Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Exod

Răspuns: 0,25. 34. Rezolvare. Există doar 4 opțiuni: o; o o; p p; p p; O. Favorabil 1: o; r. Probabilitatea este 1/4 = 0,25. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca rezultatul OP să se producă (capete prima dată, coadă a doua oară).

Slide 35 din prezentare „Rezolvarea sarcinilor B6”.

Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 1329 KB.

Matematica clasa a XI-a

rezumatul altor prezentări

„Rezolvarea sarcinilor B6” - Geantă achiziționată. Probabilitatea apariției unor evenimente independente. Rata natalității fetelor. Exod. Lot. Ocazie de a câștiga. Participant. Farfurii de calitate superioara. Limba straina. Echipă. Situaţie. Probabilitatea dorită. Uman. Combinații. Cafea. Baterie. Evenimente. Magazin. Întrebare de botanică. Ceas mecanic. Carduri cu numere de grup. Șansa de supraviețuire. Pompa. Revolver împușcat. Atlet.

„Pregătirea pentru examenul de matematică” - Spațiu de informare și metodologic pentru profesorii de matematică. Colecție pentru examenul unificat de stat la matematică. Rezolvarea unui număr mare de probleme din „Banca de activități”. Recomandări pentru absolvenți cu privire la pregătirea pentru examenul de stat unificat. Din experiența pregătirii pentru certificarea finală a studenților nemotivați. Caiete de lucru la matematică B1-B12, C1 – C6 pentru examenul de stat unificat 2011. Rezultatele examenului de stat unificat. Suport informațional pentru examenul de stat unificat. Teste educaționale și de formare pentru Examenul Unificat de Stat 2011 la matematică.

„Rezolvarea problemelor de cuvinte în matematică” - Există un total de 82 de probleme prototip în secțiunea prototip a blocului B12. Sarcini de mișcare. Mișcarea obiectelor unul către celălalt. O echipă de pictori pictează un gard lung de 240 de metri. Sarcini pentru muncă. Prototipul sarcinii B12. Sarcinile postului și performanța. Patru cămăși sunt cu 8% mai ieftine decât o jachetă. Probleme privind „concentrația, amestecurile și aliajele”. Abordări generale ale rezolvării problemelor. Mișcarea bicicliștilor și șoferilor. Mișcarea unei bărci cu și împotriva curentului.

„Structura examenului unificat de stat la matematică” - Muncă de formare. Structura examenului de stat unificat KIM. Exemplu de examen de stat unificat KIM la matematică 2012. Sfaturi de la un psiholog. Opțiuni tipice de examen. Examenul de stat unificat 2012 matematică. Trucuri utile. Forme de răspuns. Scalare. Evaluarea lucrărilor Unified State Exam la matematică. Recomandări pentru învățarea materialului. Modificări în examenul de stat unificat la matematică 2012. Structura versiunii KIM. Sarcini de testare tipice. Algebră.

„Sarcina B1 la examenul de stat unificat la matematică” - Sticlă de șampon. Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică. Conținutul sarcinii. Cerințe verificabile. Nava cu motor. Date numerice reale. Acid citric. Barcă de salvare. Sarcini pentru soluție independentă. Acidul citric este vândut în plicuri. Notă pentru student. Cel mai mare număr. Prototip de sarcină.

Formularea problemei:Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capul (cozile) să nu apară nici măcar o dată (va apărea exact/de cel puțin 1, 2 ori).

Problema face parte din Examenul de stat unificat la matematică la nivel de bază pentru clasa a 11-a sub numărul 10 (Definiția clasică a probabilității).

Să vedem cum sunt rezolvate astfel de probleme folosind exemple.

Exemplu de sarcină 1:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să nu apară nici măcar o dată.

OO SAU RO RR

Sunt 4 astfel de combinații în total. Suntem interesați doar de cele care nu conțin un singur vultur. Există o singură astfel de combinație (PP).

P = 1 / 4 = 0,25

Răspuns: 0,25

Exemplu de sarcină 2:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea de a obține capete exact de două ori.

Să luăm în considerare toate combinațiile posibile care pot apărea dacă o monedă este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom desemna capete cu litera O, iar cozile cu litera P:

OO SAU RO RR

Sunt 4 astfel de combinatii in total Ne intereseaza doar cele in care capete apar exact de 2 ori. Există o singură astfel de combinație (OO).

P = 1 / 4 = 0,25

Răspuns: 0,25

Exemplu de sarcină 3:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact o dată.

Să luăm în considerare toate combinațiile posibile care pot apărea dacă o monedă este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom desemna capete cu litera O, iar cozile cu litera P:

OO SAU RO RR

Sunt 4 astfel de combinații în total. Suntem interesați doar de cele în care au apărut capete exact 1 dată. Există doar două astfel de combinații (OR și RO).

Răspuns: 0,5

Exemplu de sarcină 4:

Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capete să apară cel puțin o dată.

Să luăm în considerare toate combinațiile posibile care pot apărea dacă o monedă este aruncată de două ori. Pentru comoditate, vom desemna capete cu litera O, iar cozile cu litera P:

OO SAU RO RR

Sunt 4 astfel de combinații în total Ne interesează doar cele în care apar capete măcar o dată. Există doar trei astfel de combinații (OO, OP și RO).

P = 3 / 4 = 0,75

În teoria probabilității, există un grup de probleme pentru care este suficient să cunoaștem definiția clasică a probabilității și să reprezinte vizual situația propusă. Astfel de probleme includ cele mai multe probleme de aruncare a monedelor și probleme de aruncare a zarurilor. Să ne amintim definiția clasică a probabilității.

Probabilitatea evenimentului A (posibilitatea obiectivă ca un eveniment să se producă în termeni numerici) este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile acestui eveniment și numărul total al tuturor rezultatelor elementare incompatibile la fel de posibile: P(A)=m/n, Unde:

• m este numărul de rezultate ale testelor elementare favorabile apariției evenimentului A;
• n este numărul total al tuturor rezultatelor posibile ale testului elementar.

Este convenabil să se determine numărul de rezultate posibile ale testelor elementare și numărul de rezultate favorabile în problemele luate în considerare prin enumerarea tuturor opțiunilor (combinații) posibile și numărarea directă.

Din tabel vedem că numărul de rezultate elementare posibile este n=4. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele apar de 1 dată) corespund opțiunii nr. 2 și nr. 3 a experimentului, există două astfel de opțiuni m = 2.
Aflați probabilitatea evenimentului P(A)=m/n=2/4=0,5

Problema 2 . Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea să nu obțineți deloc capete.

Soluţie . Deoarece moneda este aruncată de două ori, atunci, ca în problema 1, numărul de rezultate elementare posibile este n=4. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele nu vor apărea nici măcar o dată) corespund opțiunii nr. 4 a experimentului (vezi tabelul din problema 1). Există o singură astfel de opțiune, ceea ce înseamnă m=1.
Aflați probabilitatea evenimentului P(A)=m/n=1/4=0,25

Problema 3 . Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact de 2 ori.

Soluţie . Vă prezentăm opțiunile posibile pentru trei aruncări de monede (toate combinațiile posibile de capete și cozi) sub forma unui tabel:

Din tabel vedem că numărul de rezultate elementare posibile este n=8. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele apar de 2 ori) corespund opțiunilor nr. 5, 6 și 7 ale experimentului.
Există trei astfel de opțiuni, ceea ce înseamnă m=3.

Aflați probabilitatea evenimentului P(A)=m/n=3/8=0,375 Problema 4

Soluţie . Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea de a obține capete exact de 3 ori.

. Vă prezentăm opțiunile posibile pentru aruncarea a patru monede (toate combinațiile posibile de capete și cozi) sub forma unui tabel:	Opțiunea nr.	prima aruncare	a 2-a aruncare	a 3-a aruncare	. Vă prezentăm opțiunile posibile pentru aruncarea a patru monede (toate combinațiile posibile de capete și cozi) sub forma unui tabel:	Opțiunea nr.	prima aruncare	a 2-a aruncare	a 3-a aruncare
1	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare	9	Vultur	a 4-a aruncare	Vultur	a 4-a aruncare
2	a 4-a aruncare	Vultur	Vultur	Vultur	10	a 4-a aruncare	Vultur	a 4-a aruncare	Vultur
3	Vultur	a 4-a aruncare	Vultur	Vultur	11	a 4-a aruncare	Vultur	Vultur	a 4-a aruncare
4	Vultur	Vultur	a 4-a aruncare	Vultur	12	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare	Vultur
5	Vultur	Vultur	Vultur	a 4-a aruncare	13	Vultur	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare
6	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare	Vultur	Vultur	14	a 4-a aruncare	Vultur	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare
7	Vultur	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare	Vultur	15	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare	Vultur	a 4-a aruncare
8	Vultur	Vultur	a 4-a aruncare	a 4-a aruncare	16	Vultur	Vultur	Vultur	Vultur

Din tabel vedem că numărul de rezultate elementare posibile este n=16. Rezultatele favorabile ale evenimentului A = (capetele vor apărea de 3 ori) corespund opțiunilor nr. 12, 13, 14 și 15 ale experimentului, ceea ce înseamnă m = 4.
Aflați probabilitatea evenimentului P(A)=m/n=4/16=0,25

Determinarea probabilității în problemele cu zarurile

Problema 5 . Determinați probabilitatea ca atunci când aruncați un zar (un zar corect) să obțineți mai mult de 3 puncte.

Soluţie . Când aruncați un zar (un zar obișnuit), oricare dintre cele șase fețe ale sale poate cădea, de exemplu. are loc oricare dintre evenimentele elementare - pierderea a 1 până la 6 puncte (puncte). Aceasta înseamnă că numărul de rezultate elementare posibile este n=6.
Evenimentul A = (mai mult de 3 puncte aruncate) înseamnă că 4, 5 sau 6 puncte (puncte) au fost aruncate. Aceasta înseamnă că numărul de rezultate favorabile este m=3.
Probabilitatea evenimentului P(A)=m/n=3/6=0,5

Problema 6 . Determinați probabilitatea ca atunci când aruncați un zar să obțineți un număr de puncte nu mai mare de 4. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată miime.

Soluţie . Când aruncați un zar, oricare dintre cele șase fețe ale sale poate cădea, de exemplu. are loc oricare dintre evenimentele elementare - pierderea a 1 până la 6 puncte (puncte). Aceasta înseamnă că numărul de rezultate elementare posibile este n=6.
Evenimentul A = (nu mai mult de 4 puncte aruncate) înseamnă că 4, 3, 2 sau 1 punct (punct) au fost aruncate.
Aceasta înseamnă că numărul de rezultate favorabile este m=4.

Probabilitatea evenimentului Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667 Problema 7

Soluţie . Zarurile sunt aruncate de două ori. Aflați probabilitatea ca numărul aruncat să fie mai mic de 4 de ambele ori.

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

. Deoarece zarurile (zarurile) sunt aruncate de două ori, vom raționa astfel: dacă primul zar arată un punct, atunci al doilea zar poate obține 1, 2, 3, 4, 5, 6. Obținem perechile (1;1). ), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) și așa mai departe cu fiecare față. Prezentăm toate cazurile sub forma unui tabel de 6 rânduri și 6 coloane:
Calculăm rezultatele favorabile ale evenimentului A = (de ambele ori numărul a fost mai mic de 4) (sunt evidențiate cu caractere aldine) și obținem m=9.

Aflați probabilitatea evenimentului P(A)=m/n=9/36=0,25 Problema 8

Soluţie . Zarurile sunt aruncate de două ori. Aflați probabilitatea ca cel mai mare dintre cele două numere extrase să fie 5. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată mie.

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

. Prezentăm toate rezultatele posibile ale aruncărilor a două zaruri în tabel:
Din tabel vedem că numărul de rezultate elementare posibile este n=6*6=36.
Calculăm rezultatele favorabile ale evenimentului A = (cel mai mare dintre cele două numere extrase este 5) (ele sunt evidențiate cu caractere aldine) și obținem m=8.

Aflați probabilitatea evenimentului P(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222 . Zarurile sunt aruncate de două ori. Aflați probabilitatea ca un număr mai mic de 4 să fie aruncat cel puțin o dată.

Soluţie . Prezentăm toate rezultatele posibile ale aruncărilor a două zaruri în tabel:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Din tabel vedem că numărul de rezultate elementare posibile este n=6*6=36.
Expresia „cel puțin o dată a apărut un număr mai mic de 4” înseamnă „un număr mai mic de 4 a apărut o dată sau de două ori”, apoi numărul de rezultate favorabile ale evenimentului A = (cel puțin o dată a apărut un număr mai mic de 4 ) (sunt evidențiate cu aldine) m=27.
Aflați probabilitatea evenimentului P(A)=m/n=27/36=0,75

Problemele de aruncare a monedelor sunt considerate destul de dificile. Și înainte de a le rezolva, este necesară o mică explicație. Gândește-te bine, orice problemă în teoria probabilității se reduce în cele din urmă la formula standard:

unde p este probabilitatea dorită, k este numărul de evenimente care ni se potrivesc, n este numărul total de evenimente posibile.

Majoritatea problemelor B6 pot fi rezolvate folosind această formulă literalmente într-o singură linie - doar citiți condiția. Dar în cazul aruncării monedelor, această formulă este inutilă, deoarece din textul unor astfel de probleme nu este deloc clar cu ce sunt egale numerele k și n. Aici constă dificultatea.

Cu toate acestea, există cel puțin două metode de rezolvare fundamental diferite:

1. Metoda de enumerare a combinațiilor este un algoritm standard. Toate combinațiile de capete și cozi sunt scrise, după care sunt selectate cele necesare;
2. O formulă de probabilitate specială este o definiție standard a probabilității, rescrisă special astfel încât să fie convenabil să lucrezi cu monede.

Pentru a rezolva problema B6 trebuie să cunoașteți ambele metode. Din păcate, doar primul se predă în școli. Să nu repetăm ​​greșelile de la școală. Deci, hai să mergem!

Metoda de căutare combinată

Această metodă este denumită și „soluția de față”. Constă din trei etape:

1. Notăm toate combinațiile posibile de capete și cozi. De exemplu: OR, RO, OO, RR. Numărul de astfel de combinații este n;
2. Dintre combinațiile obținute, le remarcăm pe cele care sunt cerute de condițiile problemei. Numărăm combinațiile marcate - obținem numărul k;
3. Rămâne de găsit probabilitatea: p = k: n.

Din păcate, această metodă funcționează doar pentru un număr mic de aruncări. Pentru ca la fiecare noua aruncare numarul de combinatii se dubleaza. De exemplu, pentru 2 monede va trebui să scrieți doar 4 combinații. Pentru 3 monede sunt deja 8, iar pentru 4 - 16, iar probabilitatea de eroare se apropie de 100%. Aruncă o privire la exemple și vei înțelege totul singur:

Sarcină. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca să obțineți același număr de capete și cozi.

Deci, moneda este aruncată de două ori. Să notăm toate combinațiile posibile (O - capete, P - cozi):

Total n = 4 opțiuni. Acum să notăm opțiunile care se potrivesc condițiilor problemei:

Au existat k = 2 astfel de opțiuni Găsiți probabilitatea:

Sarcină. Moneda este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea să nu obțineți niciodată capete.

Din nou notăm toate combinațiile posibile de capete și cozi:

OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP

În total au fost n = 16 opțiuni. Se pare că nu am uitat nimic. Dintre aceste opțiuni, suntem mulțumiți doar de combinația „OOOO”, care nu conține deloc cozi. Prin urmare, k = 1. Rămâne de găsit probabilitatea:

După cum puteți vedea, în ultima problemă a trebuit să scriu 16 opțiuni. Ești sigur că le poți scrie fără să faci nicio greșeală? Personal, nu sunt sigur. Deci, să ne uităm la a doua soluție.

Formula specială de probabilitate

Deci, problemele cu monedele au propria lor formulă de probabilitate. Este atât de simplu și important încât m-am hotărât să îl formulez sub forma unei teoreme. Aruncă o privire:

Teorema. Lasă moneda să fie aruncată de n ori. Atunci probabilitatea ca capete să apară exact de k ori poate fi găsită folosind formula:

Unde C n k este numărul de combinații de n elemente prin k, care se calculează prin formula:

Astfel, pentru a rezolva problema monedelor, ai nevoie de două numere: numărul de aruncări și numărul de capete. Cel mai adesea, aceste numere sunt date direct în textul problemei. Mai mult, nu contează exact ce numări: cozi sau capete. Răspunsul va fi același.

La prima vedere, teorema pare prea greoaie. Dar odată ce exersați puțin, nu veți mai dori să reveniți la algoritmul standard descris mai sus.

Sarcină. Moneda este aruncată de patru ori. Găsiți probabilitatea de a obține capete exact de trei ori.

În funcție de condițiile problemei, au fost n = 4 aruncări în total Numărul necesar de capete: k = 3. Înlocuiți n și k în formula:

Sarcină. Moneda este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea să nu obțineți niciodată capete.

Scriem din nou numerele n și k. Deoarece moneda este aruncată de 3 ori, n = 3. Și deoarece nu ar trebui să existe capete, k = 0. Rămâne să înlocuiți numerele n și k în formula:

Să-ți amintesc că 0! = 1 prin definiție. Prin urmare C 3 0 = 1.

Sarcină. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de 4 ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară de mai multe ori decât cozi.

Pentru ca să fie mai multe capete decât cozi, acestea trebuie să apară fie de 3 ori (atunci va fi 1 coadă), fie de 4 ori (atunci nu vor fi cozi deloc). Să aflăm probabilitatea fiecăruia dintre aceste evenimente.

Fie p 1 probabilitatea ca capete să apară de 3 ori. Atunci n = 4, k = 3. Avem:

Acum să găsim p 2 - probabilitatea ca capete să apară de 4 ori. În acest caz n = 4, k = 4. Avem:

Pentru a obține răspunsul, tot ce rămâne este să adunăm probabilitățile p 1 și p 2 . Amintiți-vă: puteți adăuga probabilități doar pentru evenimente care se exclud reciproc. Avem:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125