Explicația logaritmilor. Expresii folosind numere complexe

Proprietățile de bază ale logaritmului natural, grafic, domeniu de definiție, set de valori, formule de bază, derivată, integrală, expansiune în serie de putereşi reprezentarea funcţiei ln x folosind numere complexe.

Definiţie

Logaritmul natural este funcția y = ln x, inversul exponențialului, x = e y, și este logaritmul la baza numărului e: ln x = log e x.

Logaritmul natural este utilizat pe scară largă în matematică, deoarece derivata sa are cea mai simplă formă: (ln x)′ = 1/ x.

Bazat pe definiții, baza logaritmului natural este numărul e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graficul funcției y = ln x.

Graficul logaritmului natural (funcțiile y = ln x) se obține din graficul exponențial prin reflexie în oglindă relativ la dreapta y = x.

Logaritmul natural este definit la valori pozitive variabila x.

Ea crește monoton în domeniul său de definire. 0 La x →

limita logaritmului natural este minus infinitul (-∞). Ca x → + ∞, limita logaritmului natural este plus infinitul (+ ∞). Pentru x mare, logaritmul crește destul de lent. Orice functie de putere

x a cu exponent pozitiv a crește mai repede decât logaritmul.

Proprietățile logaritmului natural

Domeniu de definire, set de valori, extrema, crestere, scadere

Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului natural sunt prezentate în tabel.

ln x valori

ln 1 = 0

Formule de bază pentru logaritmi naturali

Formule care urmează din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Orice logaritm poate fi exprimat în termeni de logaritmi naturali folosind formula de substituție a bazei:

Dovezile acestor formule sunt prezentate în secțiunea „Logaritm”.

Funcția inversă

Inversa logaritmului natural este exponentul.

Dacă, atunci

Dacă, atunci.

Derivată ln x
.
Derivată a logaritmului natural:
.
Derivată a logaritmului natural al modulului x:
.
Derivată de ordin al n-lea:

Formule derivate > > >

Integral
.
Integrala se calculează prin integrare pe părți:

Aşa,

Expresii folosind numere complexe
.
Luați în considerare funcția variabilei complexe z: Să exprimăm variabila complexă z prin modul r φ :
.
si argument
.
Folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. Daca pui
, unde n este un număr întreg,
va fi același număr pentru n diferit.

Prin urmare, logaritmul natural, în funcție de o variabilă complexă, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Când are loc extinderea:

Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Logaritmii, ca orice numere, pot fi adunați, scăzuți și transformați în orice fel. Dar, deoarece logaritmii nu sunt chiar numere obișnuite, există reguli aici, care sunt numite proprietăți principale.

Cu siguranță trebuie să cunoașteți aceste reguli - nici o problemă logaritmică serioasă nu poate fi rezolvată fără ele. În plus, sunt foarte puține dintre ele - puteți învăța totul într-o singură zi. Deci, să începem.

Adunarea și scăderea logaritmilor

Luați în considerare doi logaritmi cu pe aceleași temeiuri: jurnal o xși log o y. Apoi pot fi adăugate și scăzute și:

1. jurnal o x+ jurnal o y= jurnal o (x · y);
2. jurnal o x− jurnal o y= jurnal o (x : y).

Deci, suma logaritmilor este egală cu logaritmul produsului, iar diferența este egală cu logaritmul coeficientului. Vă rugăm să rețineți: punctul cheie aici este temeiuri identice. Dacă motivele sunt diferite, aceste reguli nu funcționează!

Aceste formule vă vor ajuta să calculați o expresie logaritmică chiar și atunci când părțile sale individuale nu sunt luate în considerare (vezi lecția „Ce este un logaritm”). Aruncă o privire la exemple și vezi:

Jurnalul 6 4 + jurnalul 6 9.

Deoarece logaritmii au aceleași baze, folosim formula sumei:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 2 48 − log 2 3.

Bazele sunt aceleași, folosim formula diferenței:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 3 135 − log 3 5.

Din nou bazele sunt aceleași, deci avem:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

După cum puteți vedea, expresiile originale sunt formate din logaritmi „răi”, care nu sunt calculate separat. Dar după transformări se obțin numere complet normale. Multe sunt construite pe acest fapt teste. Da, expresii asemănătoare testelor sunt oferite cu toată seriozitatea (uneori practic fără modificări) la examenul de stat unificat.

Extragerea exponentului din logaritm

Acum să complicăm puțin sarcina. Ce se întâmplă dacă baza sau argumentul unui logaritm este o putere? Apoi, exponentul acestui grad poate fi scos din semnul logaritmului conform următoarelor reguli:

Este ușor de observat că ultima regulă le urmează pe primele două. Dar este mai bine să-l amintiți oricum - în unele cazuri va reduce semnificativ cantitatea de calcule.

Desigur, toate aceste reguli au sens dacă se respectă ODZ al logaritmului: o > 0, o ≠ 1, x> 0. Si inca ceva: invata sa aplici toate formulele nu numai de la stanga la dreapta, ci si invers, i.e. Puteți introduce numerele înainte de semnul logaritmului în logaritmul însuși. Acesta este ceea ce se cere cel mai adesea.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 7 49 6 .

Să scăpăm de gradul din argument folosind prima formulă:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Legatură pentru imagine]

Rețineți că numitorul conține un logaritm, a cărui bază și argument sunt puteri exacte: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Avem:

[Legatură pentru imagine]

Cred că ultimul exemplu necesită unele clarificări. Unde s-au dus logaritmii? Până în ultimul moment lucrăm doar cu numitorul. Am prezentat baza și argumentul logaritmului aflat acolo sub formă de puteri și am scos exponenții - am obținut o fracțiune „cu trei etaje”.

Acum să ne uităm la fracția principală. Numătorul și numitorul conțin același număr: log 2 7. Deoarece log 2 7 ≠ 0, putem reduce fracția - 2/4 va rămâne la numitor. Conform regulilor de aritmetică, cele patru pot fi transferate la numărător, ceea ce s-a făcut. Rezultatul a fost răspunsul: 2.

Tranziția la o nouă fundație

Vorbind despre regulile de adunare și scădere a logaritmilor, am subliniat în mod special că funcționează doar cu aceleași baze. Ce se întâmplă dacă motivele sunt diferite? Ce se întâmplă dacă nu sunt puteri exacte de același număr?

Formulele pentru tranziția către o nouă fundație vin în ajutor. Să le formulăm sub forma unei teoreme:

Să fie dat jurnalul de logaritm o x. Apoi pentru orice număr c astfel încât c> 0 și c≠ 1, egalitatea este adevărată:

[Legatură pentru imagine]

În special, dacă punem c = x, obținem:

[Legatură pentru imagine]

Din a doua formulă rezultă că baza și argumentul logaritmului pot fi schimbate, dar în acest caz întreaga expresie este „întoarsă”, adică. logaritmul apare la numitor.

Aceste formule se găsesc rar în expresiile numerice obișnuite. Este posibil să se evalueze cât de convenabile sunt acestea numai atunci când se rezolvă ecuații și inegalități logaritmice.

Cu toate acestea, există probleme care nu pot fi rezolvate deloc decât prin trecerea la o nouă fundație. Să ne uităm la câteva dintre acestea:

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 5 16 log 2 25.

Rețineți că argumentele ambilor logaritmi conțin puteri exacte. Să scoatem indicatorii: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Acum să „inversăm” al doilea logaritm:

[Legatură pentru imagine]

Deoarece produsul nu se schimbă la rearanjarea factorilor, am înmulțit cu calm patru și doi, apoi ne-am ocupat de logaritmi.

Sarcină. Aflați valoarea expresiei: log 9 100 lg 3.

Baza și argumentul primului logaritm sunt puteri exacte. Să notăm asta și să scăpăm de indicatorii:

[Legatură pentru imagine]

Acum să scăpăm de logaritmul zecimal trecând la o nouă bază:

[Legatură pentru imagine]

Identitatea logaritmică de bază

Adesea, în procesul de rezolvare, este necesar să se reprezinte un număr ca logaritm la o bază dată. În acest caz, următoarele formule ne vor ajuta:

În primul caz, numărul n devine un indicator al gradului aflat în argument. Număr n poate fi absolut orice, pentru că este doar o valoare logaritmică.

A doua formulă este de fapt o definiție parafrazată. Așa se numește: identitatea logaritmică de bază.

De fapt, ce se va întâmpla dacă numărul b ridică la o asemenea putere încât numărul b acestei puteri dă numărul o? Așa este: obțineți același număr o. Citiți din nou acest paragraf cu atenție - mulți oameni rămân blocați în el.

Asemenea formulelor pentru trecerea la o nouă bază, identitatea logaritmică de bază este uneori singura soluție posibilă.

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

[Legatură pentru imagine]

Rețineți că log 25 64 = log 5 8 - pur și simplu a luat pătratul de la baza și argumentul logaritmului. Luând în considerare regulile de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, obținem:

[Legatură pentru imagine]

Dacă cineva nu știe, aceasta a fost o sarcină reală de la examenul de stat unificat :)

Unitate logaritmică și zero logaritmic

În concluzie, voi da două identități care cu greu pot fi numite proprietăți - mai degrabă, sunt consecințe ale definiției logaritmului. Apar constant în probleme și, în mod surprinzător, creează probleme chiar și pentru elevii „avansați”.

1. jurnal o o= 1 este o unitate logaritmică. Amintiți-vă odată pentru totdeauna: logaritm la orice bază o chiar din această bază este egal cu unu.
2. jurnal o 1 = 0 este zero logaritmic. Baza o poate fi orice, dar dacă argumentul conține unul, logaritmul este egal cu zero! Deoarece o 0 = 1 este o consecință directă a definiției.

Sunt toate proprietățile. Asigurați-vă că exersați punerea lor în practică! Descărcați fișa cheat la începutul lecției, imprimați-o și rezolvați problemele.

Unul dintre elementele algebrei de nivel primitiv este logaritmul. Numele vine de la limba greacă din cuvântul „număr” sau „putere” și înseamnă puterea la care trebuie ridicat numărul din bază pentru a găsi numărul final.

Tipuri de logaritmi

• log a b – logaritmul numărului b la baza a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• jurnal b – logaritm zecimal(logaritm la baza 10, a = 10);
• ln b – logaritm natural (logaritm la baza e, a = e).

Cum se rezolvă logaritmii?

Logaritmul lui b la baza a este un exponent care necesită ca b să fie ridicat la baza a. Rezultatul obținut se pronunță astfel: „logaritmul lui b la baza a”. Soluţie probleme logaritmice este că trebuie să determinați un anumit grad prin numere conform numerele indicate. Există câteva reguli de bază pentru a determina sau rezolva logaritmul, precum și pentru a converti notația în sine. Folosind ele, se rezolvă ecuații logaritmice, se găsesc derivate, se rezolvă integrale și se efectuează multe alte operații. Practic, soluția logaritmului în sine este notația sa simplificată. Mai jos sunt formulele și proprietățile de bază:

Pentru orice a ; a > 0; a ≠ 1 și pentru orice x ; y > 0.

• a log a b = b – identitate logaritmică de bază
• log a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , pentru k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formulă pentru trecerea la o nouă bază
• log a x = 1/log x a

Cum se rezolvă logaritmi - instrucțiuni pas cu pas pentru rezolvare

• Mai întâi, scrieți ecuația necesară.

Vă rugăm să rețineți: dacă logaritmul de bază este 10, atunci intrarea este scurtată, rezultând un logaritm zecimal. Dacă merită număr natural e, apoi îl notăm, reducându-l la logaritmul natural. Aceasta înseamnă că rezultatul tuturor logaritmilor este puterea la care este ridicat numărul de bază pentru a obține numărul b.

Direct, soluția constă în calcularea acestui grad. Înainte de a rezolva o expresie cu un logaritm, aceasta trebuie simplificată conform regulii, adică folosind formule. Poți găsi identitățile principale revenind puțin în articol.

Când se adună și se scad logaritmi cu două numere diferite, dar cu aceleași baze, înlocuiți cu un logaritm cu produsul sau împărțirea numerelor b și, respectiv, c. În acest caz, puteți aplica formula pentru mutarea la o altă bază (vezi mai sus).

Dacă utilizați expresii pentru a simplifica un logaritm, există câteva limitări de luat în considerare. Și adică: baza logaritmului a este numai număr pozitiv, dar nu egal cu unu. Numărul b, ca și a, trebuie să fie mai mare decât zero.

Sunt cazuri în care, prin simplificarea unei expresii, nu veți putea calcula logaritmul numeric. Se întâmplă ca o astfel de expresie să nu aibă sens, deoarece multe puteri sunt numere iraționale. În această condiție, lăsați puterea numărului ca logaritm.

Sarcini a căror soluție este transformare expresii logaritmice , destul de des întâlnit la examenul de stat unificat.

Pentru a le face față cu succes cu o investiție minimă de timp pe lângă cele principale identități logaritmice, trebuie să cunoașteți și să folosiți mai corect câteva formule.

Aceasta este: a log a b = b, unde a, b > 0, a ≠ 1 (Resultă direct din definiția logaritmului).

log a b = log c b / log c a sau log a b = 1/log b a
unde a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
unde a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
unde a, b, c > 0 și a, b, c ≠ 1

Pentru a arăta validitatea celei de-a patra egalități, să luăm logaritmul stâng și partea dreaptă bazat pe a. Obținem log a (un log cu b) = log a (b log cu a) sau log cu b = log cu a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log cu b = log cu b.

Am dovedit egalitatea logaritmilor, ceea ce înseamnă că și expresiile de sub logaritmi sunt egale. Formula 4 a fost dovedită.

Exemplul 1.

Calculați 81 log 27 5 log 5 4 .

Soluţie.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Prin urmare,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Atunci 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Puteți finaliza singuri următoarea sarcină.

Calculați (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Ca un indiciu, 0,2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.

Raspuns: 5.

Exemplul 2.

Calculați (√11) jurnal √3 9- log 121 81 .

Soluţie.

Să schimbăm expresiile: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (a fost folosită formula 3).

Apoi (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Exemplul 3.

Calculați log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Soluţie.

Inlocuim logaritmii continuti in exemplu cu logaritmi cu baza 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Apoi log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

După ce deschidem parantezele și aducem termeni similari, obținem numărul 3. (La simplificarea expresiei, putem nota log 2 3 cu n și simplificăm expresia

(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).

Raspuns: 3.

Puteți finaliza singur următoarea sarcină:

Calculați (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Aici este necesar să se facă tranziția la logaritmii de bază 3 și factorizarea numerelor mari în factori primi.

Răspuns: 1/2

Exemplul 4.

Având trei numere A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Aranjați-le în ordine crescătoare.

Soluţie.

Să transformăm numerele A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Să le comparăm

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 și log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Sau -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Răspuns. Prin urmare, ordinea de plasare a numerelor este: C; O; ÎN.

Exemplul 5.

Câte numere întregi sunt în interval (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Soluţie.

Să stabilim între ce puteri ale numărului 3 se află numărul 1/16. Primim 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Deoarece funcția y = log 3 x este în creștere, atunci log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Să comparăm log 6 (4 / 3) și 1 / 5. Și pentru aceasta comparăm numerele 4/3 și 6 1/5. Să ridicăm ambele numere la puterea a 5-a. Se obține (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

jurnal 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Prin urmare, intervalul (log 3 1 / 16; log 6 48) include intervalul [-2; 4] iar pe el sunt plasate numerele întregi -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Răspuns: 7 numere întregi.

Exemplul 6.

Calculați 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Soluţie.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Apoi 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Raspuns: -1.

Exemplul 7.

Se știe că log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Aflați log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Soluţie.

Numerele (√3 + 1) și (√3 – 1); (√6 – 2) și (√6 + 2) sunt conjugate.

Să efectuăm următoarea transformare a expresiilor

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Apoi log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Răspuns: 2 – A.

Exemplul 8.

Simplificați și găsiți valoarea aproximativă a expresiei (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Soluţie.

Reducem toți logaritmii la teren comun 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Valoarea aproximativă a lg 2 poate fi găsită folosind un tabel, o rigură sau un calculator).

Răspuns: 0,3010.

Exemplul 9.

Calculați log a 2 b 3 √(a 11 b -3) dacă log √ a b 3 = 1. (În acest exemplu, a 2 b 3 este baza logaritmului).

Soluţie.

Dacă log √ a b 3 = 1, atunci 3/(0,5 log a b = 1. Și log a b = 1/6.

Atunci log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Considerând că acel log a b = 1/ 6 obținem (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

Răspuns: 2.1.

Puteți finaliza singur următoarea sarcină:

Calculați log √3 6 √2.1 dacă log 0.7 27 = a.

Răspuns: (3 + a) / (3a).

Exemplul 10.

Calculați 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Soluţie.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 ​​​​log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formula 4))

Obținem 9 + 6 = 15.

Raspuns: 15.

Mai ai întrebări? Nu sunteți sigur cum să găsiți valoarea unei expresii logaritmice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Deci, avem puteri de doi. Dacă luați numărul din linia de jos, puteți găsi cu ușurință puterea la care va trebui să ridicați doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridici doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

Baza a logaritmului lui x este puterea la care trebuie ridicat a pentru a obține x.

Denumire: log a x = b, unde a este baza, x este argumentul, b este ceea ce este de fapt egal cu logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Cu același log de succes 2 64 = 6, deoarece 2 6 = 64.

Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată se numește logaritmizare. Deci, să adăugăm o nouă linie la tabelul nostru:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Din păcate, nu toți logaritmii se calculează atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5 . Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe segment. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la infinit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să îl lăsați așa: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Este important să înțelegem că un logaritm este o expresie cu două variabile (baza și argumentul). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. Pentru a evita neînțelegerile enervante, priviți imaginea:

În fața noastră nu este nimic altceva decât definiția unui logaritm. Amintiți-vă: logaritmul este o putere, în care trebuie construită baza pentru a obține un argument. Este baza care este ridicată la o putere - este evidențiată cu roșu în imagine. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu apare nicio confuzie.

Ne-am dat seama de definiție - tot ce rămâne este să învățăm cum să numărăm logaritmii, de exemplu. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

1. Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definirea unui grad de către un exponent rațional, la care se reduce definiția unui logaritm.
2. Baza trebuie să fie diferită de unul, deoarece unul în orice grad rămâne unul. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!

Se numesc astfel de restricții intervalul de valori acceptabile(ODZ). Rezultă că ODZ a logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Rețineți că nu există restricții privind numărul b (valoarea logaritmului). De exemplu, logaritmul poate fi foarte negativ: log 2 0.5 = −1, deoarece 0,5 = 2 −1.

Totuși, acum luăm în considerare doar expresii numerice, unde nu este necesar să cunoaștem VA logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către autorii problemelor. Dar atunci când ecuațiile și inegalitățile logaritmice intră în joc, cerințele DL vor deveni obligatorii. La urma urmei, baza și argumentul pot conține construcții foarte puternice care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum să luăm în considerare schema generala calcularea logaritmilor. Acesta constă din trei etape:

1. Exprimați baza a și argumentul x ca o putere cu baza minimă posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de zecimale;
2. Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b ;
3. Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta este! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acesta va fi vizibil deja în primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte importantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. La fel cu zecimale: dacă le convertiți imediat în cele obișnuite, vor fi mult mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă folosind exemple specifice:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Să creăm și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Am primit răspunsul: 2.

Sarcină. Calculați logaritmul:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 4 64

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Să creăm și să rezolvăm ecuația:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Am primit răspunsul: 3.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Să creăm și să rezolvăm ecuația:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Am primit raspunsul: 0.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 7 14

1. Să ne imaginăm baza și argumentul ca o putere a lui șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu poate fi reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu contează;
3. Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.

O mică notă despre ultimul exemplu. Cum poți fi sigur că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Este foarte simplu - doar includeți-l în factori primi. Dacă expansiunea are cel puțin doi factori diferiți, numărul nu este o putere exactă.

Sarcină. Aflați dacă numerele sunt puteri exacte: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grad exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nu este o putere exactă, întrucât există doi factori: 3 și 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grad exact;
35 = 7 · 5 - din nou nu este o putere exactă;
14 = 7 · 2 - din nou nu este un grad exact;

Să remarcăm, de asemenea, că noi înșine numere prime sunt întotdeauna grade exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și un simbol special.

Logaritmul zecimal al lui x este logaritmul la baza 10, adică. Puterea la care trebuie ridicat numărul 10 pentru a obține numărul x. Denumire: lg x.

De exemplu, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când o expresie precum „Găsiți lg 0.01” apare într-un manual, să știți că aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este un logaritm zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți familiarizat cu această notație, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru logaritmii zecimali.

Logaritmul natural

Există un alt logaritm care are propria sa denumire. În unele privințe, este chiar mai important decât zecimală. Este vorba despre despre logaritmul natural.

Logaritmul natural al lui x este logaritmul la baza e, i.e. puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: ln x .

Mulți se vor întreba: care este numărul e? Acest număr irațional, al lui valoarea exacta imposibil de găsit și înregistrat. Voi da doar primele cifre:
e = 2,718281828459...

Nu vom intra în detaliu despre ce este acest număr și de ce este necesar. Nu uitați doar că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Astfel ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui număr rațional iraţional. Cu excepția, desigur, a unuia: ln 1 = 0.

Pentru logaritmi naturali toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.