Apakah ada bilangan irasional dalam deret tersebut? Bilangan irasional: apa itu dan kegunaannya
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana 
. Q adalah himpunan semua bilangan rasional.
Bilangan rasional dibagi menjadi: positif, negatif dan nol.
Setiap bilangan rasional dapat diasosiasikan dengan satu titik pada garis koordinat. Relasi “lebih ke kiri” untuk titik-titik sama dengan relasi “kurang dari” untuk koordinat titik-titik tersebut. Anda dapat melihat bahwa setiap bilangan negatif kurang dari nol dan setiap bilangan negatif nomor positif; dari dua angka negatif yang lebih kecil adalah yang modulusnya lebih besar. Jadi, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.
Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal periodik. Misalnya, .
Algoritma untuk operasi bilangan rasional mengikuti aturan tanda untuk operasi yang sesuai pada pecahan nol dan positif. Di Q, pembagian dilakukan kecuali pembagian dengan nol.
Setiap persamaan linier, yaitu. persamaan bentuk ax+b=0, dimana , dapat diselesaikan pada himpunan Q, namun tidak dapat diselesaikan pada himpunan Q mana pun persamaan kuadrat baik 
, dapat dipecahkan dalam bilangan rasional. Tidak semua titik pada garis koordinat mempunyai titik rasional. Kembali pada akhir abad ke-6 SM. N. e dalam aliran Pythagoras terbukti bahwa diagonal suatu persegi tidak sepadan dengan tingginya, yang sama saja dengan pernyataan: “Persamaan tersebut tidak mempunyai akar rasional.” Semua hal di atas menyebabkan perlunya perluasan himpunan Q, dan konsep bilangan irasional diperkenalkan. Mari kita nyatakan himpunan bilangan irasional dengan huruf J
.
Pada suatu garis koordinat, saya mempunyai koordinat irasional semua titik yang tidak mempunyai koordinat rasional. , dimana r – set bilangan real. Cara universal untuk menentukan bilangan real adalah desimal. Desimal periodik menentukan bilangan rasional, dan desimal non-periodik menentukan bilangan irasional. Jadi, 2,03(52) – bilangan rasional, 2.03003000300003... (periode setiap bilangan “3” berikutnya ditulis satu nol lagi) – bilangan irasional.
Himpunan Q dan R mempunyai sifat positif: di antara dua bilangan rasional ada bilangan rasional, misalnya esoi a Untuk bilangan irasional apa pun α
Anda dapat menunjukkan perkiraan rasional dengan kekurangan dan kelebihan dengan akurasi apa pun: a< α
Pengoperasian akar suatu bilangan rasional menghasilkan bilangan irasional. Mengekstraksi akar derajat alami adalah operasi aljabar, yaitu. pengenalannya dikaitkan dengan solusi bentuk persamaan aljabar Akar aritmatika (disingkat akar) derajat ke-n dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif b, yang merupakan akar persamaan. Akar ke-n suatu bilangan dilambangkan dengan simbol. Ketika n=2, derajat akar 2 tidak ditunjukkan: . Misalnya karena 2 2 =4 dan 2>0; , Karena 3 3 =27 dan 3>0; tidak ada karena -4<0. Untuk n=2k dan a>0, akar-akar persamaan (1) ditulis sebagai dan . Misalnya akar-akar persamaan x 2 =4 adalah 2 dan -2. Untuk n ganjil, persamaan (1) mempunyai akar unik untuk sembarang . Jika a≥0, maka adalah akar persamaan ini. Jika sebuah<0, то –а>0 dan merupakan akar persamaan. Jadi persamaan x 3 = 27 mempunyai akar. Semua bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Hal ini berlaku untuk bilangan bulat (misalnya, 12, –6, 0), dan pecahan desimal hingga (misalnya, 0,5; –3,8921), dan pecahan desimal periodik tak hingga (misalnya, 0,11(23); –3 ,(87 )). Namun desimal non-periodik tak terhingga tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa. Itulah mereka bilangan irasional(yaitu, tidak rasional). Contoh bilangan tersebut adalah bilangan π yang kira-kira sama dengan 3,14. Namun, berapa tepatnya angka tersebut tidak dapat ditentukan, karena setelah angka 4 terdapat rangkaian angka lain yang tak ada habisnya sehingga periode berulang tidak dapat dibedakan. Selain itu, meskipun bilangan π tidak dapat dinyatakan secara tepat, namun memiliki makna geometris tertentu. Angka π adalah perbandingan panjang suatu lingkaran dengan panjang diameternya. Jadi, bilangan irasional sebenarnya ada di alam, sama seperti bilangan rasional. Contoh bilangan irasional lainnya adalah akar kuadrat dari bilangan positif. Mengekstraksi akar dari beberapa bilangan memberikan nilai rasional, dari bilangan lain - irasional. Misalnya √4 = 2, yaitu akar dari 4 adalah bilangan rasional. Namun √2, √5, √7 dan banyak lainnya menghasilkan bilangan irasional, yaitu hanya dapat diekstraksi dengan pendekatan, pembulatan ke tempat desimal tertentu. Dalam hal ini pecahan menjadi non-periodik. Artinya, tidak mungkin untuk mengatakan secara pasti dan pasti apa akar dari angka-angka tersebut. Jadi √5 adalah bilangan yang terletak di antara angka 2 dan 3, karena √4 = 2, dan √9 = 3. Kita juga dapat menyimpulkan bahwa √5 lebih dekat ke 2 daripada ke 3, karena √4 lebih dekat ke √5 daripada √9 hingga √5. Memang, √5 ≈ 2.23 atau √5 ≈ 2.24. Bilangan irasional juga diperoleh dalam perhitungan lain (dan tidak hanya saat mengekstraksi akar), dan bisa bernilai negatif. Sehubungan dengan bilangan irasional, kita dapat mengatakan bahwa berapapun ruas satuan yang kita ambil untuk mengukur panjang yang dinyatakan oleh bilangan tersebut, kita tidak akan dapat mengukurnya secara pasti. Dalam operasi aritmatika, bilangan irasional dapat ikut serta bersama bilangan rasional. Pada saat yang sama, ada sejumlah keteraturan. Misalnya, jika hanya bilangan rasional yang terlibat dalam operasi aritmatika, maka hasilnya selalu berupa bilangan rasional. Jika hanya bilangan irasional yang ikut serta dalam operasi tersebut, maka tidak mungkin untuk mengatakan dengan pasti apakah hasilnya bilangan rasional atau irasional. Misalnya, jika Anda mengalikan dua bilangan irasional √2 * √2, Anda mendapatkan 2 - ini adalah bilangan rasional. Sebaliknya, √2 * √3 = √6 adalah bilangan irasional. Jika suatu operasi aritmatika melibatkan bilangan rasional dan irasional, maka hasilnya akan irasional. Misalnya, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4. Mengapa √17 – 4 merupakan bilangan irasional? Bayangkan kita mendapatkan bilangan rasional x. Maka √17 = x + 4. Tetapi x + 4 adalah bilangan rasional, karena kita asumsikan x rasional. Bilangan 4 juga rasional, jadi x+4 rasional. Namun, bilangan rasional tidak bisa sama dengan bilangan irasional √17. Oleh karena itu, anggapan bahwa √17 – 4 memberikan hasil yang rasional adalah salah. Hasil operasi aritmatika akan menjadi tidak rasional. Namun, ada pengecualian terhadap aturan ini. Jika kita mengalikan suatu bilangan irasional dengan 0, kita mendapatkan bilangan rasional 0. Bilangan irasional adalah bilangan yang dalam notasi desimal mewakili pecahan desimal non-periodik yang tak ada habisnya. Jadi, misalnya, bilangan yang diperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari bilangan asli adalah bilangan irasional dan bukan merupakan kuadrat dari bilangan asli. Namun tidak semua bilangan irasional diperoleh dengan mengambil akar kuadrat, karena bilangan pi yang diperoleh dengan pembagian juga irasional, dan kecil kemungkinannya Anda mendapatkannya dengan mencoba mengekstrak akar kuadrat dari suatu bilangan asli. Berbeda dengan bilangan yang ditulis sebagai desimal tak hingga, hanya bilangan irasional yang ditulis sebagai desimal tak hingga non-periodik. Terkadang cukup sulit untuk menjawab pertanyaan apakah suatu bilangan irasional, terutama jika bilangan tersebut berupa pecahan desimal atau berupa ekspresi numerik, akar, atau logaritma. Oleh karena itu, tidak berlebihan jika mengetahui angka mana yang tidak rasional. Jika kita mengikuti pengertian bilangan irasional, maka kita sudah mengetahui bahwa bilangan rasional tidak mungkin irasional. Bilangan irasional bukan: Pertama, semua bilangan asli; Selain semua hal di atas, bilangan irasional tidak dapat berupa kombinasi bilangan rasional apa pun yang dilakukan dengan tanda-tanda operasi aritmatika, seperti +, -, , :, karena dalam hal ini hasil dari dua bilangan rasional juga akan menjadi bilangan rasional. Sekarang mari kita lihat angka mana yang irasional: Tahukah Anda tentang keberadaan fan club dimana para penggemar fenomena matematika misterius ini mencari informasi lebih lanjut tentang Pi, mencoba mengungkap misterinya? Siapa pun yang hafal sejumlah angka Pi setelah koma dapat menjadi anggota klub ini; Tahukah Anda bahwa di Jerman, di bawah perlindungan UNESCO, terdapat istana Castadel Monte, berkat proporsinya Anda dapat menghitung Pi. Raja Frederick II mendedikasikan seluruh istana untuk nomor ini. Ternyata mereka mencoba menggunakan angka Pi dalam pembangunan Menara Babel. Namun sayangnya, hal ini menyebabkan gagalnya proyek tersebut, karena pada saat itu perhitungan nilai Pi yang tepat belum cukup dipelajari. Penyanyi Kate Bush dalam disk barunya merekam sebuah lagu berjudul "Pi", di mana seratus dua puluh empat nomor dari seri nomor terkenal 3, 141… terdengar. Bilangan irasional- Ini bilangan real, yang tidak rasional, yaitu tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana bilangan bulat, . Bilangan irasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal non-periodik tak terhingga. Himpunan bilangan irasional biasanya dilambangkan dengan huruf latin kapital yang dicetak tebal tanpa arsiran. Jadi: , yaitu. ada banyak bilangan irasional perbedaan antara himpunan bilangan real dan rasional. Tentang keberadaan bilangan irasional lebih tepatnya segmen yang tidak dapat dibandingkan dengan segmen dengan satuan panjang telah diketahui oleh para ahli matematika kuno: mereka mengetahui, misalnya, ketidakterbandingan diagonal dan sisi persegi, yang setara dengan irasionalitas suatu bilangan. Yang tidak rasional adalah: Mari kita asumsikan sebaliknya: rasional, yaitu direpresentasikan sebagai pecahan tak tereduksi, yang merupakan bilangan bulat dan merupakan bilangan asli. Mari kita hitung persamaan yang seharusnya: Oleh karena itu genap adalah genap dan . Biarkan itu menjadi tempat keseluruhannya. Kemudian Oleh karena itu, genap berarti genap dan . Kami menemukan bahwa dan genap, yang bertentangan dengan pecahan yang tidak dapat direduksi. Artinya asumsi awal salah dan merupakan bilangan irasional. Mari kita asumsikan sebaliknya: rasional, yaitu direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat dipilih menjadi positif. Kemudian Tapi genap dan ganjil. Kami mendapatkan kontradiksi. Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manava (c. 750 SM - c. 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61 tidak dapat dinyatakan secara eksplisit. . Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemukan bukti ini dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi-bagi, yang memasuki segmen mana pun beberapa kali bilangan bulat. Namun Hippasus berpendapat bahwa tidak ada satuan panjang yang tunggal, karena anggapan keberadaannya menimbulkan kontradiksi. Dia menunjukkan bahwa jika sisi miring segitiga siku-siku sama kaki berisi bilangan bulat dari satuan segmen, maka bilangan tersebut harus genap dan ganjil. Buktinya terlihat seperti ini: Matematikawan Yunani menyebut rasio kuantitas yang tidak dapat dibandingkan ini alogos(tak terkatakan), tetapi menurut legenda mereka tidak menghormati Hippasus. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan ini saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh pengikut Pythagoras lainnya “karena menciptakan elemen alam semesta yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya.” Penemuan Hippasus menimbulkan masalah serius bagi matematika Pythagoras, menghancurkan asumsi mendasar bahwa bilangan dan objek geometris adalah satu dan tidak dapat dipisahkan.
. Jika n ganjil, mis. n=2k+1, di mana , maka persamaan tersebut mempunyai akar tunggal. Jika n genap, n=2k, di mana , maka untuk a=0 persamaan tersebut mempunyai akar tunggal x=0, untuk a<0 корней нет, при a>0 mempunyai dua akar yang saling berhadapan. Mengekstraksi akar adalah operasi kebalikan dari peningkatan kekuatan alami.Definisi bilangan irasional
Sifat-sifat bilangan irasional
Jumlah dua bilangan irasional non-negatif bisa menjadi bilangan rasional.
Bilangan irasional menentukan pemotongan Dedekind pada himpunan bilangan rasional, di kelas bawah tidak ada bilangan terbesar, dan di kelas atas tidak ada bilangan lebih kecil.
Bilangan transendental nyata apa pun adalah irasional.
Semua bilangan irasional bersifat aljabar atau transendental.
Himpunan bilangan irasional pada suatu garis terletak rapat, dan di antara dua bilangan tersebut pasti terdapat bilangan irasional.
Himpunan bilangan irasional tidak terhingga, tidak terhitung dan merupakan himpunan kategori ke-2.
Saat melakukan operasi aritmatika apa pun pada bilangan rasional, kecuali pembagian dengan 0, hasilnya adalah bilangan rasional.
Saat menjumlahkan bilangan rasional ke bilangan irasional, hasilnya selalu bilangan irasional.
Saat menjumlahkan bilangan irasional, kita bisa mendapatkan bilangan rasional.
Himpunan bilangan irasional tidak genap. Angka bukanlah hal yang tidak rasional
Kedua, bilangan bulat;
Ketiga, pecahan biasa;
Keempat, berbagai bilangan campuran;
Kelima, ini adalah pecahan desimal periodik tak hingga. 
Properti
Contoh
Bilangan irasional
- ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - Contoh bukti irasionalitas
Akar dari 2
Logaritma biner dari angka 3
e
Cerita
