Având în vedere un grafic al funcției antiderivate, găsiți valoarea funcției.

51. Figura prezintă un grafic y=f "(x)- derivata unei functii f(x), definit pe intervalul (− 4; 6). Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y=f(x) paralel cu dreapta y=3x sau coincide cu acesta.

Raspuns: 5

52. Figura prezintă un grafic y=F(x) f(x) f(x) pozitiv?

Raspuns: 7

53. Figura prezintă un grafic y=F(x) unul dintre antiderivatele unei funcţii f(x) și opt puncte sunt marcate pe axa x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8.În câte dintre aceste puncte se află funcția f(x) negativ?

Raspuns: 3

54. Figura prezintă un grafic y=F(x) unul dintre antiderivatele unei funcţii f(x) iar zece puncte sunt marcate pe axa x: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. În câte dintre aceste puncte se află funcția f(x) pozitiv?

Raspuns: 6

55. Figura prezintă un grafic y=F(x f(x), definit pe intervalul (− 7; 5). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x)=0 pe segmentul [− 5; 

Raspuns: 3

2]. y=F(x) 56. Figura prezintă un grafic unul dintre antiderivatele unei funcții f(x), definit pe intervalul (− 8; 7). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x)=

0 pe intervalul [− 5; 

5]. Raspuns: 4(57. Figura prezintă un grafic y=F x(57. Figura prezintă un grafic) unul dintre antiderivatele unei funcţii f (57. Figura prezintă un grafic), definit pe intervalul (1;13). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației

0 pe intervalul [− 5; 

f )=0 pe segmentul . 58. Figura prezintă un grafic al unei anumite funcții y=f(x)(două raze cu un punct de plecare comun). Folosind cifra, calculați F(−1)−F(−8), Unde

F(x)

f(x). y=f(x Raspuns: 20 59. Figura prezintă un grafic al unei anumite funcții) (două raze cu un punct de plecare comun). Folosind cifra, calculați F(−1)−F(−8), F(−1)−F(−9), Unde

Unde

- una dintre funcţiile primitive y=f(x Raspuns: 24

-60. Figura prezintă un grafic al unei anumite funcții Unde). Funcţie.

Raspuns: 6

una dintre funcţiile primitive Găsiți aria figurii umbrite 61. Figura prezintă un grafic al unei anumite funcții

y=f(x). Unde Funcţie

Una dintre funcțiile primitive

Găsiți aria figurii umbrite.

Răspuns: 14.5

paralelă cu tangenta la graficul funcției

Răspuns: 0,5

Aflați abscisa punctului tangent.

Raspuns: -1 este tangentă la graficul funcției.

F(x)

Aflați abscisa punctului tangent.

Raspuns: -1 Găsi.

c

Aflați abscisa punctului tangent.

Raspuns: -1 o Răspuns: 0,125

b

, ținând cont de faptul că abscisa punctului tangent este mai mare decât 0.

) (două raze cu un punct de plecare comun). Folosind cifra, calculați 57. Figura prezintă un grafic Răspuns: -33 67. Un punct material se deplasează rectiliniu conform legii

t

68. Un punct material se deplasează rectiliniu conform legii

) (două raze cu un punct de plecare comun). Folosind cifra, calculați 57. Figura prezintă un grafic- distanța de la punctul de referință în metri, Răspuns: -33- timpul în secunde, măsurat din momentul începerii mișcării. În ce moment (în secunde) viteza sa a fost de 48 m/s?

Raspuns: 9

69. Un punct material se deplasează rectiliniu conform legii

) (două raze cu un punct de plecare comun). Folosind cifra, calculați 57. Figura prezintă un grafic t Răspuns: -33=6 Cu.

F(x)

70. Un punct material se deplasează rectiliniu conform legii

) (două raze cu un punct de plecare comun). Folosind cifra, calculați 57. Figura prezintă un grafic- distanța de la punctul de referință în metri, Răspuns: -33- timpul în secunde măsurat de la începutul mișcării. Găsiți viteza acesteia (în m/s) în momentul de timp Răspuns: -33=3 Cu.

Raspuns: 59

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Elemente de conținut

Derivată, tangentă, antiderivată, grafice de funcții și derivate.

Derivat Fie definită funcția \(f(x)\) într-o vecinătate a punctului \(x_0\).

Derivată a funcției \(f\) în punctul \(x_0\) numită limită

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

dacă această limită există.

Derivata unei functii intr-un punct caracterizeaza rata de schimbare a acestei functii intr-un punct dat.

Tabelul derivatelor

Reguli de diferențiere\(f\) și \(g\) sunt funcții în funcție de variabila \(x\); \(c\) este un număr.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - derivată a unei funcții complexe

Sensul geometric al derivatului Ecuația unei linii- nu paralel cu axa \(Oy\) se poate scrie sub forma \(y=kx+b\). Coeficientul \(k\) din această ecuație se numește panta unei drepte. Este egal cu tangenta unghi de înclinare această linie dreaptă.

Unghi drept- unghiul dintre direcția pozitivă a axei \(Ox\) și această dreaptă, măsurat în direcția unghiurilor pozitive (adică în direcția celei mai mici rotații de la axa \(Ox\) la \ (Oy\) axa).

Derivata functiei \(f(x)\) in punctul \(x_0\) este egala cu pantă tangentă la graficul funcției într-un punct dat: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)

Dacă \(f"(x_0)=0\), atunci tangenta la graficul funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\) este paralelă cu axa \(Ox\).

Ecuația tangentei

Ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)\) în punctul \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonitatea funcției Dacă derivata unei funcții este pozitivă în toate punctele intervalului, atunci funcția crește pe acest interval.

Dacă derivata unei funcții este negativă în toate punctele intervalului, atunci funcția scade pe acest interval.

Puncte minime, maxime și de inflexiune pozitiv pe negativîn acest punct, atunci \(x_0\) este punctul maxim al funcției \(f\).

Dacă funcția \(f\) este continuă în punctul \(x_0\), iar valoarea derivatei acestei funcții \(f"\) se modifică cu negativ pe pozitivîn acest punct, atunci \(x_0\) este punctul minim al funcției \(f\).

Sunt numite punctele în care derivata \(f"\) este egală cu zero sau nu există puncte critice funcțiile \(f\).

Puncte interne ale domeniului de definire a funcției \(f(x)\), în care \(f"(x)=0\) pot fi puncte minime, maxime sau de inflexiune.

Sensul fizic al derivatului Dacă un punct material se mișcă rectiliniu și coordonatele sale se modifică în funcție de timp conform legii \(x=x(t)\), atunci viteza acestui punct este egală cu derivata coordonatei în raport cu timpul:

Accelerare punct material egal cu derivata vitezei acestui punct în raport cu timpul:

\(a(t)=v"(t).\)

Salutare prieteni! În acest articol ne vom uita la sarcini pentru antiderivate. Aceste sarcini sunt incluse în examenul unificat de stat la matematică. În ciuda faptului că secțiunile în sine - diferențierea și integrarea - sunt destul de încăpătoare într-un curs de algebră și necesită o abordare responsabilă a înțelegerii, dar sarcinile în sine, care sunt incluse în banca deschisa temele de matematică vor fi extrem de simple la examenul de stat unificat și pot fi rezolvate în unul sau doi pași.

Este important să înțelegem exact esența antiderivatei și, în special, semnificația geometrică a integralei. Să luăm în considerare pe scurt fundamentele teoretice.

Sensul geometric al integralei

Pe scurt despre integrală putem spune așa: integrala este aria.

Definiție: Fie dat un grafic al unei funcții pozitive f definită pe segment pe planul de coordonate. Un subgraf (sau trapez curbiliniu) este o figură delimitată de graficul unei funcții f, liniile x = a și x = b și axa x.

Definiție: Fie dată o funcție pozitivă f, definită pe un segment finit. Integrala unei funcții f pe un segment este aria subgrafului său.

După cum sa spus deja F′(x) = f (x).Ce putem concluziona?

Este simplu. Trebuie să determinăm câte puncte sunt pe acest grafic la care F′(x) = 0. Știm că în acele puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa x. Să arătăm aceste puncte pe intervalul [–2;4]:

Acestea sunt punctele extreme ale unei funcții date F (x). Sunt zece.

Raspuns: 10

323078. Figura prezintă un grafic al unei anumite funcții y = f (x) (două raze cu un punct de plecare comun). Folosind figura, calculați F (8) – F (2), unde F (x) este una dintre antiderivatele funcției f (x).

Să scriem din nou teorema Newton-Leibniz:Fie f o funcție dată, F antiderivată arbitrară. Apoi

Și aceasta, după cum s-a spus deja, este zona subgrafului funcției.

Astfel, problema se rezumă la găsirea zonei trapezului (interval de la 2 la 8):

Nu este dificil să-l calculezi pe celule. Obținem 7. Semnul este pozitiv, deoarece figura este situată deasupra axei x (sau în semiplanul pozitiv al axei y).

Mai multe în în acest caz, s-ar putea spune asta: diferența dintre valorile antiderivatelor la puncte este aria figurii.

Raspuns: 7

323079. Figura prezintă un grafic al unei anumite funcții y = f (x). Funcția F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 este una dintre antiderivatele funcției y = f (x). Găsiți aria figurii umbrite.

După cum sa spus deja despre sens geometric Integrala este aria figurii limitată de graficul funcției f (x), liniile drepte x = a și x = b și axa ox.

Teorema (Newton–Leibniz):

Astfel, problema se reduce la calcul integrală definită a acestei funcții în intervalul de la –11 la –9, sau cu alte cuvinte, trebuie să găsim diferența dintre valorile antiderivatelor calculate la punctele indicate:

Raspuns: 6

323080. Figura prezintă un grafic al unei funcții y = f (x).

Funcția F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 este una dintre antiderivatele funcției f (x). Găsiți aria figurii umbrite.

Teorema (Newton–Leibniz):

Problema se rezumă la calcularea integralei definite a unei anumite funcții pe intervalul de la –10 la –8:

Raspuns: 4 poti sa te uiti .

Derivatele și regulile de diferențiere sunt, de asemenea, în . Este necesar să le cunoaștem, nu doar pentru a rezolva astfel de sarcini.

Poti sa te uiti si tu informații de fundal pe site și .

Urmărește un scurt videoclip, acesta este un extras din filmul „The Blind Side”. Putem spune că acesta este un film despre educație, despre milă, despre importanța unor presupuse întâlniri „aleatoare” în viața noastră... Dar aceste cuvinte nu vor fi suficiente, recomand să vizionați filmul în sine, îl recomand cu căldură.

Mult succes pentru tine!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Stare

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) (care este o linie întreruptă formată din trei segmente drepte). Folosind figura, calculați F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x).

Soluţie

Conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(9)-F(5), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), este egală cu aria trapezului curbiliniu limitat prin graficul funcției y=f(x), drepte y=0 , x=9 și x=5.

Din grafic determinăm că trapezul curbat indicat este un trapez cu bazele egale cu 4 și 3 și înălțimea 3. Suprafața sa este egală

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Stare

Răspuns

Soluţie

Figura prezintă un grafic al funcției y=F(x) - una dintre antiderivatele unei funcții f(x) definite pe intervalul (-5; 5).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x)=0 pe segmentul [-3; 4]. Conform definiției unei antiderivate, egalitatea este valabilă: F"(x)=f(x). Prin urmare, ecuația f(x)=0 poate fi scrisă ca F"(x)=0. Deoarece figura prezintă graficul funcției y=F(x), trebuie să găsim acele puncte în intervalul [-3; 4], în care derivata funcției F(x) este egală cu zero. Din figură reiese clar că acestea vor fi abscisele punctelor extreme (maximum sau minim) ale graficului F(x).

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Stare

Sunt exact 7 dintre ele în intervalul indicat (patru puncte minime și trei puncte maxime).

Soluţie

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017.

Din grafic determinăm că trapezul curbat indicat este un trapez cu bazele egale cu 4 și 3 și înălțimea 3. Nivel de profil

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Stare

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) (care este o linie întreruptă formată din trei segmente drepte). Folosind figura, calculați F(5)-F(0), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x).

Soluţie

Conform formulei Newton-Leibniz, diferența F(5)-F(0), unde F(x) este una dintre antiderivatele funcției f(x), este egală cu aria trapezului curbiliniu limitat prin graficul funcției y=f(x), drepte y=0 , x=5 și x=0.

Din figură reiese clar că acestea vor fi abscisele punctelor extreme (maximum sau minim) ale graficului F(x).

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Stare

Sunt exact 5 dintre ele în intervalul indicat (două puncte minime și trei puncte maxime).

Figura prezintă un grafic al unei funcții y=f(x).

Soluţie

Funcția F(x)=-x^3+4.5x^2-7 este una dintre antiderivatele funcției f(x). Găsiți aria figurii umbrite. Figura umbrită este un trapez curbiliniu mărginit de sus de graficul funcției y=f(x), drepte y=0, x=1 și x=3. Conform formulei Newton-Leibniz, aria sa S este egală cu diferența F(3)-F(1), unde F(x) este antiderivată a funcției f(x) specificată în condiție. 6,5-(-3,5)= 10.

\frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Antiderivată a funcției

Stare

De aceea