Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale. Ecuații raționale fracționale

Am învățat deja cum să rezolvăm ecuații patratice. Acum să extindem metodele studiate la ecuații raționale.

Ce este o expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale sunt expresii alcătuite din numere, variabile, puterile acestora și simboluri ale operațiilor matematice.

În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde - expresii raţionale.

Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații liniare. Acum să ne uităm la acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații patratice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

O fracție este egală cu 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu 0 și numitorul ei nu este egal cu 0.

Obtinem urmatorul sistem:

Prima ecuație a sistemului este ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, să împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:

Obținem două rădăcini: ; .

Deoarece 2 nu este niciodată egal cu 0, trebuie îndeplinite două condiții: . Deoarece niciuna dintre rădăcinile ecuației obținute mai sus nu coincide cu valorile invalide ale variabilei care au fost obținute la rezolvarea celei de-a doua inegalități, ambele sunt soluții ecuația dată.

Răspuns:.

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât partea dreaptă să se termine cu 0.

2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.

3. Echivalează fracția rezultată cu 0 utilizând următorul algoritm: .

4. Notează acele rădăcini care au fost obținute în prima ecuație și satisface a doua inegalitate din răspuns.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația: .

Soluţie

La început, să mutăm toți termenii la partea stângă, astfel încât 0 rămâne în dreapta.

Acum să aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:

Această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.

Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:

Obținem două rădăcini: ; .

Acum să rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.

Trebuie îndeplinite două condiții: . Constatăm că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.

Răspuns:.

În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și am învățat, de asemenea, cum să rezolvăm ecuații raționale, care se reduc la ecuații patratice.

În lecția următoare ne vom uita la ecuațiile raționale ca modele de situații reale și, de asemenea, vom analiza problemele de mișcare.

Referințe

1. Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi alţii Algebra, 8. Ed. a 5-a. - M.: Educație, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Tutorial pentru institutii de invatamant. - M.: Educație, 2006.

1. Festivalul ideilor pedagogice” Lecție deschisă" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Teme pentru acasă

§ 1 Ecuații raționale întregi și fracționale

În această lecție ne vom uita la concepte precum ecuație rațională, expresie rațională, expresie întreagă, expresie fracțională. Să luăm în considerare rezolvarea ecuațiilor raționale.

O ecuație rațională este o ecuație în care părțile din stânga și din dreapta sunt expresii raționale.

Expresiile raționale sunt:

Fracționat.

O expresie întreagă este alcătuită din numere, variabile, puteri întregi folosind operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire cu un alt număr decât zero.

De exemplu:

Expresiile fracționale implică împărțirea printr-o variabilă sau o expresie cu o variabilă. De exemplu:

O expresie fracțională nu are sens pentru toate valorile variabilelor incluse în ea. De exemplu, expresia

la x = -9 nu are sens, deoarece la x = -9 numitorul merge la zero.

Aceasta înseamnă că o ecuație rațională poate fi întreagă sau fracțională.

O întreagă ecuație rațională este o ecuație rațională în care părțile stânga și dreapta sunt expresii întregi.

De exemplu:

O ecuație rațională fracțională este o ecuație rațională în care fie partea stângă, fie latura dreaptă sunt expresii fracționale.

De exemplu:

§ 2 Rezolvarea unei întregi ecuații raționale

Să luăm în considerare soluția unei întregi ecuații raționale.

De exemplu:

Să înmulțim ambele părți ale ecuației cu cel mai mic numitor comun al numitorilor fracțiilor incluse în ea.

Pentru a face acest lucru:

1. găsiți numitorul comun pentru numitorii 2, 3, 6. Este egal cu 6;

2. găsiți un factor suplimentar pentru fiecare fracție. Pentru a face acest lucru, împărțiți numitorul comun 6 la fiecare numitor

factor suplimentar pentru fracție

factor suplimentar pentru fracție

3. înmulțiți numărătorii fracțiilor cu factorii suplimentari corespunzători acestora. Astfel, obținem ecuația

care este echivalent cu ecuația dată

În stânga vom deschide parantezele, partea dreaptă Să-l mutăm spre stânga, schimbând semnul termenului când îl mutăm în cel opus.

Să aducem termeni similari ai polinomului și să obținem

Vedem că ecuația este liniară.

După ce am rezolvat-o, aflăm că x = 0,5.

§ 3 Rezolvarea unei ecuații raționale fracționale

Să luăm în considerare rezolvarea unei ecuații raționale fracționale.

De exemplu:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu cel mai mic numitor comun al numitorilor fracțiilor raționale incluse în ea.

Să găsim numitorul comun pentru numitorii x + 7 și x - 1.

Este egal cu produsul lor (x + 7)(x - 1).

2. Să găsim un factor suplimentar pentru fiecare fracție rațională.

Pentru a face acest lucru, împărțiți numitorul comun (x + 7)(x - 1) la fiecare numitor. Multiplicator suplimentar pentru fracții

egal cu x - 1,

factor suplimentar pentru fracție

este egal cu x+7.

3. Înmulțiți numărătorii fracțiilor cu factorii suplimentari corespunzători.

Obținem ecuația (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), care este echivalentă cu această ecuație

4. Înmulțiți binomul cu binomul din stânga și din dreapta și obțineți următoarea ecuație

5. Mutăm partea dreaptă spre stânga, schimbând semnul fiecărui termen când trecem la opus:

6. Să prezentăm termeni similari ai polinomului:

7. Ambele părți pot fi împărțite la -1. Obținem o ecuație pătratică:

8. După ce am rezolvat-o, vom găsi rădăcinile

Deoarece în Ec.

laturile stânga și dreapta sunt expresii fracționale, iar în expresii fracționale, pentru unele valori ale variabilelor, numitorul poate deveni zero, atunci este necesar să se verifice dacă numitorul comun nu merge la zero atunci când se găsesc x1 și x2 .

La x = -27, numitorul comun (x + 7)(x - 1) nu dispare la x = -1, numitorul comun nu este de asemenea zero;

Prin urmare, ambele rădăcini -27 și -1 sunt rădăcini ale ecuației.

Când rezolvați o ecuație rațională fracțională, este mai bine să indicați imediat intervalul de valori acceptabile. Eliminați acele valori la care numitorul comun ajunge la zero.

Să luăm în considerare un alt exemplu de rezolvare a unei ecuații raționale fracționale.

De exemplu, să rezolvăm ecuația

Factorim numitorul fracției din partea dreaptă a ecuației

Obținem ecuația

Să găsim numitorul comun pentru numitorii (x - 5), x, x(x - 5).

Va fi expresia x(x - 5).

Acum să găsim intervalul de valori acceptabile ale ecuației

Pentru a face acest lucru, echivalăm numitorul comun cu zero x(x - 5) = 0.

Obținem o ecuație, rezolvând că la x = 0 sau la x = 5 numitorul comun ajunge la zero.

Aceasta înseamnă că x = 0 sau x = 5 nu pot fi rădăcinile ecuației noastre.

Acum pot fi găsiți multiplicatori suplimentari.

Un factor suplimentar pentru fracțiile raționale

factor suplimentar pentru fracție

va fi (x - 5),

și factorul suplimentar al fracției

Înmulțim numărătorii cu factorii suplimentari corespunzători.

Obținem ecuația x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Să deschidem parantezele din stânga și din dreapta, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Să mutăm termenii de la dreapta la stânga, schimbând semnul termenilor transferați:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Și după ce aducem termeni similari, obținem o ecuație pătratică x2 - 3x - 10 = 0. Rezolvată, găsim rădăcinile x1 = -2; x2 = 5.

Dar am aflat deja că la x = 5 numitorul comun x(x - 5) ajunge la zero. Prin urmare, rădăcina ecuației noastre

va fi x = -2.

§ 4 Scurt rezumat lecţie

Important de reținut:

Când rezolvați ecuații raționale fracționale, procedați după cum urmează:

1. Aflați numitorul comun al fracțiilor incluse în ecuație. Mai mult, dacă numitorii fracțiilor pot fi factorizați, atunci factorizați-i și apoi găsiți numitorul comun.

2. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun: găsiți factori suplimentari, înmulțiți numărătorii cu factori suplimentari.

3.Rezolvați întreaga ecuație rezultată.

4. Eliminați din rădăcini pe cele care fac să dispară numitorul comun.

Lista literaturii folosite:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Editat de Telyakovsky S.A. Algebră: manual. pentru clasa a VIII-a. învăţământul general instituţiilor. - M.: Educație, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebră. Clasa a VIII-a: În două părți. Partea 1: manual. pentru invatamantul general instituţiilor. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Dezvoltarea lecției de algebră: clasa a VIII-a - M.: VAKO, 2010.
4. Algebra clasa a VIII-a: planuri de lecție conform manualului de Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorova / Auth.-comp. T.L. Afanasyeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: Profesor, 2005.

Să ne familiarizăm cu ecuațiile raționale și fracționale, să le dăm definiția, să dăm exemple și să analizăm, de asemenea, cele mai comune tipuri de probleme.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuația rațională: definiție și exemple

Cunoașterea expresiilor raționale începe în clasa a VIII-a de școală. În acest moment, la lecțiile de algebră, elevii încep din ce în ce mai mult să întâmpine sarcini cu ecuații care conțin expresii raționale în notele lor. Să ne reîmprospătăm memoria despre ce este.

Definiția 1

Ecuație rațională este o ecuație în care ambele părți conțin expresii raționale.

În diverse manuale puteți găsi o altă formulare.

Definiția 2

Ecuație rațională- aceasta este o ecuație, a cărei parte stângă conține o expresie rațională, iar partea dreaptă conține zero.

Definițiile pe care le-am dat pentru ecuațiile raționale sunt echivalente, deoarece vorbesc despre același lucru. Corectitudinea cuvintelor noastre este confirmată de faptul că pentru orice expresii raționale PŞi Q ecuații P = QŞi P − Q = 0 vor fi expresii echivalente.

Acum să ne uităm la exemple.

Exemplul 1

Ecuații raționale:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Ecuațiile raționale, la fel ca și ecuațiile de alte tipuri, pot conține orice număr de variabile de la 1 la mai multe. Mai întâi ne vom uita exemple simple, în care ecuațiile vor conține o singură variabilă. Și apoi vom începe să complicăm treptat sarcina.

Ecuațiile raționale sunt împărțite în două grupuri mari: întregi și fracționale. Să vedem ce ecuații se vor aplica fiecărui grup.

Definiția 3

O ecuație rațională va fi întreagă dacă laturile ei stânga și dreapta conțin expresii raționale întregi.

Definiția 4

O ecuație rațională va fi fracțională dacă una sau ambele părți conțin o fracție.

Ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă sau variabila este prezentă în numitor. Nu există o astfel de diviziune în scrierea ecuațiilor întregi.

Exemplul 2

3 x + 2 = 0Şi (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5– ecuații raționale întregi. Aici ambele părți ale ecuației sunt reprezentate prin expresii întregi.

1 x - 1 = x 3 și x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5 sunt ecuații fracționale raționale.

Ecuațiile raționale întregi includ ecuații liniare și pătratice.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Rezolvarea unor astfel de ecuații se reduce de obicei la transformarea lor în ecuații algebrice echivalente. Acest lucru poate fi realizat prin efectuarea de transformări echivalente ale ecuațiilor în conformitate cu următorul algoritm:

• mai întâi obținem zero în partea dreaptă a ecuației pentru a face acest lucru, trebuie să mutăm expresia din partea dreaptă a ecuației în partea stângă și să schimbăm semnul;
• apoi transformăm expresia din partea stângă a ecuației într-un polinom vedere standard.

Trebuie să obținem o ecuație algebrică. Această ecuație va fi echivalentă cu ecuația inițială. Cazurile simple ne permit să reducem întreaga ecuație la una liniară sau pătratică pentru a rezolva problema. ÎN caz general rezolvăm o ecuație algebrică a gradului n.

Exemplul 3

Este necesar să găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Soluţie

Să transformăm expresia originală pentru a obține o ecuație algebrică echivalentă. Pentru a face acest lucru, vom transfera expresia conținută în partea dreaptă a ecuației în partea stângă și vom înlocui semnul cu cel opus. Ca rezultat obținem: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Acum să transformăm expresia care se află în partea stângă într-un polinom de formă standard și să efectuăm acțiunile necesare cu acest polinom:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x − 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 − 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x − 6

Am reușit să reducem soluția ecuației inițiale la soluția unei ecuații pătratice de formă x 2 − 5 x − 6 = 0. Discriminantul acestei ecuații este pozitiv: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Acest lucru înseamnă, rădăcini adevărate vor fi doi. Să le găsim folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 sau x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 sau x 2 = - 1

Să verificăm corectitudinea rădăcinilor ecuației pe care le-am găsit în timpul rezolvării. Pentru aceasta, înlocuim numerele primite în ecuația originală: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3Şi 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​​​· (− 1) − 1) − 3. În primul caz 63 = 63 , în al doilea 0 = 0 . Rădăcini x = 6Şi x = − 1 sunt într-adevăr rădăcinile ecuației date în condiția exemplu.

Răspuns: 6 , − 1 .

Să ne uităm la ce înseamnă „gradul unei întregi ecuații”. Vom întâlni adesea acest termen în cazurile în care trebuie să reprezentăm o întreagă ecuație în formă algebrică. Să definim conceptul.

Definiția 5

Gradul întregii ecuații- acesta este gradul ecuație algebrică, echivalent cu ecuația întregă inițială.

Dacă te uiți la ecuațiile din exemplul de mai sus, poți stabili: gradul întregii ecuații este al doilea.

Dacă cursul nostru s-ar limita la rezolvarea ecuațiilor de gradul doi, atunci discuția despre subiect s-ar putea încheia aici. Dar nu este atât de simplu. Rezolvarea ecuațiilor de gradul al treilea este plină de dificultăți. Iar pentru ecuațiile mai mari decât gradul al patrulea nu există formule generale rădăcini. În acest sens, rezolvarea ecuațiilor întregi de gradul al treilea, al patrulea și de alte grade necesită să folosim o serie de alte tehnici și metode.

Cea mai frecvent utilizată abordare pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi se bazează pe metoda factorizării. Algoritmul acțiunilor în acest caz este următorul:

• mutăm expresia din partea dreaptă la stânga, astfel încât zero să rămână în partea dreaptă a înregistrării;
• Reprezentăm expresia din partea stângă ca un produs al factorilor și apoi trecem la un set de mai multe ecuații mai simple.

Exemplul 4

Aflați soluția ecuației (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) .

Soluţie

Mutăm expresia din partea dreaptă a înregistrării la stânga cu semnul opus: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) = 0. Conversia părții stângi într-un polinom de forma standard este inadecvată, deoarece aceasta ne va oferi o ecuație algebrică de gradul al patrulea: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Ușurința conversiei nu justifică toate dificultățile în rezolvarea unei astfel de ecuații.

Este mult mai ușor să mergi în altă direcție: să scoatem factorul comun din paranteze x 2 − 10 x + 13 . Așa că ajungem la o ecuație a formei (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Acum înlocuim ecuația rezultată cu un set de două ecuații pătratice x 2 − 10 x + 13 = 0Şi x 2 − 2 x − 1 = 0și găsiți rădăcinile lor prin discriminant: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Răspuns: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

În același mod, putem folosi metoda introducerii unei noi variabile. Această metodă ne permite să trecem la ecuații echivalente cu grade mai mici decât gradele din ecuația întregă originală.

Exemplul 5

Ecuația are rădăcini? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Soluţie

Dacă acum încercăm să reducem o întreagă ecuație rațională la una algebrică, vom obține o ecuație de gradul 4 care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, ne va fi mai ușor să mergem în altă direcție: introduceți o nouă variabilă y, care va înlocui expresia din ecuație x 2 + 3 x.

Acum vom lucra cu întreaga ecuație (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Să mutam partea dreaptă a ecuației la stânga cu semnul opus și să efectuăm transformările necesare. Primim: y 2 + 4 y + 3 = 0. Să găsim rădăcinile ecuației pătratice: y = − 1Şi y = − 3.

Acum să facem înlocuirea inversă. Obținem două ecuații x 2 + 3 x = − 1Şi x 2 + 3 · x = − 3 . Să le rescriem ca x 2 + 3 x + 1 = 0 și x 2 + 3 x + 3 = 0. Folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice pentru a găsi rădăcinile primei ecuații din cele obținute: - 3 ± 5 2. Discriminantul celei de-a doua ecuații este negativ. Aceasta înseamnă că a doua ecuație nu are rădăcini reale.

Răspuns:- 3 ± 5 2

Ecuații întregi grade înalteîntâlniți destul de des în sarcini. Nu trebuie să-ți fie frică de ei. Trebuie să fii pregătit să aplici metoda non-standard soluțiile lor, inclusiv o serie de transformări artificiale.

Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale

Vom începe examinarea acestui subtopic cu un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0, unde p(x)Şi q(x)– expresii raționale întregi. Rezolvarea altor ecuații raționale fracționale poate fi întotdeauna redusă la soluția ecuațiilor de tipul indicat.

Metoda cea mai des folosită pentru rezolvarea ecuațiilor p (x) q (x) = 0 se bazează pe următoarea afirmație: fracție numerică u v, Unde v- acesta este un număr care este diferit de zero, egal cu zero numai în acele cazuri când numărătorul fracției este egal cu zero. Urmând logica afirmației de mai sus, putem pretinde că soluția ecuației p (x) q (x) = 0 poate fi redusă la îndeplinirea a două condiții: p(x)=0Şi q(x) ≠ 0. Aceasta este baza pentru construirea unui algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0:

• găsiți soluția întregii ecuații raționale p(x)=0;
• verificăm dacă condiția este îndeplinită pentru rădăcinile găsite în timpul soluției q(x) ≠ 0.

Dacă această condiție este îndeplinită, atunci rădăcina găsită. Dacă nu, atunci rădăcina nu este o soluție la problemă.

Exemplul 6

Să găsim rădăcinile ecuației 3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0.

Soluţie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracțională de forma p (x) q (x) = 0, în care p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Să începem să rezolvăm ecuația liniară 3 x − 2 = 0. Rădăcina acestei ecuații va fi x = 2 3.

Să verificăm rădăcina găsită pentru a vedea dacă îndeplinește condiția 5 x 2 − 2 ≠ 0. Pentru a face acest lucru, înlocuiți o valoare numerică în expresie. Se obține: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Condiția este îndeplinită. Aceasta înseamnă că x = 2 3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns: 2 3 .

Există o altă opțiune pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale p (x) q (x) = 0. Amintiți-vă că această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p(x)=0 pe intervalul de valori admisibile ale variabilei x din ecuația originală. Acest lucru ne permite să folosim următorul algoritm în rezolvarea ecuațiilor p (x) q (x) = 0:

• rezolva ecuația p(x)=0;
• găsiți intervalul de valori admisibile ale variabilei x;
• luăm rădăcinile care se află în intervalul de valori admisibile ale variabilei x ca rădăcini dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

Exemplul 7

Rezolvați ecuația x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Soluţie

Mai întâi, să rezolvăm ecuația pătratică x 2 − 2 x − 11 = 0. Pentru a calcula rădăcinile sale, folosim formula rădăcinilor pentru al doilea coeficient par. Primim D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12și x = 1 ± 2 3 .

Acum putem găsi ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Acestea sunt toate numerele pentru care x 2 + 3 x ≠ 0. Este la fel ca x (x + 3) ≠ 0, de unde x ≠ 0, x ≠ − 3.

Acum să verificăm dacă rădăcinile x = 1 ± 2 3 obținute în prima etapă a soluției se află în intervalul valorilor permise ale variabilei x. Îi vedem intrând. Aceasta înseamnă că ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini x = 1 ± 2 3.

Răspuns: x = 1 ± 2 3

A doua metodă de soluție descrisă mai usor decat primulîn cazurile în care intervalul de valori admisibile ale variabilei x este ușor de găsit și rădăcinile ecuației p(x)=0 iraţional. De exemplu, 7 ± 4 · 26 9. Rădăcinile pot fi raționale, dar cu un numărător sau numitor mare. De exemplu, 127 1101 Şi − 31 59 . Acest lucru economisește timp la verificarea stării q(x) ≠ 0: Este mult mai ușor să excludeți rădăcinile care nu sunt potrivite conform ODZ.

În cazurile în care rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt numere întregi, este mai oportun să se folosească primul algoritm descris pentru rezolvarea ecuațiilor de forma p (x) q (x) = 0. Găsiți mai repede rădăcinile unei întregi ecuații p(x)=0, apoi verificați dacă condiția este îndeplinită pentru ei q(x) ≠ 0, mai degrabă decât să găsești ODZ și apoi să rezolvi ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, este de obicei mai ușor să verificați decât să găsiți DZ.

Exemplul 8

Aflați rădăcinile ecuației (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Soluţie

Să începem prin a privi întreaga ecuație (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0și găsindu-și rădăcinile. Pentru a face acest lucru, aplicăm metoda de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare. Se dovedește că ecuația inițială este echivalentă cu un set de patru ecuații 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, dintre care trei sunt liniare și unul este pătratic. Găsirea rădăcinilor: din prima ecuație x = 1 2, din a doua - x = 6, din a treia – x ​​= 7 , x = − 2 , din a patra – x = − 1.

Să verificăm rădăcinile obținute. Determinați ADL în în acest caz, Ne este dificil, deoarece pentru aceasta va trebui să rezolvăm o ecuație algebrică de gradul cinci. Va fi mai ușor să verificați condiția conform căreia numitorul fracției, care se află în partea stângă a ecuației, nu ar trebui să ajungă la zero.

Să înlocuim pe rând rădăcinile pentru variabila x în expresie x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112 si calculeaza-i valoarea:

1 2 5 − 15 1 2 4 + 57 1 2 3 − 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 − 15 16 + 57 8 − 13 4 + 13 + 112 = 122 + 112 = 122 + 1 3 0;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 · 7 4 + 57 · 7 3 − 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Verificarea efectuată ne permite să stabilim că rădăcinile ecuației raționale fracționale originale sunt 1 2, 6 și − 2 .

Răspuns: 1 2 , 6 , - 2

Exemplul 9

Aflați rădăcinile ecuației raționale fracționale 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Soluţie

Să începem să lucrăm cu ecuația (5 x 2 − 7 x − 1) (x − 2) = 0. Să-i găsim rădăcinile. Ne este mai ușor să ne imaginăm această ecuație ca o combinație de pătratice și ecuații liniare 5 x 2 − 7 x − 1 = 0Şi x − 2 = 0.

Folosim formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice pentru a găsi rădăcinile. Obținem din prima ecuație două rădăcini x = 7 ± 69 10, iar din a doua x = 2.

Ne va fi destul de dificil să înlocuim valoarea rădăcinilor în ecuația originală pentru a verifica condițiile. Va fi mai ușor de determinat ODZ a variabilei x. În acest caz, ODZ a variabilei x sunt toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția este îndeplinită x 2 + 5 x − 14 = 0. Se obține: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Acum să verificăm dacă rădăcinile pe care le-am găsit aparțin intervalului de valori permise ale variabilei x.

Rădăcinile x = 7 ± 69 10 aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației inițiale și x = 2- nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns: x = 7 ± 69 10 .

Să examinăm separat cazurile în care numărătorul unei ecuații raționale fracționale de forma p (x) q (x) = 0 conține un număr. În astfel de cazuri, dacă numărătorul conține un alt număr decât zero, atunci ecuația nu va avea rădăcini. Dacă acest număr este egal cu zero, atunci rădăcina ecuației va fi orice număr din ODZ.

Exemplul 10

Rezolvați ecuația rațională fracțională - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Soluţie

Această ecuație nu va avea rădăcini, deoarece numărătorul fracției din partea stângă a ecuației conține un număr diferit de zero. Aceasta înseamnă că la nicio valoare a lui x valoarea fracției date în enunțul problemei nu va fi egală cu zero.

Răspuns: fara radacini.

Exemplul 11

Rezolvați ecuația 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Soluţie

Deoarece numărătorul fracției conține zero, soluția ecuației va fi orice valoare x din ODZ a variabilei x.

Acum să definim ODZ. Va include toate valorile lui x pentru care x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Soluții ale ecuației x 4 + 5 x 3 = 0 sunt 0 Şi − 5 , deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) = 0, iar aceasta la rândul său este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 = 0 și x + 5 = 0, unde aceste rădăcini sunt vizibile. Ajungem la concluzia că intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x = 0Şi x = − 5.

Se pare că ecuația rațională fracțională 0 x 4 + 5 x 3 = 0 are un număr infinit de soluții, care sunt orice numere, altele decât zero și - 5.

Răspuns: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Acum să vorbim despre ecuații raționale fracționale de formă arbitrară și despre metodele de rezolvare a acestora. Ele pot fi scrise ca r(x) = s(x), Unde r(x)Şi s(x)– expresii raționale, iar cel puțin una dintre ele este fracțională. Rezolvarea unor astfel de ecuații se reduce la rezolvarea ecuațiilor de forma p (x) q (x) = 0.

Știm deja că putem obține o ecuație echivalentă transferând o expresie din partea dreaptă a ecuației la stânga cu semnul opus. Aceasta înseamnă că ecuația r(x) = s(x) este echivalentă cu ecuația r (x) − s (x) = 0. De asemenea, am discutat deja modalități de a converti o expresie rațională într-o fracție rațională. Datorită acestui lucru, putem transforma cu ușurință ecuația r (x) − s (x) = 0într-o fracție rațională identică de forma p (x) q (x) .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x) = s(x) la o ecuație de forma p (x) q (x) = 0, pe care am învățat deja să o rezolvăm.

Trebuie avut în vedere faptul că atunci când se fac tranziții de la r (x) − s (x) = 0 la p(x)q(x) = 0 și apoi la p(x)=0 este posibil să nu luăm în considerare extinderea intervalului de valori admisibile ale variabilei x.

Este foarte posibil ca ecuația originală r(x) = s(x)și ecuație p(x)=0 ca urmare a transformărilor acestea vor înceta să mai fie echivalente. Apoi soluția ecuației p(x)=0 ne poate da rădăcini care vor fi străine r(x) = s(x). În acest sens, în fiecare caz este necesar să se efectueze verificarea folosind oricare dintre metodele descrise mai sus.

Pentru a vă facilita studierea subiectului, am rezumat toate informațiile într-un algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale de forma r(x) = s(x):

• transferăm expresia din partea dreaptă cu semnul opus și obținem zero în dreapta;
• transforma expresia originală într-o fracție rațională p (x) q (x) , efectuând secvențial operații cu fracții și polinoame;
• rezolva ecuația p(x)=0;
• identificăm rădăcinile străine prin verificarea apartenenței lor la ODZ sau prin substituție în ecuația originală.

Vizual, lanțul de acțiuni va arăta astfel:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → eliminare RĂDĂCINI EXTERNE

Exemplul 12

Rezolvați ecuația rațională fracțională x x + 1 = 1 x + 1 .

Soluţie

Să trecem la ecuația x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Să transformăm expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației în forma p (x) q (x) .

Pentru a face acest lucru, va trebui să reducem fracțiile raționale la un numitor comun și să simplificăm expresia:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Pentru a găsi rădăcinile ecuației - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, trebuie să rezolvăm ecuația − 2 x − 1 = 0. Obținem o singură rădăcină x = - 1 2.

Tot ce trebuie să facem este să verificăm folosind oricare dintre metode. Să ne uităm la amândoi.

Să înlocuim valoarea rezultată în ecuația originală. Se obține - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Am ajuns la egalitatea numerică corectă − 1 = − 1 . Aceasta înseamnă că x = − 1 2 este rădăcina ecuației inițiale.

Acum să verificăm prin ODZ. Să determinăm intervalul de valori admisibile ale variabilei x. Acesta va fi întregul set de numere, cu excepția − 1 și 0 (la x = − 1 și x = 0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina pe care am obținut-o x = − 1 2 aparține ODZ. Aceasta înseamnă că este rădăcina ecuației originale.

Răspuns: − 1 2 .

Exemplul 13

Aflați rădăcinile ecuației x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Soluţie

Avem de-a face cu o ecuație rațională fracțională. Prin urmare, vom acționa conform algoritmului.

Să mutăm expresia din partea dreaptă la stânga cu semnul opus: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Să efectuăm transformările necesare: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Ajungem la ecuație x = 0. Rădăcina acestei ecuații este zero.

Să verificăm dacă această rădăcină este străină ecuației inițiale. Să substituim valoarea în ecuația originală: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. După cum puteți vedea, ecuația rezultată nu are sens. Aceasta înseamnă că 0 este o rădăcină străină, iar ecuația rațională fracțională originală nu are rădăcini.

Răspuns: fara radacini.

Dacă nu am inclus alte transformări echivalente în algoritm, aceasta nu înseamnă că nu pot fi utilizate. Algoritmul este universal, dar este conceput pentru a ajuta, nu a limita.

Exemplul 14

Rezolvați ecuația 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Soluţie

Cel mai simplu mod este de a rezolva ecuația rațională fracțională dată conform algoritmului. Dar există o altă cale. Să luăm în considerare.

Scădeți 7 din partea dreaptă și stângă, obținem: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Din aceasta putem concluziona că expresia din numitorul părții stângi trebuie să fie egală cu numărul număr reciproc din partea dreaptă, adică 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Scădeți 3 din ambele părți: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Prin analogie, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, de unde 1 5 - x 2 = 1 3, și apoi 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Să efectuăm o verificare pentru a determina dacă rădăcinile găsite sunt rădăcinile ecuației inițiale.

Răspuns: x = ± 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Am învățat deja cum să rezolvăm ecuații patratice. Acum să extindem metodele studiate la ecuații raționale.

Ce este o expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale sunt expresii alcătuite din numere, variabile, puterile acestora și simboluri ale operațiilor matematice.

În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde - expresii raţionale.

Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații liniare. Acum să ne uităm la acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații patratice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

O fracție este egală cu 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu 0 și numitorul ei nu este egal cu 0.

Obtinem urmatorul sistem:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, să împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:

Obținem două rădăcini: ; .

Deoarece 2 nu este niciodată egal cu 0, trebuie îndeplinite două condiții: . Deoarece niciuna dintre rădăcinile ecuației obținute mai sus nu coincide cu valorile invalide ale variabilei care au fost obținute la rezolvarea celei de-a doua inegalități, ambele sunt soluții ale acestei ecuații.

Răspuns:.

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât partea dreaptă să se termine cu 0.

2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.

3. Echivalează fracția rezultată cu 0 utilizând următorul algoritm: .

4. Notează acele rădăcini care au fost obținute în prima ecuație și satisface a doua inegalitate din răspuns.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația: .

Soluţie

La început, mutăm toți termenii spre stânga, astfel încât 0 să rămână în dreapta.

Acum să aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:

Această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.

Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:

Obținem două rădăcini: ; .

Acum să rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.

Trebuie îndeplinite două condiții: . Constatăm că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.

Răspuns:.

În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și am învățat, de asemenea, cum să rezolvăm ecuații raționale, care se reduc la ecuații patratice.

În lecția următoare ne vom uita la ecuațiile raționale ca modele de situații reale și, de asemenea, vom analiza problemele de mișcare.

Referințe

1. Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi alţii Algebra, 8. Ed. a 5-a. - M.: Educație, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Manual pentru instituțiile de învățământ general. - M.: Educație, 2006.

1. Festivalul ideilor pedagogice „Lecția deschisă” ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Teme pentru acasă

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții Să ne uităm la exemple. Exemplele sunt simple și ilustrative. Cu ajutorul lor, vei putea înțelege în cel mai înțeles mod.
De exemplu, trebuie să rezolvați ecuația simplă x/b + c = d.

O ecuație de acest tip se numește liniară, deoarece Numitorul conține doar numere.

Rezolvarea se realizează prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației cu b, apoi ecuația ia forma x = b*(d – c), adică. numitorul fracției din partea stângă se anulează.

De exemplu, cum se rezolvă o ecuație fracțională:
x/5+4=9
Înmulțim ambele părți cu 5. Obținem:
x+20=45
x=45-20=25

Un alt exemplu când necunoscutul este la numitor:

Ecuațiile de acest tip se numesc fracțional-rațional sau pur și simplu fracțional.

Am rezolva o ecuație fracțională scăpând de fracții, după care această ecuație, cel mai adesea, se transformă într-o ecuație liniară sau pătratică, care se rezolvă în mod obișnuit. Trebuie doar să luați în considerare următoarele puncte:

• valoarea unei variabile care transformă numitorul la 0 nu poate fi o rădăcină;
• Nu puteți împărți sau înmulți o ecuație cu expresia =0.

Aici intră în vigoare conceptul de regiune a valorilor permise (ADV) - acestea sunt valorile rădăcinilor ecuației pentru care ecuația are sens.

Astfel, atunci când rezolvați ecuația, este necesar să găsiți rădăcinile și apoi să le verificați pentru conformitatea cu ODZ. Sunt excluse din răspuns acele rădăcini care nu corespund ODZ-ului nostru.

De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație fracțională:

Pe baza regulii de mai sus, x nu poate fi = 0, i.e. ODZ în acest caz: x – orice valoare, alta decât zero.

Scăpăm de numitor înmulțind toți termenii ecuației cu x

Și rezolvăm ecuația obișnuită

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Răspuns: x = 1/3

Să rezolvăm o ecuație mai complicată:

ODZ este prezent și aici: x -2.

Când rezolvăm această ecuație, nu vom muta totul într-o parte și vom aduce fracțiile la un numitor comun. Vom înmulți imediat ambele părți ale ecuației cu o expresie care va anula toți numitorii simultan.

Pentru a reduce numitorii, trebuie să înmulțiți partea stângă cu x+2 și partea dreaptă cu 2. Aceasta înseamnă că ambele părți ale ecuației trebuie înmulțite cu 2(x+2):

Aceasta este cea mai comună înmulțire a fracțiilor, despre care am discutat deja mai sus.

Să scriem aceeași ecuație, dar ușor diferit

Partea stângă se reduce cu (x+2), iar cea dreaptă cu 2. După reducere, obținem ecuația liniară obișnuită:

x = 4 – 2 = 2, care corespunde ODZ-ului nostru

Răspuns: x = 2.

Rezolvarea ecuațiilor cu fracții nu atât de dificil pe cât ar părea. În acest articol am arătat acest lucru cu exemple. Dacă aveți dificultăți cu cum se rezolvă ecuații cu fracții, apoi dezabonează-te în comentarii.