12 este un număr rațional. Definiție și exemple de numere raționale

) sunt numere cu sau pozitiv semn negativ(numere întregi și fracții) și zero. Un concept mai precis al numerelor raționale sună astfel:

Număr rațional- numărul care este reprezentat fracție obișnuită m/n, unde numărătorul m sunt numere întregi, iar numitorul n- numere naturale, de exemplu 2/3.

Fracțiile neperiodice infinite NU sunt incluse în mulțimea numerelor raționale.

a/b, Unde o∈ Z (o aparține numerelor întregi), b∈ N (b aparține numerelor naturale).

Utilizarea numerelor raționale în viața reală.

ÎN viata reala setul de numere raționale este folosit pentru a număra părțile unor obiecte divizibile întregi, De exemplu, prăjituri sau alte alimente care sunt tăiate în bucăți înainte de consum, sau pentru estimarea aproximativă a relațiilor spațiale ale obiectelor extinse.

Proprietățile numerelor raționale.

Proprietățile de bază ale numerelor raționale.

1. Ordine oŞi b există o regulă care vă permite să identificați fără ambiguitate 1 și doar una dintre cele 3 relații dintre ele: „<», «>" sau "=". Aceasta este regula - regula de ordonareși formulează-l astfel:

• 2 numere pozitive a=m a /n aŞi b=m b/n b sunt legate prin aceeași relație ca 2 numere întregi m a⋅ n bŞi m b⋅ N / A;
• 2 numere negative oŞi b sunt legate prin același raport ca 2 numere pozitive |b|Şi |a|;
• Când o pozitivă și b- negativ, atunci a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operație de adăugare. Pentru toate numerele raționale oŞi b Există regula de însumare, care le atribuie un anumit număr rațional c. Mai mult decât atât, numărul în sine c- Asta sumă numere oŞi bși se notează ca (a+b) însumare.

Regula de însumare arata asa:

m a/n a + m b/n b =(m a⋅ n b + m b⋅ N / A)/(N / A⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Operația de înmulțire. Pentru toate numerele raționale oŞi b Există regula înmulțirii, le asociază cu un anumit număr rațional c. Se numește numărul c lucru numere oŞi b si denota (a⋅b), iar procesul de găsire a acestui număr se numește multiplicare.

Regula înmulțirii arata asa: m a n a⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ n b.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivitatea relației de ordine. Pentru oricare trei numere raționale o, bŞi c Dacă o Mai puțin bŞi b Mai puțin c, Asta o Mai puțin c, iar dacă o egală bŞi b egală c, Asta o egală c.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ o ∧ (a = b∧ b = c⇒ a = c)

5. Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. Asociativitatea de adunare. Ordinea în care sunt adăugate 3 numere raționale nu afectează rezultatul.

∀ a,b,c∈ Q (a+b)+c=a+(b+c)

7. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0, care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.

∃ 0 ∈ Q∀ o∈ Q a+0=a

8. Disponibilitate numere opuse . Orice număr rațional are un număr rațional opus, iar atunci când sunt adunați, rezultatul este 0.

∀ o∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ o

10. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite 3 numere raționale nu are efect asupra rezultatului.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)

11. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1, acesta păstrează orice alt număr rațional în procesul de înmulțire.

∃ 1 ∈ Q∀ o∈ Q a⋅ 1=a

12. Prezența numerelor reciproce. Fiecare număr rațional, altul decât zero, are un număr rațional invers, înmulțind cu care obținem 1 .

∀ o∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a−1=1

13. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Operația de înmulțire este legată de adunare folosind legea distributivă:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c

14. Relația dintre relația de comandă și operația de adunare. La stânga și partea dreaptă inegalitatea raţională adăugați același număr rațional.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Relația dintre relația de ordine și operația de înmulțire. Laturile stânga și dreapta ale unei inegalități raționale pot fi înmulțite cu același număr rațional nenegativ.

∀ a,b,c∈ Q c>0∧ o ⇒ o⋅ c ⋅ c

16. Axioma lui Arhimede. Oricare ar fi numărul rațional o, este ușor să luați atât de multe unități încât suma lor va fi mai mare o.

În acest articol vom începe să explorăm numere raționale. Aici vom da definiții numerelor raționale, vom oferi explicațiile necesare și vom da exemple de numere raționale. După aceasta, ne vom concentra asupra modului de a determina dacă număr dat rațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere raționale

În această secțiune vom da mai multe definiții ale numerelor raționale. În ciuda diferențelor de formulare, toate aceste definiții au același sens: numerele raționale unesc numere întregi și fracții, la fel cum numerele întregi unesc numerele naturale, contrariile lor și numărul zero. Cu alte cuvinte, numerele raționale generalizează numerele întregi și numere fracționare.

Să începem cu definițiile numerelor raționale, care este perceput cel mai natural.

Din definiția menționată rezultă că un număr rațional este:

• Orice număr natural n. Într-adevăr, puteți reprezenta orice număr natural ca o fracție obișnuită, de exemplu, 3=3/1.
• Orice număr întreg, în special numărul zero. De fapt, orice număr întreg poate fi scris fie ca fracție pozitivă, fie ca fracție negativă, fie ca zero. De exemplu, 26=26/1, .
• Orice fracție comună (pozitivă sau negativă). Acest lucru este confirmat direct de definiția dată a numerelor raționale.
• Orice număr mixt. Într-adevăr, cineva se poate imagina întotdeauna număr mixt sub forma unei fracții improprie. De exemplu, și.
• Orice fracție zecimală finită sau fracție periodică infinită. Acest lucru se datorează faptului că fracțiile zecimale indicate sunt convertite în fracții obișnuite. De exemplu, și 0,(3)=1/3.

De asemenea, este clar că orice fracție zecimală infinită neperiodică NU este un număr rațional, deoarece nu poate fi reprezentată ca o fracție comună.

Acum putem da cu ușurință exemple de numere raționale. Numerele 4, 903, 100.321 sunt numere raționale deoarece sunt numere naturale. Numerele întregi 58, −72, 0, −833.333.333 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Fracțiile comune 4/9, 99/3 sunt, de asemenea, exemple de numere raționale. Numerele raționale sunt și numere.

Din exemplele de mai sus este clar că există atât numere raționale pozitive, cât și negative, iar numărul rațional zero nu este nici pozitiv, nici negativ.

Definiția de mai sus a numerelor raționale poate fi formulată într-o formă mai concisă.

Definiţie.

Numere raționale sunt numere care pot fi scrise ca o fracție z/n, unde z este un număr întreg și n este un număr natural.

Să demonstrăm că această definiție a numerelor raționale este echivalentă cu definiția anterioară. Știm că putem considera linia unei fracții drept semn de împărțire, apoi din proprietățile împărțirii numerelor întregi și regulile de împărțire a numerelor întregi, urmează validitatea următoarelor egalități și. Deci asta este dovada.

Să dăm exemple de numere raționale bazate pe această definiție. Numerele −5, 0, 3 și sunt numere raționale, deoarece pot fi scrise ca fracții cu un numărător întreg și, respectiv, un numitor natural de forma și.

Definiția numerelor raționale poate fi dată în formularea următoare.

Definiţie.

Numere raționale sunt numere care pot fi scrise ca periodice finite sau infinite zecimal.

Această definiție este, de asemenea, echivalentă cu prima definiție, deoarece fiecare fracție obișnuită corespunde unei fracții zecimale finite sau periodice și invers, iar orice număr întreg poate fi asociat cu o fracție zecimală cu zerouri după virgulă.

De exemplu, numerele 5, 0, -13 sunt exemple de numere raționale deoarece pot fi scrise ca următoarele fracții zecimale 5,0, 0,0, -13,0, 0,8 și -7, (18).

Să încheiem teoria acestui punct cu următoarele afirmații:

• numerele întregi și fracții (pozitive și negative) alcătuiesc mulțimea numerelor raționale;
• fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție cu un numărător întreg și un numitor natural, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un anumit număr rațional;
• fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită, iar fiecare astfel de fracție reprezintă un număr rațional.

Este acest număr rațional?

În paragraful anterior, am aflat că orice număr natural, orice număr întreg, orice fracție obișnuită, orice număr mixt, orice fracție zecimală finită, precum și orice fracție zecimală periodică este un număr rațional. Această cunoaștere ne permite să „recunoaștem” numerele raționale dintr-un set de numere scrise.

Dar dacă numărul este dat sub forma unor , sau ca , etc., cum să răspunzi la întrebarea dacă acest număr este rațional? În multe cazuri, este foarte greu să răspunzi. Să indicăm câteva direcții de gândire.

Dacă un număr este dat ca expresie numerică care conține numai numere raționale și semne aritmetice (+, −, · și:), atunci valoarea acestei expresii este un număr rațional. Aceasta rezultă din modul în care sunt definite operațiile cu numere raționale. De exemplu, după efectuarea tuturor operațiilor din expresie, obținem numărul rațional 18.

Uneori, după ce am simplificat expresiile și le-am făcut mai complexe, devine posibil să se determine dacă un anumit număr este rațional.

Să mergem mai departe. Numărul 2 este un număr rațional, deoarece orice număr natural este rațional. Dar numărul? Este rațional? Rezultă că nu, nu este un număr rațional, este un număr irațional (dovada acestui fapt prin contradicție este dată în manualul de algebră pentru clasa a VIII-a, enumerat mai jos în lista de referințe). De asemenea, s-a dovedit că rădăcină pătrată din număr natural este un număr rațional numai în acele cazuri când rădăcina conține un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, și sunt numere raționale, deoarece 81 = 9 2 și 1 024 = 32 2, iar numerele și nu sunt raționale, deoarece numerele 7 și 199 nu sunt pătrate perfecte ale numerelor naturale.

Numărul este rațional sau nu? ÎN în acest caz, Este ușor de observat că, prin urmare, acest număr este rațional. Este numărul rațional? S-a dovedit că rădăcina k a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea k a unui număr întreg. Prin urmare, nu este un număr rațional, deoarece nu există un număr întreg a cărui putere a cincea este 121.

Metoda prin contradicție vă permite să demonstrați că logaritmii unor numere nu sunt numere raționale din anumite motive. De exemplu, să demonstrăm că - nu este un număr rațional.

Să presupunem contrariul, adică să spunem că este un număr rațional și poate fi scris ca o fracție obișnuită m/n. Atunci dăm următoarele egalități: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece în partea stângă există număr impar 5 n, iar în partea dreaptă este numărul par 2 m. Prin urmare, presupunerea noastră este incorectă, deci nu este un număr rațional.

În concluzie, este de remarcat în special faptul că atunci când se determină raționalitatea sau iraționalitatea numerelor, ar trebui să se abțină de la a face concluzii bruște.

De exemplu, nu ar trebui să afirmați imediat că produsul numerelor iraționale π și e este un număr irațional, acest lucru este „aparent evident”, dar nu este dovedit. Aceasta ridică întrebarea: „De ce ar fi un produs un număr rațional?” Și de ce nu, pentru că poți da un exemplu de numere iraționale, al căror produs dă un număr rațional: .

De asemenea, nu se știe dacă numerele și multe alte numere sunt raționale sau nu. De exemplu, există numere iraționale a căror putere irațională este un număr rațional. Pentru ilustrare, prezentăm un grad de forma , baza acestui grad și exponentul nu sunt numere raționale, ci , iar 3 este un număr rațional.

Referințe.

• Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru invatamantul general instituții / [N. Da. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior şcoală, 1984.-351 p., ill.

Numere raționale

Sferturi

1. Ordine. oŞi b există o regulă care vă permite să identificați în mod unic una și doar una dintre cele trei relații dintre ei: „< », « >" sau " = ". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere nenegative și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi și ; două numere nepozitive oŞi b sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative și ; dacă deodată o nenegativ, dar b- negativ, atunci o > b.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Adunarea fracțiilor Operație de adăugare. oŞi b Pentru orice numere raționale regula de însumare c există un așa-zis c. Mai mult decât atât, numărul în sine numit numere oŞi b cantitate și este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numitînsumare .
3. . Regula de însumare are următoarea formă: Operație de adăugare. oŞi b Pentru orice numere raționale regula înmulțirii Operația de înmulțire. c există un așa-zis c. Mai mult decât atât, numărul în sine lucru numere oŞi b, care le atribuie un număr rațional și este notat cu , iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare .
4. Tranzitivitatea relației de ordine.. Regula înmulțirii arată astfel: o , bŞi c Pentru orice triplu de numere raționale o Dacă bŞi b Dacă c Mai puțin o Dacă c, Asta o, iar dacă bŞi b, iar dacă c Mai puțin o, iar dacă c egală
5. . 6435">Comutativitatea adunării. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.
6. Asociativitatea adunării. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.
7. Prezența lui zero. Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.
8. Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.
9. Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.
10. Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.
11. Disponibilitatea unității. Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.
12. Prezența numerelor reciproce. Orice număr rațional are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.
13. Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale.
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Axioma lui Arhimede. o Oricare ar fi numărul rațional o, puteți lua atât de multe unități încât suma lor depășește

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Proprietăți suplimentare

Toate celelalte proprietăți inerente numerelor raționale nu se disting ca fiind de bază, deoarece, în general, ele nu se mai bazează direct pe proprietățile numerelor întregi, ci pot fi dovedite pe baza proprietăților de bază date sau direct prin definiția unui obiect matematic. . Există o mulțime de astfel de proprietăți suplimentare. Este logic să enumerați doar câteva dintre ele aici.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Numărabilitatea unui set

Numerotarea numerelor raționale Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să dați un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale. Cel mai simplu dintre acești algoritmi arată așa. Se întocmește un tabel nesfârșit de fracții obișnuite, pe fiecare i-a linie din fiecare Pentru a estima numărul de numere raționale, trebuie să găsiți cardinalitatea mulțimii lor. Este ușor de demonstrat că mulțimea numerelor raționale este numărabilă. Pentru a face acest lucru, este suficient să dați un algoritm care enumeră numerele raționale, adică stabilește o bijecție între mulțimile de numere raționale și naturale. j i a-a coloană din care se află fracția. Pentru certitudine, se presupune că rândurile și coloanele acestui tabel sunt numerotate începând de la unu. Celulele din tabel sunt notate cu , unde

- numărul rândului tabelului în care se află celula și

- numărul coloanei.

Tabelul rezultat este parcurs folosind un „șarpe” conform următorului algoritm formal. Aceste reguli sunt căutate de sus în jos și următoarea poziție este selectată pe baza primei potriviri.În procesul unei astfel de parcurgeri, fiecare număr rațional nou este asociat cu un alt număr natural. Adică, fracția 1/1 este atribuită numărului 1, fracția 2/1 numărului 2 etc. Trebuie remarcat că sunt numerotate numai fracțiile ireductibile.

Urmând acest algoritm, putem enumera toate numerele raționale pozitive. Aceasta înseamnă că mulțimea numerelor raționale pozitive este numărabilă. Este ușor să stabiliți o bijecție între mulțimile de numere raționale pozitive și negative prin simpla atribuire fiecărui număr rațional opusul său. Că. mulţimea numerelor raţionale negative este de asemenea numărabilă. Unirea lor este de asemenea numărabilă prin proprietatea seturilor numărabile. Mulțimea numerelor raționale este, de asemenea, numărabilă ca unire a unei mulțimi numărabile cu una finită.

Afirmația despre numărabilitatea mulțimii numerelor raționale poate provoca o oarecare confuzie, deoarece la prima vedere pare că este mult mai extinsă decât mulțimea numerelor naturale. De fapt, nu este așa și există suficiente numere naturale pentru a le enumera pe toate raționale.

Lipsa numerelor raționale

Ipotenuza unui astfel de triunghi nu poate fi exprimată prin niciun număr rațional

Numere raționale de forma 1 / n la mare n pot fi măsurate cantități arbitrar mici. Acest fapt creează impresia înșelătoare că numerele raționale pot fi folosite pentru a măsura orice distanțe geometrice. Este ușor să arăți că acest lucru nu este adevărat.

Note

Literatură

• I. Kushnir. Manual de matematică pentru școlari. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M.: capitolul. ed. fizica si matematica aprins. ed. „Știință”, 1977
• I. L. Hmelnițki. Introducere în teoria sistemelor algebrice

Legături

Fundația Wikimedia.

2010.

Numerele naturale Definiția numerelor naturale este numere întregi numere pozitive

. Numerele naturale sunt folosite pentru a număra obiecte și în multe alte scopuri. Acestea sunt numerele:
Aceasta este o serie naturală de numere.
Este zero un număr natural? Nu, zero nu este un număr natural.
Câte numere naturale există? Există un număr infinit de numere naturale.
Care este cel mai mic număr natural? Unul este cel mai mic număr natural.

Care este cel mai mare număr natural? Este imposibil de indicat, deoarece există un număr infinit de numere naturale.

Suma numerelor naturale este un număr natural. Deci, adunând numerele naturale a și b:

Produsul numerelor naturale este un număr natural. Deci, produsul numerelor naturale a și b:

c este întotdeauna un număr natural.

Coeficientul numerelor naturale nu este întotdeauna un număr natural. Dacă pentru numerele naturale a și b

unde c este un număr natural, aceasta înseamnă că a este divizibil cu b. În acest exemplu, a este dividendul, b este divizorul, c este câtul.

Împărțitorul unui număr natural este un număr natural cu care primul număr este divizibil cu un întreg.

Fiecare număr natural este divizibil cu unul și cu el însuși.

Numerele naturale prime sunt divizibile numai cu unul și cu ele însele. Aici ne referim la împărțit în întregime. Exemplu, numerele 2; 3; 5; 7 este divizibil doar cu unul și cu el însuși. Acestea sunt numere naturale simple.

Unul nu este considerat număr prim.

Numerele care sunt mai mari decât unu și care nu sunt prime se numesc numere compuse. Exemple numere compuse:

Unul nu este considerat un număr compus.

Mulțimea numerelor naturale este unul, numere primeși numere compuse.

Mulțimea numerelor naturale este notă cu litera latină N.

Proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor naturale:

proprietate comutativă a adunării

proprietate asociativă a adunării

(a + b) + c = a + (b + c);

proprietate comutativă a înmulțirii

proprietatea asociativă a înmulțirii

(ab) c = a (bc);

proprietatea distributivă a înmulțirii

A (b + c) = ab + ac;

numere întregi

Numerele întregi sunt numerele naturale, zero și opusele numerelor naturale.

Opusul numerelor naturale sunt numerele întregi negative, de exemplu:

1; -2; -3; -4;...

Mulțimea numerelor întregi este notă cu litera latină Z.

Numere raționale

Numerele raționale sunt numere întregi și fracții.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție periodică. Exemple:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Din exemple, este clar că orice număr întreg este o fracție periodică cu perioada zero.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție m/n, unde m întreg, n număr natural. Să ne imaginăm numărul 3,(6) din exemplul anterior ca o astfel de fracție.

Definiţia numerelor raţionale

Numerele raționale includ:

• Numerele naturale care pot fi reprezentate ca fracție comună. De exemplu, $7=\frac(7)(1)$.
• Numerele întregi, inclusiv zero, care pot fi reprezentate ca o fracție pozitivă sau negativă sau ca zero. De exemplu, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Fracții comune (pozitive sau negative).
• Numere mixte care pot fi reprezentate ca o fracție improprie. De exemplu, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ și $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• O zecimală finită și o fracție periodică infinită care pot fi reprezentate ca o fracție. De exemplu, $-7,73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Nota 1

Rețineți că o fracție zecimală neperiodică infinită nu aparține numerelor raționale, deoarece nu poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită.

Exemplul 1

Numerele naturale $7, 670, 21\456$ sunt raționale.

Numerele întregi $76, –76, 0, –555\666$ sunt raționale.

Fracții comune $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – numere raționale .

Astfel, numerele raționale sunt împărțite în pozitive și negative. Numărul zero este rațional, dar nu este un număr rațional nici pozitiv, nici negativ.

Să formulăm mai multe scurtă definiție numere raționale.

Definiția 3

Raţional sunt numere care pot fi reprezentate ca o fracție zecimală periodică finită sau infinită.

Se pot trage următoarele concluzii:

• numerele și fracțiile întregi pozitive și negative aparțin mulțimii numerelor raționale;
• numerele raționale pot fi reprezentate ca o fracție care are un numărător întreg și un numitor natural și este un număr rațional;
• numerele raționale pot fi reprezentate ca orice fracție zecimală periodică care este un număr rațional.

Cum să determinați dacă un număr este rațional

1. Numărul este specificat ca o expresie numerică care constă numai din numere raționale și semne de operații aritmetice. În acest caz, valoarea expresiei va fi un număr rațional.
2. Rădăcina pătrată a unui număr natural este un număr rațional numai dacă rădăcina conține un număr care este pătratul perfect al unui număr natural. De exemplu, $\sqrt(9)$ și $\sqrt(121)$ sunt numere raționale, deoarece $9=3^2$ și $121=11^2$.
3. Rădăcina $n$a unui număr întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub semnul rădăcinii este puterea $n$a unui număr întreg. De exemplu, $\sqrt(8)$ este un număr rațional, deoarece $8=2^3$.

Pe axa numerelor, numerele raționale sunt dens distribuite pe tot cuprinsul: între fiecare două numere raționale care nu sunt egale între ele, poate fi localizat cel puțin un număr rațional (deci, o mulțime infinită de numere raționale). În același timp, mulțimea numerelor raționale este caracterizată de cardinalitate numărabilă (adică toate elementele mulțimii pot fi numerotate). Grecii antici au demonstrat că există numere care nu pot fi scrise ca fracție. Ei au arătat că nu există un număr rațional al cărui pătrat este egal cu $2$. Apoi numerele raționale s-au dovedit a fi insuficiente pentru a exprima toate mărimile, ceea ce a dus mai târziu la apariția numerelor reale. Mulțimea numerelor raționale, spre deosebire de numerele reale, este zero-dimensională.