Formule pentru tabelul de funcții trigonometrice inverse. Să exprimăm prin toate funcțiile trigonometrice inverse

Sunt date definiții ale funcțiilor trigonometrice inverse și graficele acestora. La fel și formule care leagă inversele funcții trigonometrice, formule pentru sume și diferențe.

Definiția funcțiilor trigonometrice inverse

Deoarece funcțiile trigonometrice sunt periodice, funcțiile lor inverse nu sunt unice. Deci, ecuația y = sin x, pentru un dat, are infinit de rădăcini. Într-adevăr, datorită periodicității sinusului, dacă x este o astfel de rădăcină, atunci așa este x + 2πn(unde n este un număr întreg) va fi, de asemenea, rădăcina ecuației. Astfel, funcțiile trigonometrice inverse sunt multivalorice. Pentru a facilita lucrul cu ei, este introdus conceptul semnificațiilor lor principale. Luați în considerare, de exemplu, sinusul: y = sin x. sin x Dacă limităm argumentul x la intervalul , atunci pe el funcția y = crește monoton. Prin urmare, are o funcție inversă unică, care se numește arcsinus: x =.

arcsin y

Dacă nu se specifică altfel, prin funcții trigonometrice inverse înțelegem valorile lor principale, care sunt determinate de următoarele definiții. Arcsin ( y=) arcsin x este funcția inversă a sinusului ( x =

siny Arcsin ( Arccosinus () arccos x este funcția inversă a sinusului ( este funcția inversă a cosinusului ( ca si

), având un domeniu de definiție și un set de valori. Arcsin ( Arctangent () arctan x este funcția inversă a sinusului ( este funcția inversă a tangentei ( ca si

tg y Arcsin ( arccotangent () arcctg x este funcția inversă a sinusului ( este funcția inversă a cotangentei ( ca si

ctg y

Grafice ale funcțiilor trigonometrice inverse

Arcsin ( y=

Arcsin ( Arccosinus (

Arcsin ( Arctangent (

Arcsin ( arccotangent (

Graficele funcțiilor trigonometrice inverse se obțin din graficele funcțiilor trigonometrice prin reflexie în oglindă față de dreapta y = x.

Vezi secțiunile Sinus, cosinus, Tangent, cotangent.

Formule de bază Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.
arcsin(sin x) = x
la Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.
sin(arcsin x) = x

arccos(cos x) = x Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = x Aici ar trebui să acordați o atenție deosebită intervalelor pentru care formulele sunt valabile.
tg(arctg x) = x

arcctg(ctg x) = x

ctg(arcctg x) = x

Formule care raportează funcții trigonometrice inverse

Formule de sumă și diferență

la sau

Formule care raportează funcții trigonometrice inverse

Formule de sumă și diferență

la sau

la şi

la şi

la şi

la şi

la la Funcții trigonometrice inverse au aplicare largă Problemelor de acest tip li se acordă prea puțină atenție. Și dacă elevii cel puțin se confruntă cumva cu problemele de calculare a valorilor funcțiilor trigonometrice inverse, atunci ecuațiile și inegalitățile care conțin astfel de funcții, în cea mai mare parte, îi derutează pe copii. De fapt, acest lucru nu este surprinzător, deoarece practic niciun manual nu explică cum să rezolvi chiar și cele mai simple ecuații și inegalități care conțin funcții trigonometrice inverse.

Să ne uităm la mai multe ecuații și inegalități care implică funcții trigonometrice inverse și să le rezolvăm cu explicații detaliate.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Soluţie.

Exprimând funcția trigonometrică inversă din ecuație, obținem:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Acum să folosim definiția arccosinusului.

Arccosinul unui număr a, aparţinând segmentului de la -1 la 1, este un unghi y din segmentul de la 0 la π astfel încât cosinusul și egală cu numărul x. Prin urmare, putem scrie astfel:

2x + 3 = cos 5π/6.

Să-l notăm partea dreaptă ecuația rezultată folosind formula de reducere:

2x + 3 = cos (π – π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

Să reducem partea dreaptă la un numitor comun.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Răspuns: -(6 + √3) / 4 .

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5.

Soluţie.

Deoarece cos (arcсos x) = x cu x aparținând lui [-1; 1], atunci ecuația dată este echivalent cu sistemul:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Să rezolvăm ecuația inclusă în sistem.

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

Este pătrat, așa că obținem asta

x 2 – 9x + 14 = 0;

D = 81 – 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

Să rezolvăm inegalitatea dublă inclusă în sistem.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Adăugați 9 la toate părțile, avem:

8 ≤ 4x ≤ 10. Împărțiți fiecare număr la 4, obținem:

2 ≤ x ≤ 2,5.

Acum să combinăm răspunsurile primite. Este ușor de observat că rădăcina x = 7 nu satisface răspunsul la inegalitate. Prin urmare, singura soluție a ecuației este x = 2.

Raspuns: 2.

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația: tg (arctg (0,5 – x)) = x 2 – 4x + 2,5.

Soluţie.

Deoarece tg (arctg x) = x pentru toate numerele reale, această ecuație este echivalentă cu ecuația:

0,5 – x = x 2 – 4x + 2,5.

Să rezolvăm rezultatul ecuație pătratică folosind un discriminant, după ce l-a adus anterior într-o formă standard.

x 2 – 3x + 2 = 0;

D = 9 – 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 – 1) / 2 = 1.

Răspuns: 1; 2.

Exemplul 4.

Rezolvați ecuația: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Soluţie.

Deoarece arcctg f(x) = arcctg g(x) dacă și numai dacă f(x) = g(x), atunci

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. Să rezolvăm ecuația pătratică rezultată:

4x – 2 = x 2 + x;

x 2 – 3x + 2 = 0.

Prin teorema lui Vieta obținem că

x = 1 sau x = 2.

Răspuns: 1; 2.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația: arcsin (2x – 15) = arcsin (x 2 – 6x – 8).

Soluţie.

Deoarece o ecuație de forma arcsin f(x) = arcsin g(x) este echivalentă cu sistemul

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

atunci ecuația inițială este echivalentă cu sistemul:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Să rezolvăm sistemul rezultat:

(x 2 – 8x + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Din prima ecuație, folosind teorema lui Vieta, avem că x = 1 sau x = 7. Rezolvând a doua inegalitate a sistemului, constatăm că 7 ≤ x ≤ 8. Prin urmare, doar rădăcina x = 7 este potrivită pentru finala răspuns.

Raspuns: 7.

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația: (arccos x) 2 – 6 arccos x + 8 = 0.

Soluţie.

Fie arccos x = t, atunci t aparține segmentului și ecuația ia forma:

t 2 – 6t + 8 = 0. Rezolvați ecuația pătratică rezultată folosind teorema lui Vieta, constatăm că t = 2 sau t = 4.

Deoarece t = 4 nu aparține segmentului, obținem că t = 2, adică. arccos x = 2, ceea ce înseamnă x = cos 2.

Raspuns: cos 2.

Exemplul 7.

Rezolvați ecuația: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Soluţie.

Să folosim egalitatea arcsin x + arccos x = π/2 și să scriem ecuația sub forma

(arcsin x) 2 + (π/2 – arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Fie arcsin x = t, atunci t aparține segmentului [-π/2; π/2] și ecuația ia forma:

t 2 + (π/2 – t) 2 = 5π 2 /36.

Să rezolvăm ecuația rezultată:

t 2 + π 2 /4 – πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. Înmulțind fiecare termen cu 9 pentru a scăpa de fracțiile din ecuație, obținem:

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

Să găsim discriminantul și să rezolvăm ecuația rezultată:

D = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2 .

t = (9π – 3π) / 2 18 sau t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 sau t = 12π/36.

După reducere avem:

t = π/6 sau t = π/3. Apoi

arcsin x = π/6 sau arcsin x = π/3.

Astfel, x = sin π/6 sau x = sin π/3. Adică x = 1/2 sau x =√3/2.

Raspuns: 1/2; √3/2.

Exemplul 8.

Aflați valoarea expresiei 5nx 0, unde n este numărul de rădăcini și x 0 este rădăcina negativă a ecuației 2 arcsin x = - π – (x + 1) 2.

Soluţie.

Deoarece -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, atunci -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Mai mult, (x + 1) 2 ≥ 0 pentru tot x real,
atunci -(x + 1) 2 ≤ 0 și -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Astfel, ecuația poate avea o soluție dacă ambele laturi sunt simultan egale cu –π, adică. ecuația este echivalentă cu sistemul:

(2 arcsin x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

Să rezolvăm sistemul de ecuații rezultat:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Din a doua ecuație avem că x = -1, respectiv n = 1, apoi 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

Răspuns: -5.

După cum arată practica, capacitatea de a rezolva ecuații cu funcții trigonometrice inverse este o condiție necesară finalizare cu succes examene. De aceea, pregătirea pentru rezolvarea unor astfel de probleme este pur și simplu necesară și obligatorie atunci când vă pregătiți pentru Examenul Unificat de Stat.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

Funcțiile trigonometrice inverse sunt funcții matematice care sunt inversul funcțiilor trigonometrice.

Funcția y=arcsin(x)

Arcsinusul unui număr α este un număr α din intervalul [-π/2;π/2] al cărui sinus este egal cu α.
Graficul unei funcții
Funcția у= sin⁡(x) pe intervalul [-π/2;π/2], este strict crescătoare și continuă; prin urmare, are o funcție inversă, strict crescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y= sin⁡(x), unde x ∈[-π/2;π/2], se numește arcsinus și se notează y=arcsin(x), unde x∈[-1;1; ].
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arcsinusului este segmentul [-1;1], iar mulțimea de valori este segmentul [-π/2;π/2].
Rețineți că graficul funcției y=arcsin(x), unde x ∈[-1;1], este simetric cu graficul funcției y= sin(⁡x), unde x∈[-π/2;π /2], în raport cu bisectoarea unghiurilor de coordonate primul și al treilea sfert.

Domeniul de funcții y=arcsin(x).

Exemplul nr. 1.

Găsiți arcsin(1/2)?

Deoarece intervalul de valori al funcției arcsin(x) aparține intervalului [-π/2;π/2], atunci numai valoarea π/6 este potrivită, prin urmare, arcsin(1/2) =π/. 6.
Răspuns: π/6

Exemplul nr. 2.
Găsiți arcsin(-(√3)/2)?

Deoarece intervalul de valori arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], atunci numai valoarea -π/3 este potrivită, prin urmare, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funcția y=arccos(x)

Arccosinusul unui număr α este un număr α din intervalul al cărui cosinus este egal cu α.

Graficul unei funcții

Funcția y= cos(⁡x) pe segment este strict descrescătoare și continuă; prin urmare, are o funcție inversă, strict descrescătoare și continuă.
Se numește funcția inversă pentru funcția y= cos⁡x, unde x ∈ arc cosinusși se notează cu y=arccos(x),unde x ∈[-1;1].
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arcului cosinus este segmentul [-1;1], iar setul de valori este segmentul.
Rețineți că graficul funcției y=arccos(x), unde x ∈[-1;1] este simetric cu graficul funcției y= cos(⁡x), unde x ∈, în raport cu bisectoarea unghiurile de coordonate ale primului și al treilea sferturi.

Domeniul de funcții y=arccos(x).

Exemplul nr. 3.

Găsiți arccos(1/2)?

Deoarece intervalul de valori este arccos(x) x∈, atunci numai valoarea π/3 este potrivită. Prin urmare, arccos(1/2) =π/3.
Exemplul nr. 4.
Găsiți arccos(-(√2)/2)?

Deoarece intervalul de valori al funcției arccos(x) aparține intervalului, atunci numai valoarea 3π/4 este potrivită. Prin urmare, arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Răspuns: 3π/4

Funcția y=arctg(x)

Arctangenta unui număr α este un număr α din intervalul [-π/2;π/2] a cărui tangentă este egală cu α.

Graficul unei funcții

Funcția tangentă este continuă și strict crescătoare pe interval (-π/2;π/2); prin urmare, are o funcție inversă care este continuă și strict crescătoare.
Funcția inversă pentru funcția y= tan⁡(x), unde x∈(-π/2;π/2); se numește arctangentă și se notează cu y=arctg(x), unde x∈R.
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al arctangentei este intervalul (-∞;+∞), iar setul de valori este intervalul
(-π/2;π/2).
Rețineți că graficul funcției y=arctg(x), unde x∈R, este simetric față de graficul funcției y= tan⁡x, unde x ∈ (-π/2;π/2), relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate ale primului și al treilea sferturi.

Domeniul funcției y=arctg(x).

Exemplul nr. 5?

Găsiți arctan((√3)/3).

Deoarece intervalul de valori arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), atunci numai valoarea π/6 este potrivită. Prin urmare, arctg((√3)/3) =π/6.
Exemplul nr. 6.
Găsiți arctg(-1)?

Deoarece intervalul de valori arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), atunci numai valoarea -π/4 este potrivită. Prin urmare, arctg(-1) = - π/4.

Funcția y=arcctg(x)

Cotangenta arcului unui număr α este un număr α din intervalul (0;π) a cărui cotangentă este egală cu α.

Graficul unei funcții

Pe intervalul (0;π), funcția cotangentă scade strict; în plus, este continuă în fiecare punct al acestui interval; prin urmare, pe intervalul (0;π), această funcție are o funcție inversă, care este strict descrescătoare și continuă.
Funcția inversă pentru funcția y=ctg(x), unde x ∈(0;π), se numește arccotangent și se notează y=arcctg(x), unde x∈R.
Deci, conform definiției funcției inverse, domeniul de definire al cotangentei arcului va fi R, și printr-un set valori – interval (0;π). Graficul funcției y=arcctg(x), unde x∈R este simetric față de graficul funcției y=ctg(x) x∈(0;π),relativ la bisectoarea unghiurilor de coordonate ale primului și al treilea sferturi.

Domeniul de funcții y=arcctg(x).

Exemplul nr. 7.
Găsiți arcctg((√3)/3)?

Deoarece intervalul de valori arcctg(x) x ∈(0;π), atunci numai valoarea π/3 este potrivită.

Exemplul nr. 8.
Găsiți arcctg(-(√3)/3)?

Deoarece intervalul de valori este arcctg(x) x∈(0;π), atunci numai valoarea 2π/3 este potrivită. Prin urmare, arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Editori: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Funcția cosinus invers

Gama de valori ale funcției y=cos x (vezi Fig. 2) este un segment. Pe segment funcția este continuă și monoton descrescătoare.

Orez. 2

Aceasta înseamnă că funcția inversă funcției y=cos x este definită pe segment. Această funcție inversă se numește arc cosinus și se notează y=arccos x.

Definiţie

Arccosinusul unui număr a, dacă |a|1, este unghiul al cărui cosinus aparține segmentului; se notează cu arccos a.

Astfel, arccos a este un unghi care îndeplinește următoarele două condiții: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

De exemplu, arccos, deoarece cos și; arccos, din moment ce cos si.

Funcția y = arccos x (Fig. 3) este definită pe un segment de valori ale acestuia; Pe segment, funcția y=arccos x este continuă și scade monoton de la p la 0 (deoarece y=cos x este o funcție continuă și monoton descrescătoare pe segment); la capetele segmentului atinge valorile sale extreme: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. De observat ca arccos 0 = . Graficul funcției y = arccos x (vezi Fig. 3) este simetric cu graficul funcției y = cos x raportat la dreapta y=x.

Orez. 3

Să arătăm că egalitatea arccos(-x) = p-arccos x este valabilă.

De fapt, prin definiție 0? arccos x? r. Înmulțind cu (-1) toate părțile ultimei inegalități duble, obținem - p? arccos x? 0. Adăugând p la toate părțile ultimei inegalități, aflăm că 0? p-arccos x? r.

Astfel, valorile unghiurilor arccos(-x) și p - arccos x aparțin aceluiași segment. Deoarece cosinusul scade monoton pe un segment, nu pot exista două unghiuri diferite pe acesta care să aibă cosinusuri egale. Să găsim cosinusurile unghiurilor arccos(-x) și p-arccos x. Prin definiție, cos (arccos x) = - x, după formulele de reducere și prin definiție avem: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Deci, cosinusurile unghiurilor sunt egale, ceea ce înseamnă că unghiurile în sine sunt egale.

Funcția sinus invers

Să considerăm funcția y=sin x (Fig. 6), care pe segmentul [-р/2;р/2] este crescător, continuă și ia valori din segmentul [-1; 1]. Aceasta înseamnă că pe segmentul [- p/2; p/2] este definită funcția inversă a funcției y=sin x.

Orez. 6

Această funcție inversă se numește arcsinus și se notează y=arcsin x. Să introducem definiția arcsinusului unui număr.

Arcsinusul unui număr este un unghi (sau arc) al cărui sinus este egal cu numărul a și care aparține segmentului [-р/2; p/2]; se notează cu arcsin a.

Astfel, arcsin a este unghiul satisfăcător urmatoarele conditii: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin huh? r/2. De exemplu, din moment ce sin și [- p/2; p/2]; arcsin, deoarece sin = u [- p/2; p/2].

Funcția y=arcsin x (Fig. 7) este definită pe segmentul [- 1; 1], intervalul valorilor sale este segmentul [-р/2;р/2]. Pe segmentul [- 1; 1] funcția y=arcsin x este continuă și crește monoton de la -p/2 la p/2 (asta rezultă din faptul că funcția y=sin x pe segmentul [-p/2; p/2] este continuă si creste monoton). Cea mai mare valoare se ia la x = 1: arcsin 1 = p/2, iar cel mai mic la x = -1: arcsin (-1) = -p/2. La x = 0 funcția este zero: arcsin 0 = 0.

Să arătăm că funcția y = arcsin x este impară, adică. arcsin(-x) = - arcsin x pentru orice x [ - 1; 1].

Într-adevăr, prin definiție, dacă |x| ?1, avem: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Astfel, unghiurile arcsin(-x) și - arcsin x aparțin aceluiași segment [ - p/2; p/2].

Să găsim sinusurile acestora unghiuri: sin (arcsin(-x)) = - x (prin definiție); întrucât funcția y=sin x este impară, atunci sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Deci, sinusurile unghiurilor aparținând aceluiași interval [-р/2; p/2], sunt egale, ceea ce înseamnă că unghiurile în sine sunt egale, adică arcsin (-x)= - arcsin x. Aceasta înseamnă că funcția y=arcsin x este impară. Graficul funcției y=arcsin x este simetric față de origine.

Să arătăm că arcsin (sin x) = x pentru orice x [-р/2; p/2].

Într-adevăr, prin definiție -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, iar prin condiția -p/2? x? r/2. Aceasta înseamnă că unghiurile x și arcsin (sin x) aparțin aceluiași interval de monotonitate al funcției y=sin x. Dacă sinusurile unor astfel de unghiuri sunt egale, atunci unghiurile în sine sunt egale. Să găsim sinusurile acestor unghiuri: pentru unghiul x avem sin x, pentru unghiul arcsin (sin x) avem sin (arcsin(sin x)) = sin x. Am constatat că sinusurile unghiurilor sunt egale, prin urmare, unghiurile sunt egale, adică. arcsin(sin x) = x. .

Orez. 7

Orez. 8

Graficul funcției arcsin (sin|x|) se obține prin transformările uzuale asociate cu modulul din graficul y=arcsin (sin x) (prezentat prin linia întreruptă în Fig. 8). Graficul dorit y=arcsin (sin |x-/4|) se obține din acesta prin deplasarea cu /4 la dreapta de-a lungul axei x (prezentat ca o linie continuă în Fig. 8)

Funcția inversă a tangentei

Funcția y=tg x pe interval ia toate valorile numerice: E (tg x)=. În acest interval este continuă și crește monoton. Aceasta înseamnă că pe interval este definită o funcție inversă funcției y = tan x. Această funcție inversă se numește arctangentă și se notează y = arctan x.

Arctangenta lui a este un unghi dintr-un interval a cărui tangentă este egală cu a. Astfel, arctg a este un unghi care îndeplinește următoarele condiții: tg (arctg a) = a și 0? arctg a ? r.

Deci, orice număr x corespunde întotdeauna unei singure valori a funcției y = arctan x (Fig. 9).

Este evident că D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Funcția y = arctan x crește deoarece funcția y = tan x crește pe interval. Nu este greu de demonstrat că arctg(-x) = - arctgx, adică. acea arctangentă este o funcție ciudată.

Orez. 9

Graficul funcției y = arctan x este simetric cu graficul funcției y = tan x față de dreapta y = x, graficul y = arctan x trece prin originea coordonatelor (deoarece arctan 0 = 0) și este simetric în raport cu originea (cum ar fi graficul unei funcții impare).

Se poate dovedi că arctan (tan x) = x dacă x.

Funcția inversă cotangentă

Funcția y = ctg x pe un interval ia toate valorile numerice din interval. Gama valorilor sale coincide cu setul tuturor numere reale. În interval, funcția y = cot x este continuă și crește monoton. Aceasta înseamnă că pe acest interval este definită o funcție care este inversă funcției y = cot x. Funcția inversă a cotangentei se numește arccotangent și se notează y = arcctg x.

Cotangenta arcului lui a este un unghi aparținând unui interval a cărui cotangentă este egală cu a.

Astfel, arcctg a este un unghi care îndeplinește următoarele condiții: ctg (arcctg a)=a și 0? arcctg a ? r.

Din definiția funcției inverse și definiția arctangentei rezultă că D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Cotangenta arcului este o funcție descrescătoare deoarece funcția y = ctg x scade în interval.

Graficul funcției y = arcctg x nu intersectează axa Ox, deoarece y > 0 R. Pentru x = 0 y = arcctg 0 =.

Graficul funcției y = arcctg x este prezentat în Figura 11.

Orez. 11

Rețineți că pentru toate valorile reale ale lui x identitatea este adevărată: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Funcțiile sin, cos, tg și ctg sunt întotdeauna însoțite de arcsinus, arccosinus, arctangent și arccotangent. Una este o consecință a celeilalte, iar perechile de funcții sunt la fel de importante pentru lucrul cu expresii trigonometrice.

Luați în considerare un desen al unui cerc unitar, care afișează grafic valorile funcțiilor trigonometrice.

Dacă calculăm arcele OA, arcos OC, arctg DE și arcctg MK, atunci toate vor fi egale cu valoarea unghiului α. Formulele de mai jos reflectă relația dintre funcțiile trigonometrice de bază și arcele lor corespunzătoare.

Pentru a înțelege mai multe despre proprietățile arcsinusului, este necesar să luăm în considerare funcția sa. Programa are forma unei curbe asimetrice care trece prin centrul de coordonate.

Proprietățile arcsinusului:

Dacă comparăm graficele păcatŞi arcsin, două funcții trigonometrice pot avea modele comune.

arc cosinus

Arccos al unui număr este valoarea unghiului α, al cărui cosinus este egal cu a.

Curba y = arcos x oglindește graficul arcsin x, singura diferență fiind că trece prin punctul π/2 de pe axa OY.

Să ne uităm la funcția arc cosinus mai detaliat:

1. Funcția este definită pe intervalul [-1; 1].
2. ODZ pentru arccos - .
3. Graficul este situat în întregime în primul și al doilea trimestru, iar funcția în sine nu este nici pară, nici impară.
4. Y = 0 la x = 1.
5. Curba scade pe toată lungimea sa. Unele proprietăți ale arcului cosinus coincid cu funcția cosinus.

Unele proprietăți ale arcului cosinus coincid cu funcția cosinus.

Poate că școlarii vor considera inutil un astfel de studiu „detaliat” al „arcadelor”. Cu toate acestea, în rest, unele tipice de bază Teme de examen de stat unificat poate duce elevii în confuzie.

Sarcina 1. Indicați funcțiile prezentate în figură.

Răspuns: orez. 1 – 4, Fig. 2 – 1.

ÎN în acest exemplu accentul se pune pe lucrurile mărunte. De obicei, elevii sunt foarte neatenți la construcția graficelor și la aspectul funcțiilor. Într-adevăr, de ce să ne amintim tipul de curbă dacă poate fi întotdeauna trasată folosind puncte calculate. Nu uitați că în condiții de testare timpul petrecut la desen pentru sarcină simplă, va fi necesar pentru a rezolva sarcini mai complexe.

Arctangent

Arctg numerele a sunt valoarea unghiului α astfel încât tangenta sa este egală cu a.

Dacă luăm în considerare graficul arctangent, putem evidenția următoarele proprietăți:

1. Graficul este infinit și definit pe intervalul (- ∞; + ∞).
2. Arctangent este o funcție impară, prin urmare, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 la x = 0.
4. Curba crește pe întregul interval de definire.

Iată un scurt analiză comparativă tg x și arctg x sub formă de tabel.

Arccotangent

Arcctg al unui număr - ia o valoare α din intervalul (0; π) astfel încât cotangenta sa este egală cu a.

Proprietățile funcției arc cotangente:

1. Intervalul de definire a funcției este infinit.
2. Gama de valori acceptabile este intervalul (0; π).
3. F(x) nu este nici par, nici impar.
4. Pe toată lungimea sa, graficul funcției scade.

Este foarte simplu să compari ctg x și arctg x trebuie doar să faci două desene și să descrii comportamentul curbelor;

Sarcina 2. Potriviți graficul și forma de notație a funcției.

Dacă gândim logic, din grafice este clar că ambele funcții sunt în creștere. Prin urmare, ambele figuri afișează o anumită funcție arctan. Din proprietățile arctangentei se știe că y=0 la x = 0,

Răspuns: orez. 1 – 1, fig. 2 – 4.

Identități trigonometrice arcsin, arcos, arctg și arcctg

Anterior, am identificat deja relația dintre arcade și funcțiile de bază ale trigonometriei. Această dependență poate fi exprimată printr-un număr de formule care permit expresia, de exemplu, sinusul unui argument prin arcsinus, arccosinus sau invers. Cunoașterea unor astfel de identități poate fi utilă atunci când rezolvați exemple specifice.

Există, de asemenea, relații pentru arctg și arcctg:

O altă pereche utilă de formule stabilește valoarea pentru suma arcsin și arcos, precum și arcctg și arcctg ale aceluiași unghi.

Exemple de rezolvare a problemelor

Sarcinile de trigonometrie pot fi împărțite în patru grupuri: calculați valoarea numerică a unei expresii specifice, construiți un grafic al unei anumite funcții, găsiți domeniul de definiție sau ODZ al acesteia și efectuați transformări analitice pentru a rezolva exemplul.

Când rezolvați primul tip de problemă, trebuie să respectați următorul plan de acțiune:

Când lucrați cu grafice de funcții, principalul lucru este cunoașterea proprietăților lor și aspect strâmb. Pentru a rezolva ecuații trigonometriceși inegalități, sunt necesare tabele de identitate. Cu cât un student își amintește mai multe formule, cu atât este mai ușor să găsești răspunsul la sarcină.

Să presupunem că în examenul de stat unificat trebuie să găsiți răspunsul pentru o ecuație precum:

Dacă transformăm corect expresia și ducem la tipul potrivit, apoi rezolvarea este foarte simplă și rapidă. Mai întâi, să mutăm arcsin x în partea dreaptă a egalității.

Dacă vă amintiți formula arcsin (sin α) = α, atunci putem reduce căutarea de răspunsuri la rezolvarea unui sistem de două ecuații:

Restricția modelului x a apărut, din nou, din proprietățile arcsinului: ODZ pentru x [-1; 1]. Când a ≠0, o parte a sistemului este o ecuație pătratică cu rădăcini x1 = 1 și x2 = - 1/a. Când a = 0, x va fi egal cu 1.