Calculul unei integrale definite prin metoda integrarii directe. Metode de integrare

Este prezentată o trecere în revistă a metodelor de calcul a integralelor nedefinite. Sunt luate în considerare principalele metode de integrare, care includ integrarea sumei și diferenței, plasarea unei constante în afara semnului integral, înlocuirea unei variabile și integrarea pe părți. De asemenea, sunt discutate metode și tehnici speciale de integrare a fracțiilor, rădăcinilor, funcțiilor trigonometrice și exponențiale.

Conţinut

Regula pentru integrarea sumelor (diferențelor)

Mutarea constantei în afara semnului integral

Fie c o constantă independentă de x.

Apoi poate fi scos din semnul integral:

Înlocuire variabilă
.
Fie x o funcție a variabilei t, x = φ(t), atunci
.

Sau invers, t = φ(x) ,

Folosind o modificare a variabilei, puteți nu numai să calculați integrale simple, ci și să simplificați calculul celor mai complexe.

Regula integrării prin părți

Integrarea fracțiilor (funcții raționale)

Să introducem notația. Fie P k (x), Q m (x), R n (x) să desemneze polinoame de grade k, m, n, respectiv, în raport cu variabila x.

Considerăm o integrală formată dintr-o fracție de polinoame (așa-numita funcție rațională):
.
Dacă k ≥ n, atunci trebuie mai întâi să selectați întreaga parte a fracției:

Integrala polinomului S k-n (x) se calculează folosind tabelul de integrale.
Integrala rămâne:< n .
, unde m

Pentru a-l calcula, integrandul trebuie descompus în fracții simple.
Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți rădăcinile ecuației:
Q n (x) = 0 .
Folosind rădăcinile obținute, trebuie să reprezentați numitorul ca un produs al factorilor: Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ....
(x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ...

Aici s este coeficientul pentru x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

După aceasta, descompuneți fracția în cea mai simplă formă:
Integrand se obtine o expresie formata din integrale mai simple.

Integrale ale formei

sunt reduse la substituție tabulară t = x - a.

Luați în considerare integrala:
.
Să transformăm numărătorul:
,
.
Înlocuind în integrand, obținem o expresie care include două integrale:
Prima, prin substituție t = x 2 + ex + f, se reduce la una tabelară.

În al doilea rând, conform formulei de reducere:

se reduce la integrală
.
Să reducem numitorul său la suma pătratelor:

Apoi, prin substituție, integrala

este de asemenea intabulat.

Să introducem notația. Fie R(u 1, u 2, ..., u n) să însemne o funcție rațională a variabilelor u 1, u 2, ..., u n.
,
Adică

unde P, Q sunt polinoame în variabilele u 1, u 2, ..., u n.

Iraționalitate liniară fracțională
,
Să luăm în considerare integralele de forma:
unde sunt numere raționale, m 1, n 1, ..., m s, n s sunt numere întregi.
Fie n numitorul comun al numerelor r 1, ..., r s.
.

Atunci integrala se reduce la integrala funcțiilor raționale prin substituție:

sunt reduse la substituție tabulară t = x - a.
,
Integrale din binoame diferențiale
unde m, n, p sunt numere raționale, a, b sunt numere reale.

Astfel de integrale se reduc la integrale ale funcțiilor raționale în trei cazuri.
1) Dacă p este un număr întreg. Înlocuirea x = t N, unde N este numitorul comun al fracțiilor m și n.
2) Dacă - un număr întreg. Înlocuirea a x n + b = t M, unde M este numitorul numărului p.

3) Dacă - un număr întreg. Înlocuirea a + b x - n = t M, unde M este numitorul numărului p.

Dacă niciunul dintre cele trei numere nu este un întreg, atunci, conform teoremei lui Cebyshev, integralele de acest tip nu pot fi exprimate printr-o combinație finită de funcții elementare.
;
.

În unele cazuri, este mai întâi util să reduceți integrala la valori mai convenabile m și p.

Acest lucru se poate face folosind formule de reducere:
,

Integrale care conțin rădăcina pătrată a unui trinom pătrat

Aici luăm în considerare integralele de forma:
substituții lui Euler
Astfel de integrale pot fi reduse la integrale ale funcțiilor raționale ale uneia dintre cele trei substituții Euler:
, pentru a > 0;

, pentru c > 0 ;

, unde x 1 este rădăcina ecuației a x 2 + b x + c = 0.

Dacă această ecuație are rădăcini reale.

Substituții trigonometrice și hiperbolice

Metode directe
,
În cele mai multe cazuri, substituțiile lui Euler au ca rezultat calcule mai lungi decât metodele directe. Folosind metode directe, integrala se reduce la una dintre formele enumerate mai jos.

Tipul I

Integrala formei:

unde P n (x) este un polinom de grad n.

Metode directe
,
Astfel de integrale se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați folosind identitatea:

Diferențiând această ecuație și echivalând laturile stângă și dreaptă, găsim coeficienții A i. Tipul II unde P m (x) este un polinom de gradul m.

Înlocuirea t =

(x - α) -1
.

această integrală este redusă la tipul anterior. Dacă m ≥ n, atunci fracția ar trebui să aibă o parte întreagă.
.
tipul III
.
Al treilea și cel mai complex tip:
Aici trebuie să faceți o înlocuire:
După care integrala va lua forma:
;
,
care sunt integrate, respectiv, prin substituții:
z2 = A1t2 + C1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Caz general

Integrarea funcțiilor transcendentale (trigonometrice și exponențiale).

Să remarcăm în prealabil că metodele care sunt aplicabile pentru funcțiile trigonometrice sunt aplicabile și pentru funcțiile hiperbolice. Din acest motiv, nu vom lua în considerare integrarea funcțiilor hiperbolice separat.

Integrarea funcțiilor trigonometrice raționale ale cos x și sin x

Să considerăm integralele funcțiilor trigonometrice de forma:
,
unde R este o funcție rațională. Aceasta poate include, de asemenea, tangente și cotangente, care ar trebui convertite folosind sinusuri și cosinus.

Atunci când integrați astfel de funcții, este util să aveți în vedere trei reguli:
1) dacă R( cos x, sin x)înmulțit cu -1 din modificarea semnului înaintea uneia dintre cantități cos x sau sin x, atunci este util să-l notăm pe celălalt dintre ele prin t.
2) dacă R( cos x, sin x) nu se schimbă din cauza unei schimbări de semn în același timp înainte cos xŞi sin x, atunci este util să punem tg x = t sau pat x = t.
3) substituția duce în toate cazurile la integrala unei fracții raționale. Din păcate, această înlocuire are ca rezultat calcule mai lungi decât cele anterioare, dacă este cazul.

Produsul funcțiilor de putere ale cos x și sin x

Iraționalitate liniară fracțională

Dacă m și n sunt numere raționale, atunci una dintre substituțiile t = sin x sau t = cos x integrala se reduce la integrala binomului diferential.

Dacă m și n sunt numere întregi, atunci integralele sunt calculate prin integrare pe părți. Aceasta produce următoarele formule de reducere:

;
;
;
.

Integrare pe părți

Aplicarea formulei lui Euler

Dacă integrandul este liniar în raport cu una dintre funcții
cos ax sau sinax, atunci este convenabil să aplicați formula lui Euler:
e iax = cos ax + isin ax(unde i 2 = - 1 ),
înlocuind această funcție cu e iaxși evidențierea celui real (la înlocuire cos ax) sau parte imaginară (la înlocuire sinax) din rezultatul obţinut.

Literatura folosita:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.

Vezi și:

1. Calcul integral al funcțiilor unei variabile

2. Integrală antiderivată și nedefinită.

3. Proprietăţile integralei nedefinite.

4. Tabelul integralelor

Când se studiază diferențierea funcțiilor, sarcina a fost stabilită - pentru o funcție dată, găsiți derivata sau diferențiala acesteia. Multe întrebări de știință și tehnologie duc la formularea unei probleme inverse - pentru o funcție dată f(x) găsiți o astfel de funcție F(x), a căror derivată sau diferențială este egală f(x) sau f(x)dx.

Definiția 1. Funcţie F(x) numit antiderivat în raport cu funcţia f(x) la un anumit interval (a, b), dacă pe acest interval funcţia F(x) este diferentiabila si satisface ecuatia

F′ (x) = f(x)

sau, ceea ce este la fel, relația

dF(x) = f(x)dx.

Deci, de exemplu, funcția sin 5 x- antiderivată pe orice interval în raport cu funcția f(x) = 5cos5 x, deoarece (păcat5 x)′ = 5cos5 x.

Este ușor de verificat dacă prezența unui antiderivat asigură prezența unor astfel de funcții într-un set infinit. De fapt, dacă F(x)- antiderivată a funcției f(x), Asta

Ф(x) = F(x) + C,

Unde CU- orice constantă este și antiderivată, deoarece

F′( X) = (F(x) + C)′ = F′( x) + 0 = f(x).

Următoarea teoremă oferă răspunsul la întrebarea cum să găsiți toate antiderivatele unei funcții date dacă una dintre ele este cunoscută.

Teorema 1(despre primitivi). Dacă F(x) − oarecare antiderivată a funcției f(x) pe interval ( a, b), atunci toate antiderivatele sale au forma F(x) + C, Unde CU- constantă arbitrară.

Geometric y = F(x) + Cînseamnă că graficul oricărei funcții antiderivate este obținut din graficul funcției y = F(x) prin simpla deplasare paralelă cu axa Oy cu o sumă CU(vezi poza). Datorită faptului că aceeași funcție f(x) are infinit de antiderivate, se pune problema alegerii unui antiderivat care să rezolve una sau alta problemă practică.

Se știe că derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza punctului: S′( t) = V(t), prin urmare, dacă legea schimbării vitezei este cunoscută V(t), calea de mișcare a unui punct este o antiderivată a vitezei punctului, adică. S(t) = F(t) +C.

Pentru a găsi legea schimbării căii Sf) trebuie să folosiți condițiile inițiale, adică să știți care este distanța parcursă S0 la t = t0. Lasă la t = t0 avem S = S0. Apoi

Sf 0 ) = S 0 = F(t 0 ) + C. C = S 0 - F(t 0 ) Şi S(t) = F(t) + S 0 - F(t 0 ).

Definiția 2. Dacă F(x)- unele antiderivate ale functiei f(x), apoi expresia F(x) + C, Unde CU- o constantă arbitrară, numită integrală nedefinită si este desemnat

∫f(x)dx= F(x) + C,

adică integrala nedefinită a funcției f(x) există un set de toate primitivele sale.

În acest caz, funcția f(x) numit integrand, si munca f(x)dx- integrand; F(x)- unul dintre prototipuri; X- variabila de integrare. Procesul de găsire a unui antiderivat se numește integrare.

Exemplul 1. Găsiți integrale nedefinite:

Teorema 2(existența unei integrale nedefinite). Dacă funcţia f(x) continuu pe (a, b), atunci există o antiderivată și, prin urmare, o integrală ∫ f(x)dx.

Proprietățile integralelor nedefinite:

1. (∫f(x)dx)′ = f(x) , adică derivata integralei nedefinite este egală cu integrandul.

2. d(∫f(x)dx) = f(x)dx, adică diferența integralei nedefinite este egală cu integrandul.

3. ∫dF(x) = F(x) + C.

4. ∫(C 1 f 1(x) + C 2 f 2 (x))dx= C 1∫f 1(x)dx+ C 2∫f 2(x)dx− proprietatea liniarităţii; C1, C2- permanentă.

5. Dacă ∫ f(x)dx= F(x) + C, Asta

Primele trei proprietăți decurg din definiția unei integrale nedefinite. Obținem proprietățile 4 și 5 prin diferențierea părților stânga și dreaptă ale ecuațiilor în raport cu X, folosind proprietatea 1 a integralelor și proprietățile derivatelor.

Exemplul 2. Aflați integrala nedefinită: a) ∫( e x+cos5 x)dx.

Soluţie. Folosind proprietățile 4 și 5, găsim:

Să prezentăm un tabel de integrale de bază, care joacă același rol în matematica superioară ca și tabelul înmulțirii în aritmetică.

Metode de integrare de bază

Sunt trei principal metoda de integrare.

1. Integrare directă− calculul integralelor folosind un tabel de integrale și proprietățile de bază ale integralelor nedefinite.

Exemplul 3. Calculați integrala: ∫ tg 2 xdx.

2. Metoda de înlocuire . În multe cazuri, introducerea unei noi variabile de integrare permite reducerea calculului unei integrale date la găsirea uneia tabulare. Această metodă se mai numește metoda de înlocuire a variabilei.

Teorema 3. Lasă funcția x = φ(t) definit, continuu si diferentiabil pe un anumit interval T si lasa X- setul de valori ale acestei funcții, pe ea, adică pe T funcția complexă definită f(φ(t)). Atunci dacă ∫ f(x)dx= F(x)+ C, Că

∫f(x)dx=∫f(φ(t)) φ ′ (t)dt. (1)

Formula (1) se numește formulă schimbarea unei variabile într-o integrală nedefinită.

Comentariu. După calcularea integralei ∫ f(φ(t)) φ ′ (t)dt trebuie să te întorci la variabilă X.

Exemplul 4. Aflați integrala: ∫cos 3 x păcat xdx.

a) Înlocuiește păcatul xdx pe (− d cos x), adică introducem funcția cos x sub semnul diferential. Primim

3. Metoda de integrare pe părți

Teorema 4. Lasă funcțiile u(x)Şi v(x) definite şi diferenţiabile pe un anumit interval X si lasa u′ (x)v(x) are o antiderivată pe acest interval, adică există o integrală ∫ u′( x)v(x)dx.

Atunci pe acest interval funcția are o antiderivată și u(x)v′ (x) iar formula este corecta:

∫u(x)v′( x)dx= u(x)v(x) −∫v(x)u′( x)dx(2)

∫udv= uv−∫vdu.(2′)

Formulele (2) și (2′) se numesc formule de integrare pe părți în integrala nedefinită.

Folosind metoda integrării pe părți, se calculează integralele următoarelor funcții: P(x)arcsin( topor),P(x)arccos( topor), P(x)arctg( topor), P(x)arcctg( topor),P(x)ln x, P(x)e kx, P(x)păcat kx, P(x)cos kx, Aici P(x)- polinom; e ax cos bx, e ax păcat bx.

Desigur, aceste funcții nu epuizează toate integralele care sunt calculate folosind metoda integrării pe părți.

Exemplul 6. Aflați integrala: ∫ arctg 3xdx.

Soluţie. Să punem u= arctg 3x; dv= dx. Apoi

Conform formulei (2) avem

Problema găsirii unei funcții antiderivate nu are întotdeauna o soluție, în timp ce putem diferenția orice funcție. Aceasta explică lipsa unei metode de integrare universală.

În acest articol ne vom uita la metodele de bază pentru găsirea integralei nedefinite folosind exemple cu soluții detaliate. De asemenea, vom grupa tipurile de funcții integrante caracteristice fiecărei metode de integrare.

Navigare în pagină.

Integrare directă.

Fără îndoială, principala metodă de a găsi o funcție antiderivată este integrarea directă folosind un tabel de antiderivate și proprietățile integralei nedefinite. Toate celelalte metode sunt folosite numai pentru a reduce integrala originală la formă tabelară.

Exemplu.

Aflați mulțimea de antiderivate ale funcției.

Soluţie.

Să scriem funcția sub forma .

Întrucât integrala unei sume de funcții este egală cu suma integralelor, atunci

Coeficientul numeric poate fi scos din semnul integral:

Prima dintre integrale este redusă la formă tabelară, prin urmare, din tabelul de antiderivate pentru funcția exponențială avem .

Pentru a găsi a doua integrală, folosim tabelul de antiderivate pentru funcția de putere si regula . Adică, .

Prin urmare,

Unde

Integrarea prin metoda substituţiei.

Esența metodei este că introducem o nouă variabilă, exprimăm integrandul prin această variabilă și ca rezultat ajungem la o formă tabelară (sau mai simplă) a integralei.

Foarte des, metoda substituției vine în ajutor atunci când se integrează funcții trigonometrice și funcții cu radicali.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită .

Soluţie.

Să introducem o nouă variabilă. Să exprimăm x prin z:

Înlocuim expresiile rezultate în integrala originală:

Din tabelul de antiderivate avem .

Rămâne să revenim la variabila inițială x:

Răspuns:

Foarte des se folosește metoda substituției la integrarea funcțiilor trigonometrice. De exemplu, utilizarea substituției trigonometrice universale vă permite să transformați integrandul într-o formă rațională fracțională.

Metoda substituției vă permite să explicați regula integrării .

Introducem o nouă variabilă, atunci

Înlocuim expresiile rezultate în integrala originală:

Dacă acceptăm și revenim la variabila inițială x, obținem

Prezentarea semnului diferenţial.

Metoda de subsumare a semnului diferenţial se bazează pe reducerea integrandului la formă . În continuare, se folosește metoda substituției: se introduce o nouă variabilă și după găsirea antiderivatei pentru noua variabilă, revenim la variabila inițială, adică

Pentru comoditate, plasați-l în fața ochilor sub formă de diferențiale pentru a ușura transformarea integrandului, precum și un tabel de antiderivate pentru a vedea în ce formă să convertiți integrandul.

De exemplu, să găsim setul de antiderivate ale funcției cotangente.

Exemplu.

Aflați integrala nedefinită.

Soluţie.

Integrandul poate fi transformat folosind formule de trigonometrie:

Privind tabelul derivatelor, ajungem la concluzia că expresia din numărător poate fi subsumată semnului diferențial , De aceea

Adică .

Să fie atunci . Din tabelul antiderivatelor vedem că . Revenind la variabila inițială .

Fără explicații, soluția se scrie după cum urmează:

Integrare pe părți.

Integrarea pe părți se bazează pe reprezentarea integrandului ca produs și apoi aplicarea formulei. Această metodă este un instrument de integrare foarte puternic. În funcție de integrand, metoda integrării pe părți trebuie uneori aplicată de mai multe ori la rând înainte de a obține rezultatul. De exemplu, să găsim setul de antiderivate ale funcției arctangente.

Exemplu.

Calculați integrala nedefinită.

Soluţie.

Să fie atunci

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți funcția v(x) nu adăugați o constantă arbitrară C.

Acum aplicăm formula de integrare prin părți:

Calculăm ultima integrală folosind metoda subsumării ei sub semnul diferențial.

De atunci . De aceea

Prin urmare,

Unde .

Răspuns:

Principalele dificultăți în integrarea pe părți apar din alegere: ce parte a integrandului să ia ca funcție u(x) și care parte ca diferențială d(v(x)). Cu toate acestea, există o serie de recomandări standard, cu care vă recomandăm să vă familiarizați în secțiunea Integrare pe părți.

Când integrați expresii de putere, de exemplu sau , utilizați formule recurente care vă permit să reduceți gradul de la pas la pas. Aceste formule sunt obținute prin integrare secvențială repetată pe părți. Vă recomandăm să vă familiarizați cu integrarea secțiunilor folosind formule de recurență.

În concluzie, aș dori să rezum tot materialul din acest articol. Baza fundamentelor este metoda integrării directe. Metodele de substituție, de substituție sub semn diferențial și metoda de integrare pe părți fac posibilă reducerea integralei originale la una tabelară.

În acest subiect vom vorbi în detaliu despre proprietățile integralei nedefinite și despre găsirea integralelor în sine folosind proprietățile menționate. Vom lucra și cu tabelul de integrale nedefinite. Materialul prezentat aici este o continuare a temei „Integrală nedefinită. Început”. Sincer să fiu, lucrările de testare rareori conțin integrale care pot fi luate folosind tabele tipice și/sau proprietăți simple. Aceste proprietăți pot fi comparate cu alfabetul, cunoașterea și înțelegerea cărora este necesară pentru a înțelege mecanismul de rezolvare a integralelor din alte subiecte. Adesea se numește integrare folosind tabele de integrale și proprietăți ale integralei nedefinite integrare directă.

La ce ajung: funcțiile se schimbă, dar formula de găsire a derivatei rămâne neschimbată, spre deosebire de integrală, pentru care a trebuit deja să enumerăm două metode.

Să mergem mai departe. Pentru a găsi derivata $y=x^(-\frac(1)(2))\cdot(1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ toate același se aplică aceeași formulă $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v"$, în care va trebui să înlocuiți $u=x^(-\frac(1)(2)) $, $v=( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3)$ Dar pentru a găsi integrala $\int x^(-\frac(1)(. 2))\cdot( 1+x^(\frac(1)(4)))^\frac(1)(3) dx$ va necesita utilizarea unei noi metode - substituții Chebyshev.

Și în sfârșit: pentru a găsi derivata funcției $y=\sin x\cdot\frac(1)(x)$, formula $(u\cdot v)"=u"\cdot v+u\cdot v" $ este din nou aplicabil, în care în loc de $u$ și $v$ înlocuim $\sin x$ și respectiv $\frac(1)(x)$, dar $\int \sin x\cdot\frac(1 )(x) dx$ este luată mai exact, nu este exprimată printr-un număr finit de funcții elementare.

Să rezumam: acolo unde a fost nevoie de o formulă pentru a găsi derivata, au fost necesare patru pentru integrală (și aceasta nu este limita), iar în acest din urmă caz ​​integrala a refuzat deloc să fie găsită. Funcția a fost schimbată - era nevoie de o nouă metodă de integrare. Aici avem tabele cu mai multe pagini în cărțile de referință. Lipsa unei metode generale (adecvată pentru rezolvarea „manual”) duce la o abundență de metode private care sunt aplicabile doar pentru integrarea clasei proprii, extrem de limitate de funcții (în subiectele ulterioare vom trata aceste metode în detaliu). Deși nu pot să nu remarc prezența algoritmului Risch (vă sfătuiesc să citiți descrierea pe Wikipedia), acesta este potrivit doar pentru procesarea programelor de integrale nedefinite.

Întrebarea #3

Dar dacă există atât de multe dintre aceste proprietăți, cum pot învăța să iau integralele? A fost mai ușor cu derivatele!

Pentru o persoană, există o singură cale până acum: să rezolvi cât mai multe exemple posibil utilizând diverse metode de integrare, astfel încât atunci când apare o nouă integrală nedefinită, să poți alege o metodă de rezolvare a acesteia pe baza experienței tale. Înțeleg că răspunsul nu este foarte încurajator, dar nu există altă cale.

Proprietățile integralei nedefinite

Proprietatea nr. 1

Derivata integralei nedefinite este egala cu integrandul, i.e. $\left(\int f(x) dx\right)"=f(x)$.

Această proprietate este destul de naturală, deoarece integrala și derivata sunt operații reciproc inverse. De exemplu, $\left(\int \sin 3x dx\right)"=\sin 3x$, $\left(\int \left(3x^2+\frac(4)(\arccos x)\right) dx \ dreapta)"=3x^2+\frac(4)(\arccos x)$ și așa mai departe.

Proprietatea nr. 2

Integrala nedefinită a diferenţialului unei funcţii este egală cu această funcţie, i.e. $\int \mathrm d F(x) =F(x)+C$.

De obicei, această proprietate este percepută ca fiind oarecum dificilă, deoarece se pare că nu există „nimic” sub integrală. Pentru a evita acest lucru, puteți scrie proprietatea indicată după cum urmează: $\int 1\mathrm d F(x) =F(x)+C$. Un exemplu de utilizare a acestei proprietăți: $\int \mathrm d(3x^2+e^x+4)=3x^2+e^x+4+C$ sau, dacă doriți, sub această formă: $\int 1\; \mathrm d(3x^2+e^x+4) =3x^2+e^x+4+C$.

Proprietatea nr. 3

Factorul constant poate fi scos din semnul integral, i.e. $\int a\cdot f(x) dx=a\cdot\int f(x) dx$ (presupunem că $a\neq 0$).

Proprietatea este destul de simplă și, poate, nu necesită comentarii. Exemple: $\int 3x^5 dx=3\cdot \int x^5 dx$, $\int (2x+4e^(7x)) dx=2\cdot\int(x+2e^(7x))dx $, $\int kx^2dx=k\cdot\int x^2dx$ ($k\neq 0$).

Proprietatea nr. 4

Integrala sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) integralelor acestor funcții:

$$\int(f_1(x)\pm f_2(x))dx=\int f_1(x)dx\pm\int f_2(x)dx$$

Exemple: $\int(\cos x+x^2)dx=\int \cos xdx+\int x^2 dx$, $\int(e^x - \sin x)dx=\int e^xdx -\ int \sin x dx$.

În testele standard, sunt utilizate de obicei proprietățile nr. 3 și nr. 4, așa că ne vom opri asupra lor mai detaliat.

Exemplul nr. 3

Găsiți $\int 3 e^x dx$.

Să folosim proprietatea nr. 3 și să scoatem constanta, i.e. numărul $3$, pentru semnul integral: $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx$. Acum să deschidem tabelul de integrale și înlocuind $u=x$ în formula nr. 4 obținem: $\int e^x dx=e^x+C$. Rezultă că $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3e^x+C$. Presupun că cititorul va avea imediat o întrebare, așa că voi formula această întrebare separat:

Întrebarea #4

Dacă $\int e^x dx=e^x+C$, atunci $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left(e^x+C\right) =3e^x+3C$! De ce au scris doar $3e^x+C$ în loc de $3e^x+3C$?

Întrebarea este complet rezonabilă. Ideea este că constanta integrală (adică același număr $C$) poate fi reprezentată sub forma oricărei expresii: principalul lucru este că această expresie „aparcurge” întregul set de numere reale, adică. a variat de la $-\infty$ la $+\infty$. De exemplu, dacă $-\infty≤ C ≤ +\infty$, atunci $-\infty≤ \frac(C)(3) ≤ +\infty$, deci constanta $C$ poate fi reprezentată sub forma $\ frac(C)( 3)$. Putem scrie că $\int e^x dx=e^x+\frac(C)(3)$ și apoi $\int 3 e^x dx=3\cdot\int e^x dx=3\cdot\left (e^x+\frac(C)(3)\right)=3e^x+C$. După cum puteți vedea, nu există nicio contradicție aici, dar trebuie să fiți atenți când schimbați forma constantei integrale. De exemplu, reprezentarea constantei $C$ ca $C^2$ ar fi o eroare. Ideea este că $C^2 ≥ 0$, adică. $C^2$ nu se schimbă de la $-\infty$ la $+\infty$ și nu „parcurge” toate numerele reale. La fel, ar fi o greșeală să se reprezinte o constantă ca $\sin C$, deoarece $-1≤ \sin C ≤ 1$, i.e. $\sin C$ nu „parcurge” toate valorile axei reale. În cele ce urmează, nu vom discuta această problemă în detaliu, ci vom scrie pur și simplu constanta $C$ pentru fiecare integrală nedefinită.

Exemplul nr. 4

Găsiți $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx$.

Să folosim proprietatea nr. 4:

$$\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right) dx=\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x ^2+9)dx-\int8x^3dx$$

Acum să luăm constantele (numerele) în afara semnelor integrale:

$$\int 4\sin x dx-\int\frac(17)(x^2+9)dx-\int8x^3dx=4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^ 2+9)-8\int x^3dx$$

În continuare, vom lucra separat cu fiecare integrală obținută. Prima integrală, adică $\int \sin x dx$, poate fi găsit cu ușurință în tabelul de integrale de la nr. 5. Substituind $u=x$ în formula nr. 5 obținem: $\int \sin x dx=-\cos x+C$.

Pentru a găsi a doua integrală $\int\frac(dx)(x^2+9)$ trebuie să aplicați formula nr. 11 din tabelul de integrale. Înlocuind $u=x$ și $a=3$ în el obținem: $\int\frac(dx)(x^2+9)=\frac(1)(3)\cdot \arctg\frac(x) (3)+C$.

Și, în final, pentru a găsi $\int x^3dx$ folosim formula nr. 1 din tabel, înlocuind $u=x$ și $\alpha=3$ în ea: $\int x^3dx=\frac(x^ (3 +1))(3+1)+C=\frac(x^4)(4)+C$.

Au fost găsite toate integralele incluse în expresia $4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx$. Tot ce rămâne este să le înlocuim:

$$4\int \sin x dx-17\int\frac(dx)(x^2+9)-8\int x^3dx=4\cdot(-\cos x)-17\cdot\frac(1) (3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-8\cdot\frac(x^4)(4)+C=\\ =-4\cdot\cos x-\frac(17)(3 )\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C.$$

Problema este rezolvată, răspunsul este: $\int\left(4\sin x-\frac(17)(x^2+9)-8x^3 \right)dx=-4\cdot\cos x-\ frac(17 )(3)\cdot\arctg\frac(x)(3)-2\cdot x^4+C$. Voi adăuga o mică notă la această problemă:

Doar o mică notă

Poate că nimeni nu va avea nevoie de această inserție, dar voi menționa în continuare că $\frac(1)(x^2+9)\cdot dx=\frac(dx)(x^2+9)$. Aceste. $\int\frac(17)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(1)(x^2+9)dx=17\cdot\int\frac(dx)(x^2 +9)$.

Să ne uităm la un exemplu în care folosim formula nr. 1 din tabelul de integrale pentru a interpune iraționalități (rădăcini, cu alte cuvinte).

Exemplul nr. 5

Găsiți $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx$.

Pentru început, vom face aceleași acțiuni ca în exemplul nr. 3 și anume: vom descompune integrala în două și vom muta constantele dincolo de semnele integralelor:

$$\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6)) \right)dx=\int\left(5\cdot\sqrt(x^) 4) \right)dx-\int\frac(14)(\sqrt(x^6)) dx=\\ =5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac( dx)(\sqrt(x^6)) $$

Deoarece $\sqrt(x^4)=x^(\frac(4)(7))$, atunci $\int\sqrt(x^4) dx=\int x^(\frac(4)(7 ) )dx$. Pentru a găsi această integrală, aplicăm formula nr. 1, înlocuind $u=x$ și $\alpha=\frac(4)(7)$ în ea: $\int x^(\frac(4)(7)) dx=\ frac(x^(\frac(4)(7)+1))(\frac(4)(7)+1)+C=\frac(x^(\frac(11)(7)) )(\ frac(11)(7))+C=\frac(7\cdot\sqrt(x^(11)))(11)+C$. Dacă doriți, puteți reprezenta $\sqrt(x^(11))$ ca $x\cdot\sqrt(x^(4))$, dar acest lucru nu este necesar.

Să trecem acum la a doua integrală, adică. $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))$. Deoarece $\frac(1)(\sqrt(x^6))=\frac(1)(x^(\frac(6)(11)))=x^(-\frac(6)(11) ) $, atunci integrala luată în considerare poate fi reprezentată în următoarea formă: $\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))=\int x^(-\frac(6)(11))dx$ . Pentru a găsi integrala rezultată, aplicăm formula nr. 1 din tabelul de integrale, înlocuind $u=x$ și $\alpha=-\frac(6)(11)$ în ea: $\int x^(-\ frac(6)(11) ))dx=\frac(x^(-\frac(6)(11)+1))(-\frac(6)(11)+1)+C=\frac(x ^(\frac(5) (11)))(\frac(5)(11))+C=\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Înlocuind rezultatele obținute, obținem răspunsul:

$$5\cdot\int\sqrt(x^4) dx-14\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(x^6))= 5\cdot\frac(7\cdot\sqrt(x^( 11)))(11)-14\cdot\frac(11\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C= \frac(35\cdot\sqrt(x^(11)))( 11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C. $$

Răspuns: $\int\left(5\cdot\sqrt(x^4)-\frac(14)(\sqrt(x^6))\right)dx=\frac(35\cdot\sqrt(x^(11) )))(11)-\frac(154\cdot\sqrt(x^(5)))(5)+C$.

Și, în sfârșit, să luăm integrala care se încadrează sub formula nr. 9 din tabelul integralelor. Exemplul nr. 6, la care vom trece acum, ar putea fi rezolvat în alt mod, dar acest lucru va fi discutat în subiectele ulterioare. Deocamdată, vom rămâne în cadrul utilizării tabelului.

Exemplul nr. 6

Găsiți $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx$.

Mai întâi, să facem aceeași operație ca înainte: mutarea constantei (numărul $12$) în afara semnului integral:

$$ \int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int\frac(1)(\sqrt(15-7x^2))dx=12\cdot\int \frac(dx)(\sqrt(15-7x^2)) $$

Integrala rezultată $\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))$ este deja apropiată de cea tabelară $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2) )$ (formula nr. 9 tabelul integralelor). Diferența dintre integrala noastră este că înainte de $x^2$ sub rădăcină există un coeficient $7$, pe care integrala de tabel nu îl permite. Prin urmare, trebuie să scăpăm de acești șapte, deplasându-l dincolo de semnul rădăcinii:

$$ 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(15-7x^2))=12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7\cdot\left(\frac(15)) ) 7)-x^2\right)))= 12\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(7)\cdot\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))=\ frac (12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2)) $$

Dacă comparăm integrala tabelului $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))$ și $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)- x^ 2))$ devine clar că au aceeași structură. Numai în integrala $\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))$ în loc de $u$ există $x$, iar în loc de $a^2$ există $\frac (15)(7)$. Ei bine, dacă $a^2=\frac(15)(7)$, atunci $a=\sqrt(\frac(15)(7))$. Înlocuind $u=x$ și $a=\sqrt(\frac(15)(7))$ în formula $\int\frac(du)(\sqrt(a^2-u^2))=\arcsin \ frac(u)(a)+C$, obținem următorul rezultat:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\int\frac(dx)(\sqrt(\frac(15)(7)-x^2))= \frac(12)(\sqrt (7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C $$

Dacă luăm în considerare că $\sqrt(\frac(15)(7))=\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7))$, atunci rezultatul poate fi rescris fără „trei etaje”. ” fracții:

$$ \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(x)(\sqrt(\frac(15)(7)))+C=\frac(12)(\sqrt(7) ))\cdot\arcsin\frac(x)(\frac(\sqrt(15))(\sqrt(7)))+C= \frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac (\sqrt(7)\;x)(\sqrt(15))+C $$

Problema este rezolvată, răspunsul este primit.

Răspuns: $\int\frac(12)(\sqrt(15-7x^2))dx=\frac(12)(\sqrt(7))\cdot\arcsin\frac(\sqrt(7)\;x) (\sqrt(15))+C$.

Exemplul nr. 7

Găsiți $\int\tg^2xdx$.

Există metode de integrare a funcțiilor trigonometrice. Cu toate acestea, în acest caz, vă puteți descurca cu cunoștințele formulelor trigonometrice simple. Deoarece $\tg x=\frac(\sin x)(\cos x)$, atunci $\left(\tg x\right)^2=\left(\frac(\sin x)(\cos x) \ dreapta)^2=\frac(\sin^2x)(\cos^2x)$. Luând în considerare $\sin^2x=1-\cos^2x$, obținem:

$$ \frac(\sin^2x)(\cos^2x)=\frac(1-\cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-\frac(\ cos^2x)(\cos^2x)=\frac(1)(\cos^2x)-1 $$

Astfel, $\int\tg^2xdx=\int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx$. Expandând integrala rezultată în suma integralelor și aplicând formule tabelare, vom avea:

$$ \int\left(\frac(1)(\cos^2x)-1\right)dx=\int\frac(dx)(\cos^2x)-\int 1dx=\tg x-x+C . $$

Răspuns: $\int\tg^2xdx=\tg x-x+C$.

Integrarea directă este înțeleasă ca o metodă de integrare în care o integrală dată este redusă la una sau mai multe integrale de tabel prin transformări identice ale integrandului și aplicarea proprietăților integralei nedefinite.

Exemplul 1. Găsi.

 Împărțind numărătorul la numitor, obținem:

=
.

Rețineți că nu este nevoie să puneți o constantă arbitrară după fiecare termen, deoarece suma lor este și o constantă arbitrară, pe care o scriem la sfârșit.

Exemplul 2. Găsi
.

 Transformăm integrandul astfel:

.

Aplicând integrala tabelului 1, obținem:

.

Exemplul 3.

Exemplul 4.

Exemplul 5.

=
.

În unele cazuri, găsirea integralelor este simplificată prin utilizarea tehnicilor artificiale.

Exemplul 6. Găsi
.

 Înmulțiți integrantul cu
găsim

=
.

Exemplul 7.

Exemplul 8 .

2. Integrarea prin schimbarea metodei variabilei

Nu este întotdeauna posibil să se calculeze o integrală dată prin integrare directă și, uneori, aceasta este asociată cu mari dificultăți. În aceste cazuri, se folosesc alte tehnici. Una dintre cele mai eficiente este metoda de înlocuire variabilă. Esența sa constă în faptul că prin introducerea unei noi variabile de integrare este posibilă reducerea unei integrale date la una nouă, care este relativ ușor de luat direct. Există două variante ale acestei metode.

a) Metoda de subsumare a unei funcţii sub semnul diferenţial

Prin definiţia diferenţialului funcţiei
.

Tranziția în această egalitate de la stânga la dreapta se numește „rezumarea factorului”
sub semnul diferenţial”.

Teorema privind invarianța formulelor de integrare

Orice formulă de integrare își păstrează forma atunci când înlocuiește variabila independentă cu orice funcție diferențiabilă de la aceasta, adică dacă

, atunci
,

Unde
- orice functie diferentiabila a x. Valorile sale trebuie să aparțină intervalului în care funcția definit si continuu.

Dovada:

Din ce
, ar trebui
. Să luăm acum funcția
. Pentru diferenta sa, datorita proprietatii de invarianta a formei primei diferentiale a functiei , avem

Să fie necesar să se calculeze integrala
. Să presupunem că există o funcție diferențiabilă
și funcția
astfel încât integrand
poate fi scris ca

aceste. calcul integral
se reduce la calcularea integralei
și înlocuirea ulterioară
.

Exemplul 1. .

Exemplul 2. .

Exemplul 3 . .

Exemplul 4 . .

Exemplul 5 .
.

Exemplul 6 . .

Exemplul 7 . .

Exemplul 8. .

Exemplul 9. .

Exemplul 10 . .

Exemplul 11.

Exemplul 12 . FindI=
(0).

 Să reprezentăm funcția integrand sub forma:

Prin urmare,

Astfel,
.

Exemplul 12a. Găsi eu=
,
.

 Din moment ce
,

prin urmare eu= . 

Exemplul 13. Găsi
(0).

 Pentru a reduce această integrală la una tabelară, împărțim numărătorul și numitorul integrandului la :

.

Am plasat un factor constant sub semnul diferenţial. Considerând-o ca o nouă variabilă, obținem:

.

Să calculăm și integrala, care este importantă atunci când integrăm funcții iraționale.

Exemplul 14. FindI=
( X O,O0).

 Avem
.

Aşa,

( X O,O0).

Exemplele prezentate ilustrează importanța capacității de a prezenta date.

expresie diferentiala
la minte
, Unde există o funcție de la xŞi g– o funcție mai simplu de integrat decât f.

În aceste exemple transformări diferențiale precum

Unde b– valoare constantă

,

,

,

folosit adesea la găsirea integralelor.

În tabelul integralelor de bază s-a presupus că x există o variabilă independentă. Cu toate acestea, acest tabel, după cum reiese din cele de mai sus, își păstrează pe deplin sensul dacă este sub xînţelege orice funcţie continuu diferenţiabilă a unei variabile independente. Să generalizăm o serie de formule din tabelul integralelor de bază.

3a.
.

4.
.

5.
=
.

6.
=
.

7.
=
.

8.
( X O,O0).

9.
(O0).

Operația de rezumare a unei funcții
sub semnul diferenţial este echivalent cu schimbarea variabilei X la o nouă variabilă
. Următoarele exemple ilustrează acest punct.

Exemplul 15. FindI=
.

 Să înlocuim variabila folosind formula
, Atunci
, adică
șiI=
.

Înlocuirea u expresia lui
, în sfârșit obținem

I=
.

Transformarea efectuată echivalează cu subsumarea semnului diferențial al funcției
.

Exemplul 16. Găsi
.

 Să punem
, Atunci
, unde
. Prin urmare,

Exemplul 17. Găsi
.

 Să
, Atunci
, sau
. Prin urmare,

În concluzie, observăm că moduri diferite de integrare a aceleiași funcții conduc uneori la funcții care sunt diferite în aparență. Această aparentă contradicție poate fi eliminată dacă arătăm că diferența dintre funcțiile obținute este o valoare constantă (vezi teorema demonstrată în Lecția 1).

Exemple:

Rezultatele diferă într-o cantitate constantă, ceea ce înseamnă că ambele răspunsuri sunt corecte.

b) I=
.

Este ușor de verificat că oricare dintre răspunsuri diferă unul de celălalt doar printr-o cantitate constantă.

b) Metoda de substituire (metoda de introducere a unei noi variabile)

Fie integrala
(
- continuu) nu poate fi transformat direct în formă tabelară. Să facem o înlocuire
, Unde
- o funcție care are o derivată continuă. Apoi
,
Şi

. (3)

Formula (3) se numește modificarea formulei variabilei în integrala nedefinită.

Cum să alegi înlocuirea potrivită? Acest lucru se realizează prin practică în integrare. Dar este posibil să se stabilească o serie de reguli generale și unele tehnici pentru cazuri speciale de integrare.

Regula pentru integrarea prin substituire este următoarea.

Determinați la ce integrală de tabel este redusă această integrală (după transformarea mai întâi a integrandului, dacă este necesar).

Determinați ce parte a integrandului să înlocuiți cu o nouă variabilă și notați această înlocuire.

Găsiți diferențele ambelor părți ale înregistrării și exprimați diferența vechii variabile (sau o expresie care conține această diferență) în termeni de diferența noii variabile.

Faceți o înlocuire sub integrală.

Găsiți integrala rezultată.

Se face o înlocuire inversă, de ex. treceți la vechea variabilă.

Să ilustrăm regula cu exemple.

Exemplul 18. Găsi
.

Exemplul 19. Găsi
.

=
.

Găsim această integrală prin însumare
sub semnul diferential.

=.

Exemplul 20. Găsi
(
).

, adică
, sau
. De aici
, adică
.

Astfel avem
. Înlocuirea exprimarea sa prin x, găsim în sfârșit integrala, care joacă un rol important în integrarea funcțiilor iraționale:
(
).

Elevii au poreclit această integrală „logaritmul lung”.

Uneori, în loc de înlocuire
este mai bine să se efectueze o înlocuire variabilă a formularului
.

Exemplul 21. Găsi
.

Exemplul 22. Găsi
.

 Să folosim înlocuirea
. Apoi
,
,
.

Prin urmare, .

Într-un număr de cazuri, găsirea integralei se bazează pe utilizarea metodelor de integrare directă și subsumarea funcțiilor sub semnul diferențial în același timp (vezi exemplul 12).

Să ilustrăm această abordare combinată a calculării integralei, care joacă un rol important în integrarea funcțiilor trigonometrice.

Exemplul 23. Găsi
.

=
.

Aşa,
.

O altă abordare pentru calcularea acestei integrale:

.

Exemplul 24. Găsi
.

Rețineți că alegerea unei înlocuiri de succes este de obicei dificilă. Pentru a le depăși, trebuie să stăpâniți tehnica diferențierii și să aveți o bună cunoaștere a integralelor de tabel.