Rezolvarea sistemelor de inegalități trigonometrice. Rezolvarea inegalităților online
Proiect de algebră „Rezolvarea inegalităților trigonometrice” Realizat de elevul clasei 10 „B” Kazachkova Yulia Conducător: profesor de matematică Kochakova N.N.
Scop Consolidarea materialului pe tema „Rezolvarea inegalităților trigonometrice” și crearea unui memento pentru ca studenții să se pregătească pentru examenul viitor.
Obiective: Rezumați materialul pe această temă. Sistematizează informațiile primite. Luați în considerare acest subiect la examenul de stat unificat.
Relevanță Relevanța temei pe care am ales-o constă în faptul că sarcinile pe tema „Rezolvarea inegalităților trigonometrice” sunt incluse în sarcinile Examenului de stat unificat.
Inegalități trigonometrice O inegalitate este o relație care leagă două numere sau expresii prin unul dintre semnele: (mai mare decât); ≥ (mai mare sau egal cu). O inegalitate trigonometrică este o inegalitate care implică funcții trigonometrice.
Inegalități trigonometrice Soluția inegalităților care conțin funcții trigonometrice se reduce, de regulă, la rezolvarea celor mai simple inegalități de forma: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x
Algoritm de rezolvare a inegalităților trigonometrice Pe o axă corespunzătoare uneia date functie trigonometrica, marcați valoarea numerică dată a acestei funcții. Desenați o linie prin punctul marcat care intersectează cercul unitar. Selectați punctele de intersecție ale unei linii și ale unui cerc, ținând cont de semnul de inegalitate strictă sau nestrictă. Selectați arcul de cerc pe care se află soluțiile inegalității. Determinați valorile unghiurilor la punctele de început și de sfârșit ale arcului circular. Notați soluția inegalității ținând cont de periodicitatea funcției trigonometrice date.
Formule de rezolvare a inegalităților trigonometrice sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx o; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxo; x (arctg a + πn ; + πn). tgx o; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază sinx >a
Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază sinx Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază cosx >a Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază cosx Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază tgx >a Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază tgx Rezolvarea grafică a inegalităților trigonometrice de bază ctgx >a
Inegalitățile sunt relații de forma a › b, unde a și b sunt expresii care conțin cel puțin o variabilă. Inegalitățile pot fi stricte - ‹, › și nestrictive - ≥, ≤.
Inegalitățile trigonometrice sunt expresii de forma: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, în care F(x) este reprezentată de una sau mai multe funcții trigonometrice .
Un exemplu de cea mai simplă inegalitate trigonometrică este: sin x ‹ 1/2. Se obișnuiește să se rezolve astfel de probleme grafic, au fost dezvoltate două metode.
Metoda 1 - Rezolvarea inegalităților prin reprezentarea grafică a unei funcții
Pentru a găsi un interval care îndeplinește condițiile inegalității sin x ‹ 1/2, trebuie să efectuați următorii pași:
- Pe axa de coordonate, construiți o sinusoidă y = sin x.
- Pe aceeași axă, desenați un grafic al argumentului numeric al inegalității, adică o dreaptă care trece prin punctul ½ al ordonatei OY.
- Marcați punctele de intersecție ale celor două grafice.
- Umbriți segmentul care este soluția pentru exemplu.
Atunci când într-o expresie sunt prezente semne stricte, punctele de intersecție nu sunt soluții. Deoarece cea mai mică perioadă pozitivă a unei sinusoide este 2π, scriem răspunsul după cum urmează:
Dacă semnele expresiei nu sunt stricte, atunci intervalul de soluție trebuie inclus între paranteze drepte - . Răspunsul la problemă poate fi scris și ca următoarea inegalitate: 
Metoda 2 - Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul unitar
Probleme similare pot fi rezolvate cu ușurință folosind un cerc trigonometric. Algoritmul pentru găsirea răspunsurilor este foarte simplu:
- Mai întâi trebuie să desenați un cerc unitar.
- Apoi trebuie să rețineți valoarea funcției arc a argumentului din partea dreaptă a inegalității pe arcul de cerc.
- Este necesar să se traseze o linie dreaptă care trece prin valoarea funcției arc paralelă cu axa absciselor (OX).
- După aceea, tot ce rămâne este să selectați arcul de cerc, care este setul de soluții la inegalitatea trigonometrică.
- Notează răspunsul în forma cerută.
Să analizăm etapele soluției folosind exemplul inegalității sin x › 1/2. Punctele α și β sunt marcate pe cerc - valori
Punctele arcului situat deasupra α și β sunt intervalul de rezolvare a inegalității date.
Dacă trebuie să rezolvați un exemplu pentru cos, atunci arcul de răspuns va fi situat simetric față de axa OX, nu OY. Puteți lua în considerare diferența dintre intervalele de soluție pentru sin și cos în diagramele de mai jos din text.
Soluțiile grafice pentru inegalitățile tangente și cotangente vor diferi atât de sinus, cât și de cosinus. Acest lucru se datorează proprietăților funcțiilor.
Arctangente și arccotangente sunt tangente la un cerc trigonometric, iar perioada pozitivă minimă pentru ambele funcții este π. Pentru a utiliza rapid și corect a doua metodă, trebuie să vă amintiți pe ce axă sunt reprezentate valorile sin, cos, tg și ctg.
Tangenta tangentă este paralelă cu axa OY. Dacă trasăm valoarea arctanului a pe cercul unitar, atunci al doilea punct necesar va fi situat în sfertul diagonalei. Unghiuri
Sunt puncte de întrerupere pentru funcție, deoarece graficul tinde spre ele, dar nu ajunge niciodată la ele.
În cazul cotangentei, tangenta este paralelă cu axa OX, iar funcția este întreruptă în punctele π și 2π.
Inegalități trigonometrice complexe
Dacă argumentul funcției de inegalitate este reprezentat nu doar de o variabilă, ci de o întreagă expresie care conține o necunoscută, atunci vorbim deja despre inegalitate complexă. Procesul și procedura de rezolvare sunt oarecum diferite de metodele descrise mai sus. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la următoarea inegalitate:
Soluția grafică implică construirea unei sinusoide obișnuite y = sin x folosind valori ale lui x alese arbitrar. Să calculăm un tabel cu coordonatele pentru punctele de control ale graficului:
Rezultatul ar trebui să fie o curbă frumoasă.
Pentru a ușura găsirea unei soluții, să înlocuim argumentul funcției complexe
1. Dacă argumentul este complex (diferit de X), apoi înlocuiți-l cu t.
2. Construim într-un singur plan de coordonate jucărie grafice de funcții y=costŞi y=a.
3. Găsim astfel două puncte de intersecție adiacente ale graficelor, între care se află deasupra dreptei y=a. Găsim abscisele acestor puncte.
4. Scrieți o inegalitate dublă pentru argument t, ținând cont de perioada cosinus ( t va fi între abscisele găsite).
5. Faceți o înlocuire inversă (reveniți la argumentul inițial) și exprimați valoarea X din dubla inegalitate scriem raspunsul sub forma unui interval numeric.
Exemplul 1.
În continuare, conform algoritmului, determinăm acele valori ale argumentului t, la care se află sinusoida superior direct. Să scriem aceste valori ca o inegalitate dublă, ținând cont de periodicitatea funcției cosinus, apoi să revenim la argumentul original X.
Exemplul 2.
Selectarea unui interval de valori t, în care sinusoida este deasupra dreptei.
Scriem valorile sub formă de dublă inegalitate t, satisfacerea conditiei. Nu uitați că cea mai mică perioadă a funcției y=cost egală 2π. Revenind la variabilă X, simplificând treptat toate părțile inegalității duble.
Scriem răspunsul sub forma unui interval numeric închis, deoarece inegalitatea nu era strictă.
Exemplul 3.
Ne va interesa gama de valori t, în care punctele sinusoidei se vor afla deasupra dreptei.
Valori t scrieți-l sub forma unei inegalități duble, rescrieți aceleași valori pentru 2x si exprima X. Să scriem răspunsul sub forma unui interval numeric.
Și din nou formula cost>a.
Dacă cost>a, (-1≤O≤1), atunci - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
Aplicați formule pentru a rezolva inegalitățile trigonometrice și veți economisi timp la testarea examenului.
Și acum formula
, pe care ar trebui să-l utilizați la UNT sau la examenul de stat unificat atunci când rezolvați o inegalitate trigonometrică de formă cost
Dacă cost , (-1≤O≤1), atunci arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
Aplicați această formulă pentru a rezolva inegalitățile discutate în acest articol și veți obține răspunsul mult mai rapid și fără niciun grafic!
Luând în considerare periodicitatea funcției sinus, scriem o inegalitate dublă pentru valorile argumentului t, satisfăcând ultima inegalitate. Să revenim la variabila inițială. Să transformăm inegalitatea dublă rezultată și să exprimăm variabila X. Să scriem răspunsul sub forma unui interval.
Să rezolvăm a doua inegalitate:
La rezolvarea celei de-a doua inegalități, a trebuit să transformăm partea stângă a acestei inegalități folosind formula sinusului dublu argument pentru a obține o inegalitate de forma: sint≥a. Apoi am urmat algoritmul.
Rezolvăm a treia inegalitate:
Dragi absolvenți și solicitanți! Rețineți că metodele de rezolvare a inegalităților trigonometrice, precum metoda grafică prezentată mai sus și, probabil cunoscută de dvs., metoda de rezolvare folosind un cerc trigonometric unitar (cerc trigonometric) sunt aplicabile doar în primele etape ale studierii secțiunii de trigonometrie. „Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice și a inegalităților.” Cred că vă veți aminti că ați rezolvat mai întâi cele mai simple ecuații trigonometrice folosind grafice sau un cerc. Totuși, acum nu te-ai gândi să rezolvi ecuații trigonometrice în acest fel. Cum le rezolvi? Așa e, după formule. Deci inegalitățile trigonometrice ar trebui rezolvate folosind formule, în special în timpul testării, când fiecare minut este prețios. Deci, rezolvați cele trei inegalități ale acestei lecții folosind formula corespunzătoare.
Dacă sint>a, unde -1≤ o≤1, atunci arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Învață formule!
Și în sfârșit: știai că matematica este definiții, reguli și FORMULE?!
Bineînțeles că faci! Iar cel mai curios, după ce a studiat acest articol și a vizionat videoclipul, a exclamat: „Cât de lung și de greu! Există o formulă care vă permite să rezolvați astfel de inegalități fără nici un grafic sau cercuri?” Da, desigur că există!
PENTRU SOLUȚIONAREA INEGALITĂȚILOR DE FORME: păcat (-1≤O≤1) formula este valabilă:
— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Aplicați-l la exemplele discutate și veți obține răspunsul mult mai repede!
Concluzie: ÎNVĂȚAȚI FORMULE, PRIETENI!
Pagina 1 din 1 1
1.5 Inegalități trigonometrice și metode de rezolvare a acestora
1.5.1 Rezolvarea inegalităților trigonometrice simple
Majoritatea autorilor manualelor moderne de matematică sugerează să începeți să luați în considerare acest subiect prin rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice. Principiul rezolvării celor mai simple inegalități trigonometrice se bazează pe cunoștințele și abilitățile de a determina pe un cerc trigonometric valorile nu numai ale principalelor unghiuri trigonometrice, ci și ale altor valori.
Între timp, rezolvarea inegalităților de forma , , , poate fi efectuată astfel: mai întâi găsim un interval () pe care această inegalitate este satisfăcută și apoi notăm răspunsul final adăugând la capetele intervalului găsit a număr care este un multiplu al perioadei sinusului sau cosinusului: ( 
). În acest caz, valoarea este ușor de găsit, deoarece sau . Căutarea sensului se bazează pe intuiția elevilor, capacitatea lor de a observa egalitatea arcelor sau a segmentelor, profitând de simetria părților individuale ale graficului sinus sau cosinus. Și acest lucru depășește uneori capacitățile unui număr destul de mare de studenți. Pentru a depăși dificultățile remarcate în manuale în ultimii ani au fost folosite abordări diferite pentru a rezolva cele mai simple inegalități trigonometrice, dar acest lucru nu a oferit nicio îmbunătățire a rezultatelor învățării.
De câțiva ani, am folosit cu succes formule pentru rădăcinile ecuațiilor corespunzătoare pentru a găsi soluții la inegalitățile trigonometrice.
Studiem acest subiect în felul următor:
1. Construim grafice și y = a, presupunând că .
Apoi notăm ecuația și soluția ei. Dând n 0; 1; 2, găsim cele trei rădăcini ale ecuației compilate: . Valorile sunt abscisa a trei puncte consecutive de intersecție ale graficelor și y = a. Este evident că inegalitatea este valabilă întotdeauna pentru intervalul (), iar inegalitatea este valabilă întotdeauna pentru intervalul ().
Adunând la capetele acestor intervale un număr care este un multiplu al perioadei sinusului, în primul caz obținem o soluție a inegalității sub forma: ; iar în al doilea caz, o soluție a inegalității sub forma:
Numai în contrast cu sinusul din formulă, care este o soluție a ecuației, pentru n = 0 obținem două rădăcini, iar a treia rădăcină pentru n = 1 sub forma 
. Și din nou sunt trei abscise consecutive ale punctelor de intersecție ale graficelor și . În intervalul () inegalitatea este valabilă, în intervalul () inegalitatea
Acum nu este greu să notăm soluțiile la inegalități și . În primul caz obținem: ;
iar în al doilea: .
Să rezumam. Pentru a rezolva inegalitatea sau, trebuie să creați ecuația corespunzătoare și să o rezolvați. Din formula rezultată, găsiți rădăcinile lui și și scrieți răspunsul la inegalitate sub forma: .
La rezolvarea inegalităților , din formula pentru rădăcinile ecuației corespunzătoare găsim rădăcinile și , și scriem răspunsul la inegalitate sub forma: .
Această tehnică vă permite să predați rezolvarea inegalităților trigonometrice tuturor elevilor, deoarece Această tehnică se bazează în întregime pe abilitățile pe care elevii le au o stăpânire puternică. Acestea sunt abilitățile de a rezolva probleme simple și de a găsi valoarea unei variabile folosind o formulă. În plus, devine complet inutilă rezolvarea cu atenție a unui număr mare de exerciții sub îndrumarea unui profesor pentru a demonstra tot felul de tehnici de raționament în funcție de semnul inegalității, valoarea modulului numărului a și semnul acestuia. . Iar procesul de rezolvare a inegalității în sine devine scurt și, ceea ce este foarte important, uniform.
Un alt avantaj al acestei metode este că vă permite să rezolvați cu ușurință inegalitățile chiar și atunci când partea dreaptă nu este o valoare de tabel de sinus sau cosinus.
Să demonstrăm acest lucru cu un exemplu specific. Să presupunem că trebuie să rezolvăm o inegalitate. Să creăm ecuația corespunzătoare și să o rezolvăm:
Să găsim valorile și .
Când n = 1 
Când n = 2 
Scriem răspunsul final la această inegalitate:
În exemplul considerat de rezolvare a celor mai simple inegalități trigonometrice, poate exista un singur dezavantaj - prezența unei anumite cantități de formalism. Dar dacă totul este evaluat numai din aceste poziții, atunci va fi posibil să se acuze formulele rădăcinilor ecuației pătratice și toate formulele de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice și multe altele de formalism.
Deși metoda propusă ocupă un loc demn în formarea deprinderilor de rezolvare a inegalităților trigonometrice, importanța și caracteristicile altor metode de rezolvare a inegalităților trigonometrice nu pot fi subestimate. Acestea includ metoda intervalului.
Să luăm în considerare esența lui.
Set editat de A.G. Mordkovich, deși nu ar trebui să ignorați nici restul manualelor. § 3. Metodologia de predare a temei „Funcții trigonometrice” în cursul de algebră și începuturi de analiză În studiul funcțiilor trigonometrice la școală se pot distinge două etape principale: ü Cunoașterea inițială cu funcțiile trigonometrice...
În realizarea cercetării au fost rezolvate următoarele sarcini: 1) Au fost analizate manualele actuale de algebră și începuturile analizei matematice pentru a identifica metodele prezentate în acestea de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților iraționale. Analiza ne permite să tragem următoarele concluzii: ·în gimnaziu se acordă o atenție insuficientă metodelor de rezolvare a diverselor ecuații iraționale, în principal...
Cele mai simple inegalități trigonometrice de forma sin x>a stau la baza rezolvării inegalităților trigonometrice mai complexe.
Să luăm în considerare rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice de forma sin x>a pe cercul unitar.
1) la 0
Folosind asocierea cosinus-bun (ambele încep cu co-, ambele sunt „rotunde”), ne amintim că cosinus este x, respectiv sinus este y. De aici construim un grafic y=a - o linie dreaptă paralelă cu axa bou. Dacă inegalitatea este strictă, punctele de intersecție ale cercului unitar și dreapta y=a sunt perforate, dacă inegalitatea nu este strictă, pictăm peste puncte (cât de ușor este să ne amintim când este perforat un punct și când este umbrită, vezi). Cea mai mare dificultate în rezolvarea celor mai simple inegalități trigonometrice este cauzată de găsirea corectă a punctelor de intersecție a cercului unitar și a dreptei y=a.
Primul punct este ușor de găsit - este arcsin a. Stabilim calea pe care mergem de la primul punct la al doilea. Pe linia y=a sinx=a, deasupra, deasupra liniei, sin x>a, iar dedesubt, sub linie, sin x
2) a=0, adică sin x>0
În acest caz, primul punct al intervalului este 0, al doilea este n La ambele capete ale intervalului, ținând cont de perioada sinusului, adăugăm 2n.
3) pentru a=-1, adică sinx>-1
În acest caz, primul punct este p/2, iar pentru a ajunge la al doilea, ocolim întregul cerc în sens invers acelor de ceasornic. Ajungem la punctul -p/2+2p=3p/2. Pentru a lua în considerare toate intervalele care sunt soluții la această inegalitate, adăugăm 2n la ambele capete.
4) sinx>-a, la 0
Primul punct este, ca de obicei, arcsin(-a)=-arcsina. Pentru a ajunge la al doilea punct, mergem pe calea superioară, adică în direcția de creștere a unghiului.
De data aceasta trecem dincolo de n. Cât mai mergem? Pe arcsin x. Aceasta înseamnă că al doilea punct este n+arcsin x. De ce nu există minus? Pentru că minusul din notația -arcsin a înseamnă mișcare în sensul acelor de ceasornic, dar am mers în sens invers acelor de ceasornic. Și, în final, adăugați 2pn la fiecare capăt al intervalului.
5) sinx>a, dacă a>1.
Cercul unitar se află în întregime sub linia dreaptă y=a. Nu există niciun punct deasupra liniei drepte. Deci nu există soluții.
6) sinx>-a, unde a>1.
În acest caz, întregul cerc unitar se află în întregime deasupra liniei drepte y=a. Prin urmare, orice punct satisface condiția sinx>a. Aceasta înseamnă că x este orice număr.
Și aici x este orice număr, deoarece punctele -n/2+2nn sunt incluse în soluție, în contrast cu inegalitatea strictă sinx>-1. Nu este nevoie să excludeți nimic.
Singurul punct de pe cerc satisfăcător această condiție, este p/2. Ținând cont de perioada sinusului, soluția acestei inegalități este mulțimea punctelor x=n/2+2n.
De exemplu, rezolvați inegalitatea sinx>-1/2:
