Aria unei formule prisme regulate. Prismă

ÎN programa școlarăÎntr-un curs de stereometrie, studiul figurilor tridimensionale începe de obicei cu un corp geometric simplu - poliedrul unei prisme. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri, dacă prisma nu este înclinată).

Cum arată o prismă?

O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, ale cărui baze sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru asta figură geometrică- paralelipiped drept.

Mai jos este prezentat un desen care prezintă o prismă pătrangulară.

Se vede si in poza elemente esentiale, din care este format corpul geometric. Acestea includ:

Uneori, în problemele de geometrie, puteți întâlni conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric aparținând unui plan de tăiere. Secțiunea poate fi perpendiculară (intersectează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară, se ia în considerare și o secțiune diagonală ( cantitate maxima secțiuni care pot fi construite - 2), trecând prin 2 margini și diagonale ale bazei.

Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.

Pentru a găsi elementele prismatice reduse, utilizați relații diferite si formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să amintim formula pentru aria unui pătrat).

Suprafața și volumul

Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea acesteia:

V = Sbas h

Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura o, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:

V = a²·h

Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime egală, lățime și înălțime, volumul se calculează după cum urmează:

Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați dezvoltarea acesteia.

Din desen reiese clar că suprafata laterala format din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:

Sside = Posn h

Ținând cont că perimetrul pătratului este egal cu P = 4a, formula ia forma:

Sside = 4a h

Pentru cub:

Sside = 4a²

Pentru a calcula suprafața totală a prismei, trebuie să adăugați 2 zone de bază în zona laterală:

Full = Sside + 2Smain

În raport cu o prismă regulată patruunghiulară, formula arată astfel:

Stotal = 4a h + 2a²

Pentru suprafața unui cub:

Plin = 6a²

Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elementele individuale ale unui corp geometric.

Găsirea elementelor prisme

Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:

• lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
• înălțimea sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
• suprafata de baza: Sbas = V/h;
• zona feței laterale: Latura gr = Sside / 4.

Pentru a determina câtă zonă are secțiunea diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Din aceasta rezultă:

Sdiag = ah√2

Pentru a calcula diagonala unei prisme, utilizați formula:

dprize = √(2a² + h²)

Pentru a înțelege cum să aplicați relațiile date, puteți exersa și rezolva mai multe sarcini simple.

Exemple de probleme cu soluții

Iată câteva sarcini găsite la examenele finale de stat la matematică.

Sarcina 1.

Nisipul este turnat într-o cutie în formă de prismă patruunghiulară obișnuită. Înălțimea nivelului său este de 10 cm Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o bază de două ori mai lungă?

Ar trebui motivat după cum urmează. Cantitatea de nisip din primul și al doilea container nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți nota lungimea bazei cu o. În acest caz, pentru prima casetă volumul substanței va fi:

V₁ = ha² = 10a²

Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Din moment ce V₁ = V2, putem echivala expresiile:

10a² = 4ha²

După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:

Ca urmare nou nivel nisipul va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Sarcina 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă corectă. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.

Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.

Întrucât vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că la bază există un pătrat cu diagonala de 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași dimensiune, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.

Lungimea oricărei muchii este determinată printr-o diagonală cunoscută:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Suprafața totală este găsită folosind formula pentru un cub:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Sarcina 3.

Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?

Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este o prismă regulată. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.

Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.

Zona va fi acoperită cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².

Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50·30 = 1500 ruble

Astfel, pentru a rezolva probleme care implică o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.

Cum să găsiți aria unui cub

Prismă. Paralelipiped

Prismă este un poliedru ale cărui două fețe sunt n-goni egale (baze) , situate în planuri paralele, iar cele n fețe rămase sunt paralelograme (fețele laterale) . Coastă laterală Latura unei prisme care nu aparține bazei se numește latura prismei.

prismă, coaste laterale care sunt perpendiculare pe planurile bazelor se numește direct prismă (fig. 1). Dacă marginile laterale nu sunt perpendiculare pe planurile bazelor, atunci se numește prisma înclinat . Corecta O prismă este o prismă dreaptă ale cărei baze sunt poligoane regulate.

Înălţime prisma este distanța dintre planele bazelor. Diagonală O prismă este un segment care leagă două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe. Secțiune diagonală se numește secțiune a unei prisme printr-un plan care trece prin două margini laterale care nu aparțin aceleiași fețe. Secțiune perpendiculară se numește secțiune a unei prisme de un plan perpendicular pe marginea laterală a prismei.

Suprafata laterala a unei prisme este suma ariilor tuturor fețelor laterale. Suprafata totala se numește suma ariilor tuturor fețelor prismei (adică suma ariilor fețelor laterale și a ariilor bazelor).

Pentru o prismă arbitrară următoarele formule sunt adevărate::

Unde l– lungimea coastei laterale;

H- inaltimea;

P

Q

partea S

S plin

S baza– zona bazelor;

V– volumul prismei.

Pentru o prismă dreaptă următoarele formule sunt corecte:

Unde p– perimetrul de bază;

l– lungimea coastei laterale;

H- înălțime.

paralelipiped numită prismă a cărei bază este un paralelogram. Se numește paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe baze direct (Fig. 2). Dacă marginile laterale nu sunt perpendiculare pe baze, atunci se numește paralelipiped înclinat . Un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi se numește dreptunghiular. Se numește paralelipiped dreptunghic cu toate muchiile egale cub

Se numesc fețele unui paralelipiped care nu au vârfuri comune opus . Lungimile muchiilor care emană de la un vârf se numesc măsurători paralelipiped. Deoarece un paralelipiped este o prismă, elementele sale principale sunt definite în același mod în care sunt definite pentru prisme.

Teoreme.

1. Diagonalele unui paralelipiped se intersectează într-un punct și îl bisectează.

2. Într-un paralelipiped dreptunghiular, pătratul lungimii diagonalei este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale:

3. Toate cele patru diagonale ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt egale între ele.

Pentru un paralelipiped arbitrar sunt valabile următoarele formule:

Unde l– lungimea coastei laterale;

H- inaltimea;

P– perimetrul secțiunii perpendiculare;

Q– Aria secțiunii transversale perpendiculare;

partea S– suprafata laterala;

S plin– suprafata totala;

S baza– zona bazelor;

V– volumul prismei.

Pentru un paralelipiped drept următoarele formule sunt corecte:

Unde p– perimetrul de bază;

l– lungimea coastei laterale;

H– înălțimea unui paralelipiped drept.

Pentru un paralelipiped dreptunghiular sunt corecte următoarele formule:

(3)

Unde p– perimetrul de bază;

H- inaltimea;

d– diagonala;

a,b,c– măsurători ale unui paralelipiped.

Următoarele formule sunt corecte pentru un cub:

Unde o– lungimea coastei;

d- diagonala cubului.

Exemplul 1. Diagonala unui paralelipiped dreptunghiular este de 33 dm, iar dimensiunile lui sunt în raportul 2: 6: 9. Aflați dimensiunile paralelipipedului.

Soluţie. Pentru a afla dimensiunile paralelipipedului, folosim formula (3), i.e. prin faptul că pătratul ipotenuzei unui cuboid este egal cu suma pătratelor dimensiunilor acestuia. Să notăm prin k factor de proporționalitate. Atunci dimensiunile paralelipipedului vor fi egale cu 2 k, 6kși 9 k. Să scriem formula (3) pentru datele problemei:

Rezolvarea acestei ecuații pentru k, obținem:

Aceasta înseamnă că dimensiunile paralelipipedului sunt de 6 dm, 18 dm și 27 dm.

Răspuns: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Exemplul 2. Aflați volumul unei prisme triunghiulare înclinate, a cărei bază este un triunghi echilateral cu latura de 8 cm, dacă marginea laterală este egală cu latura bazei și înclinată la un unghi de 60º față de bază.

Soluţie . Să facem un desen (Fig. 3).

Pentru a găsi volumul unei prisme înclinate, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea acesteia. Aria bazei acestei prisme este aria unui triunghi echilateral cu latura de 8 cm Să o calculăm:

Înălțimea unei prisme este distanța dintre bazele sale. De sus O 1 al bazei superioare, coborâți perpendiculara pe planul bazei inferioare O 1 D. Lungimea sa va fi înălțimea prismei. Luați în considerare D O 1 AD: deoarece acesta este unghiul de înclinare al marginii laterale O 1 O la planul de bază, O 1 O= 8 cm Din acest triunghi găsim O 1 D:

Acum calculăm volumul folosind formula (1):

Răspuns: 192 cm 3.

Exemplul 3. Marginea laterală a unei prisme hexagonale obișnuite este de 14 cm Aria celei mai mari secțiuni diagonale este de 168 cm 2. Aflați aria suprafeței totale a prismei.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 4)

Cea mai mare secțiune diagonală este un dreptunghi A.A. 1 DD 1 din diagonală AD hexagon obișnuit ABCDEF este cel mai mare. Pentru a calcula suprafața laterală a prismei, este necesar să cunoașteți latura bazei și lungimea marginii laterale.

Cunoscând aria secțiunii diagonale (dreptunghi), găsim diagonala bazei.

De atunci

De atunci AB= 6 cm.

Atunci perimetrul bazei este:

Să găsim aria suprafeței laterale a prismei:

Aria unui hexagon regulat cu latura de 6 cm este:

Aflați aria suprafeței totale a prismei:

Răspuns:

Exemplul 4. Baza paralelipipedului drept este un romb. Aria secțiunii transversale diagonale sunt de 300 cm2 și 875 cm2. Găsiți aria suprafeței laterale a paralelipipedului.

Soluţie. Să facem un desen (Fig. 5).

Să notăm latura rombului cu O, diagonalele unui romb d 1 și d 2, înălțimea paralelipipedului h. Pentru a găsi aria suprafeței laterale a unui paralelipiped drept, este necesar să înmulțiți perimetrul bazei cu înălțimea: (formula (2)). Perimetrul de bază p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, pentru că ABCD- romb H = AA 1 = h. Că. Trebuie să găsești OŞi h.

Să luăm în considerare secțiunile diagonale. AA 1 SS 1 – un dreptunghi, a cărui latură este diagonala unui romb AC = d 1, a doua – marginea laterală AA 1 = h, Atunci

La fel și pentru secțiune BB 1 DD 1 obținem:

Folosind proprietatea unui paralelogram astfel încât suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor tuturor laturilor sale, obținem egalitatea Obținem următoarele.

Definiţie. Prismă este un poliedru, ale cărui vârfuri sunt situate în două plane paralele și în aceleași două plane se află două fețe ale prismei, care sunt poligoane egale cu laturile paralele corespunzătoare, iar toate muchiile care nu se află în aceste plane sunt paralele.

Se numesc două fețe egale baze de prisme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Toate celelalte fețe ale prismei sunt numite fetele laterale(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Se formează toate fețele laterale suprafata laterala a prismei .

Toate fețele laterale ale prismei sunt paralelograme .

Marginile care nu se află la baze se numesc marginile laterale ale prismei ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonala prismei este un segment ale cărui capete sunt două vârfuri ale unei prisme care nu se află pe aceeași față (AD 1).

Se numește lungimea segmentului care leagă bazele prismei și perpendicular pe ambele baze în același timp înălțimea prismei .

Desemnare:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Mai întâi, în ordinea parcurgerii, sunt indicate vârfurile unei baze, iar apoi, în aceeași ordine, vârfurile alteia; capetele fiecărei margini laterale sunt desemnate prin aceleași litere, doar vârfurile aflate într-o singură bază. sunt desemnate prin litere fără index, iar în celălalt - cu index)

Numele prismei este asociat cu numărul de unghiuri din figura aflată la baza acesteia, de exemplu, în figura 1 există un pentagon la bază, deci prisma se numește prismă pentagonală. Dar pentru că o astfel de prismă are 7 fețe, apoi ea heptaedru(2 fețe - bazele prismei, 5 fețe - paralelograme, - fețele sale laterale)

Dintre prismele drepte se remarcă un anumit tip: prismele regulate.

Se numește prismă dreaptă corecta, dacă bazele sale sunt poligoane regulate.

U prismă corectă toate fețele laterale sunt dreptunghiuri egale. Un caz special al unei prisme este un paralelipiped.

Paralelipiped

Paralelipiped este o prismă patruunghiulară, la baza căreia se află un paralelogram (un paralelipiped înclinat). Paralepipedul drept- un paralelipiped ale cărui margini laterale sunt perpendiculare pe planurile bazei.

Paralepiped dreptunghiular- un paralelipiped drept a cărui bază este un dreptunghi.

Proprietăți și teoreme:

Unele proprietăți ale unui paralelipiped sunt similare cu proprietățile cunoscute ale unui paralelogram. Se numește paralelipiped dreptunghiular cu dimensiuni egale cub .Toate fețele unui cub sunt pătrate egale Pătratul diagonalei este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale

,

unde d este diagonala pătratului;
a este latura pătratului.

O idee a unei prisme este dată de:

• diverse structuri arhitecturale;
• jucării pentru copii;
• cutii de ambalare;
• articole de designer etc.

Aria suprafeței totale și laterale a prismei

Suprafața totală a prismei este suma ariilor tuturor fețelor sale Suprafata laterala se numește suma ariilor fețelor sale laterale. Bazele prismei sunt poligoane egale, apoi ariile lor sunt egale. De aceea

S plin = S lateral + 2S principal,

Unde S plin- suprafata totala, partea S- suprafata laterala, S baza- suprafata de baza

Suprafața laterală a unei prisme drepte este egală cu produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea prismei.

partea S= P de bază * h,

Unde partea S-aria suprafeței laterale a unei prisme drepte,

P principal - perimetrul bazei unei prisme drepte,

h este înălțimea prismei drepte, egală cu marginea laterală.

Volumul prismei

Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Curs: Prisma, bazele sale, nervurile laterale, înălțimea, suprafața laterală; prismă dreaptă; prismă corectă

Prismă

Dacă ați învățat cifrele plate cu noi din întrebările anterioare, atunci sunteți complet pregătit să studiați figurile tridimensionale. Primul solid pe care îl vom învăța va fi o prismă.

Prismă este un corp volumetric care are număr mare chipuri.

Această figură are două poligoane la baze, care sunt situate în planuri paralele, iar toate fețele laterale au forma unui paralelogram.

Fig. 1. Fig. 2

Deci, să ne dăm seama în ce constă o prismă. Pentru a face acest lucru, acordați atenție Fig. 1

După cum am menționat mai devreme, o prismă are două baze care sunt paralele una cu cealaltă - acestea sunt pentagoanele ABCEF și GMNJK. În plus, aceste poligoane sunt egale între ele.

Toate celelalte fețe ale prismei se numesc fețe laterale - sunt formate din paralelograme. De exemplu BMNC, AGKF, FKJE etc.

Suprafața totală a tuturor fețelor laterale se numește suprafata laterala.

Fiecare pereche de fețe adiacente are o latură comună. Astfel de latura comuna numită coastă. De exemplu MV, SE, AB etc.

Dacă baza superioară și inferioară a prismei sunt conectate printr-o perpendiculară, atunci se va numi înălțimea prismei. În figură, înălțimea este marcată ca linie dreaptă OO 1.

Există două tipuri principale de prisme: oblică și dreaptă.

Dacă marginile laterale ale prismei nu sunt perpendiculare pe baze, atunci se numește o astfel de prismă înclinat.

Dacă toate marginile unei prisme sunt perpendiculare pe baze, atunci se numește o astfel de prismă direct.

Dacă bazele unei prisme conțin poligoane regulate (cele cu laturile egale), atunci o astfel de prismă se numește corecta.

Dacă bazele unei prisme nu sunt paralele între ele, atunci o astfel de prismă va fi numită trunchiată.

Îl puteți vedea în Fig. 2

Formule pentru găsirea volumului și aria unei prisme

Există trei formule de bază pentru găsirea volumului. Ele diferă unele de altele în aplicare:

Formule similare pentru găsirea suprafeței unei prisme: