Metoda secvenței gaussiene. Reversul metodei gaussiene

Aici puteți rezolva sistemul gratuit ecuații liniare Metoda Gauss online dimensiuni mariîn numere complexe cu o soluție foarte detaliată. Calculatorul nostru poate rezolva online atât sistemele obișnuite de ecuații liniare definite, cât și nedefinite folosind metoda Gaussiană, care are un număr infinit de soluții. In acest caz, in raspuns vei primi dependenta unor variabile prin altele, libere. Puteți verifica, de asemenea, sistemul de ecuații pentru consecvența online folosind soluția Gauss.

Dimensiunea matricei: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 32 33 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Despre metoda

La rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda online Gauss se efectuează următorii pași.

1. Scriem matricea extinsă.
2. De fapt, soluția este împărțită în pași înainte și înapoi ai metodei gaussiene. Etapa directă a metodei gaussiene este reducerea unei matrice la o formă în trepte. Reversul metodei gaussiene este reducerea unei matrice la o formă specială în trepte. Dar, în practică, este mai convenabil să eliminați imediat ceea ce este situat atât deasupra, cât și sub elementul în cauză. Calculatorul nostru folosește exact această abordare.
3. Este important de reținut că, atunci când se rezolvă folosind metoda Gauss, prezența în matrice a cel puțin unui rând zero cu un NU zero partea dreaptă(coloana membrilor liberi) indică incompatibilitatea sistemului. Soluţie sistem liniar in acest caz nu exista.

Pentru a înțelege cel mai bine cum funcționează algoritmul gaussian online, introduceți orice exemplu, selectați „foarte solutie detaliata" și căutați soluția lui online.

Fie un sistem liniar ecuații algebrice, care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor xi care transformă fiecare ecuație a sistemului în egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu au soluții (fi nearticulată).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o singură soluție.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei nu sunt potrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, care în fiecare caz ne va conduce la răspuns! Algoritmul metodei în sine în toate trei cazuri functioneaza la fel. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci pentru a aplica metoda Gauss ai nevoie doar de cunoștințe de operații aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor de școală primară.

Transformări matriceale crescute ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) Cu troki matrici Can rearanja pe alocuri.

2) dacă în matrice apar (sau există) rânduri proporționale (ca caz special – identice), atunci ar trebui să şterge Toate aceste rânduri sunt din matrice, cu excepția unuia.

3) dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el şterge.

4) un rând al matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.

5) la un rând al matricei pe care o puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.

În metoda Gauss, transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații.

Metoda Gauss constă din două etape:

1. „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare într-o formă de pas „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasare de sus în jos). De exemplu, la acest tip:

Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:

1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul pentru x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienții necunoscutelor, inclusiv termenii liberi) la coeficientul necunoscutului x 1, care se află în fiecare ecuație, și înmulțim cu K. După aceasta, o scădem pe prima din a doua ecuație (coeficienți de necunoscute și termeni liberi). Pentru x 1 din a doua ecuație obținem coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație până când toate ecuațiile, cu excepția primei, pentru necunoscut x 1, au coeficientul 0.

2) Să trecem la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul pentru x 2 egal cu M. Continuăm cu toate ecuațiile „inferioare” așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 vor fi zerouri în toate ecuațiile.

3) Treceți la următoarea ecuație și așa mai departe până când rămâne o ultimă necunoscută și termenul liber transformat.

1. „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”).

Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n = B. În exemplul dat mai sus, x 3 = 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:
Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să facem asta: 1 pas

. La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul). . Prima linie, înmulțită cu 5, a fost adăugată la a doua linie. Prima linie, înmulțită cu 3, a fost adăugată la a treia linie.

Pasul 3 . Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

Pasul 4 . A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu 2.

Pasul 5 . A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 |23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o eroare în timpul elementului transformări.

Să facem invers; în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. ÎN în acest exemplu s-a dovedit a fi un cadou:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, deci x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Răspuns:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțim a doua ecuație cu 5 și a treia cu 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Scăzând a doua ecuație din a treia ecuație, obținem o matrice extinsă „în trepte”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, din moment ce eroarea acumulată în timpul calculelor, obținem x 3 = 0,96 sau aproximativ 1.

x 2 = 3 și x 1 = –1.

Rezolvând în acest fel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont de caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți neîntregi.

iti doresc succes! Ne vedem la clasa! Tutor Dmitri Aystrakhanov.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Să fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare care trebuie rezolvat (găsiți astfel de valori ale necunoscutelor xi care transformă fiecare ecuație a sistemului într-o egalitate).

Știm că un sistem de ecuații algebrice liniare poate:

1) Nu au soluții (fi nearticulată).
2) Au infinit de soluții.
3) Aveți o singură soluție.

După cum ne amintim, regula lui Cramer și metoda matricei nu sunt potrivite în cazurile în care sistemul are infinite de soluții sau este inconsecvent. metoda Gauss – cel mai puternic și versatil instrument pentru găsirea de soluții la orice sistem de ecuații liniare, care în fiecare caz ne va conduce la răspuns! Algoritmul metodei în sine funcționează la fel în toate cele trei cazuri. Dacă metodele Cramer și matrice necesită cunoașterea determinanților, atunci pentru a aplica metoda Gauss ai nevoie doar de cunoștințe de operații aritmetice, ceea ce o face accesibilă chiar și elevilor de școală primară.

Transformări matriceale crescute ( aceasta este matricea sistemului - o matrice compusă numai din coeficienții necunoscutelor, plus o coloană de termeni liberi) sisteme de ecuații algebrice liniare în metoda Gauss:

1) Cu troki matrici Can rearanja pe alocuri.

2) dacă în matrice apar (sau există) rânduri proporționale (ca caz special – identice), atunci ar trebui să şterge Toate aceste rânduri sunt din matrice, cu excepția unuia.

3) dacă în matrice apare un rând zero în timpul transformărilor, atunci ar trebui să fie și el şterge.

4) un rând al matricei poate fi înmulțire (împărțire) la orice alt număr decât zero.

5) la un rând al matricei pe care o puteți adăugați un alt șir înmulțit cu un număr, diferit de zero.

În metoda Gauss, transformările elementare nu schimbă soluția sistemului de ecuații.

Metoda Gauss constă din două etape:

1. „Mișcare directă” - folosind transformări elementare, aduceți matricea extinsă a unui sistem de ecuații algebrice liniare într-o formă de pas „triunghiulară”: elementele matricei extinse situate sub diagonala principală sunt egale cu zero (deplasare de sus în jos). De exemplu, la acest tip:

Pentru a face acest lucru, efectuați următorii pași:

1) Să considerăm prima ecuație a unui sistem de ecuații algebrice liniare și coeficientul pentru x 1 este egal cu K. A doua, a treia etc. transformăm ecuațiile astfel: împărțim fiecare ecuație (coeficienții necunoscutelor, inclusiv termenii liberi) la coeficientul necunoscutului x 1, care se află în fiecare ecuație, și înmulțim cu K. După aceasta, o scădem pe prima din a doua ecuație (coeficienți de necunoscute și termeni liberi). Pentru x 1 din a doua ecuație obținem coeficientul 0. Din a treia ecuație transformată scădem prima ecuație până când toate ecuațiile, cu excepția primei, pentru necunoscut x 1, au coeficientul 0.

2) Să trecem la următoarea ecuație. Fie aceasta a doua ecuație și coeficientul pentru x 2 egal cu M. Continuăm cu toate ecuațiile „inferioare” așa cum este descris mai sus. Astfel, „sub” necunoscutul x 2 vor fi zerouri în toate ecuațiile.

3) Treceți la următoarea ecuație și așa mai departe până când rămâne o ultimă necunoscută și termenul liber transformat.

1. „Mișcarea inversă” a metodei Gauss este de a obține o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare (mișcarea „de jos în sus”).

Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n = B. În exemplul dat mai sus, x 3 = 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.

Exemplu.

Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss, așa cum ne sfătuiesc unii autori:

Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:
Ne uităm la „pasul” din stânga sus. Ar trebui să avem unul acolo. Problema este că nu există deloc unități în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va rezolva nimic. În astfel de cazuri, unitatea trebuie organizată folosind o transformare elementară. Acest lucru se poate face de obicei în mai multe moduri. Să facem asta: 1 pas

. La prima linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –1. Adică am înmulțit mental a doua linie cu –1 și am adăugat prima și a doua linie, în timp ce a doua linie nu s-a schimbat.

Acum în stânga sus este „minus unu”, care ni se potrivește destul de bine. Oricine dorește să obțină +1 poate efectua o acțiune suplimentară: înmulțiți prima linie cu –1 (schimbați-i semnul). . Prima linie, înmulțită cu 5, a fost adăugată la a doua linie. Prima linie, înmulțită cu 3, a fost adăugată la a treia linie.

Pasul 3 . Prima linie a fost înmulțită cu –1, în principiu, aceasta este pentru frumusețe. S-a schimbat și semnul celei de-a treia rânduri și s-a mutat pe locul doi, astfel încât la a doua „treaptă” să avem unitatea necesară.

Pasul 4 . A treia linie a fost adăugată la a doua linie, înmulțită cu 2.

Pasul 5 . A treia linie a fost împărțită la 3.

Un semn care indică o eroare în calcule (mai rar, o greșeală de scriere) este un rezultat „proast”. Adică, dacă avem ceva de genul (0 0 11 |23) mai jos și, în consecință, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, atunci cu un grad mare de probabilitate putem spune că a fost făcută o eroare în timpul elementului transformări.

Să facem invers; în proiectarea exemplelor, sistemul în sine nu este adesea rescris, dar ecuațiile sunt „preluate direct din matricea dată”. Mișcarea inversă, vă reamintesc, funcționează de jos în sus. În acest exemplu, rezultatul a fost un cadou:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, deci x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Răspuns:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Să rezolvăm același sistem folosind algoritmul propus. Primim

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Împărțim a doua ecuație cu 5 și a treia cu 3. Obținem:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Înmulțind a doua și a treia ecuație cu 4, obținem:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Scădeți prima ecuație din a doua și a treia ecuație, avem:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Împărțiți a treia ecuație la 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Înmulțiți a treia ecuație cu 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Scăzând a doua ecuație din a treia ecuație, obținem o matrice extinsă „în trepte”:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Astfel, din moment ce eroarea acumulată în timpul calculelor, obținem x 3 = 0,96 sau aproximativ 1.

x 2 = 3 și x 1 = –1.

Rezolvând în acest fel, nu te vei încurca niciodată în calcule și, în ciuda erorilor de calcul, vei obține rezultatul.

Această metodă de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare este ușor de programat și nu ține cont de caracteristicile specifice ale coeficienților pentru necunoscute, deoarece în practică (în calculele economice și tehnice) trebuie să se ocupe de coeficienți neîntregi.

iti doresc succes! Ne vedem la clasa! Tutore.

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss. Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la sistem din n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în eliminarea secvenţială a variabilelor necunoscute: mai întâi eliminarea x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, este exclus în continuare x 2 din toate ecuațiile, începând cu a treia și așa mai departe, până când doar variabila necunoscută rămâne în ultima ecuație x n. Acest proces de transformare a ecuațiilor unui sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește metoda Gaussiană directă. După finalizarea progresiei înainte a metodei gaussiene, din ultima ecuație găsim x n, folosind această valoare din penultima ecuație pe care o calculăm xn-1, și așa mai departe, din prima ecuație pe care o găsim x 1. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem întotdeauna realiza acest lucru prin interschimbarea ecuațiilor sistemului. Eliminați variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând de la a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe primul, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am ajunge la același rezultat dacă ne-am exprima x 1 prin alte variabile necunoscute din prima ecuație a sistemului și expresia rezultată a fost înlocuită în toate celelalte ecuații. Deci variabila x 1 exclus din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului adăugăm a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație adăugăm a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la al n-lea la ecuație îl adăugăm pe al doilea, înmulțit cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Deci variabila x 2 exclus din toate ecuațiile începând cu a treia.

Apoi trecem la eliminarea necunoscutului x 3, în acest caz procedăm similar cu partea de sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca, folosind valoarea obținută x n găsim xn-1 din penultima ecuație și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație.

Din ultima ecuație „inferioară” obținem o primă soluție - necunoscuta x n. Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația elementară A * x n = B. În exemplul dat mai sus, x 3 = 4. Înlocuim valoarea găsită în următoarea ecuație „superioară” și o rezolvăm în raport cu următoarea necunoscută. De exemplu, x 2 – 4 = 1, i.e. x 2 = 5. Și așa mai departe până găsim toate necunoscutele.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

1. Sistem de ecuații algebrice liniare

1.1 Conceptul de sistem de ecuații algebrice liniare

Un sistem de ecuații este o condiție constând în executarea simultană a mai multor ecuații în raport cu mai multe variabile. Un sistem de ecuații algebrice liniare (denumit în continuare SLAE) care conține m ecuații și n necunoscute se numește sistem de forma:

unde numerele a ij sunt numite coeficienți de sistem, numerele b i sunt numite termeni liberi, a ijŞi b i(i=1,…, m; b=1,…, n) reprezintă unele numere cunoscute, și x 1,…, x n– necunoscut. În desemnarea coeficienţilor a ij primul indice i desemnează numărul ecuației, iar al doilea j este numărul necunoscutului la care se află acest coeficient. Numerele x n trebuie găsite. Este convenabil să scrieți un astfel de sistem într-o formă de matrice compactă: AX=B. Aici A este matricea coeficienților sistemului, numită matrice principală;

– vector coloană de necunoscute xj.
este un vector coloană de termeni liberi bi.

Produsul matricelor A*X este definit, deoarece există tot atâtea coloane în matricea A câte rânduri sunt în matricea X (n bucăți).

Matricea extinsă a unui sistem este matricea A a sistemului, completată de o coloană de termeni liberi

1.2 Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare

Soluția unui sistem de ecuații este un set ordonat de numere (valori ale variabilelor), la înlocuirea acestora în loc de variabile, fiecare dintre ecuațiile sistemului se transformă într-o egalitate adevărată.

O soluție a unui sistem este n valori ale necunoscutelor x1=c1, x2=c2,..., xn=cn, prin înlocuirea cărora toate ecuațiile sistemului devin egalități adevărate. Orice soluție a sistemului poate fi scrisă ca o matrice coloane

Un sistem de ecuații se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are nicio soluție.

Se spune că un sistem consistent este determinat dacă are o singură soluție și nedefinit dacă are mai multe soluții. În acest din urmă caz, fiecare dintre soluțiile sale se numește o soluție particulară a sistemului. Mulțimea tuturor soluțiilor particulare se numește soluție generală.

Rezolvarea unui sistem înseamnă a afla dacă este compatibil sau inconsecvent. Dacă sistemul este consistent, găsiți-l solutie generala.

Două sisteme se numesc echivalente (echivalente) dacă au aceeași soluție generală. Cu alte cuvinte, sistemele sunt echivalente dacă fiecare soluție a uneia dintre ele este o soluție a celeilalte și invers.

Transformare, a cărei aplicare transformă sistemul în sistem nou, echivalent cu cel original, se numește transformare echivalentă sau echivalentă. Exemple de transformări echivalente includ următoarele transformări: schimbarea a două ecuații ale unui sistem, schimbarea a două necunoscute împreună cu coeficienții tuturor ecuațiilor, înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații a unui sistem cu un număr diferit de zero.

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero:

Un sistem omogen este întotdeauna consistent, deoarece x1=x2=x3=…=xn=0 este o soluție a sistemului. Această soluție se numește zero sau trivială.

2. Metoda de eliminare gaussiană

2.1 Esența metodei gaussiene de eliminare

Metoda clasică de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare este metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor - metoda gaussiana(se mai numeste si metoda de eliminare gaussiana). Aceasta este o metodă de eliminare secvenţială a variabilelor, atunci când, folosind transformări elementare, un sistem de ecuaţii este redus la un sistem echivalent de formă treptat (sau triunghiulară), din care toate celelalte variabile se găsesc secvenţial, începând cu ultima (prin număr) variabile.

Procesul de rezolvare folosind metoda Gauss constă din două etape: mișcări înainte și înapoi.

1. Lovitură directă.

În prima etapă, se realizează așa-numita mișcare directă, atunci când, prin transformări elementare peste rânduri, sistemul este adus la o treaptă sau formă triunghiulară, sau stabiliți că sistemul este incompatibil. Și anume, dintre elementele primei coloane a matricei, selectați unul diferit de zero, mutați-l în poziția de sus prin rearanjarea rândurilor și scădeți primul rând rezultat din rândurile rămase după rearanjare, înmulțindu-l cu o valoare. egal cu raportul dintre primul element al fiecăruia dintre aceste rânduri și primul element al primului rând, reducând astfel coloana de sub acesta.

După ce transformările indicate au fost finalizate, primul rând și prima coloană sunt tăiate mental și continuate până când rămâne o matrice de dimensiune zero. Dacă la orice iterație nu există niciun element diferit de zero printre elementele primei coloane, atunci mergeți la următoarea coloană și efectuați o operație similară.

În prima etapă (cursă directă), sistemul este redus la o formă în trepte (în special, triunghiulară).

Sistemul de mai jos are o formă în trepte:

,

Coeficienții aii sunt numiți elementele principale (lider) ale sistemului.

(dacă a11=0, rearanjați rândurile matricei astfel încât o 11 nu a fost egal cu 0. Acest lucru este întotdeauna posibil, deoarece altfel matricea conține o coloană zero, determinantul ei este egal cu zero și sistemul este inconsecvent).

Să transformăm sistemul eliminând necunoscuta x1 în toate ecuațiile cu excepția primei (folosind transformări elementare ale sistemului). Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu

și adăugați termen cu termen cu a doua ecuație a sistemului (sau din a doua ecuație scădeți termen cu termen cu prima, înmulțit cu ). Apoi înmulțim ambele părți ale primei ecuații cu și le adăugăm la a treia ecuație a sistemului (sau din a treia o scădem pe prima înmulțită cu ). Astfel, înmulțim secvenţial prima linie cu un număr și adăugăm la i a linia, pentru i= 2, 3, …,n.

Continuând acest proces, obținem un sistem echivalent:

– noi valori ale coeficienților pentru necunoscute și termeni liberi în ultimele m-1 ecuații ale sistemului, care sunt determinate de formulele:

Astfel, la prima etapă, toți coeficienții aflați sub primul element conducător a 11 sunt distruși.

0, în a doua etapă elementele aflate sub cel de-al doilea element conducător a 22 (1) sunt distruse (dacă a 22 (1) 0), etc. Continuând acest proces în continuare, în final, la pasul (m-1), reducem sistemul original la un sistem triunghiular.

Dacă, în procesul de reducere a sistemului la o formă treptată, apar ecuații zero, adică. egalități de forma 0=0, acestea sunt aruncate. Dacă apare o ecuaţie a formei

atunci aceasta indică incompatibilitatea sistemului.

Aici se termină progresul direct al metodei lui Gauss.

2. Cursa inversă.

În a doua etapă, se efectuează așa-numita mișcare inversă, a cărei esență este de a exprima toate variabilele de bază rezultate în termeni de variabile nebazice și de a construi un sistem fundamental de soluții sau, dacă toate variabilele sunt de bază , apoi exprimă numeric singura soluție a sistemului de ecuații liniare.

Această procedură începe cu ultima ecuație, din care se exprimă variabila de bază corespunzătoare (există doar una în ea) și se substituie în ecuațiile anterioare și așa mai departe, urcând „treptele”.

Fiecare linie corespunde exact unei variabile de bază, astfel încât la fiecare pas, cu excepția ultimului (cel mai de sus), situația repetă exact cazul ultimei linii.

Notă: în practică, este mai convenabil să lucrați nu cu sistemul, ci cu matricea sa extinsă, efectuând toate transformările elementare pe rândurile sale. Este convenabil ca coeficientul a11 să fie egal cu 1 (rearanjați ecuațiile sau împărțiți ambele părți ale ecuației la a11).

2.2 Exemple de rezolvare a SLAE-urilor folosind metoda Gaussiană

În această secțiune, folosind trei exemple diferite, vom arăta cum metoda Gaussiană poate rezolva SLAE-urile.

Exemplul 1. Rezolvați un SLAE de ordinul 3.

Să resetam coeficienții la

în rândurile a doua și a treia. Pentru a face acest lucru, înmulțiți-le cu 2/3 și, respectiv, 1 și adăugați-le la prima linie: