Calculați exemple trigonometrice. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice

Conceptul de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

• Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor patru ecuații trigonometrice de bază.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.

• Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică analizarea diferitelor poziții x pe cercul unității, precum și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
• Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π/3. Rețineți: toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă. De exemplu, periodicitatea lui sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea lui tg x și ctg x este πn. Prin urmare, răspunsul este scris după cum urmează:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exemplul 2. cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = 2π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exemplul 3. tg (x - π/4) = 0.
• Răspuns: x = π/4 + πn.
• Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
• Răspuns: x = π/12 + πn.

Transformări utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

• Pentru transformarea ecuațiilor trigonometrice se folosesc transformări algebrice (factorizarea, reducerea termenilor omogene etc.) și identități trigonometrice.
• Exemplul 5: Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 este transformată în ecuația 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Astfel, următoarele întrebări de bază necesită de rezolvat ecuații trigonometrice: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Găsirea unghiurilor prin valori cunoscute funcții.

  • Înainte de a învăța cum să rezolvi ecuațiile trigonometrice, trebuie să înveți cum să găsești unghiuri folosind valorile funcțiilor cunoscute. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
  • Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, 0,732.

• Pune deoparte soluția pe cercul unității.

  • Puteți reprezenta soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unității. Soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
  • Exemplu: Soluțiile x = π/3 + πn/2 pe cercul unitar reprezintă vârfurile pătratului.
  • Exemplu: Soluțiile x = π/4 + πn/3 pe cercul unitar reprezintă vârfurile unui hexagon regulat.

• Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

  • Dacă o ecuație trigonometrică dată conține doar una functie trigonometrica, rezolvați această ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă ecuația dată include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
    • Metoda 1.
  • Transformați această ecuație într-o ecuație de forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, unde f(x), g(x), h(x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
  • Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Soluţie. Folosind formula unghiului dublu sin 2x = 2*sin x*cos x, înlocuiți sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
  • Exemplul 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Acum rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
  • Exemplul 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu una necunoscută, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t etc.).
  • Exemplul 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Soluţie. În această ecuație, înlocuiți (cos^2 x) cu (1 - sin^2 x) (în funcție de identitate). Ecuația transformată este:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum, ecuația arată astfel: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică care are două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface domeniul de funcții (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exemplul 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Soluţie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrieți ecuația inițială după cum urmează: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tan x.

Necesită cunoașterea formulelor de bază ale trigonometriei - suma pătratelor sinusului și cosinusului, expresia tangentei prin sinus și cosinus și altele. Pentru cei care le-au uitat sau nu le cunosc, recomandăm citirea articolului „”.
Deci, cunoaștem formulele trigonometrice de bază, este timpul să le folosim în practică. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu abordarea corectă, este o activitate destul de interesantă, cum ar fi, de exemplu, rezolvarea unui cub Rubik.

Pe baza numelui în sine, este clar că o ecuație trigonometrică este o ecuație în care necunoscutul se află sub semnul funcției trigonometrice.
Există așa-numitele cele mai simple ecuații trigonometrice. Iată cum arată: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Să luăm în considerare cum se rezolvă astfel de ecuații trigonometrice, pentru claritate vom folosi cercul trigonometric deja familiar.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

pat x = a

Orice ecuație trigonometrică se rezolvă în două etape: reducem ecuația la cea mai simplă formă și apoi o rezolvăm ca o ecuație trigonometrică simplă.
Există 7 metode principale prin care se rezolvă ecuațiile trigonometrice.

1. Substituția variabilă și metoda substituției

Rezolvați ecuația 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Folosind formulele de reducere obținem:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Înlocuiește cos(x + /6) cu y pentru a simplifica și a obține ecuația pătratică obișnuită:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Ale căror rădăcini sunt y 1 = 1, y 2 = 1/2

Acum să mergem în ordine inversă

Înlocuim valorile găsite ale lui y și obținem două opțiuni de răspuns:

2. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin factorizare

Cum se rezolvă ecuația sin x + cos x = 1?

Să mutăm totul la stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta:

sin x + cos x – 1 = 0

Să folosim identitățile discutate mai sus pentru a simplifica ecuația:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Să factorizăm:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Obținem două ecuații

3. Reducerea la o ecuație omogenă

O ecuație este omogenă față de sinus și cosinus dacă toți termenii ei sunt relativ la sinusul și cosinusul aceleiași puteri ale aceluiași unghi. Pentru a rezolva o ecuație omogenă, procedați după cum urmează:

a) transferă toți membrii săi în partea stângă;

b) scoateți toți factorii comuni din paranteze;

c) egalează toți factorii și parantezele cu 0;

d) primite între paranteze ecuație omogenăîntr-un grad mai mic, la rândul său este împărțit în sinus sau cosinus la cel mai înalt grad;

e) rezolvați ecuația rezultată pentru tg.

Rezolvați ecuația 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Să folosim formula sin 2 x + cos 2 x = 1 și să scăpăm de cele două deschise din dreapta:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Împărțire la cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Înlocuiți tan x cu y și obțineți o ecuație pătratică:

y 2 + 4y +3 = 0, ale căror rădăcini sunt y 1 =1, y 2 = 3

De aici găsim două soluții la ecuația inițială:

x 2 = arctan 3 + k

4. Rezolvarea ecuațiilor prin trecerea la jumătate de unghi

Rezolvați ecuația 3sin x – 5cos x = 7

Să trecem la x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Să mutăm totul la stânga:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Împărțire la cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introducerea unghiului auxiliar

Pentru a lua în considerare, să luăm o ecuație de forma: a sin x + b cos x = c,

unde a, b, c sunt niște coeficienți arbitrari, iar x este o necunoscută.

Să împărțim ambele părți ale ecuației la:



Acum coeficienții ecuației conform formule trigonometrice au proprietățile sin și cos și anume: modulul lor nu este mai mare de 1 și suma pătratelor = 1. Să le notăm, respectiv, cos și sin, unde - acesta este așa-numitul unghi auxiliar. Atunci ecuația va lua forma:

cos * sin x + sin * cos x = C

sau sin(x + ) = C

Soluția acestei cele mai simple ecuații trigonometrice este

x = (-1) k * arcsin C - + k, unde



Trebuie remarcat faptul că notațiile cos și sin sunt interschimbabile.

Rezolvați ecuația sin 3x – cos 3x = 1

Coeficienții din această ecuație sunt:

a = , b = -1, deci împărțiți ambele părți la = 2

Nu este un secret pentru nimeni că succesul sau eșecul în procesul de rezolvare a aproape orice problemă depinde în principal de determinarea corectă a tipului unei ecuații date, precum și de reproducerea corectă a succesiunii tuturor etapelor soluției sale. Totuși, în cazul ecuațiilor trigonometrice, determinarea faptului că ecuația este trigonometrică nu este deloc dificilă. Dar în procesul de determinare a secvenței de acțiuni care ar trebui să ne conducă la răspunsul corect, putem întâmpina anumite dificultăți. Să ne dăm seama cum să rezolvăm corect ecuațiile trigonometrice de la bun început.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați următoarele puncte:

• Reducem toate funcțiile care sunt incluse în ecuația noastră la „unghiuri identice”;
• Este necesar să aducem ecuația dată la „funcții identice”;
• Descompunem partea stângă a ecuației date în factori sau alte componente necesare.

Metode

Metoda 1. Astfel de ecuații trebuie rezolvate în două etape. Mai întâi, transformăm ecuația pentru a obține cea mai simplă formă (simplificată). Ecuația: Cosx = a, Sinx = a și altele similare se numesc cele mai simple ecuații trigonometrice. A doua etapă este rezolvarea celei mai simple ecuații obținute. Trebuie menționat că cea mai simplă ecuație poate fi rezolvată metoda algebrică, care ne este bine cunoscut din curs şcolar algebră. Se mai numește și metoda substituției și înlocuirii variabilelor. Folosind formule de reducere, trebuie mai întâi să transformați, apoi să faceți o înlocuire și apoi să găsiți rădăcinile.

Apoi, trebuie să factorăm ecuația noastră în factori posibili pentru a face acest lucru, trebuie să mutăm toți termenii la stânga și apoi o putem factoriza. Acum trebuie să aducem această ecuație la una omogenă, în care toți termenii sunt egali la același grad, iar cosinusul și sinusul au același unghi.

Înainte de a rezolva ecuațiile trigonometrice, trebuie să-i mutați termenii în partea stângă, luându-i din partea dreaptă și apoi să scoateți toți numitorii comuni din paranteze. Echivalăm parantezele și factorii noștri cu zero. Parantezele noastre egalate reprezintă o ecuație omogenă cu un grad redus, care trebuie împărțită la sin (cos) la cel mai înalt grad. Acum să decidem ecuație algebrică, care s-a obţinut, în raport cu bronzul.

Metoda 2. O altă metodă prin care poți rezolva o ecuație trigonometrică este să mergi la jumătatea unghiului. De exemplu, rezolvăm ecuația: 3sinx-5cosx=7.

Trebuie să mergem la jumătatea unghiului, în cazul nostru este: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+ 7cos²(x /2). Și după aceea, reducem toți termenii într-o singură parte (pentru comoditate, este mai bine să-l alegem pe cel potrivit) și procedăm la rezolvarea ecuației.

Dacă este necesar, puteți introduce un unghi auxiliar. Acest lucru se face în cazul în care trebuie să înlocuiți valoarea întreagă sin (a) sau cos (a) și semnul „a” acționează doar ca un unghi auxiliar.

Produs în totalitate

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice folosind produsul pentru a însuma? O metodă cunoscută sub numele de conversie produs în sumă poate fi, de asemenea, utilizată pentru a rezolva astfel de ecuații. În acest caz, este necesar să folosiți formulele corespunzătoare ecuației.

De exemplu, avem ecuația: 2sinx * sin3x= сos4x

Trebuie să rezolvăm această problemă transformând partea stângă într-o sumă, și anume:

сos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Dacă metodele de mai sus nu sunt potrivite și încă nu știți cum să rezolvați cele mai simple ecuații trigonometrice, puteți utiliza o altă metodă - substituția universală. Poate fi folosit pentru a transforma o expresie și a face o substituție. De exemplu: Cos(x/2)=u. Acum puteți rezolva ecuația cu parametrul existent u. Și după ce a primit rezultatul dorit, nu uitați să convertiți această valoare în invers.

Mulți studenți „cu experiență” sfătuiesc să le ceară oamenilor să rezolve ecuații online. Cum să rezolvi o ecuație trigonometrică online, te întrebi. Pentru soluții online sarcini, puteți merge pe forumuri pe subiecte relevante, unde vă pot ajuta cu sfaturi sau în rezolvarea problemei. Dar cel mai bine este să încerci să o faci singur.

Abilitățile și abilitățile în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice sunt foarte importante și utile. Dezvoltarea lor va necesita un efort considerabil din partea dvs. Multe probleme de fizică, stereometrie etc. sunt asociate cu rezolvarea unor astfel de ecuații. Iar procesul de rezolvare a unor astfel de probleme în sine presupune prezența abilităților și cunoștințelor care pot fi dobândite în timpul studierii elementelor de trigonometrie.

Învățarea formulelor trigonometrice

În procesul de rezolvare a unei ecuații, este posibil să întâmpinați nevoia de a utiliza orice formulă din trigonometrie. Poți, desigur, să începi să-l cauți în manualele tale și în foile de cheat. Și dacă aceste formule sunt stocate în capul tău, nu numai că îți vei salva nervii, dar îți vei face sarcina mult mai ușoară, fără a pierde timpul căutând informatiile necesare. Astfel, vei avea ocazia să te gândești la cel mai rațional mod de a rezolva problema.

Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive pentru construirea în spațiu
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Ce vom studia:
1. Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

3. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Ecuații trigonometrice omogene.
5. Exemple.

Ce sunt ecuațiile trigonometrice?

Băieți, am studiat deja arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Acum să ne uităm la ecuațiile trigonometrice în general.

Ecuațiile trigonometrice sunt ecuații în care o variabilă este conținută sub semnul unei funcții trigonometrice.

Să repetăm ​​forma rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice:

1)Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația cos(x) = a are o soluție:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Dacă |a|≤ 1, atunci ecuația sin(x) = a are o soluție:

3) Dacă |a| > 1, atunci ecuația sin(x) = a și cos(x) = a nu au soluții 4) Ecuația tg(x)=a are o soluție: x=arctg(a)+ πk

5) Ecuația ctg(x)=a are o soluție: x=arcctg(a)+ πk

Pentru toate formulele k este un număr întreg

Cele mai simple ecuații trigonometrice au forma: T(kx+m)=a, T este o funcție trigonometrică.

Exemplu.

Rezolvați ecuațiile: a) sin(3x)= √3/2

Soluţie:

A) Să notăm 3x=t, atunci ne vom rescrie ecuația sub forma:

Soluția acestei ecuații va fi: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Din tabelul de valori obținem: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Să revenim la variabila noastră: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Atunci x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Răspuns: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, unde n este un număr întreg. (-1)^n – minus unu la puterea lui n.

Mai multe exemple de ecuații trigonometrice.

Rezolvați ecuațiile: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Soluţie:

A) De data aceasta, să trecem direct la calcularea rădăcinilor ecuației:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Atunci x/5= πk => x=5πk

Răspuns: x=5πk, unde k este un număr întreg.

B) O scriem sub forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Știm că: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Răspuns: x=2π/9 + πk/3, unde k este un număr întreg.

Rezolvați ecuațiile: cos(4x)= √2/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segment.

Soluţie:

Vom decide în vedere generală ecuația noastră: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Acum să vedem ce rădăcini cad pe segmentul nostru. La k La k=0, x= π/16, suntem în segmentul dat.
Cu k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, lovim din nou.
Pentru k=2, x= π/16+ π=17π/16, dar aici nu am lovit, ceea ce înseamnă că pentru k mare, evident, nu vom lovi.

Răspuns: x= π/16, x= 9π/16

Două metode principale de soluție.

Ne-am uitat la cele mai simple ecuații trigonometrice, dar există și altele mai complexe. Pentru rezolvarea acestora se utilizează metoda introducerii unei noi variabile și metoda factorizării. Să ne uităm la exemple.

Să rezolvăm ecuația:

Soluţie:
Pentru a ne rezolva ecuația, vom folosi metoda introducerii unei noi variabile, notând: t=tg(x).

Ca rezultat al înlocuirii obținem: t 2 + 2t -1 = 0

Să găsim rădăcinile ecuație pătratică: t=-1 si t=1/3

Atunci tg(x)=-1 și tg(x)=1/3, obținem cea mai simplă ecuație trigonometrică, să-i găsim rădăcinile.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Răspuns: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Un exemplu de rezolvare a unei ecuații

Rezolvați ecuații: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Soluţie:

Să folosim identitatea: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Ecuația noastră va lua forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Să introducem înlocuirea t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice este rădăcinile: t=2 și t=-1/2

Atunci cos(x)=2 și cos(x)=-1/2.

Deoarece Cosinusul nu poate lua valori mai mari de unu, atunci cos(x)=2 nu are rădăcini.

Pentru cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Răspuns: x= ±2π/3 + 2πk

Ecuații trigonometrice omogene.

Definiție: Ecuațiile de forma a sin(x)+b cos(x) se numesc ecuații trigonometrice omogene de gradul I.

Ecuații de formă

ecuații trigonometrice omogene de gradul doi.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică omogenă de gradul I, împărțiți-o la cos(x): Nu puteți împărți la cosinus dacă este egal cu zero, să ne asigurăm că nu este cazul:
Fie cos(x)=0, apoi asin(x)+0=0 => sin(x)=0, dar sinusul și cosinusul nu sunt egale cu zero în același timp, obținem o contradicție, deci putem împărți în siguranță cu zero.

Rezolvați ecuația:
Exemplu: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Soluţie:

Să scoatem factorul comun: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Atunci trebuie să rezolvăm două ecuații:

Cos(x)=0 și cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 la x= π/2 + πk;

Luați în considerare ecuația cos(x)+sin(x)=0 Împărțiți ecuația noastră la cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Răspuns: x= π/2 + πk și x= -π/4+πk

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice omogene de gradul doi?
Băieți, respectați întotdeauna aceste reguli!

1. Vezi cu ce este egal coeficientul a, dacă a=0 atunci ecuația noastră va lua forma cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), un exemplu al cărui soluție este pe diapozitivul anterior

2. Dacă a≠0, atunci trebuie să împărțiți ambele părți ale ecuației la cosinusul la pătrat, obținem:

Schimbăm variabila t=tg(x) și obținem ecuația:

Rezolvați exemplul nr.:3

Rezolvați ecuația:
Soluţie:

Să împărțim ambele părți ale ecuației la pătratul cosinus:

Schimbăm variabila t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Să găsim rădăcinile ecuației pătratice: t=-3 și t=1

Atunci: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Răspuns: x=-arctg(3) + πk și x= π/4+ πk

Rezolvați exemplul nr.:4

Rezolvați ecuația:

Soluţie:
Să ne transformăm expresia:

Putem rezolva astfel de ecuații: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk

Răspuns: x= - π/4 + 2πk și x=5π/4 + 2πk

Rezolvați exemplul nr.:5

Rezolvați ecuația:

Soluţie:
Să ne transformăm expresia:

Să introducem înlocuirea tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Soluția ecuației noastre pătratice va fi rădăcinile: t=-2 și t=1/2

Atunci obținem: tg(2x)=-2 și tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Răspuns: x=-arctg(2)/2 + πk/2 și x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Probleme pentru rezolvare independentă.

1) Rezolvați ecuația

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Rezolvați ecuațiile: sin(3x)= √3/2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segmentul [π/2; π].

3) Rezolvați ecuația: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Rezolvați ecuația: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Rezolvați ecuația: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Rezolvați ecuația: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau legătura cu el.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, în proceduri judiciare și/sau pe baza unor solicitări publice sau solicitări din partea agențiilor guvernamentale din Federația Rusă - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm terței părți succesoare aplicabile.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.