Proprietățile funcției y 3 la puterea lui x. Grafice ale funcțiilor trigonometrice

Funcția de putere, proprietățile sale și graficul Material demonstrativ Lecție-preleg Concept de funcție. Proprietățile funcției. Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia. Gradul 10 Toate drepturile rezervate. Drepturi de autor cu drepturi de autor cu

Progresul lecției: Repetiție. Funcţie. Proprietățile funcțiilor. Învățarea de materiale noi. 1. Definiția unei funcții de putere.Definiția unei funcții de putere. 2. Proprietăți și grafice ale funcțiilor de putere. Proprietăți și grafice ale funcțiilor de putere. Consolidarea materialului studiat. Numărarea orală. Numărarea orală. Rezumatul lecției. Temă pentru acasă.

Domeniul de definire și domeniul valorilor unei funcții Toate valorile variabilei independente formează domeniul de definire al funcției x y=f(x) f Domeniul de definire al funcției Domeniul valorilor funcției Toate valorile pe care variabila dependentă le ia formează domeniul de valori al funcției Funcție. Proprietățile funcției

Graficul unei funcții Să fie dată o funcție unde xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției. Funcţie. Proprietățile funcției

Y x Domeniul de definire și domeniul de valori al funcției 4 y=f(x) Domeniul de definire al funcției: Domeniul valorilor funcției: Funcția. Proprietățile funcției

Funcția pare y x y=f(x) Graficul unei funcții pare este simetric față de axa op-ampului Funcția y=f(x) se numește chiar dacă f(-x) = f(x) pentru orice x din domeniul de definire al funcției Funcție. Proprietățile funcției

Funcția impară y x y=f(x) Graficul unei funcții impare este simetric față de originea O(0;0) Funcția y=f(x) se numește impar dacă f(-x) = -f(x) pentru orice x din definițiile funcției de regiune Funcție. Proprietățile funcției

Definiția unei funcții de putere O funcție în care p este un număr real dat se numește funcție de putere. p y=x p P=x y 0 Progresul lecției

Funcția de putere x y 1. Domeniul de definiție și domeniul de valori ale funcțiilor de putere de forma, unde n – număr natural, toate sunt numere reale. 2. Aceste funcții sunt impare. Graficul lor este simetric față de origine. Proprietăți și grafice ale funcțiilor de putere

Puterea funcționează cu exponent pozitiv rațional Domeniu - toate numere pozitiveși numărul 0. Gama de valori ale funcțiilor cu acest exponent este, de asemenea, toate numerele pozitive și numărul 0. Aceste funcții nu sunt nici pare, nici impare. y x Proprietăţi şi grafice ale funcţiilor de putere

Funcția de putere cu rațional indicator negativ. Domeniul de definiție și intervalul de valori ale unor astfel de funcții sunt toate numere pozitive. Funcțiile nu sunt nici pare, nici impare. Astfel de funcții scad în întregul lor domeniu de definire. y x Proprietăți și grafice ale funcțiilor de putere Progresul lecției

Universitatea Nationala de Cercetare

Departamentul de Geologie Aplicată

Rezumat despre matematica superioară

Pe tema: „Funcții elementare de bază,

proprietățile și graficele lor"

Finalizat:

Verificat:

profesor

Definiţie. Funcția dată de formula y=a x (unde a>0, a≠1) se numește funcție exponențială cu baza a.

Să formulăm principalele proprietăți functie exponentiala:

1. Domeniul de definiție este mulțimea (R) a tuturor numerelor reale.

2. Interval - mulțimea (R+) a tuturor numerelor reale pozitive.

3. Pentru a > 1, funcția crește de-a lungul întregii drepte numerice; la 0<а<1 функция убывает.

4. Este o funcție de formă generală.

, pe intervalul xО [-3;3]
, pe intervalul xО [-3;3]

O funcție de forma y(x)=x n, unde n este numărul ОR, se numește funcție de putere. Numărul n poate lua diferite valori: atât întreg cât și fracționar, atât par cât și impar. În funcție de aceasta, funcția de putere va avea o formă diferită. Să luăm în considerare cazurile speciale care sunt funcții de putere și reflectă proprietățile de bază ale acestui tip de curbă în următoarea ordine: funcția de putere y=x² (funcție cu exponent par - o parabolă), funcție de putere y=x³ (funcție cu exponent impar). - parabolă cubică) și funcția y=√x (x la puterea lui ½) (funcție cu exponent fracționar), funcție cu exponent întreg negativ (hiperbolă).

Funcția de putere y=x²

1. D(x)=R – funcția este definită pe toată axa numerică;

2. E(y)= și crește pe interval

Funcția de putere y=x³

1. Graficul funcției y=x³ se numește parabolă cubică. Funcția de putere y=x³ are următoarele proprietăți:

2. D(x)=R – funcția este definită pe toată axa numerică;

3. E(y)=(-∞;∞) – funcția ia toate valorile din domeniul său de definiție;

4. Când x=0 y=0 – funcția trece prin originea coordonatelor O(0;0).

5. Funcția crește pe întregul domeniu de definire.

6. Funcția este impară (simetrică față de origine).

, pe intervalul xО [-3;3]

În funcție de factorul numeric din fața lui x³, funcția poate fi abruptă/plată și crescătoare/descrescătoare.

Funcția de putere cu exponent întreg negativ:

Dacă exponentul n este impar, atunci graficul unei astfel de funcții de putere se numește hiperbolă. O funcție de putere cu un exponent negativ întreg are următoarele proprietăți:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) pentru orice n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), dacă n este un număr impar; E(y)=(0;∞), dacă n este un număr par;

3. Funcția scade pe întregul domeniu de definiție dacă n este un număr impar; funcția crește pe intervalul (-∞;0) și scade pe intervalul (0;∞) dacă n este un număr par.

4. Funcția este impară (simetrică față de origine) dacă n este un număr impar; o funcție este par dacă n este un număr par.

5. Funcția trece prin punctele (1;1) și (-1;-1) dacă n este un număr impar și prin punctele (1;1) și (-1;1) dacă n este un număr par.

, pe intervalul xО [-3;3]

Funcția de putere cu exponent fracționar

O funcție de putere cu un exponent fracționar (imagine) are un grafic al funcției prezentate în figură. O funcție de putere cu un exponent fracționar are următoarele proprietăți: (imagine)

1. D(x) ОR, dacă n este un număr impar și D(x)=
, pe intervalul xО
, pe intervalul xО [-3;3]

Funcția logaritmică y = log a x are următoarele proprietăți:

1. Domeniul definiției D(x)О (0; + ∞).

2. Interval de valori E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funcția nu este nici pară, nici impară (de formă generală).

4. Funcția crește pe intervalul (0; + ∞) pentru a > 1, scade pe (0; + ∞) pentru 0< а < 1.

Graficul funcției y = log a x poate fi obținut din graficul funcției y = a x folosind o transformare de simetrie în jurul dreptei y = x. Figura 9 prezintă un grafic al funcției logaritmice pentru a > 1 și Figura 10 pentru 0< a < 1.

; pe intervalul xО
; pe intervalul xО

Funcțiile y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x se numesc funcții trigonometrice.

Funcțiile y = sin x, y = tg x, y = ctg x sunt impare, iar funcția y = cos x este pară.

Funcția y = sin(x).

1. Domeniul definiției D(x) ОR.

2. Interval de valori E(y) О [ - 1; 1].

3. Funcția este periodică; perioada principală este 2π.

4. Funcția este impară.

5. Funcția crește pe intervale [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] și scade pe intervalele [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Graficul funcției y = sin (x) este prezentat în Figura 11.

Lecție și prezentare pe tema: „Funcții de putere. Proprietăți. Grafice”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Funcții de putere, domeniu de definiție.

Băieți, în ultima lecție am învățat cum să lucrăm cu numere cu exponenți raționali. În această lecție ne vom uita la funcțiile de putere și ne vom limita la cazul în care exponentul este rațional.
Vom considera funcții de forma: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Să considerăm mai întâi funcțiile al căror exponent $\frac(m)(n)>1$.
Să ni se dea o funcție specifică $y=x^2*5$.
Conform definiției pe care am dat-o în ultima lecție: dacă $x≥0$, atunci domeniul de definire al funcției noastre este raza $(x)$. Să diagramăm graficul funcției noastre.

Proprietăţile funcţiei $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Nu este nici par, nici impar.
3. Crește cu $$,
b) $(2,10)$,
c) pe raza $$.
Soluţie.
Băieți, vă amintiți cum l-am găsit pe cel mai bun și cea mai mică valoare funcţionează pe un segment în clasa a X-a?
Așa e, am folosit derivatul. Să rezolvăm exemplul nostru și să repetăm ​​algoritmul pentru găsirea celei mai mici și mai mari valori.
1. Găsiți derivata funcției date:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Derivata există în întregul domeniu de definire al funcției originale, atunci nu există puncte critice. Să găsim puncte staționare:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
8 $*\sqrt(x^3)=x^3$.
64$x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ și $x_2=\sqrt(64)=4$.
Un segment dat conține o singură soluție $x_2=4$.
Să construim un tabel cu valorile funcției noastre la capetele segmentului și la punctul extrem:
Răspuns: $y_(nume)=-862,65$ la $x=9$; $y_(max.)=38,4$ la $x=4$.

Exemplu. Rezolvați ecuația: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Soluţie. Graficul funcției $y=x^(\frac(4)(3))$ crește, iar graficul funcției $y=24-x$ scade. Băieți, voi și eu știm: dacă o funcție crește și cealaltă scade, atunci se intersectează doar într-un punct, adică avem o singură soluție.
Nota:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Adică, cu $x=8$ am obținut egalitatea corectă $16=16$, aceasta este soluția ecuației noastre.
Răspuns: $x=8$.

Exemplu.
Reprezentați grafic funcția: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Soluţie.
Graficul funcției noastre se obține din graficul funcției $y=x^(\frac(3)(4))$, deplasându-l cu 3 unități la dreapta și 2 unități în sus.

Exemplu. Scrieți o ecuație pentru tangenta la dreapta $y=x^(-\frac(4)(5))$ în punctul $x=1$.
Soluţie. Ecuația tangentei este determinată de formula pe care o cunoaștem:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
În cazul nostru $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Să găsim derivata:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Să calculăm:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Să găsim ecuația tangentei:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Răspuns: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Probleme de rezolvat independent

1. Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției: $y=x^\frac(4)(3)$ pe segment:
a) $$.
b) $(4,50)$.
c) pe raza $$.
3. Rezolvați ecuația: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Construiți un grafic al funcției: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Creați o ecuație pentru tangenta la dreapta $y=x^(-\frac(3)(7))$ în punctul $x=1$.

Pentru comoditatea de a considera o funcție de putere, vom lua în considerare 4 cazuri separate: o funcție de putere cu un exponent natural, o funcție de putere cu un exponent întreg, o funcție de putere cu un exponent rațional și o funcție de putere cu un exponent irațional.

Funcție de putere cu exponent natural

Mai întâi, să introducem conceptul de grad cu un exponent natural.

Definiția 1

Puterea unui număr real $a$ cu exponent natural $n$ este un număr egal cu produsul $n$ factori, fiecare fiind egal cu numărul $a$.

Figura 1.

$a$ este baza gradului.

$n$ este exponentul.

Să considerăm acum o funcție de putere cu un exponent natural, proprietățile și graficul acesteia.

Definiția 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ se numește o funcție de putere cu un exponent natural.

Pentru mai multă comoditate, considerăm separat o funcție de putere cu un exponent par $f\left(x\right)=x^(2n)$ și o funcție de putere cu un exponent impar $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\în N)$.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent natural par

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- funcția este pară.

Zona valorii -- $\

Funcția scade cu $x\in (-\infty ,0)$ și crește cu $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

Funcția este convexă pe întregul domeniu de definiție.

Comportament la sfârșitul domeniului:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafic (Fig. 2).

Figura 2. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n)$

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent natural impar

Domeniul definiției sunt toate numerele reale.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funcția este impară.

$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu de definiție.

Gama sunt toate numere reale.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funcția crește pe întregul domeniu de definiție.

$f\left(x\right)0$, pentru $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funcția este concavă pentru $x\in (-\infty ,0)$ și convexă pentru $x\in (0,+\infty)$.

Grafic (Fig. 3).

Figura 3. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funcția de putere cu exponent întreg

Mai întâi, să introducem conceptul de grad cu un exponent întreg.

Definiția 3

grad număr real$a$ cu exponent întreg $n$ este determinat de formula:

Figura 4.

Să considerăm acum o funcție de putere cu un exponent întreg, proprietățile și graficul acesteia.

Definiția 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ se numește o funcție de putere cu un exponent întreg.

Dacă gradul este mai mare decât zero, atunci ajungem la cazul unei funcții de putere cu exponent natural. Am discutat deja mai sus. Când $n=0$ obținem o funcție liniară $y=1$. Vom lăsa considerația sa în seama cititorului. Rămâne de luat în considerare proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ

Domeniul definiției este $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Dacă exponentul este par, atunci funcția este pară, atunci funcția este impară.

$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu de definiție.

Domeniu de aplicare:

Dacă exponentul este par, atunci $(0,+\infty)$ dacă este impar, atunci $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$;

Pentru un exponent impar, funcția scade cu $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Pentru un exponent par, funcția scade cu $x\in (0,+\infty)$. și crește cu $x\în \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ pe întregul domeniu de definiție

Sunt prezentate proprietățile și graficele funcțiilor de putere sensuri diferite exponent. Formule de bază, domenii de definiție și seturi de valori, paritate, monotonitate, crescător și descrescător, extreme, convexitate, inflexiuni, puncte de intersecție cu axele de coordonate, limite, valori particulare.

Formule cu funcții de putere

Pe domeniul de definire al funcției de putere y = x p avem următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0, atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este o constantă egală cu unu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... .

Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < ∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
Convex:< x < 0 выпукла вверх
la -∞< x < ∞ выпукла вниз
la 0 Puncte de inflexiune:
Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversul ei: x = y pentru n ≠ 1, functie inversa

este rădăcina gradului n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural par n = 2, 4, 6, ... .

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.< ∞
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
par, y(-x) = y(x)
crește monoton pentru x ≤ 0 scade monoton
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
convex în jos Puncte de intersecție cu axele de coordonate:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
la x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1:
pentru n = 2,

rădăcină pătrată

pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcție de putere cu exponent întreg negativ, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent negativ întreg n = -1, -2, -3, ... .

Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .
Domeniu de aplicare: Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
crește monoton Extreme:
Nu
x ≠ 0< 0 : выпукла вверх
y ≠ 0
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
scade monoton
x ≠ 0< 0, y < 0
la x
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
pentru x > 0: convex în jos
Semn:< -2 ,

pentru x > 0, y > 0

când n = -1,

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .
Domeniu de aplicare: la n
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
crește monoton Extreme:
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
scade monoton la n
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....
Semn:< -2 ,

y > 0

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru pozitiv, cât și pentru valori negative argumentul x.

Să luăm în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.< 0

Valoarea p este negativă, p

Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ...) să fie mai mic decât zero: .

Grafice ale funcțiilor de putere cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .
Domeniu de aplicare: Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
crește monoton Extreme:
Nu
x ≠ 0< 0 : выпукла вверх
y ≠ 0
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
scade monoton
x ≠ 0< 0, y < 0
la x
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
Prezentăm proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional, unde n = -1, -3, -5, ... este un număr întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar.
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

la x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ... .
Domeniu de aplicare: la n
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 : монотонно возрастает
Exponent par, n = -2, -4, -6, ...
crește monoton Extreme:
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
scade monoton la n
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
Proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar .
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

la x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Graficul unei funcții de putere cu exponent rațional (0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < +∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
x ≠ 0< 0 : выпукла вниз
Numător impar, n = 1, 3, 5, ...
la 0 Puncte de inflexiune:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
scade monoton
x ≠ 0< 0, y < 0
la x
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x > 0: convex în sus
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

pentru x = 1, y(1) = 1

Numător par, n = 2, 4, 6, ...< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Domeniu de aplicare: Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.< +∞
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 : монотонно убывает
Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional în 0
crește monoton pentru x > 0: crește monoton
Nu minim la x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
scade monoton convex în sus pentru x ≠ 0
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x ≠ 0, y > 0
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

la x = -1, y(-1) = 1

Indicele p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < ∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
Convex:< x < 0 выпукла вверх
la -∞< x < ∞ выпукла вниз
la 0 Puncte de inflexiune:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x > 0: convex în sus
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: .

Unde n = 5, 7, 9, ... - impar natural, m = 3, 5, 7 ... - impar natural.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.< ∞
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
x ≠ 0< 0 монотонно убывает
Numător par, n = 4, 6, 8, ...
crește monoton pentru x > 0: crește monoton
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x ≠ 0, y > 0
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: .

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu proprietățile unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

Funcția de putere cu exponent irațional

Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p. Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele discutate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x. Pentru

valori pozitive

argument, proprietățile depind doar de valoarea exponentului p și nu depind dacă p este întreg, rațional sau irațional.< 0

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... y = x p pentru diferite valori ale exponentului p.
Domeniu de aplicare: la n
impar, y(-x) = - y(x) Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
x = 0, y = 0 ;
Funcția de putere cu exponent negativ p x > 0

Sens privat:

Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1< p < 1

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0
Domeniu de aplicare: Indicator mai mic de unu 0
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
Nu x ≥ 0
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
Limite: y ≥ 0
x > 0

convex în sus

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0
Domeniu de aplicare: Indicator mai mic de unu 0
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
Limite: y ≥ 0
x > 0

Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Indicatorul este mai mare decât un p > 1