Deret Fourier trigonometri dapat diperluas. Ekspansi deret Fourier dalam kosinus

Deret Fourier dari fungsi periodik genap f(x) dengan periode 2p hanya memuat suku-suku dengan kosinus (yaitu, tidak memuat suku-suku dengan sinus) dan dapat mencakup suku konstan. Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier fungsi periodik ganjil f(x) dengan periode 2p hanya memuat suku-suku yang mempunyai sinus (yaitu tidak memuat suku-suku yang mempunyai kosinus).

Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Jika suatu fungsi didefinisikan untuk suatu rentang, katakanlah dari 0 sampai p, dan bukan hanya dari 0 sampai 2p, fungsi tersebut dapat diperluas menjadi suatu deret hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus. Deret Fourier yang dihasilkan disebut deret Fourier setengah siklus.

Jika Anda ingin mendapatkan ekspansi Fourier setengah siklus dari kosinus fungsi f (x) dalam rentang dari 0 hingga p, maka Anda perlu membuat fungsi periodik genap. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f(x) = x, dibangun pada interval dari x = 0 sampai x = p. Karena fungsi genap simetris terhadap sumbu f(x), kita tarik garis AB, seperti ditunjukkan pada Gambar. di bawah. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan diperoleh bentuk segitiga bersifat periodik dengan periode 2p, maka grafik akhirnya tampak seperti, tunjukkan. pada Gambar. di bawah. Karena kita perlu memperoleh ekspansi Fourier dalam kosinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier a o dan a n

Jika Anda ingin memperoleh ekspansi Fourier pada setengah siklus dalam bentuk sinus fungsi f (x) dalam rentang 0 hingga p, maka Anda perlu membuat fungsi periodik ganjil. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f (x) =x, yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=p. Karena fungsi ganjil simetris terhadap titik asal, kita buatlah garis CD, seperti ditunjukkan pada Gambar.

Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, sinyal gigi gergaji yang dihasilkan bersifat periodik dengan periode 2p, maka grafik akhirnya berbentuk seperti pada Gambar. Karena kita perlu mendapatkan ekspansi Fourier dari setengah siklus dalam bentuk sinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier. B

Deret Fourier fungsi periodik dengan periode 2π.

Deret Fourier memungkinkan kita mempelajari fungsi periodik dengan menguraikannya menjadi komponen-komponen. Arus dan tegangan bolak-balik, perpindahan, kecepatan dan percepatan mekanisme engkol dan gelombang akustik adalah tipikal contoh praktis penerapan fungsi periodik dalam perhitungan teknik.

Ekspansi deret Fourier didasarkan pada asumsi bahwa semua mempunyai signifikansi praktis fungsi pada interval -π ≤x≤ π dapat dinyatakan dalam bentuk deret trigonometri konvergen (suatu deret dianggap konvergen jika barisan jumlah parsial yang tersusun dari suku-sukunya konvergen):

Notasi baku (=biasa) melalui penjumlahan sinx dan cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

dimana a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. adalah konstanta real, yaitu

Dimana, untuk rentang -π hingga π, koefisien deret Fourier dihitung dengan menggunakan rumus:

Koefisien a o , a n dan b n disebut koefisien Fourier, dan jika dapat dicari, maka deret (1) disebut dekat Fourier, sesuai dengan fungsi f(x). Untuk deret (1), suku (a 1 cosx+b 1 sinx) disebut harmonik pertama atau harmonik fundamental,

Cara lain untuk menulis deret adalah dengan menggunakan relasi acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Dimana a o adalah sebuah konstanta, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 adalah amplitudo berbagai komponen, dan sama dengan a n =arctg a n /b n.

Untuk deret (1), suku (a 1 cosx+b 1 sinx) atau c 1 sin(x+α 1) disebut harmonik pertama atau fundamental, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) atau c 2 sin(2x +α 2) disebut harmonik kedua dan seterusnya.

Untuk merepresentasikan sinyal kompleks secara akurat biasanya memerlukan jumlah suku yang tidak terbatas. Namun, dalam banyak permasalahan praktis, cukup dengan mempertimbangkan beberapa suku pertama saja.

Deret Fourier fungsi non-periodik dengan periode 2π.

Perluasan fungsi non-periodik.

Jika fungsi f(x) bersifat non-periodik, berarti tidak dapat diperluas menjadi deret Fourier untuk semua nilai x. Namun, deret Fourier dapat didefinisikan yang mewakili suatu fungsi pada rentang lebar apa pun 2π.

Mengingat fungsi non-periodik, fungsi baru dapat dibangun dengan memilih nilai f(x) dalam rentang tertentu dan mengulanginya di luar rentang tersebut pada interval 2π. Karena fungsi baru tersebut periodik dengan periode 2π, maka dapat diperluas menjadi deret Fourier untuk semua nilai x. Misalnya, fungsi f(x)=x tidak periodik. Namun, jika perlu diperluas menjadi deret Fourier dalam interval dari o hingga 2π, maka di luar interval ini akan dibangun fungsi periodik dengan periode 2π (seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah).

Untuk fungsi non-periodik seperti f(x)=x, jumlah deret Fourier sama dengan nilai f(x) di semua titik dalam rentang tertentu, namun tidak sama dengan f(x) untuk titik-titik di luar jangkauan. Untuk mencari deret Fourier suatu fungsi non-periodik pada rentang 2π, digunakan rumus koefisien Fourier yang sama.

Fungsi genap dan ganjil.

Dikatakan suatu fungsi y=f(x) genap jika f(-x)=f(x) untuk semua nilai x. Grafik fungsi genap selalu simetris terhadap sumbu y (artinya, merupakan bayangan cermin). Dua contoh fungsi genap: y=x2 dan y=cosx.

Suatu fungsi y=f(x) dikatakan ganjil jika f(-x)=-f(x) untuk semua nilai x. Grafik fungsi ganjil selalu simetris terhadap titik asal.

Banyak fungsi yang tidak genap maupun ganjil.

Ekspansi deret Fourier dalam kosinus.

Deret Fourier dari fungsi periodik genap f(x) dengan periode 2π hanya memuat suku kosinus (yaitu, tidak ada suku sinus) dan dapat memuat suku konstan. Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier dari fungsi periodik ganjil f(x) dengan periode 2π hanya memuat suku-suku yang mempunyai sinus (artinya, tidak memuat suku-suku yang mempunyai cosinus).

Karena itu,

di mana koefisien deret Fourier,

Deret Fourier setengah siklus.

Jika suatu fungsi didefinisikan untuk suatu rentang, katakanlah dari 0 hingga π, dan bukan hanya dari 0 hingga 2π, maka fungsi tersebut dapat diperluas dalam suatu deret hanya dalam sinus atau hanya dalam kosinus. Deret Fourier yang dihasilkan disebut deret Fourier setengah siklus.

Jika Anda ingin mendapatkan ekspansi Fourier setengah siklus dari kosinus fungsi f(x) dalam rentang dari 0 hingga π, maka Anda perlu membuat fungsi periodik genap. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f(x)=x, yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=π. Karena fungsi genap simetris terhadap sumbu f(x), kita tarik garis AB, seperti ditunjukkan pada Gambar. di bawah. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, bentuk segitiga yang dihasilkan adalah periodik dengan periode 2π, maka grafik akhirnya akan terlihat seperti ini: pada Gambar. di bawah. Karena kita perlu memperoleh ekspansi Fourier dalam kosinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier a o dan a n

Jika Anda ingin mendapatkan ekspansi Fourier setengah siklus dalam sinus fungsi f(x) dalam rentang dari 0 hingga π, maka Anda perlu membuat fungsi periodik ganjil. Pada Gambar. Di bawah ini adalah fungsi f(x)=x, yang dibangun pada interval dari x=0 hingga x=π. Karena fungsi ganjil simetris terhadap titik asal, kita buatlah garis CD, seperti ditunjukkan pada Gambar. Jika kita berasumsi bahwa di luar interval yang dipertimbangkan, sinyal gigi gergaji yang dihasilkan bersifat periodik dengan periode 2π, maka grafik akhirnya berbentuk seperti pada Gambar. Karena kita perlu mendapatkan ekspansi Fourier dari setengah siklus dalam bentuk sinus, seperti sebelumnya, kita menghitung koefisien Fourier. B

Deret Fourier untuk interval sembarang.

Perluasan fungsi periodik dengan periode L.

Fungsi periodik f(x) berulang seiring bertambahnya x sebesar L, yaitu. f(x+L)=f(x). Peralihan dari fungsi berperiode 2π ke fungsi berperiode L yang telah dibahas sebelumnya cukup sederhana, karena dapat dilakukan dengan menggunakan perubahan variabel.

Untuk mencari deret Fourier dari fungsi f(x) dalam rentang -L/2≤x≤L/2, kita masukkan variabel baru u sehingga fungsi f(x) mempunyai periode 2π terhadap u. Jika u=2πx/L, maka x=-L/2 untuk u=-π dan x=L/2 untuk u=π. Misalkan juga f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Deret Fourier F(u) mempunyai bentuk

(Batas integrasi dapat diganti dengan interval apa pun yang panjangnya L, misalnya dari 0 hingga L)

Deret Fourier pada setengah siklus untuk fungsi yang ditentukan dalam interval L≠2π.

Untuk substitusi u=πх/L, interval dari x=0 ke x=L sama dengan interval dari u=0 ke u=π. Oleh karena itu, fungsi tersebut dapat diperluas menjadi deret hanya dalam cosinus atau hanya dalam sinus, yaitu. menjadi deret Fourier dengan setengah siklus.

Ekspansi kosinus dalam rentang 0 sampai L berbentuk

1 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN ILMU PENGETAHUAN UNIVERSITAS NEGARA RF NOVOSIBIRSK FAKULTAS FISIKA R. K. Belkheeva FOURIER SERI DALAM CONTOH DAN MASALAH Buku Ajar Novosibirsk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R.K. Seri Fourier dalam contoh dan soal: Buku Teks / Novosibirsk. negara universitas. Novosibirsk, hal. ISBN B buku pelajaran informasi dasar tentang deret Fourier disajikan, diberikan contoh untuk setiap topik yang dipelajari. Contoh penerapan metode Fourier untuk memecahkan masalah getaran transversal suatu dawai dianalisis secara rinci. Materi ilustrasi disediakan. Ada tugas yang harus diselesaikan sendiri. Dirancang untuk siswa dan guru Fakultas Fisika NSU. Diterbitkan berdasarkan keputusan komisi metodologi Fakultas Fisika NSU. Pengulas: Dr. Phys.-Math. Sains. V. A. Aleksandrov Manual ini disiapkan sebagai bagian dari implementasi Program Pengembangan NRU-NSU selama bertahun-tahun. ISBN dari Novosibirsk Universitas Negeri, 211 c Belkheeva R.K., 211

3 1. Perluasan fungsi periodik 2π menjadi Definisi deret Fourier. Deret Fourier dari fungsi f(x) merupakan deret fungsional a 2 + (an cosnx + b n sin nx), (1) dimana koefisien a n, b n dihitung dengan menggunakan rumus: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) Rumus (2) (3) disebut rumus Euler Fourier. Fakta bahwa fungsi f(x) sesuai dengan deret Fourier (1) ditulis sebagai rumus f(x) a 2 + (an cosnx + b n sin nx) (4) dan dikatakan bahwa bagian kanan rumus (4) merupakan deret Fourier formal dari fungsi f(x). Dengan kata lain rumus (4) hanya berarti koefisien a n, b n dicari dengan menggunakan rumus (2), (3). 3

4 Definisi. Fungsi periodik 2π f(x) disebut mulus sedikit demi sedikit jika terdapat sejumlah titik berhingga = x pada interval [, π]< x 1 . Рассмотрим два условия: а) f(l x) = f(x); б) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. С titik geometris Dilihat dari kondisi (a) berarti grafik fungsi f(x) simetris terhadap garis vertikal x = l/2, dan syarat (b) grafik f(x) simetris terpusat terhadap titik (l/2;) pada sumbu absis. Maka pernyataan berikut ini benar: 1) jika fungsi f(x) genap dan syarat (a) terpenuhi, maka b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) jika fungsi f(x) genap dan kondisi (b) terpenuhi, maka b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) jika fungsi f(x) ganjil dan syarat (a) terpenuhi, maka a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) jika fungsi f(x) ganjil dan kondisi (b) terpenuhi, maka a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. MASALAH Dalam soal 1 7, gambarlah grafik dan tentukan deret Fourier untuk fungsi-fungsi tersebut, (dengan asumsi fungsi-fungsi tersebut mempunyai periode 2π: jika< x a cosx + a2 В задачах найдите ряды Фурье в комплексной форме для функций. 26. f(x) = sgn x, π < x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Teorema Kesetaraan Lyapunov (Persamaan Lyapunov). Misalkan fungsi f: [, π] R sedemikian sehingga f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Oleh karena itu, persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) berbentuk: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. Dari persamaan terakhir untuk a π kita temukan sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Setting a = π 2, kita peroleh sin2 na = 1 untuk n = 2k 1 dan sin 2 na = untuk n = 2k. Oleh karena itu, k=1 1 (2k 1) 2 = = π2 8. CONTOH 14. Mari kita tulis persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) = x cosx, x [, π], dan gunakan persamaan tersebut untuk mencari jumlah bilangan tersebut deret (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Solusi. Perhitungan langsung menghasilkan = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Karena f(x) merupakan fungsi genap, maka untuk semua n kita mempunyai b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1 )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1)(n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1)(n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, jika n = 2k, 2, jika n = 2k + 1. Koefisien a 1 harus dihitung secara terpisah, karena pada rumus umum pada n = 1 penyebut pecahan menjadi nol. = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Jadi, persamaan Lyapunov untuk fungsi f(x) berbentuk: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π, dari situ kita mencari jumlah deret bilangan (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) = π π SOAL 32. Tulis persamaan Lyapunov untuk fungsi ( x f(x) = 2 πx, jika x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Jawaban + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, dimana c n adalah koefisien Fourier 2π dari fungsi f(x), dan d n adalah fungsi koefisien Fourier g(x). 6. Diferensiasi Deret Fourier Misalkan f: R R merupakan fungsi periodik 2π yang terdiferensiasi kontinyu. Deret Fouriernya berbentuk: f(x) = a 2 + (an cos nx + b n sin nx). Turunan f (x) dari fungsi ini akan menjadi fungsi kontinu dan 2π-periodik, sehingga kita dapat menulis deret Fourier formal: f (x) a 2 + (an cos nx + b n sin nx), di mana a, a n , b n, n = 1 , 2,... Koefisien Fourier dari fungsi f (x). 51

52 Teorema (tentang diferensiasi suku demi suku deret Fourier). Berdasarkan asumsi di atas, persamaan a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 adalah valid CONTOH 15. Misalkan fungsi mulus sepotong-sepotong f(x) kontinu pada interval [, π]. Mari kita buktikan bahwa jika kondisi f(x)dx = terpenuhi, maka pertidaksamaan 2 dx 2 dx, yang disebut pertidaksamaan Steklov, berlaku, dan kita akan memastikan bahwa persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi berbentuk f(x) = Sebuah cosx. Dengan kata lain, pertidaksamaan Steklov memberikan kondisi di mana kecilnya turunan (dalam kuadrat rata-rata) menyiratkan kecilnya fungsi tersebut (dalam kuadrat rata-rata). Larutan. Mari kita memperluas fungsi f(x) ke interval [, ] secara genap. Mari kita nyatakan fungsi yang diperluas dengan simbol yang sama f(x). Maka fungsi yang diperluas akan kontinu dan mulus sedikit demi sedikit pada interval [, π]. Karena fungsi f(x) kontinu, maka f 2 (x) kontinu pada interval dan 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Karena fungsi lanjutannya genap, maka b n =, a = dengan syarat. Akibatnya, persamaan Lyapunov berbentuk 1 π 2 dx = a 2 π n. (17) Mari kita pastikan bahwa untuk f (x) kesimpulan teorema diferensiasi suku demi suku deret Fourier terpenuhi, yaitu a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Biarkan turunan f (x) mengalami kekusutan di titik x 1, x 2,..., x N pada interval [, π]. Mari kita nyatakan x =, x N+1 = π. Mari kita bagi interval integrasi [, π] menjadi N +1 interval (x, x 1),..., (x N, x N+1), yang masing-masing f(x) terdiferensiasi kontinyu. Kemudian, dengan menggunakan sifat aditif dari integral tersebut, dan kemudian melakukan integrasi per bagian, kita memperoleh: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f (x) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [(f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x)dx = 1 N f (x)dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Persamaan terakhir terjadi karena fungsi f(x) dilanjutkan secara genap, artinya f(π) = f(). Demikian pula kita memperoleh a n = nb n. Kita telah menunjukkan bahwa teorema diferensiasi suku demi suku deret Fourier untuk fungsi periodik 2π mulus sedikit demi sedikit yang turunannya pada interval [, π] mengalami diskontinuitas jenis pertama adalah benar. Artinya f (x) a 2 + (an cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, karena a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,.... Sejak 2 dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Karena setiap suku pada deret (18) lebih besar atau sama dengan suku yang bersesuaian pada deret (17), maka 2 dx 2 dx. Mengingat f(x) merupakan kelanjutan genap dari fungsi aslinya, kita mempunyai 2 dx 2 dx. Yang membuktikan kesetaraan Steklov. Sekarang kita periksa fungsi persamaan mana yang terdapat dalam pertidaksamaan Steklov. Jika untuk paling sedikit satu n 2 koefisien an berbeda dari nol, maka a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 SOAL 37. Misalkan fungsi halus sepotong-sepotong f(x) kontinu pada interval [, π]. Buktikan bahwa jika kondisi f() = f(π) = terpenuhi, pertidaksamaan 2 dx 2 dx, disebut juga pertidaksamaan Steklov, berlaku, dan pastikan persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi berbentuk f(x) = B dosa x. 38. Misalkan fungsi f kontinu pada interval [, π] dan di dalamnya terdapat (kecuali mungkin sejumlah titik berhingga) turunan f (x) yang dapat diintegralkan persegi. Buktikan bahwa jika kondisi f() = f(π) dan f(x) dx = terpenuhi, maka pertidaksamaan 2 dx 2 dx, yang disebut pertidaksamaan Wirtinger, berlaku, dan persamaan di dalamnya hanya berlaku untuk fungsi-fungsi berbentuk f (x ) = A cosx + B dosa x. 56

57 7. Penerapan deret Fourier untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial Ketika mempelajari suatu objek nyata (fenomena alam, proses produksi, sistem kendali, dll.), ada dua faktor yang signifikan: tingkat akumulasi pengetahuan tentang objek yang diteliti dan derajatnya. pengembangan peralatan matematika. Pada panggung modern penelitian ilmiah Rantai berikut telah dikembangkan: fenomena model fisik model matematika. Rumusan fisik (model) masalahnya adalah sebagai berikut: kondisi perkembangan proses dan faktor-faktor utama yang mempengaruhinya diidentifikasi. Rumusan matematis (model) terdiri dari uraian faktor-faktor dan kondisi-kondisi yang dipilih dalam rumusan fisis dalam bentuk sistem persamaan (aljabar, diferensial, integral, dan sebagainya). Suatu permasalahan disebut well-pose jika dalam suatu ruang fungsional tertentu terdapat solusi terhadap permasalahan tersebut, secara unik dan kontinyu bergantung pada kondisi awal dan kondisi batas. Model matematika tidak identik dengan objek yang ditinjau, tetapi merupakan deskripsi perkiraannya.Derivasi persamaan getaran transversal kecil gratis dari sebuah string.Kita akan mengikuti buku teks. Biarkan ujung-ujung tali diikat dan tali itu sendiri diregangkan dengan kencang. Jika senar digerakkan dari posisi setimbangnya (misalnya ditarik ke belakang atau dipukul), maka senar tersebut akan mulai bergerak.

58 ragu-ragu. Kita asumsikan bahwa semua titik pada tali bergerak tegak lurus terhadap posisi kesetimbangannya (getaran transversal), dan pada setiap momen waktu tali terletak pada bidang yang sama. Mari kita ambil sistem koordinat persegi panjang xou pada bidang ini. Maka jika pada saat awal t = tali terletak sepanjang sumbu Ox, maka u berarti simpangan tali dari posisi setimbang, yaitu posisi titik tali dengan absis x di momen waktu t yang berubah-ubah sesuai dengan nilai fungsi u(x, t). Untuk setiap nilai tetap t, grafik fungsi u(x, t) mewakili bentuk tali yang bergetar pada waktu t (Gbr. 32). Pada nilai konstan fungsi x u(x, t) memberikan hukum gerak suatu titik dengan absis x sepanjang garis lurus yang sejajar sumbu Ou, turunan ut adalah kecepatan gerak tersebut, dan turunan kedua 2 u t 2 adalah percepatan. Beras. 32. Gaya yang diterapkan pada bagian string yang sangat kecil Mari kita buat persamaan yang harus dipenuhi oleh fungsi u(x, t). Untuk melakukan ini, kami akan membuat beberapa asumsi yang lebih sederhana. Kami akan menganggap string itu benar-benar fleksibel - 58

59 koy, yaitu, kita berasumsi bahwa tali tidak menahan tekukan; ini berarti bahwa tegangan-tegangan yang timbul pada dawai selalu diarahkan secara tangensial terhadap profil sesaatnya. Tali diasumsikan elastis dan tunduk pada hukum Hooke; Artinya perubahan besar gaya tarik sebanding dengan perubahan panjang tali. Mari kita asumsikan bahwa string tersebut homogen; ini berarti kerapatan liniernya ρ adalah konstan. Kita mengabaikan kekuatan eksternal. Ini berarti kita sedang mempertimbangkan getaran bebas. Kita hanya akan mempelajari getaran kecil pada senar. Jika kita nyatakan dengan ϕ(x, t) sudut antara sumbu absis dan garis singgung tali di titik dengan absis x pada waktu t, maka syarat osilasi kecil adalah nilai ϕ 2 (x, t) dapat diabaikan dibandingkan dengan ϕ (x, t), yaitu ϕ 2. Karena sudut ϕ kecil, maka cosϕ 1, ϕ sin ϕ tan ϕ u oleh karena itu, nilai (ux x,) 2 juga dapat diabaikan. Oleh karena itu, selama proses getaran kita dapat mengabaikan perubahan panjang setiap bagian dawai. Memang benar, panjang seutas tali M 1 M 2, diproyeksikan ke dalam interval sumbu absis, di mana x 2 = x 1 + x, sama dengan l = x 2 x () 2 u dx x. x Mari kita tunjukkan bahwa, berdasarkan asumsi kita, besarnya gaya tarik T akan konstan di sepanjang tali. Untuk melakukan ini, ambil bagian mana pun dari string M 1 M 2 (Gbr. 32) pada waktu t dan ganti aksi bagian yang dibuang - 59

60 kov oleh gaya tarik T 1 dan T 2. Karena menurut kondisi, semua titik tali bergerak sejajar dengan sumbu Ou dan kekuatan luar tidak ada, maka jumlah proyeksi gaya tegangan pada sumbu Ox harus sama dengan nol: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Jadi, karena kecilnya sudut ϕ 1 = ϕ(x 1, t) dan ϕ 2 = ϕ(x 2, t), kita simpulkan bahwa T 1 = T 2. Mari kita nyatakan arti umum T 1 = T 2 sampai T. Sekarang mari kita hitung jumlah proyeksi F u dari gaya yang sama pada sumbu Ou: F u = T sin ϕ(x 2, t) T sin ϕ(x 1, t). (2) Karena untuk sudut kecil sin ϕ(x, t) tan ϕ(x, t), dan tan ϕ(x, t) u(x, t)/ x, maka persamaan (2) dapat ditulis ulang menjadi F u T (tg ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Karena titik x 1 dipilih secara sembarang, maka F u T 2 u x2(x, t) x. Setelah semua gaya yang bekerja pada bagian M 1 M 2 ditemukan, kita terapkan hukum kedua Newton, yang menyatakan bahwa hasil kali massa dan percepatan sama dengan jumlah semua gaya yang bekerja pada bagian tersebut. kekuatan aktif. Massa seutas tali M 1 M 2 sama dengan m = ρ l ρ x, dan percepatannya sama dengan 2 u(x, t). Persamaan t 2 Newton berbentuk: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, dimana α 2 = konstanta T ρ nomor positif. 6

61 Dikurangi dengan x, kita mendapatkan 2 ut (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t). (21) Hasilnya, kami memperoleh persamaan diferensial parsial orde kedua homogen linier dengan koefisien konstan. Ini disebut persamaan getaran dawai atau persamaan gelombang satu dimensi. Persamaan (21) pada hakikatnya merupakan reformulasi hukum Newton dan menggambarkan gerak tali. Namun dalam rumusan masalah fisika terdapat persyaratan bahwa ujung-ujung tali harus tetap dan posisi tali pada suatu titik waktu diketahui. Kondisi ini akan kita tuliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut: a) kita asumsikan bahwa ujung-ujung tali berada di titik x = dan x = l, yaitu kita asumsikan bahwa untuk semua t relasi u(, t) =, u (aku, t ) = ; (22) b) kita asumsikan bahwa pada waktu t = posisi tali berimpit dengan grafik fungsi f(x), yaitu kita asumsikan bahwa untuk semua x [, l] persamaan u(x,) = f(x); (23) c) kita asumsikan bahwa pada saat t = titik tali dengan absis x diberikan kecepatan g(x), yaitu kita asumsikan bahwa u (x,) = g(x). (24) t Relasi (22) disebut kondisi batas, dan relasi (23) dan (24) disebut kondisi awal. Model matematika garis lintang kecil bebas 61

62 osilasi tali sehingga perlu diselesaikan persamaan (21) dengan kondisi batas (22) dan kondisi awal (23) dan (24) Menyelesaikan persamaan osilasi tali transversal kecil bebas dengan metode Fourier Menyelesaikan persamaan (21) pada wilayah x aku,< t . Подставляя (25) в (21), получим: X T = α 2 X T, (26) или T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Говорят, что произошло разделение переменных. Так как x и t не зависят друг от друга, то левая часть в (27) не зависит от x, а правая от t и общая величина этих отношений 62

63 harus berupa konstanta, yang dilambangkan dengan λ: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Dari sini kita mendapatkan dua yang biasa persamaan diferensial: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Dalam hal ini, kondisi batas (22) akan berbentuk X()T(t) = dan X(l)T(t) =. Karena mereka harus dipenuhi untuk semua t, t >, maka X() = X(l) =. (3) Mari kita cari solusi persamaan (28) yang memenuhi kondisi batas (3). Mari kita pertimbangkan tiga kasus. Kasus 1: λ >. Mari kita nyatakan λ = β 2. Persamaan (28) berbentuk X (x) β 2 X(x) =. Persamaan karakteristiknya k 2 β 2 = mempunyai akar k = ±β. Karena itu, keputusan bersama persamaan (28) berbentuk X(x) = C e βx + De βx. Kita harus memilih konstanta C dan D agar syarat batas (3) terpenuhi, yaitu X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Sejak β, sistem persamaan ini mempunyai solusi unik C = D =. Oleh karena itu, X(x) dan 63

64 kamu(x, t). Jadi, dalam kasus 1 kita telah memperoleh solusi sepele, yang tidak akan kita pertimbangkan lebih lanjut. Kasus 2: λ =. Maka persamaan (28) berbentuk X (x) = dan penyelesaiannya diberikan dengan rumus: X(x) = C x+d. Substitusikan solusi ini ke kondisi batas (3), kita peroleh X() = D = dan X(l) = Cl =, yang berarti C = D =. Oleh karena itu, X(x) dan u(x, t), dan kita kembali mempunyai solusi sepele. Kasus 3: λ