Formule trigonometrice și denumirea lor. Identități trigonometrice de bază

Identități trigonometrice- acestea sunt egalități care stabilesc o relație între sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi, ceea ce vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția ca oricare alta să fie cunoscută.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și pătratul cosinusului unui unghi este egală cu unu, ceea ce face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când cosinusul lui este cunoscut și invers. .

La conversie expresii trigonometrice Este foarte des folosită această identitate, ceea ce permite înlocuirea cu unul a pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi și, de asemenea, efectuarea operației de înlocuire în ordine inversă.

Găsirea tangentei și cotangentei folosind sinus și cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți la el, atunci prin definiție ordonata y este un sinus, iar abscisa x este un cosinus. Atunci tangenta va fi egală cu raportul \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), și raportul \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- va fi o cotangentă.

Să adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \alpha la care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens, identitățile se vor menține, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

De exemplu: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) este valabil pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pentru un unghi \alpha altul decât \pi z, z este un număr întreg.

Relația dintre tangentă și cotangentă

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Această identitate este valabilă numai pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2) z. În caz contrar, nici cotangenta, fie tangenta nu vor fi determinate.

Pe baza punctelor de mai sus, obținem asta tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Rezultă că tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Astfel, tangenta și cotangenta aceluiași unghi la care au sens sunt numere reciproc inverse.

Relații dintre tangentă și cosinus, cotangentă și sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- suma pătratului tangentei unghiului \alpha și 1 este egală cu pătratul invers al cosinusului acestui unghi. Această identitate este valabilă pentru toate \alpha, altele decât \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- suma lui 1 și pătratul cotangentei unghiului \alpha este egală cu pătratul invers al sinusului unghiului dat. Această identitate este valabilă pentru orice \alpha diferit de \pi z.

Exemple cu soluții la probleme folosind identități trigonometrice

Exemplul 1

Găsiți \sin \alpha și tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12Şi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Arată soluția

Soluţie

Funcțiile \sin \alpha și \cos \alpha sunt legate prin formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Înlocuind în această formulă \cos \alpha = -\frac12, obținem:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Această ecuație are 2 soluții:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru sinusul este pozitiv, deci \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Pentru a găsi bronz \alpha, folosim formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemplul 2

Găsiți \cos \alpha și ctg \alpha dacă și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Arată soluția

Soluţie

Înlocuind în formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 număr dat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), primim \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Această ecuație are două soluții \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru cosinusul este negativ, deci \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Pentru a găsi ctg \alpha , folosim formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Cunoaștem valorile corespunzătoare.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Trigonometria, ca știință, își are originea în Orientul Antic. Primele rapoarte trigonometrice au fost obținute de astronomi pentru a crea un calendar precis și o orientare a stelelor. Aceste calcule se refereau la trigonometria sferică, în timp ce în curs şcolar studiază raporturile laturilor și unghiurilor unui triunghi plan.

Trigonometria este o ramură a matematicii care se ocupă de proprietățile funcții trigonometriceși relația dintre laturile și unghiurile triunghiurilor.

În perioada de glorie a culturii și științei din mileniul I d.Hr., cunoștințele s-au răspândit din Orientul Antic până în Grecia. Dar principalele descoperiri ale trigonometriei sunt meritul oamenilor din Califatul Arab. În special, omul de știință turkmen al-Marazwi a introdus funcții precum tangenta și cotangenta și a compilat primele tabele de valori pentru sinusuri, tangente și cotangente. Conceptele de sinus și cosinus au fost introduse de oamenii de știință indieni. Trigonometria a primit multă atenție în lucrările unor figuri atât de mari ale antichității precum Euclid, Arhimede și Eratostene.

Mărimi de bază ale trigonometriei

Funcțiile trigonometrice de bază ale unui argument numeric sunt sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Fiecare dintre ele are propriul grafic: sinus, cosinus, tangent și cotangent.

Formulele pentru calcularea valorilor acestor mărimi se bazează pe teorema lui Pitagora. Este mai bine cunoscut de școlari în formularea: „Pantalonii pitagoreici sunt egali în toate direcțiile”, deoarece dovada este dată folosind exemplul unui triunghi dreptunghic isoscel.

Sinus, cosinus și alte relații stabilesc relația dintre unghiurile ascuțite și laturile oricărui triunghi dreptunghic. Să prezentăm formule pentru calcularea acestor mărimi pentru unghiul A și să urmărim relațiile dintre funcțiile trigonometrice:

După cum puteți vedea, tg și ctg sunt funcții inverse. Dacă ne imaginăm catetul a ca produsul dintre sin A și ipotenuza c și catetul b ca cos A * c, obținem următoarele formule pentru tangentă și cotangentă:

Cercul trigonometric

Grafic, relația dintre cantitățile menționate poate fi reprezentată astfel:

Circumferința, în în acest caz,, reprezintă toate valorile posibile ale unghiului α - de la 0° la 360°. După cum se poate observa din figură, fiecare funcție ia un negativ sau valoare pozitivă in functie de marimea unghiului. De exemplu, sin α va avea semnul „+” dacă α aparține primului și al doilea sferturi de cerc, adică se află în intervalul de la 0° la 180°. Pentru α de la 180° la 360° (sferturile III și IV), sin α poate fi doar o valoare negativă.

Să încercăm să construim tabele trigonometrice pentru unghiuri specifice și aflați valoarea cantităților.

Valorile lui α egale cu 30°, 45°, 60°, 90°, 180° și așa mai departe sunt numite cazuri speciale. Valorile funcțiilor trigonometrice pentru acestea sunt calculate și prezentate sub formă de tabele speciale.

Aceste unghiuri nu au fost alese la întâmplare. Denumirea π din tabele este pentru radiani. Rad este unghiul la care lungimea arcului de cerc corespunde razei acestuia. Această valoare a fost introdusă pentru a stabili o dependență universală la calcularea în radiani, lungimea reală a razei în cm nu contează.

Unghiurile din tabele pentru funcțiile trigonometrice corespund valorilor radianilor:

Deci, nu este greu de ghicit că 2π este un cerc complet sau 360°.

Proprietățile funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus

Pentru a lua în considerare și a compara proprietățile de bază ale sinusului și cosinusului, tangentei și cotangentei, este necesar să le trasăm funcțiile. Acest lucru se poate face sub forma unei curbe situate într-un sistem de coordonate bidimensional.

Luați în considerare tabelul comparativ de proprietăți pentru sinus și cosinus:

Unda sinusoidala	Cosinus
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, pentru x = πk, unde k ϵ Z	cos x = 0, pentru x = π/2 + πk, unde k ϵ Z
sin x = 1, pentru x = π/2 + 2πk, unde k ϵ Z	cos x = 1, la x = 2πk, unde k ϵ Z
sin x = - 1, la x = 3π/2 + 2πk, unde k ϵ Z	cos x = - 1, pentru x = π + 2πk, unde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, adică funcția este impară	cos (-x) = cos x, adică funcția este pară
	funcția este periodică, cea mai mică perioadă este 2π
sin x › 0, cu x aparținând trimestrului 1 și 2 sau de la 0° la 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, cu x aparținând sferturilor I și IV sau de la 270° la 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, cu x aparținând celui de-al treilea și al patrulea sferturi sau de la 180° la 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, cu x aparținând trimestrului 2 și 3 sau de la 90° la 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
crește în intervalul [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	crește pe intervalul [-π + 2πk, 2πk]
scade pe intervale [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	scade pe intervale
derivată (sin x)’ = cos x	derivată (cos x)’ = - sin x

Determinarea dacă o funcție este pară sau nu este foarte simplă. Este suficient să vă imaginați un cerc trigonometric cu semnele cantităților trigonometrice și să „pliați” mental graficul în raport cu axa OX. Dacă semnele coincid, funcția este pară, în caz contrar, este impară.

Introducerea radianilor și listarea proprietăților de bază ale undelor sinus și cosinus ne permit să prezentăm următorul model:

Este foarte ușor să verifici dacă formula este corectă. De exemplu, pentru x = π/2, sinusul este 1, la fel și cosinusul lui x = 0. Verificarea se poate face prin consultarea tabelelor sau prin trasarea curbelor funcției pentru valori date.

Proprietățile tangentsoidelor și cotangentsoidelor

Graficele funcțiilor tangente și cotangente diferă semnificativ de funcțiile sinus și cosinus. Valorile tg și ctg sunt reciproce reciproce.

1. Y = tan x.
2. Tangenta tinde spre valorile lui y la x = π/2 + πk, dar nu le atinge niciodată.
3. Cea mai mică perioadă pozitivă a tangentoidului este π.
4. Tg (- x) = - tg x, adică funcția este impară.
5. Tg x = 0, pentru x = πk.
6. Funcția este în creștere.
7. Tg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, pentru x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivată (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Luați în considerare imaginea grafică a cotangentoidului de mai jos în text.

Principalele proprietăți ale cotangentoidelor:

1. Y = pat x.
2. Spre deosebire de funcțiile sinus și cosinus, în tangentoidul Y poate prelua valorile mulțimii tuturor numerelor reale.
3. Cotangentoidul tinde spre valorile lui y la x = πk, dar nu le atinge niciodată.
4. Cea mai mică perioadă pozitivă a unui cotangentoid este π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, adică funcția este impară.
6. Ctg x = 0, pentru x = π/2 + πk.
7. Funcția este în scădere.
8. Ctg x › 0, pentru x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, pentru x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivată (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Corect

Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiție geometrică

|BD|
- lungimea arcului de cerc cu centrul în punctul A.

α este unghiul exprimat în radiani. Tangenta () tan α

este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .) Cotangent (

ctg α

este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă

Unde
.
;
;
.

n

- întreg.

este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
Graficul funcției tangente, y = tan x
;
;
.

Cotangentă

În literatura occidentală, cotangenta este desemnată după cum urmează:

De asemenea, sunt acceptate următoarele notații:

Graficul funcției cotangente, y = ctg x Proprietățile tangentei și cotangentei Periodicitate Funcțiile y = tg x

și y =

ctg x

sunt periodice cu perioada π.

Paritate la lungimea piciorului opus |BC| . Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.

	Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere Proprietățile tangentei și cotangentei	Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere Funcțiile y =
Domeniul de aplicare și continuitatea
Gama de valori	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
În creștere		-
Descendent	-
Extreme	-	-
Zerouri, y = 0
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	Domenii de definire și valori, în creștere, în scădere 0	-

Formule

Expresii folosind sinus și cosinus

; ;
; ;
;

Formule pentru tangentă și cotangentă din sumă și diferență

Formulele rămase sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel prezintă valorile tangentelor și cotangentelor pentru anumite valori ale argumentului.

Expresii folosind numere complexe

Expresii prin funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; .

.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangentă > > > ; pentru cotangent >>>

Integrale

Extinderi de serie

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii în serie de putere pentru funcții sin xŞi cos xși împărțiți aceste polinoame între ele, .

Aceasta produce următoarele formule.

La .
la . Unde Bn
;
;
- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
Unde .

Sau conform formulei lui Laplace:

Funcții inverse

Funcțiile inverse ale tangentei și cotangentei sunt arctangente și, respectiv, arccotangente.

Arctangent, arctg la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă

, Unde

Arctangent, arctg la lungimea piciorului opus |BC| . Tangentă

Arccotangent, arcctg
Literatura folosita:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de știință și ingineri, 2012.

– vor fi cu siguranță sarcini de trigonometrie. Trigonometria este adesea antipatică pentru nevoia de a înghesui un număr mare de formule dificile, pline de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente. Site-ul a oferit deja o dată sfaturi despre cum să vă amintiți o formulă uitată, folosind exemplul formulelor Euler și Peel. Și în acest articol vom încerca să arătăm că este suficient să cunoaștem cu fermitate doar cinci cele mai simple formule trigonometrice , și aveți o idee generală despre restul și deduceți-le pe parcurs. Este ca și în cazul ADN-ului: molecula nu stochează modelele complete ale unei ființe vii terminate. Mai degrabă, conține instrucțiuni pentru asamblarea acestuia din aminoacizii disponibili. Deci în trigonometrie, știind ceva principii generale

, vom obține toate formulele necesare dintr-un mic set dintre cele care trebuie reținute.

Ne vom baza pe următoarele formule:

1. Din formulele pentru sumele sinus și cosinus, știind despre paritatea funcției cosinus și ciudatul funcției sinus, înlocuind -b în loc de b, obținem formule pentru diferențe:: Sinusul diferențeipăcat = Sinusul diferenței(a-b)ocos+o(a-b)Sinusul diferențeicos = Sinusul diferenței(a-b)o(-b)-o(a-b)Sinusul diferenței(-b)
2. b: opăcat = o(a-b)ocos-Sinusul diferenței(a-b)Sinusul diferențeicos = o(a-b)o(-b)+Sinusul diferenței(a-b)Sinusul diferenței(-b)

Cosinusul diferenței

1. Sinus de unghi dublu: Sinusul diferenței2a = Sinusul diferenței(a+a) = Sinusul diferenței(a-b)o(a-b)+o(a-b)Sinusul diferenței(a-b) = 2Sinusul diferenței(a-b)o(a-b)
2. Cosinusul unghiului dublu: o2a = o(a+a) = o(a-b)o(a-b)-Sinusul diferenței(a-b)Sinusul diferenței(a-b) = o2 a-Sinusul diferenței2 a

Formulele pentru alte unghiuri multiple se obțin în mod similar:

1. Sinusul unui unghi triplu: Sinusul diferenței3a = Sinusul diferenței(2a+a) = Sinusul diferenței2ao(a-b)+o2aSinusul diferenței(a-b) = (2Sinusul diferenței(a-b)o(a-b))o(a-b)+(o2 a-Sinusul diferenței2 a)Sinusul diferenței(a-b) = 2Sinusul diferenței(a-b)o2 a+Sinusul diferenței(a-b)o2 a-Sinusul diferenței 3 a = 3 Sinusul diferenței(a-b)o2 a-Sinusul diferenței 3 a = 3 Sinusul diferenței(a-b)(1-Sinusul diferenței2 a)-Sinusul diferenței 3 a = 3 Sinusul diferenței(a-b)-4Sinusul diferenței 3a
2. Cosinusul unghiului triplu: o3a = o(2a+a) = o2ao(a-b)-Sinusul diferenței2aSinusul diferenței(a-b) = (o2 a-Sinusul diferenței2 a)o(a-b)-(2Sinusul diferenței(a-b)o(a-b))Sinusul diferenței(a-b) = o 3 a- Sinusul diferenței2 ao(a-b)-2Sinusul diferenței2 ao(a-b) = o 3 a-3 Sinusul diferenței2 ao(a-b) = o 3 a-3(1- o2 a)o(a-b) = 4o 3 a-3 o(a-b)

Înainte de a trece mai departe, să ne uităm la o problemă.
Dat: unghiul este acut.
Găsiți-i cosinusul dacă
Soluție dată de un elev:
Deoarece , Asta Sinusul diferenței(a-b)= 3,a o(a-b) = 4.
(Din umorul matematic)

Deci, definiția tangentei leagă această funcție atât cu sinus, cât și cu cosinus. Dar puteți obține o formulă care raportează tangenta doar la cosinus. Pentru a o deriva, luăm principala identitate trigonometrică: Sinusul diferenței 2 (a-b)+o 2 (a-b)= 1 și împărțiți-l la o 2 (a-b). Primim:

Deci soluția la această problemă ar fi:

(Deoarece unghiul este acut, la extragerea rădăcinii se ia semnul +)

Formula pentru tangenta unei sume este o alta care este greu de retinut. Să-l scoatem astfel:

Afisat imediat si

Din formula cosinus pentru un unghi dublu, puteți obține formulele sinus și cosinus pentru o jumătate de unghi. Pentru a face acest lucru, în partea stângă a formulei cosinus cu unghi dublu:
o2 (a-b) = o 2 (a-b)-Sinusul diferenței 2 (a-b)
adăugăm una, iar în dreapta - o unitate trigonometrică, adică. suma pătratelor sinusului și cosinusului.
o2a+1 = o2 a-Sinusul diferenței2 a+o2 a+Sinusul diferenței2 a
2o 2 (a-b) = o2 (a-b)+1
Exprimând o(a-b) prin o2 (a-b)și efectuând o schimbare de variabile, obținem:

Semnul se ia în funcție de cadran.

În mod similar, scăzând unul din partea stângă a egalității și suma pătratelor sinusului și cosinusului din dreapta, obținem:
o2a-1 = o2 a-Sinusul diferenței2 a-o2 a-Sinusul diferenței2 a
2Sinusul diferenței 2 (a-b) = 1-o2 (a-b)

Și, în sfârșit, pentru a converti suma funcțiilor trigonometrice într-un produs, folosim următoarea tehnică. Să presupunem că trebuie să reprezentăm suma sinusurilor ca produs Sinusul diferenței(a-b)+Sinusul diferenței(-b). Să introducem variabilele x și y astfel încât a = x+y, b+x-y. Apoi
Sinusul diferenței(a-b)+Sinusul diferenței(-b) = Sinusul diferenței(x+y)+ Sinusul diferenței(x-y) = Sinusul diferenței x o y+ o x Sinusul diferenței y+ Sinusul diferenței x o y- o x Sinusul diferenței y=2 Sinusul diferenței x o y. Să exprimăm acum x și y în termenii a și b.

Deoarece a = x+y, b = x-y, atunci . De aceea

Vă puteți retrage imediat

1. Formula de compartimentare produse de sinus și cosinus V cantitate: Sinusul diferenței(a-b)o(-b) = 0.5(Sinusul diferenței(a+b)+Sinusul diferenței(a-b))

Vă recomandăm să practicați și să obțineți singur formule pentru a converti diferența de sinusuri și suma și diferența de cosinus în produs, precum și pentru a împărți produsele sinusurilor și cosinusurilor în sumă. După ce ați finalizat aceste exerciții, veți stăpâni temeinic abilitatea de a deriva formule trigonometrice și nu vă veți pierde nici măcar în cel mai dificil test, olimpiada sau testare.

Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste concepte, la prima vedere, complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari) și pentru a ne asigura că „diavolul nu este atât de groaznic pe cât este pictat”, să începem de la încă de la început și înțelegeți conceptul de unghi.

Conceptul de unghi: radian, grad

Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi colţ.

Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, desigur, unități unghiulare!

Unghiul, atât în ​​geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.

Unghiul (un grad) este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc egal cu o parte a cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.

Adică, figura de mai sus arată un unghi egal cu, adică acest unghi se sprijină pe un arc circular de mărimea circumferinței.

Un unghi în radiani este unghiul central dintr-un cerc subtins de un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, te-ai dat seama? Dacă nu, atunci hai să ne dăm seama din desen.

Deci, figura arată un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se sprijină pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza egal cu lungimea arcuri). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:

Unde este unghiul central în radiani.

Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani sunt conținute în unghiul descris de cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferință. Iată-l:

Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să aflăm că unghiul descris de cerc este egal. Adică, prin corelarea valorii în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.

Câți radiani sunt? Asta e corect!

Am înţeles? Apoi mergeți mai departe și remediați:

Aveți dificultăți? Atunci uite răspunsuri:

Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unghiului

Deci, ne-am dat seama conceptul de unghi. Dar ce este sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru asta ne va ajuta triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuză și catete: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru aceasta este latura); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele adiacente unghi drept), și, dacă luăm în considerare picioarele relativ la unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este opusul. Deci, acum să răspundem la întrebarea: ce sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Cosinusul unghiului- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru.

Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre latura opusă (depărtată) și cea adiacentă (închisă).

În triunghiul nostru.

Cotangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

În triunghiul nostru.

Aceste definiții sunt necesare amintește-ți! Pentru a fi mai ușor să vă amintiți ce picior să împărțiți în ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăŞi cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusuluiŞi cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

Cosinu → atinge → atinge → adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, trebuie să vă amintiți că sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, deoarece rapoartele laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la același unghi). Nu mă crezi? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegi definițiile, atunci continuă și consolidează-le!

Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.

Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghi.

Cercul unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grad și radian, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Va fi foarte util atunci când studiezi trigonometria. Prin urmare, să ne uităm la asta mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la originea coordonatelor, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).

Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonatele axei și coordonatele axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, trebuie să ne amintim despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiular deoarece este perpendicular pe axa.

Cu ce ​​este egal triunghiul? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar, ceea ce înseamnă . Să înlocuim această valoare în formula noastră pentru cosinus. Iată ce se întâmplă:

Cu ce ​​este egal triunghiul? Ei bine desigur! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:

Deci, poți spune ce coordonate are un punct aparținând unui cerc? Ei bine, în nici un caz? Ce se întâmplă dacă îți dai seama de asta și sunt doar numere? Cărei coordonate corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Si la ce coordonata corespunde? Așa e, coordonate! Astfel, punct.

Atunci ce sunt și egal cu? Așa este, să folosim definițiile corespunzătoare ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? De exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, să ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: unghi (ca adiacent unui unghi). Care sunt valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații se aplică oricărei rotații a vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită valoare, dar doar acesta va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul unui cerc este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază către sau către? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.

În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.

Astfel, din exemplele de mai sus putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise prin formula generală sau (unde este orice număr întreg)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți care sunt valorile:

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Aveți dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri de unghi. Ei bine, să începem în ordine: unghiul la corespunde unui punct cu coordonate, prin urmare:

Nu există;

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

Nu există

Nu există

Nu există

Nu există

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și, date în tabelul de mai jos, trebuie amintit:

Nu vă speriați, acum vă vom arăta un exemplu destul de simplu de reținut valorile corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi (), precum și valoarea tangentei unghiului. Cunoscând aceste valori, este destul de simplu să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile indicate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți toate valorile din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?

Ei bine, bineînțeles că poți! Hai să-l scoatem afară formula generala pentru a afla coordonatele unui punct.

De exemplu, iată un cerc în fața noastră:

Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele unui punct obținute prin rotirea punctului cu grade.

După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

Apoi avem asta pentru coordonata punctului.

Folosind aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. Astfel,

Deci, în vedere generală coordonatele punctelor sunt determinate de formulele:

Coordonatele centrului cercului,

Raza cercului,

Unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt egale cu zero și raza este egală cu unu:

Ei bine, haideți să încercăm aceste formule exersând găsirea punctelor pe un cerc?

1. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

2. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

3. Aflați coordonatele unui punct pe cercul unitar obținute prin rotirea punctului pe.

4. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

5. Punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?

Rezolva aceste cinci exemple (sau te pricepi la rezolvarea lor) si vei invata sa le gasesti!

1.

Puteți observa asta. Dar știm ce corespunde unei revoluții complete a punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:

2. Cercul unitar este centrat într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Puteți observa asta. Știm ce corespunde la două revoluții complete ale punctului de plecare. Astfel, punctul dorit va fi în aceeași poziție ca atunci când se întoarce spre. Știind acest lucru, găsim coordonatele necesare ale punctului:

Sinus și cosinus sunt valori de tabel. Ne amintim semnificațiile lor și obținem:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

3. Cercul unitar este centrat într-un punct, ceea ce înseamnă că putem folosi formule simplificate:

Puteți observa asta. Să reprezentăm exemplul în cauză în figură:

Raza formează unghiuri egale cu și cu axa. Știind că valorile de tabel ale cosinusului și sinusului sunt egale și după ce am stabilit că cosinusul de aici ia valoare negativă, iar sinusul este pozitiv, avem:

Astfel de exemple sunt discutate mai detaliat atunci când se studiază formulele de reducere a funcțiilor trigonometrice din subiect.

Astfel, punctul dorit are coordonate.

4.

Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție)

Pentru a determina semnele corespunzătoare de sinus și cosinus, construim un cerc și un unghi unitar:

După cum puteți vedea, valoarea, adică este pozitivă, iar valoarea, adică este negativă. Cunoscând valorile tabelare ale funcțiilor trigonometrice corespunzătoare, obținem că:

Să substituim valorile obținute în formula noastră și să găsim coordonatele:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

5. Pentru a rezolva această problemă, folosim formule în formă generală, unde

Coordonatele centrului cercului (în exemplul nostru,

Raza cercului (după condiție)

Unghiul de rotație al razei vectorului (după condiție).

Să înlocuim toate valorile în formulă și să obținem:

și - valorile tabelului. Să ne amintim și să le înlocuim în formula:

Astfel, punctul dorit are coordonate.

REZUMAT ȘI FORMULE DE BAZĂ

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

Tangenta unui unghi este raportul dintre latura opusă (depărtată) și latura adiacentă (închisă).

Cotangenta unui unghi este raportul dintre latura adiacentă (închisă) și latura opusă (depărtată).