Cum se extrage rădăcina unei fracții. Rădăcină pătrată

Pe cană, ea a arătat cum o puteți extrage într-o coloană rădăcini pătrate. Puteți calcula rădăcina cu o precizie arbitrară, puteți găsi orice număr de cifre în ea notație zecimală, chiar dacă se dovedește a fi irațional. Algoritmul a fost reținut, dar au rămas întrebări. Nu era clar de unde a venit metoda și de ce a dat rezultatul corect. Nu era în cărți, sau poate că căutam doar în cărțile greșite. În cele din urmă, la fel ca multe din ceea ce știu și pot face astăzi, am venit eu însumi. Îmi împărtășesc cunoștințele aici. Apropo, încă nu știu unde este dat rațiunea algoritmului)))

Deci, mai întâi vă spun „cum funcționează sistemul” cu un exemplu, apoi vă explic de ce funcționează de fapt.

Să luăm un număr (numărul a fost luat „din senin”, tocmai mi-a venit în minte).

1. Împărțim numerele sale în perechi: cele din stânga virgulă zecimală, grupăm doi de la dreapta la stânga, iar cei de la dreapta - doi de la stânga la dreapta. Primim.

2. Extragem rădăcina pătrată din primul grup de numere din stânga - în cazul nostru acesta este (este clar că rădăcina exactă nu poate fi extrasă, luăm un număr al cărui pătrat este cât mai aproape de numărul nostru format de primul grup de numere, dar nu îl depășește). În cazul nostru acesta va fi un număr. Notăm răspunsul - aceasta este cea mai semnificativă cifră a rădăcinii.

3. Pătratăm numărul care este deja în răspuns - acesta - și îl scădem din primul grup de numere din stânga - din număr. În cazul nostru rămâne.

4. Atribuim următorul grup de două numere în dreapta: . Înmulțim numărul care este deja în răspuns cu , și obținem .

5. Acum priviți cu atenție. Trebuie să atribuim o cifră numărului din dreapta și să înmulțim numărul cu, adică cu aceeași cifră atribuită. Rezultatul ar trebui să fie cât mai aproape posibil de, dar din nou nu mai mult decât acest număr. În cazul nostru, acesta va fi numărul, îl scriem în răspuns lângă, în dreapta. Aceasta este următoarea cifră din notația zecimală a rădăcinii noastre pătrate.

6. Din scăderea produsului, obținem .

7. În continuare, repetăm ​​operațiile familiare: atribuim următorul grup de cifre la dreapta, înmulțim cu , numărului rezultat > atribuim o cifră la dreapta, astfel încât atunci când înmulțim cu ea obținem un număr mai mic decât , dar cel mai apropiat la acesta - aceasta este următoarea cifră în notația rădăcină zecimală.

Calculele vor fi scrise astfel:

Și acum explicația promisă. Algoritmul se bazează pe formulă

Comentarii: 50

1. 2 Anton:

   Prea haotic și confuz. Aranjați totul punct cu punct și numerotați-le. Plus: explicați unde înlocuim în fiecare acțiune valorile cerute. Nu am calculat niciodată o rădăcină rădăcină înainte;

2. 5 Iulia:

3. 6 :

   Iulia, 23 de ani în acest moment scrise în dreapta, acestea sunt primele două (în stânga) cifre deja obținute ale rădăcinii în răspuns. Înmulțiți cu 2 conform algoritmului. Repetăm ​​pașii descriși la punctul 4.

4. 7 zzz:

   eroare în „6. Din 167 scadem produsul 43 * 3 = 123 (129 nada), obținem 38.”
   Nu înțeleg cum s-a dovedit a fi 08 după virgulă zecimală...

5. 9 Fedotov Alexander:

   Și chiar și în epoca pre-calculator, am fost învățați la școală nu numai să extragem rădăcina pătrată, ci și rădăcina cubă într-o coloană, dar acest lucru este mai obositor și muncă minuțioasă. Era mai ușor să folosești mesele Bradis sau o regulă de calcul, pe care deja le-am studiat în liceu.

6. 10 :

   Alexander, ai dreptate, poți extrage rădăcinile unor mari puteri într-o coloană. O să scriu despre cum să găsesc rădăcina cubă.

7. 12 Serghei Valentinovici:

   Dragă Elizaveta Alexandrovna! La sfârșitul anilor 70, am dezvoltat o schemă pentru calcularea automată (adică, nu prin selecție) a quadra. root pe mașina de adăugare Felix. Dacă sunteți interesat, vă pot trimite o descriere.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Extragerea rădăcinii pătrate a coloanei)))
   Algoritmul este simplificat dacă folosești sistemul numeric al 2-lea, care este studiat în informatică, dar este util și în matematică. UN. Kolmogorov a prezentat acest algoritm în prelegeri populare pentru școlari. Articolul său poate fi găsit în „Colecția Chebyshev” (Jurnal de matematică, căutați un link către acesta pe Internet)
   Apropo, spune:
   G. Leibniz s-a jucat la un moment dat cu ideea de a trece de la al 10-lea sistem numeric la cel binar datorită simplității și accesibilității sale pentru începători ( şcolari juniori). Dar a încălca tradițiile stabilite este ca și cum ai sparge o poartă de cetate cu fruntea: este posibil, dar este inutil. Așa se dovedește, după cum spune cel mai citat filozof cu barbă din vremuri: tradițiile tuturor generațiilor moarte suprimă conștiința celor vii.

   Până data viitoare.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Sergey Valentinovich, da, sunt interesat...((

   Pun pariu că aceasta este o variație a metodei „Felix” babiloniene de extragere a cavalerului pătrat folosind metoda aproximărilor succesive. Acest algoritm a fost acoperit de metoda lui Newton (metoda tangentei)

   Mă întreb dacă am greșit în prognoza mea?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Da, algoritmul în binar ar trebui să fie mai simplu, asta este destul de evident.

    Despre metoda lui Newton. Poate că este adevărat, dar este totuși interesant

11. 20 Kirill:

    Mulţumesc mult. Dar încă nu există algoritm, nimeni nu știe de unde a venit, dar rezultatul este corect. MULŢUMESC MULT! Caut asta de mult timp)

12. 21 Alexandru:

    Cum veți extrage rădăcina dintr-un număr în care al doilea grup de la stânga la dreapta este foarte mic? de exemplu, numărul preferat al tuturor este 4.398.046.511.104. După prima scădere, nu se poate continua totul conform algoritmului. Vă rog să explicați.

13. 22 Alexey:

    Da, cunosc această metodă. Îmi amintesc că am citit-o în cartea „Algebra” a unei ediții vechi. Apoi, prin analogie, el însuși a dedus cum să extragă rădăcina cubă într-o coloană. Dar acolo este deja mai complicat: fiecare cifră este determinată nu de una (ca pentru un pătrat), ci de două scăderi și chiar și acolo trebuie să înmulțiți numere lungi de fiecare dată.

14. 23 Artem:

    Există greșeli de tipar în exemplul de extragere a rădăcinii pătrate a lui 56789,321. Grupul de numere 32 este atribuit de două ori numerelor 145 și 243, în numărul 2388025 al doilea 8 trebuie înlocuit cu 3. Apoi ultima scădere trebuie scrisă astfel: 2431000 – 2383025 = 47975.
    În plus, când împărțim restul la valoarea dublată a răspunsului (ignorând virgula), obținem cantitatea suplimentară cifre semnificative(47975/(2*238305) = 0,100658819...), care trebuie adăugat la răspuns (√56789,321 = 238,305... = 238,305100659).

15. 24 Serghei:

    Se pare că algoritmul a venit din cartea lui Isaac Newton „Aritmetică generală sau o carte despre sinteza și analiza aritmetică”. Iată un extras din el:

    DESPRE EXTRAGEREA RĂDĂCINILOR

    Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr, mai întâi de toate ar trebui să plasați un punct peste cifrele sale, începând cu unitățile. Apoi ar trebui să scrieți în coeficient sau radical numărul al cărui pătrat este egal sau cel mai apropiat în dezavantaj de numerele sau numărul care precede primul punct. După scăderea acestui pătrat, cifrele rămase ale rădăcinii vor fi găsite succesiv, împărțind restul la de două ori valoarea părții deja extrase a rădăcinii și scăzând de fiecare dată din restul pătratului ultima cifră găsită și produsul său de zece ori cu numitul divizor.

16. 25 Serghei:

    Vă rugăm să corectați și titlul cărții „Aritmetică generală sau o carte despre sinteza și analiza aritmetică”

17. 26 Alexandru:

    Multumesc pentru material interesant. Dar această metodă mi se pare ceva mai complicată decât ceea ce, de exemplu, are nevoie un elev de școală. Folosesc o metodă mai simplă bazată pe extinderea unei funcții pătratice folosind primele două derivate. Formula sa este:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, unde
    A1 este numărul întreg al cărui pătrat este cel mai apropiat de x;
    A2 este o fracție, numărătorul este x-A1, numitorul este 2*A1.
    Pentru majoritatea numerelor găsite în curs şcolar, acest lucru este suficient pentru a obține rezultatul precis până la o sută.
    Dacă aveți nevoie de un rezultat mai precis, luați
    A3 este o fracție, numărătorul este A2 la pătrat, numitorul este 2*A1+1.
    Desigur, pentru a-l folosi aveți nevoie de un tabel cu pătrate de numere întregi, dar aceasta nu este o problemă la școală. Amintirea acestei formule este destul de simplă.
    Cu toate acestea, mă încurcă faptul că am obținut A3 experimental ca urmare a experimentelor cu foaie de calculși nu prea înțeleg de ce acest membru arată așa. Poate imi dai un sfat?

18. 27 Alexandru:

    Da, am luat în considerare și aceste considerente, dar diavolul este în detalii. Tu scrii:
    „Deoarece a2 și b diferă destul de puțin.” Întrebarea este exact cât de puțin.
    Această formulă funcționează bine pe numerele din a doua zece și mult mai rău (nu până la sutimi, doar până la zecimi) pe numerele din primele zece. De ce se întâmplă acest lucru este greu de înțeles fără utilizarea derivatelor.

19. 28 Alexandru:

    Voi clarifica ceea ce văd ca fiind avantajul formulei pe care o propun. Nu necesită împărțirea nu complet naturală a numerelor în perechi de cifre, care, după cum arată experiența, este adesea efectuată cu erori. Semnificația sa este evidentă, dar pentru o persoană familiarizată cu analiza, este banal. Funcționează bine pe numerele de la 100 la 1000, care sunt cele mai frecvente numere întâlnite la școală.

20. 29 Alexandru:

    Apropo, am făcut câteva săpături și am găsit expresia exactă pentru A3 în formula mea:
    A3= A22 /2(A1+A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    În zilele noastre, utilizare pe scară largă tehnologie informatică, problema extragerii unui cavaler pătrat dintr-un număr nu merită din punct de vedere practic. Dar pentru iubitorii de matematică, diverse opțiuni pentru rezolvarea acestei probleme vor fi, fără îndoială, de interes. ÎN programa școlară metoda acestui calcul fără implicarea de fonduri suplimentare ar trebui să aibă loc la egalitate cu înmulțirea și împărțirea într-o coloană. Algoritmul de calcul trebuie nu numai memorat, ci și înțeles. Metoda clasică, furnizat în acest material pentru discuții cu dezvăluirea esenței, respectă pe deplin criteriile de mai sus.
    Un dezavantaj semnificativ al metodei propuse de Alexander este utilizarea unui tabel de pătrate de numere întregi. Autorul tace cu privire la majoritatea numerelor întâlnite la cursul școlar. În ceea ce privește formula, în general îmi place datorită preciziei relativ ridicate a calculului.

22. 31 Alexandru:

    pentru 30 vasil stryzhak
    Nu am tăcut nimic. Tabelul de pătrate ar trebui să fie de până la 1000. Pe vremea mea, la școală, pur și simplu îl învățau pe de rost și era în toate manualele de matematică. Am numit în mod explicit acest interval.
    În ceea ce privește tehnologia computerelor, aceasta nu este folosită în principal la lecțiile de matematică, cu excepția cazului în care se discută în mod specific subiectul folosirii unui calculator. Calculatoarele sunt acum încorporate în dispozitive care sunt interzise pentru utilizare la examenul de stat unificat.

23. 32 vasil stryzhak:

    Alexandru, mulțumesc pentru clarificare, m-am gândit că pentru metoda propusă este teoretic necesar să vă amintiți sau să folosiți un tabel de pătrate cu toate numerele de două cifre. Apoi, pentru numerele radicale care nu sunt incluse în intervalul de la 100 la 10000 tehnica creşterii sau scăderii acestora prin cantitatea necesară ordine de transfer prin virgulă.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEXANDRU:

    PRIMUL MEU PROGRAM ÎN LIMBA „IAMB” PE MAȘINA SOvietică „ISKRA 555″ A FOST SCRIS PENTRU A EXTRAGE RĂDĂDINA PĂTRATĂ A UNUI NUMĂR FOLOSIND ALGORITMUL DE EXTRACȚIE A COLANEI! și acum am uitat cum să-l extrag manual!

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau legătura cu el.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, în proceduri judiciare și/sau pe baza unor solicitări publice sau solicitări din partea agențiilor guvernamentale din Federația Rusă - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În prefața primei sale ediții, „În regatul ingeniozității” (1908), E. I. Ignatiev scrie: „... inițiativa intelectuală, înțelepciunea rapidă și „ingeniozitatea” nu pot fi „găurite” sau „puse” în capul nimănui. Rezultatele sunt de încredere doar atunci când introducerea în domeniul cunoștințelor matematice se face într-un mod ușor și plăcut, folosind obiecte și exemple din situații obișnuite și cotidiene, selectate cu inteligență și distracție adecvate.”

În prefața la ediția din 1911 „Rolul memoriei în matematică” E.I. Ignatiev scrie „... în matematică nu formulele trebuie amintite, ci procesul de gândire”.

Pentru a extrage rădăcina pătrată, există tabele de pătrate pentru numere de două cifre în care puteți descompune numărul factori primiși luați rădăcina pătrată a produsului. Un tabel de pătrate nu este uneori suficient extragerea rădăcinii prin factoring este o sarcină consumatoare de timp, care, de asemenea, nu duce întotdeauna la rezultatul dorit. Încercați să luați rădăcina pătrată a lui 209764? Factorizarea în factori primi dă produsul 2*2*52441. Prin încercare și eroare, selecție - acest lucru, desigur, se poate face dacă sunteți sigur că acesta este un număr întreg. Metoda pe care vreau să o propun vă permite să luați rădăcina pătrată în orice caz.

Pe vremuri la institut (Institutul Pedagogic de Stat Perm) ni s-a făcut cunoștință cu această metodă, despre care acum vreau să vă vorbesc. Nu m-am întrebat niciodată dacă această metodă are o dovadă, așa că acum a trebuit să deduc eu o parte din dovadă.

Baza acestei metode este compoziția numărului =.

=&, adică & 2 =596334.

1. Împărțiți numărul (5963364) în perechi de la dreapta la stânga (5`96`33`64)

2. Extrageți rădăcina pătrată a primului grup din stânga ( - numărul 2). Așa obținem prima cifră a lui &.

3. Aflați pătratul primei cifre (2 2 =4).

4. Aflați diferența dintre primul grup și pătratul primei cifre (5-4=1).

5. Scoatem următoarele două cifre (obținem numărul 196).

6. Dublați prima cifră pe care am găsit-o și scrieți-o în stânga în spatele liniei (2*2=4).

7. Acum trebuie să găsim a doua cifră a numărului &: dublu față de prima cifră găsită devine cifra zecilor a numărului, care atunci când este înmulțită cu numărul de unități, trebuie să obțineți un număr mai mic decât 196 (acesta este numărul 4, 44*4=176). 4 este a doua cifră a lui &.

8. Găsiți diferența (196-176=20).

9. Demolam urmatorul grup (obtinem numarul 2033).

10. Dublați numărul 24, obținem 48.

Există 11,48 zeci într-un număr, atunci când înmulțim cu numărul de unități, ar trebui să obținem un număr mai mic decât 2033 (484*4=1936). Cifra pe care am găsit-o (4) este a treia cifră a numărului &.

Am dat dovada pentru următoarele cazuri:

1. Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr de trei cifre;

2. Extragerea rădăcinii pătrate a unui număr de patru cifre.

Metode aproximative pentru extragerea rădăcinilor pătrate (fără a folosi un calculator).

1. Babilonienii antici au folosit următoarea metodă pentru a afla valoarea aproximativă a rădăcinii pătrate a numărului lor x. Ei au reprezentat numărul x ca sumă a 2 + b, unde a 2 este pătratul exact al numărului natural a (a 2 ? x) cel mai apropiat de numărul x și au folosit formula . (1)

Folosind formula (1), extragem rădăcina pătrată, de exemplu, din numărul 28:

Rezultatul extragerii rădăcinii lui 28 folosind MK este 5,2915026.

După cum vedem, metoda babiloniană oferă o bună aproximare a valoarea exacta rădăcină

2. Isaac Newton a dezvoltat o metodă de extragere a rădăcinilor pătrate care datează de la Heron din Alexandria (circa 100 d.Hr.). Această metodă (cunoscută sub numele de metoda lui Newton) este următoarea.

Lasă a 1- prima aproximare a unui număr (ca 1 puteți lua valorile rădăcinii pătrate a unui număr natural - un pătrat exact care nu depășește X).

În continuare, o aproximare mai precisă a 2 numere găsit prin formula .

Instrucţiuni

Selectați un multiplicator pentru numărul radical, a cărui eliminare de sub rădăcină este într-adevăr o expresie - altfel operația va pierde . De exemplu, dacă se află sub semnul rădăcină cu un exponent egal cu trei (rădăcină cubă), costă număr 128, apoi de sub semn puteți scoate, de exemplu, număr 5. În același timp, radicalul număr 128 va trebui împărțit la 5 cuburi: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Dacă prezența unui număr fracționar sub semn rădăcină nu contrazice condițiile problemei, atunci este posibil în această formă. Dacă aveți nevoie de o opțiune mai simplă, atunci mai întâi împărțiți expresia radicală în astfel de factori întregi, rădăcina cubă a unuia dintre care va fi un număr întreg număr m. De exemplu: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Utilizați pentru a selecta factorii unui număr radical dacă nu este posibil să calculați puterile unui număr din capul dvs. Acest lucru este valabil mai ales pentru rădăcină m cu un exponent mai mare de doi. Dacă aveți acces la Internet, puteți efectua calcule încorporate motoarele de căutare Google și Nigma computing. De exemplu, dacă trebuie să găsiți cel mai mare factor întreg care poate fi scos de sub semnul cubic rădăcină pentru numărul 250, apoi accesați site-ul web Google și introduceți interogarea „6^3” pentru a verifica dacă este posibil să îl eliminați de sub semn rădăcinăşase. Motorul de căutare va afișa un rezultat egal cu 216. Din păcate, 250 nu poate fi împărțit fără un rest la aceasta număr. Apoi introduceți interogarea 5^3. Rezultatul va fi 125, iar acest lucru vă permite să împărțiți 250 în factori de 125 și 2, ceea ce înseamnă să-l scoateți din semn. rădăcină număr 5, plecând de acolo număr 2.

Surse:

• cum să-l scoți de sub rădăcini
• Rădăcina pătrată a produsului

Scoate-l de dedesubt rădăcină unul dintre factori este necesar în situațiile în care trebuie să simplificați expresie matematică. Există momente când este imposibil să efectuați calculele necesare folosind un calculator. De exemplu, dacă sunt folosite denumiri de litere pentru variabile în loc de numere.

Instrucţiuni

Descompune expresia radicală în factori simpli. Vedeți care dintre factori se repetă de același număr de ori, indicat în indicatori rădăcină, sau mai multe. De exemplu, trebuie să luați a patra rădăcină a lui a. În acest caz, numărul poate fi reprezentat ca a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Indicator rădăcinăîn acest caz va corespunde cu factor a3. Trebuie scos din semn.

Extrageți separat rădăcina radicalilor rezultați, acolo unde este posibil. Extracţie rădăcină este operația algebrică inversă exponențiației. Extracţie rădăcină la o putere arbitrară dintr-un număr, găsiți un număr care, atunci când este ridicat la această putere arbitrară, va avea ca rezultat număr dat. Dacă extragerea rădăcină nu poate fi produs, lăsați expresia radicală sub semn rădăcină exact așa cum este. Ca urmare a acțiunilor de mai sus, veți fi eliminat de sub semn rădăcină.

Video pe tema

Vă rugăm să rețineți

Aveți grijă când scrieți expresii radicale sub formă de factori - o eroare în această etapă va duce la rezultate incorecte.

Sfaturi utile

Când extrageți rădăcini, este convenabil să folosiți tabele speciale sau tabele de rădăcini logaritmice - acest lucru va reduce semnificativ timpul necesar pentru a găsi decizia corectă.

Surse:

• semn de extracție a rădăcinii în 2019

Simplificarea expresiilor algebrice este necesară în multe domenii ale matematicii, inclusiv la rezolvarea ecuațiilor grade superioare, diferențiere și integrare. Sunt utilizate mai multe metode, inclusiv factorizarea. Pentru a aplica această metodă, trebuie să găsiți și să faceți un general factor pentru paranteze.

Instrucţiuni

Efectuarea multiplicatorului total paranteze- una dintre cele mai comune metode de descompunere. Această tehnică este folosită pentru a simplifica structura expresiilor algebrice lungi, de exemplu. polinoame. Numărul general poate fi un număr, un monom sau un binom, iar pentru a-l găsi se folosește proprietatea distributivă a înmulțirii.

Număr Privește cu atenție coeficienții fiecărui polinom pentru a vedea dacă pot fi împărțiți la același număr. De exemplu, în expresia 12 z³ + 16 z² – 4 este evident factor 4. După transformare, obțineți 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Cu alte cuvinte, acest număr este cel mai puțin comun divizor întreg al tuturor coeficienților.

Monomial Determinați dacă aceeași variabilă se află în fiecare dintre termenii polinomului. Presupunând că acesta este cazul, acum uitați-vă la coeficienți ca în cazul precedent. Exemplu: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Fiecare element al acestui polinom conține o variabilă z. În plus, toți coeficienții sunt numere care sunt multipli ai lui 3. Prin urmare, factorul comun va fi monomiul 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Binom.Pentru paranteze general factor din doi, o variabilă și un număr, care este un polinom comun. Prin urmare, dacă factor-binomul nu este evident, atunci trebuie să găsiți cel puțin o rădăcină. Selectați termenul liber al polinomului; acesta este un coeficient fără variabilă. Acum aplicați metoda substituției în expresia generală a tuturor divizorilor întregi ai termenului liber.

Luați în considerare: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Verificați dacă oricare dintre factorii întregi ai lui 4 este z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Prin substituție simplă, găsiți z1 = 1 și z2 = 2, ceea ce înseamnă pentru paranteze putem elimina binoamele (z - 1) și (z - 2). Pentru a găsi expresia rămasă, utilizați diviziunea lungă secvențială.

Extragerea rădăcinii este operația inversă a creșterii unei puteri. Adică, luând rădăcina numărului X, obținem un număr care la pătrat va da același număr X.

Extragerea rădăcinii este o operație destul de simplă. Un tabel de pătrate poate ușura munca de extracție. Pentru că este imposibil să ne amintim toate pătratele și rădăcinile pe de rost, dar numerele pot fi mari.

Extragerea rădăcinii unui număr

A lua rădăcina pătrată a unui număr este ușor. În plus, acest lucru se poate face nu imediat, ci treptat. De exemplu, luați expresia √256. Inițial, este dificil pentru o persoană ignorantă să dea un răspuns imediat. Apoi o vom face pas cu pas. În primul rând, împărțim doar cu numărul 4, din care luăm pătratul selectat ca rădăcină.

Să reprezentăm: √(64 4), atunci va fi echivalent cu 2√64. Și după cum știți, conform tabelului înmulțirii 64 = 8 8. Răspunsul va fi 2*8=16.

Înscrieți-vă la cursul „Accelerați aritmetica mentală, NU aritmetica mentală” pentru a învăța cum să adăugați, scădeți, înmulțiți, împărțiți, pătrați și chiar extrageți rădăcini rapid și corect. În 30 de zile, vei învăța cum să folosești trucuri simple pentru a simplifica operațiile aritmetice. Fiecare lecție conține tehnici noi, exemple clare și sarcini utile.

Extragerea unei rădăcini complexe

Rădăcina pătrată nu poate fi calculată din numere negative, deoarece orice număr pătrat este un număr pozitiv!

Un număr complex este numărul i, care la pătrat este egal cu -1. Adică i2=-1.

În matematică, există un număr care se obține luând rădăcina numărului -1.

Adică, este posibil să se calculeze rădăcina lui număr negativ, dar acest lucru se aplică deja matematica superioara, nu scoala.

Să luăm în considerare un exemplu de astfel de extracție a rădăcinilor: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Calculator rădăcină online

Folosind calculatorul nostru, puteți calcula extragerea unui număr dintr-o rădăcină pătrată:

Conversia expresiilor care conțin o operație root

Esența transformării expresiilor radicale este de a descompune numărul radical în altele mai simple, din care poate fi extrasă rădăcina. Cum ar fi 4, 9, 25 și așa mai departe.

Să dăm un exemplu, √625. Să împărțim expresia radicală la numărul 5. Obținem √(125 5), repetați operația √(25 25), dar știm că 25 este 52. Ceea ce înseamnă că răspunsul va fi 5*5=25.

Dar există numere pentru care rădăcina nu poate fi calculată folosind această metodă și trebuie doar să știi răspunsul sau să ai la îndemână un tabel cu pătrate.

√289=√(17*17)=17

Concluzie

Ne-am uitat doar la vârful aisbergului, pentru a înțelege mai bine matematica - înscrieți-vă la cursul nostru: Accelerarea aritmetică mentală - NU aritmetica mentală.

Din curs nu numai că vei învăța zeci de tehnici de înmulțire simplificată și rapidă, adunare, înmulțire, împărțire și calculare a procentelor, dar le vei exersa și în misiuni speciale si jocuri educative! Aritmetica mentală necesită, de asemenea, multă atenție și concentrare, care sunt antrenate activ atunci când rezolvă probleme interesante.