Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan dan pertidaksamaan eksponensial. Persamaan eksponensial
Metode penyelesaian sistem persamaan
Untuk memulainya, mari kita ingat secara singkat metode apa saja yang umumnya ada untuk menyelesaikan sistem persamaan.
Ada empat cara utama solusi sistem persamaan:
Metode substitusi: ambil salah satu persamaan yang diberikan dan nyatakan $y$ dalam bentuk $x$, kemudian $y$ disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, dari mana variabel $x.$ ditemukan. Setelah ini, kita dapat dengan mudah menghitung variabel $y.$
Metode penjumlahan: Dalam metode ini, Anda perlu mengalikan satu atau kedua persamaan dengan angka sedemikian rupa sehingga ketika Anda menjumlahkan keduanya, salah satu variabelnya “hilang”.
Metode grafis: kedua persamaan sistem digambarkan pada bidang koordinat dan ditemukan titik potongnya.
Metode memperkenalkan variabel baru: dalam metode ini kita mengganti beberapa ekspresi untuk menyederhanakan sistem, dan kemudian menggunakan salah satu metode di atas.
Sistem persamaan eksponensial
Definisi 1
Sistem persamaan yang terdiri dari persamaan eksponensial disebut sistem persamaan eksponensial.
Kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem persamaan eksponensial menggunakan contoh.
Contoh 1
Selesaikan sistem persamaan
Gambar 1.
Larutan.
Kami akan menggunakan metode pertama untuk menyelesaikan sistem ini. Pertama, mari kita nyatakan $y$ pada persamaan pertama dalam bentuk $x$.
Gambar 2.
Mari kita substitusikan $y$ ke persamaan kedua:
\ \ \[-2-x=2\] \ \
Menjawab: $(-4,6)$.
Contoh 2
Selesaikan sistem persamaan
Gambar 3.
Larutan.
Sistem ini setara dengan sistem
Gambar 4.
Mari kita terapkan metode keempat untuk menyelesaikan persamaan. Misalkan $2^x=u\ (u >0)$, dan $3^y=v\ (v >0)$, kita peroleh:
Gambar 5.
Mari kita selesaikan sistem yang dihasilkan menggunakan metode penjumlahan. Mari kita jumlahkan persamaannya:
\ \
Kemudian dari persamaan kedua, kita mendapatkannya
Kembali ke penggantinya, saya menerima sistem persamaan eksponensial baru:
Gambar 6.
Kita mendapatkan:
Gambar 7.
Menjawab: $(0,1)$.
Sistem pertidaksamaan eksponensial
Definisi 2
Sistem pertidaksamaan yang terdiri dari persamaan eksponensial disebut sistem pertidaksamaan eksponensial.
Kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem pertidaksamaan eksponensial dengan menggunakan contoh.
Contoh 3
Memecahkan sistem kesenjangan
Angka 8.
Larutan:
Sistem ketidaksetaraan ini setara dengan sistem
Gambar 9.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama, ingatlah teorema tentang kesetaraan pertidaksamaan eksponensial berikut ini:
Teorema 1. Pertidaksamaan $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, dimana $a >0,a\ne 1$ ekuivalen dengan himpunan dua sistem
\ \ \
Menjawab: $(-4,6)$.
Contoh 2
Selesaikan sistem persamaan
Gambar 3.
Larutan.
Sistem ini setara dengan sistem
Gambar 4.
Mari kita terapkan metode keempat untuk menyelesaikan persamaan. Misalkan $2^x=u\ (u >0)$, dan $3^y=v\ (v >0)$, kita peroleh:
Gambar 5.
Mari kita selesaikan sistem yang dihasilkan menggunakan metode penjumlahan. Mari kita jumlahkan persamaannya:
\ \
Kemudian dari persamaan kedua, kita mendapatkannya
Kembali ke penggantinya, saya menerima sistem persamaan eksponensial baru:
Gambar 6.
Kita mendapatkan:
Gambar 7.
Menjawab: $(0,1)$.
Sistem pertidaksamaan eksponensial
Definisi 2
Sistem pertidaksamaan yang terdiri dari persamaan eksponensial disebut sistem pertidaksamaan eksponensial.
Kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem pertidaksamaan eksponensial dengan menggunakan contoh.
Contoh 3
Memecahkan sistem kesenjangan
Angka 8.
Larutan:
Sistem ketidaksetaraan ini setara dengan sistem
Gambar 9.
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama, ingatlah teorema tentang kesetaraan pertidaksamaan eksponensial berikut ini:
Teorema 1. Pertidaksamaan $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, dimana $a >0,a\ne 1$ ekuivalen dengan himpunan dua sistem
\}
