Derivată și tangentă la graficul unei funcții. Tangenta la graficul unei functii intr-un punct

Acest program de matematică găsește ecuația tangentei la graficul funcției \(f(x)\) într-un punct specificat de utilizator \(a\).

Programul nu numai că afișează ecuația tangentei, dar afișează și procesul de rezolvare a problemei.

Acest calculator online poate fi util pentru elevii de liceu scoli mediiîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă

la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate. În acest fel, vă puteți conduce propriul antrenament și/sau antrenament al dvs. frati mai mici

sau surori, în timp ce nivelul de educație în domeniul problemelor în curs de rezolvare crește.

Dacă trebuie să găsiți derivata unei funcții, atunci pentru aceasta avem sarcina Găsiți derivata.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de intrare în funcții, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.

Introduceți expresia funcției \(f(x)\) și numărul \(a\)
f(x)=

a=

Găsiți ecuația tangentei
S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.

În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.
JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.

Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.
Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde, soluția va apărea mai jos. Va rugam asteptati

sec... Dacă tu observat o eroare în soluție
, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback. Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce.

intra in campuri

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Pantă directă Să ne amintim că programul funcţie liniară \(y=kx+b\) este o linie dreaptă. Se numește numărul \(k=tg \alpha \). panta unei drepte

, iar unghiul \(\alpha \) este unghiul dintre această linie și axa Ox

Dacă punctul M(a; f(a)) aparține graficului funcției y = f(x) și dacă în acest punct se poate desena o tangentă la graficul funcției care nu este perpendiculară pe axa x, apoi din sensul geometric al derivatei rezultă că coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f "(a). În continuare, vom dezvolta un algoritm pentru alcătuirea unei ecuații pentru o tangentă la graficul oricărei funcții.

Fie date pe graficul acestei funcții o funcție y = f(x) și un punct M(a; f(a)); să se știe că f"(a) există. Să creăm o ecuație pentru tangenta la graficul funcției date în punct dat. Această ecuație, ca și ecuația oricărei drepte care nu este paralelă cu axa ordonatelor, are forma y = kx + b, deci sarcina este de a găsi valorile coeficienților k și b.

Totul este clar cu coeficientul unghiular k: se știe că k = f"(a). Pentru a calcula valoarea lui b, folosim faptul că dreapta dorită trece prin punctul M(a; f(a)) Aceasta înseamnă că dacă substituim coordonatele punctului M în ecuația unei drepte, obținem egalitatea corectă: \(f(a)=ka+b\), adică \(b = f(a) -. ka\).

Rămâne să înlocuiți valorile găsite ale coeficienților k și b în ecuația dreptei:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a) )(x-a)$$

Noi am primit ecuația tangentei la graficul unei funcții\(y = f(x) \) în punctul \(x=a \).

Algoritm pentru găsirea ecuației tangentei la graficul funcției \(y=f(x)\)
1. Desemnați abscisa punctului tangent cu litera \(a\)
2. Calculați \(f(a)\)
3. Găsiți \(f"(x)\) și calculați \(f"(a)\)
4. Înlocuiți numerele găsite \(a, f(a), f"(a) \) în formula \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Cărți (manuale) Rezumate ale examenului de stat unificat și ale examenului de stat unificat online Jocuri, puzzle-uri Trasarea graficelor funcțiilor Dicționar ortografic al limbii ruse Dicționar al argoului pentru tineri Catalogul școlilor rusești Catalogul instituțiilor de învățământ secundar din Rusia Catalogul universităților rusești Lista de probleme Găsirea GCD și LCM Simplificarea unui polinom (înmulțirea polinoamelor)

Nivel de intrare

Ecuația unei tangente la graficul unei funcții. Ghid cuprinzător (2019)

Știți deja ce este un derivat? Dacă nu, citește mai întâi subiectul. Deci spui că știi derivatul. Să verificăm acum. Găsiți incrementul funcției când incrementul argumentului este egal cu. Te-ai descurcat? Ar trebui să funcționeze. Acum găsiți derivata funcției într-un punct. Raspuns: . A funcționat? Dacă aveți dificultăți cu oricare dintre aceste exemple, vă recomand cu tărie să reveniți la subiect și să îl studiați din nou. Știu că subiectul este foarte mare, dar altfel nu are rost să mergi mai departe. Luați în considerare graficul unei funcții:

Să selectăm un anumit punct pe linia graficului. Fie abscisa, atunci ordonata este egală. Apoi selectăm un punct cu o abscisă aproape de punct; ordonata sa este:

Să tragem o linie dreaptă prin aceste puncte. Se numește secanta (la fel ca în geometrie). Să notăm unghiul de înclinare al dreptei față de axă ca. Ca și în trigonometrie, acest unghi este măsurat din direcția pozitivă a axei x în sens invers acelor de ceasornic. Ce valori poate lua unghiul? Indiferent cum înclinați această linie dreaptă, o jumătate va rămâne în sus. Prin urmare, unghiul maxim posibil este , iar unghiul minim posibil este . Înseamnă, . Unghiul nu este inclus, deoarece poziția liniei drepte în acest caz coincide exact cu și este mai logic să alegeți un unghi mai mic. Să luăm un punct din figură astfel încât linia dreaptă să fie paralelă cu axa absciselor și a este axa ordonatelor:

Din figură se poate observa că, a. Atunci raportul creșterilor este:

(deoarece este dreptunghiular).

Să o reducem acum. Apoi punctul se va apropia de punctul. Când devine infinitezimal, raportul devine egal cu derivata funcției din punct. Ce se va întâmpla cu secantei? Punctul va fi infinit aproape de punct, astfel încât să poată fi considerați același punct. Dar o linie dreaptă care are un singur punct comun cu o curbă nu este nimic mai mult decât tangentă(V în acest caz, această condiție este îndeplinită doar într-o zonă mică - aproape de punct, dar este suficient). Ei spun că în acest caz secantul ia poziție limită.

Să numim unghiul de înclinare al secantei față de axă. Apoi se dovedește că derivata

adică derivata este egală cu tangentei unghiului de înclinare a tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Deoarece o tangentă este o dreaptă, să ne amintim acum ecuația unei linii:

De ce este responsabil coeficientul? Pentru panta dreptei. Asa se numeste: pantă . Ce înseamnă? Și faptul că este egală cu tangentei unghiului dintre linie dreaptă și axă! Deci iată ce se întâmplă:

Dar am obținut această regulă luând în considerare o funcție crescătoare. Ce se va schimba dacă funcția scade? Să vedem:
Acum unghiurile sunt obtuze. Și incrementul funcției este negativ. Să luăm din nou în considerare: . Pe de altă parte, . Obținem: , adică totul este la fel ca data trecută. Să direcționăm din nou punctul către punct, iar secanta va lua o poziție limită, adică se va transforma într-o tangentă la graficul funcției din punct. Deci, să formulăm regula finală:
Derivata unei functii intr-un punct dat este egala cu tangenta unghiului de inclinare al tangentei la graficul functiei in acest punct sau (care este aceeasi) panta acestei tangente:

Asta este sensul geometric al derivatului. Bine, toate acestea sunt interesante, dar de ce avem nevoie de ele? Aici exemplu:
Figura prezintă un grafic al unei funcții și o tangentă la aceasta în punctul de abscisă. Aflați valoarea derivatei funcției într-un punct.
Soluţie.
După cum am aflat recent, valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei, care la rândul ei este egală cu tangentei unghiului de înclinare a acestei tangente la axa absciselor: . Aceasta înseamnă că pentru a găsi valoarea derivatei trebuie să găsim tangenta unghiului tangentei. În figură am marcat două puncte situate pe tangentă, ale căror coordonate ne sunt cunoscute. Deci hai să-l terminăm triunghi dreptunghic, trecând prin aceste puncte, și găsiți tangenta unghiului tangentei!

Unghiul de înclinare al tangentei la axă este. Să găsim tangenta acestui unghi: . Astfel, derivata funcției într-un punct este egală cu.
Răspuns:. Acum încercați singur:

Raspunsuri:

știind sensul geometric al derivatului, putem explica foarte simplu regula că derivata în punctul unui maxim sau minim local este egală cu zero. Într-adevăr, tangenta la grafic în aceste puncte este „orizontală”, adică paralelă cu axa x:

De ce unghiul este egal intre linii paralele? Desigur, zero! Și tangenta lui zero este, de asemenea, zero. Deci derivata este egală cu zero:

Citiți mai multe despre acest lucru în subiectul „Monotonitatea funcțiilor. Puncte extreme.”

Acum să ne concentrăm asupra tangentelor arbitrare. Să presupunem că avem o funcție, de exemplu, . I-am desenat graficul și vrem să tragem o tangentă la el la un moment dat. De exemplu, la un moment dat. Luăm o riglă, o atașăm la grafic și desenăm:

Ce știm despre această linie? Care este cel mai important lucru de știut despre o linie pe un plan de coordonate? Deoarece o linie dreaptă este o imagine a unei funcții liniare, ar fi foarte convenabil să-i cunoaștem ecuația. Adică coeficienții din ecuație

Dar știm deja! Aceasta este panta tangentei, care este egală cu derivata funcției în acel punct:

În exemplul nostru va fi așa:

Acum tot ce rămâne este să-l găsești. Este la fel de simplu ca decojirea perelor: la urma urmei - valoarea de. Grafic, aceasta este coordonata intersecției dreptei cu axa ordonatelor (la urma urmei, în toate punctele axei):

Să-l desenăm (deci este dreptunghiular). Apoi (la același unghi între tangentă și axa x). Ce sunt și egal cu? Figura arată clar că, a. Apoi obținem:

Combinăm toate formulele obținute în ecuația unei linii drepte:

Acum decideți singuri:

1. Găsi ecuația tangentei la o funcție într-un punct.
2. Tangenta la o parabolă intersectează axa la un unghi. Găsiți ecuația acestei tangente.
3. Linia este paralelă cu tangenta la graficul funcției. Aflați abscisa punctului tangent.
4. Linia este paralelă cu tangenta la graficul funcției. Aflați abscisa punctului tangent.

Solutii si raspunsuri:

ECUAȚIA TANGENTEI LA GRAFICUL UNEI FUNCȚII. SCURTĂ DESCRIERE ȘI FORMULE DE BAZĂ

Derivata unei funcții într-un anumit punct este egală cu tangentei tangentei la graficul funcției în acest punct sau cu panta acestei tangente:

Ecuația tangentei la graficul unei funcții într-un punct:

Algoritm pentru găsirea ecuației tangentei:

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru finalizare cu succes Examen de stat unificat, pentru admiterea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că este mult mai deschis înaintea lor mai multe posibilitatiși viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neapărat cu soluții, analiză detaliată și decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol - 299 rub.
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - 999 rub.

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

În al doilea caz vă vom oferi simulator „6000 de probleme cu soluții și răspunsuri, pentru fiecare subiect, la toate nivelurile de complexitate.” Cu siguranță va fi suficient pentru a pune mâna pe rezolvarea problemelor pe orice subiect.

De fapt, este mult mai mult decât un simplu simulator - întreg programul pregătire. Dacă este necesar, îl puteți folosi și GRATUIT.

Accesul la toate textele și programele este asigurat pe toată perioada de existență a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

Tangentă este o linie dreaptă care trece printr-un punct de pe curbă și coincide cu acesta în acest punct până la ordinul întâi (Fig. 1).

O altă definiție: aceasta este poziția limită a secantei la Δ x→0.

Explicație: Luați o linie dreaptă care intersectează curba în două puncte: OŞi b(vezi poza). Aceasta este o secanta. O vom roti în sensul acelor de ceasornic până când va găsi un singur punct comun cu curba. Acest lucru ne va oferi o tangentă.

Definiție strictă a tangentei:

Tangenta la graficul unei functii f, diferentiabil la punct xO, este o dreaptă care trece prin punctul ( xO; f(xO)) și având o pantă f′( xO).

Panta are o linie dreaptă a formei y =kx +b. Coeficient k si este pantă această linie dreaptă.

Coeficientul unghiular este egal cu tangentei unghiului ascuțit format de această dreaptă cu axa absciselor:

k = tan α

Aici unghiul α este unghiul dintre linia dreaptă y =kx +bși direcția pozitivă (adică în sens invers acelor de ceasornic) a axei x. Se numește unghiul de înclinare al unei linii drepte(Fig. 1 și 2).

Dacă unghiul de înclinare este drept y =kx +b acută, atunci panta este număr pozitiv. Graficul este în creștere (Fig. 1).

Dacă unghiul de înclinare este drept y =kx +b este obtuz, atunci panta este număr negativ. Graficul este în scădere (Fig. 2).

Dacă linia dreaptă este paralelă cu axa x, atunci unghiul de înclinare al dreptei este zero. În acest caz, panta dreptei este, de asemenea, zero (deoarece tangenta lui zero este zero). Ecuația dreptei va arăta ca y = b (Fig. 3).

Dacă unghiul de înclinare al unei drepte este de 90º (π/2), adică este perpendicular pe axa absciselor, atunci linia dreaptă este dată de egalitate x =c, Unde c– unele număr real(Fig. 4).

Ecuația tangentei la graficul unei funcțiiy = f(x) la un moment dat xO:

Exemplu: Găsiți ecuația tangentei la graficul funcției f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 în punctul cu abscisa 2.

Soluție.

Urmăm algoritmul.

1) Punct de atingere xO este egal cu 2. Calculați f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Găsiți f′( x). Pentru a face acest lucru, aplicăm formulele de diferențiere prezentate în secțiunea anterioară. Conform acestor formule, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Mijloace:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Acum, folosind valoarea rezultată f′( x), calculează f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Deci, avem toate datele necesare: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Înlocuiți aceste numere în ecuația tangentei și găsiți soluția finală:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Răspuns: y = 4x – 7.

Subiectul „Coeficientul unghiular al unei tangente ca tangentă a unghiului de înclinare” din examenul de certificare are mai multe sarcini simultan. În funcție de starea lor, absolventului i se poate cere să ofere fie un răspuns complet, fie un răspuns scurt. Când se pregătește pentru a susține examenul de stat unificat la matematică, elevul ar trebui să repete cu siguranță sarcinile în care este necesar să se calculeze panta unei tangente.

Te va ajuta să faci asta portal educațional„Șkolkovo”. Specialiștii noștri au pregătit și au prezentat materiale teoretice și practice în cel mai accesibil mod posibil. Familiarizându-se cu acesta, absolvenții cu orice nivel de pregătire vor putea rezolva cu succes probleme legate de derivate în care este necesară găsirea tangentei unghiului tangentei.

Repere

Pentru a găsi corect și decizie rațională Pentru sarcini similare din examenul de stat unificat, trebuie să vă amintiți definiția de bază: derivata reprezintă rata de schimbare a unei funcții; este egală cu tangentei unghiului tangentei trasat la graficul funcției într-un anumit punct. Este la fel de important să finalizați desenul. Vă va permite să găsiți decizia corectă Probleme de examinare unificată de stat pe derivată, în care este necesar să se calculeze tangentei unghiului tangentei. Pentru claritate, cel mai bine este să reprezentați graficul pe planul OXY.

Dacă v-ați familiarizat deja cu materialul de bază pe tema derivatelor și sunteți gata să începeți să rezolvați probleme privind calcularea tangentei unghiului tangentei, cum ar fi Teme de examen de stat unificat, puteți face acest lucru online. Pentru fiecare sarcină, de exemplu, probleme pe subiect „Relația derivatului cu viteza și accelerația corpului”, am notat algoritmul corect de răspuns și soluție. În același timp, elevii pot exersa îndeplinirea sarcinilor de diferite niveluri de complexitate. Dacă este necesar, exercițiul poate fi salvat în secțiunea „Favorite”, astfel încât să puteți discuta mai târziu cu profesorul soluția.