Vizualizați exemple de ecuații logaritmice de soluții online. Ecuații logaritmice omogene

Ecuație logaritmică este o ecuație în care necunoscuta (x) și expresiile cu aceasta se află sub semn funcţie logaritmică. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice presupune că sunteți deja familiarizat cu și .
Cum să decizi ecuații logaritmice?

Cea mai simplă ecuație este log a x = b, unde a și b sunt numere, x este o necunoscută.
Rezolvarea unei ecuații logaritmice este x = a b cu condiția: a > 0, a 1.

Trebuie remarcat faptul că, dacă x este undeva în afara logaritmului, de exemplu log 2 x = x-2, atunci o astfel de ecuație este deja numită mixtă și este necesară o abordare specială pentru a o rezolva.

Cazul ideal este atunci când dai peste o ecuație în care doar numerele sunt sub semnul logaritmului, de exemplu x+2 = log 2 2. Aici este suficient să cunoști proprietățile logaritmilor pentru a o rezolva. Dar un astfel de noroc nu se întâmplă des, așa că pregătește-te pentru lucruri mai dificile.

Dar mai întâi, să începem cu ecuații simple. Pentru a le rezolva, este recomandabil să aveți o înțelegere foarte generală a logaritmului.

Rezolvarea ecuațiilor logaritmice simple

Acestea includ ecuații de tipul log 2 x = log 2 16. Ochiul liber poate vedea că omițând semnul logaritmului obținem x = 16.

Pentru a rezolva o ecuație logaritmică mai complexă, aceasta se reduce de obicei la rezolvarea obișnuită ecuație algebrică sau la soluția celei mai simple ecuații logaritmice log a x = b. În cele mai simple ecuații acest lucru se întâmplă într-o singură mișcare, motiv pentru care sunt numite cele mai simple.

Metoda de mai sus de eliminare a logaritmilor este una dintre principalele modalități de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților logaritmice. În matematică, această operație se numește potențare. Sunt anumite reguli sau restricții pentru acest tip de operațiuni:

• logaritmii au aceleași baze numerice
• Logaritmii din ambele părți ale ecuației sunt liberi, adică. fara nici un coeficient si altele diverse feluri expresii.

Să presupunem că în ecuație log 2 x = 2log 2 (1 - x) potențarea nu este aplicabilă - coeficientul 2 din dreapta nu o permite. ÎN exemplul următor log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) nici una dintre restricții nu este îndeplinită - există doi logaritmi în stânga. Dacă ar fi doar unul, ar fi cu totul altă chestiune!

În general, puteți elimina logaritmii numai dacă ecuația are forma:

log a (...) = log a (...)

Absolut orice expresii pot fi plasate între paranteze, acest lucru nu are absolut niciun efect asupra operației de potențare. Și după eliminarea logaritmilor, va rămâne o ecuație mai simplă - liniară, pătratică, exponențială etc., pe care, sper, deja știi să o rezolvi.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Aplicăm potențarea, obținem:

log 3 (2x-1) = 2

Pe baza definiției unui logaritm, și anume, că un logaritm este un număr la care trebuie ridicată baza pentru a obține o expresie care se află sub semnul logaritmului, i.e. (4x-1), obținem:

Din nou am primit un răspuns frumos. Aici am făcut fără eliminarea logaritmilor, dar potențarea este aplicabilă și aici, pentru că un logaritm se poate face din orice număr, și exact cel de care avem nevoie. Această metodă este foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și în special a inegalităților.

Să rezolvăm ecuația noastră logaritmică log 3 (2x-1) = 2 folosind potențarea:

Să ne imaginăm numărul 2 ca un logaritm, de exemplu, acest log 3 9, deoarece 3 2 =9.

Apoi log 3 (2x-1) = log 3 9 și din nou obținem aceeași ecuație 2x-1 = 9. Sper că totul este clar.

Așa că ne-am uitat la cum să rezolvăm cele mai simple ecuații logaritmice, care sunt de fapt foarte importante, deoarece rezolvarea ecuațiilor logaritmice, chiar și cele mai groaznice și întortocheate, până la urmă întotdeauna se rezumă la rezolvarea celor mai simple ecuații.

În tot ceea ce am făcut mai sus, am ratat unul foarte mult punct important, care va avea ulterior rol decisiv. Faptul este că soluția oricărei ecuații logaritmice, chiar și cea mai elementară, constă din două părți egale. Prima este soluția ecuației în sine, a doua lucrează cu intervalul de valori admisibile (APV). Aceasta este exact prima parte pe care am stăpânit-o. În exemplele de mai sus, ODZ nu afectează în niciun fel răspunsul, așa că nu l-am luat în considerare.

Să luăm un alt exemplu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

În exterior, această ecuație nu este diferită de una elementară, care poate fi rezolvată cu mare succes. Dar acest lucru nu este în întregime adevărat. Nu, bineînțeles că o vom rezolva, dar cel mai probabil incorect, deoarece conține o mică ambuscadă în care cad imediat în ea atât elevii de clasa C, cât și studenții excelenți. Să aruncăm o privire mai atentă.

Să presupunem că trebuie să găsiți rădăcina ecuației sau suma rădăcinilor, dacă există mai multe dintre ele:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Folosim potențarea, este acceptabilă aici. Ca rezultat, obținem o ecuație pătratică obișnuită.

Găsirea rădăcinilor ecuației:

S-au dovedit două rădăcini.

Răspuns: 3 și -1

La prima vedere totul este corect. Dar haideți să verificăm rezultatul și să-l înlocuim în ecuația originală.

Să începem cu x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Verificarea a avut succes, acum coada este x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Bine, oprește-te! La exterior totul este perfect. Un lucru - nu există logaritmi din numerele negative! Aceasta înseamnă că rădăcina x = -1 nu este potrivită pentru rezolvarea ecuației noastre. Și, prin urmare, răspunsul corect va fi 3, nu 2, așa cum am scris.

Aici și-a jucat ODZ rolul fatal, de care uitasem.

Permiteți-mi să vă reamintesc că intervalul de valori acceptabile include acele valori ale lui x care sunt permise sau au sens pentru exemplul original.

Fără ODZ, orice soluție, chiar și una absolut corectă, a oricărei ecuații se transformă într-o loterie - 50/50.

Cum am putea fi prinși rezolvând un exemplu aparent elementar? Dar tocmai în momentul potențarii. Logaritmii au dispărut și odată cu ei toate restricțiile.

Ce să faci în acest caz? Refuzați să eliminați logaritmii? Și refuză complet să rezolvi această ecuație?

Nu, noi, ca niște eroi adevărați dintr-un cântec celebru, vom face un ocol!

Înainte de a începe să rezolvăm orice ecuație logaritmică, vom nota ODZ. Dar după aceea, poți face orice dorește inima ta cu ecuația noastră. După ce am primit răspunsul, pur și simplu aruncăm acele rădăcini care nu sunt incluse în ODZ-ul nostru și notăm versiunea finală.

Acum să decidem cum să înregistrăm ODZ. Pentru a face acest lucru, examinăm cu atenție ecuația originală și căutăm locuri suspecte în ea, cum ar fi împărțirea cu x, chiar rădăcină etc. Până nu rezolvăm ecuația, nu știm cu ce este egal x, dar știm sigur că există x care, atunci când sunt înlocuiți, vor da împărțire cu 0 sau extracție. rădăcină pătrată din număr negativ, evident că nu sunt potrivite ca răspuns. Prin urmare, astfel de x sunt inacceptabile, în timp ce restul vor constitui ODZ.

Să folosim din nou aceeași ecuație:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

După cum puteți vedea, nu există diviziune cu 0, nu există nici rădăcini pătrate, dar există expresii cu x în corpul logaritmului. Să ne amintim imediat că expresia din interiorul logaritmului trebuie să fie întotdeauna >0. Scriem această condiție sub forma ODZ:

Aceste. Nu ne-am hotărât nimic încă, dar deja am notat-o condiție prealabilă pentru întreaga expresie sublogaritmică. Acolada înseamnă că aceste condiții trebuie să fie adevărate simultan.

ODZ este notat, dar este și necesar să rezolvăm sistemul de inegalități rezultat, ceea ce vom face. Obținem răspunsul x > v3. Acum știm sigur care x nu ne va potrivi. Și apoi începem să rezolvăm ecuația logaritmică în sine, ceea ce am făcut mai sus.

După ce am primit răspunsurile x 1 = 3 și x 2 = -1, este ușor de observat că doar x1 = 3 ni se potrivește și îl notăm ca răspuns final.

Pentru viitor, este foarte important să rețineți următoarele: rezolvăm orice ecuație logaritmică în 2 etape. Primul este de a rezolva ecuația în sine, al doilea este de a rezolva condiția ODZ. Ambele etape se desfășoară independent una de cealaltă și sunt comparate numai la scrierea răspunsului, adică. aruncați tot ce nu este necesar și scrieți răspunsul corect.

Pentru a consolida materialul, vă recomandăm insistent să urmăriți videoclipul:

Videoclipul prezintă alte exemple de rezolvare a jurnalului. ecuații și elaborarea metodei intervalului în practică.

La aceasta intrebare, cum se rezolvă ecuații logaritmice Asta e tot deocamdată. Dacă ceva se decide prin jurnal. ecuațiile rămân neclare sau de neînțeles, scrieți-vă întrebările în comentarii.

Notă: Academia de Educație Socială (ASE) este pregătită să accepte noi studenți.

Cu toții suntem familiarizați cu ecuațiile clasele primare. Acolo am învățat și să rezolvăm cele mai simple exemple și trebuie să recunoaștem că își găsesc aplicația chiar și în matematica superioara. Totul este simplu cu ecuații, inclusiv ecuații pătratice. Dacă întâmpinați probleme cu acest subiect, vă recomandăm să îl revizuiți.

Probabil că ați trecut deja și prin logaritmi. Cu toate acestea, considerăm că este important să spunem ce este pentru cei care încă nu știu. Un logaritm este echivalat cu puterea la care trebuie ridicată baza pentru a obține numărul din dreapta semnului logaritmului. Să dăm un exemplu pe baza căruia totul îți va deveni clar.

Dacă ridicați 3 la a patra putere, obțineți 81. Acum înlocuiți numerele prin analogie și veți înțelege în sfârșit cum se rezolvă logaritmii. Acum nu mai rămâne decât să îmbinăm cele două concepte discutate. Inițial, situația pare extrem de complicată, dar la o examinare mai atentă greutatea cade la loc. Suntem siguri că după acest scurt articol nu veți avea probleme în această parte a examenului de stat unificat.

Astăzi există multe modalități de a rezolva astfel de structuri. Vă vom spune despre cele mai simple, mai eficiente și mai aplicabile în cazul sarcinilor de examinare unificată de stat. Rezolvarea ecuațiilor logaritmice trebuie să înceapă de la bun început. exemplu simplu. Cele mai simple ecuații logaritmice constau dintr-o funcție și o variabilă în ea.

Este important de reținut că x este în interiorul argumentului. A și b trebuie să fie numere. În acest caz, puteți exprima pur și simplu funcția în termeni de număr la o putere. Arata cam asa.

Desigur, rezolvarea unei ecuații logaritmice folosind această metodă vă va conduce la răspunsul corect. Problema pentru marea majoritate a elevilor în acest caz este că ei nu înțeleg de la ce vine și de unde vine. Ca urmare, trebuie să suporti greșeli și să nu obții punctele dorite. Cea mai ofensivă greșeală va fi dacă amesteci literele. Pentru a rezolva ecuația în acest fel, trebuie să memorați această formulă școlară standard, deoarece este greu de înțeles.

Pentru a fi mai ușor, puteți recurge la o altă metodă - forma canonică. Ideea este extrem de simplă. Întoarceți-vă atenția asupra problemei. Amintiți-vă că litera a este un număr, nu o funcție sau variabilă. A nu este egal cu unu și mai mare decât zero. Nu există restricții cu privire la b. Acum, dintre toate formulele, să ne amintim una. B poate fi exprimat după cum urmează.

De aici rezultă că toate ecuațiile originale cu logaritmi pot fi reprezentate sub forma:

Acum putem renunța la logaritmi. Rezultatul este un design simplu, pe care l-am văzut deja mai devreme.

Comoditatea acestei formule constă în faptul că poate fi folosită cel mai mult cazuri diferite, și nu doar pentru cele mai simple modele.

Nu vă faceți griji pentru OOF!

Mulți matematicieni experimentați vor observa că nu am acordat atenție domeniului definiției. Regula se rezumă la faptul că F(x) este neapărat mai mare decât 0. Nu, nu am ratat acest punct. Acum vorbim despre un alt avantaj serios al formei canonice.

Nu vor fi rădăcini suplimentare aici. Dacă o variabilă va apărea doar într-un singur loc, atunci nu este necesar un domeniu. Se face automat. Pentru a verifica această judecată, încercați să rezolvați câteva exemple simple.

Cum se rezolvă ecuații logaritmice cu baze diferite

Acestea sunt deja ecuații logaritmice complexe, iar abordarea rezolvării lor trebuie să fie specială. Aici este rareori posibil să ne limităm la forma canonică notorie. Să începem povestea noastră detaliată. Avem următoarea construcție.

Atenție la fracție. Conține logaritmul. Dacă vedeți acest lucru într-o sarcină, merită să vă amintiți un truc interesant.

Ce înseamnă? Fiecare logaritm poate fi reprezentat ca câtul a doi logaritmi cu o bază convenabilă. Și această formulă are un caz special care este aplicabil cu acest exemplu (ne înțelegem dacă c=b).

Aceasta este exact fracția pe care o vedem în exemplul nostru. Astfel.

În esență, am întors fracția și am obținut o expresie mai convenabilă. Amintiți-vă de acest algoritm!

Acum avem nevoie ca ecuația logaritmică să nu conțină diferite motive. Să reprezentăm baza ca o fracție.

În matematică există o regulă pe baza căreia poți obține un grad dintr-o bază. Următoarele rezultate de construcție.

S-ar părea că ce ne împiedică să ne transformăm acum expresia în forma canonică și să o rezolvăm pur și simplu? Nu este atât de simplu. Nu ar trebui să existe fracții înainte de logaritm. Să reparăm această situație! Fracțiile pot fi folosite ca grade.

Respectiv.

Dacă bazele sunt aceleași, putem elimina logaritmii și echivalăm expresiile în sine. Astfel situația va deveni mult mai simplă decât era. Ceea ce va rămâne este o ecuație elementară pe care fiecare dintre noi a știut să o rezolve încă din clasa a VIII-a sau chiar a VII-a. Puteți face singuri calculele.

Am obținut singura rădăcină adevărată a acestei ecuații logaritmice. Exemplele de rezolvare a unei ecuații logaritmice sunt destul de simple, nu-i așa? Acum veți putea face față în mod independent chiar și celor mai complexe sarcini pentru pregătirea și promovarea examenului de stat unificat.

Care este rezultatul?

În cazul oricăror ecuații logaritmice, pornim de la unul foarte regula importanta. Este necesar să se acționeze în așa fel încât să se aducă expresia la maximum vedere simplă. În acest caz, veți avea șanse mai mari nu numai să rezolvați sarcina corect, ci și să o faceți în cel mai simplu și logic mod posibil. Exact așa lucrează întotdeauna matematicienii.

Vă sfătuim insistent să nu căutați drumuri dificile, mai ales în acest caz. Ține minte câteva reguli simple, care vă va permite să transformați orice expresie. De exemplu, reduceți doi sau trei logaritmi la aceeași bază sau obțineți o putere din bază și câștigați pe aceasta.

De asemenea, merită să ne amintim că rezolvarea ecuațiilor logaritmice necesită o practică constantă. Treptat vei trece la structuri din ce în ce mai complexe, iar asta te va conduce la rezolvarea cu încredere a tuturor variantelor de probleme la Examenul Unificat de Stat. Pregătiți-vă din timp pentru examene și mult succes!

Ecuații logaritmice. De la simplu la complex.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Ce este o ecuație logaritmică?

Aceasta este o ecuație cu logaritmi. Sunt surprins, nu?) Apoi voi clarifica. Aceasta este o ecuație în care se găsesc necunoscutele (x-urile) și expresiile cu acestea în interiorul logaritmilor.Și numai acolo! Acest lucru este important.

Iată câteva exemple ecuații logaritmice:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Ei bine, înțelegi... )

Fiţi atenți! Sunt localizate cele mai diverse expresii cu X exclusiv în cadrul logaritmilor. Dacă, brusc, un X apare undeva în ecuație exterior, De exemplu:

log 2 x = 3+x,

aceasta va fi o ecuație tip mixt. Astfel de ecuații nu au reguli clare pentru rezolvarea lor. Nu le vom lua în considerare deocamdată. Apropo, există ecuații în care sunt în interiorul logaritmilor doar numere. De exemplu:

Ce pot spune? Ai noroc dacă dai peste asta! Logaritmul cu numere este oarecare număr. Asta e tot. Este suficient să cunoaștem proprietățile logaritmilor pentru a rezolva o astfel de ecuație. Cunoașterea unor reguli speciale, tehnici adaptate special pentru rezolvare ecuații logaritmice, nu este necesar aici.

Aşa, ce este o ecuație logaritmică- mi-am dat seama.

Cum se rezolvă ecuațiile logaritmice?

Soluţie ecuații logaritmice- de fapt treaba nu este foarte simplă. Deci, secțiunea noastră este un patru... Este necesară o cantitate decentă de cunoștințe pe tot felul de subiecte conexe. În plus, există o caracteristică specială în aceste ecuații. Și această caracteristică este atât de importantă încât poate fi numită în siguranță problema principală în rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Vom trata această problemă în detaliu în lecția următoare.

Deocamdată, nu-ți face griji. Vom merge pe drumul cel bun de la simplu la complex. Pe exemple concrete. Principalul lucru este să vă aprofundați în lucruri simple și să nu fi lene să urmați linkurile, le-am pus acolo cu un motiv... Și totul va funcționa pentru dvs. Neapărat.

Să începem cu cele mai elementare, mai simple ecuații. Pentru a le rezolva, este recomandabil să aveți o idee despre logaritm, dar nimic mai mult. Doar habar nu logaritm, ia o decizie logaritmică ecuații – cumva chiar incomode... Foarte îndrăznețe, aș spune).

Cele mai simple ecuații logaritmice.

Acestea sunt ecuații de forma:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Procesul de rezolvare orice ecuație logaritmică consta in trecerea de la o ecuatie cu logaritmi la o ecuatie fara acestia. În cele mai simple ecuații, această tranziție se realizează într-un singur pas. De aceea sunt cele mai simple.)

Și astfel de ecuații logaritmice sunt surprinzător de ușor de rezolvat. Vezi singur.

Să rezolvăm primul exemplu:

log 3 x = log 3 9

Pentru a rezolva acest exemplu, nu trebuie să știți aproape nimic, da... Pur intuiție!) De ce avem nevoie în special nu iti place acest exemplu? Ce-ce... nu-mi plac logaritmii! Corect. Deci hai să scăpăm de ei. Privim cu atentie exemplul, si in noi apare o dorinta fireasca... De-a dreptul irezistibil! Luați și aruncați logaritmii cu totul. Și ce e bine este că Can do! Matematica permite. Logaritmii dispar raspunsul este:

Grozav, nu? Acest lucru se poate (și ar trebui) să se facă întotdeauna. Eliminarea logaritmilor în acest mod este una dintre principalele modalități de a rezolva ecuațiile și inegalitățile logaritmice. În matematică această operație se numește potențare. Desigur, există reguli pentru o astfel de lichidare, dar sunt puține. Amintiți-vă:

Puteți elimina logaritmii fără nicio teamă dacă au:

a) aceleaşi baze numerice

c) logaritmii de la stânga la dreapta sunt puri (fără coeficienți) și sunt într-o izolare splendidă.

Permiteți-mi să clarific ultimul punct. În ecuație, să spunem

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

Logaritmii nu pot fi eliminati. Cei doi din dreapta nu-i permit. Coeficientul, știi... În exemplu

log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)

De asemenea, este imposibil să potențați ecuația. Nu există un logaritm singur pe partea stângă. Sunt doi dintre ei.

Pe scurt, puteți elimina logaritmii dacă ecuația arată așa și doar așa:

log a (.....) = log a (.....)

În paranteze, acolo unde există o elipsă, poate exista orice expresii. Simplu, super complex, de tot felul. Tot ceea ce. Important este că după eliminarea logaritmilor rămânem ecuație mai simplă. Se presupune, desigur, că știți deja cum să rezolvați ecuații liniare, pătratice, fracționale, exponențiale și alte ecuații fără logaritmi.)

Acum puteți rezolva cu ușurință al doilea exemplu:

log 7 (2x-3) = log 7 x

De fapt, este hotărât în ​​minte. Potentiam, obtinem:

Ei bine, este foarte dificil?) După cum puteți vedea, logaritmică o parte a soluției ecuației este doar in eliminarea logaritmilor...Și apoi vine soluția ecuației rămase fără ele. O chestiune banala.

Să rezolvăm al treilea exemplu:

log 7 (50x-1) = 2

Vedem că există un logaritm în stânga:

Să ne amintim că acest logaritm este un număr la care baza trebuie ridicată (adică șapte) pentru a obține o expresie sublogaritmică, i.e. (50x-1).

Dar acest număr este doi! Conform Eq. Aşa:

Asta e practic tot. Logaritm a dispărut, Ceea ce rămâne este o ecuație inofensivă:

Am rezolvat această ecuație logaritmică numai pe baza semnificației logaritmului. Mai este mai ușor să eliminați logaritmii?) Sunt de acord. Apropo, dacă faci un logaritm din doi, poți rezolva acest exemplu prin eliminare. Orice număr poate fi transformat într-un logaritm. Mai mult, felul în care avem nevoie. O tehnică foarte utilă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice și (mai ales!) a inegalităților.

Nu știi cum să faci un logaritm dintr-un număr!? E bine. Secțiunea 555 descrie această tehnică în detaliu. Îl poți stăpâni și îl poți folosi la maximum! Reduce foarte mult numărul de erori.

A patra ecuație este rezolvată într-un mod complet similar (prin definiție):

Asta este.

Să rezumam această lecție. Am analizat soluția celor mai simple ecuații logaritmice folosind exemple. Acest lucru este foarte important. Și nu numai pentru că astfel de ecuații apar în teste și examene. Cert este că până și cele mai rele și mai complicate ecuații se reduc neapărat la cele mai simple!

De fapt, cele mai simple ecuații sunt partea finală a soluției orice ecuații. Și această parte finală trebuie înțeleasă strict! Și încă un lucru. Asigurați-vă că citiți această pagină până la sfârșit. E o surpriză acolo...)

Acum decidem singuri. Să ne îmbunătățim, ca să spunem așa...)

Găsiți rădăcina (sau suma rădăcinilor, dacă sunt mai multe) ecuațiilor:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Răspunsuri (în dezordine, desigur): 42; 12; 9; 25; 7; 1,5; 2; 16.

Ce, nu totul merge? Se întâmplă. Nu vă faceți griji! Secțiunea 555 explică soluția pentru toate aceste exemple într-o manieră clară și detaliată. Cu siguranță o să-ți dai seama acolo. Veți învăța și tehnici practice utile.

Totul a mers!? Toate exemplele de „unul rămas”?) Felicitări!

Este timpul să-ți dezvălui adevărul amar. Rezolvarea cu succes a acestor exemple nu garantează succesul în rezolvarea tuturor celorlalte ecuații logaritmice. Chiar și cele mai simple ca acestea. Vai.

Cert este că soluția oricărei ecuații logaritmice (chiar și cea mai elementară!) constă în două părți egale. Rezolvarea ecuației și lucrul cu ODZ. Am stăpânit o parte - rezolvarea ecuației în sine. Nu este atât de greu corect?

Pentru această lecție am selectat special exemple în care DL nu afectează în niciun fel răspunsul. Dar nu toți sunt la fel de amabili ca mine, nu?...)

Prin urmare, este imperativ să stăpânești cealaltă parte. ODZ. Aceasta este principala problemă în rezolvarea ecuațiilor logaritmice. Și nu pentru că ar fi dificil - această parte este chiar mai ușoară decât prima. Dar pentru că oamenii pur și simplu uită de ODZ. Sau ei nu știu. Sau ambele). Și cad din senin...

În următoarea lecție ne vom ocupa de această problemă. Atunci poți decide cu încredere orice ecuații logaritmice simple și abordează sarcini destul de solide.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Să luăm în considerare câteva tipuri de ecuații logaritmice, care nu sunt atât de des discutate în lecțiile de matematică de la școală, dar sunt utilizate pe scară largă în pregătirea sarcinilor competitive, inclusiv pentru examenul de stat unificat.

1. Ecuații rezolvate prin metoda logaritmului

La rezolvarea ecuațiilor care conțin o variabilă atât în ​​bază, cât și în exponent, se folosește metoda logaritmului. Dacă, în același timp, exponentul conține un logaritm, atunci ambele părți ale ecuației trebuie să fie logaritmate la baza acestui logaritm.

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația: x log 2 x+2 = 8.

Soluţie.

Să luăm logaritmul părților stânga și dreaptă ale ecuației la baza 2. Obținem

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Fie log 2 x = t.

Atunci (t + 2)t = 3.

t 2 + 2t – 3 = 0.

D = 16. t1 = 1; t2 = -3.

Deci log 2 x = 1 și x 1 = 2 sau log 2 x = -3 și x 2 = 1/8

Raspuns: 1/8; 2.

2. Ecuații logaritmice omogene.

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

Soluţie.

Domeniul ecuației

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

log 3 (x + 5) = 0 la x = -4. Prin verificare determinăm că valoare dată x nu este rădăcina ecuației inițiale. Prin urmare, putem împărți ambele părți ale ecuației la log 2 3 (x + 5).

Obținem log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.

Fie log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Atunci t 2 – 3 t + 2 = 0. Rădăcinile acestei ecuații sunt 1; 2. Revenind la variabila inițială, obținem o mulțime de două ecuații

Dar ținând cont de existența logaritmului, trebuie să luăm în considerare numai valorile (0; 9). Aceasta înseamnă că expresia din partea stângă ia cea mai mare valoare 2 pentru x = 1. Să considerăm acum funcția y = 2 x-1 + 2 1-x. Dacă luăm t = 2 x -1, atunci va lua forma y = t + 1/t, unde t > 0. În astfel de condiții, are un singur punct critic t = 1. Acesta este punctul minim. Y vin = 2. Și se realizează la x = 1.

Acum este evident că graficele funcțiilor luate în considerare se pot intersecta o singură dată la punctul (1; 2). Rezultă că x = 1 este singura rădăcină a ecuației care se rezolvă.

Răspuns: x = 1.

Exemplul 5. Rezolvați ecuația log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x

Soluţie.

Să decidem ecuația dată raportat la log 2 x. Fie log 2 x = t. Atunci t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.

D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t1 = -2; t 2 = 3 – x.

Obținem ecuația log 2 x = -2 sau log 2 x = 3 – x.

Rădăcina primei ecuații este x 1 = 1/4.

Vom găsi rădăcina ecuației log 2 x = 3 – x prin selecție. Acesta este numărul 2. Această rădăcină este unică, deoarece funcția y = log 2 x este în creștere pe întregul domeniu de definiție, iar funcția y = 3 – x este în scădere.

Este ușor de verificat dacă ambele numere sunt rădăcini ale ecuației

Raspuns:1/4; 2.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Menținerea confidențialității dvs. este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să examinați practicile noastre de confidențialitate și să ne comunicați dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau legătura cu el.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Colectat de noi Informații personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și comunicări importante.
• De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, la un concurs sau la o promoție similară, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea informațiilor către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Daca este necesar, in conditiile legii, procedura judiciara, în proceduri judiciare și/sau pe baza unor solicitări publice sau solicitări din partea agențiilor guvernamentale din Federația Rusă - de a vă dezvălui informațiile personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de importanță publică.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către terțul succesor aplicabil.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Respectarea vieții private la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri standarde de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.