saya akan bisa menghitungnya dalam waktu setengah jam, tapi kalau tidak, pertanyaannya terlalu sulit.”

Izinkan saya menjelaskan bahwa pertanyaan tersebut berasal dari teori persamaan elips, seperti pertanyaan “Siapa penulis Hamlet?” dalam ujian Sastra Inggris. Mencoba membantu, saya mengajukan serangkaian pertanyaan yang mengarahkan (mirip dengan pertanyaan tentang Othello dan Ophelia): “Tahukah Anda apa hukum gravitasi? hukum Coulomb? Bagaimana hubungannya dengan Laplacian? Apa solusi mendasar dari persamaan Laplace?”

Tapi tidak ada yang membantu: baik Macbeth maupun King Lear tidak dikenal oleh kandidat tersebut jika kita berbicara tentang sastra.

Akhirnya, ketua panitia ujian menjelaskan kepada saya apa yang terjadi: “Bagaimanapun, kandidat tersebut mempelajari tidak hanya satu persamaan elips, tetapi sistemnya, dan Anda bertanya kepadanya tentang persamaan Laplace, yang mana Total satu hal yang jelas bahwa dia belum pernah menemukannya!”

Dalam analogi sastra, “pembenaran” ini sesuai dengan frasa: “Kandidatnya belajar penyair Inggris, bagaimana dia bisa mengenal Shakespeare, lagipula dia adalah seorang penulis naskah drama!”

Kandidat ketiga (dan lusinan dari mereka diwawancarai) sedang mengerjakan “bentuk diferensial holomorfik”, dan saya bertanya kepadanya: “Apa yang dimaksud dengan permukaan garis singgung Riemann?” (Saya takut bertanya tentang garis singgung busur).

Jawaban: “Metrik Riemannian adalah bentuk kuadrat dari perbedaan koordinat, tetapi bentuk apa yang dikaitkan dengan fungsi tangen sama sekali tidak jelas bagi saya.”

Saya akan jelaskan lagi dengan contoh jawaban serupa, kali ini menggantikan matematika dengan sejarah (yang lebih disukai kaum Mitrofan). Di sini pertanyaannya adalah: “Siapakah Julius Caesar?” dan jawabannya adalah: “Penguasa Byzantium disebut Kaisar, tapi saya tidak kenal Julia di antara mereka.”

Akhirnya muncul seorang kandidat probabilistik yang berbicara menarik tentang disertasinya. Dia membuktikan hal itu di dalamnya pernyataan “A dan B sama-sama adil” adalah salah(pernyataan itu sendiri A Dan DI DALAM dirumuskan panjang lebar, jadi saya tidak akan mereproduksinya di sini).

Pertanyaan: “Namun, bagaimana situasi dengan pernyataan tersebut A sendiri, tanpa DI DALAM: benar atau tidak?

Menjawab: “Toh saya bilang pernyataan “A dan B” itu salah. Artinya A juga salah." Itu adalah: “Karena tidak benar bahwa “Petya dan Misha terkena kolera”, maka Petya tidak terkena kolera.”

Di sini kebingungan saya kembali terhapuskan oleh ketua komisi: ia menjelaskan bahwa calon tersebut bukanlah seorang probabilist, seperti yang saya kira, melainkan seorang ahli statistik (dalam biografi yang disebut CV, tidak ada “proba”, tetapi “stat”) .

“Kaum probabilistik,” ketua kami yang berpengalaman menjelaskan kepada saya, “memiliki logika yang normal, sama dengan logika ahli matematika, Aristotelian. Bagi ahli statistik, hal ini sangat berbeda: bukan tanpa alasan mereka mengatakan “ada kebohongan, kebohongan yang terang-terangan, dan statistik.” Semua alasan mereka tidak berdasar, semua kesimpulan mereka salah. Tetapi kesimpulan-kesimpulan ini selalu sangat penting dan berguna. Kami pasti harus menerima ahli statistik ini!”

Di Universitas Moskow, orang bodoh seperti itu tidak akan mampu menyelesaikan tahun ketiga Fakultas Mekanika dan Matematika. Permukaan Riemann dianggap sebagai puncak matematika oleh pendiri Moscow Mathematical Society, N. Bugaev (ayah dari Andrei Bely). Namun, dia percaya bahwa dalam matematika kontemporer pada akhir abad ke-19, objek mulai bermunculan yang tidak sesuai dengan arus utama teori lama ini - fungsi non-holomorfik dari variabel nyata, yang menurutnya merupakan perwujudan matematis dari gagasan kehendak bebas sama seperti permukaan Riemann dan fungsi holomorfik mewujudkan gagasan fatalisme dan predeterminasi.

Sebagai hasil dari refleksi ini, Bugaev mengirim pemuda Moskow ke Paris untuk mempelajari “matematika kehendak bebas” baru di sana (dari Borel dan Lebesgue). Program ini dilaksanakan dengan cemerlang oleh N. N. Luzin, yang sekembalinya ke Moskow menciptakan sekolah yang brilian, termasuk semua ahli matematika utama Moskow selama beberapa dekade: Kolmogorov dan Petrovsky, Aleksandrov dan Pontryagin, Menshov dan Keldysh, Novikov dan Lavrentiev, Gelfand dan Lyusternik .

Ngomong-ngomong, Kolmogorov merekomendasikan kepada saya Hotel Parisiana (di Jalan Tournefort, tidak jauh dari Pantheon) yang kemudian dipilih Luzin sendiri di Latin Quarter Paris. Selama Kongres Matematika Eropa Pertama di Paris (1992) saya menginap di hotel murah ini (dengan fasilitas setingkat abad ke-19, tanpa telepon, dan sebagainya). Dan pemilik tua hotel ini, setelah mengetahui bahwa saya datang dari Moskow, langsung bertanya kepada saya: “ Bagaimana kabar tamu lamaku, Luzin, di sana? Sayang sekali dia sudah lama tidak mengunjungi kita.”

Beberapa tahun kemudian, hotel ini ditutup untuk renovasi (pemiliknya mungkin sudah meninggal) dan mereka mulai membangunnya kembali dengan cara Amerika, jadi sekarang Anda tidak dapat lagi melihat pulau abad ke-19 di Paris ini.

Kembali ke pemilihan profesor pada tahun 2002, saya perhatikan bahwa semua orang bodoh yang disebutkan di atas menerima (dari semua orang kecuali saya) nilai terbaik. Di sisi lain, satu-satunya, menurut pendapat saya, kandidat yang layak hampir ditolak dengan suara bulat. Dia menemukan (dengan bantuan "basis Gröbner" dan aljabar komputer) beberapa lusin sistem persamaan fisika matematika Hamilton yang sepenuhnya terintegrasi (pada saat yang sama, tetapi tidak termasuk dalam daftar yang baru, Korteweg-de Vries yang terkenal, Sayn-Gordon, dan persamaan sejenisnya).

Sebagai proyek masa depan, kandidat tersebut juga mengusulkan metode komputer baru untuk memodelkan pengobatan diabetes. Terhadap pertanyaan saya tentang penilaian metodenya oleh para dokter, dia menjawab dengan cukup masuk akal: “Metode tersebut sekarang sedang diuji di pusat-pusat dan rumah sakit ini dan itu, dan dalam enam bulan mereka akan memberikan kesimpulannya, membandingkan hasilnya dengan metode lain dan dengan metode lain. pasien kelompok kontrol, namun untuk saat ini pemeriksaan tersebut belum dilakukan, dan hanya ada penilaian awal saja, padahal sudah baik.”

Mereka menolaknya dengan penjelasan sebagai berikut: “Di setiap halaman disertasinya disebutkan kelompok Lie atau aljabar Lie, tapi tidak ada seorang pun di sini yang memahaminya, jadi dia tidak akan cocok dengan tim kami sama sekali.” Benar, saya dan semua siswa saya bisa saja ditolak, tetapi beberapa rekan berpikir bahwa alasan penolakannya berbeda: tidak seperti semua kandidat sebelumnya, yang ini bukan orang Prancis (dia adalah murid seorang profesor Amerika yang terkenal. dari Minnesota).

Keseluruhan gambaran yang dijelaskan mengarah pada pemikiran sedih tentang masa depan sains Perancis, khususnya matematika. Meskipun “Komite Sains Nasional Prancis” cenderung untuk tidak membiayai penelitian ilmiah baru sama sekali, tetapi untuk mengeluarkan uang (disediakan oleh Parlemen untuk pengembangan ilmu pengetahuan) untuk pembelian resep Amerika yang sudah jadi, saya sangat menentang kebijakan bunuh diri ini. dan masih mencapai setidaknya beberapa penelitian baru yang disubsidi. Namun kesulitan disebabkan oleh pembagian uang. Kedokteran, energi nuklir, kimia polimer, virologi, genetika, ekologi, perlindungan lingkungan, pembuangan limbah radioaktif dan banyak lagi secara konsisten dipilih sebagai tidak layak menerima subsidi melalui pemungutan suara (dalam pertemuan lima jam). Pada akhirnya, mereka memilih tiga “ilmu” yang disinyalir layak mendapatkan pendanaan untuk penelitian baru mereka. Ketiga “ilmu” tersebut adalah: 1) AIDS; 2) psikoanalisis; 3) cabang kimia farmasi yang kompleks, yang nama ilmiahnya tidak dapat saya reproduksi, tetapi membahasnya pengembangan obat-obatan psikotropika, mirip dengan gas larimogenik, mengubah kelompok pemberontak menjadi kelompok yang patuh.

Jadi sekarang Perancis telah diselamatkan!

Dari semua siswa Luzin, menurut pendapat saya, kontribusi paling luar biasa terhadap sains dibuat oleh Andrei Nikolaevich Kolmogorov. Dibesarkan di sebuah desa bersama kakeknya di dekat Yaroslavl, Andrei Nikolaevich dengan bangga menyebut kata-kata Gogol sebagai “seorang petani Roslavl yang efisien.”

Dia tidak berniat menjadi ahli matematika, bahkan setelah masuk Universitas Moskow, di mana dia segera mulai belajar sejarah (dalam seminar Profesor Bakhrushin) dan, sebelum dia berusia dua puluh tahun, menulis karya ilmiah pertamanya.

Karya ini dikhususkan untuk mempelajari hubungan ekonomi tanah di Novgorod abad pertengahan. Dokumen perpajakan telah disimpan di sini, dan analisis sejumlah besar dokumen ini dengan menggunakan metode statistik membawa sejarawan muda tersebut pada kesimpulan yang tidak terduga, yang dia bicarakan pada pertemuan Bakhrushin.

Laporannya sangat sukses, dan pembicaranya mendapat banyak pujian. Namun dia bersikeras meminta persetujuan lain: dia ingin kesimpulannya diakui benar.

Pada akhirnya, Bakhrushin mengatakan kepadanya: “Laporan ini harus dipublikasikan; dia sangat menarik. Tapi untuk kesimpulannya, kalau begitu Bagi kami para sejarawan, untuk mengetahui kesimpulan apa pun, kami selalu membutuhkan tidak hanya satu bukti, tapi setidaknya lima!«

Keesokan harinya, Kolmogorov mengubah sejarah menjadi matematika, di mana bukti saja sudah cukup. Dia tidak menerbitkan laporan tersebut, dan teks ini tetap ada di arsipnya sampai, setelah kematian Andrei Nikolaevich, teks tersebut diperlihatkan kepada sejarawan modern, yang mengakuinya tidak hanya sebagai sesuatu yang sangat baru dan menarik, tetapi juga cukup konklusif. Kini laporan Kolmogorov ini telah diterbitkan, dan dianggap oleh komunitas sejarawan sebagai kontribusi luar biasa bagi ilmu pengetahuan mereka.

Setelah menjadi ahli matematika profesional, Kolmogorov tetap, tidak seperti kebanyakan dari mereka, pertama-tama, seorang ilmuwan dan pemikir alam, dan sama sekali bukan pengganda bilangan multidigit (yang terutama muncul ketika menganalisis aktivitas ahli matematika kepada orang-orang yang tidak terbiasa dengan matematika, termasuk bahkan L.D. Landau yang menilai matematika justru merupakan kelanjutan dari keterampilan berhitung: lima lima - dua puluh lima, enam enam - tiga puluh enam, tujuh tujuh - empat puluh tujuh, seperti yang saya baca dalam parodi Landau yang disusun oleh mahasiswa Fisika dan Teknologinya ; namun, dalam surat Landau kepada saya, yang saat itu masih mahasiswa, matematika tidak lebih logis daripada parodi ini).

Mayakovsky menulis: “Bagaimanapun, dia dapat mengekstrak akar kuadrat setiap detik” (tentang seorang profesor yang “tidak bosan karena para siswa aktif pergi ke gimnasium di bawah jendela”).

Namun dia dengan sempurna menggambarkan apa itu penemuan matematika, dengan mengatakan bahwa " Siapa pun yang menemukan bahwa dua dan dua sama dengan empat adalah seorang ahli matematika yang hebat, meskipun ia menemukannya dengan menghitung puntung rokok. Dan siapa pun yang saat ini menghitung objek yang jauh lebih besar, seperti lokomotif, dengan menggunakan rumus yang sama, bukanlah ahli matematika sama sekali!”

Kolmogorov, tidak seperti banyak orang lainnya, tidak pernah terintimidasi oleh matematika terapan “lokomotif”, dan ia dengan senang hati menerapkan pertimbangan matematis ke berbagai bidang aktivitas manusia: dari hidrodinamika hingga artileri, dari mekanika angkasa hingga puisi, dari miniaturisasi komputer hingga dunia. teori gerak Brown, dari divergensi deret Fourier hingga teori transmisi informasi dan logika intuisionistik. Dia menertawakan kenyataan bahwa orang Prancis menulis “Mekanika langit” dengan huruf kapital, dan “menerapkan” dengan huruf kecil.

Ketika saya pertama kali tiba di Paris pada tahun 1965, saya disambut dengan hangat oleh Profesor Fréchet yang sudah lanjut usia, dengan kata-kata berikut: “Bagaimanapun, Anda adalah murid Kolmogorov, pemuda yang membuat contoh deret Fourier yang menyimpang hampir di mana-mana!”

Pekerjaan Kolmogorov yang disebutkan di sini diselesaikan olehnya pada usia sembilan belas tahun, memecahkan masalah klasik dan segera mempromosikan siswa ini ke peringkat ahli matematika kelas satu yang penting bagi dunia. Empat puluh tahun kemudian, pencapaian ini masih lebih penting bagi Frechet daripada semua karya fundamental Kolmogorov berikutnya yang jauh lebih penting, yang merevolusi teori probabilitas, teori fungsi, hidrodinamika, mekanika langit, teori perkiraan, dan teori fungsi. kompleksitas algoritmik, dan teori kohomologi dalam topologi, dan teori kendali sistem dinamis (dimana Ketimpangan Kolmogorov antara turunan dari ordo yang berbeda tetap menjadi salah satu pencapaian tertinggi saat ini, meskipun para ahli teori kontrol jarang memahami hal ini).

Namun Kolmogorov sendiri selalu skeptis terhadap matematika favoritnya, menganggapnya sebagai bagian kecil dari ilmu pengetahuan alam dan dengan mudah mengabaikan batasan logis yang dikenakan oleh belenggu metode deduktif aksiomatik pada ahli matematika sejati.

“Akan sia-sia,” katanya kepada saya, “mencari konten matematis dalam karya saya tentang turbulensi. Saya berbicara di sini sebagai fisikawan dan sama sekali tidak peduli dengan pembuktian matematis atau turunan kesimpulan saya dari premis awal, seperti persamaan Navier-Stokes. Meskipun kesimpulan-kesimpulan ini belum terbukti, kesimpulan-kesimpulan ini benar dan terbuka, dan ini jauh lebih penting daripada membuktikannya!”

Banyak penemuan Kolmogorov tidak hanya tidak terbukti (baik oleh dirinya sendiri maupun oleh para pengikutnya), tetapi bahkan tidak dipublikasikan. Namun demikian, mereka telah dan terus mempunyai pengaruh yang menentukan pada sejumlah departemen ilmu pengetahuan (dan tidak hanya matematika).

Saya akan memberikan satu contoh terkenal saja (dari teori turbulensi).

Model matematika hidrodinamika adalah sistem dinamis dalam ruang medan kecepatan fluida, yang menggambarkan evolusi medan kecepatan awal partikel fluida di bawah pengaruh interaksinya: tekanan dan viskositas (serta di bawah kemungkinan pengaruh gaya luar). , misalnya gaya berat pada kasus sungai atau tekanan air pada pipa air).

Di bawah pengaruh evolusi ini, suatu sistem dinamis dapat terbentuk keadaan setimbang (stasioner), ketika kecepatan aliran pada setiap titik daerah aliran tidak berubah terhadap waktu(meskipun semuanya mengalir, dan setiap partikel bergerak dan mengubah kecepatannya seiring waktu).

Aliran stasioner seperti itu (misalnya, aliran laminar dalam hidrodinamika klasik) adalah titik tarik dari sistem dinamis. Oleh karena itu mereka disebut penarik (titik).

Himpunan lain yang menarik tetangga juga dimungkinkan, misalnya kurva tertutup yang menggambarkan arus yang berubah secara berkala seiring waktu dalam ruang fungsional medan kecepatan. Kurva seperti itu merupakan penarik ketika kondisi awal yang berdekatan, yang digambarkan oleh titik-titik “terganggu” dari ruang fungsional medan kecepatan yang dekat dengan kurva tertutup yang ditunjukkan, memulai, meskipun tidak berubah secara periodik terhadap waktu, aliran yang mendekatinya (yaitu, aliran aliran yang terganggu cenderung ke arah yang dijelaskan sebelumnya secara berkala seiring waktu).

Poincaré, yang pertama kali menemukan fenomena ini, menyebut kurva penarik tertutup tersebut "siklus batas stabil". Dari sudut pandang fisik, mereka bisa disebut rezim aliran tunak periodik: gangguan berangsur-angsur memudar selama proses transisi yang disebabkan oleh gangguan pada kondisi awal, dan setelah beberapa waktu perbedaan antara pergerakan dan pergerakan periodik yang tidak terganggu menjadi hampir tidak terlihat.

Setelah Poincaré, siklus batas tersebut dipelajari secara ekstensif oleh A. A. Andronov, yang mendasarkan studi dan perhitungan generator gelombang radio, yaitu pemancar radio, pada model matematika ini.

Pentingnya penemuan dan pengembangan Poincaré oleh Andronov teori lahirnya siklus batas dari posisi keseimbangan tidak stabil Saat ini biasanya disebut (bahkan di Rusia) bifurkasi Hopf. E. Hopf menerbitkan sebagian teori ini beberapa dekade setelah publikasi Andronov dan lebih dari setengah abad setelah Poincaré, tetapi tidak seperti mereka, ia tinggal di Amerika, sehingga prinsip eponim yang terkenal berhasil: jika suatu benda menyandang nama orang lain, maka itu bukanlah nama penemunya(misalnya, Amerika tidak dinamai menurut nama Columbus).

Fisikawan Inggris M. Berry menyebut prinsip eponymous ini sebagai “prinsip Arnold”, menambahkan prinsip kedua ke dalamnya. Prinsip Berry: Prinsip Arnold berlaku untuk diri sendiri(yaitu, telah diketahui sebelumnya).

Saya sepenuhnya setuju dengan Berry dalam hal ini. Saya memberi tahu dia prinsip eponymous sebagai tanggapan terhadap pracetak tentang "fase Berry", yang contohnya, yang sama sekali tidak kalah dengan teori umum, diterbitkan beberapa dekade sebelum Berry oleh S. M. Rytov (dengan nama "inersia arah polarisasi") dan A. Yu .Ishlinsky (dengan nama “keberangkatan giroskop kapal selam karena perbedaan antara jalur kembali ke pangkalan dan jalur meninggalkannya”),

Namun, mari kita kembali ke penarik. Penarik, atau himpunan tarik-menarik, adalah keadaan gerak tetap, yang, bagaimanapun, tidak harus berkala. Matematikawan juga telah mempelajari gerakan yang jauh lebih kompleks, yang juga dapat menarik gerakan tetangga yang terganggu, namun gerakan tersebut bisa sangat tidak stabil: sebab yang kecil terkadang menimbulkan akibat yang besar, kata Poincare. Keadaan, atau “fase”, dari rezim pembatas tersebut (yaitu, sebuah titik pada permukaan penarik) dapat bergerak di sepanjang permukaan penarik dengan cara “kacau” yang aneh, dan sedikit penyimpangan dari titik awalnya. pada penarik dapat mengubah arah pergerakan secara signifikan tanpa mengubah rezim pembatas sama sekali. Rata-rata dalam waktu yang lama dari semua besaran yang mungkin dapat diamati akan mendekati nilai aslinya dan dalam gerakan yang terganggu, tetapi rinciannya pada saat tertentu dalam waktu, sebagai suatu peraturan, akan sangat berbeda.

Dalam istilah meteorologi, “rezim batas” (attractor) dapat diibaratkan iklim, dan fase - cuaca. Perubahan kecil pada kondisi awal dapat berdampak besar pada cuaca besok (dan terlebih lagi pada cuaca seminggu dan sebulan dari sekarang). Namun perubahan seperti itu tidak akan menjadikan tundra sebagai hutan tropis: hanya badai petir yang mungkin terjadi pada hari Jumat, bukan Selasa, yang mungkin tidak mengubah rata-rata tahun tersebut (atau bahkan bulan tersebut).

Dalam hidrodinamika, derajat redaman gangguan awal biasanya ditandai dengan viskositas (bisa dikatakan, gesekan timbal balik partikel-partikel cairan ketika mereka bergerak relatif terhadap yang lain), atau viskositas terbalik, suatu nilai yang disebut “bilangan Reynolds”. Nilai bilangan Reynolds yang besar berhubungan dengan redaman gangguan yang lemah, dan nilai viskositas yang besar (yaitu bilangan Reynolds yang kecil) - sebaliknya, mengatur aliran, mencegah gangguan dan perkembangannya. Dalam perekonomian, peran “viskositas” sering kali dimainkan oleh suap dan korupsi 1 .

1 Manajemen produksi multi-tahap tidak stabil jika jumlah tahapan (pekerja, mandor, manajer bengkel, direktur pabrik, CEO, dll.) lebih dari dua, tetapi dapat dilaksanakan secara berkelanjutan jika setidaknya beberapa tahapan manajer diberi penghargaan tidak hanya dari atas (untuk mengikuti perintah), tetapi juga dari bawah (untuk kepentingan tujuan, untuk keputusan yang berkontribusi pada produksi). Korupsi digunakan untuk memberikan dorongan. Untuk lebih jelasnya lihat artikel: V. I. Arnold. Matematika dan pendidikan matematika di dunia modern. Dalam buku: Matematika dalam pendidikan dan pengasuhan. - M.: FAZIS, 2000, hal. 195-205.

Karena viskositasnya yang tinggi, pada bilangan Reynolds yang rendah, aliran stasioner (laminar) yang stabil biasanya terbentuk, yang diwakili dalam ruang medan kecepatan oleh penarik titik.

Pertanyaan utamanya adalah bagaimana pola aliran akan berubah dengan meningkatnya bilangan Reynolds. Dalam pasokan air, hal ini berhubungan, misalnya, dengan peningkatan tekanan air, yang membuat aliran halus (laminar) dari keran menjadi tidak stabil, tetapi secara matematis, untuk meningkatkan bilangan Reynolds, akan lebih mudah untuk mengurangi koefisien gesekan partikel yang dinyatakan viskositas (yang dalam percobaan memerlukan penggantian cairan yang secara teknis rumit). Namun terkadang untuk mengubah bilangan Reynolds cukup dengan mengubah suhu di laboratorium. Saya melihat instalasi seperti itu di Novosibirsk di Institute of Precision Measurements, di mana bilangan Reynolds berubah (di digit keempat) ketika saya mendekatkan tangan saya ke silinder tempat aliran terjadi (tepatnya karena perubahan suhu), dan terus layar komputer yang memproses percobaan, perubahan bilangan Reynolds ini segera ditunjukkan oleh otomatisasi elektronik.

Memikirkan fenomena transisi dari aliran laminar (stasioner stabil) ke aliran turbulen badai, Kolmogorov sejak lama mengungkapkan sejumlah hipotesis (yang hingga saat ini masih belum terbukti). Saya pikir hipotesis ini berasal dari perselisihannya dengan Landau (1943) mengenai sifat turbulensi. Bagaimanapun, ia dengan jelas merumuskannya pada seminarnya (tentang hidrodinamika dan teori sistem dinamik) di Universitas Moskow pada tahun 1959, yang bahkan menjadi bagian dari pengumuman seminar yang ia posting saat itu. Namun saya tidak mengetahui adanya publikasi resmi dari hipotesis Kolmogorov ini, dan di Barat hipotesis tersebut biasanya dikaitkan dengan epigon Kolmogorov, yang mempelajarinya dan menerbitkannya puluhan tahun kemudian.

Inti dari hipotesis Kolmogorov ini adalah bahwa dengan meningkatnya bilangan Reynolds, penarik yang berhubungan dengan rezim aliran tunak menjadi semakin kompleks, yaitu bahwa dimensinya bertambah.

Pertama berupa titik (penarik berdimensi nol), kemudian lingkaran (siklus batas Poincaré, penarik satu dimensi). Dan hipotesis Kolmogorov tentang penarik dalam hidrodinamika terdiri dari dua pernyataan: dengan bertambahnya bilangan Reynolds 1) penarik dengan dimensi yang semakin besar bermunculan; 2) semua penarik berdimensi rendah menghilang.

Dari 1 dan 2 bersama-sama maka berikut ini ketika bilangan Reynolds cukup besar, keadaan tunak tentu mempunyai banyak derajat kebebasan, sehingga untuk menggambarkan fasenya (titik pada penarik) perlu ditetapkan banyak parameter, yang kemudian, ketika bergerak sepanjang penarik, akan berubah secara “kacau” yang aneh dan tidak berkala, dan perubahan kecil pada titik awal penarik, sebagai suatu peraturan, menyebabkan perubahan besar (setelah jangka waktu yang lama) pada “cuaca” (titik saat ini pada penarik), meskipun hal itu tidak mengubah penarik itu sendiri (itu adalah, hal ini tidak akan menyebabkan perubahan pada “iklim”).

Pernyataan 1 saja tidak cukup di sini, karena penarik yang berbeda dapat hidup berdampingan, termasuk penarik dengan dimensi berbeda dalam satu sistem (yang, dengan demikian, dapat melakukan gerakan “laminar” yang tenang pada kondisi awal tertentu dan gerakan “turbulen” yang penuh badai pada kondisi awal lainnya, tergantung pada keadaan awalnya).

Pengamatan eksperimental terhadap efek tersebut "hilangnya stabilitas dalam waktu lama" mengejutkan fisikawan untuk waktu yang lama, namun Kolmogorov menambahkan hal itu bahkan jika penarik berdimensi rendah tidak menghilang, turbulensi yang diamati mungkin tidak berubah jika ukuran zona tarik-menariknya berkurang secara signifikan seiring dengan meningkatnya bilangan Reynolds. Dalam hal ini, rezim laminar, meskipun pada prinsipnya mungkin (dan bahkan stabil), secara praktis tidak diamati karena sangat kecilnya area tarik-menariknya: Gangguan yang sudah kecil, tetapi selalu ada dalam percobaan, dapat membawa sistem keluar dari zona tarik-menarik penarik ini ke zona tarik-menarik keadaan tunak lain yang sudah bergolak, yang akan diamati.

Diskusi ini mungkin juga menjelaskan pengamatan aneh ini: Beberapa eksperimen hidrodinamika terkenal pada abad ke-19 tidak dapat diulangi pada paruh kedua abad ke-20, meskipun upaya telah dilakukan untuk menggunakan peralatan yang sama di laboratorium yang sama. Namun ternyata eksperimen lama (dengan hilangnya stabilitas yang berkepanjangan) dapat terulang jika dilakukan bukan di laboratorium lama, tetapi di tambang bawah tanah.

Faktanya adalah bahwa lalu lintas jalan raya modern telah sangat meningkatkan besarnya gangguan yang “tidak terlihat”, yang mulai memberikan dampak (karena kecilnya zona tarik-menarik dari penarik “laminar” yang tersisa).

Berbagai upaya yang dilakukan oleh banyak ahli matematika untuk mengkonfirmasi hipotesis Kolmogorov 1 dan 2 (atau setidaknya hipotesis pertama) dengan bukti sejauh ini hanya membuahkan hasil. perkiraan dimensi penarik dalam bilangan Reynolds dari atas: dimensi ini tidak dapat menjadi terlalu besar selama viskositas mencegahnya.

Dimensi diperkirakan dalam karya ini dengan fungsi pangkat bilangan Reynolds (yaitu, derajat viskositas negatif), dan eksponennya bergantung pada dimensi ruang tempat aliran terjadi (dalam aliran tiga dimensi, turbulensi adalah lebih kuat dari pada masalah pesawat).

Adapun bagian yang paling menarik dari masalah ini, yaitu memperkirakan dimensi dari bawah (setidaknya untuk beberapa penarik, seperti dalam Hipotesis 1, atau bahkan untuk semua, seperti dalam Hipotesis 2, yang lebih diragukan oleh Kolmogorov), di sini matematikawan tidak mampu tinggi, karena menurut kebiasaannya, menggantikan masalah ilmu alam nyata dengan rumusan abstrak aksiomatik formalnya dengan definisinya yang tepat namun berbahaya.

Faktanya adalah bahwa konsep aksiomatik dari suatu penarik dirumuskan oleh para ahli matematika dengan hilangnya beberapa sifat dari mode gerak pembatas fisik, yang konsep matematikanya (tidak didefinisikan secara ketat) mereka coba aksiomakan dengan memperkenalkan istilah "penarik".

Mari kita perhatikan, misalnya, sebuah penarik berbentuk lingkaran (yang menjadi tempat semua lintasan dinamika terdekat bergerak secara spiral).

Pada lingkaran tarik-menarik tetangga ini, biarkan dinamikanya diatur sebagai berikut: dua titik berlawanan (di ujung-ujung diameter yang sama) tidak bergerak, tetapi salah satunya adalah penarik (menarik tetangga), dan yang lainnya adalah tolakan (menolak). mereka).

Misalnya, kita dapat membayangkan sebuah lingkaran yang berdiri secara vertikal, yang dinamikanya menggeser titik mana pun di sepanjang lingkaran ke bawah, kecuali kutub-kutub tetap yang tersisa:

penarik di bagian bawah dan repulsor di bagian atas.

Pada kasus ini, Meskipun terdapat lingkaran penarik satu dimensi dalam sistem, kondisi tunak fisik hanya akan berada pada posisi stasioner yang stabil.(penarik yang lebih rendah pada model “vertikal” di atas).

Di bawah gangguan kecil yang sewenang-wenang, gerakan pertama-tama akan berevolusi menuju lingkaran penarik. Namun dinamika internal pada penarik ini akan berperan, dan keadaan sistem, akan pada akhirnya, mendekati penarik berdimensi nol “laminar”; penarik satu dimensi, meskipun ada secara matematis, tidak cocok untuk peran “rezim keadaan tunak”.

Salah satu cara untuk menghindari masalah seperti itu adalah pertimbangkan hanya penarik minimal sebagai penarik, yaitu penarik yang tidak mengandung penarik yang lebih kecil. Hipotesis Kolmogorov merujuk secara tepat pada penarik tersebut, jika kita ingin memberikan rumusan yang tepat kepada mereka.

Namun belum ada yang terbukti mengenai perkiraan dimensi dari bawah, meskipun banyak publikasi yang menyebutkan demikian.

Bahaya pendekatan deduktif-aksiomatik terhadap matematika Banyak pemikir sebelum Kolmogorov memahami dengan jelas hal ini. Matematikawan Amerika pertama J. Sylvester menulis hal itu Ide-ide matematika tidak boleh membatu, karena mereka kehilangan kekuatan dan penerapannya ketika mencoba melakukan aksiomatisasi sifat-sifat yang diinginkan. Ia mengatakan bahwa gagasan harus dianggap seperti air di sungai: kita tidak pernah memasuki air yang persis sama, meskipun arungannya sama. Demikian pula, sebuah ide dapat memunculkan banyak aksioma yang berbeda dan tidak setara, yang masing-masing tidak mencerminkan ide tersebut secara keseluruhan.

Sylvester sampai pada semua kesimpulan ini dengan memikirkan, dalam kata-katanya, “fenomena intelektual aneh yang pembuktian suatu pernyataan yang lebih umum sering kali ternyata lebih sederhana daripada pembuktian kasus-kasus khusus yang dikandungnya.” Sebagai contoh, ia membandingkan geometri ruang vektor dengan analisis fungsional (yang belum ditetapkan pada saat itu).

Ide Sylvester ini banyak digunakan di masa depan. Misalnya, inilah yang menjelaskan keinginan Bourbaki untuk menjadikan semua konsep seumum mungkin. Mereka bahkan menggunakan di dalam Di Prancis, kata “lebih” dalam arti yang di negara lain (yang mereka sebut “Anglo-Saxon”) dinyatakan dengan kata “lebih besar dari atau sama dengan”, karena di Prancis konsep yang lebih umum “>=” dianggap yang utama, dan “>” yang lebih spesifik - “ tidak penting" contoh. Oleh karena itu, mereka mengajari siswa bahwa nol adalah bilangan positif (juga bilangan negatif, non-positif, non-negatif, dan natural), yang tidak dikenali di tempat lain.

Namun tampaknya mereka tidak sampai pada kesimpulan Sylvester tentang tidak dapat diterimanya teori fosilisasi (setidaknya di Paris, di perpustakaan Ecole Normale Superieure, halaman-halaman Koleksi Karyanya ini tidak dipotong ketika saya baru saja menemukannya).

Saya tidak dapat meyakinkan “para ahli” matematika untuk menafsirkan dengan benar hipotesis tentang pertumbuhan dimensi penarik, karena mereka, seperti pengacara, menolak saya dengan referensi formal terhadap kode hukum dogmatis yang ada yang berisi “definisi formal yang tepat” dari penarik orang bodoh.

Kolmogorov, sebaliknya, tidak pernah peduli dengan isi definisi seseorang, tetapi memikirkan inti permasalahannya 2.

2 Setelah memecahkan masalah Birkhoff tentang stabilitas titik tetap sistem non-resonansi pada tahun 1960, saya menerbitkan solusi untuk masalah ini pada tahun 1961. Setahun kemudian, Yu Moser menggeneralisasi hasil saya, membuktikan stabilitas pada resonansi orde lebih besar dari empat. Baru pada saat itulah saya menyadari bahwa bukti saya membuktikan fakta yang lebih umum ini, namun, karena terhipnotis oleh rumusan definisi non-resonansi Birkhoff, saya tidak menulis bahwa saya telah membuktikan lebih dari yang diklaim Birkhoff.

Suatu hari dia menjelaskan kepada saya bahwa dia mengemukakan teori kohomologi topologinya sama sekali tidak secara kombinatorial atau aljabar, tetapi dengan memikirkan aliran fluida dalam hidrodinamika, kemudian tentang medan magnet: dia ingin memodelkan fisika ini dalam kombinatorial. situasi kompleks abstrak dan melakukannya.

Pada tahun-tahun itu, saya dengan naif mencoba menjelaskan kepada Kolmogorov apa yang terjadi dalam topologi selama dekade di mana dia memperoleh semua pengetahuannya tentang topologi hanya dari P. S. Aleksandrov. Karena isolasi ini, Kolmogorov tidak tahu apa-apa tentang topologi homotopi; dia meyakinkanku akan hal itu “Urutan spektral terkandung dalam karya Pavel Sergeevich di Kazan 1942 di tahun ini", dan upaya untuk menjelaskan kepadanya apa urutan sebenarnya tidak lebih berhasil daripada upaya naif saya untuk menempatkannya di ski air atau menempatkannya di atas sepeda, penjelajah dan pemain ski hebat ini.

Namun, yang mengejutkan saya adalah penilaian tinggi terhadap kata-kata Kolmogorov tentang kohomologi yang diberikan oleh seorang pakar ketat, Vladimir Abramovich Rokhlin. Dia menjelaskan kepada saya, sama sekali tidak kritis, bahwa kata-kata Kolmogorov ini berisi, pertama, penilaian yang sangat benar tentang hubungan antara dua pencapaiannya (terutama sulit jika, seperti di sini, kedua pencapaian tersebut luar biasa), dan kedua, pandangan ke depan yang cerdas tentang arti besar operasi kohomologi.

Dari semua pencapaian topologi modern, Kolmogorov paling menghargai bidang Milnor, yang dibicarakan pada tahun 1961 di Kongres Matematika Seluruh Serikat di Leningrad. Kolmogorov bahkan membujuk saya (yang saat itu masih mahasiswa pascasarjana) untuk memasukkan bidang-bidang ini ke dalam rencana pascasarjana saya, yang memaksa saya untuk mulai mempelajari topologi diferensial dari Rokhlin, Fuchs dan Novikov (sebagai akibatnya saya bahkan segera menjadi lawan dari Ph.D. yang terakhir. .D. tesis tentang struktur terdiferensiasi pada produk bola).

Ide Kolmogorov adalah menggunakan bola Milnor untuk membuktikan bahwa fungsi beberapa variabel tidak dapat diwakili oleh superposisi dalam soal Hilbert ke-13 (mungkin untuk fungsi aljabar), tapi saya tidak tahu satupun publikasinya tentang topik ini atau rumusan hipotesisnya .

Lingkaran ide Kolmogorov lainnya yang kurang dikenal berhubungan dengan kontrol optimal sistem dinamis.

Tugas paling sederhana dari lingkaran ini adalah memaksimalkan di suatu titik turunan pertama dari suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu interval atau lingkaran, dengan mengetahui batas atas modul dari fungsi itu sendiri dan turunan keduanya. Turunan kedua mencegah turunan pertama agar tidak segera padam, dan jika turunan pertama terlalu besar, fungsinya melampaui batasan yang diberikan.

Mungkin, Hadamard adalah orang pertama yang mempublikasikan solusi masalah ini pada turunan kedua, dan kemudian Littlewood menemukannya kembali saat mengerjakan lintasan artileri. Kolmogorov, tampaknya, tidak mengetahui publikasi salah satu publikasi tersebut, dan memutuskan masalah memperkirakan dari atas setiap turunan perantara melalui nilai maksimum modul fungsi terdiferensiasi dan turunan orde tinggi (tetap).

Ide bagus Kolmogorov adalah melakukan hal itu secara eksplisit menunjukkan fungsi ekstrem, seperti polinomial Chebyshev (yang membuktikan ketidaksetaraan menjadi persamaan). Dan agar fungsinya menjadi ekstrim, dia secara alami dapat menebaknya nilai turunan tertinggi harus selalu dipilih menjadi nilai absolut maksimum, hanya mengubah tandanya.

Hal ini membawanya ke serangkaian fitur khusus yang luar biasa. Fungsi nol dari deret ini adalah tanda sinus argumen (di mana pun memiliki modulus maksimum). Fungsi berikutnya, yang pertama, adalah antiturunan dari nol (yaitu, sudah kontinu “saw”, yang turunannya mempunyai modulus maksimum dimana-mana). Fungsi selanjutnya diperoleh masing-masing dari fungsi sebelumnya dengan integrasi yang sama (menambah jumlah turunannya sebanyak satu). Anda hanya perlu memilih konstanta integrasi sehingga integral dari fungsi antiturunan yang dihasilkan selama periode tersebut selalu sama dengan nol (maka semua fungsi yang dibangun akan bersifat periodik).

Rumus eksplisit untuk fungsi polinomial sepotong-sepotong yang dihasilkan cukup rumit (integrasinya diperkenalkan oleh konstanta rasional yang diasosiasikan bahkan dengan bilangan Bernoulli).

Nilai fungsi yang dibangun dan turunannya diberikan oleh konstanta dalam perkiraan daya Kolmogorov (memperkirakan modulus turunan perantara dari atas melalui produk pangkat rasional maksimum modulus fungsi dan turunan tertinggi). Eksponen rasional yang ditunjukkan mudah ditebak dari pertimbangan kesamaan, kembali ke hukum kesamaan Leonardo da Vinci dan teori turbulensi Kolmogorov, bahwa kombinasi tersebut seharusnya tidak berdimensi, karena jelas (setidaknya dari Notasi Leibniz) bagaimana turunan dari ordo yang berbeda berperilaku ketika satuan berubah Argumen dan pengukuran fungsi. Misalnya, untuk soal Hadamard, kedua eksponen rasional sama dengan setengah, sehingga kuadrat turunan pertama diperkirakan dari atas dengan hasil kali maksimum modulus fungsi itu sendiri dan turunan keduanya (dengan koefisien bergantung pada panjang segmen atau lingkaran di mana fungsi tersebut dipertimbangkan).

Lebih mudah untuk membuktikan semua perkiraan ini daripada menghasilkan fungsi ekstrem yang dijelaskan di atas (dan menyampaikan, antara lain, teorema Gauss: probabilitas pecahan yang tidak dapat direduksi) hal/q dengan pembilang dan penyebut bilangan bulat sama dengan 6/p 2, yaitu sekitar 2/3).

Dalam kaitannya dengan teori manajemen saat ini, Strategi yang dipilih oleh Kolmogorov disebut “big bang”: parameter kontrol harus selalu dipilih agar memiliki nilai ekstrem, moderasi apa pun hanya merugikan.

Adapun persamaan diferensial Hamilton untuk mengubah pilihan nilai ekstrem ini dari banyak kemungkinan seiring waktu, Kolmogorov mengetahuinya dengan baik, namun menyebutnya sebagai prinsip Huygens (yang benar-benar setara dengan persamaan ini dan dari situ Hamilton memperoleh persamaannya dengan berpindah dari amplop ke diferensial). Kolmogorov bahkan menunjukkan kepada saya, yang saat itu masih mahasiswa, hal itu deskripsi terbaik tentang geometri prinsip Huygens ini terdapat dalam buku teks mekanika Whittaker, di mana saya mempelajarinya, dan dalam bentuk aljabar yang lebih rumit ada dalam teori “Transformasi Berurung” oleh Sophus Lie (sebagai gantinya saya mempelajari teori transformasi kanonik dari “Sistem Dinamis” Birkhoff dan yang sekarang disebut geometri kontak ).

Menelusuri asal-usul matematika modern dalam karya-karya klasik biasanya tidak mudah, terutama karena adanya perubahan terminologi yang diterima sebagai ilmu baru. Misalnya, hampir tidak ada yang memperhatikan bahwa apa yang disebut teori Poisson manifold telah dikembangkan oleh Jacobi. Faktanya adalah bahwa Jacobi mengikuti jalur varietas aljabar - varietas, dan bukan varietas halus - manifold. Yakni, dia tertarik pada variasi orbit sistem dinamik Hamilton. Sebagai objek topologi atau halus, ia memiliki ciri-ciri dan bahkan patologi yang lebih tidak menyenangkan (“non-Hausdorffness” dan sejenisnya) karena belitan orbit (kurva fase dari sistem dinamis yang kompleks).

Namun aljabar fungsi pada “manifold” ini (yang mungkin buruk) terdefinisi dengan sempurna: ia hanyalah aljabar integral pertama dari sistem aslinya. Berdasarkan teorema Poisson, braket Poisson dari dua integral pertama juga merupakan integral pertama. Oleh karena itu, dalam aljabar integral, selain perkalian, ada operasi bilinear lain - braket Poisson.

Interaksi operasi-operasi ini (perkalian dan tanda kurung) dalam ruang fungsi pada manifold halus tertentu inilah yang menjadikannya manifold Poisson. Saya melewatkan rincian formal definisinya (tidak rumit), terutama karena tidak semuanya terpenuhi dalam contoh yang menarik perhatian Jacobi, di mana manifold Poisson tidak mulus maupun Hausdorff.

Dengan demikian, Teori Jacobi berisi studi tentang varietas yang lebih umum dengan singularitas daripada varietas halus Poisson modern, dan terlebih lagi, teori ini dibangun olehnya dalam gaya geometri aljabar cincin dan cita-cita, daripada geometri diferensial submanifold.

Mengikuti saran Sylvester, spesialis manifold Poisson, tidak membatasi diri pada aksiomatiknya, harus kembali ke kasus yang lebih umum dan lebih menarik, yang telah dipertimbangkan oleh Jacobi. Tetapi Sylvester tidak melakukan ini (terlambat, seperti yang dia katakan, untuk kapal yang berangkat ke Baltimore), dan para ahli matematika di masa sekarang sepenuhnya tunduk pada perintah para aksiomatis.

Kolmogorov sendiri, setelah memecahkan masalah estimasi atas untuk turunan perantara, memahami bahwa ia dapat menyelesaikan banyak masalah optimasi lainnya dengan menggunakan teknik yang sama dari Huygens dan Hamilton, tetapi ia tidak melakukan ini, terutama ketika Pontryagin, yang selalu ia coba bantu, menerbitkan "prinsip maksimum" -nya, yang pada dasarnya merupakan kasus khusus dari prinsip Huygens yang sama tentang geometri kontak yang terlupakan, namun diterapkan pada masalah yang tidak terlalu umum.

Kolmogorov dengan tepat berpendapat bahwa Pontryagin tidak memahami hubungan ini dengan prinsip Huygens, atau hubungan teorinya dengan karya Kolmogorov yang jauh lebih awal mengenai perkiraan turunan. Oleh karena itu, karena tidak ingin mengganggu Pontryagin, dia tidak menulis di mana pun tentang hubungan ini, yang dia ketahui dengan baik.

Tapi sekarang, menurut saya, hal ini sudah bisa dikatakan, dengan harapan seseorang dapat menggunakan koneksi ini untuk menemukan hasil baru.

Penting untuk dicatat bahwa ketidaksetaraan Kolmogorov antara turunan menjadi dasar pencapaian luar biasa Yu Moser dalam apa yang disebut teori KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser), yang memungkinkan dia untuk mentransfer hasil Kolmogorov tahun 1954 ke tori invarian sistem Hamiltonian analitik. menjadi hanya tiga ratus tiga puluh tiga kali sistem terdiferensiasi. Hal ini terjadi pada tahun 1962, dengan penemuan Moser atas kombinasi pemulusan Nash yang luar biasa dan metode konvergensi yang dipercepat Kolmogorov.

Sekarang jumlah turunan yang diperlukan untuk pembuktian telah dikurangi secara signifikan (terutama oleh J. Mather), sehingga tiga ratus tiga puluh tiga turunan yang diperlukan dalam masalah pemetaan cincin dua dimensi telah dikurangi menjadi tiga (sementara contoh tandingan telah telah ditemukan untuk dua turunan).

Menariknya, setelah kemunculan karya Moser, “ahli matematika” Amerika mencoba mempublikasikan “generalisasi teorema Moser ke sistem analitis” (yang generalisasinya hanyalah teorema Kolmogorov yang diterbitkan sepuluh tahun sebelumnya, yang berhasil digeneralisasikan oleh Moser). Namun, Moser dengan tegas mengakhiri upaya untuk mengaitkan hasil klasik Kolmogorov dengan orang lain (namun dengan tepat mencatat bahwa Kolmogorov tidak pernah menerbitkan presentasi rinci tentang buktinya).

Tampak bagi saya bahwa bukti yang diterbitkan oleh Kolmogorov dalam sebuah catatan di DAN cukup jelas (walaupun dia menulis lebih banyak untuk Poincaré daripada untuk Hilbert), berbeda dengan bukti Moser, di mana saya tidak memahami satu bagian pun. Saya bahkan merevisinya dalam ulasan saya pada tahun 1963 tentang teori Moser yang luar biasa. Moser kemudian menjelaskan kepada saya apa yang dimaksudnya di tempat yang tidak jelas ini, tetapi saya masih tidak yakin apakah penjelasan tersebut dipublikasikan dengan benar (dalam revisi saya, saya harus memilih S < e /3, а не e /2, как указывалось в непонятном месте, вызвавшем затруднения не только у меня, но и у других читателей и допускающем неправильное истолкование неясно сказанного).

Hal ini juga bersifat instruktif "Metode konvergensi yang dipercepat Kolmogorov"(dikaitkan dengan benar oleh Kolmogorov ke Newton) digunakan untuk tujuan serupa dalam menyelesaikan persamaan nonlinier oleh A. Cartan sepuluh tahun sebelum Kolmogorov, dalam membuktikan apa yang sekarang disebut teorema A teori balok. Kolmogorov tidak tahu apa-apa tentang hal ini, tetapi Cartan menunjukkan hal ini kepada saya pada tahun 1965, dan yakin bahwa Kolmogorov bisa saja merujuk pada Cartan (walaupun situasinya dalam teori balok agak lebih sederhana, karena ketika memecahkan masalah yang dilinearisasi tidak ada hal mendasar dalam teori balok). mekanika langit adalah kesulitan resonansi dan penyebut kecil, yang terdapat di Kolmogorov dan Poincaré). Pendekatan Kolmogorov bukan matematis, tetapi lebih luas terhadap penelitiannya dengan jelas dimanifestasikan dalam dua karyanya dengan rekan penulis: dalam sebuah artikel dengan M.A. Leontovich tentang area sekitar lintasan Brown dan dalam artikel “KPP” (Kolmogorov , Petrovsky dan Piskunov) pada kecepatan rambat gelombang nonlinier

Dalam kedua kasus tersebut, karya tersebut berisi rumusan fisik yang jelas dari masalah ilmu pengetahuan alam dan teknik matematika yang kompleks dan non-sepele untuk menyelesaikannya.

Dan dalam kedua kasus tersebut Kolmogorov tidak melakukan bagian matematika, tetapi bagian fisik dari pekerjaan tersebut, terkait, pertama-tama, dengan perumusan masalah dan penurunan persamaan yang diperlukan, sedangkan penelitian mereka dan pembuktian teorema terkait adalah milik rekan penulis.

Dalam kasus asimtotik Brown, teknik matematika yang sulit ini melibatkan studi integral sepanjang jalur yang dapat dideformasi pada permukaan Riemann, dengan mempertimbangkan deformasi kompleks dari kontur integrasi yang diperlukan ketika mengubah parameter, yaitu, apa yang sekarang disebut “Picard- Teori Lefschetz” atau “teori konektivitas” Gauss-Manin".

Dan seluruh studi tentang integral asimtotik ini dilakukan oleh M. A. Leontovich, seorang fisikawan luar biasa (yang, bersama dengan gurunya L. I. Mandelstam, mengemukakan teori yang memberikan penjelasan tentang peluruhan radioaktif menggunakan efek penerowongan kuantum pada lintasan di bawah a penghalang, dan karya yang mereka terbitkan kemudian digeneralisasikan oleh murid mereka G. Gamow, yang berangkat ke Amerika Serikat, 3 yang namanya sekarang lebih dikenal).

3 Rekan senegara saya, penduduk Odessa, G. Gamow, paling terkenal karena tiga penemuannya berikut ini: teori peluruhan alfa, solusi pengkodean tiga huruf asam amino dengan basa dalam DNA, dan teori “big bang ” dalam pembentukan Alam Semesta. Kini buku-bukunya yang luar biasa juga tersedia bagi pembaca Rusia (yang sudah lama tidak memiliki kesempatan ini karena Gamow tidak kembali dari Kongres Solvay).

Karya lintasan Brown yang disebutkan di atas diterbitkan dalam kumpulan karya Leontovich dan Kolmogorov. Dan dalam kedua publikasi tersebut dikatakan demikian bagian fisik dari pekerjaan itu milik ahli matematika, dan bagian matematika milik fisikawan. Hal ini menjelaskan banyak ciri budaya matematika Rusia.

Situasi serupa juga terjadi pada penelitian “KPP” mengenai kecepatan rambat gelombang lingkungan. Kolmogorov memberi tahu saya bahwa dia bertanggung jawab atas perumusan masalah matematika di dalamnya (ditemukan olehnya sambil memikirkan tentang situasi ekologi pergerakan bagian depan penyebaran suatu spesies atau gen dengan adanya migrasi dan difusi).

Solusi matematis (sama tidak konvensionalnya dengan masalah itu sendiri) dikembangkan oleh IG Petrovsky (yang bagi mereka pekerjaan nonlinier ini juga merupakan pengecualian). Artikel ini sebagian besar ditulis oleh Piskunov, yang tanpanya artikel tersebut tidak akan ada. Meskipun karya luar biasa tentang “asimptotik perantara”, sebagaimana Ya. B. Zeldovich menyebutnya, dikenal luas oleh para ilmuwan terapan dan terus-menerus digunakan, karya ini hanya sedikit diketahui oleh para ahli matematika, meskipun terdapat ide-ide yang benar-benar orisinal dan cemerlang tentang persaingan di antara keduanya. gelombang bergerak dengan kecepatan berbeda.

Saya telah lama menunggu ahli matematika yang serius untuk melanjutkan penelitian ini, namun sejauh ini saya hanya melihat “ilmuwan terapan” menerapkan hasil yang sudah jadi dan tidak menambahkan ide dan metode baru.

Ilmuwan terapan besar Pasteur mengatakan hal itu Tidak ada “ilmu-ilmu terapan”, yang ada hanya ilmu-ilmu fundamental biasa, yang mana kebenaran-kebenaran baru ditemukan, dan ada penerapannya, yang mana kebenaran-kebenaran tersebut digunakan.

Agar kerja “KPP” dapat terus berjalan, kemajuan ilmu pengetahuan fundamentallah yang dibutuhkan.

Marat menulis bahwa “dari semua ahli matematika, yang terbaik adalah Laplace, Monge dan Cousin, yang menghitung segala sesuatu menggunakan rumus yang telah disiapkan sebelumnya.” Ungkapan ini merupakan tanda kesalahpahaman total kaum revolusioner terhadap matematika, hal utama di mana adalah berpikir bebas di luar kerangka skema yang telah disiapkan sebelumnya.

Beberapa saat kemudian, Marat Abel menulis dari Paris, tempat dia menghabiskan waktu sekitar satu tahun, bahwa “Anda tidak dapat membicarakan apa pun dengan ahli matematika setempat, karena masing-masing dari mereka ingin mengajar semua orang dan tidak ingin mempelajari apa pun sendiri. Alhasil, tulisnya secara profetik, masing-masing dari mereka hanya memahami satu bidang sempit dan tidak memahami apa pun di luarnya. Ada ahli teori panas [Fourier], ada ahli teori elastisitas [Poisson], ada ahli mekanika langit [Laplace], dan hanya Cauchy [Lagrange tinggal di Berlin] yang bisa memahami sesuatu, tetapi dia hanya tertarik pada prioritasnya sendiri.” [misalnya, dalam penerapan bilangan kompleks pada solusi Lamé terhadap permasalahan Fermat dengan memperluas binomial x n + y n terhadap faktor kompleks].

Baik Abel dan (sepuluh tahun kemudian) Galois melangkah jauh melampaui kerangka "skema siap pakai" (setelah mengembangkan, dalam kasus Abel, topologi permukaan Riemann dan menyimpulkan darinya ketidakmungkinan menyelesaikan persamaan derajat kelima secara radikal. dan ketidakterungkapan dalam bentuk fungsi dasar "integral elips", seperti integral akar kuadrat dari polinomial derajat ketiga atau keempat, yang menyatakan panjang busur elips, dan kebalikannya "fungsi elips" ).

Oleh karena itu, Cauchy “kehilangan” manuskrip Abel dan Galois, sehingga karya Abel tentang ketidakpastian diterbitkan (oleh Liouville) hanya beberapa dekade setelahnya, menurut surat kabar Paris pada saat itu, “orang malang ini kembali ke wilayahnya di Siberia, disebut Norwegia, dengan berjalan kaki - tanpa uang untuk tiket kapal - melintasi es Samudra Atlantik."

Sudah di abad ke-20, Hardy yang eksentrik Inggris yang terkenal menulis bahwa "Abel, Riemann, dan Poincaré menjalani hidup mereka dengan sia-sia, tidak membawa apa pun bagi umat manusia."

Sebagian besar matematika modern (dan sebagian besar matematika yang digunakan oleh fisikawan) adalah pengulangan atau pengembangan dari ide-ide geometris yang luar biasa dari Abel, Riemann, Poincaré, yang meresapi semua matematika modern sebagai satu kesatuan, di mana, menurut Jacobi, “fungsi yang sama memecahkan pertanyaan tentang representasi bilangan sebagai jumlah kuadrat, dan pertanyaan tentang hukum osilasi besar pendulum,” juga memecahkan pertanyaan tentang panjang elips, yang mana elips menggambarkan pergerakan planet, jatuhnya satelit , dan bagian berbentuk kerucut. A Permukaan Riemannian, integral Abelian, dan persamaan diferensial Poincaré adalah kunci utama menuju dunia matematika yang menakjubkan.

Kolmogorov menganggap tidak hanya semua matematika, tetapi juga semua ilmu alam sebagai satu kesatuan. Berikut adalah contoh pemikirannya tentang miniaturisasi komputer, sebagai model paling sederhana yang ia anggap sebagai grafik (diagram, diagram) dari P simpul (bola (radius tetap), masing-masing terhubung ke tidak lebih dari k lainnya (menggunakan sambungan: “kabel” dengan ketebalan tetap). Kebanyakan koneksi k dia menetapkan setiap simpul, dan jumlah simpul P dianggap sangat besar (ada sekitar 10 10 neuron di otak manusia). Pertanyaan tentang miniaturisasi adalah: Berapakah bola terkecil yang dapat memuat suatu graf tertentu tanpa perpotongan sendiri dengan sifat-sifat berikut: bagaimana jari-jari bola minimal tersebut bertambah dengan banyaknya simpul n?

Satu batasan yang jelas: volume bola tidak boleh bertambah lebih lambat dari itu, karena volume total simpul bola bertambah dengan kecepatan ini, dan semuanya harus pas.

Namun apakah mungkin untuk memasukkan seluruh grafik ke dalam bola dengan jari-jari sebanding dengan akar pangkat tiga N. Toh, selain puncaknya, koneksinya juga harus pas! Dan meskipun jumlahnya juga berada di urutan ta, volumenya bisa jauh lebih besar, karena dengan ta yang besar mungkin diperlukan koneksi yang lama.

Kolmogorov beralasan lebih jauh, membayangkan penghitungan sebagai otak. Otak yang sangat bodoh (“cacing”) terdiri dari satu rantai simpul yang dihubungkan secara seri. Sangat mudah untuk memasukkan otak seperti “ular” ke dalam “tengkorak” dengan radius urutan akar pangkat tiga dari N.

Pada saat yang sama, evolusi hewan seharusnya mencoba mengatur otak secara ekonomis, mengurangi, jika mungkin, ukuran tengkorak. Bagaimana dengan binatang?

Diketahui bahwa otak terdiri dari materi abu-abu (badan simpul neuron) dan materi putih (sambungan: akson, dendrit). Materi abu-abu terletak di sepanjang permukaan otak, dan materi putih terletak di dalam. Dengan susunan permukaan seperti ini, jari-jari tengkorak seharusnya bertambah tidak seperti jari-jari kubik, tetapi lebih cepat, seperti akar kuadrat dari jumlah simpul (jari-jarinya jauh lebih besar daripada volume bola simpul yang ditentukan).

Jadi Kolmogorov sampai pada hipotesis matematika itu radius minimum harus berdasarkan akar kuadrat dari jumlah simpul(berdasarkan fakta bahwa susunan sel-sel otak yang sebenarnya telah dibawa oleh evolusi ke keadaan yang meminimalkan radius tengkorak). Dalam publikasinya, Kolmogorov sengaja menghindari tulisan tentang pertimbangan biologis ini dan tentang otak secara umum, meskipun pada awalnya ia tidak memiliki argumen apa pun yang mendukung akar kuadrat, selain argumen biologis.

Buktikan bahwa setiap grafik dari N simpul dapat diakomodasi (tergantung pada batasannya k dengan jumlah sambungan titik sudut) menjadi bola berjari-jari pada urutan akar kuadratnya, kami berhasil (walaupun itu tidak mudah). Ini sudah merupakan matematika murni dengan pembuktian yang ketat.

Namun pertanyaan mengapa grafik tidak dapat ditempatkan pada “tengkorak” dengan radius lebih kecil ternyata lebih sulit (jika hanya karena “tidak mungkin” tidak selalu: Otak cacing yang “sangat bodoh” masuk ke dalam tengkorak dengan radius urutan akar pangkat tiga n, yang jauh lebih kecil dari akar kuadrat).

Pada akhirnya, Kolmogorov berhasil mengatasi masalah ini sepenuhnya. Pertama, dia membuktikannya investasi pada “tengkorak” yang lebih kecil dari akar kuadrat dari n radius tidak diperbolehkan oleh sebagian besar “otak” dari n “neuron”: benda yang dapat disematkan (seperti otak “satu dimensi” dalam bentuk rantai simpul yang terhubung secara seri) merupakan minoritas kecil dari jumlah total yang sangat besar N Grafik -vertex (dengan konstanta tertentu yang terbatas k

Kedua, ia menetapkan kriteria kompleksitas yang luar biasa yang mencegah penyematan dalam “tengkorak” yang lebih kecil: tanda kompleksitas ternyata adalah universalitas. Yaitu, graf dengan simpul-simpul tersebut disebut universal, jika memuat sebagai subgraf (dengan jumlah simpul yang sedikit lebih kecil) semua graf dari jumlah simpul yang lebih kecil ini (dengan, tentu saja, terbatas sama konstan k jumlah koneksi setiap simpul).

Kata-kata "sedikit simpul" dapat dipahami di sini dengan cara yang berbeda: sebagai sebuah atau bagaimana tidak, Di mana A kurang dari 1. Dengan pemahaman yang benar tentang universalitas ini, dua fakta berikut ini terbukti: pertama, bagi sebagian orang c = const setiap graf universal dengan n simpul ternyata tidak dapat tertanam dalam bola yang berjari-jari kurang dari akar kuadrat n, dan kedua, graf non-universal merupakan minoritas yang tidak signifikan(dalam jumlah yang sangat besar N-grafik simpul dengan batasan di atas k berhubungan).

Dengan kata lain, Meskipun otak bodoh mungkin berukuran kecil, tidak ada otak (atau komputer) yang cukup cerdas yang dapat ditampung dalam volume kecil, dan, terlebih lagi, kompleksitas sistem saja akan sangat menjamin kemungkinan berfungsinya dengan baik (“universal”). yaitu kemampuannya untuk menggantikan (“memodelkan”) semua sistem lain (yang hampir sama rumitnya dengan sistem itu sendiri).

Pencapaian ini merupakan salah satu karya terakhir Andrei Nikolaevich (pertidaksamaan terakhir diperolehnya bersama muridnya Bardzin; pertidaksamaan asli Kolmogorov mengandung logaritma tambahan, yang berhasil dihilangkan oleh Bardzin).

Sikap Kolmogorov terhadap logaritma asimtotik sangat spesifik. Dia menjelaskan kepada siswa itu nomor dibagi menjadi empat kategori berikut:

• bilangan kecil: 1, 2,…, 10, 100;
• angka rata-rata: 1000, 1000000;
• jumlah besar: 10 100, 10 1000;
• bilangan praktis tak terhingga: 10 1010.

Pengambilan logaritma akan memindahkan suatu angka ke kategori sebelumnya. Itu sebabnya logaritma dalam asimtotik seperti n 3 ln n - ini hanyalah konstanta: n 3 ln pada N= 10 - ini praktis 2p 3, dan pertumbuhan logaritmanya sangat lambat sehingga dapat diabaikan sebagai perkiraan pertama, mengingat logaritmanya “terbatas”.

Tentu, semua ini sepenuhnya salah dari sudut pandang matematika aksiomatik formal. Tapi ini jauh lebih berguna untuk pekerjaan praktis daripada “penalaran ketat” dan perkiraan halus yang dimulai dengan kata-kata “pertimbangkan fungsi tambahan berikut dari delapan belas argumen” (diikuti dengan rumus satu setengah halaman yang muncul entah dari mana). ).

Pendekatan Kolmogorov terhadap logaritma mengingatkan saya pada sudut pandang Ya.B. Zeldovich tentang analisis matematis. Dalam buku teks analisisnya “untuk fisikawan dan teknisi pemula,” Zeldovich mendefinisikan turunan sebagai rasio kenaikan suatu fungsi dan argumennya, dengan asumsi kenaikan terakhir tidak terlalu besar.

Terhadap keberatan para ahli matematika sejati bahwa suatu batas diperlukan, Zeldovich menjawab bahwa “batas rasio” tidak cocok di sini, karena kenaikan argumen yang terlalu kecil (katakanlah, kurang dari 10 -10 meter atau detik) tidak dapat diambil, hanya saja karena dalam skala seperti itu, sifat-sifat ruang dan waktu menjadi kuantum, sehingga uraiannya menggunakan kontinum satu dimensi matematis R menjadi kelebihan akurasi model.

Zeldovich menganggap “turunan matematika” sebagai hal yang mudah perkiraan rumus asimtotik untuk menghitung rasio pertambahan hingga yang benar-benar menarik bagi kita, diberikan dengan rumus yang lebih kompleks daripada turunan para ahli matematika.

Mengenai “ketatasan” matematikawan, Kolmogorov tidak pernah melebih-lebihkan pentingnya hal itu (walaupun ia mencoba memperkenalkan definisi multi-halaman tentang konsep sudut ke dalam kursus geometri sekolah untuk, dalam kata-katanya, memberikan arti yang ketat pada “sebuah sudut 721 derajat”).

Ceramahnya sulit dipahami oleh siswa dan anak sekolah, bukan hanya karena tidak ada satu frase pun yang berakhir, dan setengahnya tidak memiliki subjek atau predikat. Yang lebih buruk lagi adalah (seperti yang dijelaskan Andrei Nikolaevich kepada saya ketika saya mulai memberi ceramah kepada para mahasiswa), dalam keyakinannya yang dalam, “Siswa sama sekali tidak peduli dengan apa yang diberitahukan dalam perkuliahan: mereka hanya menghafal jawaban dari beberapa soal ujian yang paling umum untuk ujian, tanpa memahami apa pun.”

Kata-kata ini menunjukkan pemahaman Kolmogorov yang sepenuhnya benar tentang situasi tersebut: dengan ceramahnya, bagi sebagian besar siswa, apa yang dia gambarkan terjadi. Namun mereka yang ingin memahami inti permasalahan, jika mereka mau, dapat belajar lebih banyak darinya dibandingkan dengan deduksi standar seperti "X lagi kamu, oleh karena itu y lebih kecil dari X". Justru ide-ide dasar dan sumber rahasia yang tersembunyi di balik “fungsi tambahan dari delapan belas variabel” itulah yang ia coba pahami, dan ia rela menyerahkan turunan konsekuensi formal dari ide-ide dasar tersebut kepada para pendengarnya. Yang membuatnya sangat sulit adalah pemikiran Kolmogorov selama ceramahnya, dan hal ini terlihat jelas oleh para pendengar.

Saya selalu dikejutkan oleh keinginan mulia Andrei Nikolaevich untuk melihat setidaknya kecerdasan yang setara pada setiap lawan bicara (itulah sebabnya sangat sulit untuk memahaminya). Pada saat yang sama, dia tahu betul bahwa pada kenyataannya level sebagian besar lawan bicaranya sangat berbeda. Andrei Nikolaevich pernah menyebut saya hanya dua ahli matematika, ketika berbicara dengan siapa dia “merasakan kehadiran pikiran yang lebih tinggi” (salah satunya dia menamai muridnya I.M. Gelfand).

Pada peringatan Andrei Nikolaevich, Gelfand mengatakan dari podium bahwa dia tidak hanya belajar banyak dari gurunya, tetapi juga mengunjunginya di Komarovka, sebuah desa di tepi Klyazma, dekat Bolshevo, tempat Kolmogorov tinggal sebagian besar waktunya ( datang ke Moskow hanya untuk satu atau dua hari dalam seminggu).

Pavel Sergeevich Alexandrov, yang hadir pada pidato Gelfand ini, yang membeli rumah Komarovsky bersama dengan Kolmogorov (dari Alekseev, yaitu keluarga Stanislavsky) di akhir tahun 20-an, dengan mudah menegaskan: “Ya, Israel Moiseevich benar-benar mengunjungi Komarovka, dan bahkan sangat berguna, karena dia menyelamatkan seekor kucing agar tidak terbakar di kompor.”

Salah satu pendengar menceritakan kepada saya bahwa Gelfand, yang sudah duduk di aula peringatan, mengomentari kata-kata tersebut kepada tetangganya sebagai berikut: “Kucing ini telah mengeong di dalam oven selama setengah jam, dan saya sudah mendengarnya sejak lama, tetapi saya salah mengartikan mengeong ini, tidak mengetahui tentang kucing tersebut dan menghubungkan suara tersebut dengan sumber lain.”

Diksi Andrei Nikolaevich memang tidak mudah dimengerti; Namun saya lebih sering menebak apa yang ingin dia katakan daripada memahami setengah kata yang dia ucapkan, sehingga diksi ini tidak mengganggu saya.

Meski begitu, anak-anak sekolah di sekolah asrama matematika N18, yang diselenggarakan oleh Andrei Nikolaevich di Moskow pada tahun 1963, belajar banyak darinya. Tentu saja, mereka bukan anak sekolah biasa, tetapi pemenang Olimpiade matematika berkumpul dari seluruh Rusia dan menghadiri sekolah musim panas di Krasnovidovo di Laut Mozhaisk, dan tidak hanya Andrei Nikolaevich sendiri yang mengajar mereka, tetapi juga banyak guru yang hebat, misalnya, matematikawan Vladimir Mikhailovich Alekseev, salah satu guru sekolah terbaik di Moskow, Alexander Abramovich Shershevsky, dan seterusnya.

Upaya khusus dilakukan untuk menyediakan makanan yang baik dan pengajaran yang menarik tidak hanya dalam matematika, tetapi juga dalam fisika, sastra, sejarah, dan bahasa Inggris: Andrei Nikolaevich menganggap sekolah asrama dalam banyak hal sebagai keluarganya. Dari lulusan pertama, mayoritas masuk universitas matematika dan fisika terbaik (dengan penerimaan yang lebih sukses di Institut Fisika dan Teknologi Moskow daripada di Fakultas Fisika Universitas Moskow, yang terkenal, seperti yang dikatakan Kolmogorov, karena “ketidaksukaannya” dalam ujian. ).

Kini banyak dari lulusan tersebut telah menjadi profesor, kepala departemen, dan direktur institut; Saya yakin beberapa dari mereka layak untuk dipilih ke Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia dan mendapatkan penghargaan seperti medali Fields atau Abel.

Teorema Nekhoroshev, yang jauh di depan Littlewood, telah lama menjadi hasil klasik dalam mekanika langit dan teori evolusi sistem dinamik Hamilton. Yu Matiyasevich, yang kemudian pindah ke Leningrad, juga memulai bersama dengan matematikawan asrama Moskow pertama di sekolah musim panas yang diselenggarakan oleh Kolmogorov di Krasnovidovo di Laut Mozhaisk. A. Abramov telah lama mengepalai sebuah institut yang didedikasikan untuk meningkatkan pendidikan matematika anak-anak sekolah (tetapi perjuangannya melawan upaya Kementerian Pendidikan untuk menghancurkan sistem yang berfungsi sempurna membuatnya tidak diinginkan oleh para “reformis”, yang ide-idenya yang tidak jelas telah saya jelaskan. di atas, di awal artikel ini).

Salah satu siswa lulusan pertama sekolah berasrama, VB Alekseev, pada tahun 1976 menerbitkan catatannya tentang kuliah saya di sekolah berasrama pada tahun 1963: "Teorema Abel dalam masalah." Dalam ceramahnya ini dia bercerita bukti topologi teorema Abel tentang tidak dapat dipecahkannya akar (kombinasi akar) persamaan aljabar derajat kelima (dan derajat yang lebih tinggi). Di sekolah mereka mengajarkan kasus derajat 2, tetapi persamaan derajat 3 dan 4 dalam radikal juga diselesaikan.

Tujuan dari perkuliahan ini adalah untuk menyampaikan hasil matematika yang penting (dan sulit), menghubungkan banyak bidang fisika dan matematika modern, kepada anak-anak sekolah yang sama sekali tidak siap (tetapi cerdas) dalam bentuk serangkaian panjang masalah yang dapat dipahami dan diakses yang dapat mereka atasi. dengan diri mereka sendiri, tapi yang akan mengarahkan mereka, pada akhir semester, ke teorema Abel.

Untuk melakukan hal ini, anak-anak sekolah dengan cepat menjadi akrab dengan teori geometri bilangan kompleks, termasuk rumus Moivre (yang coba dikecualikan oleh “para reformis” saat ini dari program baru), kemudian beralih ke permukaan dan topologi Riemann, termasuk kelompok dasar kurva pada permukaan dan kelompok penutup monodromi (multinilai) dan penutup bercabang.

Konsep-konsep geometris yang paling penting ini (yang dapat dibandingkan dengan teori atom tentang struktur materi dalam fisika dan kimia atau dengan struktur seluler tumbuhan dan hewan dalam biologi dalam hal fundamentalitasnya) kemudian mengarah pada objek aljabar yang sama pentingnya: kelompok transformasi , subgrupnya, pembagi normal, barisan eksak.

Secara khusus, muncul di sana simetri dan ornamen, dan kristal, dan polihedra beraturan: tetrahedron, kubus, segi delapan, ikosahedron dan dodecahedron, termasuk konstruksi penyematan mereka satu sama lain yang digunakan oleh Kepler (untuk menggambarkan jari-jari orbit planet) (delapan simpul sebuah kubus dapat dibagi menjadi dua simpul empat kali lipat dari dua tetrahedron yang “tertulis” dalam sebuah kubus, dan lima kubus dapat menjadi “ tertulis” dalam sebuah dodecahedron, yang simpul-simpulnya masing-masing merupakan bagian dari simpul-simpul dodecahedron (yang jumlahnya dua puluh), dan rusuk-rusuk kubusnya ternyata merupakan diagonal-diagonal dari muka-muka pentagonal dodecahedron itu, satu pada masing-masing dari dua belas wajah). “Dodeca” hanyalah “dua belas” dalam bahasa Yunani, dan kubus memiliki dua belas sisi.

Konstruksi geometris yang luar biasa dari Kepler ini menghubungkan kelompok simetri dodecahedron dengan kelompok seratus dua puluh permutasi dari lima objek (yaitu kubus). Hal ini menetapkan, dalam istilah aljabar, juga ketidakpastian dari kedua kelompok ini (yaitu, ketidaktereduksiannya menjadi kelompok komutatif, yang merupakan kasus, misalnya, untuk kelompok simetri dari tetrahedron, kubus dan oktahedron dan untuk kelompok permutasi dari tiga atau empat benda, misalnya empat diagonal besar kubus dan tiga diagonal segi delapan). Grup komutatif (di mana produknya - pelaksanaan transformasi berurutan - tidak bergantung pada urutannya) disebut Abelian dalam aljabar karena pentingnya teorinya tentang non-komutatifitas permutasi kubus.

A Dari tidak terpecahkannya kelompok monodromi persamaan derajat kelima, tidak adanya rumus yang menyatakan akar-akarnya dalam bentuk radikal disimpulkan secara topologi. Maksudnya adalah gugus monodromi yang mengukur polisemi masing-masing radikal bersifat komutatif, dan gugus monodromi gabungan radikal-radikal tersusun dari gugus-gugus monodrominya sama seperti gugus larut tersusun atas gugus-gugus monodromi yang komutatif. Jadi semua pertimbangan topologi teori permukaan Riemann mengarah pada bukti teorema aljabar Abel(yang meletakkan dasar bagi teori Galois, dinamai menurut nama ahli matematika muda Perancis yang mentransfer teori Abel dari geometri kompleks ke teori bilangan dan tewas dalam duel tanpa mempublikasikan teorinya).

Kesatuan mendalam dari semua matematika sangat jelas termanifestasi dalam contoh interaksi topologi, logika, aljabar, analisis dan teori bilangan, yang menciptakan metode baru yang bermanfaat, dengan bantuan fisika teori kuantum dan teori relativitas kemudian dikembangkan jauh, dan dalam matematika, banyak masalah analisis lainnya juga tidak dapat dipecahkan: misalnya, masalah integrasi menggunakan fungsi dasar dan masalah penyelesaian persamaan diferensial secara eksplisit menggunakan operasi integrasi.

Fakta bahwa semua pertanyaan ini bersifat topologi merupakan pencapaian matematika yang sungguh menakjubkan, yang menurut pendapat saya, dapat dibandingkan dengan penemuan hubungan antara listrik dan magnet dalam fisika atau antara grafit dan berlian dalam kimia.

Mungkin hasil paling terkenal tentang ketidakmungkinan dalam matematika adalah penemuannya Geometri Lobachevsky, yang hasil utamanya adalah ketidakmungkinan menyimpulkan “aksioma paralel” dari aksioma lain dalam geometri Euclid, tidak dapat dibuktikan.

Penting untuk diingat bahwa Lobachevsky tidak menetapkan hasil ini sebagai tidak dapat dibuktikan, tetapi hanya menyatakannya sebagai hipotesisnya, yang dikonfirmasi oleh banyak halaman upaya (yang tidak berhasil) untuk membuktikan aksioma paralel, yaitu, sampai pada kontradiksi berdasarkan pernyataan yang berlawanan. dengan aksioma paralel: “ Melalui suatu titik di luar suatu garis dilewatkan beberapa (banyak) garis yang tidak berpotongan dengannya.”

Buktikan itu di kontradiksi yang timbul dari aksioma geometri Lobachevsky ini tidak lebih dari geometri Euclidean (mendalilkan keunikan garis sejajar), ditemukan hanya setelah Lobachevsky (tampaknya, secara independen satu sama lain oleh beberapa penulis, termasuk Beltrami, Bogliai, Klein dan Poincaré, atau bahkan Gauss, yang sangat menghargai ide-ide Lobachevsky).

Bukti konsistensi geometri Lobachevsky tidaklah sederhana; hal ini dilakukan dengan menghadirkan model geometri Lobachevsky, yang di dalamnya terpenuhi aksioma-aksiomanya. Salah satu model ini (“model Klein”) menggambarkan bidang Lobachevsky sebagai bagian dalam lingkaran, dan garis Lobachevsky sebagai tali busurnya. Tidaklah sulit untuk menggambar banyak tali busur melalui suatu titik pada lingkaran yang tidak memotong tali busur tertentu yang tidak melalui titik tersebut. Memeriksa aksioma geometri yang tersisa dalam model ini juga tidak terlalu sulit, tetapi memakan waktu, karena terdapat banyak aksioma tersebut. Misalnya, “dua titik mana pun di dalam lingkaran dapat dihubungkan oleh garis lurus (akord) Lobachevsky, dan terlebih lagi, hanya oleh satu” dan seterusnya. Semua ini jelas dilakukan di buku teks dan memakan banyak halaman (membosankan).

Kelanjutan model Klein tentang bidang Lobachevsky di luar lingkaran yang menggambarkan bidang Lobachevsky dalam model ini menghadirkan dunia relativistik de Sitter, tetapi, sayangnya, hanya sedikit orang yang memahami fakta ini (baik di kalangan ahli matematika maupun di kalangan relativis).

“Pembaru” modern dari kursus matematika sekolah mengumumkan keinginan mereka untuk memperkenalkan geometri Lobachevsky di sana (yang tidak berani dilakukan Kolmogorov). Namun mereka bahkan tidak menyebutkan hasil utamanya (kemungkinan besar, tanpa curiga) dan tidak berencana untuk membuktikan tesis Lobachevsky (yang tanpanya seluruh usaha ini hanya akan menjadi aksi periklanan, namun bernuansa patriotik).

Berbeda dengan “para reformis” ini, Kolmogorov mencoba mengajarkan matematika kepada anak-anak secara nyata. Menurutnya, Untuk tujuan ini, pemecahan masalah paling cocok, misalnya, Olimpiade, dan dia lebih dari sekali menyelenggarakan Olimpiade matematika untuk anak-anak sekolah, terutama menekankan bahwa perusahaan ini tidak hanya berlokasi di Moskow, tetapi juga mencakup seluruh kota dan bahkan desa di negara tersebut (saat ini Olimpiade telah menyebar ke seluruh dunia, dan keberhasilan anak-anak sekolah kita merupakan bukti tak terbantahkan dari masih tingginya tingkat sekolah).

Dia menceritakan kepada saya dengan senang hati betapa bahagianya guru, yang menjadi juri salah satu Olimpiade Moskow bersamanya, ketika dia memberikan satu set hadiah buku matematika kepada siswa kelas sepuluh yang menerima hadiah pertama pada upacara penghargaan di Negara Bagian Moskow. Universitas: "Senang sekali, - dia berkata - bahwa hadiah itu diberikan kepada seorang anak sekolah desa sederhana dari desa Khotkovo!”

Wanita dari pedagogi ini tidak mengetahui bahwa “anak sekolah desa sederhana” adalah putra seorang akademisi yang tinggal di desa akademik Abramtsevo, dan Kolmogorov, meskipun dia tertawa, tidak menjelaskan hal ini kepadanya.

Sekarang “anak sekolah desa” ini (yang sudah menjadi murid saya di sekolah) adalah seorang matematikawan independen mapan yang telah menerbitkan banyak karya dan telah lama lulus dari Fakultas Mekanika dan Matematika Universitas Negeri Moskow. Ngomong-ngomong, dia menulis komentar menarik tentang masalah matematika A.D. Sakharov tentang memotong kubis. Sakharov belajar matematika di Universitas bersama ayah saya (yang ditulis dengan hangat oleh A.D. dalam memoarnya), dan setelah kematian Andrei Dmitrievich, rekan-rekannya meminta saya untuk mengomentari manuskrip matematikanya (berisi beberapa lusin masalah matematika murni menarik yang ditemukan dan dipikirkan. olehnya).

Masalah memotong kubis muncul dari Andrei Dmitrievich sebagai akibat dari permintaan istrinya untuk memotongnya, yang diawali dengan membagi kepala kubis menjadi lapisan melingkar dengan pisau. Setiap lapisan kemudian dibagi dengan pukulan pisau acak menjadi banyak "poligon" cembung.

Saat melakukan pekerjaan ini, Sakharov bertanya pada dirinya sendiri pertanyaan: Berapa banyak sisi yang dimiliki poligon tersebut? Ada yang berbentuk segitiga, ada pula yang mempunyai banyak sisi. Oleh karena itu pertanyaannya diajukan secara matematis sebagai berikut: Berapa rata-rata jumlah sisi sebuah potongan?

Sakharov datang melalui beberapa rute (mungkin eksperimental?) menuju jawaban (yang benar): empat.

Ketika mengomentari manuskripnya untuk penerbitannya, murid saya dari Italia F. Aicardi sampai pada generalisasi berikut dari pernyataan Sakharov ini: ketika memotong benda berdimensi n dengan sejumlah besar hyperplanes acak (bidang dimensi N- 1) pada polihedra berdimensi n cembung, potongan yang dihasilkan jumlah rata-rata permukaan pada dimensi apa pun akan sama dengan jumlah rata-rata permukaan kubus berdimensi n. Misalnya, dalam ruang tiga dimensi biasa jumlah rata-rata simpul pada sebuah potongan adalah 8, jumlah rata-rata tepinya adalah 12, dan jumlah rata-rata tepi suatu potongan adalah 6.

Bagaimanapun, meskipun kadang-kadang sulit bagi anak-anak sekolah di sekolah berasrama, manfaat dari sekolah berasrama itu dan tetap sangat besar, menurut pendapat saya, jauh lebih besar daripada upaya Kolmogorov untuk memodernisasi kursus ilmu matematika dengan mengganti buku teks klasik. dari A. Kiselyov dengan buku teks baru dari tipe Bourbakist ( dengan terminologi modernnya, yang menggantikan “uji persamaan segitiga” Euclidean dengan “uji kongruensi” yang tidak jelas, meskipun secara logis lebih disukai).

Reformasi ini melemahkan otoritas sekolah, guru, dan buku pelajaran, menciptakan ilusi ilmiah tentang pengetahuan semu yang menutupi kesalahpahaman tentang fakta paling sederhana, seperti fakta bahwa 5 + 8 = 13. Dalam rancangan undang-undang baru reformasi, kecenderungan yang sama untuk membodohi anak-anak sekolah juga terlihat, yang ditawari "geometri" Lobachevsky" yang tidak dapat dipahami alih-alih menulis pecahan sederhana ke dalam desimal dan "masalah aritmatika teks" tentang kru yang berpindah dari titik A ke titik yang dikecualikan dari pelatihan DI DALAM, atau tentang pedagang yang menjual kain untuk kapak, atau tentang penggali dan pipa yang mengisi waduk - masalah yang dipikirkan oleh generasi sebelumnya.

Hasil dari “reformasi” ini adalah pendidikan semu, yang mengarahkan orang-orang bodoh pada pernyataan-pernyataan seperti kritik terhadap salah satu tokoh politik yang dikaitkan dengan Stalin: “Ini bukan hanya nilai negatif, ini adalah nilai negatif yang dikuadratkan!”

Pada salah satu diskusi proyek reformasi sekolah oleh Dewan Akademik Institut Matematika. Steklov RAS, saya sebutkan bahwa akan lebih baik jika kembali ke buku teks dan buku soal Kiselev yang sangat bagus.

Sebagai tanggapan, saya dipuji oleh kepala beberapa departemen pendidikan yang hadir pada pertemuan ini: “Saya sangat senang bahwa kegiatan Kiselyov mendapat dukungan dari para spesialis yang berkualifikasi!”

Kemudian mereka menjelaskan kepada saya bahwa Kiselev adalah nama salah satu bawahan muda pemimpin ini, yang mengelola matematika sekolah, belum pernah mendengar tentang buku teks bagus dari guru gimnasium terkemuka Kiselev, yang telah dicetak ulang puluhan kali. Ngomong-ngomong, buku teks Kiselyov tidak begitu bagus sejak awal. Edisi pertama memiliki banyak kekurangan, tetapi pengalaman puluhan dan ratusan guru gimnasium memungkinkan untuk mengoreksi dan melengkapi buku-buku ini, yang (setelah sekitar selusin edisi pertama) menjadi contoh buku pelajaran sekolah yang monumental.

Andrei Nikolaevich Kolmogorov juga seorang guru sekolah sejak masa mudanya (di sebuah sekolah di Potylikha), dan sangat sukses sehingga dia berharap anak-anak sekolah akan memilih dia (saat itu sudah lazim untuk memilih dia) sebagai guru kelas mereka. Tapi guru pendidikan jasmani memenangkan pemilihan - ini lebih dekat dengan anak sekolah.

Aku ingin tahu apa Matematikawan hebat lainnya, K. Weierstrass, memulai karirnya sebagai guru pendidikan jasmani di sekolah. Dia, menurut Poincaré, sangat berhasil dalam mengajar siswa gimnasiumnya cara mengerjakan palang sejajar. Namun peraturan Prusia mengharuskan seorang guru gimnasium untuk menyerahkan karya tertulis pada akhir tahun untuk membuktikan kesesuaian profesionalnya. Dan Weierstrass mempresentasikan esai tentang fungsi elips dan integral.

Tidak ada seorang pun di gimnasium yang dapat memahami esai ini, jadi esai ini dikirim ke universitas untuk dievaluasi. Dan segera penulisnya dipindahkan ke tempat di mana dia dengan cepat menjadi salah satu ahli matematika paling terkemuka dan terkenal abad ini, baik di Jerman maupun di dunia. Di antara matematikawan Rusia, murid langsungnya adalah Sofya Kovalevskaya, yang pencapaian utamanya bukanlah konfirmasi, melainkan sanggahan terhadap sudut pandang guru (yang memintanya membuktikan tidak adanya integral pertama baru dalam soal rotasi. dari benda tegar di sekitar titik tetap, dan dia menemukan integral tersebut, menganalisis alasan kegagalan usahanya untuk membuktikan asumsi guru tercintanya).

Preferensi yang ditunjukkan oleh anak-anak sekolah terhadap guru pendidikan jasmani memengaruhi Kolmogorov sebagai berikut: ia mulai lebih banyak berolahraga, banyak bermain ski, berlayar dengan perahu di sungai yang jauh, menjadi seorang musafir yang rajin (dan mendapat persetujuan, meskipun bukan dari siswa Potylikhinnya , tetapi dari banyak generasi mahasiswa MSU pertama, dan kemudian anak-anak sekolah dari Pondok Pesantren yang ia dirikan).

Perjalanan ski harian Kolmogorov yang biasa dilakukan adalah sekitar empat puluh kilometer, di sepanjang tepi Sungai Vori, kira-kira dari Radonezh ke biara di Berlyuki, dan kadang-kadang ke Bryusovskie Glinki di pertemuan Vori dan Klyazma. Rute kayak dan perahu termasuk, misalnya, Zaonezhye dengan Svyatukha yang indah, Danau Seremo dengan sungai Granichnaya, Shlina, yang menghubungkan daerah ini dengan waduk Vyshnevolotsk, dari mana Meta (ke Ilmen, Volkhov, Svir) dan Tvertsa (mengalir ke Volga) mengalir. , dengan pelayaran selanjutnya ke Laut Moskow dan Dubna.

Saya ingat cerita Andrei Nikolaevich tentang sebuah kereta yang membuatnya takut di tengah Ilmen, melintasi sebuah teluk yang berjarak beberapa kilometer, yang menyebabkan kesulitan bagi kayak karena ombaknya yang bergejolak. Mungkin perjalanan terbesarnya dimulai di Utara dari Kuloy, berlanjut lebih jauh di sepanjang Pechora dan Shugor hingga melewati Ural, dengan turun ke Ob dan mendaki ke Altai, di mana akhir dari perjalanan ribuan kilometer ini adalah baik menunggang kuda atau berjalan “tanpa alas kaki di sepanjang jalur pegunungan”.

Andrei Nikolaevich membuat saya takjub dengan kemampuannya memasang layar miring buatan sendiri dengan cepat pada kayak dari bahan bekas: teknologi yang kurang dikenal saat ini mungkin berasal dari perampok Volga yang mendahului Stepan Razin.

Pengetahuan geografis Andrei Nikolaevich beragam dan tidak biasa. Hanya sedikit orang Moskow yang tahu mengapa Jalan Rogozhskaya Zastava dan Stromynka disebut demikian, mengapa stasiun Tsaritsyno disebut (tetapi tidak lagi disebut) Lenino, tempat sungai Moskow Rachka dan Khapilovka berada, tetapi dia mengetahuinya. Bagi yang berminat, saya akan memberikan beberapa jawabannya:

Pos terdepan Rogozhskaya berdiri di awal jalan menuju kota Rogozha, yang oleh Catherine II, demi eufoni, diganti namanya (pada tahun 1781) menjadi Bogorodsk (tetapi belum diubah namanya kembali menjadi Kitai-Gorod, meskipun mereka berhasil menyingkirkannya. dari nama “Bogorodsk” pada masa revolusi).

Jalan Stromyn sekarang disebut Jalan Raya Shchelkovsky, tetapi mengarah ke kota kuno Stromyn (pinggiran kota yang sekarang disebut Chernogolovka), dalam perjalanan dari Moskow ke Kirzhach, Suzdal, dan Vladimir. Tsaritsyno dibangun untuk reruntuhan yang tidak dimiliki Catherine di Rusia dan tempat para pendaki sekarang berlatih.

Kolam Bersih terbentuk di Sungai Rachka. Adapun Khapilovka, lebih dalam dari Yauza pada rencana topografi pertama Moskow (1739), mengalir ke Yauza tepat di atas Jembatan Elektrozavodsky. Sekarang Kolam Cherkizovsky terlihat di sana, tetapi saya tidak dapat memahami bagaimana kolam itu mengalir melalui Golyanovo dari sumbernya antara Balashikha dan Reutov.

Nama "Lenino" berasal dari nama putri Kantemir, yang darinya Catherine membeli "Kotoran Hitam", yang sekarang menjadi Tsaritsyn: ia menamai beberapa desa di sekitarnya yang disumbangkan kepadanya dengan nama putrinya.

Andrei Nikolaevich Kolmogorov dicirikan oleh sifat baik hati terhadap lawan yang jelas-jelas tidak bermoral. Misalnya, dia berpendapat demikian T.D. Lysenko adalah orang bodoh yang salah arah, dan duduk di mejanya di ruang makan Akademi Ilmu Pengetahuan (dari mana yang lain, dimulai dengan sesi terkenal dari Akademi Ilmu Pertanian All-Union pada tahun 1948, mencoba pindah ke meja lain).

Faktanya adalah Andrei Nikolaevich pernah menganalisis karya eksperimental salah satu siswa Lysenko untuk menyangkal hukum pemisahan karakter Mendel [N.I. Ermolaeva, Vernalisasi, 1939, 2(23)]. Dalam percobaan ini, saya pikir 4.000 biji kacang polong disemai, dan menurut hukum Mendel, diharapkan akan muncul 1.000 kacang polong dengan satu warna (resesif) dan 3.000 kacang polong dengan warna lain (dominan). Dalam percobaan tersebut, alih-alih 1000, hanya ada, jika ingatan saya benar, 970 matahari terbit dengan warna resesif dan 3030 warna dominan.

Kesimpulan yang dibuat Kolmogorov dari artikel ini adalah:

percobaan dilakukan dengan jujur, penyimpangan yang diamati dari proporsi teoretis persis dengan urutan besarnya yang diharapkan dengan volume statistik sebesar itu. Jika kesesuaian dengan teori lebih baik, maka hal ini justru menunjukkan ketidakjujuran eksperimen dan manipulasi hasil.

Andrei Nikolaevich mengatakan kepada saya bahwa dia tidak mempublikasikan temuannya secara lengkap karena keberatan dari para ahli genetika klasik telah muncul, mengklaim bahwa mereka telah mengulangi percobaan dan memperoleh persetujuan yang tepat dengan teori. Jadi Kolmogorov, agar tidak menyakiti mereka, membatasi dirinya pada pesan tersebut (DAN Uni Soviet, 1940, 27(1), 38-42) bahwa percobaan yang dilakukan oleh murid Lysenko adalah bukan sanggahan, tapi konfirmasi yang sangat baik terhadap hukum Mendel.

Namun hal ini tidak menghentikan T.D. Lysenko, yang menyatakan dirinya sebagai “pejuang melawan peluang dalam sains,” dan dengan demikian seluruh teori probabilitas dan statistik, dan oleh karena itu, dengan patriark mereka, A. N. Kolmogorov. Andrei Nikolaevich, bagaimanapun, tidak membuang waktu berdebat dengan Lysenko (tampaknya mengikuti saran Pushkin tentang penggunaan "pemikiran yang masuk akal" dan "jalan berdarah", yang dengan jelas melindungi semua penganut paham obskurantisme - baik Lysenko maupun "reformis" Rusia saat ini. sekolah).

Pengaruh Kolmogorov terhadap seluruh perkembangan matematika di Rusia tetap luar biasa hingga saat ini. Saya berbicara tidak hanya tentang teorema-teoremanya, yang kadang-kadang memecahkan masalah-masalah berusia ribuan tahun, tetapi juga tentang penciptaan kultus sains dan pencerahan yang menakjubkan, yang mengingatkan kita pada Leonardo dan Galileo. Andrei Nikolaevich membuka peluang besar bagi banyak orang untuk menggunakan upaya intelektual mereka untuk penemuan mendasar hukum alam dan masyarakat baru, dan tidak hanya di bidang matematika, tetapi di semua bidang aktivitas manusia: dari penerbangan luar angkasa hingga reaksi termonuklir yang terkendali, dari hidrodinamika hingga ekologi, dari teori penyebaran peluru artileri hingga teori transmisi informasi dan teori algoritma, dari puisi hingga sejarah Novgorod, dari hukum kemiripan Galileo hingga masalah tiga benda Newton.

Newton, Euler, Gauss, Poincare, Kolmogorov -
hanya lima kehidupan yang memisahkan kita dari asal mula ilmu pengetahuan kita.

Pushkin pernah berkata bahwa dia memiliki pengaruh yang lebih besar terhadap pemuda dan sastra Rusia daripada seluruh Kementerian Pendidikan Umum, meskipun ada ketimpangan dana. Pengaruh Kolmogorov terhadap matematika juga sama.

Saya bertemu Andrei Nikolaevich selama tahun-tahun mahasiswa saya. Kemudian dia menjadi dekan Fakultas Mekanika dan Matematika di Universitas Moskow. Inilah masa kejayaan fakultas, masa kejayaan matematika. Tingkat yang dicapai fakultas saat itu, terutama berkat Andrei Nikolaevich Kolmogorov dan Ivan Georgievich Petrovsky, belum pernah dicapai lagi dan kemungkinan besar tidak akan pernah tercapai.

Andrei Nikolaevich adalah dekan yang luar biasa. Dia mengatakan bahwa orang-orang berbakat harus dimaafkan atas bakat mereka, dan saya dapat menyebutkan nama-nama ahli matematika yang sekarang sangat terkenal yang kemudian dia selamatkan dari pengusiran dari universitas.

Dekade terakhir kehidupan Andrei Nikolaevich dibayangi oleh penyakit serius. Awalnya dia mulai mengeluh tentang penglihatannya, dan jalur ski sepanjang empat puluh kilometer harus dikurangi menjadi dua puluh kilometer.

Belakangan, Andrei Nikolaevich kesulitan melawan gelombang laut, namun ia tetap berlari di balik pagar sanatorium Uzkoye dari pengawasan ketat Anna Dmitrievna dan dokter untuk berenang di kolam.

Dalam beberapa tahun terakhir, kehidupan Andrei Nikolaevich sangat sulit, terkadang ia harus benar-benar digendong. Kami semua sangat berterima kasih kepada Anna Dmitrievna, Asa Aleksandrovna Bukanova, murid-murid Andrei Nikolaevich dan lulusan sekolah asrama fisika dan matematika N18, yang ia ciptakan, atas tugas mereka sepanjang waktu selama beberapa tahun.

Kadang-kadang Andrei Nikolaevich hanya dapat berbicara beberapa kata dalam satu jam. Tapi tetap saja, itu selalu menarik baginya - saya ingat bagaimana beberapa bulan yang lalu Andrei Nikolaevich menceritakan bagaimana peluru pelacak terbang perlahan di atas Komarovka, bagaimana pada usia 70 dia tidak bisa keluar dari Sungai Moskow yang membeku, bagaimana di Kalkuta dia berenang untuk pertama kalinya di Samudera Hindia murid-muridnya disana.

Vladimir Igorevich Arnold

Saya persembahkan untuk Guru saya - Andrei Nikolaevich Kolmogorov

“Jangan sentuh lingkaranku,” kata Archimedes kepada tentara Romawi yang membunuhnya. Ungkapan nubuatan ini terlintas di benak Duma Negara, ketika ketua rapat Komite Pendidikan (22 Oktober 2002) menyela saya dengan kata-kata: “Saya punya bukan Akademi Ilmu Pengetahuan, tempat orang bisa membela kebenaran, tapi Duma Negara, tempat segala sesuatunya didasarkan pada fakta bahwa orang berbeda punya pendapat berbeda mengenai isu berbeda.”

Pandangan yang saya anjurkan adalah bahwa tiga kali tujuh adalah dua puluh satu, dan mengajarkan anak-anak kita tabel perkalian dan penjumlahan bilangan satu digit dan pecahan genap merupakan kebutuhan nasional. Saya menyebutkan pengenalan baru-baru ini di negara bagian California (atas inisiatif peraih Nobel, fisikawan transuranium Glen Seaborg) tentang persyaratan baru bagi anak sekolah yang memasuki universitas: Anda harus dapat membagi angka 111 dengan 3 secara mandiri (tanpa komputer) .

Para pendengar di Duma, tampaknya, tidak dapat berpisah, dan karena itu tidak memahami saya atau Seaborg: di Izvestia, dengan presentasi ramah dari frasa saya, angka "seratus sebelas" diganti dengan "sebelas" (yang menjadikan pertanyaannya jauh lebih sulit, karena sebelas tidak habis dibagi tiga).

Saya menemukan kemenangan obskurantisme ketika saya membaca di Nezavisimaya Gazeta sebuah artikel yang mengagungkan piramida yang baru dibangun di dekat Moskow, “Retrogrades and Charlatans,” di mana

Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia dinyatakan sebagai kumpulan kemunduran yang menghambat perkembangan ilmu pengetahuan (dengan sia-sia mencoba menjelaskan segala sesuatu dengan “hukum alam”). Saya harus mengatakan bahwa saya tampaknya juga seorang kemunduran, karena saya masih percaya pada hukum alam dan percaya bahwa Bumi berputar pada porosnya dan mengelilingi Matahari, dan bahwa anak sekolah yang lebih muda perlu terus menjelaskan mengapa cuaca dingin di musim dingin dan hangat di musim panas, tidak membiarkan tingkat pendidikan sekolah kita turun di bawah apa yang dicapai di sekolah-sekolah paroki sebelum revolusi (yaitu, penurunan tingkat pendidikan inilah yang dicita-citakan oleh para reformis kita saat ini, dengan alasan tingkat sekolah Amerika yang sangat rendah).

Rekan-rekan Amerika menjelaskan hal itu kepada saya rendahnya tingkat budaya umum dan pendidikan sekolah di negara mereka merupakan pencapaian yang disengaja untuk tujuan ekonomi. Faktanya adalah, setelah membaca buku, orang yang berpendidikan menjadi pembeli yang lebih buruk: dia membeli lebih sedikit mesin cuci dan mobil, dan mulai lebih memilih Mozart atau Van Gogh, Shakespeare atau teorema daripada mereka. Perekonomian masyarakat konsumen menderita akibat hal ini dan, di atas segalanya, pendapatan para pemilik kehidupan - begitulah yang mereka perjuangkan menghalangi kebudayaan dan pendidikan(yang, selain itu, mencegah mereka memanipulasi populasi seperti kawanan yang tidak memiliki kecerdasan).

Dihadapkan pada propaganda anti-ilmiah di Rusia, saya memutuskan untuk melihat piramida, yang baru-baru ini dibangun sekitar dua puluh kilometer dari rumah saya, dan bersepeda ke sana melewati hutan pinus berusia berabad-abad antara sungai Istra dan Moskow. Di sini saya menemui kesulitan: meskipun Peter the Great melarang penebangan hutan yang jaraknya kurang dari dua ratus mil dari Moskow, beberapa kilometer persegi hutan pinus terbaik yang saya lalui baru-baru ini dipagari dan dimutilasi (seperti yang dijelaskan oleh penduduk desa setempat kepada saya, hal ini dilakukan oleh “seseorang yang dikenal [oleh semua orang kecuali saya! - V.A.] bandit Pashka"). Tetapi bahkan dua puluh tahun yang lalu, ketika saya mendapatkan ember dari lahan terbuka yang sekarang sudah dibangun

raspberry, sekawanan babi hutan berjalan di sepanjang tempat terbuka melewati saya, membuat setengah lingkaran dengan radius sekitar sepuluh meter.

Perkembangan serupa kini terjadi di mana-mana. Tidak jauh dari rumah saya, pada suatu waktu penduduk tidak mengizinkan (bahkan melalui protes televisi) pembangunan hutan oleh pejabat Mongolia dan pejabat lainnya. Namun sejak saat itu situasinya telah berubah: desa-desa bekas partai pemerintah menyita beberapa kilometer persegi hutan kuno di depan semua orang, dan tidak ada lagi yang melakukan protes (di Inggris abad pertengahan, “pagar” menyebabkan pemberontakan!).

Benar, di desa Soloslov, di sebelah saya, salah satu anggota dewan desa mencoba menolak pembangunan hutan. Dan kemudian di siang hari bolong sebuah mobil datang dengan membawa bandit bersenjata tepat di desa, di rumah, dan ditembak. Dan sebagai hasilnya, perkembangan terjadi.

Di desa tetangga lainnya, Daryin, seluruh ladang telah dibangun kembali dengan rumah-rumah mewah. Sikap masyarakat terhadap peristiwa ini terlihat jelas dari nama yang mereka berikan di desa untuk lahan terbangun ini (sayangnya, nama tersebut belum tercantum di peta): “ladang pencuri”.

Penghuni kendaraan bermotor baru di bidang ini telah mengubah jalan raya yang mengarah dari kami ke stasiun Perkhushkovo menjadi kebalikannya. Bus hampir berhenti berjalan di sepanjang jalan itu dalam beberapa tahun terakhir. Pada mulanya, warga-pengendara baru mengumpulkan uang di stasiun terakhir untuk sopir bus agar ia menyatakan bus tersebut “rusak” dan penumpang akan membayar kepada pedagang swasta. Mobil-mobil penghuni baru “lapangan” tersebut kini melaju di sepanjang jalan raya ini dengan kecepatan tinggi (dan seringkali di jalur orang lain). Dan saya, ketika berjalan sejauh lima mil ke stasiun, berisiko terjatuh, seperti banyak pejalan kaki pendahulu saya, yang tempat kematiannya baru-baru ini ditandai di pinggir jalan dengan karangan bunga. Namun kereta listrik kini juga terkadang tidak berhenti di stasiun yang ditentukan jadwalnya.

Sebelumnya, polisi mencoba mengukur kecepatan pengendara yang melakukan pembunuhan dan mencegahnya, namun setelah seorang polisi yang mengukur kecepatan dengan radar ditembak oleh penjaga orang yang lewat, tidak ada lagi yang berani menghentikan mobil. Dari waktu ke waktu saya menemukan selongsong peluru tepat di jalan raya, tetapi tidak jelas siapa yang ditembak. Adapun karangan bunga di tempat meninggalnya pejalan kaki, kini semuanya telah diganti dengan pemberitahuan “Dilarang Membuang Sampah”, digantung di pohon yang sama dengan sebelumnya terdapat karangan bunga bertuliskan nama orang yang dibuang.

Sepanjang jalan kuno dari Aksinin ke Chesnokov, menggunakan jalan yang dibuat oleh Catherine II, saya mencapai piramida dan melihat di dalamnya “rak untuk mengisi botol dan benda lain dengan energi intelektual gaib.” instruksi V berukuran beberapa meter persegi mencantumkan manfaat dari tinggalnya beberapa jam suatu benda atau pasien dengan hepatitis A atau B di dalam piramida (saya membaca di surat kabar bahwa seseorang bahkan mengirim batu berbobot beberapa kilogram yang “diisi” oleh piramida ke stasiun luar angkasa untuk uang publik).

Tetapi penyusun instruksi ini juga menunjukkan kejujuran yang tidak terduga bagi saya: mereka menulisnya karena itu, tidak ada gunanya mengantri di rak-rak di dalam piramida<в десятках метров от пирамиды, снаружи, эффект будет таким же". Menurut saya, hal ini sepenuhnya benar.

Jadi, sebagai sebuah “kemunduran” yang sebenarnya, saya menganggap seluruh usaha piramidal ini sebagai iklan yang berbahaya dan anti-ilmiah untuk sebuah toko yang menjual “memuat benda.”

Namun obskurantisme selalu mengikuti pencapaian ilmiah, mulai dari zaman kuno. Murid Aristoteles, Alexander Philippovich dari Makedonia, membuat sejumlah penemuan "ilmiah" (dijelaskan oleh rekannya, Arian, dalam Anabasis). Misalnya, ia menemukan sumber Sungai Nil: menurutnya, itu adalah Indus. Bukti "ilmiah" adalah: " Ini adalah satu-satunya dua sungai besar yang dipenuhi buaya."(dan konfirmasi: “Selain itu, tepian kedua sungai tersebut ditumbuhi bunga teratai”).

Namun, ini bukan satu-satunya penemuannya: dia juga “menemukan” hal itu Sungai Oxus (sekarang disebut Amu Darya) "mengalir - dari utara, berbelok di dekat Ural - ke rawa Meotian di Pontus Euxine, yang disebut Tanais"(“Ta-nais” adalah Don, dan “rawa Meotian” adalah Laut Azov). Pengaruh ide-ide obskurantis terhadap peristiwa-peristiwa tidak selalu dapat diabaikan:

Alexander dari Sogdiana (yaitu, Samarkand) tidak pergi lebih jauh ke Timur, ke Cina, seperti yang diinginkannya pertama kali, tetapi ke selatan, ke India, karena takut penghalang air yang menghubungkan, menurut teori ketiganya, Laut Kaspia ("Hyrcanian") dengan Samudera Hindia(V wilayah Teluk Benggala). Karena dia percaya bahwa laut, “menurut definisinya,” adalah teluk samudra. Inilah jenis “sains” yang sedang kita tuju.

Saya ingin menyampaikan harapan bahwa militer kita tidak akan terlalu dipengaruhi oleh kaum obskurantis (mereka bahkan membantu saya menyelamatkan geometri dari upaya para “reformis” untuk mengeluarkannya dari sekolah). Namun upaya yang dilakukan saat ini untuk menurunkan tingkat pendidikan di Rusia agar sesuai dengan standar Amerika sangatlah berbahaya baik bagi negara tersebut maupun bagi dunia.

Di Prancis saat ini, 20% tentara yang direkrut benar-benar buta huruf, tidak memahami perintah tertulis dari perwira (dan dapat mengirim rudal dengan hulu ledak ke arah yang salah). Semoga cawan ini berlalu dari kita! Masyarakat kita masih membaca, namun para “para reformis” ingin menghentikan hal ini: “Baik Pushkin maupun Tolstoy keduanya keterlaluan!” - mereka menulis.

Akan terlalu mudah bagi saya, sebagai seorang ahli matematika, untuk menggambarkan bagaimana mereka berencana untuk menghilangkan pendidikan matematika yang secara tradisional berkualitas tinggi di sekolah-sekolah. Sebaliknya, saya akan membuat daftar beberapa gagasan obskurantis serupa mengenai pengajaran mata pelajaran lain: ekonomi, hukum, ilmu sosial, sastra (mata pelajaran, bagaimanapun, mereka mengusulkan untuk menghapuskan segala sesuatu di sekolah).

Proyek dua volume "Standar Pendidikan Umum" yang diterbitkan oleh Kementerian Pendidikan Rusia berisi banyak topik pengetahuan yang diusulkan untuk berhenti menuntut dari peserta pelatihan. Daftar inilah yang memberikan gambaran paling gamblang tentang gagasan para “para reformis” dan pengetahuan “berlebihan” apa yang mereka cari untuk “melindungi” generasi berikutnya.

Saya akan menahan diri untuk tidak memberikan komentar politik, namun berikut adalah contoh umum dari informasi yang dianggap “berlebihan” yang diambil dari proyek Standards setebal empat ratus halaman:

• Konstitusi Uni Soviet;
• “orde baru” fasis di wilayah pendudukan;
• Trotsky dan Trotskyisme;
• partai politik besar;
• demokrasi Kristen;
• inflasi;
• laba;
• mata uang;
• surat berharga;
• sistem multi-partai;
• jaminan hak dan kebebasan;
• agensi penegak hukum;
• uang dan surat berharga lainnya;
• bentuk struktur negara-teritorial Federasi Rusia;
• Ermak dan aneksasi Siberia;
• kebijakan luar negeri Rusia (abad XVII, XVIII, XIX dan XX);
• pertanyaan Polandia;
• Konfusius dan Buddha;
• Cicero dan Kaisar;
• Joan of Arc dan Robin Hood;
• Perorangan dan badan hukum;
• status hukum seseorang dalam negara demokrasi yang diatur berdasarkan hukum;
• pemisahan kekuatan;
• sistem peradilan;
• otokrasi, Ortodoksi dan kebangsaan (teori Uvarov);
• masyarakat Rusia;
• dunia Kristen dan Islam;
• Louis XIV;
• Luther;
• Loyola;
• Bismarck;
• Duma Negara;
• pengangguran;
• kedaulatan;
• pasar saham (bursa);
• penerimaan negara;
• pendapatan keluarga.

“Ilmu Sosial”, “Sejarah”, “Ekonomi”, dan “Hukum”, tanpa pembahasan semua konsep tersebut, hanyalah ibadah formal, tidak ada gunanya bagi pelajar. Di Prancis, saya mengenali obrolan teologis mengenai topik-topik abstrak ini melalui serangkaian kata-kata kunci: “Prancis ibarat putri sulung Gereja Katolik... " (apa pun bisa mengikuti, misalnya: "... tidak memerlukan pengeluaran untuk ilmu pengetahuan, karena kita sudah memiliki dan masih memiliki ilmuwan"), seperti yang saya dengar pada pertemuan Komite Nasional Republik Perancis untuk Sains dan Penelitian, di mana saya ditunjuk sebagai anggota oleh Menteri Sains, Riset dan Teknologi Republik Perancis.

Agar tidak berat sebelah, saya juga akan memberikan daftar penulis dan karya yang “tidak diinginkan” (dalam arti yang sama “tidak dapat diterima” untuk studi serius mereka) yang disebutkan dalam kapasitas ini dengan “Standar” yang memalukan:

• Glinka;
• Chaikovsky;
• Beethoven;
• Mozart;
• Grieg;
• Raphael;
• Leonardo daVinci;
• Rembrandt;
• Van Togh;
• Omar Khayyam;
• "Tom Sawyer";
• "Oliver Memutar";
• Soneta Shakespeare;
• "Perjalanan dari St. Petersburg ke Moskow" oleh Radishchev;
• "Prajurit Timah yang Teguh";
• "Gobsek";
• "Pere Goriot"
• "Les Miserables";
• "Taring Putih";
• "Kisah Belkin";
• "Boris Godunov";
• "Poltava";
• "Dubrovsky";
• "Ruslan dan Lyudmila";
• "Babi di bawah pohon ek";
• "Malam hari di Peternakan Dekat Dikanka";
• "Nama keluarga kuda";
• "Pantry Matahari";
• "sisi Meshchera";
• "Tenang Don";
• "Pigmalion";
• "Dukuh";
• "Faust";
• "Perpisahan dengan Senjata";
• "Sarang Mulia";
• "Nyonya dengan seekor anjing";
• "Peloncat";
• "Awan di celana";
• "Pria kulit hitam";
• "Berlari";
• "Bangsal Kanker";
• "Pameran Kesombongan";
• "Untuk siapa bel berdentang";
• "Tiga Kawan";
• "Di lingkaran pertama";
• "Kematian Ivan Ilyich".

Dengan kata lain, mereka mengusulkan untuk menghapuskan Kebudayaan Rusia. Mereka mencoba untuk “melindungi” anak-anak sekolah dari pengaruh pusat kebudayaan yang “berlebihan”, menurut “Standar”; begitulah ternyata mereka ada di sini tidak diinginkan, menurut penyusun Standar, untuk disebutkan oleh guru di sekolah:

• Museum Pertapaan;
• Museum Rusia;
• Galeri Tretyakov;
• Museum Seni Rupa Pushkin di Moskow.

Bel berbunyi untuk kita!

Masih sulit untuk menahan diri untuk tidak menyebutkan apa sebenarnya yang diusulkan untuk dijadikan “opsional untuk pelatihan” dalam ilmu eksakta (dalam hal apa pun, "Standar" merekomendasikan "tidak mengharuskan siswa untuk menguasai bagian ini"):

• struktur atom;
• konsep tindakan jangka panjang;
• struktur mata manusia;
• hubungan ketidakpastian mekanika kuantum;
• interaksi mendasar;
• langit berbintang;
• Matahari itu seperti salah satu bintang;
• struktur seluler organisme;
• refleks;
• genetika;
• asal usul kehidupan di Bumi;
• evolusi dunia kehidupan;
• teori Copernicus, Galileo dan Giordano Bruno;
• teori Mendeleev, Lomonosov, Butlerov;
• manfaat Pasteur dan Koch;
• natrium, kalsium, karbon dan nitrogen (perannya dalam metabolisme);
• minyak;
• polimer.

Dalam matematika, diskriminasi yang sama diterapkan pada topik-topik dalam Standar, yang tanpanya tidak ada guru yang dapat melakukannya (dan tanpa pemahaman penuh tentang mana anak sekolah akan benar-benar tidak berdaya dalam fisika, teknologi, dan sejumlah besar penerapan sains lainnya, termasuk keduanya. militer dan kemanusiaan):

• kebutuhan dan kecukupan;
• tempat kedudukan poin;
• sinus sudut pada 30 o, 45 o, 60 o;
• membuat garis bagi sudut;
• membagi suatu segmen menjadi bagian-bagian yang sama;
• mengukur sudut;
• konsep panjang suatu segmen;
• jumlah suku suatu barisan aritmatika;
• wilayah sektor;
• fungsi trigonometri terbalik;
• pertidaksamaan trigonometri sederhana;
• persamaan polinomial dan akar-akarnya;
• geometri bilangan kompleks (diperlukan untuk fisika arus bolak-balik, teknik radio, dan mekanika kuantum);
• tugas konstruksi;
• sudut bidang dari sudut segitiga;
• turunan dari fungsi kompleks;
• mengubah pecahan sederhana menjadi desimal.

Satu-satunya hal yang memberi saya harapan adalah itu Ribuan guru terlatih yang ada akan terus memenuhi tugas mereka dan mengajarkan semua ini kepada anak-anak sekolah generasi baru, meskipun ada perintah dari Kementerian. Akal sehat lebih kuat dari disiplin birokrasi. Kita hanya perlu ingat untuk membayar guru-guru kita yang luar biasa dengan layak atas prestasi mereka.

Perwakilan Duma menjelaskan hal itu kepada saya Situasi ini bisa jauh lebih baik jika kita menerapkan kehati-hatian dalam menerapkan undang-undang pendidikan yang telah diadopsi.

Uraian keadaan berikut disampaikan oleh Deputi I. I. Melnikov dalam laporannya di Institut Matematika. V. A. Steklov dari Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia di Moskow pada musim gugur 2002.

Misalnya, salah satu undang-undang mengatur peningkatan tahunan kontribusi anggaran untuk pelatihan sebesar sekitar 20% per tahun. Namun menteri mengatakan bahwa “tidak perlu khawatir tentang penerapan undang-undang ini, karena peningkatan hampir setiap tahun terjadi lebih dari 40%.” Tak lama setelah pidato menteri tersebut, diumumkan peningkatan (dengan persentase yang jauh lebih kecil) yang secara praktis dapat dilakukan pada tahun berikutnya (pada tahun 2002). Dan jika kita juga memperhitungkan inflasi, ternyata demikian keputusan dibuat untuk mengurangi kontribusi tahunan riil terhadap pendidikan.

Undang-undang lain mengatur persentase belanja anggaran yang harus dikeluarkan untuk pendidikan. Kenyataannya, jauh lebih sedikit yang dibelanjakan (saya tidak dapat mengetahui secara pasti berapa kali). Namun pengeluaran untuk “pertahanan melawan musuh internal” meningkat dari sepertiga menjadi setengah pengeluaran untuk pertahanan melawan musuh eksternal.

Berhenti mengajarkan pecahan kepada anak-anak adalah hal yang wajar, jika tidak, amit-amit, mereka akan mengerti!

Rupanya, justru untuk mengantisipasi reaksi para guru, penyusun “Standar” memberikan sejumlah nama penulis dalam daftar bacaan yang direkomendasikan (seperti nama Pushkin, Krylov, Lermontov, Chekhov, dan sejenisnya) dengan tanda “tanda bintang”, yang mereka artikan sebagai: “Sesuai kebijaksanaannya, guru dapat memperkenalkan siswa pada satu atau dua karya lagi dari penulis yang sama.”(dan tidak hanya dengan “Monumen” yang mereka rekomendasikan dalam kasus Pushkin).

Tingkat pendidikan matematika tradisional kita yang lebih tinggi dibandingkan dengan negara-negara asing menjadi jelas bagi saya hanya setelah saya dapat membandingkan tingkat ini dengan pendidikan asing, setelah bekerja selama beberapa semester di universitas dan perguruan tinggi di Paris dan New York, Oxford dan Cambridge, Pisa dan Bologna. , Bonn dan Berkeley, Stanford dan Boston, Hong Kong dan Kyoto, Madrid dan Toronto, Marseille dan Strasbourg, Utrecht dan Rio de Janeiro, Conakry dan Stockholm.

“Kami tidak mungkin mengikuti prinsip Anda dalam memilih kandidat berdasarkan pencapaian ilmiah mereka,” kata rekan-rekan saya di komisi undangan profesor baru ke salah satu universitas terbaik di Paris kepada saya. - “Lagi pula, dalam hal ini kita hanya harus memilih orang Rusia - itulah keunggulan ilmiah mereka dibandingkan kita semua jelas!” (Saya sedang berbicara tentang seleksi di antara orang Prancis).

Dengan risiko hanya dipahami oleh para ahli matematika, saya tetap akan memberikan contoh tanggapan dari calon guru besar matematika terbaik di sebuah universitas di Paris pada musim semi tahun 2002 (200 orang melamar untuk setiap posisi).

Kandidat tersebut telah mengajar aljabar linier di berbagai universitas selama beberapa tahun, mempertahankan disertasinya dan menerbitkan selusin artikel di jurnal matematika terbaik di Perancis.

Seleksinya meliputi wawancara, dimana calon selalu ditanyai pertanyaan-pertanyaan mendasar namun penting (tingkat pertanyaan "Sebutkan ibu kota Swedia" jika subjeknya adalah geografi).

Jadi saya bertanya, “Apa tanda dari bentuk kuadrat tersebut xy?"

Kandidat tersebut meminta waktu 15 menit yang diberikan kepadanya untuk berpikir, setelah itu dia berkata: “Di komputer saya di Toulouse, saya memiliki (program) rutin yang dalam satu atau dua jam dapat mengetahui berapa plus dan berapa minus yang akan ada. dalam bentuk normal Selisih kedua angka ini dan itu akan menjadi tanda tangan - tetapi Anda hanya memberi waktu 15 menit, dan tanpa komputer, jadi saya tidak bisa menjawab, formulir ini xy Ini terlalu rumit."

Bagi non-spesialis, izinkan saya menjelaskan bahwa jika kita berbicara tentang zoologi, maka jawabannya akan seperti ini: “Linnaeus mendaftar semua hewan, tapi apakah pohon birch itu mamalia atau bukan, saya tidak bisa menjawabnya tanpa buku.”

Kandidat berikutnya ternyata adalah seorang spesialis dalam “sistem persamaan diferensial parsial elips” (satu setengah dekade setelah mempertahankan disertasinya dan lebih dari dua puluh karya yang diterbitkan).

Saya bertanya yang ini: “Apa fungsi Laplacian 1/r dalam ruang Euclidean tiga dimensi?"

Responsnya (dalam waktu 15 menit seperti biasanya) sungguh luar biasa bagi saya; "Jika R jika berdiri di pembilangnya, bukan di penyebutnya, dan turunan pertama yang dibutuhkan, bukan turunan kedua, maka saya akan bisa menghitungnya dalam waktu setengah jam, tapi kalau tidak, pertanyaannya terlalu sulit.”

Izinkan saya menjelaskan bahwa pertanyaan tersebut berasal dari teori persamaan elips, seperti pertanyaan “Siapa penulis Hamlet?” dalam ujian Sastra Inggris. Mencoba membantu, saya mengajukan serangkaian pertanyaan utama (mirip dengan pertanyaan tentang Othello dan Ophelia): "Tahukah Anda apa hukum gravitasi universal? Hukum Coulomb? Bagaimana hubungannya dengan Laplacian? Apa solusi mendasarnya? persamaan Laplace?”

Tapi tidak ada yang membantu: baik Macbeth maupun King Lear tidak dikenal oleh kandidat tersebut jika kita berbicara tentang sastra.

Akhirnya, ketua panitia ujian menjelaskan kepada saya apa yang terjadi: “Lagipula, kandidat tersebut mempelajari bukan hanya satu persamaan elips, tapi sistem persamaan tersebut, dan Anda bertanya kepadanya tentang persamaan Laplace, yang manaTotal satu hal yang jelas bahwa dia belum pernah menemukannya!”

Dalam analogi sastra, "pembenaran" ini sesuai dengan frasa: “Kandidatnya belajar penyair Inggris, bagaimana dia bisa mengenal Shakespeare, karena dia adalah seorang penulis naskah drama!”

Kandidat ketiga (dan lusinan dari mereka diwawancarai) sedang mengerjakan “bentuk diferensial holomorfik”, dan saya bertanya kepadanya: “Apa yang dimaksud dengan permukaan garis singgung Riemann?” (Saya takut bertanya tentang garis singgung busur).

Jawaban: “Metrik Riemannian adalah bentuk kuadrat dari perbedaan koordinat, tetapi bentuk apa yang dikaitkan dengan fungsi tangen sama sekali tidak jelas bagi saya.”

Saya akan jelaskan lagi dengan contoh jawaban serupa, kali ini menggantikan matematika dengan sejarah (yang lebih disukai kaum Mitrofan). Di sini pertanyaannya adalah: “Siapakah Julius Caesar?” dan jawabannya adalah: “Penguasa Byzantium disebut Kaisar, tapi saya tidak kenal Julia di antara mereka.”

Akhirnya muncul seorang kandidat probabilistik yang berbicara menarik tentang disertasinya. Dia membuktikan hal itu di dalamnya pernyataan “A dan B sama-sama adil” adalah salah(pernyataan itu sendiri A Dan DI DALAM dirumuskan panjang lebar, jadi saya tidak akan mereproduksinya di sini).

Pertanyaan: “Namun, bagaimana situasi dengan pernyataan tersebut A sendiri, tanpa DI DALAM: benar atau tidak?

Menjawab: "Toh saya bilang pernyataan 'A dan B' itu salah. Artinya A juga salah." Itu adalah: “Karena tidak benar bahwa “Petya dan Misha terkena kolera”, maka Petya tidak terkena kolera.”

Di sini kebingungan saya kembali terhapuskan oleh ketua komisi: ia menjelaskan bahwa calon tersebut bukanlah seorang probabilist, seperti yang saya kira, melainkan seorang ahli statistik (dalam biografi yang disebut CV, tidak ada “proba”, tetapi “stat”) .

"Para probabilistik," ketua kami yang berpengalaman menjelaskan kepada saya, "memiliki logika yang normal, sama dengan logika para ahli matematika, Aristotelian. Tetapi bagi para ahli statistik, ini sama sekali berbeda: bukan tanpa alasan mereka mengatakan "ada kebohongan, kebohongan yang terang-terangan dan statistik.” Semua alasan mereka tidak berdasar, semua kesimpulan mereka salah. Tetapi kesimpulan-kesimpulan ini selalu sangat penting dan berguna. Kami pasti harus menerima ahli statistik ini!”

Di Universitas Moskow, orang bodoh seperti itu tidak akan mampu menyelesaikan tahun ketiga Fakultas Mekanika dan Matematika. Permukaan Riemann dianggap sebagai puncak matematika oleh pendiri Moscow Mathematical Society, N. Bugaev (ayah dari Andrei Bely). Namun, dia percaya bahwa dalam matematika kontemporer pada akhir abad ke-19, objek mulai bermunculan yang tidak sesuai dengan arus utama teori lama ini - fungsi non-holomorfik dari variabel nyata, yang menurutnya merupakan perwujudan matematis dari gagasan kehendak bebas sama seperti permukaan Riemann dan fungsi holomorfik mewujudkan gagasan fatalisme dan predeterminasi.

Sebagai hasil dari refleksi ini, Bugaev mengirim pemuda Moskow ke Paris untuk mempelajari “matematika kehendak bebas” baru di sana (dari Borel dan Lebesgue). Program ini dilaksanakan dengan cemerlang oleh N. N. Luzin, yang sekembalinya ke Moskow menciptakan sekolah yang brilian, termasuk semua ahli matematika utama Moskow selama beberapa dekade: Kolmogorov dan Petrovsky, Aleksandrov dan Pontryagin, Menshov dan Keldysh, Novikov dan Lavrentiev, Gelfand dan Lyusternik .

Ngomong-ngomong, Kolmogorov merekomendasikan kepada saya Hotel Parisiana (di Jalan Tournefort, tidak jauh dari Pantheon) yang kemudian dipilih Luzin sendiri di Latin Quarter Paris. Selama Kongres Matematika Eropa Pertama di Paris (1992) saya menginap di hotel murah ini (dengan fasilitas setingkat abad ke-19, tanpa telepon, dan sebagainya). Dan pemilik tua hotel ini, setelah mengetahui bahwa saya datang dari Moskow, langsung bertanya kepada saya: “ Bagaimana kabar tamu lamaku, Luzin, di sana? Sayang sekali dia sudah lama tidak mengunjungi kita."

Beberapa tahun kemudian, hotel ini ditutup untuk renovasi (pemiliknya mungkin sudah meninggal) dan mereka mulai membangunnya kembali dengan cara Amerika, jadi sekarang Anda tidak dapat lagi melihat pulau abad ke-19 di Paris ini.

Kembali ke pemilihan profesor pada tahun 2002, saya perhatikan bahwa semua orang bodoh yang disebutkan di atas menerima (dari semua orang kecuali saya) nilai terbaik. Di sisi lain, satu-satunya, menurut pendapat saya, kandidat yang layak hampir ditolak dengan suara bulat. Dia menemukan (dengan bantuan "basis Gröbner" dan aljabar komputer) beberapa lusin sistem persamaan fisika matematika Hamilton yang sepenuhnya terintegrasi (pada saat yang sama, tetapi tidak termasuk dalam daftar yang baru, Korteweg-de Vries yang terkenal, Sayn-Gordon, dan persamaan sejenisnya).

Sebagai proyek masa depan, kandidat tersebut juga mengusulkan metode komputer baru untuk memodelkan pengobatan diabetes. Terhadap pertanyaan saya tentang penilaian metodenya oleh para dokter, dia menjawab dengan cukup masuk akal: “Metode tersebut sekarang sedang diuji di pusat-pusat dan rumah sakit ini dan itu, dan dalam enam bulan mereka akan memberikan kesimpulannya, membandingkan hasilnya dengan metode lain dan dengan metode lain. pasien kelompok kontrol, namun untuk saat ini pemeriksaan tersebut belum dilakukan, dan hanya ada penilaian awal saja, padahal sudah baik.”

Mereka menolaknya dengan penjelasan sebagai berikut: “Di setiap halaman disertasinya disebutkan kelompok Lie atau aljabar Lie, tapi tidak ada seorang pun di sini yang memahaminya, jadi dia tidak akan cocok dengan tim kami sama sekali.” Benar, saya dan semua siswa saya bisa saja ditolak, tetapi beberapa rekan berpikir bahwa alasan penolakannya berbeda: tidak seperti semua kandidat sebelumnya, yang ini bukan orang Prancis (dia adalah murid seorang profesor Amerika yang terkenal. dari Minnesota).

Keseluruhan gambaran yang dijelaskan mengarah pada pemikiran sedih tentang masa depan sains Perancis, khususnya matematika. Meskipun “Komite Sains Nasional Prancis” cenderung untuk tidak membiayai penelitian ilmiah baru sama sekali, tetapi untuk mengeluarkan uang (disediakan oleh Parlemen untuk pengembangan ilmu pengetahuan) untuk pembelian resep Amerika yang sudah jadi, saya sangat menentang kebijakan bunuh diri ini. dan masih mencapai setidaknya beberapa penelitian baru yang disubsidi. Namun kesulitan disebabkan oleh pembagian uang. Kedokteran, energi nuklir, kimia polimer, virologi, genetika, ekologi, perlindungan lingkungan, pembuangan limbah radioaktif dan banyak lagi secara konsisten dipilih sebagai tidak layak menerima subsidi melalui pemungutan suara (dalam pertemuan lima jam). Pada akhirnya, mereka memilih tiga “ilmu” yang disinyalir layak mendapatkan pendanaan untuk penelitian baru mereka. Ketiga “ilmu” tersebut adalah: 1) AIDS; 2) psikoanalisis; 3) cabang kimia farmasi yang kompleks, yang nama ilmiahnya tidak dapat saya reproduksi, tetapi membahasnya pengembangan obat-obatan psikotropika, mirip dengan gas larimogenik, mengubah kelompok pemberontak menjadi kelompok yang patuh.

Jadi sekarang Perancis telah diselamatkan!

Dari semua siswa Luzin, menurut pendapat saya, kontribusi paling luar biasa terhadap sains dibuat oleh Andrei Nikolaevich Kolmogorov. Dibesarkan di sebuah desa bersama kakeknya di dekat Yaroslavl, Andrei Nikolaevich dengan bangga menyebut kata-kata Gogol sebagai “seorang pria Roslavl yang efisien”.

Dia tidak berniat menjadi ahli matematika, bahkan setelah masuk Universitas Moskow, di mana dia segera mulai belajar sejarah (dalam seminar Profesor Bakhrushin) dan, sebelum dia berusia dua puluh tahun, menulis karya ilmiah pertamanya.

Karya ini dikhususkan untuk mempelajari hubungan ekonomi tanah di Novgorod abad pertengahan. Dokumen perpajakan telah disimpan di sini, dan analisis sejumlah besar dokumen ini dengan menggunakan metode statistik membawa sejarawan muda tersebut pada kesimpulan yang tidak terduga, yang dia bicarakan pada pertemuan Bakhrushin.

Laporannya sangat sukses, dan pembicaranya mendapat banyak pujian. Namun dia bersikeras meminta persetujuan lain: dia ingin kesimpulannya diakui benar.

Pada akhirnya, Bakhrushin mengatakan kepadanya: "Laporan ini pasti perlu dipublikasikan; ini sangat menarik. Tapi untuk kesimpulannya, Bagi kami para sejarawan, untuk mengetahui kesimpulan apa pun, kami selalu membutuhkan tidak hanya satu bukti, tapi setidaknya lima!"

Keesokan harinya, Kolmogorov mengubah sejarah menjadi matematika, di mana bukti saja sudah cukup. Dia tidak menerbitkan laporan tersebut, dan teks ini tetap ada di arsipnya sampai, setelah kematian Andrei Nikolaevich, teks tersebut diperlihatkan kepada sejarawan modern, yang mengakuinya tidak hanya sebagai sesuatu yang sangat baru dan menarik, tetapi juga cukup konklusif. Kini laporan Kolmogorov ini telah diterbitkan, dan dianggap oleh komunitas sejarawan sebagai kontribusi luar biasa bagi ilmu pengetahuan mereka.

Setelah menjadi ahli matematika profesional, Kolmogorov tetap, tidak seperti kebanyakan dari mereka, pertama-tama, seorang ilmuwan dan pemikir alam, dan sama sekali bukan pengganda bilangan multidigit (yang terutama muncul ketika menganalisis aktivitas ahli matematika kepada orang-orang yang tidak terbiasa dengan matematika, termasuk bahkan L.D. Landau yang menilai matematika justru merupakan kelanjutan dari keterampilan berhitung: lima lima - dua puluh lima, enam enam - tiga puluh enam, tujuh tujuh - empat puluh tujuh, seperti yang saya baca dalam parodi Landau yang disusun oleh mahasiswa Fisika dan Teknologinya ; namun, dalam surat Landau kepada saya, yang saat itu masih mahasiswa, matematika tidak lebih logis daripada parodi ini).

Mayakovsky menulis: “Bagaimanapun, dia dapat mengekstrak akar kuadrat setiap detik” (tentang seorang profesor yang “tidak bosan karena siswa di luar jendela aktif pergi ke gimnasium”).

Namun dia dengan sempurna menggambarkan apa itu penemuan matematika, dengan mengatakan bahwa " Siapa pun yang menemukan bahwa dua dan dua sama dengan empat adalah seorang ahli matematika yang hebat, meskipun ia menemukannya dengan menghitung puntung rokok. Dan siapa pun yang saat ini menghitung objek yang jauh lebih besar, seperti lokomotif, dengan menggunakan rumus yang sama, bukanlah ahli matematika sama sekali!”

Kolmogorov, tidak seperti banyak orang lainnya, tidak pernah terintimidasi oleh matematika terapan “lokomotif”, dan ia dengan senang hati menerapkan pertimbangan matematis ke berbagai bidang aktivitas manusia: dari hidrodinamika hingga artileri, dari mekanika angkasa hingga puisi, dari miniaturisasi komputer hingga dunia. teori gerak Brown, dari divergensi deret Fourier hingga teori transmisi informasi dan logika intuisionistik. Dia menertawakan kenyataan bahwa orang Prancis menulis “Mekanika Langit” dengan huruf kapital, dan “menerapkan” dengan huruf kecil.

Ketika saya pertama kali tiba di Paris pada tahun 1965, saya disambut dengan hangat oleh Profesor Fréchet yang sudah lanjut usia, dengan kata-kata berikut: “Bagaimanapun, Anda adalah murid Kolmogorov, pemuda yang membuat contoh deret Fourier yang menyimpang hampir di mana-mana!”

Pekerjaan Kolmogorov yang disebutkan di sini diselesaikan olehnya pada usia sembilan belas tahun, memecahkan masalah klasik dan segera mempromosikan siswa ini ke peringkat ahli matematika kelas satu yang penting bagi dunia. Empat puluh tahun kemudian, pencapaian ini masih lebih penting bagi Frechet daripada semua karya fundamental Kolmogorov berikutnya yang jauh lebih penting, yang merevolusi teori probabilitas, teori fungsi, hidrodinamika, mekanika langit, teori perkiraan, dan teori fungsi. kompleksitas algoritmik, dan teori kohomologi dalam topologi, dan teori kendali sistem dinamis (dimana Ketimpangan Kolmogorov antara turunan dari ordo yang berbeda tetap menjadi salah satu pencapaian tertinggi saat ini, meskipun para ahli teori kontrol jarang memahami hal ini).

Namun Kolmogorov sendiri selalu skeptis terhadap matematika favoritnya, menganggapnya sebagai bagian kecil dari ilmu pengetahuan alam dan dengan mudah mengabaikan batasan logis yang dikenakan oleh belenggu metode deduktif aksiomatik pada ahli matematika sejati.

"Akan sia-sia," katanya kepada saya, "mencari konten matematika dalam karya saya tentang turbulensi. Saya berbicara di sini sebagai fisikawan dan sama sekali tidak khawatir tentang bukti matematika atau derivasi kesimpulan saya dari premis awal, seperti persamaan Navier-Stokes. Meskipun kesimpulan-kesimpulan ini belum terbukti, kesimpulan-kesimpulan ini benar dan terbuka, dan ini jauh lebih penting daripada membuktikannya!”

Banyak penemuan Kolmogorov tidak hanya tidak terbukti (baik oleh dirinya sendiri maupun oleh para pengikutnya), tetapi bahkan tidak dipublikasikan. Namun demikian, mereka telah dan terus mempunyai pengaruh yang menentukan pada sejumlah departemen ilmu pengetahuan (dan tidak hanya matematika).

Saya akan memberikan satu contoh terkenal saja (dari teori turbulensi).

Model matematika hidrodinamika adalah sistem dinamis dalam ruang medan kecepatan fluida, yang menggambarkan evolusi medan kecepatan awal partikel fluida di bawah pengaruh interaksinya: tekanan dan viskositas (serta di bawah kemungkinan pengaruh gaya luar). , misalnya gaya berat pada kasus sungai atau tekanan air pada pipa air).

Di bawah pengaruh evolusi ini, suatu sistem dinamis dapat terbentuk keadaan setimbang (stasioner), ketika kecepatan aliran pada setiap titik daerah aliran tidak berubah terhadap waktu(meskipun semuanya mengalir, dan setiap partikel bergerak dan mengubah kecepatannya seiring waktu).

Aliran stasioner seperti itu (misalnya, aliran laminar dalam hidrodinamika klasik) adalah titik tarik dari sistem dinamis. Oleh karena itu mereka disebut penarik (titik).

Himpunan lain yang menarik tetangga juga dimungkinkan, misalnya kurva tertutup yang menggambarkan arus yang berubah secara berkala seiring waktu dalam ruang fungsional medan kecepatan. Kurva seperti itu merupakan penarik ketika kondisi awal yang berdekatan, yang digambarkan oleh titik-titik “terganggu” dari ruang fungsional medan kecepatan yang dekat dengan kurva tertutup yang ditunjukkan, memulai, meskipun tidak berubah secara periodik terhadap waktu, aliran yang mendekatinya (yaitu, aliran aliran yang terganggu cenderung ke arah yang dijelaskan sebelumnya secara berkala seiring waktu).

Poincaré, yang pertama kali menemukan fenomena ini, menyebut kurva penarik tertutup tersebut "siklus batas stabil". Dari segi fisik, mereka bisa disebut rezim aliran tunak periodik: gangguan berangsur-angsur memudar selama proses transisi yang disebabkan oleh gangguan pada kondisi awal, dan setelah beberapa waktu perbedaan antara pergerakan dan pergerakan periodik yang tidak terganggu menjadi hampir tidak terlihat.

Setelah Poincaré, siklus batas tersebut dipelajari secara ekstensif oleh A. A. Andronov, yang mendasarkan studi dan perhitungan generator gelombang radio, yaitu pemancar radio, pada model matematika ini.

Pentingnya penemuan dan pengembangan Poincaré oleh Andronov teori lahirnya siklus batas dari posisi keseimbangan tidak stabil Saat ini biasanya disebut (bahkan di Rusia) bifurkasi Hopf. E. Hopf menerbitkan sebagian teori ini beberapa dekade setelah publikasi Andronov dan lebih dari setengah abad setelah Poincaré, tetapi tidak seperti mereka, ia tinggal di Amerika, sehingga prinsip eponim yang terkenal berhasil: jika suatu benda menyandang nama orang lain, maka itu bukanlah nama penemunya(misalnya, Amerika tidak dinamai menurut nama Columbus).

Fisikawan Inggris M. Berry menyebut prinsip eponymous ini sebagai “prinsip Arnold”, menambahkan prinsip kedua ke dalamnya. Prinsip Berry: Prinsip Arnold berlaku untuk diri sendiri(yaitu, telah diketahui sebelumnya).

Saya sepenuhnya setuju dengan Berry dalam hal ini. Saya memberi tahu dia prinsip eponymous sebagai tanggapan terhadap pracetak tentang "fase Berry", yang contohnya, yang sama sekali tidak kalah dengan teori umum, diterbitkan beberapa dekade sebelum Berry oleh S. M. Rytov (dengan nama "inersia arah polarisasi") dan A. Yu .Ishlinsky (dengan judul “keberangkatan giroskop kapal selam karena perbedaan antara jalur kembali ke pangkalan dan jalur meninggalkannya”),

Namun, mari kita kembali ke penarik. Penarik, atau himpunan tarik-menarik, adalah keadaan gerak tetap, yang, bagaimanapun, tidak harus berkala. Matematikawan juga telah mempelajari gerakan yang jauh lebih kompleks, yang juga dapat menarik gerakan tetangga yang terganggu, namun gerakan tersebut bisa sangat tidak stabil: sebab yang kecil terkadang menimbulkan akibat yang besar, kata Poincare. Keadaan, atau “fase”, dari rezim pembatas tersebut (yaitu, sebuah titik pada permukaan penarik) dapat bergerak di sepanjang permukaan penarik dengan cara “kacau” yang aneh, dan sedikit penyimpangan dari titik awalnya. pada penarik dapat mengubah arah pergerakan secara signifikan tanpa mengubah rezim pembatas sama sekali. Rata-rata dalam waktu yang lama dari semua besaran yang mungkin dapat diamati akan mendekati nilai aslinya dan dalam gerakan yang terganggu, tetapi rinciannya pada saat tertentu dalam waktu, sebagai suatu peraturan, akan sangat berbeda.

Dalam istilah meteorologi, “rezim batas” (attractor) dapat diibaratkan iklim, dan fase - cuaca. Perubahan kecil pada kondisi awal dapat berdampak besar pada cuaca besok (dan terlebih lagi pada cuaca seminggu dan sebulan dari sekarang). Namun perubahan seperti itu tidak akan menjadikan tundra sebagai hutan tropis: hanya badai petir yang mungkin terjadi pada hari Jumat, bukan Selasa, yang mungkin tidak mengubah rata-rata tahun tersebut (atau bahkan bulan tersebut).

Dalam hidrodinamika, derajat redaman gangguan awal biasanya ditandai dengan viskositas (bisa dikatakan, gesekan timbal balik partikel-partikel cairan ketika mereka bergerak relatif terhadap yang lain), atau viskositas terbalik, suatu nilai yang disebut “bilangan Reynolds”. Nilai bilangan Reynolds yang besar berhubungan dengan redaman gangguan yang lemah, dan nilai viskositas yang besar (yaitu bilangan Reynolds yang kecil) - sebaliknya, mengatur aliran, mencegah gangguan dan perkembangannya. Dalam perekonomian, peran “viskositas” sering kali dimainkan oleh suap dan korupsi 1 .

1 Manajemen produksi multi-tahap tidak stabil jika jumlah tahapan (pekerja, mandor, manajer bengkel, direktur pabrik, CEO, dll.) lebih dari dua, tetapi dapat dilaksanakan secara berkelanjutan jika setidaknya beberapa tahapan manajer diberi penghargaan tidak hanya dari atas (untuk mengikuti perintah), tetapi juga dari bawah (untuk kepentingan tujuan, untuk keputusan yang berkontribusi pada produksi). Korupsi digunakan untuk memberikan dorongan. Untuk lebih jelasnya lihat artikel: V. I. Arnold. Matematika dan pendidikan matematika di dunia modern. Dalam buku: Matematika dalam pendidikan dan pengasuhan. - M.: FAZIS, 2000, hal. 195-205.

Karena viskositasnya yang tinggi, pada bilangan Reynolds yang rendah, aliran stasioner (laminar) yang stabil biasanya terbentuk, yang diwakili dalam ruang medan kecepatan oleh penarik titik.

Pertanyaan utamanya adalah bagaimana pola aliran akan berubah dengan meningkatnya bilangan Reynolds. Dalam pasokan air, hal ini berhubungan, misalnya, dengan peningkatan tekanan air, yang membuat aliran halus (laminar) dari keran menjadi tidak stabil, tetapi secara matematis, untuk meningkatkan bilangan Reynolds, akan lebih mudah untuk mengurangi koefisien gesekan partikel yang dinyatakan viskositas (yang dalam percobaan memerlukan penggantian cairan yang secara teknis rumit). Namun terkadang untuk mengubah bilangan Reynolds cukup dengan mengubah suhu di laboratorium. Saya melihat instalasi seperti itu di Novosibirsk di Institute of Precision Measurements, di mana bilangan Reynolds berubah (di digit keempat) ketika saya mendekatkan tangan saya ke silinder tempat aliran terjadi (tepatnya karena perubahan suhu), dan terus layar komputer yang memproses percobaan, perubahan bilangan Reynolds ini segera ditunjukkan oleh otomatisasi elektronik.

Memikirkan fenomena transisi dari aliran laminar (stasioner stabil) ke aliran turbulen badai, Kolmogorov sejak lama mengungkapkan sejumlah hipotesis (yang hingga saat ini masih belum terbukti). Saya pikir hipotesis ini berasal dari perselisihannya dengan Landau (1943) mengenai sifat turbulensi. Bagaimanapun, ia dengan jelas merumuskannya pada seminarnya (tentang hidrodinamika dan teori sistem dinamik) di Universitas Moskow pada tahun 1959, yang bahkan menjadi bagian dari pengumuman seminar yang ia posting saat itu. Namun saya tidak mengetahui adanya publikasi resmi dari hipotesis Kolmogorov ini, dan di Barat hipotesis tersebut biasanya dikaitkan dengan epigon Kolmogorov, yang mempelajarinya dan menerbitkannya puluhan tahun kemudian.

Inti dari hipotesis Kolmogorov ini adalah bahwa dengan meningkatnya bilangan Reynolds, penarik yang berhubungan dengan rezim aliran tunak menjadi semakin kompleks, yaitu bahwa dimensinya bertambah.

Pertama berupa titik (penarik berdimensi nol), kemudian lingkaran (siklus batas Poincaré, penarik satu dimensi). Dan hipotesis Kolmogorov tentang penarik dalam hidrodinamika terdiri dari dua pernyataan: dengan bertambahnya bilangan Reynolds 1) penarik dengan dimensi yang semakin besar bermunculan; 2) semua penarik berdimensi rendah menghilang.

Dari 1 dan 2 bersama-sama maka berikut ini ketika bilangan Reynolds cukup besar, keadaan tunak tentu mempunyai banyak derajat kebebasan, sehingga untuk menggambarkan fasenya (titik pada penarik) perlu ditetapkan banyak parameter, yang kemudian, ketika bergerak sepanjang penarik, akan berubah secara “kacau” yang aneh dan tidak berkala, dan perubahan kecil pada titik awal penarik, sebagai suatu peraturan, menyebabkan perubahan besar (setelah jangka waktu yang lama) pada “cuaca” (titik saat ini pada penarik), meskipun hal itu tidak mengubah penarik itu sendiri (itu adalah, hal ini tidak akan menyebabkan perubahan pada “iklim”).

Pernyataan 1 saja tidak cukup di sini, karena penarik yang berbeda dapat hidup berdampingan, termasuk penarik dengan dimensi berbeda dalam satu sistem (yang, dengan demikian, dapat melakukan gerakan “laminar” yang tenang pada kondisi awal tertentu dan gerakan “turbulen” yang penuh badai pada kondisi awal lainnya, tergantung pada keadaan awalnya).

Pengamatan eksperimental terhadap efek tersebut "hilangnya stabilitas dalam waktu lama" mengejutkan fisikawan untuk waktu yang lama, namun Kolmogorov menambahkan hal itu bahkan jika penarik berdimensi rendah tidak menghilang, turbulensi yang diamati mungkin tidak berubah jika ukuran zona tarik-menariknya berkurang secara signifikan seiring dengan meningkatnya bilangan Reynolds. Dalam hal ini, rezim laminar, meskipun pada prinsipnya mungkin (dan bahkan stabil), secara praktis tidak diamati karena sangat kecilnya area tarik-menariknya: Gangguan yang sudah kecil, tetapi selalu ada dalam percobaan, dapat membawa sistem keluar dari zona tarik-menarik penarik ini ke zona tarik-menarik keadaan tunak lain yang sudah bergolak, yang akan diamati.

Diskusi ini mungkin juga menjelaskan pengamatan aneh ini: Beberapa eksperimen hidrodinamika terkenal pada abad ke-19 tidak dapat diulangi pada paruh kedua abad ke-20, meskipun upaya telah dilakukan untuk menggunakan peralatan yang sama di laboratorium yang sama. Namun ternyata eksperimen lama (dengan hilangnya stabilitas yang berkepanjangan) dapat terulang jika dilakukan bukan di laboratorium lama, tetapi di tambang bawah tanah.

Faktanya adalah bahwa lalu lintas jalan raya modern telah sangat meningkatkan besarnya gangguan yang “tidak terlihat”, yang mulai memberikan dampak (karena kecilnya zona tarik-menarik dari penarik “laminar” yang tersisa).

Berbagai upaya yang dilakukan oleh banyak ahli matematika untuk mengkonfirmasi hipotesis Kolmogorov 1 dan 2 (atau setidaknya hipotesis pertama) dengan bukti sejauh ini hanya membuahkan hasil. perkiraan dimensi penarik dalam bilangan Reynolds dari atas: dimensi ini tidak dapat menjadi terlalu besar selama viskositas mencegahnya.

Dimensi diperkirakan dalam karya ini dengan fungsi pangkat bilangan Reynolds (yaitu, derajat viskositas negatif), dan eksponennya bergantung pada dimensi ruang tempat aliran terjadi (dalam aliran tiga dimensi, turbulensi adalah lebih kuat dari pada masalah pesawat).

Adapun bagian yang paling menarik dari masalah ini, yaitu memperkirakan dimensi dari bawah (setidaknya untuk beberapa penarik, seperti dalam Hipotesis 1, atau bahkan untuk semua, seperti dalam Hipotesis 2, yang lebih diragukan oleh Kolmogorov), di sini matematikawan tidak mampu tinggi, karena menurut kebiasaannya, menggantikan masalah ilmu alam nyata dengan rumusan abstrak aksiomatik formalnya dengan definisinya yang tepat namun berbahaya.

Faktanya adalah bahwa konsep aksiomatik dari suatu penarik dirumuskan oleh para ahli matematika dengan hilangnya beberapa sifat dari mode gerak pembatas fisik, yang konsep matematikanya (tidak didefinisikan secara ketat) mereka coba aksiomakan dengan memperkenalkan istilah "penarik".

Mari kita perhatikan, misalnya, sebuah penarik berbentuk lingkaran (yang menjadi tempat semua lintasan dinamika terdekat bergerak secara spiral).

Pada lingkaran tarik-menarik tetangga ini, biarkan dinamikanya diatur sebagai berikut: dua titik berlawanan (di ujung-ujung diameter yang sama) tidak bergerak, tetapi salah satunya adalah penarik (menarik tetangga), dan yang lainnya adalah tolakan (menolak). mereka).

Misalnya, kita dapat membayangkan sebuah lingkaran yang berdiri secara vertikal, yang dinamikanya menggeser titik mana pun di sepanjang lingkaran ke bawah, kecuali kutub-kutub tetap yang tersisa:

penarik di bagian bawah dan repulsor di bagian atas.

Pada kasus ini, Meskipun terdapat lingkaran penarik satu dimensi dalam sistem, kondisi tunak fisik hanya akan berada pada posisi stasioner yang stabil.(penarik yang lebih rendah pada model “vertikal” di atas).

Di bawah gangguan kecil yang sewenang-wenang, gerakan pertama-tama akan berevolusi menuju lingkaran penarik. Namun dinamika internal pada penarik ini akan berperan, dan keadaan sistem, akan pada akhirnya, mendekati penarik berdimensi nol “laminar”; penarik satu dimensi, meskipun ada secara matematis, tidak cocok untuk peran “rezim keadaan tunak”.

Salah satu cara untuk menghindari masalah seperti itu adalah pertimbangkan hanya penarik minimal sebagai penarik, yaitu penarik yang tidak mengandung penarik yang lebih kecil. Hipotesis Kolmogorov merujuk secara tepat pada penarik tersebut, jika kita ingin memberikan rumusan yang tepat kepada mereka.

Namun belum ada yang terbukti mengenai perkiraan dimensi dari bawah, meskipun banyak publikasi yang menyebutkan demikian.

Bahaya pendekatan deduktif-aksiomatik terhadap matematika Banyak pemikir sebelum Kolmogorov memahami dengan jelas hal ini. Matematikawan Amerika pertama J. Sylvester menulis hal itu Ide-ide matematika tidak boleh membatu, karena mereka kehilangan kekuatan dan penerapannya ketika mencoba melakukan aksiomatisasi sifat-sifat yang diinginkan. Ia mengatakan bahwa gagasan harus dianggap seperti air di sungai: kita tidak pernah memasuki air yang persis sama, meskipun arungannya sama. Demikian pula, sebuah ide dapat memunculkan banyak aksioma yang berbeda dan tidak setara, yang masing-masing tidak mencerminkan ide tersebut secara keseluruhan.

Sylvester sampai pada semua kesimpulan ini dengan memikirkan, dalam kata-katanya, “fenomena intelektual aneh yang pembuktian suatu pernyataan yang lebih umum sering kali ternyata lebih sederhana daripada pembuktian kasus-kasus khusus yang dikandungnya.” Sebagai contoh, ia membandingkan geometri ruang vektor dengan analisis fungsional (yang belum ditetapkan pada saat itu).

Ide Sylvester ini banyak digunakan di masa depan. Misalnya, inilah yang menjelaskan keinginan Bourbaki untuk menjadikan semua konsep seumum mungkin. Mereka bahkan menggunakan di dalam Di Prancis, kata “lebih” dalam arti yang di negara lain (yang mereka sebut “Anglo-Saxon”) dinyatakan dengan kata “lebih besar dari atau sama dengan”, karena di Prancis mereka menganggap konsep yang lebih umum “> =" menjadi yang utama, dan yang lebih spesifik “>” - contoh " tidak penting". Oleh karena itu, mereka mengajari siswa bahwa nol adalah bilangan positif (juga bilangan negatif, non-positif, non-negatif, dan natural), yang tidak dikenali di tempat lain.

Namun tampaknya mereka tidak sampai pada kesimpulan Sylvester tentang tidak dapat diterimanya teori fosilisasi (setidaknya di Paris, di perpustakaan Ecole Normale Superieure, halaman-halaman Koleksi Karyanya ini tidak dipotong ketika saya baru saja menemukannya).

Saya tidak dapat meyakinkan “para ahli” matematika untuk menafsirkan dengan benar hipotesis tentang pertumbuhan dimensi penarik, karena mereka, seperti pengacara, menolak saya dengan referensi formal terhadap kode hukum dogmatis yang ada yang berisi “definisi formal yang tepat” dari penarik orang bodoh.

Kolmogorov, sebaliknya, tidak pernah peduli dengan isi definisi seseorang, tetapi memikirkan inti permasalahannya 2.

2 Setelah memecahkan masalah Birkhoff tentang stabilitas titik tetap sistem non-resonansi pada tahun 1960, saya menerbitkan solusi untuk masalah ini pada tahun 1961. Setahun kemudian, Yu Moser menggeneralisasi hasil saya, membuktikan stabilitas pada resonansi orde lebih besar dari empat. Baru pada saat itulah saya menyadari bahwa bukti saya membuktikan fakta yang lebih umum ini, namun, karena terhipnotis oleh rumusan definisi non-resonansi Birkhoff, saya tidak menulis bahwa saya telah membuktikan lebih dari yang diklaim Birkhoff.

Suatu hari dia menjelaskan kepada saya bahwa dia mengemukakan teori kohomologi topologinya sama sekali tidak secara kombinatorial atau aljabar, tetapi dengan memikirkan aliran fluida dalam hidrodinamika, kemudian tentang medan magnet: dia ingin memodelkan fisika ini dalam kombinatorial. situasi kompleks abstrak dan melakukannya.

Pada tahun-tahun itu, saya dengan naif mencoba menjelaskan kepada Kolmogorov apa yang terjadi dalam topologi selama dekade di mana dia memperoleh semua pengetahuannya tentang topologi hanya dari P. S. Aleksandrov. Karena isolasi ini, Kolmogorov tidak tahu apa-apa tentang topologi homotopi; dia meyakinkanku akan hal itu "urutan spektral terkandung dalam karya Pavel Sergeevich di Kazan 1942 di tahun ini", dan upaya untuk menjelaskan kepadanya apa urutan sebenarnya tidak lebih berhasil daripada upaya naif saya untuk menempatkannya di ski air atau menempatkannya di atas sepeda, penjelajah dan pemain ski hebat ini.

Namun, yang mengejutkan saya adalah penilaian tinggi terhadap kata-kata Kolmogorov tentang kohomologi yang diberikan oleh seorang pakar ketat, Vladimir Abramovich Rokhlin. Dia menjelaskan kepada saya, sama sekali tidak kritis, bahwa kata-kata Kolmogorov ini berisi, pertama, penilaian yang sangat benar tentang hubungan antara dua pencapaiannya (terutama sulit jika, seperti di sini, kedua pencapaian tersebut luar biasa), dan kedua, pandangan ke depan yang cerdas tentang arti besar operasi kohomologi.

Dari semua pencapaian topologi modern, Kolmogorov paling menghargai bidang Milnor, yang dibicarakan pada tahun 1961 di Kongres Matematika Seluruh Serikat di Leningrad. Kolmogorov bahkan membujuk saya (yang saat itu masih mahasiswa pascasarjana) untuk memasukkan bidang-bidang ini ke dalam rencana pascasarjana saya, yang memaksa saya untuk mulai mempelajari topologi diferensial dari Rokhlin, Fuchs dan Novikov (sebagai akibatnya saya bahkan segera menjadi lawan dari Ph.D. yang terakhir. .D. tesis tentang struktur terdiferensiasi pada produk bola).

Ide Kolmogorov adalah menggunakan bola Milnor untuk membuktikan bahwa fungsi beberapa variabel tidak dapat diwakili oleh superposisi dalam soal Hilbert ke-13 (mungkin untuk fungsi aljabar), tapi saya tidak tahu satupun publikasinya tentang topik ini atau rumusan hipotesisnya .

Lingkaran ide Kolmogorov lainnya yang kurang dikenal berhubungan dengan kontrol optimal sistem dinamis.

Tugas paling sederhana dari lingkaran ini adalah memaksimalkan di suatu titik turunan pertama dari suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu interval atau lingkaran, dengan mengetahui batas atas modul dari fungsi itu sendiri dan turunan keduanya. Turunan kedua mencegah turunan pertama agar tidak segera padam, dan jika turunan pertama terlalu besar, fungsinya melampaui batasan yang diberikan.

Mungkin, Hadamard adalah orang pertama yang mempublikasikan solusi masalah ini pada turunan kedua, dan kemudian Littlewood menemukannya kembali saat mengerjakan lintasan artileri. Kolmogorov, tampaknya, tidak mengetahui publikasi salah satu publikasi tersebut, dan memutuskan masalah memperkirakan dari atas setiap turunan perantara melalui nilai maksimum modul fungsi terdiferensiasi dan turunan orde tinggi (tetap).

Ide bagus Kolmogorov adalah melakukan hal itu secara eksplisit menunjukkan fungsi ekstrem, seperti polinomial Chebyshev (yang membuktikan ketidaksetaraan menjadi persamaan). Dan agar fungsinya menjadi ekstrim, dia secara alami dapat menebaknya nilai turunan tertinggi harus selalu dipilih menjadi nilai absolut maksimum, hanya mengubah tandanya.

Hal ini membawanya ke serangkaian fitur khusus yang luar biasa. Fungsi nol dari deret ini adalah tanda sinus argumen (di mana pun memiliki modulus maksimum). Fungsi berikutnya, yang pertama, adalah antiturunan dari nol (yaitu, sudah kontinu "saw", turunannya mempunyai modulus maksimum dimana-mana). Fungsi selanjutnya diperoleh masing-masing dari fungsi sebelumnya dengan integrasi yang sama (menambah jumlah turunannya sebanyak satu). Anda hanya perlu memilih konstanta integrasi sehingga integral dari fungsi antiturunan yang dihasilkan selama periode tersebut selalu sama dengan nol (maka semua fungsi yang dibangun akan bersifat periodik).

Rumus eksplisit untuk fungsi polinomial sepotong-sepotong yang dihasilkan cukup rumit (integrasinya diperkenalkan oleh konstanta rasional yang diasosiasikan bahkan dengan bilangan Bernoulli).

Nilai fungsi yang dibangun dan turunannya diberikan oleh konstanta dalam perkiraan daya Kolmogorov (memperkirakan modulus turunan perantara dari atas melalui produk pangkat rasional maksimum modulus fungsi dan turunan tertinggi). Eksponen rasional yang ditunjukkan mudah ditebak dari pertimbangan kesamaan, kembali ke hukum kesamaan Leonardo da Vinci dan teori turbulensi Kolmogorov, bahwa kombinasi tersebut seharusnya tidak berdimensi, karena jelas (setidaknya dari Notasi Leibniz) bagaimana turunan dari ordo yang berbeda berperilaku ketika satuan berubah Argumen dan pengukuran fungsi. Misalnya, untuk soal Hadamard, kedua eksponen rasional sama dengan setengah, sehingga kuadrat turunan pertama diperkirakan dari atas dengan hasil kali maksimum modulus fungsi itu sendiri dan turunan keduanya (dengan koefisien bergantung pada panjang segmen atau lingkaran di mana fungsi tersebut dipertimbangkan).

Lebih mudah untuk membuktikan semua perkiraan ini daripada menghasilkan fungsi ekstrem yang dijelaskan di atas (dan menyampaikan, antara lain, teorema Gauss: probabilitas pecahan yang tidak dapat direduksi) hal/q dengan pembilang dan penyebut bilangan bulat sama dengan 6/p 2, yaitu sekitar 2/3).

Dalam kaitannya dengan teori manajemen saat ini, Strategi yang dipilih oleh Kolmogorov disebut “big bang”: parameter kontrol harus selalu dipilih agar memiliki nilai ekstrem, moderasi apa pun hanya merugikan.

Adapun persamaan diferensial Hamilton untuk mengubah pilihan nilai ekstrem ini dari banyak kemungkinan seiring waktu, Kolmogorov mengetahuinya dengan baik, namun menyebutnya sebagai prinsip Huygens (yang benar-benar setara dengan persamaan ini dan dari situ Hamilton memperoleh persamaannya dengan berpindah dari amplop ke diferensial). Kolmogorov bahkan menunjukkan kepada saya, yang saat itu masih mahasiswa, hal itu deskripsi terbaik tentang geometri prinsip Huygens ini terdapat dalam buku teks mekanika Whittaker, di mana saya mempelajarinya, dan dalam bentuk aljabar yang lebih rumit ada dalam teori “Transformasi Berurung” oleh Sophus Lie (sebagai gantinya saya mempelajari teori transformasi kanonik dari “Sistem Dinamis” Birkhoff dan yang sekarang disebut geometri kontak ).

Menelusuri asal-usul matematika modern dalam karya-karya klasik biasanya tidak mudah, terutama karena adanya perubahan terminologi yang diterima sebagai ilmu baru. Misalnya, hampir tidak ada yang memperhatikan bahwa apa yang disebut teori Poisson manifold telah dikembangkan oleh Jacobi. Faktanya adalah bahwa Jacobi mengikuti jalur varietas aljabar - varietas, dan bukan varietas halus - manifold. Yakni, dia tertarik pada variasi orbit sistem dinamik Hamilton. Sebagai objek topologi atau halus, ia memiliki kekhasan dan bahkan patologi yang lebih tidak menyenangkan (“non-Hausdorffity” dan sejenisnya) dengan belitan orbit (kurva fase dari sistem dinamis yang kompleks).

Namun aljabar fungsi pada “manifold” ini (yang mungkin buruk) telah terdefinisi dengan baik: ia hanyalah aljabar integral pertama dari sistem aslinya. Berdasarkan teorema Poisson, braket Poisson dari dua integral pertama juga merupakan integral pertama. Oleh karena itu, dalam aljabar integral, selain perkalian, ada operasi bilinear lain - braket Poisson.

Interaksi operasi-operasi ini (perkalian dan tanda kurung) dalam ruang fungsi pada manifold halus tertentu inilah yang menjadikannya manifold Poisson. Saya melewatkan rincian formal definisinya (tidak rumit), terutama karena tidak semuanya terpenuhi dalam contoh yang menarik perhatian Jacobi, di mana manifold Poisson tidak mulus maupun Hausdorff.

Dengan demikian, Teori Jacobi berisi studi tentang varietas yang lebih umum dengan singularitas daripada varietas halus Poisson modern, dan terlebih lagi, teori ini dibangun olehnya dalam gaya geometri aljabar cincin dan cita-cita, daripada geometri diferensial submanifold.

Mengikuti saran Sylvester, spesialis manifold Poisson, tidak membatasi diri pada aksiomatiknya, harus kembali ke kasus yang lebih umum dan lebih menarik, yang telah dipertimbangkan oleh Jacobi. Tetapi Sylvester tidak melakukan ini (terlambat, seperti yang dia katakan, untuk kapal yang berangkat ke Baltimore), dan para ahli matematika di masa sekarang sepenuhnya tunduk pada perintah para aksiomatis.

Kolmogorov sendiri, setelah memecahkan masalah estimasi atas untuk turunan perantara, memahami bahwa ia dapat menyelesaikan banyak masalah optimasi lainnya dengan menggunakan teknik yang sama dari Huygens dan Hamilton, tetapi ia tidak melakukan ini, terutama ketika Pontryagin, yang selalu ia coba bantu, menerbitkan "prinsip maksimum" -nya, yang pada dasarnya merupakan kasus khusus dari prinsip Huygens yang sama tentang geometri kontak yang terlupakan, namun diterapkan pada masalah yang tidak terlalu umum.

Kolmogorov dengan tepat berpendapat bahwa Pontryagin tidak memahami hubungan ini dengan prinsip Huygens, atau hubungan teorinya dengan karya Kolmogorov yang jauh lebih awal mengenai perkiraan turunan. Oleh karena itu, karena tidak ingin mengganggu Pontryagin, dia tidak menulis di mana pun tentang hubungan ini, yang dia ketahui dengan baik.

Tapi sekarang, menurut saya, hal ini sudah bisa dikatakan, dengan harapan seseorang dapat menggunakan koneksi ini untuk menemukan hasil baru.

Penting untuk dicatat bahwa ketidaksetaraan Kolmogorov antara turunan menjadi dasar pencapaian luar biasa Yu Moser dalam apa yang disebut teori KAM (Kolmogorov, Arnold, Moser), yang memungkinkan dia untuk mentransfer hasil Kolmogorov tahun 1954 ke tori invarian sistem Hamiltonian analitik. menjadi hanya tiga ratus tiga puluh tiga kali sistem terdiferensiasi. Hal ini terjadi pada tahun 1962, dengan penemuan Moser atas kombinasi pemulusan Nash yang luar biasa dan metode konvergensi yang dipercepat Kolmogorov.

Sekarang jumlah turunan yang diperlukan untuk pembuktian telah dikurangi secara signifikan (terutama oleh J. Mather), sehingga tiga ratus tiga puluh tiga turunan yang diperlukan dalam masalah pemetaan cincin dua dimensi telah dikurangi menjadi tiga (sementara contoh tandingan telah telah ditemukan untuk dua turunan).

Menariknya, setelah kemunculan karya Moser, “ahli matematika” Amerika mencoba mempublikasikan “generalisasi teorema Moser ke sistem analitis” (yang generalisasinya hanyalah teorema Kolmogorov yang diterbitkan sepuluh tahun sebelumnya, yang berhasil digeneralisasikan oleh Moser). Namun, Moser dengan tegas mengakhiri upaya untuk mengaitkan hasil klasik Kolmogorov dengan orang lain (namun dengan tepat mencatat bahwa Kolmogorov tidak pernah menerbitkan presentasi rinci tentang buktinya).

Tampak bagi saya bahwa bukti yang diterbitkan oleh Kolmogorov dalam sebuah catatan di DAN cukup jelas (walaupun dia menulis lebih banyak untuk Poincaré daripada untuk Hilbert), berbeda dengan bukti Moser, di mana saya tidak memahami satu bagian pun. Saya bahkan merevisinya dalam ulasan saya pada tahun 1963 tentang teori Moser yang luar biasa. Moser kemudian menjelaskan kepada saya apa yang dimaksudnya di tempat yang tidak jelas ini, tetapi saya masih tidak yakin apakah penjelasan tersebut dipublikasikan dengan benar (dalam revisi saya, saya harus memilih S < e/3, а не e/2, как указывалось в непонятном месте, вызвавшем затруднения не только у меня, но и у других читателей и допускающем неправильное истолкование неясно сказанного).

Hal ini juga bersifat instruktif "Metode konvergensi yang dipercepat Kolmogorov"(dikaitkan dengan benar oleh Kolmogorov ke Newton) digunakan untuk tujuan serupa dalam menyelesaikan persamaan nonlinier oleh A. Cartan sepuluh tahun sebelum Kolmogorov, dalam membuktikan apa yang sekarang disebut teorema A teori balok. Kolmogorov tidak tahu apa-apa tentang hal ini, tetapi Cartan menunjukkan hal ini kepada saya pada tahun 1965, dan yakin bahwa Kolmogorov bisa saja merujuk pada Cartan (walaupun situasinya dalam teori balok agak lebih sederhana, karena ketika memecahkan masalah yang dilinearisasi tidak ada hal mendasar dalam teori balok). mekanika langit adalah kesulitan resonansi dan penyebut kecil, yang terdapat di Kolmogorov dan Poincaré). Pendekatan Kolmogorov bukan matematis, tetapi lebih luas terhadap penelitiannya dengan jelas dimanifestasikan dalam dua karyanya dengan rekan penulis: dalam sebuah artikel dengan M.A. Leontovich tentang area sekitar lintasan Brown dan dalam artikel “KPP” (Kolmogorov , Petrovsky dan Piskunov) pada kecepatan rambat gelombang nonlinier

Dalam kedua kasus tersebut, karya tersebut berisi rumusan fisik yang jelas dari masalah ilmu pengetahuan alam dan teknik matematika yang kompleks dan non-sepele untuk menyelesaikannya.

Dan dalam kedua kasus tersebut Kolmogorov tidak melakukan bagian matematika, tetapi bagian fisik dari pekerjaan tersebut, terkait, pertama-tama, dengan perumusan masalah dan penurunan persamaan yang diperlukan, sedangkan penelitian mereka dan pembuktian teorema terkait adalah milik rekan penulis.

Dalam kasus asimtotik Brown, teknik matematika yang sulit ini melibatkan studi integral sepanjang jalur yang dapat dideformasi pada permukaan Riemann, dengan mempertimbangkan deformasi kompleks dari kontur integrasi yang diperlukan ketika mengubah parameter, yaitu, apa yang sekarang disebut “Picard -Teori Lefschetz” atau “teori konektivitas Gauss-Manin”.