Cum se adună fracții cu numitori similari. Probleme de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori similari

Rezolvarea problemelor din cartea de probleme Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd pentru clasa a 5-a pe tema:

§ 5. Fracții ordinare:
26. Adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori similari

1005 S-a făcut o salată din roșii cu o greutate de 5/16 kg și castraveți cu o greutate de 9/16 kg. Care este masa salatei?
SOLUŢIE

1006 Masa mașinii este de 73/100 t, iar masa ambalajului său este de 23/100 t Aflați masa mașinii inclusiv ambalajul.
SOLUŢIE

1007 În prima zi s-au plantat cartofi pe 2/7 din parcelă, iar în a doua zi pe 3/7 din parcelă. Ce parte a terenului a fost plantată cu cartofi în aceste două zile?
SOLUŢIE

1008 O brigadă a primit 7/10 tone de cuie, iar a doua cu 3/10 tone mai puțin. Câte cuie a primit brigada a doua?
SOLUŢIE

1009 În două zile s-au semănat 10/11 câmpuri. În prima zi au fost semănate 4/11 câmpuri. Ce parte din câmp a fost semănată în a doua zi?
SOLUŢIE

1010 Rezervorul este umplut 3/5 cu benzină, 1/5 din rezervor a fost turnat într-un butoi. Ce parte a rezervorului rămâne plină cu benzină?
SOLUŢIE

1012 Găsiți valoarea expresiei
SOLUŢIE

1013 Din cele 11 sere ale fermei de legume, 4 sunt plantate cu roșii, iar 2 cu castraveți. Ce parte din sere este ocupată de castraveți și roșii? Rezolvați problema în două moduri.
SOLUŢIE

1014 A fost alocată pentru plantare forestieră o suprafață de 300 de hectare. S-a plantat molid pe 3/10 din parcelă, iar pinul pe 4/10 din parcelă. Câte hectare sunt ocupate de molid și pin împreună?
SOLUŢIE

1015 Echipa a decis să producă 175 de articole deasupra planului. În prima zi a produs 9/25 din această cantitate, în a doua zi 13/25 din această cantitate. Câte produse a produs echipa în aceste două zile? Câte articole mai are de făcut?
SOLUŢIE

1016 11/17 câmpuri ale fermei de legume au fost plantate cu cartofi. Cu 1/17 câmpuri mai multe sunt semănate cu castraveți decât cu morcovi și cu 8/17 câmpuri mai puțin decât cu cartofi. Ce parte a câmpului se seamănă cu castraveți și ce cu morcovi? Ce parte a câmpului este ocupată de cartofi, castraveți și morcovi împreună?
SOLUŢIE

1019 În cort erau 2 chintale de 70 kg de fructe. Merele au reprezentat 5/9 din toate fructele, iar perele au reprezentat 1/9 din toate fructele. Cât de mult este masa merelor mai mare decât masa perelor? Rezolvați problema în două moduri.
SOLUŢIE

1020 În prima zi turistul a parcurs 5/14 din întregul traseu, iar în a doua zi 7/14. Se știe că în aceste două zile turistul a mers 36 km. Câți kilometri este întregul traseu turistic?
SOLUŢIE

1021 Prima poveste a ocupat 5/13 din carte, iar a doua poveste a ocupat 2/13 din carte. Se știe că prima poveste a ocupat cu 12 pagini mai mult decât a doua. Câte pagini sunt în toată cartea?
SOLUŢIE

1022 Folosind egalitatea 4/25 + 12/25= 16/25, găsiți valorile expresiei și rezolvați ecuațiile
SOLUŢIE

1024 260 de persoane merg într-o excursie. Câte autobuze ar trebui comandate dacă fiecare autobuz ar trebui să transporte nu mai mult de 30 de pasageri?
SOLUŢIE

1025 Desenați un segment de linie. Apoi desenați un segment de linie a cărui lungime este egală cu
SOLUŢIE

1026 Aflați coordonatele punctelor A, B, C, D, E, M, K (Fig. 128) și comparați aceste coordonate cu 1.
SOLUŢIE

1027 Calculați perimetrul și aria triunghiului ABC (Fig. 129)
SOLUŢIE

1030 Aflați toate valorile lui x pentru care fracția x/15 este o fracție obișnuită și fracția 8/x este o fracție improprie.
SOLUŢIE

1031 Numiți 3 fracții proprii al căror numărător este mai mare de 100. Numiți 3 fracții improprie al căror numitor este mai mare de 200.
SOLUŢIE

1033 Lungimea unui paralelipiped dreptunghiular este de 8 m, lățimea este de 6 m și înălțimea este de 12 m Aflați suma ariilor celor mai mari și cele mai mici fețe ale acestui paralelipiped.
SOLUŢIE

1034 Pentru a produce 750 m de țesătură de viscoză, sunt necesare 10 kg de celuloză. Din 1 m3 de lemn se pot obține 200 kg de celuloză. Câți metri de țesătură de viscoză se pot obține din 20 m3 de lemn?
SOLUŢIE

1035 Lacătul cu combinație are șase butoane. Pentru a-l deschide, trebuie să apăsați butoanele într-o anumită secvență și să introduceți un cod. Câte opțiuni de cod există pentru această blocare?
SOLUŢIE

1036 Rezolvați ecuația: a) (x - 111) · 59 = 11.918; b) 975(x - 615) = 12.675; c) (30.901 - a): 605 = 51; d) 39.765: (b - 893) = 1205.
SOLUŢIE

1037 Rezolvați problema: 1) Din 30 de semințe plantate, 23 au germinat Ce parte din semințele plantate au germinat? 2) 40 de lebede au înotat pe iaz. Dintre aceștia, 30 erau albi. Ce proporție din toate lebedele erau lebede albe?
SOLUŢIE

1038 Aflați valoarea expresiei: 1) 76 · (3569 + 2795) - (24.078 + 30.785); 2) (43 512-43 006) 805 - (48 987 + 297 305)
SOLUŢIE

1039 La prima oră s-au deszăpezit 5/17 din întreg drumul, iar în cea de-a doua, 9/17 din întreg drumul. Cât din drum a fost curățat de zăpadă în aceste două ore? Care porțiune de drum a fost curățată mai puțin în prima oră decât în ​​a doua?
SOLUŢIE

Pentru rochie s-au folosit 1040 6/25 m de material pentru prima papusa, iar 9/25 m de material pentru rochie pentru a doua papusa. Câtă țesătură ai folosit pentru ambele rochii? Cu cât mai multă țesătură s-a folosit la rochia celei de-a doua păpuși decât la rochia primei păpuși?

Astăzi vom vorbi despre fracții. Ce groază inspiră acest cuvânt la mulți studenți, dar în zadar... Lucrul cu fracții nu este de fapt atât de dificil. Principalul lucru este să înțelegeți regulile. Asta vom face astăzi.

Din păcate, acest subiect este o verigă slabă pentru mulți studenți, deși este una dintre cele mai elementare în studiul matematicii.

Deci, hai să ne dăm seama. Să începem cu de ce este nevoie.

Există situații în viața noastră când este necesar să împărțim un obiect întreg într-un anumit număr de părți (în viață - tăiați, tăiați, rupeți etc.). Să luăm pizza ca exemplu:

Să presupunem că tu și familia ta ați comandat pizza (sau ați copt-o - după cum doriți). În familia ta sunt patru persoane... Va trebui să împarți)) Și cel mai probabil vei încerca să împarți pizza în bucăți egale ca să nu jignești pe nimeni. Ca rezultat, fiecare membru al familiei tale va primi o bucată de pizza (la fel ca și restul familiei). Și tocmai în acest caz ne va ajuta conceptul de fracție. Numătorul fracției va indica partea de pizza pe care ați luat-o, iar numitorul va indica numărul total de părți (părți egale).

Puteți tăia pizza în 6 părți egale, sau 7, sau 12...

Și acum o mică teorie:

• orice fracție este formată dintr-un numărător (numărul scris deasupra semnului fracției) și un numitor (numărul scris sub semnul fracției);
• numitorul arată în câte părți este împărțit obiectul, iar numărătorul arată câte dintre aceste părți sunt luate într-un anumit scop.
• arată fracția atitudine părți luate la numărul total de părți ale obiectului.

Vă sugerez să efectuați exercițiile (simulatoare) sugerate în timp ce studiați (repetați) subiectul. Acest lucru va ajuta la consolidarea cunoștințelor și la dobândirea abilității de a le aplica în practică. Se recomandă să lucrați cu simulatoarele în ordinea în care sunt prezentate în acest articol.

Ne-am dat seama de utilizarea fracțiilor în viața noastră. Acum să ne uităm la tipurile de fracții. Fracțiile comune pot fi proprii sau improprii...

Doar nu ooh și ahh)) Este și mai simplu.

• corecta o fracție este o fracție al cărei numărător este mai mic decât numitorul ei;
• greşit O fracție este o fracție al cărei numărător este mai mare decât numitorul său.

După cum am spus mai sus, fracțiile (acum vorbim de fracții cu aceiași numitori) pot fi comparate. Pentru aceasta este necesară compararea numărătorilor acestora(numitorii sunt aceiași...)

Ați observat că, dacă numărătorul și numitorul sunt la fel, atunci obținem un obiect întreg?))

Prin urmare, ei spun că dacă numărătorul și numitorul sunt egali, atunci fracția este egală cu unu.

Și încă unul punct important: Sper că ați observat))) pictograma bară oblică înseamnă acțiunea „diviziune”. Și atunci devine complet clar că dacă un număr este împărțit la el însuși, rezultatul va fi unul. Dar iată că mă devansez și vom vorbi mai mult despre asta într-un articol despre reducerea fracțiilor...

Acum să ne uităm la adunarea și scăderea fracțiilor cu numitori similari. Regula este foarte simplă: pentru a adăuga (scădea) fracții cu aceiași numitori, trebuie să adunați (scădeți) numărătorii lor și să lăsați numitorul același.

Și, în sfârșit, să ne testăm cunoștințele cu un test. Puteți trece acest test numai dacă finalizați corect toate sarcinile. Numai în acest caz putem spune că subiectul a fost stăpânit. Puteți susține testul de un număr infinit de ori. Și chiar dacă ați trecut testul 100% prima dată, reveniți pe această pagină în câteva zile și testați-vă din nou cunoștințele. Acest lucru nu va face decât să vă întărească cunoștințele și să vă dezvoltați abilitățile de a lucra cu astfel de fracții.

P.S. Dar, desigur, nu este vorba doar despre fracții, deoarece acestea nu sunt doar obișnuite, ci și zecimale. Și apar, de asemenea, într-un număr mixt (un număr în care există atât o parte întreagă, cât și o parte fracțională)... Dar mai multe despre asta în articolele următoare. Nu ratați.

§ 87. Adunarea fracţiilor.

Adunarea fracțiilor are multe asemănări cu adunarea numerelor întregi. Adunarea fracțiilor este o acțiune constând în faptul că mai multe numere (termeni) date sunt combinate într-un singur număr (suma), care conține toate unitățile și fracțiile unităților termenilor.

Vom lua în considerare trei cazuri secvenţial:

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.
2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiti.
3. Adunarea numerelor mixte.

1. Adunarea fracțiilor cu numitori similari.

Luați în considerare un exemplu: 1/5 + 2/5.

Să luăm segmentul AB (Fig. 17), să îl luăm ca unul și să îl împărțim în 5 părți egale, apoi partea AC a acestui segment va fi egală cu 1/5 din segmentul AB și o parte a aceluiași segment CD va fi egală cu 2/5 AB.

Din desen este clar că dacă luăm segmentul AD, acesta va fi egal cu 3/5 AB; dar segmentul AD este tocmai suma segmentelor AC și CD. Deci putem scrie:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Având în vedere acești termeni și suma rezultată, vedem că numărătorul sumei s-a obținut prin adunarea numărătorilor termenilor, iar numitorul a rămas neschimbat.

De aici ajungem următoarea regulă: Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați același numitor.

Să ne uităm la un exemplu:

2. Adunarea fracțiilor cu numitori diferiți.

Să adunăm fracțiile: 3 / 4 + 3 / 8 Mai întâi trebuie reduse la cel mai mic numitor comun:

Legătura intermediară 6/8 + 3/8 nu a putut fi scrisă; am scris-o aici pentru claritate.

Astfel, pentru a adăuga fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le reduceți la cel mai mic numitor comun, să adăugați numărătorii lor și să etichetați numitorul comun.

Să luăm în considerare un exemplu (vom scrie factori suplimentari deasupra fracțiilor corespunzătoare):

3. Adunarea numerelor mixte.

Să adunăm numerele: 2 3/8 + 3 5/6.

Să aducem mai întâi părțile fracționale ale numerelor noastre la un numitor comun și să le rescriem din nou:

Acum adăugăm secvențial părțile întregi și fracționale:

§ 88. Scăderea fracțiilor.

Scăderea fracțiilor este definită în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Aceasta este o acțiune cu ajutorul căreia, dată fiind suma a doi termeni și unul dintre ei, se găsește un alt termen. Să luăm în considerare trei cazuri succesive:

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.
2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.
3. Scăderea numerelor mixte.

1. Scăderea fracțiilor cu numitori similari.

Să ne uităm la un exemplu:

13 / 15 - 4 / 15

Să luăm segmentul AB (Fig. 18), să-l luăm ca unitate și să-l împărțim în 15 părți egale; atunci partea AC a acestui segment va reprezenta 1/15 din AB, iar o parte AD a aceluiași segment va corespunde cu 13/15 AB. Să lăsăm deoparte un alt segment ED egal cu 4/15 AB.

Trebuie să scădem fracția 4/15 din 13/15. În desen, aceasta înseamnă că segmentul ED trebuie scăzut din segmentul AD. Ca urmare, va rămâne segmentul AE, care este 9/15 din segmentul AB. Deci putem scrie:

Exemplul pe care l-am făcut arată că numărătorul diferenței a fost obținut prin scăderea numărătorilor, dar numitorul a rămas același.

Prin urmare, pentru a scădea fracții cu numitori similari, trebuie să scădeți numărătorul subtraendului de la numărătorul minuendului și să lăsați același numitor.

2. Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Exemplu. 3/4 - 5/8

Mai întâi, să reducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun:

Intermediarul 6 / 8 - 5 / 8 este scris aici pentru claritate, dar poate fi omis mai târziu.

Astfel, pentru a scădea o fracție dintr-o fracție, trebuie mai întâi să le reducă la cel mai mic numitor comun, apoi să scazi numărătorul minuendului de la numărătorul minuendului și să semnezi numitorul comun sub diferența lor.

Să ne uităm la un exemplu:

3. Scăderea numerelor mixte.

Exemplu. 10 3/4 - 7 2/3.

Să reducem părțile fracționale ale minuendului și subtraendului la cel mai mic numitor comun:

Am scăzut un întreg dintr-un întreg și o fracțiune dintr-o fracție. Dar există cazuri când partea fracționară a ceea ce se scade este mai mare decât partea fracțională a ceea ce se reduce. În astfel de cazuri, trebuie să luați o unitate din întreaga parte a minuendului, să o împărțiți în acele părți în care este exprimată partea fracțională și să o adăugați la partea fracțională a minuendului. Și apoi scăderea va fi efectuată în același mod ca în exemplul anterior:

§ 89. Înmulțirea fracțiilor.

Când studiem înmulțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.
2. Aflarea fracției dintr-un număr dat.
3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.
4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.
5. Înmulțirea numerelor mixte.
6. Conceptul de interes.
7. Aflarea procentului unui număr dat. Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg.

Înmulțirea unei fracții cu un număr întreg are același sens ca și înmulțirea unui număr întreg cu un număr întreg. A înmulți o fracție (multiplicand) cu un întreg (factor) înseamnă a crea o sumă de termeni identici, în care fiecare termen este egal cu multiplicandul, iar numărul de termeni este egal cu multiplicatorul.

Aceasta înseamnă că, dacă trebuie să înmulțiți 1/9 cu 7, atunci se poate face astfel:

Am obținut cu ușurință rezultatul, deoarece acțiunea s-a redus la adunarea fracțiilor cu aceiași numitori. Prin urmare,

Luarea în considerare a acestei acțiuni arată că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg echivalează cu creșterea acestei fracții de câte ori numărul de unități conținute în numărul întreg. Și întrucât creșterea unei fracții se realizează fie prin creșterea numărătorului acesteia

sau prin reducerea numitorului acestuia , atunci putem fie să înmulțim numărătorul cu un număr întreg, fie să împărțim numitorul cu acesta, dacă o astfel de împărțire este posibilă.

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți o fracție cu un număr întreg, înmulțiți numărătorul cu acel număr întreg și lăsați numitorul același sau, dacă este posibil, împărțiți numitorul la acel număr, lăsând numărătorul neschimbat.

La înmulțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

2. Aflarea fracției dintr-un număr dat. Există multe probleme în care trebuie să găsiți sau să calculați o parte dintr-un anumit număr. Diferența dintre aceste probleme și altele este că ele dau numărul unor obiecte sau unități de măsură și trebuie să găsiți o parte din acest număr, care este indicat și aici printr-o anumită fracție. Pentru a facilita înțelegerea, vom da mai întâi exemple de astfel de probleme și apoi vom introduce o metodă de rezolvare a acestora.

Sarcina 1. Am avut 60 de ruble; Am cheltuit 1/3 din acești bani pentru a cumpăra cărți. Cât au costat cărțile?

Sarcina 2. Trenul trebuie să parcurgă o distanță între orașele A și B egală cu 300 km. A parcurs deja 2/3 din această distanță. Cati kilometri este asta?

Sarcina 3.În sat sunt 400 de case, 3/4 din cărămidă, restul din lemn. Câte case din cărămidă sunt în total?

Acestea sunt câteva dintre numeroasele probleme care implică găsirea unei părți dintr-un anumit număr pe care le întâlnim. Ele sunt de obicei numite probleme pentru a găsi fracția dintr-un număr dat.

Rezolvarea problemei 1. De la 60 de ruble. Am cheltuit 1/3 pe cărți; Aceasta înseamnă că pentru a găsi costul cărților trebuie să împărțiți numărul 60 la 3:

Rezolvarea problemei 2. Ideea problemei este că trebuie să găsiți 2/3 din 300 km. Să calculăm mai întâi 1/3 din 300; acest lucru se realizează prin împărțirea a 300 km la 3:

300: 3 = 100 (adică 1/3 din 300).

Pentru a găsi două treimi din 300, trebuie să dublați coeficientul rezultat, adică să înmulțiți cu 2:

100 x 2 = 200 (adică 2/3 din 300).

Rezolvarea problemei 3. Aici trebuie să determinați numărul de case din cărămidă care alcătuiesc 3/4 din 400. Să găsim mai întâi 1/4 din 400,

400: 4 = 100 (adică 1/4 din 400).

Pentru a calcula trei sferturi din 400, coeficientul rezultat trebuie triplat, adică înmulțit cu 3:

100 x 3 = 300 (adică 3/4 din 400).

Pe baza soluției la aceste probleme, putem deriva următoarea regulă:

Pentru a afla valoarea unei fracții dintr-un număr dat, trebuie să împărțiți acest număr la numitorul fracției și să înmulțiți câtul rezultat cu numărătorul său.

3. Înmulțirea unui număr întreg cu o fracție.

Anterior (§ 26) s-a stabilit că înmulțirea numerelor întregi trebuie înțeleasă ca adunarea unor termeni identici (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). În acest paragraf (punctul 1) s-a stabilit că înmulțirea unei fracții cu un număr întreg înseamnă găsirea sumei termenilor identici egală cu această fracție.

În ambele cazuri, înmulțirea a constat în găsirea sumei termenilor identici.

Acum trecem la înmulțirea unui număr întreg cu o fracție. Aici vom întâlni, de exemplu, înmulțirea: 9 2 / 3. Este clar că definiția anterioară a înmulțirii nu se aplică în acest caz. Acest lucru este evident din faptul că nu putem înlocui o astfel de înmulțire prin adăugarea de numere egale.

Din această cauză, va trebui să dăm o nouă definiție a înmulțirii, adică, cu alte cuvinte, să răspundem la întrebarea ce ar trebui înțeles prin înmulțire cu o fracție, cum trebuie înțeleasă această acțiune.

Sensul înmulțirii unui număr întreg cu o fracție este clar din următoarea definiție: înmulțirea unui număr întreg (multiplicand) cu o fracție (multiplicand) înseamnă găsirea acestei fracțiuni a multiplicandului.

Și anume, înmulțirea a 9 cu 2/3 înseamnă a găsi 2/3 din nouă unități. În paragraful anterior au fost rezolvate astfel de probleme; deci este ușor să ne dăm seama că vom ajunge cu 6.

Dar acum există un interesant și întrebare importantă: de ce sunt așa la prima vedere? diverse actiuni cum să găsești suma numere egaleși găsirea fracțiilor de numere, în aritmetică sunt numite același cuvânt „înmulțire”?

Acest lucru se întâmplă deoarece acțiunea anterioară (repetarea numărului cu termeni de mai multe ori) și acțiunea nouă (găsirea fracției din număr) dau răspunsuri la întrebări omogene. Aceasta înseamnă că pornim aici de la considerentele că întrebări sau sarcini omogene sunt rezolvate prin aceeași acțiune.

Pentru a înțelege acest lucru, luați în considerare următoarea problemă: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 4 m dintr-o astfel de pânză?

Această problemă este rezolvată prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (4), adică 50 x 4 = 200 (ruble).

Să luăm aceeași problemă, dar în ea cantitatea de pânză va fi exprimată ca o fracție: „1 m de pânză costă 50 de ruble. Cât vor costa 3/4 m dintr-o astfel de pânză?”

Această problemă trebuie rezolvată și prin înmulțirea numărului de ruble (50) cu numărul de metri (3/4).

Puteți schimba numerele din el de mai multe ori, fără a schimba sensul problemei, de exemplu, luați 9/10 m sau 2 3/10 m etc.

Întrucât aceste probleme au același conținut și diferă doar în cifre, numim acțiunile folosite în rezolvarea lor același cuvânt - înmulțire.

Cum se înmulțește un număr întreg cu o fracție?

Să luăm numerele întâlnite în ultima problemă:

Conform definiției, trebuie să găsim 3/4 din 50. Să găsim mai întâi 1/4 din 50 și apoi 3/4.

1/4 din 50 este 50/4;

3/4 din numărul 50 este .

Prin urmare.

Să luăm în considerare un alt exemplu: 12 5 / 8 =?

1/8 din numărul 12 este 12/8,

5/8 din numărul 12 este .

Prin urmare,

De aici obținem regula:

Pentru a înmulți un număr întreg cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărul întreg cu numărătorul fracției și să faceți din acest produs numărătorul și să semnați numitorul acestei fracții ca numitor.

Să scriem această regulă folosind litere:

Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula pentru înmulțirea unui număr cu un coeficient, care a fost stabilită în § 38

Este important să rețineți că înainte de a efectua înmulțirea, ar trebui să faceți (dacă este posibil) reduceri, De exemplu:

4. Înmulțirea unei fracții cu o fracție.Înmulțirea unei fracții cu o fracție are aceeași semnificație ca și înmulțirea unui număr întreg cu o fracție, adică atunci când înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să găsiți fracția în factorul din prima fracție (multiplicand).

Și anume, înmulțirea a 3/4 cu 1/2 (jumătate) înseamnă a găsi jumătate din 3/4.

Cum se înmulțește o fracție cu o fracție?

Să luăm un exemplu: 3/4 înmulțit cu 5/7. Aceasta înseamnă că trebuie să găsiți 5/7 din 3/4. Să găsim mai întâi 1/7 din 3/4 și apoi 5/7

1/7 din numărul 3/4 va fi exprimat astfel:

5/7 numere 3/4 vor fi exprimate astfel:

Astfel,

Un alt exemplu: 5/8 înmulțit cu 4/9.

1/9 din 5/8 este ,

4/9 din numărul 5/8 este .

Astfel,

Din aceste exemple se poate deduce următoarea regulă:

Pentru a înmulți o fracție cu o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul și faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea produs numitorul produsului.

Aceasta este regula în vedere generală se poate scrie asa:

La înmulțire, este necesar să se facă (dacă este posibil) reduceri. Să ne uităm la exemple:

5. Înmulțirea numerelor mixte. Deoarece numere mixte poate fi înlocuit cu ușurință cu fracții improprii, această circumstanță este de obicei folosită la înmulțirea numerelor mixte. Aceasta înseamnă că, în cazurile în care multiplicantul, sau factorul sau ambii factori sunt exprimați ca numere mixte, aceștia sunt înlocuiți cu fracții improprii. Să înmulțim, de exemplu, numere mixte: 2 1/2 și 3 1/5. Să le transformăm pe fiecare în fracția corectăși apoi vom înmulți fracțiile rezultate conform regulii de înmulțire a unei fracții cu o fracție:

Regulă. Pentru a înmulți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să le înmulțiți conform regulii de înmulțire a fracțiilor cu fracții.

Nota. Dacă unul dintre factori este un număr întreg, atunci înmulțirea poate fi efectuată pe baza legii distribuției după cum urmează:

6. Conceptul de interes. Când rezolvăm probleme și efectuăm diverse calcule practice, folosim tot felul de fracții. Dar trebuie avut în vedere faptul că multe cantități permit nu orice, ci diviziuni naturale pentru ele. De exemplu, puteți lua o sutime (1/100) dintr-o rublă, va fi o copecă, două sutimi sunt 2 copeici, trei sutimi sunt 3 copeici. Puteți lua 1/10 de rublă, va fi „10 copeici, sau o bucată de zece copeici. Puteți lua un sfert de rublă, adică 25 de copeici, jumătate de rublă, adică 50 de copeici (cincizeci de copeici). Dar practic nu o iau, de exemplu, 2/7 dintr-o rublă pentru că rubla nu este împărțită în șapte.

Unitatea de greutate, adică kilogramul, permite în primul rând diviziuni zecimale, de exemplu 1/10 kg sau 100 g, iar fracțiile de kilogram precum 1/6, 1/11, 1/13 nu sunt comune.

În general, măsurile noastre (metrice) sunt zecimale și permit diviziuni zecimale.

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că este extrem de util și convenabil într-o mare varietate de cazuri să folosiți aceeași metodă (uniformă) de subdivizare a cantităților. Mulți ani de experiență au arătat că o astfel de diviziune bine justificată este „a suta” diviziune. Să luăm în considerare câteva exemple referitoare la cele mai diverse domenii ale practicii umane.

1. Prețul cărților a scăzut cu 12/100 din prețul anterior.

Exemplu. Prețul anterior al cărții era de 10 ruble. A scăzut cu 1 rublă. 20 de copeici

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2/100 din suma depusă pentru economii în cursul anului.

Exemplu. În casa de marcat sunt depuse 500 de ruble, venitul din această sumă pentru anul este de 10 ruble.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5/100 din numărul total de elevi.

EXEMPLU La școală erau doar 1.200 de elevi, dintre care 60 au absolvit.

A sutimea parte a unui număr se numește procent.

Cuvântul „procent” este împrumutat de la limba latină iar rădăcina sa „cent” înseamnă o sută. Împreună cu prepoziția (pro centum), acest cuvânt înseamnă „pentru o sută”. Sensul unei astfel de expresii rezultă din faptul că inițial în Roma antică dobânda erau banii pe care debitorul îi plătea creditorului „pentru fiecare sută”. Cuvântul „cent” se aude în cuvinte atât de familiare: centner (o sută de kilograme), centimetru (să spunem centimetru).

De exemplu, în loc să spunem că în ultima lună fabrica a produs 1/100 din toate produsele produse de ea a fost defecte, vom spune așa: în ultima lună, fabrica a produs un procent din defecte. În loc să spunem: fabrica a produs cu 4/100 de produse mai multe decât planul stabilit, vom spune: uzina a depășit planul cu 4 la sută.

Exemplele de mai sus pot fi exprimate diferit:

1. Prețul cărților a scăzut cu 12 la sută față de prețul anterior.

2. Băncile de economii plătesc deponenților 2 la sută pe an din suma depusă în economii.

3. Numărul absolvenților unei școli a fost de 5 la sută din toți elevii școlii.

Pentru a scurta litera, se obișnuiește să scrieți simbolul % în loc de cuvântul „procent”.

Cu toate acestea, trebuie să rețineți că în calcule semnul % nu este scris de obicei în enunțul problemei și în rezultatul final. Când efectuați calcule, trebuie să scrieți o fracție cu numitorul 100 în loc de un număr întreg cu acest simbol.

Trebuie să puteți înlocui un număr întreg cu pictograma indicată cu o fracție cu numitorul 100:

Dimpotrivă, trebuie să vă obișnuiți să scrieți un număr întreg cu simbolul indicat în loc de o fracție cu numitorul 100:

7. Aflarea procentului unui număr dat.

Sarcina 1.Școala a primit 200 de metri cubi. m lemn de foc, cu lemn de foc de mesteacan 30%. Cât lemn de foc de mesteacăn era acolo?

Sensul acestei probleme este că lemnul de foc de mesteacăn constituia doar o parte din lemnul de foc care a fost livrat școlii, iar această parte este exprimată în fracția 30/100. Aceasta înseamnă că avem sarcina de a găsi o fracțiune dintr-un număr. Pentru a o rezolva, trebuie să înmulțim 200 cu 30/100 (problemele de găsire a fracției dintr-un număr se rezolvă prin înmulțirea numărului cu fracția.).

Aceasta înseamnă că 30% din 200 este egal cu 60.

Fracția 30/100 întâlnită în această problemă poate fi redusă cu 10. Ar fi posibil să se facă această reducere de la bun început; soluția problemei nu s-ar fi schimbat.

Sarcina 2.În tabără erau 300 de copii de diferite vârste. Copiii de 11 ani au reprezentat 21%, copiii de 12 ani au reprezentat 61% și, în final, copiii de 13 ani au reprezentat 18%. Câți copii de fiecare vârstă erau în tabără?

În această problemă trebuie să efectuați trei calcule, adică să găsiți succesiv numărul de copii de 11 ani, apoi de 12 ani și în final de 13 ani.

Aceasta înseamnă că aici va trebui să găsiți fracțiunea numărului de trei ori. Să facem asta:

1) Câți copii de 11 ani au fost?

2) Câți copii de 12 ani au fost?

3) Câți copii de 13 ani erau acolo?

După rezolvarea problemei, este util să adăugați numerele găsite; suma lor ar trebui să fie 300:

63 + 183 + 54 = 300

De asemenea, trebuie remarcat faptul că suma procentelor date în enunțul problemei este 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Acest lucru sugerează că numărul total de copii din tabără a fost considerat 100%.

3 a d a h a 3. Muncitorul primea 1.200 de ruble pe lună. Din acestea, a cheltuit 65% pe alimente, 6% pe apartamente și încălzire, 4% pe gaz, electricitate și radio, 10% pe nevoi culturale și 15% a făcut economii. Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoile indicate în sarcină?

Pentru a rezolva această problemă trebuie să găsiți fracția de 1.200 de 5 ori.

1) Câți bani s-au cheltuit pe mâncare? Problema spune că această cheltuială reprezintă 65% din câștigurile totale, adică 65/100 din numărul 1.200. Să facem calculul:

2) Câți bani ați plătit pentru un apartament cu încălzire? Raționând similar celui precedent, ajungem la următorul calcul:

3) Câți bani ați plătit pentru gaz, electricitate și radio?

4) Câți bani au fost cheltuiți pentru nevoi culturale?

5) Câți bani a economisit muncitorul?

Pentru a verifica, este util să adunăm numerele găsite în aceste 5 întrebări. Suma ar trebui să fie de 1.200 de ruble. Toate câștigurile sunt luate ca 100%, ceea ce este ușor de verificat prin adunarea numerelor procentuale indicate în declarația problemei.

Am rezolvat trei probleme. În ciuda faptului că aceste probleme s-au ocupat de lucruri diferite (livrarea lemnelor de foc pentru școală, numărul de copii de diferite vârste, cheltuielile muncitorului), acestea au fost rezolvate în același mod. Acest lucru s-a întâmplat deoarece în toate problemele a fost necesar să se găsească câteva procente din numerele date.

§ 90. Împărțirea fracțiilor.

Pe măsură ce studiem împărțirea fracțiilor, vom lua în considerare următoarele întrebări:

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.
2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg
3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.
4. Împărțirea unei fracții la o fracție.
5. Împărțirea numerelor mixte.
6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.
7. Găsirea unui număr după procentajul său.

Să le luăm în considerare secvenţial.

1. Împărțiți un număr întreg la un număr întreg.

După cum sa indicat în secțiunea numere întregi, împărțirea este o acțiune constând în faptul că, dat fiind produsul a doi factori (dividend) și unul dintre acești factori (divizor), se găsește un alt factor.

Ne-am uitat la împărțirea unui număr întreg la un număr întreg în secțiunea despre numere întregi. Am întâlnit două cazuri de împărțire acolo: împărțirea fără rest, sau „în întregime” (150: 10 = 15) și împărțirea cu rest (100: 9 = 11 și 1 rest). Putem spune deci că în domeniul numerelor întregi, împărțirea exactă nu este întotdeauna posibilă, deoarece dividendul nu este întotdeauna produsul divizorului cu întregul. După introducerea înmulțirii cu o fracție, putem considera posibil orice caz de împărțire a numerelor întregi (se exclude doar împărțirea cu zero).

De exemplu, împărțirea lui 7 la 12 înseamnă găsirea unui număr al cărui produs cu 12 ar fi egal cu 7. Un astfel de număr este fracția 7 / 12 deoarece 7 / 12 12 = 7. Un alt exemplu: 14: 25 = 14 / 25, deoarece 14 / 25 25 = 14.

Astfel, pentru a împărți un număr întreg la un număr întreg, trebuie să creați o fracție al cărei numărător este egal cu dividendul și numitorul este egal cu divizorul.

2. Împărțirea unei fracții la un număr întreg.

Împărțiți fracția 6 / 7 la 3. Conform definiției împărțirii dată mai sus, avem aici produsul (6 / 7) și unul dintre factorii (3); este necesar să se găsească un al doilea factor care, înmulțit cu 3, ar da produsul dat 6/7. Evident, ar trebui să fie de trei ori mai mic decât acest produs. Aceasta înseamnă că sarcina stabilită în fața noastră a fost să reducem fracția de 6/7 de 3 ori.

Știm deja că reducerea unei fracții se poate face fie prin micșorarea numărătorului, fie prin creșterea numitorului. Prin urmare, puteți scrie:

ÎN în acest caz, Numătorul lui 6 este divizibil cu 3, deci numărătorul trebuie să fie înjumătățit.

Să luăm un alt exemplu: 5 / 8 împărțit la 2. Aici numărătorul 5 nu este divizibil cu 2, ceea ce înseamnă că numitorul va trebui înmulțit cu acest număr:

Pe baza acesteia, se poate face o regulă: Pentru a împărți o fracție la un număr întreg, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la acel număr întreg.(dacă este posibil), lăsând același numitor, sau înmulțiți numitorul fracției cu acest număr, rămânând același numărător.

3. Împărțirea unui număr întreg la o fracție.

Să fie necesar să împărțim 5 la 1/2, adică să găsim un număr care, după înmulțirea cu 1/2, va da produsul 5. Evident, acest număr trebuie să fie mai mare decât 5, deoarece 1/2 este o fracție proprie. , iar la înmulțirea unui număr produsul unei fracții adecvate trebuie să fie mai mic decât produsul înmulțit. Pentru a face acest lucru mai clar, să scriem acțiunile noastre după cum urmează: 5: 1 / 2 = X , ceea ce înseamnă x 1 / 2 = 5.

Trebuie să găsim un astfel de număr X , care, înmulțit cu 1/2, ar da 5. Deoarece înmulțirea unui anumit număr cu 1/2 înseamnă găsirea a 1/2 din acest număr, atunci, prin urmare, 1/2 din numărul necunoscut X este egal cu 5 și numărul întreg X de două ori mai mult, adică 5 2 = 10.

Deci 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Să verificăm:

Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că doriți să împărțiți 6 la 2/3. Să încercăm mai întâi să găsim rezultatul dorit folosind desenul (Fig. 19).

Fig.19

Să desenăm un segment AB egal cu 6 unități și să împărțim fiecare unitate în 3 părți egale. În fiecare unitate, trei treimi (3/3) din întregul segment AB este de 6 ori mai mare, adică. e. 18/3. Folosind paranteze mici, conectăm cele 18 segmente rezultate din 2; Vor fi doar 9 segmente. Aceasta înseamnă că fracția 2/3 este conținută în 6 unități de 9 ori, sau, cu alte cuvinte, fracția 2/3 este de 9 ori mai mică decât 6 unități întregi. Prin urmare,

Cum să obțineți acest rezultat fără un desen folosind numai calcule? Să raționăm astfel: trebuie să împărțim 6 la 2/3, adică trebuie să răspundem la întrebarea de câte ori 2/3 este conținut în 6. Să aflăm mai întâi: de câte ori 1/3 este conținut în 6? Într-o unitate întreagă sunt 3 treimi, iar în 6 unități sunt de 6 ori mai multe, adică 18 treimi; pentru a găsi acest număr trebuie să înmulțim 6 cu 3. Aceasta înseamnă că 1/3 este conținut în b unități de 18 ori, iar 2/3 este conținut în b unități nu de 18 ori, ci jumătate din câte ori, adică 18: 2 = 9 Prin urmare, la împărțirea 6 la 2/3 am făcut următoarele:

De aici obținem regula împărțirii unui număr întreg la o fracție. Pentru a împărți un număr întreg la o fracție, trebuie să înmulțiți acest număr întreg cu numitorul fracției date și, făcând din acest produs numărător, să îl împărțiți la numărătorul fracției date.

Să scriem regula folosind litere:

Pentru a face această regulă complet clară, trebuie amintit că o fracție poate fi considerată ca un coeficient. Prin urmare, este util să comparați regula găsită cu regula împărțirii unui număr la un coeficient, care a fost stabilită în § 38. Vă rugăm să rețineți că aceeași formulă a fost obținută acolo.

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

4. Împărțirea unei fracții la o fracție.

Să presupunem că trebuie să împărțim 3/4 la 3/8. Ce va însemna numărul rezultat din împărțire? Va răspunde la întrebarea de câte ori este conținută fracția 3/8 în fracția 3/4. Pentru a înțelege această problemă, să facem un desen (Fig. 20).

Să luăm un segment AB, să-l luăm ca unul, să-l împărțim în 4 părți egale și să marchem 3 astfel de părți. Segmentul AC va fi egal cu 3/4 din segmentul AB. Să împărțim acum fiecare dintre cele patru segmente originale în jumătate, apoi segmentul AB va fi împărțit în 8 părți egale și fiecare astfel de părți va fi egală cu 1/8 din segmentul AB. Să conectăm 3 astfel de segmente cu arce, apoi fiecare dintre segmentele AD și DC va fi egal cu 3/8 din segmentul AB. Desenul arată că un segment egal cu 3/8 este cuprins într-un segment egal cu 3/4 exact de 2 ori; Aceasta înseamnă că rezultatul împărțirii poate fi scris după cum urmează:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Să ne uităm la un alt exemplu. Să presupunem că trebuie să împărțim 15/16 la 3/32:

Putem raționa astfel: trebuie să găsim un număr care, după înmulțirea cu 3/32, va da un produs egal cu 15/16. Să scriem calculele astfel:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 număr necunoscut X sunt 15/16

1/32 dintr-un număr necunoscut X este,

32 / 32 de numere X inventa .

Prin urmare,

Astfel, pentru a împărți o fracție la o fracție, trebuie să înmulțiți numărătorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua și să înmulțiți numitorul primei fracții cu numărătorul celei de-a doua și să faceți din primul produs numărătorul, iar al doilea numitorul.

Să scriem regula folosind litere:

La împărțire, sunt posibile abrevieri, de exemplu:

5. Împărțirea numerelor mixte.

Când împărțiți numere mixte, trebuie mai întâi să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți fracțiile rezultate conform regulilor de împărțire. numere fracționare. Să ne uităm la un exemplu:

Să transformăm numerele mixte în fracții improprii:

Acum să împărțim:

Astfel, pentru a împărți numerele mixte, trebuie să le convertiți în fracții improprii și apoi să împărțiți folosind regula de împărțire a fracțiilor.

6. Găsirea unui număr din fracția lui dată.

Printre diversele probleme cu fracțiile, uneori există acelea în care este dată valoarea unei fracții dintr-un număr necunoscut și trebuie să găsiți acest număr. Acest tip de problemă va fi inversul problemei de a găsi fracția dintr-un număr dat; acolo a fost dat un număr și a fost necesar să se găsească o fracțiune din acest număr, aici a fost dat o fracțiune dintr-un număr și a fost necesar să se găsească acest număr în sine. Această idee va deveni și mai clară dacă ne întoarcem la rezolvarea acestui tip de problemă.

Sarcina 1.În prima zi, geamurile au vitrat 50 de ferestre, adică 1/3 din toate ferestrele casei construite. Câte ferestre sunt în casa asta?

Soluţie. Problema spune că 50 de ferestre cu geam alcătuiesc 1/3 din toate ferestrele casei, ceea ce înseamnă că sunt de 3 ori mai multe ferestre în total, adică.

Casa avea 150 de ferestre.

Sarcina 2. Magazinul a vândut 1.500 kg de făină, adică 3/8 din stocul total de făină pe care îl avea magazinul. Care a fost rezerva inițială de făină a magazinului?

Soluţie. Din condițiile problemei reiese clar că 1.500 kg de făină vândute constituie 3/8 din stocul total; Aceasta înseamnă că 1/8 din această rezervă va fi de 3 ori mai mică, adică pentru a o calcula trebuie să reduceți 1500 de 3 ori:

1.500: 3 = 500 (aceasta este 1/8 din rezervă).

Evident, întreaga aprovizionare va fi de 8 ori mai mare. Prin urmare,

500 8 = 4.000 (kg).

Stocul inițial de făină din magazin a fost de 4.000 kg.

Luând în considerare această problemă, se poate deduce următoarea regulă.

Pentru a găsi un număr dintr-o valoare dată a fracției sale, este suficient să împărțiți această valoare la numărătorul fracției și să înmulțiți rezultatul cu numitorul fracției.

Am rezolvat două probleme la găsirea unui număr dat fiind fracția sa. Astfel de probleme, așa cum se vede în mod deosebit din ultima, sunt rezolvate prin două acțiuni: împărțirea (când se găsește o parte) și înmulțire (când se găsește întregul număr).

Totuși, după ce am învățat împărțirea fracțiilor, problemele de mai sus pot fi rezolvate cu o singură acțiune și anume: împărțirea cu o fracție.

De exemplu, ultima sarcină poate fi rezolvată într-o singură acțiune ca aceasta:

În viitor, vom rezolva problemele de a găsi un număr din fracția sa cu o singură acțiune - împărțire.

7. Găsirea unui număr după procentajul său.

În aceste probleme, va trebui să găsiți un număr cunoscând câteva procente din acel număr.

Sarcina 1. La începutul acestui an am primit 60 de ruble de la banca de economii. venit din suma pe care am pus-o în economii acum un an. Câți bani am băgat în banca de economii? (Casierele oferă deponenților o rentabilitate de 2% pe an.)

Ideea problemei este că am băgat o anumită sumă de bani într-o casă de economii și am stat acolo un an. După un an, am primit 60 de ruble de la ea. venit, care este 2/100 din banii pe care i-am depus. Câți bani am băgat?

În consecință, cunoscând o parte din acești bani, exprimați în două moduri (în ruble și fracții), trebuie să găsim întreaga sumă, încă necunoscută. Aceasta este o problemă obișnuită de a găsi un număr având în vedere fracția sa. Următoarele probleme sunt rezolvate prin diviziune:

Aceasta înseamnă că 3.000 de ruble au fost depuse la banca de economii.

Sarcina 2. Pescarii au îndeplinit planul lunar cu 64% în două săptămâni, recoltând 512 tone de pește. Care era planul lor?

Din condițiile problemei se știe că pescarii au finalizat o parte din plan. Această parte este egală cu 512 tone, ceea ce reprezintă 64% din plan. Nu știm câte tone de pește trebuie pregătite conform planului. Găsirea acestui număr va fi soluția problemei.

Astfel de probleme sunt rezolvate prin diviziune:

Aceasta înseamnă că, conform planului, trebuie pregătite 800 de tone de pește.

Sarcina 3. Trenul a mers de la Riga la Moscova. Când a depășit cel de-al 276-lea kilometru, unul dintre pasageri a întrebat un conductor care trecea cât de mult au parcurs deja călătoria. La aceasta dirijorul a răspuns: „Am acoperit deja 30% din întreaga călătorie”. Care este distanța de la Riga la Moscova?

Din condițiile de problemă este clar că 30% din traseul de la Riga la Moscova este de 276 km. Trebuie să găsim întreaga distanță dintre aceste orașe, adică, pentru această parte, găsim întregul:

§ 91. Numerele reciproce. Înlocuirea împărțirii cu înmulțirea.

Să luăm fracția 2/3 și să înlocuim numărătorul în locul numitorului, obținem 3/2. Am obținut inversul acestei fracții.

Pentru a obține inversul unei fracții date, trebuie să puneți numărătorul acesteia în locul numitorului și numitorul în locul numărătorului. În acest fel putem obține reciproca oricărei fracții. De exemplu:

3/4, invers 4/3; 5/6, invers 6/5

Două fracții care au proprietatea că numărătorul primei este numitorul celei de-a doua, iar numitorul primei este numărătorul celei de-a doua, se numesc reciproc invers.

Acum să ne gândim la ce fracție va fi reciproca lui 1/2. Evident, va fi 2 / 1, sau doar 2. Căutând fracția inversă a celei date, am obținut un număr întreg. Și acest caz nu este izolat; dimpotrivă, pentru toate fracțiile cu numărător de 1 (un), reciprocele vor fi numere întregi, de exemplu:

1/3, invers 3; 1/5, reversul 5

Întrucât în ​​găsirea fracțiilor reciproce am întâlnit și numere întregi, în cele ce urmează nu vom vorbi despre fracții reciproce, ci despre numere reciproce.

Să ne dăm seama cum să scriem inversul unui număr întreg. Pentru fracții, acest lucru poate fi rezolvat simplu: trebuie să puneți numitorul în locul numărătorului. În același mod, puteți obține numărul invers pentru un întreg, deoarece orice număr întreg poate avea un numitor de 1. Aceasta înseamnă că numărul invers al lui 7 va fi 1/7, deoarece 7 = 7/1; pentru numărul 10 inversul va fi 1/10, deoarece 10 = 10/1

Această idee poate fi exprimată diferit: reciproca unui număr dat se obține prin împărțirea unu la un număr dat. Această afirmație este valabilă nu numai pentru numere întregi, ci și pentru fracții. De fapt, dacă trebuie să scriem inversul fracției 5/9, atunci putem lua 1 și îl împărțim la 5/9, adică.

Acum să subliniem un lucru proprietate numere reciproce, care ne vor fi utile: produsul numerelor reciproce este egal cu unu. De fapt:

Folosind această proprietate, putem găsi numere reciproce în felul următor. Să presupunem că trebuie să găsim inversul lui 8.

Să o notăm prin literă X , apoi 8 X = 1, prin urmare X = 1/8. Să găsim un alt număr care este inversul lui 7/12 și să îl notăm cu literă X , apoi 7/12 X = 1, prin urmare X = 1: 7 / 12 sau X = 12 / 7 .

Am introdus aici conceptul de numere reciproce pentru a completa puțin informațiile despre împărțirea fracțiilor.

Când împărțim numărul 6 la 3/5, facem următoarele:

Vă rugăm să plătiți atenție deosebită la expresia şi comparaţi-o cu cea dată: .

Dacă luăm expresia separat, fără legătură cu cea anterioară, atunci este imposibil să rezolvăm problema de unde provine: de la împărțirea a 6 la 3/5 sau de la înmulțirea a 6 cu 5/3. În ambele cazuri se întâmplă același lucru. Prin urmare putem spune că împărțirea unui număr la altul poate fi înlocuită prin înmulțirea dividendului cu inversul divizorului.

Exemplele pe care le oferim mai jos confirmă pe deplin această concluzie.

Lecție deschisă

la matematică clasa 6b (clasa de recuperare VIII fel)

pe tema:

Adunarea fracțiilor

cu aceiași numitori.

Tip de lecție: învățarea de materiale noi.

Tip lecție: lecție - basm.

Clasa: 6,7 „B”.

Obiective:

Introduceți elevii operațiunile de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori similari;

Sarcini:

Corecțional - educațional:

Dezvoltați abilitățile de a adăuga fracții cu numitori similari;

Corecțional - de dezvoltare:

Corectează dezvoltarea logicii și gândire matematicăîn timp ce recitați algoritmul de adunare a fracțiilor cu numitori similari și în timp ce lucrați scris într-un caiet;

Corectarea dezvoltării activității cognitive a elevilor prin îndeplinirea sarcinilor în situații non-standard;

Dezvoltați abilitățile de atenție și autocontrol.

Corecțional și educațional:

Insufleți interesul pentru subiect pe baza conexiunilor cu viața și practica;

Formarea unei culturi matematice a vorbirii ( pronunție corectă fracții);

Dezvoltați abilitățile de respect de sine;

Progresul lecției

Org. Moment.

1.Salut

„Îmi pare bine să vă văd băieți. Cum te simti? Amintiți-vă, dacă ceva pare dificil și nu funcționează, atunci nu este o problemă, vom învăța totul împreună!

2. pregătirea pentru muncă

Băieți, sunteți pregătiți pentru lecție?

Contez pe voi, prieteni!

Ești o clasă bună, prietenoasă,

Totul se va rezolva pentru noi!

Lecția noastră de astăzi este neobișnuită, vă vom duce într-o călătorie printr-un basm pe care îl cunoaștem și îl iubim.

Există multe basme în lume

Trist și amuzant.

Și trăiește în lume

Nu putem trăi fără ele!

Lasă-i pe eroii basmelor

Ne dau căldură

Fie ca bunătatea pentru totdeauna

Răul învinge!

Numărarea orală.

ÎN Regatul Departe acolo locuia un țar și fiica sa Vasilisa cea Înțeleaptă, iar în al treizecilea stat locuia Ivan țareviciul. Apropo, ce număr vezi pe tablă? Lasă-mă să te ajut:

Oricine poate la o milă depărtare

Vezi fracționat linia.

Deasupra liniei – numărător , stiu,

Sub linie - numitor.

O fracțiune ca asta cu siguranță

Trebuie să suni comun.

Dar regele nu a vrut să-și dea Vasilisa primei persoane pe care a întâlnit-o. A decis să-i dea lui Ivan o sarcină căreia nu i-a putut face față. Și îi spune lui Ivan: „Du-te acolo - nu știu unde, adu asta, nu știu ce”. Ivan s-a încordat, s-a întristat și a plecat în căutare. Dar unde să merg, unde să caut?

Ivan, împreună cu Lupul Cenușiu, au pornit la drum. Au decis să se întoarcă mai întâi la Baba Yaga. Și Baba Yaga a pregătit o sarcină.

Sarcini de calcul oral. Dar băieți, Ivan Tsarevich nu era bun la matematică, ar trebui să-l ajutăm?

Precizați numărătorul și numitorul fracției

Ce arată numărătorul și ce arată numitorul? (Numitorul arată câte acțiuni sunt împărțite, iar numărătorul arată câte astfel de acțiuni sunt luate.)

Comparația fracțiilor:

și 1 și și 1

Şi
5/5 și
Şi .

Bravo, ai finalizat sarcina. Și acum să urmăm mingea magică mai departe, până la nemuritorul Koshchei însuși.

III. Actualizarea cunoștințelor de bază.

Trebuie să ajungeți la Koshchei printr-un labirint de numere fracționale.

Scrie aceste fracții pe două linii: ,, , , , . Corect: , , .

Incorect: , , .

Bravo, ai finalizat și această sarcină.

Așa că mingea magică a lui Ivan a adus și Lupul Gri la Koshchei. Și Koschey spune: „M-am plictisit să trăiesc aici singur, dar dacă mă distrezi, atunci te voi ajuta. Îndeplinește-mi sarcinile.”

1. Sarcina nr. 1 . Exercita.

Fizminutka :

Ursul a ieșit din bârlog.

Și-a ridicat picioarele o dată și de două ori.

S-a așezat și s-a ridicat. S-a așezat și s-a ridicat.

Și-a pus labele la spate.

Clătinat, întors

Și s-a întins puțin.

1.Desenați un cerc cu razăr= 2 cm.

2. Vopsea peste

cerc - galben

cerc - albastru.

Notați care parte a cercului este umbrită și care parte nu este umbrită.

umbrită- __________

Nevopsit peste - _________

Gândește-te cum poți folosi semnele de acțiune pentru a face numere Şi , obține numărul . O ?

Ne-am odihnit, ne-am așezat drept și ne-am apucat de treabă.

Sarcina nr. 2. Cardul nr. 1 (sarcină cu probleme).

Deci, ce vom face astăzi în clasă? Să scriem în caietele noastre numărul și subiectul lecției „Adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor”. Scopul nostru este să învățăm cum să adunăm și să scădem fracții cu aceiași numitori. Să ne uităm la un exemplu:

Algoritm pentru adunarea fracțiilor cu numitori similari : Pentru a aduna sau a scădea fracții cu numitori similari, adunați sau scădeți numărătorii lor și lăsați numitorul același.

VI. Formarea deprinderilor și abilităților elevilor.

Așa că mingea magică i-a adus pe Ivan și Lupul Cenușiu la Șarpele Gorynych. A păstrat o cutie și nimeni nu știa ce era în ea. Dar Șarpele Gorynych nu îi va da doar cutia lui Ivan. Trebuie să-l ajutăm pe Ivan Tsarevich și, pentru aceasta, toată lumea trebuie să lucreze independent, iar sarcinile pentru munca independentă sunt în cutie (ei merg la cutie și își iau sarcinile). Cardul nr. 2 ( munca independenta) . Când finalizați sarcinile, voi și cu mine vom verifica răspunsurile și vom afla dacă l-am ajutat pe Ivan Tsarevich sau nu.

Lucrați în caiete:teme pentru acasă : Rezolvă o problemă dintr-un alt basm.

Rezumatul lecției. Notare.

Deci, basmul se termină aici. Spune-mi, ce am făcut astăzi? Să repetăm ​​regula din nou.

Lecția de azi s-a terminat,

Dar toată lumea ar trebui să știe:

Cunoaștere, perseverență și muncă,
Ele te vor conduce la succes în viață!

VI . Reflecţie.

Băieți, v-a plăcut lecția? Alege emoticonul potrivit și lipește-l pe tablă. Mulțumesc pentru lecție. La revedere

Fracțiile sunt numere obișnuite și pot fi, de asemenea, adunate și scăzute. Dar datorită faptului că conțin un numitor, mai mult reguli complexe decât pentru numere întregi.

Să luăm în considerare cel mai simplu caz, când există două fracții cu aceiași numitori. Apoi:

Pentru a adăuga fracții cu aceiași numitori, trebuie să adăugați numărătorii lor și să lăsați numitorul neschimbat.

Pentru a scădea fracții cu aceiași numitori, trebuie să scădeți numărătorul celui de-al doilea din numărătorul primei fracții și să lăsați din nou numitorul neschimbat.

În cadrul fiecărei expresii, numitorii fracțiilor sunt egali. Prin definiția adunării și scăderii fracțiilor obținem:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat: adunăm sau scădem numărătorii și gata.

Dar chiar și în acțiuni atât de simple, oamenii reușesc să greșească. Ceea ce se uită cel mai adesea este că numitorul nu se schimbă. De exemplu, atunci când le adăugați, încep și ele să se adună, iar acest lucru este fundamental greșit.

Scăpa de obicei prost Adăugarea numitorilor este destul de simplă. Încercați același lucru când scădeți. Ca urmare, numitorul va fi zero, iar fracția își va pierde (din senin!) sensul.

Prin urmare, amintiți-vă odată pentru totdeauna: atunci când adunați și scădeți, numitorul nu se schimbă!

Mulți oameni fac și greșeli atunci când adaugă mai multe fracții negative. Există confuzie cu semnele: unde se pune un minus și unde se pune un plus.

Această problemă este, de asemenea, foarte ușor de rezolvat. Este suficient să ne amintim că minusul dinaintea semnului unei fracții poate fi întotdeauna transferat la numărător - și invers. Și, desigur, nu uitați de două reguli simple:

1. Plus cu minus dă minus;
2. Două negative fac o afirmație.

Să ne uităm la toate acestea cu exemple specifice:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

În primul caz totul este simplu, dar în al doilea introducem minusuri în numărătorii fracțiilor:

Ce să faci dacă numitorii sunt diferiți

Nu puteți adăuga direct fracții cu numitori diferiți. Cel puțin, această metodă îmi este necunoscută. Cu toate acestea, fracțiile originale pot fi întotdeauna rescrise astfel încât numitorii să devină la fel.

Există multe moduri de a converti fracții. Trei dintre ele sunt discutate în lecția „Reducerea fracțiilor la un numitor comun”, așa că nu ne vom opri aici asupra lor. Să ne uităm la câteva exemple:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

În primul caz, reducem fracțiile la un numitor comun folosind metoda „încrucișată”. În al doilea vom căuta NOC. Rețineți că 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Ultimii factori din aceste expansiuni sunt egali, iar primii sunt relativ primi. Prin urmare, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Ce să faci dacă o fracție are o parte întreagă

Vă pot mulțumi: numitorii diferiți în fracții nu sunt cel mai mare rău. Mult mai multe erori apare atunci când o parte întreagă este izolată în termeni de fracție.

Desigur, există algoritmi proprii de adunare și scădere pentru astfel de fracții, dar sunt destul de complexe și necesită un studiu lung. Utilizare mai bună schema simpla, prezentat mai jos:

1. Convertiți toate fracțiile care conțin o parte întreagă în fracții improprii. Obținem termeni normali (chiar cu numitori diferiți), care se calculează după regulile discutate mai sus;
2. De fapt, calculați suma sau diferența fracțiilor rezultate. Ca urmare, vom găsi practic răspunsul;
3. Dacă aceasta este tot ceea ce a fost necesar în problemă, efectuăm transformarea inversă, adică. Scăpăm de o fracție necorespunzătoare prin evidențierea întregii părți.

Regulile pentru trecerea la fracții improprii și evidențierea întregii părți sunt descrise în detaliu în lecția „Ce este o fracție numerică”. Dacă nu vă amintiți, asigurați-vă că o repetați. Exemple:

Sarcină. Găsiți sensul expresiei:

Totul este simplu aici. Numitorii din interiorul fiecărei expresii sunt egali, așa că tot ce rămâne este să convertiți toate fracțiile în fracții improprii și să numărați. Avem:

Pentru a simplifica calculele, am omis câțiva pași evidenti în ultimele exemple.

O mică notă despre ultimele două exemple, unde se scad fracțiile cu cele evidențiate întreaga parte. Minusul dinaintea celei de-a doua fracții înseamnă că întreaga fracție este scăzută, și nu doar întreaga sa parte.

Recitiți din nou această propoziție, uitați-vă la exemple - și gândiți-vă. Aici începătorii fac un număr mare de greșeli. Le place să le dea astfel de sarcini teste. De asemenea, le veți întâlni de mai multe ori la testele pentru această lecție, care va fi publicată în curând.

Rezumat: schema generala de calcul

În concluzie, voi oferi un algoritm general care vă va ajuta să găsiți suma sau diferența a două sau mai multe fracții:

1. Dacă una sau mai multe fracții au o parte întreagă, convertiți aceste fracții în fracții improprii;
2. Aduceți toate fracțiile la un numitor comun în orice mod convenabil pentru dvs. (cu excepția cazului în care, desigur, autorii problemelor au făcut acest lucru);
3. Adunarea sau scăderea numerelor rezultate conform regulilor de adunare și scădere a fracțiilor cu numitori similari;
4. Dacă este posibil, scurtați rezultatul. Dacă fracția este incorectă, selectați întreaga parte.

Amintiți-vă că este mai bine să evidențiați întreaga parte chiar la sfârșitul problemei, imediat înainte de a scrie răspunsul.