Letak tiga titik pada satu garis lurus. Posisi relatif suatu garis dan suatu titik

Artikel tersebut membahas tentang konsep garis lurus pada bidang datar. Mari kita lihat istilah dasar dan sebutannya. Mari kita bekerja dengan posisi relatif sebuah garis dan sebuah titik dan dua garis pada sebuah bidang. Mari kita bicara tentang aksioma. Terakhir, kita akan membahas tentang cara dan cara mendefinisikan garis lurus pada bidang.

Garis lurus pada bidang - konsep

Pertama, Anda perlu memiliki pemahaman yang jelas tentang apa itu pesawat. Setiap permukaan suatu benda dapat digolongkan sebagai bidang, hanya saja ia berbeda dengan benda dalam hal ketidakterbatasannya. Jika kita membayangkan bahwa bidang tersebut adalah sebuah meja, maka dalam kasus kita bidang tersebut tidak memiliki batas, tetapi akan berukuran sangat besar.

Jika Anda menyentuh meja dengan pensil, akan ada tanda yang tersisa, yang bisa disebut “titik”. Dengan demikian, kita mendapat gambaran tentang suatu titik pada bidang tersebut.

Mari kita perhatikan konsep garis lurus pada bidang. Jika Anda menggambar garis lurus pada selembar kertas, maka garis itu akan tampak dengan panjang yang terbatas. Kita tidak mendapatkan garis lurus secara keseluruhan, tetapi hanya sebagian saja, karena sebenarnya tidak ada ujungnya, seperti halnya pesawat terbang. Oleh karena itu, penggambaran garis dan bidang pada buku catatan bersifat formal.

Kami memiliki aksioma:

Definisi 1

Titik dapat ditandai pada setiap garis lurus dan pada setiap bidang.

Poin ditunjukkan dalam huruf Latin besar dan kecil. Misalnya A dan D atau a dan d.

Untuk sebuah titik dan sebuah garis, hanya dua kemungkinan lokasi yang diketahui: sebuah titik pada sebuah garis, dengan kata lain, sebuah garis yang melewatinya, atau sebuah titik yang tidak berada pada sebuah garis, yaitu sebuah garis yang tidak melaluinya.

Untuk menunjukkan apakah suatu titik termasuk dalam bidang atau titik pada suatu garis, gunakan tanda “∈”. Jika diberikan syarat bahwa titik A terletak pada garis a, maka bentuk penulisannya sebagai berikut A ∈ a. Dalam hal titik A bukan miliknya, maka entri lain A ∉ a.

Penilaian yang adil:

Definisi 2

Melalui dua titik mana pun yang terletak pada suatu bidang, ada satu garis lurus yang melaluinya.

Pernyataan ini dianggap akisoma sehingga tidak memerlukan pembuktian. Jika Anda mempertimbangkannya sendiri, Anda dapat melihat bahwa dengan dua titik yang ada hanya ada satu opsi untuk menghubungkannya. Jika kita mempunyai dua titik A dan B, maka garis yang melaluinya dapat disebut dengan huruf-huruf tersebut, misalnya garis A B. Perhatikan gambar di bawah ini.

Garis lurus yang terletak pada suatu bidang mempunyai jumlah titik yang banyak. Dari sinilah aksioma tersebut berasal:

Definisi 3

Jika dua titik suatu garis terletak pada suatu bidang, maka semua titik lain pada garis tersebut termasuk dalam bidang tersebut.

Himpunan titik-titik yang terletak di antara dua titik tertentu disebut segmen lurus. Ia memiliki awal dan akhir. Penunjukan dua huruf telah diperkenalkan.

Jika diketahui titik A dan P merupakan ujung-ujung suatu ruas, maka peruntukannya berbentuk P A atau A P. Karena penunjukan ruas dan garis itu berhimpitan, maka disarankan untuk menambahkan atau mengakhiri kata “segmen ", "garis lurus".

Notasi singkat untuk keanggotaan melibatkan penggunaan tanda ∈ dan ∉. Untuk menetapkan lokasi segmen relatif terhadap garis tertentu, gunakan ⊂. Jika syaratnya menyatakan bahwa ruas A P termasuk dalam garis b, maka entrinya akan terlihat seperti ini: A P ⊂ b.

Kasus di mana tiga titik secara bersamaan berada pada satu garis terjadi. Hal ini berlaku jika satu titik terletak di antara dua titik lainnya. Pernyataan ini dianggap sebagai aksioma. Jika diketahui titik A, B, C yang berada pada garis yang sama, dan titik B terletak di antara A dan C, maka semua titik yang diberikan terletak pada garis yang sama, karena terletak pada kedua sisi titik B.

Sebuah titik membagi suatu garis menjadi dua bagian yang disebut sinar. Kita mempunyai aksioma:

Definisi 4

Setiap titik O yang terletak pada suatu garis lurus membaginya menjadi dua sinar, dengan dua titik pada satu sinar terletak pada salah satu sisi sinar relatif terhadap titik O, dan titik lainnya terletak pada sisi sinar yang lain.

Susunan garis lurus pada suatu bidang dapat berbentuk dua keadaan.

Definisi 5

bertepatan.

Peluang ini muncul ketika garis lurus mempunyai titik-titik yang sama. Berdasarkan aksioma yang ditulis di atas, kita mendapatkan bahwa sebuah garis lurus melalui dua titik dan hanya satu titik. Artinya, jika 2 garis lurus melalui 2 titik tertentu, maka kedua titik tersebut berimpit.

Definisi 6

Dua garis lurus pada sebuah bidang bisa menyeberang.

Kasus ini menunjukkan bahwa ada satu titik persekutuan, yang disebut perpotongan garis. Persimpangan tersebut ditandai dengan tanda ∩. Jika terdapat notasi berbentuk a ∩ b = M, maka garis tertentu a dan b berpotongan di titik M.

Ketika garis lurus berpotongan, kita berurusan dengan sudut yang dihasilkan. Bagian di mana garis-garis lurus berpotongan pada suatu bidang membentuk sudut 90 derajat, yaitu sudut siku-siku, akan mendapat pertimbangan tersendiri. Maka garis-garis tersebut disebut tegak lurus Bentuk penulisan dua garis yang tegak lurus adalah sebagai berikut: a ⊥ b yang artinya garis a tegak lurus terhadap garis b.

Definisi 7

Dua garis lurus pada sebuah bidang dapat berupa paralel.

Hanya jika dua garis tertentu tidak mempunyai perpotongan yang sama, dan oleh karena itu tidak ada titik, maka kedua garis tersebut sejajar. Notasi yang digunakan dapat ditulis untuk suatu paralelisme garis a dan b: a ∥ b.

Garis lurus pada suatu bidang dianggap bersama-sama dengan vektor. Yang paling penting adalah vektor nol yang terletak pada suatu garis tertentu atau pada salah satu garis sejajar; vektor-vektor tersebut disebut vektor arah suatu garis. Perhatikan gambar di bawah ini.

Vektor bukan nol yang terletak pada garis yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu disebut vektor garis normal. Penjelasan rinci terdapat pada artikel tentang vektor normal suatu garis pada bidang. Perhatikan gambar di bawah ini.

Jika ada 3 garis pada sebuah bidang, letaknya bisa sangat berbeda. Ada beberapa pilihan lokasinya: perpotongan semua, paralelisme, atau adanya titik perpotongan yang berbeda. Gambar tersebut menunjukkan perpotongan tegak lurus dua garis relatif terhadap satu.

Untuk melakukan ini, kami menyajikan faktor-faktor penting yang membuktikan posisi relatifnya:

• jika dua garis sejajar dengan garis ketiga, maka semuanya sejajar;
• jika dua garis tegak lurus terhadap garis ketiga, maka kedua garis tersebut sejajar;
• Jika pada suatu bidang suatu garis lurus memotong suatu garis sejajar, maka garis tersebut juga akan memotong garis sejajar lainnya.

Mari kita lihat ini di gambar.

Garis lurus pada suatu bidang dapat ditentukan dengan beberapa cara. Itu semua tergantung pada kondisi masalah dan apa yang menjadi dasar penyelesaiannya. Pengetahuan ini dapat membantu untuk praktis penyusunan garis lurus.

Definisi 8

Garis lurus ditentukan menggunakan dua titik tertentu yang terletak pada bidang.

Dari aksioma yang dipertimbangkan dapat disimpulkan bahwa melalui dua titik dimungkinkan untuk menggambar garis lurus dan, terlebih lagi, hanya satu titik saja. Jika sistem koordinat persegi panjang menentukan koordinat dua titik yang berbeda, maka persamaan garis lurus yang melalui dua titik tersebut dapat diperbaiki. Perhatikan gambar dimana kita mempunyai garis yang melalui dua titik.

Definisi 9

Garis lurus dapat didefinisikan melalui suatu titik dan garis yang sejajar.

Cara ini ada karena melalui suatu titik dapat ditarik garis lurus yang sejajar dengan suatu titik tertentu, dan hanya satu. Buktinya sudah diketahui dari pelajaran geometri di sekolah.

Jika suatu garis diberikan relatif terhadap sistem koordinat Kartesius, maka persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu yang sejajar dengan garis tertentu dapat dibuat. Mari kita perhatikan prinsip mendefinisikan garis lurus pada bidang.

Definisi 10

Garis lurus ditentukan melalui titik tertentu dan vektor arah.

Ketika garis lurus ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang, persamaan kanonik dan parametrik dapat dibuat pada bidang tersebut. Mari kita perhatikan pada gambar letak garis lurus dengan adanya vektor arah.

Poin keempat dalam menentukan garis lurus masuk akal jika titik yang dilaluinya harus ditarik dan garis lurus yang tegak lurus ditunjukkan. Dari aksioma yang kita dapatkan:

Definisi 11

Melalui suatu titik tertentu yang terletak pada suatu bidang, hanya satu garis lurus yang tegak lurus terhadap garis tersebut yang akan lewat.

Dan titik terakhir yang berkaitan dengan penentuan garis pada suatu bidang diberikan titik tertentu yang dilalui garis tersebut, dan dengan adanya vektor normal garis tersebut. Dengan mengetahui koordinat suatu titik yang terletak pada suatu garis tertentu dan koordinat vektor normalnya, persamaan umum garis tersebut dapat dituliskan.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Garis lurus di pesawat - informasi yang perlu.

Pada artikel ini kita akan membahas secara rinci salah satu konsep utama geometri - konsep garis lurus pada bidang. Pertama, mari kita definisikan istilah dan sebutan dasar. Selanjutnya kita akan membahas kedudukan relatif suatu garis dan suatu titik, serta dua garis pada suatu bidang, dan menyajikan aksioma-aksioma yang diperlukan. Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan cara menentukan garis lurus pada bidang dan memberikan ilustrasi grafis.

Navigasi halaman.

• Garis lurus pada bidang adalah sebuah konsep.
• Posisi relatif suatu garis dan suatu titik.
• Posisi relatif garis pada suatu bidang.
• Metode untuk menentukan garis lurus pada bidang.

Garis lurus pada bidang adalah sebuah konsep.

Sebelum memberikan konsep garis lurus pada bidang, ada baiknya Anda memahami terlebih dahulu apa itu bidang. Konsep pesawat memungkinkan Anda mendapatkan, misalnya, permukaan datar di atas meja atau dinding di rumah. Namun, harus diingat bahwa dimensi meja itu terbatas, dan bidangnya melampaui batas-batas ini hingga tak terhingga (seolah-olah kita memiliki meja yang besarnya sewenang-wenang).

Jika kita mengambil pensil yang diasah dengan baik dan menyentuhkan ujungnya ke permukaan “meja”, kita akan mendapatkan gambar sebuah titik. Inilah yang kami dapatkan representasi suatu titik pada bidang.

Sekarang Anda dapat melanjutkan ke konsep garis lurus pada bidang datar.

Letakkan selembar kertas bersih di atas permukaan meja (di pesawat). Untuk menggambar garis lurus, kita perlu mengambil penggaris dan menggambar garis dengan pensil sejauh ukuran penggaris dan lembaran kertas yang kita gunakan memungkinkan kita melakukannya. Perlu dicatat bahwa dengan cara ini kita hanya akan mendapatkan sebagian dari garis. Kita hanya bisa membayangkan seluruh garis lurus yang memanjang hingga tak terhingga.

Bagian atas halaman

Posisi relatif suatu garis dan suatu titik.

Kita harus mulai dengan aksioma: pada setiap garis lurus dan pada setiap bidang terdapat titik.

Poin biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital, misalnya poin A Dan F. Pada gilirannya, garis lurus dilambangkan dengan huruf latin kecil, misalnya garis lurus A Dan D.

Mungkin dua pilihan untuk posisi relatif suatu garis dan suatu titik pada bidang: titik tersebut terletak pada garis (dalam hal ini dikatakan juga garis melalui titik tersebut), atau titik tersebut tidak terletak pada garis (dikatakan juga bahwa titik tersebut bukan termasuk garis atau garis tersebut) garis tidak melalui titik).

Untuk menunjukkan bahwa suatu titik termasuk dalam suatu garis, digunakan lambang “ ”. Misalnya jika intinya A terletak pada garis lurus A, lalu kita bisa menulis. Jika intinya A bukan milik garis tersebut A, lalu tuliskan.

Pernyataan berikut ini benar: hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik mana pun.

Pernyataan ini hanyalah sebuah aksioma dan harus diterima sebagai fakta. Selain itu, ini cukup jelas: kita menandai dua titik di atas kertas, menerapkan penggaris pada titik tersebut dan menggambar garis lurus. Garis lurus yang melalui dua titik tertentu (misalnya melalui titik A Dan DI DALAM), dapat dilambangkan dengan dua huruf ini (dalam kasus kita, garis lurus AB atau VA).

Perlu dipahami bahwa pada garis lurus yang dibatasi pada suatu bidang terdapat banyak sekali titik-titik yang berbeda, dan semua titik tersebut terletak pada bidang yang sama. Pernyataan ini didasarkan pada aksioma: jika dua titik suatu garis terletak pada suatu bidang tertentu, maka semua titik pada garis tersebut terletak pada bidang tersebut.

Himpunan semua titik yang terletak di antara dua titik yang diberikan pada suatu garis, bersama dengan titik-titik tersebut, disebut segmen garis lurus atau sederhananya segmen. Titik-titik yang membatasi suatu ruas disebut ujung-ujung ruas tersebut. Suatu segmen dilambangkan dengan dua huruf yang bersesuaian dengan titik-titik ujung segmen tersebut. Misalnya saja poin A Dan DI DALAM adalah ujung-ujung suatu ruas, maka ruas tersebut dapat dilambangkan AB atau VA. Perlu diketahui bahwa sebutan untuk suatu segmen ini sama dengan sebutan untuk garis lurus. Untuk menghindari kebingungan, sebaiknya tambahkan kata “segmen” atau “lurus” pada sebutannya.

Untuk mencatat secara singkat apakah suatu titik tertentu termasuk atau tidak termasuk dalam suatu segmen tertentu, digunakan simbol yang sama. Untuk menunjukkan bahwa suatu segmen tertentu terletak atau tidak terletak pada suatu garis, gunakan simbol dan masing-masing. Misalnya jika segmen AB milik garis A, dapat dituliskan secara singkat.

Kita juga harus memikirkan kasus ketika tiga titik berbeda berada pada garis yang sama. Dalam hal ini, satu, dan hanya satu titik, terletak di antara dua titik lainnya. Pernyataan ini adalah aksioma lain. Biarkan poinnya A, DI DALAM Dan DENGAN terletak pada garis lurus yang sama, dan titik DI DALAM terletak di antara titik-titik tersebut A Dan DENGAN. Maka kita dapat mengatakan bahwa poinnya A Dan DENGAN berada pada sisi yang berlawanan dari titik tersebut DI DALAM. Bisa juga dikatakan poinnya DI DALAM Dan DENGAN titik-titiknya terletak pada satu sisi A, dan poinnya A Dan DI DALAM berbaring di satu sisi titik DENGAN.

Untuk melengkapi gambarannya, kita perhatikan bahwa setiap titik pada sebuah garis membagi garis ini menjadi dua bagian - dua balok. Untuk kasus ini aksioma diberikan: titik sembarang TENTANG, yang termasuk dalam suatu garis, membagi garis ini menjadi dua sinar, dan dua titik mana pun dari satu sinar terletak pada sisi yang sama dari titik tersebut TENTANG, dan dua titik yang sinarnya berbeda berada pada sisi yang berlawanan dari titik tersebut TENTANG.

Bagian atas halaman

Soal tes untuk §1.

Sifat dasar bangun geometri paling sederhana.

Pertanyaan 1. Berikan contoh bentuk geometris.
Menjawab: Contoh bentuk geometris: segitiga, persegi, lingkaran.

Pertanyaan 2. Sebutkan bangun-bangun geometri dasar pada bidang datar.
Menjawab: Bentuk geometri utama pada suatu bidang adalah titik dan garis lurus.

Pertanyaan 3. Bagaimana titik dan garis ditentukan?
Menjawab: Poin ditandai dengan huruf latin kapital: A, B, C, D, …. Garis lurus dilambangkan dengan huruf latin kecil: a, b, c, d, ….
Garis lurus dapat dilambangkan dengan dua titik yang terletak diatasnya. Misalnya, garis a pada Gambar 4 dapat diberi label AC, dan garis b dapat diberi label BC. Gambar.4

Pertanyaan 4. Merumuskan sifat-sifat dasar keanggotaan titik dan garis.
Menjawab: Apapun garisnya, ada titik-titik yang termasuk dalam garis tersebut dan ada titik-titik yang bukan termasuk dalam garis tersebut.
Melalui dua titik mana pun Anda dapat menggambar garis lurus, dan hanya satu.
Pertanyaan 5. Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruas garis yang berakhir pada titik-titik tersebut.
Menjawab: Ruas adalah bagian suatu garis yang terdiri dari semua titik pada garis tersebut yang terletak di antara dua titik tertentu. Titik-titik ini disebut ujung-ujung segmen. Sebuah segmen ditandai dengan menunjukkan ujungnya. Bila dikatakan atau ditulis: “segmen AB”, yang dimaksud adalah segmen yang ujungnya di titik A dan B.

Pertanyaan 6. Sebutkan sifat dasar letak titik-titik pada suatu garis lurus.
Menjawab: Dari tiga titik pada suatu garis, hanya satu yang terletak di antara dua titik lainnya.

Pertanyaan 7. Merumuskan sifat-sifat dasar segmen ukur.
Menjawab: Setiap segmen memiliki panjang tertentu yang lebih besar dari nol. Panjang suatu ruas sama dengan jumlah panjang bagian-bagian yang membaginya dengan salah satu titiknya.
Pertanyaan 8. Berapa jarak antara dua titik tertentu?
Menjawab: Panjang ruas AB disebut jarak antara titik A dan B.
Pertanyaan 9. Sifat apa yang dimiliki pembagian bidang menjadi dua setengah bidang?
Menjawab: Mempartisi sebuah bidang menjadi dua setengah bidang memiliki sifat sebagai berikut. Jika ujung-ujung suatu ruas berada pada setengah bidang yang sama, maka ruas tersebut tidak memotong garis. Jika ujung-ujung suatu ruas berada pada setengah bidang yang berbeda, maka ruas tersebut memotong suatu garis.

Pertanyaan 10. Merumuskan sifat dasar letak titik-titik relatif terhadap garis lurus pada suatu bidang.
Menjawab: Garis lurus membagi sebuah bidang menjadi dua setengah bidang.

Pertanyaan 11. Apa itu setengah garis atau sinar? Setengah garis manakah yang disebut saling melengkapi?
Menjawab: Setengah garis atau sinar adalah bagian dari suatu garis yang terdiri dari semua titik pada garis tersebut yang terletak pada salah satu sisi suatu titik tertentu. Titik ini disebut titik awal setengah garis. Setengah garis berbeda pada garis yang sama yang mempunyai titik pangkal yang sama disebut saling melengkapi.

Pertanyaan 12. Bagaimana cara menentukan setengah garis?
Menjawab: Garis setengah lurus, seperti garis lurus, ditandai dengan huruf Latin kecil.
Pertanyaan 13. Angka apa yang disebut sudut?
Menjawab: Sudut adalah bangun datar yang terdiri dari sebuah titik - titik sudut - dan dua garis setengah berbeda yang berasal dari titik ini - sisi-sisi sudut.

Pertanyaan 14. Bagaimana sudut ditunjukkan?
Menjawab: Suatu sudut ditentukan dengan menunjukkan titik sudutnya, atau dengan menunjukkan sisi-sisinya, atau dengan menunjukkan tiga titik: titik sudut dan dua titik pada sisi-sisi sudut. Kata "sudut" terkadang diganti dengan tanda.
Pertanyaan 15. Sudut manakah yang disebut sudut lurus?
Menjawab: Jika sisi-sisi suatu sudut merupakan tambahan setengah garis dari satu garis lurus, maka sudut tersebut disebut berkembang.

Pertanyaan 16. Jelaskan arti ungkapan: “Setengah garis melewati sisi-sisi suatu sudut.”
Menjawab: Kita dapat mengatakan bahwa suatu sinar melintas di antara sisi-sisi suatu sudut tertentu jika datang dari titik sudutnya dan memotong suatu ruas yang ujung-ujungnya berada pada sisi-sisi sudut tersebut.
Pertanyaan 17. Sudut diukur dalam satuan apa dan dengan alat apa? Jelaskan bagaimana pengukuran dilakukan.
Menjawab: Sudut diukur dalam derajat dengan menggunakan busur derajat.

Pertanyaan 18. Merumuskan sifat-sifat dasar pengukuran sudut.
Menjawab: Setiap sudut mempunyai besaran derajat tertentu yang lebih besar dari nol. Sudut putarnya adalah 180°. Besar derajat suatu sudut sama dengan jumlah besar derajat sudut-sudut yang membaginya dengan sinar apa pun yang lewat di antara sisi-sisinya.
Pertanyaan 19. Merumuskan sifat-sifat dasar penataan ruas dan sudut.
Menjawab: Pada setengah garis mana pun dari titik awalnya, Anda dapat memplot segmen dengan panjang tertentu, dan hanya satu. Dari setengah garis mana pun, ke dalam setengah bidang tertentu, Anda dapat menempatkan sudut dengan ukuran derajat tertentu kurang dari 180°, dan hanya satu.
Pertanyaan 20. Apa itu segitiga?
Menjawab: Segitiga adalah suatu bangun datar yang terdiri dari tiga titik yang tidak terletak pada satu garis, dan tiga ruas yang menghubungkan titik-titik tersebut secara berpasangan. Titik-titiknya disebut titik sudut segitiga, dan ruas-ruasnya disebut sisi-sisinya.

Pertanyaan 21. Berapa sudut segitiga pada suatu titik sudut tertentu?
Menjawab: Sudut segitiga ABC di titik sudut A adalah sudut yang dibentuk oleh setengah garis AB dan AC. Sudut-sudut segitiga pada titik sudut B dan C juga ditentukan.

Pertanyaan 22. Segmen manakah yang disebut sama?
Menjawab: Ruas-ruas disebut sama panjang jika panjangnya sama.
Pertanyaan 23. Sudut apa yang disebut sama besar?
Menjawab: Sudut disebut sama besar jika besar derajatnya sama.
Pertanyaan 24. Segitiga manakah yang disebut sama besar?
Menjawab: Segitiga disebut kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian sama besar dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dalam hal ini, sudut-sudut yang bersesuaian harus terletak berhadapan dengan sisi-sisi yang bersesuaian.
Pertanyaan 25. Bagaimana cara menandai sisi dan sudut yang bersesuaian pada gambar untuk segitiga sama kaki?
Menjawab: Dalam gambar, ruas-ruas yang sama biasanya ditandai dengan satu, dua atau tiga garis, dan sudut-sudut yang sama besar biasanya ditandai dengan satu, dua atau tiga busur.

Pertanyaan 26. Dengan menggunakan Gambar 23, jelaskan keberadaan segitiga yang sama besar dengan segitiga tersebut.
Menjawab: Misalkan kita mempunyai segitiga ABC dan sinar a (Gbr. 23, a). Mari kita pindahkan segitiga ABC sehingga titik sudut A sejajar dengan titik asal sinar a, titik sudut B pada sinar a, dan titik sudut C berada pada setengah bidang tertentu terhadap sinar a dan perpanjangannya. Kita akan menyatakan titik sudut segitiga kita pada posisi baru ini sebagai A 1, B 1, C 1 (Gbr. 23, b).
Segitiga A 1 B 1 C 1 sama dengan segitiga ABC.
Pertanyaan 27. Garis manakah yang disebut sejajar? Tanda apa yang digunakan untuk menunjukkan garis sejajar?
Menjawab: Dua garis disebut sejajar jika tidak berpotongan. Untuk menunjukkan kesejajaran garis digunakan tanda ||. a||b.

Pertanyaan 28. Sebutkan sifat-sifat utama garis sejajar.
Menjawab: Melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, pada bidang dapat ditarik paling banyak satu garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut.
Pertanyaan 29. Berikan contoh teorema tersebut.
Menjawab: Jika sebuah garis yang tidak melalui salah satu titik sudut suatu segitiga memotong salah satu sisinya, maka garis tersebut hanya memotong salah satu dari dua sisi lainnya.

Soal tes untuk §2. Sudut-sudut yang berdekatan dan vertikal.

Pertanyaan 1. Sudut apa yang disebut berdekatan?
Menjawab: Dua sudut disebut berdekatan jika kedua sudut tersebut mempunyai satu sisi yang sama, dan sisi-sisi yang lain dari sudut-sudut tersebut merupakan setengah garis yang saling berkomplemen.
Pada Gambar 31, sudut (a 1 b) dan (a 2 b) bertetangga. Mereka mempunyai sisi b yang sama, dan sisi a 1 dan a 2 merupakan setengah garis tambahan.

Pertanyaan 2. Buktikan jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180°.
Menjawab: Teorema 2.1. Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180°.
Bukti. Misalkan sudut (a 1 b) dan sudut (a 2 b) diberi sudut-sudut yang berdekatan (lihat Gambar 31). Sinar b lewat antara sisi a 1 dan a 2 yang membentuk sudut siku-siku. Jadi, jumlah sudut (a 1 b) dan (a 2 b) sama dengan sudut terbuka, yaitu 180°. Q.E.D.

Pertanyaan 3. Buktikan bahwa jika dua sudut sama besar, maka sudut-sudut yang berdekatan juga sama besar.
Menjawab:

Dari teorema 2.1 Artinya, jika dua sudut sama besar, maka sudut-sudut yang berdekatan juga sama besar.
Misalkan sudut (a 1 b) dan (c 1 d) sama besar. Kita perlu membuktikan bahwa sudut (a 2 b) dan (c 2 d) juga sama besar. Jumlah sudut-sudut yang berdekatan adalah 180°. Maka a 1 b + a 2 b = 180° dan c 1 d + c 2 d = 180°. Jadi, a 2 b = 180° - a 1 b dan c 2 d = 180° - c 1 d. Karena sudut (a 1 b) dan (c 1 d) sama besar, kita peroleh a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Berdasarkan sifat transitivitas tanda sama dengan maka a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Pertanyaan 4. Sudut manakah yang disebut siku-siku (akut, tumpul)?
Menjawab: Sudut yang besarnya sama dengan 90° disebut sudut siku-siku. Sudut yang kurang dari 90° disebut sudut lancip. Sudut yang lebih besar dari 90° dan kurang dari 180° disebut tumpul.

Pertanyaan 5. Buktikan bahwa sudut yang berdekatan dengan sudut siku-siku adalah sudut siku-siku.
Menjawab: Dari teorema jumlah sudut yang berdekatan dapat disimpulkan bahwa sudut yang berdekatan dengan sudut siku-siku adalah sudut siku-siku: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Pertanyaan 6. Sudut apa yang disebut vertikal?
Menjawab: Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi suatu sudut merupakan setengah garis yang saling melengkapi dari sisi-sisi sudut yang lain.

Pertanyaan 7. Buktikan bahwa sudut-sudut vertikalnya sama besar.
Jawaban: Teorema 2.2. Sudut vertikal sama besar.
Bukti. Misalkan (a 1 b 1) dan (a 2 b 2) adalah sudut vertikal tertentu (Gbr. 34). Sudut (a 1 b 2) berdekatan dengan sudut (a 1 b 1) dan sudut (a 2 b 2). Dari sini, dengan menggunakan teorema jumlah sudut-sudut yang berdekatan, kita menyimpulkan bahwa masing-masing sudut (a 1 b 1) dan (a 2 b 2) berkomplemen dengan sudut (a 1 b 2) sebesar 180°, yaitu. sudut (a 1 b 1) dan (a 2 b 2) sama besar. Q.E.D.

Pertanyaan 8. Buktikan jika pada perpotongan dua garis salah satu sudutnya siku-siku, maka ketiga sudut lainnya juga siku-siku.
Menjawab: Misalkan garis AB dan CD berpotongan di titik O. Misalkan sudut AOD adalah 90°. Karena jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°, kita peroleh AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Sudut COB vertikal terhadap sudut AOD, jadi keduanya sama besar. Artinya, sudut COB = 90°. Sudut COA tegak lurus terhadap sudut BOD, jadi keduanya sama besar. Jadi sudut BOD = 90°. Jadi, semua sudut sama dengan 90°, artinya semua sudut siku-siku. Q.E.D.

Pertanyaan 9. Garis manakah yang disebut tegak lurus? Tanda apa yang digunakan untuk menunjukkan tegak lurus suatu garis?
Menjawab: Dua garis disebut tegak lurus jika berpotongan tegak lurus. Tegak lurus garis ditunjukkan dengan tanda ⊥.. Rekaman A⊥B berbunyi: “Garis a tegak lurus terhadap garis b.”

Pertanyaan 10. Buktikan bahwa melalui suatu titik pada sebuah garis dapat ditarik sebuah garis yang tegak lurus terhadap titik tersebut, dan hanya satu.
Jawaban: Teorema 2.3. Melalui setiap garis Anda dapat menggambar garis yang tegak lurus terhadapnya, dan hanya satu.
Bukti. Misalkan a adalah suatu garis tertentu dan A adalah suatu titik tertentu pada garis tersebut. Mari kita nyatakan dengan a 1 salah satu setengah garis dari garis lurus a dengan titik awal A (Gbr. 38). Mari kita kurangi sudut (a 1 b 1) sama dengan 90° dari setengah garis a 1. Maka garis lurus yang memuat sinar b 1 akan tegak lurus terhadap garis lurus a.

Misalkan ada garis lain yang juga melewati titik A dan tegak lurus garis a. Mari kita nyatakan dengan c 1 setengah garis dari garis ini yang terletak pada setengah bidang yang sama dengan sinar b 1 . Sudut (a 1 b 1) dan (a 1 c 1), masing-masing sama besar 90°, terletak pada satu setengah bidang dari setengah garis a 1. Tetapi dari setengah garis a 1 hanya satu sudut sebesar 90° yang dapat dimasukkan ke dalam setengah bidang tertentu. Oleh karena itu, tidak mungkin ada garis lain yang melalui titik A dan tegak lurus garis a. Teorema tersebut telah terbukti.

Pertanyaan 11. Apa yang dimaksud dengan tegak lurus suatu garis?
Menjawab: Garis tegak lurus suatu garis adalah ruas garis yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu, yang salah satu ujungnya berada pada titik potongnya. Ujung segmen ini disebut dasar tegak lurus.

Pertanyaan 12. Jelaskan apa yang dimaksud dengan pembuktian dengan kontradiksi.
Menjawab: Metode pembuktian yang kita gunakan pada Teorema 2.3 disebut pembuktian dengan kontradiksi. Metode pembuktian ini terdiri dari pertama-tama membuat asumsi yang berlawanan dengan teorema. Kemudian, dengan menalar, mengandalkan aksioma dan teorema yang terbukti, kita sampai pada kesimpulan yang bertentangan dengan kondisi teorema, atau salah satu aksioma, atau teorema yang telah terbukti sebelumnya. Atas dasar ini, kami menyimpulkan bahwa asumsi kami salah, dan oleh karena itu pernyataan teorema tersebut benar.

Pertanyaan 13. Berapakah garis bagi suatu sudut?
Menjawab: Garis bagi suatu sudut adalah sinar yang datang dari titik sudut suatu sudut, melewati antara sisi-sisinya dan membagi sudut menjadi dua.

Soal tes untuk § 3.Tanda-tanda persamaan segitiga.

Pertanyaan 1. Buktikan tanda pertama bahwa segitiga-segitiga itu sama besar. Aksioma apa yang digunakan dalam pembuktian Teorema 3.1?
Jawaban: Tanda persamaan segitiga yang pertama adalah Teorema 3.1. (tanda persamaan segitiga pada dua sisi dan sudut di antara keduanya). Jika dua sisi dan sudut antara kedua segitiga sama besar dengan dua sisi dan sudut antara kedua segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.
Bukti. Misalkan segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 mempunyai sudut A= sudut A 1, AB=A 1 B 1, AC=A 1 C 1 (Gbr. 44). Beras. 44.
Mari kita buktikan bahwa segitiga-segitiga tersebut kongruen. Misalkan A 1 B 2 C 2 adalah segitiga sama kaki dengan segitiga ABC, dengan titik sudut B 2 pada sinar A 1 B 1 dan titik sudut C 2 pada setengah bidang yang sama terhadap garis lurus A 1 B 1, dimana titik sudut C 1 terletak ( Gambar 45, sebuah ). Karena A 1 B 1 = A 1 B 2, maka titik sudut B 2 berimpit dengan titik sudut B 1 (Gbr. 45, b). Karena sudut B 1 A 1 C 1 = sudut B 2 A 1 C 2, maka sinar A 1 C 2 berimpit dengan sinar A 1 C 1 (Gbr. 45, c). Karena A 1 C 1 = A 1 C 2, maka titik sudut C 2 berimpit dengan titik sudut C 1 (Gbr. 45, d).
Jadi segitiga A 1 B 1 C 1 berimpit dengan segitiga A 1 B 2 C 2 yang berarti sama dengan segitiga ABC. Teorema tersebut telah terbukti.
Pada awal pembuktian, gambarlah segitiga A 1 B 2 C 2 sama besar dengan segitiga ABC dengan titik sudut B 2 pada sinar A 1 B 1 dan titik sudut C 2 pada setengah bidang yang sama terhadap garis lurus A 1 B 1, dimana simpul C 1 terletak (Gbr. 45, a ). Segitiga seperti itu ada berdasarkan aksioma tentang keberadaan segitiga yang sama dengan segitiga tertentu (apa pun segitiganya, ada segitiga yang sama besarnya di lokasi tertentu relatif terhadap setengah garis tertentu).
Maka kebetulan titik-titik B 1 dan B 2 ditegaskan atas dasar bahwa A 1 B 1 = A 1 B 2. Aksioma penundaan segmen digunakan di sini (pada setengah garis mana pun dari titik awalnya, Anda dapat menyisihkan segmen dengan panjang tertentu, dan hanya satu).
Selanjutnya, sinar kebetulan A 1 C 2 dan A 1 C 1 dinyatakan atas dasar bahwa ∠B 2 A 1 C 1 = ∠B 2 A 1 C 2 . Di sini kita menggunakan aksioma penempatan sudut (dari setengah garis mana pun menjadi setengah bidang tertentu, Anda dapat menunda sudut dengan ukuran derajat tertentu kurang dari 180°, dan hanya satu). Akhirnya, kebetulan titik C 1 dan C 2 terkonfirmasi, karena A 1 C 1 = A 2 C 2. Di sini sekali lagi aksioma penundaan segmen digunakan (pada setengah garis mana pun dari titik awalnya, Anda dapat menyisihkan segmen dengan panjang tertentu, dan hanya satu).
Jadi, dalam pembuktian Teorema 3.1, digunakan aksioma untuk menyisihkan ruas dan sudut serta aksioma tentang keberadaan segitiga yang sama dengan segitiga tertentu.

Pertanyaan 2. Merumuskan dan membuktikan kriteria kedua persamaan segitiga.
Jawaban: Kriteria persamaan segitiga yang kedua adalah Teorema 3.2 (kriteria persamaan segitiga sepanjang sisi dan sudut yang berdekatan). Jika suatu sisi dan sudut-sudut yang berdekatan pada suatu segitiga sama besar dengan salah satu sisi dan sudut-sudut yang berdekatan pada segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.
Bukti. Misalkan ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah dua segitiga yang AB = A 1 B 1 , sudut A = sudut A 1 dan sudut B = sudut B 1 (Gbr. 47). Mari kita buktikan bahwa segitiga-segitiga tersebut kongruen.
Misalkan A 1 B 2 C 2 adalah segitiga yang sama dengan segitiga ABC, dengan titik sudut B 2 pada sinar A 1 B 1 dan titik sudut C 2 pada setengah bidang yang sama terhadap garis A 1 B 1 di mana titik sudut C 1 terletak.
Karena A 1 B 2 =A 1 B 1, maka titik sudut B 2 berimpit dengan titik sudut B 1. Karena sudut B 1 A 1 C 2 = sudut B 1 A 1 C 1 dan sudut A 1 B 1 C 2 = sudut A 1 B 1 C 1, maka sinar A 1 C 2 berimpit dengan sinar A 1 C 1, dan sinar B 1 C 2 berimpit dengan sinar B 1 C 1. Oleh karena itu, simpul C 2 berimpit dengan simpul C 1 .
Jadi, segitiga A 1 B 1 C 1 berimpit dengan segitiga A 1 B 2 C 2, sehingga sama dengan segitiga ABC. Teorema tersebut telah terbukti.

Pertanyaan 3. Segitiga manakah yang disebut sama kaki? Sisi manakah pada segitiga sama kaki yang disebut sisi lateral? Sisi manakah yang disebut alas?
Menjawab: Suatu segitiga disebut sama kaki jika kedua sisinya sama panjang. Sisi-sisi yang sama panjang ini disebut sisi-sisinya, dan sisi ketiganya disebut alas segitiga.

Pertanyaan 4. Buktikan bahwa pada segitiga sama kaki sudut-sudut alasnya sama besar.
Jawaban: Teorema 3.3 (sifat-sifat sudut pada segitiga sama kaki). Pada segitiga sama kaki, sudut alasnya sama besar.
Bukti. Misalkan ABC adalah segitiga sama kaki dengan alas AB (Gbr. 48). Mari kita buktikan bahwa sudutnya A = sudut B.

Segitiga CAB sama dengan segitiga CBA menurut kriteria pertama persamaan segitiga. Memang CA= CB, CB= CA, sudut C= sudut C. Dari persamaan segitiga diperoleh sudut A= sudut B. Teorema tersebut terbukti.

Pertanyaan 5. Segitiga manakah yang disebut sama sisi?
Menjawab: Segitiga yang semua sisinya sama panjang disebut sama sisi.

Pertanyaan 6. Buktikan bahwa jika dua sudut dalam suatu segitiga sama besar, maka segitiga tersebut sama kaki.
Jawaban: Teorema 3.4 (uji segitiga sama kaki). Jika dua sudut dalam suatu segitiga sama besar, maka segitiga tersebut sama kaki.
Bukti. Misalkan ABC adalah segitiga yang sudut A = sudut B (Gbr. 50). Mari kita buktikan bahwa segitiga tersebut sama kaki dengan basis AB.

Segitiga ABC sama dengan segitiga BAC menurut kriteria kedua persamaan segitiga. Memang AB=BA, sudut B= sudut A, sudut A= sudut B. Dari persamaan segitiga maka AC= BC. Jadi, menurut definisinya, segitiga ABC adalah segitiga sama kaki. Teorema tersebut telah terbukti.

Pertanyaan 7. Jelaskan apa yang dimaksud dengan teorema kebalikannya. Berikan contoh. Apakah kebalikannya berlaku untuk setiap teorema?
Menjawab: Teorema 3.4 disebut kebalikan dari Teorema 3.3. Kesimpulan Teorema 3.3 merupakan syarat dari Teorema 3.4. Dan kondisi Teorema 3.3 merupakan kesimpulan dari Teorema 3.4. Tidak setiap teorema mempunyai kebalikannya, yaitu jika suatu teorema tertentu benar, maka teorema kebalikannya mungkin salah. Mari kita jelaskan dengan menggunakan contoh teorema sudut vertikal. Teorema ini dapat dirumuskan sebagai berikut: jika dua sudut tegak lurus, maka keduanya sama besar. Teorema kebalikannya adalah: jika dua sudut sama besar, maka keduanya vertikal. Dan ini tentu saja tidak benar. Dua sudut yang sama besar tidak harus vertikal.

Pertanyaan 8. Berapakah tinggi suatu segitiga?
Menjawab:Tinggi suatu segitiga yang dijatuhkan dari suatu titik sudut tertentu disebut garis tegak lurus yang ditarik dari titik sudut tersebut ke garis lurus yang memuat sisi berlawanan dari segitiga tersebut (Gbr. 51, a-b).

Pertanyaan 9. Berapakah garis bagi suatu segitiga?
Menjawab:Bisektris suatu segitiga yang ditarik dari suatu titik sudut tertentu disebut ruas garis bagi sudut segitiga yang menghubungkan titik sudut tersebut dengan sebuah titik pada sisi yang berhadapan (Gbr. 52, a).

Pertanyaan 10. Berapakah median suatu segitiga?
Menjawab:median suatu segitiga yang ditarik dari suatu titik sudut tertentu disebut ruas yang menghubungkan titik sudut tersebut dengan titik tengah sisi seberang segitiga tersebut (Gbr. 52, b).

Pertanyaan 11. Buktikan bahwa pada segitiga sama kaki median yang ditarik ke alasnya adalah garis bagi dan tingginya.
Jawaban: Teorema 3.5 (sifat median segitiga sama kaki). Pada segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alasnya adalah garis bagi dan tingginya.
Bukti. Misalkan ABC adalah segitiga sama kaki dengan alas AB dan CD median ditarik ke alasnya (Gbr. 53). Segitiga CAD dan CBD sama besar berdasarkan tanda pertama persamaan segitiga. (Sisi-sisinya AC dan BC sama besar karena segitiga ABC sama kaki. Sudut CAD dan CBD sama besar dengan sudut alas segitiga sama kaki. Sisi AD dan BD sama besar karena D adalah titik tengah ruas AB.)
Dari persamaan segitiga berikut persamaan sudutnya: sudut ACD = sudut BCD, sudut ADC = sudut BDC. Karena sudut ACD dan BCD sama besar, CD merupakan garis bagi. Karena sudut ADC dan BDC berdekatan dan sama besar, maka keduanya siku-siku, jadi CD adalah tinggi segitiga.

Pertanyaan 12. Buktikan kriteria ketiga persamaan segitiga.
Jawab: Kriteria persamaan segitiga yang ketiga adalah Teorema 3.6 (uji persamaan segitiga pada ketiga sisinya). Jika tiga sisi suatu segitiga sama dengan tiga sisi segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Bukti. Misalkan ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah dua segitiga yang AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 (Gbr. 55). Anda perlu membuktikan bahwa segitiga-segitiga tersebut kongruen.
Misalkan segitiga-segitiga tersebut tidak sama panjang. Maka sudutnya A tidak = sudut A 1, sudut B tidak = sudut B 1, sudut C tidak = sudut C 1. Kalau tidak, mereka akan setara pada dasar pertama.
Misalkan A 1 B 1 C 2 adalah segitiga yang sama dengan segitiga ABC, yang titik sudut C 2 terletak pada setengah bidang yang sama dengan titik sudut C 1 terhadap garis lurus A 1 B 1 (lihat Gambar 55).
Misalkan D adalah titik tengah segmen C 1 C 2 . Segitiga A 1 C 1 C 2 dan B 1 C 1 C 2 adalah segitiga sama kaki dengan alas yang sama C 1 C 2. Oleh karena itu, median A 1 D dan B 1 D adalah tinggi badan. Artinya garis A 1 D dan B 1 D tegak lurus terhadap garis C 1 C 2. Garis A 1 D dan B 1 D tidak berhimpitan, karena titik A 1, B 1, D tidak terletak pada garis yang sama. Tetapi melalui titik D pada garis lurus C 1 C 2 hanya dapat ditarik satu garis lurus yang tegak lurus terhadapnya. Kita telah sampai pada sebuah kontradiksi. Teorema tersebut telah terbukti.

Soal tes untuk §4.Jumlah sudut segitiga.

Pertanyaan 1. Buktikan bahwa dua garis yang sejajar dengan garis ketiga adalah sejajar.
Jawaban: Teorema 4.1. Dua garis yang sejajar dengan garis ketiga adalah sejajar.
Bukti. Misalkan garis a dan b sejajar dengan garis c. Misalkan a dan b tidak sejajar (Gbr. 69). Kemudian keduanya tidak berpotongan di suatu titik C. Artinya ada dua garis yang melalui titik C sejajar dengan garis c. Tetapi hal ini tidak mungkin, karena melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, paling banyak dapat ditarik satu garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut. Teorema tersebut telah terbukti.

Pertanyaan 2. Jelaskan sudut mana yang disebut sudut dalam satu sisi. Sudut apa yang disebut sudut bersilang dalam?
Menjawab: Pasangan sudut yang terbentuk pada perpotongan garis AB dan CD dengan garis potong AC mempunyai nama khusus.
Jika titik B dan D terletak pada setengah bidang yang sama terhadap garis lurus AC, maka sudut BAC dan DCA disebut sudut dalam satu sisi (Gbr. 71, a).
Jika titik B dan D terletak pada setengah bidang yang berbeda terhadap garis lurus AC, maka sudut BAC dan DCA disebut sudut bersilang dalam (Gbr. 71, b).

Pertanyaan 3. Buktikan bahwa jika sudut dalam suatu pasangan sama besar, maka sudut dalam pasangan yang lain juga sama besar, dan jumlah sudut dalam masing-masing pasangan adalah 180°.
Menjawab: Garis potong AC terbentuk dengan garis lurus AB dan CD dua pasang sudut satu sisi dalam dan dua pasang sudut bersilang dalam. Sudut-sudut dalam dari suatu pasangan, misalnya sudut 1 dan sudut 2, berdekatan dengan sudut-sudut dalam dari pasangan lainnya: sudut 3 dan sudut 4 (Gbr. 72). Beras. 72

Oleh karena itu, jika sudut dalam suatu pasangan kongruen, maka sudut dalam pasangan lainnya juga sama besar.
Sepasang sudut bersilang dalam, misalnya sudut 1 dan sudut 2, dan sepasang sudut satu sisi dalam, misalnya sudut 2 dan sudut 3, mempunyai satu sudut yang sama - sudut 2, dan dua sudut lainnya berdekatan. : sudut 1 dan sudut 3.
Jadi, jika sudut-sudut dalam bersilangan sama besar, maka jumlah sudut-sudut dalam adalah 180°. Dan sebaliknya: jika jumlah sudut-sudut yang berpotongan dalam sama dengan 180°, maka sudut-sudut yang berpotongan dalam adalah sama besar. Q.E.D.

Pertanyaan 4. Buktikan pengujian garis sejajar.
Jawaban: Teorema 4.2 (uji garis sejajar). Jika sudut-sudut dalam bersilangan sama besar atau jumlah sudut-sudut dalam satu sisi sama dengan 180°, maka kedua garis tersebut sejajar.
Bukti. Misalkan garis lurus a dan b membentuk sudut melintang dalam yang sama besar dengan garis potong AB (Gbr. 73, a). Misalkan garis a dan b tidak sejajar, artinya garis tersebut berpotongan di suatu titik C (Gbr. 73, b). Beras. 73

Garis potong AB membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Titik C terletak pada salah satunya Mari kita buat segitiga BAC 1 sama dengan segitiga ABC, dengan titik sudut C 1 pada setengah bidang lainnya. Dengan syarat, sudut melintang dalam sejajar a, b dan garis potong AB adalah sama besar. Karena sudut-sudut yang bersesuaian pada segitiga ABC dan BAC 1 dengan titik sudut A dan B adalah sama besar, maka sudut-sudut tersebut berimpit dengan sudut-sudut dalam yang terletak bersilangan. Artinya garis AC 1 berimpit dengan garis a, dan garis BC 1 berimpit dengan garis b. Ternyata dua garis lurus a dan b yang berbeda melalui titik C dan C 1. Dan ini tidak mungkin. Artinya garis a dan b sejajar.
Jika garis a dan b serta garis transversal AB mempunyai jumlah sudut dalam satu sisi sama dengan 180°, maka seperti yang kita ketahui, sudut dalam yang terletak melintang adalah sama besar. Artinya, sesuai dengan pembuktian di atas, garis a dan b sejajar. Teorema tersebut telah terbukti.

Pertanyaan 5. Jelaskan sudut mana yang disebut sudut bersesuaian. Buktikan bahwa jika sudut-sudut dalam yang bersilangan sama besar, maka sudut-sudut yang bersesuaian juga sama besar, dan sebaliknya.

Menjawab: Jika untuk sepasang sudut bersilangan dalam, salah satu sudutnya diganti dengan sudut vertikal, maka diperoleh sepasang sudut yang disebut sudut-sudut yang bersesuaian dengan garis-garis tersebut dengan garis transversal. Hal itulah yang perlu dijelaskan.
Dari persamaan sudut-sudut dalam yang terletak melintang mengikuti persamaan sudut-sudut yang bersesuaian, dan sebaliknya. Katakanlah kita mempunyai dua garis sejajar (karena dengan syarat, sudut-sudut dalam yang saling berhadapan adalah sama besar) dan sebuah garis transversal yang membentuk sudut 1, 2, 3. Sudut 1 dan 2 sama besar dengan sudut-sudut dalam yang saling berhadapan. Dan sudut 2 dan 3 sama besar dengan vertikal. Kita peroleh: ∠1 = ∠2 dan ∠2 = ∠3. Berdasarkan sifat transitivitas tanda sama dengan, maka ∠1 = ∠3.

3. Pernyataan sebaliknya dibuktikan dengan cara serupa.
Dari sini kita memperoleh tanda bahwa garis-garis lurus sejajar pada sudut-sudut yang bersesuaian. Yaitu: garis lurus dikatakan sejajar jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Q.E.D.

Pertanyaan 6. Buktikan bahwa melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu dapat ditarik suatu garis yang sejajar dengannya. Berapa banyak garis sejajar dengan suatu garis tertentu yang dapat ditarik melalui suatu titik yang tidak terletak pada garis tersebut?

Menjawab: Masalah (8). Diberikan garis AB dan titik C yang tidak terletak pada garis tersebut. Buktikan bahwa melalui titik C ditarik garis yang sejajar dengan garis AB.
Larutan. Garis AC membagi bidang menjadi dua setengah bidang (Gbr. 75). Poin B terletak pada salah satunya. Mari kita tambahkan sudut ACD dari setengah garis CA ke setengah bidang lainnya yang sama dengan sudut CAB. Maka garis AB dan CD sejajar. Faktanya, untuk garis-garis ini dan garis potong AC, sudut dalam BAC dan DCA terletak bersilangan. Dan karena keduanya sama besar, maka garis AB dan CD sejajar. Q.E.D. Membandingkan pernyataan soal 8 dan aksioma IX (sifat utama garis sejajar), kita sampai pada kesimpulan penting: melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, dimungkinkan untuk menggambar garis yang sejajar dengannya, dan hanya satu.

Pertanyaan 7. Buktikan bahwa jika dua garis berpotongan dengan garis ketiga, maka sudut-sudut dalam yang berpotongan adalah sama besar, dan jumlah sudut dalam satu sisi adalah 180°.

Jawaban: Teorema 4.3(kebalikan dari Teorema 4.2). Jika dua garis sejajar berpotongan dengan garis ketiga, maka sudut-sudut dalam yang berpotongan adalah sama besar, dan jumlah sudut-sudut dalam satu sisi adalah 180°.
Bukti. Misalkan a dan b adalah garis sejajar dan c adalah garis yang memotongnya di titik A dan B. Mari kita tarik garis a 1 melalui titik A sehingga sudut melintang dalam yang dibentuk oleh transversal c dengan garis a 1 dan b adalah sama besar (Gbr. 76). Menurut prinsip kesejajaran garis, garis a 1 dan b sejajar. Dan karena hanya satu garis yang melalui titik A sejajar dengan garis b, maka garis a berimpit dengan garis a 1. Artinya sudut melintang dalam yang dibentuk oleh garis transversal sejajar a dan b adalah sama besar. Teorema tersebut telah terbukti.

Pertanyaan 8. Buktikan bahwa dua garis yang tegak lurus garis ketiga adalah sejajar. Jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya.
Menjawab: Dari Teorema 4.2 dapat disimpulkan bahwa dua garis yang tegak lurus garis ketiga adalah sejajar.
Misalkan ada dua garis yang tegak lurus terhadap garis ketiga. Artinya garis-garis tersebut berpotongan dengan garis ketiga dengan sudut 90°. Dari sifat sudut yang terbentuk pada perpotongan garis sejajar dengan garis transversal, maka jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis yang lain.

Pertanyaan 9. Buktikan bahwa jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°.

Jawaban: Teorema 4.4. Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°.
Bukti. Misalkan ABC adalah segitiga yang diberikan. Mari kita tarik garis yang melalui titik B sejajar dengan garis AC. Mari kita tandai titik D di atasnya sehingga titik A dan D terletak pada sisi yang berlawanan dari garis lurus BC (Gbr. 78). Sudut DBC dan ACB kongruen karena sudut bersilang dalam yang dibentuk oleh transversal BC dengan garis sejajar AC dan BD. Jadi, jumlah sudut segitiga pada titik sudut B dan C sama dengan sudut ABD.
Dan jumlah ketiga sudut suatu segitiga sama dengan jumlah sudut ABD dan BAC. Karena sudut dalam satu sisi untuk garis sejajar AC dan BD serta garis potong AB, jumlah keduanya adalah 180°. Teorema tersebut telah terbukti.

Pertanyaan 10. Buktikan bahwa setiap segitiga mempunyai paling sedikit dua sudut lancip.
Menjawab: Memang, mari kita asumsikan bahwa segitiga hanya memiliki satu sudut lancip atau tidak ada sudut lancip sama sekali. Maka segitiga ini mempunyai dua sudut yang masing-masing sudutnya paling sedikit 90°. Jumlah kedua sudut tersebut tidak kurang dari 180°. Namun hal ini tidak mungkin, karena jumlah seluruh sudut suatu segitiga adalah 180°. Q.E.D.

Pertanyaan 11. Berapakah sudut luar suatu segitiga?
Menjawab: Sudut luar suatu segitiga pada suatu titik sudut tertentu adalah sudut yang berdekatan dengan sudut segitiga pada titik sudut tersebut (Gbr. 79).

Pertanyaan 12. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

Jawaban: Teorema 4.5. Sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.
Bukti. Misalkan ABC adalah segitiga tertentu (Gbr. 80). Berdasarkan teorema jumlah sudut suatu segitiga, ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Oleh karena itu ∠A + ∠B = 180° - ∠C. Di sisi kanan persamaan ini adalah besaran derajat sudut luar segitiga di titik sudut C. Teorema tersebut terbukti.

Pertanyaan 13. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga lebih besar dari sudut dalam mana pun yang tidak berdekatan dengannya.
Menjawab: Dari Teorema 4.5 dapat disimpulkan bahwa sudut luar suatu segitiga lebih besar daripada sudut dalam yang tidak berdekatan dengannya.

Pertanyaan 14. Segitiga manakah yang disebut segitiga siku-siku?
Menjawab: Suatu segitiga disebut siku-siku jika mempunyai sudut siku-siku.

Pertanyaan 15. Berapakah jumlah sudut lancip suatu segitiga siku-siku?
Menjawab: Karena jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°, maka segitiga siku-siku hanya mempunyai satu sudut siku-siku. Dua sudut lainnya pada segitiga siku-siku adalah lancip. Jumlah sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah 180° - 90° = 90°.

Pertanyaan 16. Sisi segitiga siku-siku manakah yang disebut sisi miring? Sisi manakah yang disebut kaki?

Menjawab: Sisi segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring, dua sisi lainnya disebut kaki (Gbr. 82).

Pertanyaan 17. Merumuskan tes persamaan segitiga siku-siku sepanjang sisi miring dan kaki.

Menjawab: Jika sisi miring dan kaki suatu segitiga siku-siku sama dengan sisi miring dan kaki segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Pertanyaan 18. Buktikan bahwa dari titik mana pun yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, kita dapat menjatuhkan garis tegak lurus terhadap garis tersebut, dan hanya satu.

Jawaban: Teorema 4.6. Dari titik mana pun yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, Anda dapat menjatuhkan garis tegak lurus terhadap garis tersebut, dan hanya satu.
Bukti. Misalkan a adalah suatu garis tertentu dan A adalah suatu titik yang tidak terletak padanya (Gbr. 85). Mari kita menggambar garis tegak lurus melalui suatu titik pada garis a. Sekarang mari kita tarik garis b yang sejajar melalui titik A. Garis tersebut akan tegak lurus terhadap garis a, karena garis a, yang tegak lurus terhadap salah satu garis sejajar, juga tegak lurus terhadap garis lainnya. Ruas AB pada garis b adalah garis tegak lurus yang ditarik dari titik A ke garis a.
Mari kita buktikan keunikan garis tegak lurus AB. Katakanlah ada AC lain yang tegak lurus. Maka segitiga ABC mempunyai dua sudut siku-siku. Dan ini, seperti kita ketahui, adalah mustahil. Teorema tersebut telah terbukti.

Pertanyaan 19. Jarak suatu titik ke suatu garis disebut?
Menjawab: Panjang garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik ke suatu garis lurus disebut jarak titik ke garis lurus tersebut.

Pertanyaan 20. Jelaskan berapa jarak antar garis sejajar.
Menjawab: Jarak antar garis sejajar adalah jarak antara suatu titik pada garis yang satu dengan garis yang lain.

Soal tes untuk §5. Konstruksi geometris.

Pertanyaan 1. Apa itu lingkaran, pusat lingkaran, jari-jari?
Menjawab: Lingkaran adalah bangun datar yang terdiri dari semua titik pada bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik ini disebut pusat lingkaran. Jarak titik-titik lingkaran ke pusatnya disebut jari-jari. Jari-jari disebut juga setiap ruas yang menghubungkan suatu titik pada lingkaran dengan pusatnya.

Pertanyaan 2. Apa yang dimaksud dengan tali busur lingkaran? Tali busur manakah yang disebut diameter?
Menjawab: Segmen yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut tali busur. Tali busur yang melalui pusat disebut diameter.

Pertanyaan 3. Lingkaran apa yang disebut lingkaran terbatas pada suatu segitiga?
Menjawab: Suatu lingkaran disebut dibatasi terhadap suatu segitiga jika lingkaran tersebut melalui semua titik sudutnya.

Pertanyaan 4. Buktikan bahwa pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar suatu segitiga terletak pada perpotongan garis bagi yang tegak lurus sisi-sisi segitiga tersebut.
Jawaban: Teorema 5.1. Pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar suatu segitiga adalah titik potong garis tegak lurus sisi-sisi segitiga yang melalui titik tengah sisi-sisi tersebut.
Bukti. Misalkan ABC adalah segitiga tertentu dan O adalah pusat lingkaran yang dibatasi di sekelilingnya (Gbr. 93). Segitiga AOC sama kaki: sisi-sisinya OA dan OC sama jari-jarinya. Median OD segitiga ini juga merupakan tingginya. Jadi, pusat lingkaran terletak pada garis yang tegak lurus sisi AC dan melalui titik tengahnya. Dengan cara yang sama, dibuktikan bahwa pusat lingkaran terletak tegak lurus terhadap kedua sisi segitiga lainnya. Teorema tersebut telah terbukti.

Pertanyaan 5. Garis manakah yang disebut bersinggungan dengan lingkaran?
Menjawab: Garis lurus yang melalui suatu titik pada lingkaran yang tegak lurus jari-jari yang ditarik ke titik tersebut disebut garis singgung. Dalam hal ini, titik pada lingkaran ini disebut titik singgung.

Pertanyaan 6. Apakah yang dimaksud dengan lingkaran-lingkaran bersentuhan pada suatu titik tertentu?
Menjawab: Dua lingkaran yang mempunyai titik persekutuan dikatakan bersinggungan di titik ini jika keduanya mempunyai garis singgung persekutuan di titik tersebut (Gbr. 97).

Pertanyaan 7. Kontak lingkaran manakah yang disebut eksternal dan manakah yang disebut internal?
Menjawab: Singgung lingkaran disebut internal jika pusat-pusat lingkaran terletak pada salah satu sisi garis singgung persekutuannya (Gbr. 97, a). Garis singgung lingkaran disebut luar jika pusat-pusat lingkaran terletak pada sisi yang berlawanan dari garis singgung persekutuannya (Gbr. 97, b).

Pertanyaan 8. Lingkaran apa yang disebut tertulis dalam segitiga?
Menjawab: Suatu lingkaran dikatakan berada dalam segitiga jika menyentuh semua sisinya.

Pertanyaan 9. Buktikan bahwa pusat lingkaran pada suatu segitiga terletak pada perpotongan garis baginya.
Jawaban: Teorema 5.2. Pusat lingkaran pada segitiga adalah titik potong garis-baginya.
Bukti. Misalkan ABC adalah segitiga tertentu, O pusat lingkaran yang terdapat di dalamnya, D, E dan F titik kontak lingkaran dengan sisi-sisinya (Gbr. 98). Segitiga siku-siku AOD dan AOE mempunyai sisi miring dan kaki yang sama besar. Mereka memiliki sisi miring AO yang sama, dan kaki OD dan OE sama dengan jari-jarinya. Dari persamaan segitiga maka sudut OAD dan OAE sama besar. Artinya titik O terletak pada garis bagi segitiga yang ditarik dari titik sudut A. Hal yang sama dibuktikan bahwa titik O terletak pada dua garis bagi segitiga lainnya. Teorema tersebut telah terbukti.

Pertanyaan 10. Jelaskan cara membuat segitiga dengan menggunakan tiga sisinya.
Jawaban: Soal 5.1. Bangunlah sebuah segitiga dengan sisi-sisi tertentu a, b, c (Gbr. 99, a).
Larutan. Dengan menggunakan penggaris, gambarlah garis lurus sembarang dan tandai titik sembarang B di atasnya (Gbr. 99, b). Dengan menggunakan bukaan kompas sama dengan a, kita gambarkan sebuah lingkaran dengan pusat B dan jari-jari a. Misalkan C adalah titik potongnya dengan garis. Sekarang, dengan bukaan kompas sama dengan c, kita gambarkan sebuah lingkaran dari pusat B, dan dengan bukaan kompas sama dengan b, kita gambarkan sebuah lingkaran dari pusat C. Misalkan A adalah titik potong lingkaran-lingkaran tersebut. Mari menggambar segmen AB dan AC. Segitiga ABC mempunyai sisi-sisi yang sama dengan a, b, c. Hal itulah yang perlu dijelaskan.

Pertanyaan 11. Jelaskan cara memplot sudut yang sama dengan sudut tertentu dari setengah garis tertentu ke setengah bidang tertentu.
Jawaban: Soal 5.2. Kurangi dari setengah garis tertentu menjadi setengah bidang tertentu dengan sudut yang sama dengan sudut tertentu.
Larutan. Mari kita menggambar sebuah lingkaran sembarang yang berpusat di titik sudut A dengan sudut tertentu (Gbr. 100, a). Misalkan B dan C adalah titik potong lingkaran dengan sisi-sisi sudutnya. Dengan jari-jari AB kita menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik O - titik awal setengah garis ini (Gbr. 100, b). Mari kita nyatakan titik potong lingkaran ini dengan setengah garis ini sebagai B 1 . Mari kita gambarkan sebuah lingkaran dengan pusat B 1 dan jari-jari BC. Titik C 1 perpotongan lingkaran yang dibangun pada setengah bidang yang ditunjukkan terletak pada sisi sudut yang diinginkan. Untuk membuktikannya cukup diketahui bahwa segitiga ABC dan OB 1 C 1 adalah kongruen sebagai segitiga yang masing-masing sisinya sama panjang. Sudut A dan O adalah sudut-sudut yang bersesuaian pada segitiga-segitiga tersebut. Hal itulah yang perlu dijelaskan.

Pertanyaan 12. Jelaskan cara membagi sudut ini menjadi dua.
Jawaban: Soal 5.3. Buatlah garis bagi sudut tertentu.
Larutan. Dari titik sudut A tertentu, seperti dari pusat, kita menggambarkan sebuah lingkaran dengan jari-jari sembarang (Gbr. 101). Misalkan B dan C adalah titik potongnya dengan sisi-sisi sudut. Dari titik B dan C kita gambarkan lingkaran yang jari-jarinya sama. Misalkan D adalah titik potongnya, berbeda dengan A. Gambarlah setengah garis AD. Sinar AD merupakan garis bagi karena membagi dua sudut BAC. Hal ini mengikuti persamaan segitiga ABD dan ACD yang sudut-sudutnya bersesuaian DAB dan DAC. Hal itulah yang perlu dijelaskan.

Pertanyaan 13. Jelaskan cara membagi ruas garis menjadi dua.
Jawaban: Soal 5.4. Bagilah segmen menjadi dua.
Larutan. Misalkan AB adalah segmen tertentu (Gbr. 102). Dari titik A dan B dengan jari-jari AB kita gambarkan lingkaran. Misalkan C dan C 1 adalah titik potong lingkaran-lingkaran tersebut. Mereka terletak pada setengah bidang yang berbeda terhadap garis lurus AB. Ruas CC 1 memotong garis AB di suatu titik O. Titik tersebut merupakan titik tengah ruas AB. Memang benar segitiga CAC 1 dan CBC 1 adalah sama menurut kriteria ketiga persamaan segitiga. Artinya sudut ACO dan BCO sama besar. Segitiga ACO dan BCO adalah sama menurut kriteria pertama persamaan segitiga. Sisi-sisi AO dan BO dari segitiga-segitiga ini bersesuaian dan oleh karena itu keduanya sama besar. Jadi, O adalah titik tengah ruas AB. Hal itulah yang perlu dijelaskan.

Pertanyaan 14. Jelaskan cara menggambar garis yang tegak lurus suatu garis melalui suatu titik tertentu.
Jawaban: Soal 5.5. Melalui suatu titik O tariklah sebuah garis yang tegak lurus terhadap garis tertentu a.
Larutan. Ada dua kemungkinan kasus:
1) titik O terletak pada garis a;
2) titik O tidak terletak pada garis a.
Mari kita perhatikan kasus pertama (Gbr. 103).
Dari titik O kita menggambar lingkaran dengan jari-jari sembarang. Garis tersebut memotong garis a di dua titik: A dan B. Dari titik A dan B kita menggambar lingkaran berjari-jari AB. Biarkan C menjadi titik potongnya. Garis yang diperlukan melewati titik O dan C.
Tegak lurus garis OC dan AB mengikuti persamaan sudut di titik sudut O segitiga ACO dan BCO. Segitiga-segitiga ini dirangkai menurut tanda ketiga persamaan segitiga.
Mari kita perhatikan kasus kedua (Gbr. 104).
Dari titik O kita menggambar sebuah lingkaran yang memotong garis a. Dari titik A dan B kita menggambar lingkaran dengan jari-jari yang sama. Misalkan O1 adalah titik potongnya, yang terletak pada setengah bidang yang berbeda dengan tempat letak titik O. Garis lurus yang diinginkan melewati titik O dan O1. Mari kita buktikan.
Mari kita nyatakan dengan C titik potong garis AB dan OO1. Segitiga AOB dan AO1B adalah sama menurut kriteria ketiga. Jadi sudut OAC sama dengan sudut O1AC. Dan segitiga OAC dan O1AC adalah sama menurut kriteria pertama. Artinya sudut ACO dan ACO1 sama besar. Dan karena berdekatan, maka lurus. Jadi, OC adalah garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik O ke garis lurus a. Hal itulah yang perlu dijelaskan.

Pertanyaan 15. Berapakah kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik tertentu?
Jawaban: Teorema 5.3. Tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik tertentu adalah garis lurus yang tegak lurus segmen yang menghubungkan titik-titik tersebut dan melalui titik tengahnya.
Bukti. Misalkan A dan B diberi titik, a adalah garis lurus yang melalui titik tengah O ruas AB yang tegak lurus terhadapnya (Gbr. 105). Kita harus membuktikan bahwa:
1) Setiap titik garis a berjarak sama dari titik A dan B;
2) Setiap titik D pada bidang yang berjarak sama dari titik A dan B terletak pada garis a.
Fakta bahwa setiap titik C pada garis a berada pada jarak yang sama dari titik A dan B mengikuti persamaan segitiga AOC dan BOC. Segitiga-segitiga ini mempunyai sudut siku-siku di titik sudut O, sisi OC sama, dan AO = OB, karena O adalah titik tengah ruas AB.
Sekarang mari kita tunjukkan bahwa setiap titik D pada bidang yang berjarak sama dari titik A dan B terletak pada garis a. Pertimbangkan segitiga ADB. Bentuknya sama kaki, karena AD=BD. Di dalamnya, DO adalah median. Berdasarkan sifat segitiga sama kaki, median yang ditarik ke alasnya adalah tinggi. Artinya titik D terletak pada garis a. Teorema tersebut telah terbukti.