Acțiunea forței centrifuge. Mișcarea de rotație a corpului
Orez. 4.8
În fiecare moment de timp, piatra ar trebui să se miște într-o linie dreaptă tangențială la cerc. Cu toate acestea, este conectat la axa de rotație printr-o frânghie. Coarda se întinde, apare o forță elastică care acționează asupra pietrei, îndreptată de-a lungul frânghiei spre centrul de rotație. Aceasta este forța centripetă (când Pământul se rotește în jurul axei sale, forța gravitațională acționează ca o forță centripetă).
Dar de atunci
| (4.5.2) | |||
| (4.5.3) |
Forța centripetă a apărut ca urmare a acțiunii pietrei asupra frânghiei, adică. este forța aplicată corpului - forță de inerție de al doilea fel. Este fictiv - nu există.
Forța aplicată îmbinării și îndreptată radial de la centru se numește centrifugal.
Amintiți-vă că forța centripetă este aplicată corpului în rotație, iar forța centrifugă este aplicată conexiunii.
Forța de atracție gravitațională este îndreptată spre centrul Pământului.
Forța de reacție a solului (presiunea normală) este direcționată perpendicular pe suprafața de mișcare.
Din punctul de vedere al unui observator asociat cu un cadru de referință non-inerțial, el nu se apropie de centru, deși vede că F cs-ul este în vigoare (acest lucru poate fi judecat după citirile dinamometrului cu arc). În consecință, din punctul de vedere al observatorului într-un sistem non-inerțial există o forță care echilibrează F cs, egal cu el ca mărime și opus ca direcție:
Deoarece un n= ω 2 R(aici ω este viteza unghiulară de rotație a pietrei, iar υ este liniară), atunci
| F tsb = mω 2 R. | (4.5.4) |
Noi toți (și și instrumentele fizice) ne aflăm pe Pământ, rotindu-ne în jurul unei axe, prin urmare, într-un sistem non-inerțial (Figura 4.9).
Orez. 4.9
Să presupunem că corpul rigid A (Fig. 1.19, a) se poate roti în jurul unei axe fixe. Pentru a provoca rotația unui corp (pentru a-și schimba viteza unghiulară), este necesară o influență externă. Cu toate acestea, o forță a cărei direcție trece prin axa de rotație sau o forță paralelă cu axa nu poate modifica viteza unghiulară a corpurilor.
Prin urmare, din forța externă aplicată corpului, este necesară izolarea componentelor care nu provoacă rotație. Rotația poate fi cauzată numai de o forță (forța de rotație) situată într-un plan perpendicular pe axa de rotație și îndreptată tangențial la cercul descris de punctul de aplicare a acestuia.
Rețineți că atunci când corpul se rotește, componentele nu efectuează lucru, deoarece punctul de aplicare al acestor forțe se mișcă perpendicular pe direcțiile lor. Munca este efectuată numai de forța de rotație; este proiecția forței care acționează asupra corpului pe direcția de mișcare a punctului de aplicare a acestei forțe.
Să determinăm cantitatea de lucru efectuată de forța de rotație dacă punctul său de aplicare se mișcă de-a lungul unui cerc de rază cu (Fig. 1.19, b). Să presupunem că mărimea forței rămâne constantă. Apoi
Produsul unei forțe de rotație și o rază este momentul forței de rotație sau cuplul care acționează asupra unui corp dat și este notat cu (amintim că momentul unei forțe date relativ la orice axă este produsul acestei forțe prin brațul său, adică de lungimea perpendicularei, efectuată de la specificat
axa faţă de direcţia forţei). Astfel, în formula (2.8)
prin urmare, munca efectuată de cuplul este egal cu produsul acestui moment și unghiul de rotație al corpului:
Dacă cuplul (forța sau brațul său) se modifică în timp, atunci munca efectuată este determinată ca sumă:
Cuplul forței de rotație este reprezentat ca un vector care coincide cu axa de rotație; orientarea pozitivă a acestui vector se alege în direcția în care s-ar deplasa șurubul drept rotit de acest moment.
Cuplul aplicat corpului îi conferă acestuia o oarecare accelerație unghiulară în funcție de direcțiile vectorilor pe care i-am ales; aceștia sunt orientați de-a lungul axei de rotație în aceeași direcție. Relația dintre mărimea cuplului și mărimea accelerației unghiulare transmise de acesta poate fi stabilită în două moduri:
a) putem folosi faptul că munca forței motrice este egală cu modificarea energiei cinetice a corpului căruia i se aplică această forță: Pentru un corp în rotație, conform formulelor (2.9) și (2.4), avem avea
Aici presupunem că momentul de inerție al corpului nu se modifică în timpul rotației. Împărțind această ecuație și reducând cu obținem
b) puteți profita de faptul că momentul forței de rotație este egal cu suma momentelor forțelor care imprimă accelerații tangenţiale componentelor individuale ale corpului; aceste forţe sunt egale, iar momentele lor sunt
Să înlocuim accelerațiile tangențiale cu accelerația unghiulară, care este aceeași pentru toate particulele unui corp în rotație (dacă corpul nu este deformat în timpul rotației): Atunci
Formula (2.12) exprimă legea de bază a dinamicii mișcării de rotație a corpurilor solide (nedeformabile), pentru care
accelerația unghiulară dobândită de un corp sub influența unui cuplu dat este direct proporțională cu mărimea acestui moment și invers proporțională cu momentul de inerție al corpului față de axa de rotație:
În formă vectorială, această lege este scrisă ca
Dacă un corp este deformat în timpul rotației, atunci momentul său de inerție față de axa de rotație se va modifica. Să ne imaginăm mental un corp rotativ format din multe părți elementare (punctuale); atunci deformarea întregului corp va însemna o modificare a distanțelor de la aceste părți ale corpului până la axa de rotație. Cu toate acestea, o modificare a distanței unei viteze unghiulare date de rotație co va fi însoțită de o modificare a vitezei liniare de mișcare a acestei particule și, prin urmare, a energiei sale cinetice. Astfel, la o viteză unghiulară constantă de rotație a corpului, o modificare a distanțelor (deci, o modificare a momentului de inerție al corpului) va fi însoțită de o modificare a energiei cinetice de rotație a întregului corp.
Din formula (2.4), dacă presupunem variabile, putem obține
Primul termen arată modificarea energiei cinetice a unui corp în rotație, care s-a produs numai datorită unei modificări a vitezei unghiulare de rotație (la un moment dat de inerție a corpului), iar al doilea termen arată modificarea energiei cinetice. , care s-a produs numai din cauza unei modificări a momentului de inerție a corpului (la o viteză unghiulară dată de rotație).
Cu toate acestea, atunci când distanța de la un corp punctual la axa de rotație se modifică, forțele interne care leagă acest corp de axa de rotație vor funcționa: negative dacă corpul se îndepărtează și pozitive dacă corpul se apropie de axa de rotație; acest lucru poate fi calculat dacă presupunem că forța care leagă particulele de axa de rotație este numeric egală cu forța centripetă:
Pentru întregul corp, format din multe particule cu mase, obținem
În cazul general, atunci când un cuplu extern acționează asupra unui corp, modificarea energiei cinetice trebuie echivalată cu suma a două lucrări: cuplul extern și forțele interne.La rotație accelerată, valorile vor avea semne pozitive, - negative
semn (deoarece particulele corpului se îndepărtează de axa de rotație); Apoi
Înlocuind aici valoarea din expresia (2.15) și înlocuind cu se obține
sau după reducere
Aceasta este o formă generală a legii de bază a mecanicii pentru corpurile care se rotesc în jurul unei axe fixe; este aplicabilă și pentru corpurile deformate. Când formula (2.16) se transformă în formula (2.14).
Rețineți că pentru corpurile deformate, o modificare a vitezei unghiulare de rotație este posibilă chiar și în absența unui cuplu extern. Într-adevăr, când - din formula (2.16) obținem:
În acest caz, viteza unghiulară de rotație se modifică numai din cauza unei modificări a momentului de inerție a corpului cauzată de forțele interne.
3.1. Întrebare. Este posibil să se rotească „prin inerție”? Cum diferă inerția liniară de inerția de rotație?
Răspuns. La prima vedere, rotația demonstrează proprietățile inerției chiar mai clar decât mișcarea liniară. Un volant care se rotește în vid pe o suspensie magnetică se poate mișca ani de zile, deoarece influențele externe asupra acestuia sunt minimizate.
Newton, explicând legea inerției pe care a descoperit-o, dă următoarea explicație: „Un vârf, ale cărui părți, datorită aderenței reciproce, se distrag reciproc de la mișcarea rectilinie, nu încetează să se rotească uniform, deoarece această rotație nu este încetinită. prin rezistența aerului.” Această frază de la Newton te face să te gândești serios la întrebarea pusă.
Cu toate acestea, strict vorbind, mișcarea prin inerție nu poate fi decât uniformă și rectilinie. Aceasta înseamnă că nu poate exista rotație din cauza inerției în mecanica newtoniană pe care o acceptăm. Dar un corp solid masiv rămâne în stare de repaus sau rotație uniformă până când este scos din această stare de un moment al forțelor externe. Prin urmare, de fapt, fenomenul de inerție are loc și aici, deși diferit de cazul clasic. Ce este comun și care este diferența dintre inerția de rotație și inerția în timpul mișcării rectilinie?
Inerția unui punct masiv (corp) depinde numai de masa acestuia. Masa este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de translație, inclusiv liniară. Aceasta înseamnă că, cu o astfel de mișcare, inerția nu este afectată de distribuția maselor în corp, iar acest corp poate fi luat în siguranță ca punct material (masiv). Masa acestui punct este egală cu masa corpului, iar punctul este situat în centrul de masă sau centrul de inerție al corpului. Dacă rotiți o tijă cu greutăți masive montate pe ea în jurul axei verticale Z (Fig. 6), veți observa că atâta timp cât greutățile sunt aproape de centru, este ușor să desfaceți tija. Dar dacă greutățile sunt depărtate, va deveni mai dificil să desfaceți tija, deși masa acesteia nu s-a schimbat.
Orez. 6. Schema modificării momentului de inerție al corpului.
Prin urmare, inerția unui corp în timpul rotației depinde nu numai de masă, ci într-o măsură mai mare de distribuția acestei mase în raport cu axa de rotație. O măsură a inerției unui corp în timpul rotației este momentul axial de inerție eu, egal cu suma produselor maselor T toate particulele corpului după pătratele distanțelor lor h din axa de rotație:
Momentul axial de inerție joacă același rol în timpul mișcării de rotație ca și masa în timpul mișcării de translație (rectilinii) și, prin urmare, este o măsură a inerției (inerției) unui corp în timpul mișcării de rotație.
După cum știm, legea inerției stabilește echivalența repausului relativ și a mișcării rectilinie uniforme - mișcarea prin inerție. Este imposibil de determinat prin orice experiment mecanic dacă un corp dat este în repaus sau se mișcă uniform și în linie dreaptă. Nu este cazul în mișcarea de rotație. De exemplu, nu este deloc indiferent dacă vârful este în repaus sau se rotește uniform cu o viteză unghiulară constantă. După cum a menționat A. Yu. Ishlinsky, viteza unghiulară a unui corp solid este o mărime care îi caracterizează starea fizică. Viteza unghiulară poate fi măsurată, de exemplu, prin determinarea deformațiilor elastice ale unui corp, fără nicio informație despre poziția corpului în raport cu sistemul de coordonate „absolut”. Prin urmare, termenul „viteza unghiulară absolută a unui corp”, în contrast cu „viteza absolută a unui punct”, ar trebui folosit în sens literal (fără ghilimele).
Astfel, fenomenele mecanice dintr-un sistem staționar și rotativ se vor desfășura diferit, ca să nu mai vorbim de faptul că dacă corpul este răsucit suficient de puternic, acesta va fi rupt din cauza tensiunilor care au apărut în el.
O altă diferență este că mișcarea uniformă rectilinie și repausul sunt echivalente, iar rotația, chiar și cu o viteză unghiulară constantă, poate fi distinsă clar nu numai de repaus, ci și de rotația cu o viteză unghiulară diferită.
Aici este oportun să menționăm opiniile fizicianului austriac Ernst Mach (1838–1916), care a avut o mare influență asupra formării principiului de echivalență al lui Einstein. Mach, „selectând” sistemul de coordonate adecvat, a căutat să dea legilor mecanicii o astfel de formă încât să nu depindă de rotație. Ce s-ar întâmpla dacă ar reuși? Să plasăm un observator care se rotește rapid pe un volant staționar. Apoi putem spune că, în raport cu observatorul, volantul se rotește rapid, poate chiar mai repede decât o permite puterea sa. Dar volantul nu se va rupe, deși observatorului i se pare că asupra lui acţionează un stres enorm. Și observatorul care se rotește însuși poate avea de suferit, deoarece în timpul rotației apar solicitările mecanice în el.
3.2. Întrebare. Este posibil să se formuleze legile inerției de rotație într-un mod similar cu prima lege a lui Newton?
Răspuns. Vă puteți lua libertatea de a formula „legea” inerției mișcării de rotație în imaginea și asemănarea primei legi a lui Newton: „Un corp absolut rigid izolat de momentele externe va menține o stare de repaus sau o rotație uniformă în jurul unei axe fixe până când momentele exterioare aplicate acestui corp îl vor forța să schimbe această stare.”
De ce un corp absolut solid și nu orice corp? Deoarece momentul de inerție al unui corp nerigid se va modifica din cauza deformațiilor forțate în timpul rotației, iar aceasta este echivalentă cu o modificare a masei unui punct pentru prima lege a lui Newton.
În cazul mișcării de rotație, dacă momentul de inerție nu este constant, va fi necesar să se ia ca constantă nu viteza unghiulară, ci produsul dintre viteza unghiulară ω și momentul de inerție / - așa-numita cinetică. moment LA.În acest caz, „legea” inerției de rotație va lua o formă mai generală: „Un corp izolat de momentele externe va menține constant vectorul momentului său cinetic”. Dacă corpul se rotește în jurul unei axe fixe: „Un corp izolat de momentele externe în jurul axei de rotație va menține un moment cinetic constant în jurul acestei axe.” Aceste legi, cu toate acestea, într-o formulare ușor diferită, sunt numite legile conservării momentului unghiular.
3.3. Întrebare. Pământul și Luna se rotesc în jurul unui centru de masă comun. Acționează forțele centrifuge asupra acestor corpuri cerești?
Răspuns. Ideea că atunci când punctele materiale și corpurile se rotesc în jurul unei axe sau a unui punct fix, forțele centrifuge (adică, direcționate din centrul de rotație) trebuie să acționeze asupra lor este o concepție greșită comună.
De exemplu, atât Pământul, cât și Luna sunt afectate de forțele gravitaționale îndreptate unul spre celălalt și, prin urmare, spre centrul de rotație (Fig. 7). Nu există deloc forțe îndreptate din centru aici. Pentru ca corpurile care se deplasează prin inerție, adică uniform și rectiliniu, să se îndepărteze de această cale și să înceapă să se deplaseze de-a lungul curbelor, ele trebuie să fie afectate de forțe centripete, adică direcționate către centrul de rotație, forțe. Acestea sunt forțele gravitației.
Orez. 7. Diagrama forțelor care acționează asupra sistemului Pământ-Lună.
Dacă punctul se rotește A, legat de un suport DESPRE pe o conexiune flexibilă fără greutate - filet (Fig. 8, A), apoi, neglijând forța gravitațională (să spunem că experimentul se desfășoară în imponderabilitate), putem spune că și forța centripetă acționează în acest punct. Fts. Pe firul propriu-zis, ca legătură, din partea punctului A are loc o reacție direcționată din centru R1 = Fc, iar din partea suportului DESPRE - forta R2 = Fc(Fig. 8, b). Pe suport DESPRE acte de forta Fc, dirijat din centru. Asupra firului acționează un sistem echilibrat de forțe, care nu poate influența mișcarea punctului A.
Orez. 8. Forțe care acționează asupra corpurilor într-un sistem rotativ: A - forțe care acționează asupra unui punct care se rotește într-un cerc Ași suport DESPRE; b – forțele care acționează asupra conexiunii.
În unele manuale, de exemplu, pentru școlile cu studii aprofundate ale fizicii, se subliniază în mod special că „forțele centrifuge de inerție nu acționează asupra tuturor corpurilor de pe suprafața Pământului”. Această formulare înseamnă că forțele centrifuge există și acționează asupra unor corpuri. Desigur, acest lucru nu este adevărat.
3.4. Întrebare. De ce, atunci când un corp se rotește rapid, suferă stres mecanic și poate chiar să se prăbușească, deoarece niciun alt corp nu este în contact cu el, niciun câmp de forță nu acționează asupra lui etc.?
Răspuns. Într-adevăr, dacă un experiment privind rotația, de exemplu, a unui inel metalic este efectuat în imponderabilitate și în vid, atunci niciun alt corp, nici măcar aerul, nu va interacționa cu acest corp. Acest inel poate fi accelerat de un câmp electromagnetic rotativ (de exemplu, apărut în statorul unui motor electric asincron), mai ales dacă inelul este din oțel. După ce accelerația este completă, se rotește liber la viteză unghiulară? inelul va avea energie cinetică E:
și va fi întins de stres mecanic?:
Unde eu– momentul de inerție axial al inelului;
? – densitatea materialului inelului;
v – viteza liniară a inelului.
Ce cauzează această tensiune? Am văzut mai sus că conexiunea este un filet (vezi Fig. 8, a, b) există forțe de tracțiune cauzate de punct A, rotindu-se în jurul unui suport DESPRE. La urma urmei, conexiunea este cea care acționează asupra punctului A forta centripeta Fc, îl oprește constant pe calea dreaptă naturală. În acest caz, masa (punctul A) și legătura (filetul fără greutate) se disting clar. Dar dacă ideea A eliminați, în loc de fir, luați un corp masiv - o tijă sau un lanț - și rotiți-l în jurul unui punct DESPRE, atunci imaginea va deveni mai complicată.
În astfel de cazuri, când conexiunea în sine are masă, este convenabil să o imaginăm sub forma unei conexiuni fără greutate (fir) încărcată cu puncte masive individuale (Fig. 9).
Orez. 9. Conexiune fără greutate - un fir încărcat cu mase punctiforme.
Dacă numărul de puncte este mic, forțele centripete care acționează asupra acestor puncte sunt ușor de determinat: la punctul 1 este Fts1, La punctul 2 – suma a două forțe (Ft1+ Fts2), iar la punctul 3 este maxim - suma a trei forțe (Ft1+ Ft2 + Ft3). De aici este ușor să trecem la cazul când masa este distribuită uniform pe lungimea legăturii.
Așa este și cu un inel rotativ - dacă vă imaginați că este înlocuit cu un poligon de fire imponderabile cu greutăți plasate la vârfurile colțurilor T(Fig. 10, a), apoi selectând una dintre sarcini (Fig. 10, b), putem determina forțele Fst, care acționează asupra sarcinii (reacțiile lor acționează asupra firului):
Unde Fts = m?2R sau mv2/R, care rezultă din formula (2.4).
După ce au distribuit sarcinile T uniform de-a lungul firului, obținem un inel masiv cu o densitate de ?, care are rezistență de legătură (Fig. 11). Pentru simplitatea calculelor, aruncăm jumătatea inferioară a inelului și o notăm cu F forțe de tracțiune care acționează pe partea sa asupra semi-inelului superior. Având în vedere că centrul de masă al semiinelului superior C este situat la distanță 2R/? sus din centru DESPRE, accelerația normală a acestui centru de masă este:
Scriem a doua lege a lui Newton în proiecție pe direcția accelerației normale:
Având în vedere ce tensiune? = F/S, Unde S – aria secțiunii transversale a inelului, masa semi-inelului M= ??R.S.și acea viteză liniară v= ?R, scriem ținând cont de (3.6):
Astfel, obținem formula (3.3).
În consecință, inelul rotativ se va întinde cu forță F si stresul? chiar şi fără contact cu orice alt corp. În mod similar, tensiunile apar în corpurile rotative de orice configurație, de exemplu, în mișcarea conexiunilor închise masive flexibile - curele, lanțuri, precum și volante - acumulatori de energie cinetică.
Orez. 10. Reprezentarea schematică a unui inel rotativ: A - un poligon rotativ închis cu mase punctuale plasate la vârfurile colțurilor; b – forte care actioneaza asupra unei singure sarcini.
Orez. 11. Schema de determinare a tensiunilor intr-un inel rotativ.
3.5. Întrebare. Cum se acumulează cea mai mare energie cinetică într-un volant rotativ?
Răspuns. Energia cinetică a unui inel subțire de masă rotativ T, ca și pentru o masă care se mișcă rectiliniu, este proporțională cu pătratul vitezei sale liniare (circumferențiale):
Într-adevăr, în ambele cazuri masa T se mișcă cu aceeași viteză v. Singura diferență este că, în cazul mișcării rectilinie, nu apar tensiuni în corpul în mișcare, dar atunci când inelul se rotește (precum o curea, un lanț, orice conexiune plată masivă închisă), în el apar tensiuni care nu depind de raza inelului și sunt determinate de formula (3.3). În consecință, într-o masă care se mișcă rectiliniu este posibilă creșterea vitezei și a energiei cinetice la infinit (în cadrul mecanicii clasice). Într-o masă rotativă, în acest caz un inel, suntem strict limitați de rezistența materialului, iar atât energia cinetică, cât și stresul din material sunt proporționale cu pătratul vitezei periferice.
Dacă nu este un inel, ci un corp de altă formă? Va fi posibil să se acumuleze o energie cinetică mai mare cu aceeași rezistență a materialului? Pentru a analiza această problemă, cel mai convenabil este să exprimați energia și puterea prin indicatori specifici - intensitatea energetică specifică e = E/tși forța specifică x = ?/?. Apoi, pentru un volant sub forma unui inel rotativ:
Pentru volantele de alte forme, coeficientul k va lua valori diferite. De exemplu, pentru un disc cu o gaură centrală foarte mică va fi 0,3; pentru un disc fără gaură deloc - 0,6. Cea mai bună formă de volant pentru stocarea energiei cinetice este un disc de rezistență egală. De exemplu, discurile turbinelor cu abur și gaz au această formă - groase în centru și subțiri la periferie.
3.6. Întrebare. Este posibil să se creeze un volant cu consum mare de energie cu un moment de inerție variabil?
Răspuns. Dispozitivul prezentat în fig. 6, în principiu, permite atât acumularea energiei cinetice, cât și modificarea momentului de inerție. Dar datorită rezistenței scăzute, un astfel de design va avea o intensitate energetică specifică neglijabilă. Dacă faceți un volant din cauciuc, atunci în timpul rotației momentul său de inerție va crește, cu atât viteza unghiulară a volantului este mai mare. În acest caz, la energia cinetică se va adăuga energia potențială acumulată în timpul întinderii cauciucului.
Dar interesul nu este în volantele cu o modificare „pasivă” a momentului de inerție, ci în cele în care acest indicator poate fi schimbat forțat. De ce ar putea fi nevoie de acest lucru?
Cu un moment unghiular constant al volantului, momentul de inerție poate fi crescut prin scăderea vitezei unghiulare și invers. Un exemplu este un bărbat cu gantere în mâini pe așa-numita platformă Jukovski - un disc montat pe un suport pe rulmenți (Fig. 12, a, b).
Orez. 12. Omul de pe platforma (banca) lui Jukovski: A– cu brațele întinse în lateral și un mare moment de inerție; b– cu mâinile deplasate spre centru și moment de inerție minim
Dacă o persoană, stând pe această platformă cu brațele întinse în lateral, se rotește (Fig. 12, a), atunci, aducând mâinile cu gantere în centru (Fig. 12, b), își reduce momentul de inerție, crescând astfel semnificativ viteza unghiulară. Volanele cu un moment de inerție variabil ajustabil ar putea oferi aproape orice viteză unghiulară necesară părții de lucru a mașinii, de exemplu, roțile unei mașini.
3.7. Întrebare. Ce consecințe pot rezulta din înlocuirea unui cadru de referință inerțial cu unul neinerțial, de exemplu, unul rotativ?
Răspuns. Fiecare mișcare relativă a unui corp dintr-un cadru de referință rotativ poate fi asociată cu mișcarea exact a aceluiași corp în raport cu un sistem de coordonate inerțiale. Dar pentru o astfel de corespondență este necesar să se reproducă nu numai acele forțe reale care au acționat asupra corpului original, ci și să se adauge noi forțe corespunzătoare forțelor de inerție Euler în mișcarea relativă a corpului original. Forțele de inerție Euler sunt definite aici ca forțe reale care acționează asupra unui corp, în ipoteza că un cadru de referință în mișcare este considerat convențional ca unul staționar. De exemplu, dacă luăm un autobuz de viraj ca unul staționar, atunci va trebui să considerăm forțele centrifuge care acționează pe viraj ca fiind reale.
Astfel, dacă conectăm sistemul de coordonate în mișcare cu Pământul, atunci accelerația unui punct de pe Pământ în sistemul „absolut” - accelerația reală - va fi suma vectorială a trei accelerații: relativă, portabilă și Coriolis (numită după mecanicul francez Gustav Coriolis din secolul al XIX-lea), care apare atunci când sistemul de coordonate în mișcare se rotește. Cu această accelerație Coriolis și cu forța Coriolis corespunzătoare încep să se întâmple „miracole”, similare cu cele care se întâmplă cu forțele inerțiale ale lui d’Alembert. Ele încep să fie considerate ca existente cu adevărat, li se atribuie acțiuni corespunzătoare etc.
Aici trebuie să ne amintim cu fermitate că atât forțele de transfer, cât și forțele Coriolis de inerție sunt forțe ireale, ele depind doar de alegerea sistemului de coordonate și nu reflectă interacțiunile unui punct dat cu alte puncte. Aceste forțe nu au o reacție pe care, conform celei de-a treia legi a lui Newton, fiecare forță trebuie să o aibă. Forțele inerției, oricare ar fi ele, sunt întotdeauna ireale; și nu îți vine să crezi, chiar dacă manualul spune că „acţionează” asupra a ceva (vezi întrebarea 3.3). Aceste forțe, în expresia figurativă a celebrului fizician Richard Feynman, sunt „pseudo-forțe”.
3.8. Întrebare. Este posibil să se definească forțele inerțiale Euler nu în mod formal, ci pe baza esenței fizice a fenomenelor?
Răspuns. Este posibil, deși va fi nevoie de puțină imaginație. Să luăm în considerare un corp auxiliar, complet identic cu cel principal. Lăsați acest corp auxiliar să efectueze exact aceleași mișcări în raport cu un sistem de coordonate „absolut” ales în mod arbitrar pe care le face corpul principal în raport cu sistemul de coordonate non-inerțial selectat. Astfel, aceleași forțe fizice acționează asupra tuturor punctelor corpului auxiliar ca și asupra corpului principal. Cu toate acestea, pentru ca mișcarea corpului auxiliar în raport cu sistemul de coordonate „absolut” să repete exact mișcarea corpului principal în raport cu sistemul de coordonate non-inerțial, este necesar să se aplice forțe suplimentare sistemului auxiliar, în pe lângă toate forțele fizice ale sistemului principal. Deoarece mișcarea este considerată în raport cu cadrul de referință „absolut”, inerțial, acestea pot fi doar forțe fizice. Evident, ele corespund exact forțelor inerțiale Euler.
Astfel, forțele de inerție Euler sunt egale cu acele forțe fizice care ar trebui adăugate la forțele fizice originale pentru a reproduce cu exactitate mișcarea relativă a oricărui corp ca mișcare absolută, adică într-un cadru de referință inerțial.
3.9. Întrebare. Dacă forțele inerțiale Coriolis sunt ireale, cum pot provoca eroziunea malurilor râurilor? Care este efectul giroscopic?
Răspuns. Eroziunea malurilor râurilor poate fi explicată calitativ fără utilizarea unui cadru de referință mobil, a forțelor de inerție Euler și a altor ipoteze.
Se știe că malurile drepte ale râurilor care curg în emisfera nordică sunt spălate. Să privim Pământul de sus de la Polul Nord. Să ne imaginăm pentru simplitate că râul, începând de la ecuator, curge direct spre nord, traversează Polul Nord și se termină tot la ecuator, dar pe cealaltă parte. Apa dintr-un râu la ecuator are aceeași viteză în direcția de la vest la est ca malurile sale (nu debitul râului, ci viteza apei împreună cu malurile și cu Pământul). Odată cu rotația zilnică a Pământului, aceasta este de aproximativ 0,5 km/s. Pe măsură ce te apropii de pol, viteza țărmurilor scade, iar la pol însuși este zero. Dar apa din râu „nu vrea” să-și reducă viteza - se supune legii inerției. Și această viteză este direcționată în direcția de rotație a Pământului - de la vest la est. Deci apa începe să „apasă” pe malul estic al râului, care se dovedește a fi pe partea dreaptă a curgerii. După ce a ajuns la pol, apa din râu își va pierde complet viteza în direcția „laterală”, deoarece polul este un punct staționar pe Pământ. Dar râul continuă să curgă acum spre sud, iar malurile lui se rotesc din nou de la vest la est cu o viteză din ce în ce mai mare pe măsură ce se apropie de ecuator. Malul de vest începe să „apasă” pe apa din râu, accelerând-o de la vest la est, iar apa, conform celei de-a treia legi a lui Newton, „apasă” pe acest mal, care se întâmplă să fie pe partea dreaptă a curgerii. .
În emisfera sudică se întâmplă invers. Dacă priviți Pământul de la Polul Sud, acesta se rotește într-o direcție diferită. Oricine are un glob poate verifica asta. Iată legea lui Baer, numită după naturalistul rus Karl Baer (1792–1876), care a observat această caracteristică a râurilor.
Și aici nu este departe de a explica efectul giroscopic în general. Să continuăm râul și să-l folosim pentru a descrie un cerc vicios de pe suprafața Pământului. În același timp, observăm că întreaga parte de nord a râului, situată în emisfera nordică, va tinde spre dreapta, iar toată partea de sud - spre stânga. Asta este toată explicația efectului giroscopic, care este considerat poate cel mai dificil din mecanica teoretică!
Deci, râul nostru este un inel imens sau volant, care se rotește în aceeași direcție cu curgerea râului. Dacă rotiți acest volant în direcția de rotație a Pământului, atunci întreaga sa parte de nord se va abate la dreapta, iar partea de sud se va abate la stânga (Fig. 13). Cu alte cuvinte, volantul se va roti astfel încât rotația sa să coincidă cu direcția de rotație a Pământului! Aceasta este o manifestare calitativă a efectului giroscopic.
Orez. 13. Schema de rotație a unui volant „înfășurat” în jurul Pământului.
3.10. Întrebare. Se spune că efectul giroscopic împiedică să cadă bicicleta. E chiar asa?
Efectul giroscopic este apariția unui moment în care se încearcă rotirea forțată a axei unui corp în rotație. Dar nu am determinat încă mărimea momentului giroscopic. La rotirea axei unei roți de bicicletă, acest moment este egal cu produsul dintre momentul de inerție al roții și vitezele unghiulare de rotație a acesteia și rotația axei (precesiune forțată). Pentru simplitate, decidem că masa roții este de 2 kg, raza acesteia este de 0,25 m și, prin urmare, momentul de inerție, aproximativ egal cu produsul masei cu pătratul razei, este egal cu 0,125 kg? m2. Un biciclist manevrează calm deja cu o viteză de 1 m/s, iar roata se rotește cu o viteză unghiulară de 4 rad/s. Viteza unghiulară de rotație a axei roții este de 20 de ori mai mică și este de aproximativ 0,2 rad/s. Ca rezultat, obținem un moment giroscopic egal cu 0,1 N?m. Este același lucru cu agățarea unei greutăți de 1 kg pe capătul unui cui care iese la doar 1 cm de perete.Este puțin probabil ca un moment atât de nesemnificativ să poată schimba ceva în mișcarea bicicletei.
În același timp, un biciclist care călărește, care a întors doar 10 cm de linie dreaptă, dacă nu se înclină spre viraj, va crea un moment de răsturnare egal cu greutatea sa plus aproximativ jumătate din greutatea bicicletei, înmulțită cu 0,1 m. , care atinge aproximativ 100 N?m. Acest moment este de o mie de ori mai mare decât momentul giroscopic! În acest fel, aplecându-se spre centrul virajului, biciclistul își menține stabilitatea.
Apropo, dacă vorbim de vehicule speciale „monorail” care mențin echilibrul tocmai datorită unui volant masiv și care se rotește rapid, atunci efectul giroscopic ajută cu adevărat aici. Prin producerea precesiei forțate (rotația axei) a volantului cu un moment cinetic mare, provoacă momente giroscopice uriașe care țin mașinile de mai multe tone în poziție verticală. De exemplu, cu un moment de inerție al volantului de 100 kgm2 (aceasta este aproximativ o roată dintr-un vagon feroviar de pasageri), o viteză unghiulară de 600 rad/s și aceeași precesie forțată ca înainte de 0,2 rad/s, momentul giroscopic va fi egal cu 12 kNm, ceea ce este echivalent cu o sarcină de 1,2 t suspendată pe un braț de 1 m. Un astfel de moment mare poate nu numai să stabilizeze un vehicul greu, ci și să distrugă rulmenții volantului care se rotesc rapid. Prin urmare, posibilitatea de apariție a momentelor giroscopice trebuie întotdeauna luată în considerare la calcularea rulmenților.
3.11. Întrebare. Dacă trageți un tun vertical în sus, va cădea obuzul înapoi în țeava tunului?
Răspuns. Această problemă a bântuit mecanica secolului al XIX-lea. Desigur, proiectilul va cădea înapoi în țeavă dacă totul se întâmplă într-un cadru de referință absolut. Dar în viața reală, adică pe un Pământ care se rotește, totul va fi diferit. De obicei, această problemă este luată în considerare cu trecerea la un cadru de referință rotativ, ceea ce o complică foarte mult, cel puțin în termeni matematici. Să încercăm aici să luăm în considerare doar latura calitativă a acestei probleme în cadrul inerțial de referință.
Să presupunem că, la latitudinea Moscovei, un punct masiv cade în vid dintr-un turn înalt de 100 m. Pământul se rotește de la vest la est, iar în momentul căderii sale acest punct avea o viteză circumferențială mai mare decât suprafața Pământului. , deoarece era mai departe de centrul său. În timpul căderii, punctul își păstrează viteza periferică și va intra în contact cu Pământul, deplasându-se spre viteza în exces, adică spre est. Calculele arată că această deplasare este mică - doar 1,2 cm.
Acum să tragem un proiectil punctual vertical în sus. În momentul împuşcăturii - pe suprafaţa Pământului - viteza periferică a punctului este mai mică decât la altitudine. Prin urmare, ridicându-se în sus, punctul se va abate spre vest. Punctul va petrece o perioadă deosebit de lungă în zona superioară a zborului său, deoarece viteza verticală este scăzută și, prin urmare, calea parcursă spre vest va fi destul de lungă. La întoarcere, punctul se va abate și spre vest, deși acum este din ce în ce mai lent. Astfel, va cădea la vest de botul tunului.
Apropo, înclinând țeava tunului puțin spre est, puteți, în principiu, să vă asigurați că proiectilul, atunci când cade, atinge din nou botul tunului; dar în realitate, mai ales ținând cont de influența atmosferei, acest lucru este imposibil de realizat - această sarcină este pur teoretică.
Desigur, întregul calcul ar putea fi efectuat cu precizie și fără utilizarea forțelor Coriolis fictive. Dar cei mai mulți experți în mecanică cred că prin plasarea pistolului nostru într-un sistem de coordonate relativ rotativ și introducerea forțelor Coriolis fictive, calculul poate fi efectuat mai scurt și mai simplu. Chiar dacă este așa, atunci nu am pierde principalul lucru - sentimentul realității a ceea ce se întâmplă, care joacă un rol important în fizică!
Cea mai simplă mișcare a unui corp rigid este rotația în jurul unei axe fixe: corpul este montat pe o axă, a cărei poziție în spațiu este fixată de rulmenți. Poziția corpului este determinată de un parametru - unghiul de rotație cf. Rata de modificare a acestui unghi cu timpul ω = d(p/d/ se numește viteza unghiulară de rotație a corpului. Toate punctele corpului se mișcă în cercuri cu viteza v = sud, unde G- distanta de la punct la axa de rotatie.
Să spargem corpul în elemente mici, La.- masa elementului i, g. - distanța de la acesta la axă. Viteza acestui element este v, = c sau.. Avem (vezi formula (2.43)):
Aici Fxt- forță externă tangenţială care acționează asupra elementului, AF.- forta interna tangentiala. Să înmulțim ecuația (3.102) cu g p Să exprimăm viteza elementului prin viteza unghiulară și să însumăm ecuația rezultată peste toate elementele. Primim
Suma din partea stângă a acestei egalități
numit momentul de inerție al corpului față de o axă dată, prima sumă din partea dreaptă
numit momentul fortelor exterioare fata de o axa data.
Notă. Contribuția în acest moment vine doar din componentele tangenţiale ale forţelor externe, adică proiecţia forţelor pe tangenta la cerc în punctul de aplicare a forţei. Aceasta înseamnă că forțele direcționate de-a lungul perpendiculară pe axă sau paralelă cu axa nu contribuie la momentul.
A doua sumă din partea dreaptă a lui (3.103) este egală cu zero (forțele interne nu afectează rotația corpului în jurul axei sale). Astfel, primim ecuația de mișcare a unui corp rigid în jurul unei axe date:
Se numește cantitatea e = ~ accelerație unghiulară.
Notă. Ecuația (3.106) este scalară. Cu toate acestea, trebuie luate în considerare semnele cantităților incluse în ecuație. Aceasta se face astfel: stabilim (arbitrar) directia pozitiva a unghiului de rotatie; momentele forțelor care rotesc un corp în sens pozitiv se scriu cu semnul plus, în sens opus - cu semnul minus.
Problema 3.24. Disc omogen cu raza R se poate roti în jurul unei axe orizontale care trece prin centrul acesteia. Rana pe disc
fir la capătul căruia se aplică o forță F. Firul se desfășoară de pe disc sub influența acestei forțe (Fig. 3.5). Determinați lungimea firului desfășurat de pe disc la momentul /.
Soluţie. Dacă discul se rotește printr-un unghi d
Rdtp. De aici
se va potrivi o bucată de fir de lungime ds = /?d
Problema se rezumă la găsirea unghiului prin care discul se va roti în timp /. Să trecem la ecuația (3.106). Forța de întindere a firului acționează asupra discului în punctul în care firul părăsește discul. Dacă masa firului este
zero, această forță este egală cu forța F. Această forță este tangențială, iar momentul ei relativ la axa de rotație este egal cu A/= FR. Ecuația devine
Notă. Ecuația (3.106) în structura sa matematică este identică cu cea de-a doua lege pentru mișcarea unidimensională a unei particule (un matematician ar spune că ecuațiile sunt identice până la notație), prin urmare metodele de rezolvare a acestei ecuații (până la notație) sunt aceleași ca în secțiunea 2.2.8.
deoarece viteza unghiulară inițială este zero. Mai departe,
Am găsit unghiul de rotație al discului în funcție de timp. Acesta a fost un exemplu de mișcare de rotație uniform accelerată.
Axa de rotație a discului coincide cu una dintre axele principale, deci
/ = /, = Domnul 72.
Problema 3.25. Discul din problema anterioară se rotește prin inerție, când t= 0 viteza sa unghiulară este egală cu co(0). Discul este acționat de un moment de forțe de frecare (despre aer), proporțional cu viteza: M= ochi. Care va fi viteza discului la timp /?
Soluţie. Noi scriem:
Prin urmare,
(Este util să comparăm acest lucru cu soluția problemei 2.30.)
Problema 3.26. Câte rotații va face discul din problema anterioară până la momentul respectiv P
Soluţie. Problema, evident, este că timpul pentru o revoluție variază. Viteză n(t)= (ср(г) - ф(0))/2я și se rezumă la găsirea unghiului de rotație în timp t. Noi scriem:
care rezolvă problema. Verificați: pentru mic /, extinzând exponențialul, obținem
obţinem, presupunând / -»: Df = co(0)-.
Comentarii. Soluția pentru viteza unghiulară obținută în problema 3.25 nu corespunde în întregime realității: conform acestei soluții, viteza unghiulară tinde să se zero asimptotic, dar, evident, discul se va opri efectiv după o perioadă finită de timp. Aceasta înseamnă că legea acceptată pentru momentul forțelor de frecare este încălcată la o viteză unghiulară suficient de mică. Cu toate acestea, rezultatul pentru unghiul complet de rotație este rezonabil (de ce?)
Să revenim la ecuația (3.106). Să înmulțim această ecuație cu co = dtp/d t. Primim
Fr.i1F t ds., dar aceasta este suma muncii efectuate de toate forțele exterioare când corpul se rotește printr-un unghi dtp. Din legea conservării energiei (vezi formula (3.30)) rezultă că expresia dintre paranteze din partea stângă a lui (3.107) este energia cinetică a unui corp rigid rotativ (deoarece distanțele dintre particulele corpului rigid nu nu se schimbă, energia potențială internă a corpului rigid este constantă și forțele interne de lucru nu se angajează). Din formula (3.107) obținem
Modificarea energiei cinetice a unui corp în rotație este egală cu munca forțelor externe. Acesta este un caz special al legii conservării energiei. În acest caz, energia cinetică a unui corp rigid rotativ în jurul unei axe fixe, egal cu
munca forțelor externe
Problema 3.27. La discul din problema 3.24, rotindu-se cu un unghiular
viteză cu, apasă cu forță F plăcuță de frână. Câte rotații va face discul înainte de a se opri? Coeficientul de frecare între disc și placă La.
Soluţie. Prin analogie cu soluția problemei 3.25, s-ar putea găsi întreaga cinematică a mișcării discului, dar răspunsul la întrebarea pusă poate fi dat imediat pe baza formulei (3.108). Discul este acţionat de o forţă de frecare /^ (forţă tangenţială!) cu un moment M= - kFR. Nu există alte momente. Avem:
Problema 3.28. Un volant rotativ este un exemplu de dispozitiv mecanic de stocare a energiei. Estimați viteza unghiulară de care aveți nevoie pentru a roti un disc cu o rază R= 0,3 m și o masă de 100 kg, astfel încât datorită acestei energii mașina să poată parcurge 20 km.
Soluţie. Presupunem că o mașină cu o putere a motorului de 80 CP. s., sau 60 kW, acoperă această distanță în 20 de minute. Motorul merge A = Nt. Dacă se lucrează datorită energiei volantului, atunci
Înlocuind numerele, obținem
sau 900 rps. (Mașinile cu o astfel de sursă de energie au fost practic testate.)
Să revenim din nou la ecuația (3.106). După cum am văzut deja, această ecuație ne permite să determinăm întreaga cinematică a mișcării corpului în jurul unei axe fixe. Se pune întrebarea: această ecuație ne permite să răspundem la toate întrebările asociate cu o astfel de mișcare și în ce relație se află această ecuație cu ecuațiile
Răspunsul la prima întrebare este negativ. Ecuația ia în considerare doar momentele forțelor care rotesc corpul în jurul unei axe (într-un plan ortogonal pe axă, astfel încât liniile lor de acțiune să nu treacă prin axă). Ecuația nu ne permite să determinăm forțele care acționează asupra axei.
În ceea ce privește răspunsul la a doua întrebare, subliniem încă o dată că mișcarea unui corp rigid este determinată de legi
Aici V- viteza centrului de masă; ?„ - moment unghiular intrinsec (faţă de centrul de masă); definit prin formula (3.86), M 0- momentul fortelor fata de centrul de masa. Energia cinetică a corpului este determinată de formula (3.99). Acest legi fundamentale (întotdeauna corecte). Să aplicăm aceste formule în cazul în cauză.
Să alegem originea coordonatelor la un punct de pe axa de rotație.
Lăsa R- vectorul rază a centrului de masă al corpului și l - vectorul unitar de-a lungul axei de rotație, care coincide în direcția cu vectorul
viteză unghiulară. Avem: co = lo>, |k| = |wxl| = aso, unde A - distanța de la axa de rotație la centrul de masă.
Energia cinetică a corpului
(Ultima egalitate a fost obţinută pe baza formulei (3.109).) Dacă A - 0 (axa trece prin centrul de masă),
unde / 0 - momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe care trece prin centrul de masă.
Magnitudine sunt eu? 0 este proiecția momentului unghiular propriu al corpului pe axa de rotație. Din formula (3.113) obținem
Revenind la formula (3.112), ținând cont de (3.114) vom avea
De aici găsim legătura dintre momentele de inerție în jurul unei axe date și axa paralelă cu aceasta, care trece prin centrul de masă:
(așa-numita teoremă Steiner).
Să aruncăm o privire asupra momentului unghiular. Să alegem originea coordonatelor pe axa de rotație în punctul de intersecție a axei cu planul în care se rotește centrul de masă (acest lucru nu este necesar, dar face analiza mai ușoară). Avem:
Primul termen din partea dreaptă (momentul orbital) dă vectorul direcționat de-a lungul axei de rotație: pta 2 a>. Momentul unghiular intrinsec 
sau, având în vedere că co = soia,
Vectorii de bază se rotesc cu corpul, deci, de exemplu, cl/ _ r
mer, - = co x /, prin urmare
(s-a luat în considerare faptul că th este un vector constant și dn/dt= 0). Acest rezultat înseamnă că componentele vectorului d sunt constante, iar acesta, la rândul său,
rotire, înseamnă (după formula (3.117)) că vectorul Z 0 se rotește cu corpul și se modifică în timp, chiar dacă viteza unghiulară de rotație a corpului este constantă (vectorul Z 0 descrie o suprafață conică, axa lui care este specificat de vectorul d). Din formula (3.117) obținem
(Reamintim că pentru orice vector „înghețat” într-un corp, ^ = c oh ha.)
Prima dintre ecuațiile (3.111) va lua forma
(originea în centrul cercului |l| = A, de-a lungul căruia se mișcă centrul de masă), al doilea -
Aceste două ecuații determină forțele și momentele de forță care acționează asupra unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe. Dacă un corp se rotește cu o viteză unghiulară constantă și nicio forță, cu excepția celor din axă, acționează asupra lui, formulele (3.119) și (3.120) determină forța și momentul forțelor care acționează asupra corpului din axă și luate cu semnul opus - dinspre părțile corpului spre ax. Prima dintre ecuații dă „forța centrifugă” direcționată perpendicular pe axă. Dacă axa trece prin centrul de masă, această forță este zero. Al doilea ia forma
Vedem că vectorul momentului de forță este îndreptat perpendicular pe planul în care se află axa de rotație și momentul impulsului și se rotește împreună cu corpul. Acest moment tinde să rotească axa într-un plan ortogonal cu momentul forței și trebuie compensat de forțele din rulmenții care țin axa. Acest moment va dispărea dacă axa de rotație și vectorul momentului unghiular sunt paralele și acest lucru este posibil numai dacă axa de rotație este paralelă cu una dintre axele principale ale tensorului de inerție. În tehnologie, problema echilibrării volantelor care se rotesc rapid este foarte importantă.
Revenind la formula (3.116), scriem
Înmulțind scalar această egalitate cu vectorul H și ținând cont de formulele (3.114), (3.115), obținem
Astfel, cantitatea care apare în partea stângă a egalității (3.106) este proiecția momentului unghiular total pe axa de rotație a corpului. Atunci partea dreaptă a acestei egalități este proiecția completului
moment de forta pe axa de rotatie: M= eu M(acest lucru ar putea fi verificat direct). Astfel, ecuația (3.106) derivată la începutul acestui paragraf este pur și simplu o consecință a ecuației fundamentale
concluzii
Cinematica de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe este determinată de formula (3.106). Momentul de inerție în jurul axei este determinat de formula (3.105) și este legat într-un mod complex de tensorul de inerție. Momentul forțelor relativ la axă (formula (3.105)) este proiecția momentului forțelor pe axa de rotație. Energia cinetică a unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe este determinată de formula (3.109), care este o consecință a formulei generale (3.9). Forțele care acționează asupra axei pot fi găsite din formulele (3.111).
Notă. Este necesar să se facă distincția între conceptele de „momente de impuls și forțe relativ la axă” și pur și simplu „momente...”. Primele sunt mărimi scalare, a doua sunt vectori. Pentru a determina primul, trebuie să specificați o axă, pentru cel din urmă, un punct.
Problema 3.29. Un corp rigid se poate roti în jurul unei axe orizontale care nu trece prin centrul de masă. Momentul de inerție al corpului față de axă /, distanța de la axă la centrul de masă /, masa corporală T. Corpul este deviat de la poziția sa de echilibru printr-un unghi 
Soluţie. Axă X- axă orizontală la- vertical în jos, centrul de masă se deplasează în plan xOu, axa de rotație trece prin origine, R- vector raza centrului de masă, R și axa u. Corpul este supus unor forțe: din axa F și forței gravitației. Când corpul este deviat de un unghi M = -wg/sincp (aici / este distanța de la axă la centrul de masă). Ecuația (3.106) devine
Această ecuație, până la notație, este identică cu ecuația (2.149) și poate fi rezolvată exact în același mod (fă asta). Pentru unghiuri mici de deviere obținem
Aceasta este o oscilație armonică.
Problema 3.30. Pendulul este un disc cu raza /?, masa T pe o tijă fără greutate de lungime /. Planul discului se află în planul balansării pendulului. Cum se va mișca un astfel de pendul la unghiuri mici de deviere?
Soluţie. Formula (3.123) dă răspunsul, dar este necesar să se determine momentul de inerție al acestui sistem față de axa de rotație. Axa de rotație este paralelă cu una dintre axele principale ale discului cu un moment de inerție în jurul acestei axe /. = - ta 2. Această valoare va fi egală cu momentul de inerție al sistemului / 0 față de axa care trece prin centrul de masă. Găsim momentul de inerție al pendulului folosind teorema lui Steiner: / = / n + ta 2 = tYa 2 /2 + m(l + I/2) Această valoare trebuie înlocuită în formula (3.123). În loc de / în această formulă, trebuie să înlocuiți / + eu/ 2.
Problema 3.31. Se va schimba rezultatul problemei anterioare dacă discul este rotit astfel încât planul său să fie perpendicular pe planul balansării pendulului?
Răspuns. Se va schimba. În acest caz, axa de rotație a sistemului este paralelă cu cealaltă axă principală a discului cu un (jumătate) moment de inerție mai mic.
Problema 3.32. Cum se va schimba soluția la problema 3.30 dacă luăm în considerare masa tijei /i?
Soluţie. Momentul de inerție în jurul unei axe este o mărime aditivă: momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale. Prin urmare, la momentul de inerție al discului găsit în problema 3.30, este necesar să se adauge momentul de inerție al tijei în raport cu axa care trece prin capătul său perpendicular pe tijă. Această axă este paralelă cu una dintre axele principale ale tijei cu un moment / 2 = / 3 = ml 2/12. Folosind teorema lui Steiner, aflăm că momentul în jurul capătului tijei va fi egal cu ml 2 /3.
Problema 3.33. In conditiile problemei 3.29 determinati forta care actioneaza asupra axei pendulului.
Soluţie. Există două forțe externe care acționează asupra pendulului: Fx din axă și gravitație mg. Avem (pentru notare vezi problema 3.29):
Ecuația (3.119) devine
Rezolvarea problemei 3.29 arată că - = 1 -sintp.
Se reduce la găsirea vitezei unghiulare. Să trecem la legea conservării energiei. Este evident că în absența forțelor de frecare, pe care nu le luăm în considerare, energia mecanică a sistemului se conserva: W k + Wn= const. Energie potențială W n - este energie
pendul în câmpul gravitațional. Avem: R= /7 sintp + jl costp,
Legea conservării energiei dă ecuația
(în partea dreaptă este energia inițială a sistemului). De aici
Am găsit viteza unghiulară în funcție de poziția pendulului. Revenind la formula (3.124) pentru forță, obținem
Aceasta este forța care acționează asupra axei pendulului. Vedem că componenta orizontală a forței este diferită de zero, dar egală cu zero în poziția de echilibru. Componenta verticală este maximă în poziţia de echilibru. Este evident că un pendul matematic (un punct material la capătul unei tije fără greutate) este un caz special al sistemului considerat. Presupunând /= ml 2, obținem rezultatul pentru un pendul matematic.
Problema 3.34. LA sprijinită de un perete vertical este o scândură cu lungimea 1/2 și masa T. La un moment dat t= 0 tabla începe să cadă. Găsiți forța care acționează asupra capătului de sprijin al plăcii.
masa tablei se misca in plan xO, R=/-jsin
vector rază a centrului de masă (
- - g dtp g
- (O = -k- =-xo. Forțele externe acționează pe tablă: F spre fund la
sfârşitul şi gravitaţia mg la centrul de masă. Ecuația (3.119) devine
Viteza unghiulară, ca și în problema anterioară, se va găsi din legea conservării energiei:
(S-a ținut cont de faptul că momentul de inerție al plăcii, ca o tijă subțire,
t t 1 g
egală eu = -^-.)
Pentru a determina accelerația unghiulară, este necesar să ne referim la ecuația (3.106). Centrul de masă al plăcii, căruia i se aplică forța de gravitație, se mișcă într-un cerc, componenta tangențială a forței de gravitație este egală cu /ngsin
topoare M =-^-sincp, nu există alte puncte. Astfel, ecuația (3.126) devine
unde m este vectorul tangent unitar la traiectoria centrului de masă. Înlocuind aceasta în formula (3.127) și rezolvând ecuația rezultată pentru forță, obținem
Aceasta este forța care acționează asupra capătului de jos al plăcii. Componenta orizontală a forței la
atunci începe să scadă și când
Aceasta înseamnă că placa pierde apoi contactul cu peretele, iar la unghiuri mari soluția este incorectă. (Dacă capătul de jos al plăcii ar fi articulat, soluția ar fi corectă în orice unghi.) Mai mult, analiza numerică arată că componenta verticală a forței la un unghi
Vladimir.erashov.rf
În primul rând, formulăm legea unificată a inerției, care se aplică tuturor corpurilor și tuturor tipurilor de mișcare:
Starea cinematică ulterioară a corpului diferă de cea anterioară numai dacă, în perioada dintre stări, o nouă forță externă sau moment de forță începe să acționeze asupra corpului și diferă doar prin amploarea răspunsului corpului la acest efect.
Cu această lege nu deschidem noi pagini în cinematica corpurilor; ea a fost obținută pe baza legilor lui Newton, dar cu mișcarea complexă a unui corp ajută la simplificarea sarcinii de a descrie această mișcare. Pornim de la faptul că în starea cinematică anterioară, indiferent de forțele care acţionează asupra corpului, acesta a răspuns deja la acţiunea acestor forţe şi se va mişca în continuare conform legilor dobândite. De exemplu, în starea inițială accelerația acționează asupra corpului A , corpul sub influența acestei accelerații a dobândit viteză v, dar acceleraţia continuă să acţioneze până la starea ulterioară. Aceasta înseamnă că organismul va crește viteza dintre stări cu o cantitate la. Dacă între stări apare o oarecare accelerație suplimentară, atunci este suficient să se suprapună efectul acesteia asupra rezultatului anterior obținut, adică să se profite de independența acțiunii forțelor. Firul principal al legii unificate a inerției este că, dacă nu există nicio modificare a forțelor care acționează între stări, atunci nu există modificări în legile mișcării corpului, ca și în viață, a doua zi este legată împreună cu cea anterioară. Dacă ieri nu ai avut un ban de bani în suflet, atunci azi te vei trezi fără un ban de bani. Dacă ieri ai plecat într-o călătorie lungă pe mare pe un vas de croazieră, atunci azi te vei trezi pe un vas de croazieră. Dacă cămașa ta este curată, înseamnă că cineva a spălat-o. Nici un fir de praf sau un fir de păr nu va cădea de la sine, trebuie să existe un motiv pentru aceasta (citiți un fel de forță). Dacă înainte de rotație axa principală de inerție a corpului era perpendiculară pe suprafața Pământului și era în repaus față de această suprafață, atunci după rotirea corpului va fi în repaus față de Pământ, ca și înainte (în cazul stabilității). rotatie, in cazul rotatiei instabile asupra corpului actioneaza o forta specifica). Se pot produce schimbări în starea corpului, dar numai sub influența unei anumite forțe sau moment de forță și nimic altceva.
Pentru a facilita înțelegerea acțiunii legii formulate și chiar pentru a încerca să obținem beneficii practice din această lege, să luăm în considerare un exemplu specific - acesta este Pământul nostru în rotație și corpurile de pe suprafața sa.
Primul, să lămurim, acționează asupra Pământului Legea gravitației universale a lui Newton , deci este rotund, ca o minge.
În al doilea rând, Pământul este supus unei accelerații centrifuge din rotație; sub influența acestei accelerații, Pământul a căpătat forma unui geoid de rotație. Să lămurim că proprietatea geoidului Pământului este că în orice punct de pe suprafața Pământului orice corp rămâne nemișcat (chiar dacă este capabil să se miște liber) datorită faptului că forța rezultată care acționează asupra corpului din forțele de gravitația și forța centrifugă de inerție este direcționată perpendicular pe suprafață și este echilibrată de reacția acestei suprafețe (proprietatea geoidului). Datorită geoidului de rotație, chiar și oceanul de pe suprafața Pământului a ajuns la o stare de echilibru și a devenit imobil față de suprafață, de unde geoidul.
Să ne întoarcem la corpul de pe suprafața Pământului; nimeni nu ne împiedică să presupunem că un bloc în formă de paralelipiped dreptunghiular se află pe suprafața Pământului. Axa principală de inerție a acestui bloc trece prin punctul de sprijin de pe suprafață și este perpendiculară pe suprafață. Rețineți că blocul se află nemișcat față de Pământ, dar față de stele, împreună cu Pământul, face o revoluție pe zi.
Să subliniem pentru cititori că, în raport cu stele, bara este un corp rotativ cu o rotație pe zi, axa principală de inerție a acestei bare este perpendiculară pe suprafața Pământului și nemișcată față de Pământ. Să învârtim blocul la viteze mari în raport cu axa sa principală de inerție. Va rămâne axa blocului perpendiculară și nemișcată față de Pământ? Sau, după cum se crede în mod obișnuit, își va dobândi mișcare (rotație) în raport cu Pământul și, în raport cu stele, își va schimba starea de la rotație cu o revoluție pe zi la o stare staționară?
Conform legii unificate a inerției, după rotire, blocul trebuie să mențină o stare staționară a axei de rotație (axa principală de inerție) față de Pământ, iar față de stele trebuie să se rotească în continuare cu o viteză unghiulară de unu. revoluție pe zi. Acest lucru este motivat de faptul că la rotirea unui bloc, dacă blocul este echilibrat față de axa de rotație, asupra centrului de masă al blocului vor acționa aceleași forțe ca și în starea anterioară (înainte de rotire). În consecință, starea ulterioară a blocului (după rotire) este identică cu starea anterioară (înainte de rotire) și blocul trebuie să păstreze toate proprietățile stării anterioare și să nu primească nicio modificare, inclusiv axa de rotație a blocului trebuie să rămână. staționar și perpendicular pe suprafața Pământului.
Dacă cuiva nu îi place legea combinată a inerției și nu este de acord cu concluziile conform legii combinate, atunci comportamentul blocului (corpului rotativ) după rotire pentru a-și menține starea inițială poate fi explicat prin faptul că rotirea nu a făcut adăugați orice forțe noi la centimetrul de masă al blocului și asta este toți parametrii mișcării centrului de masă al blocului în spațiu au rămas neschimbați.
În general, în condițiile Pământului, asupra unui corp acționează următoarele forțe, indiferent dacă se rotește sau nu:
1. Forța de gravitație a Pământului.
2. Forța de inerție.
3. Reacția solului.
Nu există alte forțe în natură; există și accelerația Coriolis, dar este o derivată a forțelor de inerție (nu este o forță independentă) și apare doar atunci când există o mișcare a corpului față de suprafața Pământului. . Accelerația Coriolis în sine nu poate transfera un corp dintr-o stare staționară în raport cu Pământul la una în mișcare, nu există nicio mișcare în raport cu pământul și nu există nicio accelerație Coriolis.
Corpurile care se rotesc rapid în raport cu axa principală de inerție sunt numite giroscoape. Giroscoapele au o serie de proprietăți unice. Să luăm în considerare și aceste proprietăți. Este în general acceptat că principala proprietate a unui giroscop este că ele păstrează întotdeauna fixă poziția axei de rotație față de stele.
Teoria noastră face o clarificare semnificativă a acestei proprietăți a giroscopului. În sistemele de referință inerțiale, această proprietate a giroscopului este strict respectată, aici suntem de acord cu teoria acceptată, dar în sistemele de referință non-inerțiale, în special cele asociate cu suprafața Pământului în rotație, această proprietate nu acționează diferit; axa giroscopului, dacă rotația este stabilă, își păstrează poziția inițială și față de stele și față de Pământ. Dar, deoarece în poziția inițială axa giroscopului s-a rotit în raport cu stele, acesta va continua să se rotească față de stele cu aceeași viteză, iar față de Pământ, deoarece era nemișcat, va rămâne nemișcat. Starea corpului este inertă, mișcarea axei este inertă și nu direcția spre nimic.
Concluzia este neobișnuită la început (inerția gândirii), că sunt necesare comentarii suplimentare. Luați meme-ul simplu lup la (yule). Să lansăm vârful la. Să presupunem că forțele de frecare la baza axei vârfului sunt minime și poate menține rotația pentru un timp relativ lung. Conform teoriei noastre, axa de rotație a vârfului rămâne staționară și perpendiculară pe suprafața Pământului, prin urmare, nimic nu împiedică vârful să se rotească stabil și pe termen lung. În viață, un vârf nu poate fi izolat complet de forțele exterioare; unele forțe externe, să le numim aleatorii, acționează totuși pe axa vârfului și îl abate de la poziția sa verticală. În plus, forța de greutate se abate de la punctul de sprijin, apare un moment de forță, la care lupul răspunde cu precesiune.
Dacă axa de rotație a vârfului, așa cum se crede în mod obișnuit, trebuie să rămână staționară în raport cu stele, atunci nu poate menține o poziție verticală față de suprafața Pământului pentru o lungă perioadă de timp; se va înclina de la est la vest la un viteza de o rotatie pe zi (12 grade pe ora). Axa de rotație a unui astfel de vârf se va abate de la verticală cu aproximativ un grad în cinci minute de rotație. Dacă mai devreme, cu poziția verticală a axei de rotație, forța de gravitație care acționa asupra centrului de masă se afla pe axa de rotație și trecea prin punct de sprijin și nu provoca nicio mișcare a centrului de masă, atunci când axa de rotație este înclinată, ar trebui să apară un moment de răsturnare. Mai mult, momentul de răsturnare circulă nu numai în direcție, ci și în mărime. Este maxim în poziția inferioară a centrului de masă și minim în poziția superioară. Astfel, acest moment nu ar trebui să provoace precesia vârfului, ci nutația acestuia. Acest lucru contrazice rezultatele experimentelor de spinning top. Într-un vârf, mișcarea principală este precesia, iar nutația apare doar la sfârșitul rotației, când rotația este deja aproape de aleatorie.
Există astfel de unități în industrie precum centrifugele. Datorită numărului foarte mare de revoluții, aceste unități sunt foarte sensibile la forțele externe. Dacă axa lor de rotație ar rămâne staționară față de stele, dar înclinată față de suprafața Pământului, atunci aceste unități s-ar despărți și s-ar despărți, dar funcționează. În consecință, versiunea noastră a interpretării comportamentului corpurilor în rotație într-un sistem de coordonate neinerțial este valabilă, și nu cea general acceptată. Ceea ce a fost acceptat pe baza experienței, și nu pe baze teoretice. Aceasta înseamnă că ei nu au înțeles corect materialul experimental; au luat ceea ce nu era drept postulat.
Concluzie
Legea unificată a inerției operează în toate sistemele de referință, atât inerțiale, cât și non-inerțiale. Pe baza acestei legi a fost scoasă la iveală ideea eronată despre prima lege existentă a giroscopului, conform căreia axa de rotație a giroscopului trebuie să fie întotdeauna staționară în raport cu stele. S-a stabilit că giroscoapele se comportă astfel numai în cadrele de referință inerțiale; în cadrele neinerțiale este necesar să se folosească nu această regulă, ci legea unificată a inerției.
12 iulie 2018
