Formule de reducere cu pi. Formule de reducere a funcțiilor trigonometrice
Cum să ne amintim formulele pentru reducerea funcțiilor trigonometrice? Este ușor dacă folosești o asociere. Această asociere nu a fost inventată de mine. După cum am menționat deja, o asociere bună ar trebui să „prindă”, adică să evoce emoții vii. Nu pot numi pozitive emoțiile cauzate de această asociere. Dar dă un rezultat - vă permite să vă amintiți formulele de reducere, ceea ce înseamnă că are dreptul de a exista. La urma urmei, dacă nu-ți place, nu trebuie să-l folosești, nu?
Formulele de reducere au forma: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Amintiți-vă că +α dă mișcare în sens invers acelor de ceasornic, - α dă mișcare în sensul acelor de ceasornic.
Pentru a lucra cu formule de reducere, aveți nevoie de două puncte:
1) pune semnul pe care îl are funcția inițială (în manuale se scrie: reductibil. Dar ca să nu ne încurcăm, este mai bine să o numim inițială), dacă considerăm că α este unghiul primului sfert, adică , mic.
2) Diametru orizontal - π±α, 2π±α, 3π±α... - în general, când nu există fracție, numele funcției nu se schimbă. Vertical π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - când există o fracție, numele funcției se schimbă: sinus - în cosinus, cosinus - în sinus, tangentă - în cotangentă și cotangent - a tangentă. 
Acum, de fapt, asociația:
diametru vertical (există o fracție) -
stând beat. Ce se va întâmpla cu el devreme?
sau e prea tarziu? Așa e, va cădea.
Numele funcției se va schimba.
Dacă diametrul este orizontal, bețiul este deja culcat. Probabil că doarme. Nu i se va întâmpla nimic, a acceptat deja poziție orizontală. În consecință, numele funcției nu se schimbă.
Adică sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α), etc. da ±cosα,
și sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.
Știm deja cum.
Cum funcţionează asta? Să ne uităm la exemple.
1) cos(π/2+α)=?
Devenim π/2. Deoarece +α înseamnă că mergem înainte, în sens invers acelor de ceasornic. Ne aflăm în al doilea trimestru, unde cosinusul are semnul „-“. Se schimbă numele funcției („un beat stă în picioare”, ceea ce înseamnă că va cădea). Aşa,
cos(π/2+α)=-sin α.
Să ajungem la 2π. Din moment ce -α - mergem înapoi, adică în sensul acelor de ceasornic. Ne aflăm în trimestrul IV, unde tangenta are semnul „-“. Numele funcției nu se schimbă (diametrul este orizontal, „bețiul este deja culcat”). Astfel, tan(2π-α)=- tanα.
3) ctg²(3π/2-α)=?
Exemplele în care o funcție este ridicată la o putere pară sunt și mai simplu de rezolvat. Gradul par „-” îl elimină, adică trebuie doar să aflați dacă numele funcției se schimbă sau rămâne. Diametrul este vertical (există o fracție, „stă beat”, va cădea), numele funcției se schimbă. Se obține: ctg²(3π/2-α)= tan²α.
Formulele de reducere sunt relații care vă permit să treceți de la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă cu unghiuri `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` la aceleași funcții ale unghiului `\alpha`, care este situat în primul sfert al cercului unitar. Astfel, formulele de reducere ne „conduc” să lucrăm cu unghiuri în intervalul de la 0 la 90 de grade, ceea ce este foarte convenabil.
Toate împreună există 32 de formule de reducere. Ele vor fi, fără îndoială, utile în timpul examenului de stat unificat, examenelor și testelor. Dar să vă avertizăm imediat că nu este nevoie să le memorați! Trebuie să petreceți puțin timp și să înțelegeți algoritmul pentru aplicarea lor, atunci nu vă va fi dificil să obțineți egalitatea necesară la momentul potrivit.
Mai întâi, să notăm toate formulele de reducere:
Pentru unghiul (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) sau (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;`` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`\pi \pm \alpha`) sau (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;`` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pentru unghiul (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) sau (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;`` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`2\pi \pm \alpha`) sau (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;`` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;`` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;`` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Puteți găsi adesea formule de reducere sub forma unui tabel în care unghiurile sunt scrise în radiani:
Pentru ao folosi, trebuie să selectăm rândul cu funcția de care avem nevoie și coloana cu argumentul dorit. De exemplu, pentru a afla folosind un tabel cu ce va fi ` sin(\pi + \alpha)`, este suficient să găsiți răspunsul la intersecția rândului `sin \beta` și a coloanei `\pi + \alpha`. Obținem ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
Și al doilea tabel similar, unde unghiurile sunt scrise în grade:
Regula mnemonică pentru formulele de reducere sau cum să le amintim
După cum am menționat deja, nu este nevoie să memorați toate relațiile de mai sus. Dacă te-ai uitat la ele cu atenție, probabil ai observat câteva modele. Ele ne permit să formulăm o regulă mnemonică (mnemonic - reține), cu ajutorul căreia putem obține cu ușurință orice formulă de reducere.
Să observăm imediat că pentru a aplica această regulă trebuie să fii bun la identificarea (sau reținerea) semnelor funcțiilor trigonometrice în diferite sferturi ale cercului unitar. 
Vaccinul în sine conține 3 etape:
- Argumentul funcției trebuie reprezentat ca `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, iar `\alpha` este în mod necesar un unghi ascuțit (de la 0 la 90 de grade).
- Pentru argumentele `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` functie trigonometrica expresia fiind transformată se schimbă într-o cofuncție, adică invers (sinus la cosinus, tangentă la cotangentă și invers). Pentru argumentele `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` funcția nu se modifică.
- Se determină semnul funcției inițiale. Funcția rezultată din partea dreaptă va avea același semn.
Pentru a vedea cum poate fi aplicată această regulă în practică, să transformăm mai multe expresii:
1. `cos(\pi + \alpha)`.
Funcția nu este inversată. Unghiul `\pi + \alpha` este în al treilea sfert, cosinusul din acest sfert are semnul „-”, deci funcția transformată va avea și semnul „-”.
Răspuns: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Conform regulii mnemonice, funcția va fi inversată. Unghiul `\frac (3\pi)2 - \alpha` este în al treilea sfert, sinusul aici are semnul „-”, deci rezultatul va avea și semnul „-”.
Răspuns: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))`. Să reprezentăm `3\pi` ca `2\pi+\pi`. `2\pi` este perioada funcției.
Important: Funcțiile `cos \alpha` și `sin \alpha` au o perioadă de `2\pi` sau `360^\circ`, valorile lor nu se vor schimba dacă argumentul este mărit sau micșorat cu aceste valori.
Pe baza acestui lucru, expresia noastră poate fi scrisă astfel: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Aplicând regula mnemonică de două ori, obținem: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Răspuns: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Regula calului
Al doilea punct al regulii mnemonice descrise mai sus se mai numește și regula calului a formulelor de reducere. Mă întreb de ce cai?
Deci, avem funcții cu argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, punctele `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sunt cheie, sunt situate pe axele de coordonate. `\pi` și `2\pi` sunt pe axa x orizontală, iar `\frac (\pi)2` și `\frac (3\pi)2` sunt pe axa verticală ordonată
Ne punem întrebarea: „O funcție se schimbă într-o cofuncție?” Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să vă mișcați capul de-a lungul axei pe care se află punctul cheie.
Adică, pentru argumentele cu puncte cheie situate pe axa orizontală, răspundem „nu” dând din cap în lateral. Și pentru colțurile cu puncte cheie situate pe axa verticală, răspundem „da” dând din cap de sus în jos, ca un cal :)
Vă recomandăm să vizionați un tutorial video în care autorul explică în detaliu cum să vă amintiți formulele de reducere fără să le memorați.
Exemple practice de utilizare a formulelor de reducere
Utilizarea formulelor de reducere începe în clasele a 9-a și a 10-a. Multe probleme de utilizare a acestora au fost supuse examenului de stat unificat. Iată câteva dintre problemele în care va trebui să aplicați aceste formule:
- probleme pentru a rezolva un triunghi dreptunghic;
- conversii numerice și alfabetice expresii trigonometrice, calculul valorilor acestora;
- sarcini stereometrice.
Exemplul 1. Calculați folosind formulele de reducere a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Rezolvare: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Exemplul 2. După ce am exprimat cosinus prin sinus folosind formule de reducere, comparați numerele: 1) `sin \frac (9\pi)8` și `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` și `cos \frac (3\pi)10`.
Rezolvare: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Să demonstrăm mai întâi două formule pentru sinusul și cosinusul argumentului `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` și ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Restul sunt derivate din ele. Să luăm un cerc unitar și să punctăm A pe el cu coordonatele (1,0). Lasă după ce te-ai întors la Din definiția tangentei și cotangentei, obținem ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\). pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` și ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, ceea ce demonstrează că formule de reducere pentru tangenta si cotangenta unghiului `\frac (\pi)2 + \alpha`. Pentru a demonstra formule cu argumentul `\frac (\pi)2 - \alpha`, este suficient să-l reprezentăm ca `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` și să urmați aceeași cale ca mai sus. De exemplu, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Unghiurile `\pi + \alpha` și `\pi - \alpha` pot fi reprezentate ca `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` și `\frac (\pi) ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respectiv. Și `\frac (3\pi)2 + \alpha` și `\frac (3\pi)2 - \alpha` ca `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` și `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Ele aparțin secțiunii de trigonometrie a matematicii. Esența lor este de a reduce funcțiile trigonometrice ale unghiurilor la o formă „simplu”. Se pot scrie multe despre importanța cunoașterii lor. Există deja 32 dintre aceste formule! Nu vă alarmați, nu trebuie să le învățați, ca multe alte formule dintr-un curs de matematică. Nu este nevoie să vă umpleți capul cu informații inutile, trebuie să vă amintiți „cheile” sau legile, iar amintirea sau derivarea formulei necesare nu va fi o problemă. Apropo, când scriu în articole „... trebuie să înveți!!!” - asta înseamnă că chiar trebuie învățat. Dacă nu sunteți familiarizat cu formulele de reducere, atunci simplitatea derivării lor vă va surprinde plăcut - există o „lege” cu ajutorul căreia acest lucru se poate face cu ușurință. Și poți scrie oricare dintre cele 32 de formule în 5 secunde. Voi enumera doar câteva dintre problemele care vor apărea la Examenul Unificat de Stat la matematică, unde fără cunoașterea acestor formule există o mare probabilitate de a eșua în rezolvarea lor. De exemplu: – probleme pentru rezolvarea unui triunghi dreptunghic, unde vorbim despre unghiul exterior, și probleme pentru unghiurile interne, unele dintre aceste formule sunt și ele necesare. – sarcini privind calcularea valorilor expresiilor trigonometrice; conversia expresiilor trigonometrice numerice; conversia expresiilor trigonometrice literale. – probleme asupra tangentei și semnificația geometrică a tangentei, se impune o formulă de reducere a tangentei, precum și alte probleme. – probleme stereometrice, în cursul rezolvării este adesea necesar să se determine sinusul sau cosinusul unui unghi care se află în intervalul de la 90 la 180 de grade. Și acestea sunt doar acele puncte care se referă la examenul de stat unificat. Și în cursul de algebră în sine există multe probleme, a căror rezolvare pur și simplu nu se poate face fără cunoașterea formulelor de reducere. Deci, la ce duce acest lucru și cum formulele specificate ne facilitează rezolvarea problemelor? De exemplu, trebuie să determinați sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta oricărui unghi de la 0 la 450 de grade: unghiul alfa variază de la 0 la 90 de grade * * *
Deci, este necesar să înțelegeți „legea” care funcționează aici: 1. Determinați semnul funcției în cadranul corespunzător. Lasă-mă să-ți amintesc: 2. Amintiți-vă următoarele: funcția se schimbă în cofuncție
funcția nu se schimbă în cofuncție
Ce înseamnă conceptul - o funcție se schimbă într-o cofuncție?
Răspuns: sinusul se schimbă în cosinus sau invers, tangentă la cotangentă sau invers.
Asta este! Acum, conform legii prezentate, vom scrie noi înșine câteva formule de reducere: Acest unghi se află în al treilea sfert, cosinusul în al treilea sfert este negativ. Nu schimbăm funcția într-o cofuncție, deoarece avem 180 de grade, ceea ce înseamnă: Unghiul se află în primul sfert, sinusul în primul sfert este pozitiv. Nu schimbăm funcția într-o cofuncție, deoarece avem 360 de grade, ceea ce înseamnă: Iată o altă confirmare suplimentară că sinusurile unghiurilor adiacente sunt egale: Unghiul se află în al doilea sfert, sinusul în al doilea trimestru este pozitiv. Nu schimbăm funcția într-o cofuncție, deoarece avem 180 de grade, ceea ce înseamnă: Lucrați fiecare formulă mental sau în scris și veți fi convins că nu este nimic complicat. ***
În articolul despre soluție, a fost remarcat următorul fapt - sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este egal cu cosinusul altui unghi ascuți din acesta.
unghiul `\alpha` va merge la punctul `A_1(x, y)`, iar după ce se rotește cu unghiul `\frac (\pi)2 + \alpha` la punctul `A_2(-y, x)`. Lăsând perpendicularele din aceste puncte la dreapta OX, vedem că triunghiurile `OA_1H_1` și `OA_2H_2` sunt egale, deoarece ipotenuzele lor și unghiurile adiacente sunt egale. Apoi, pe baza definițiilor sinusului și cosinusului, putem scrie `sin\alpha=y`, `cos\alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Unde putem scrie că ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` și ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, ceea ce demonstrează reducerea formule pentru unghiuri sinus și cosinus `\frac (\pi)2 + \alpha`.
