Cum se rezolvă sisteme de ecuații exponențiale și inegalități. Ecuații exponențiale
Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii
Pentru început, să ne amintim pe scurt ce metode există în general pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.
Sunt patru moduri principale soluții ale sistemelor de ecuații:
Metoda de substituție: luați oricare dintre ecuațiile date și exprimați $y$ în termeni de $x$, apoi $y$ este substituit în ecuația sistemului, de unde se găsește variabila $x.$ După aceasta, putem calcula cu usurinta variabila $y.$
Metoda adunării: în această metodă, trebuie să înmulțiți una sau ambele ecuații cu astfel de numere încât, atunci când le adunați, una dintre variabile „dispare”.
Metoda grafică: ambele ecuații ale sistemului sunt reprezentate pe planul de coordonate și se găsește punctul de intersecție a acestora.
Metoda introducerii de noi variabile: în această metodă înlocuim câteva expresii pentru a simplifica sistemul, iar apoi folosim una dintre metodele de mai sus.
Sisteme de ecuații exponențiale
Definiția 1
Sistemele de ecuații formate din ecuații exponențiale se numesc sisteme de ecuații exponențiale.
Vom lua în considerare rezolvarea sistemelor de ecuații exponențiale folosind exemple.
Exemplul 1
Rezolvarea sistemului de ecuații
Figura 1.
Soluţie.
Vom folosi prima metodă pentru a rezolva acest sistem. Mai întâi, să exprimăm $y$ în prima ecuație în termeni de $x$.
Figura 2.
Să substituim $y$ în a doua ecuație:
\ \ \[-2-x=2\] \ \
Răspuns: $(-4,6)$.
Exemplul 2
Rezolvarea sistemului de ecuații
Figura 3.
Soluţie.
Acest sistem este echivalent cu sistemul
Figura 4.
Să aplicăm a patra metodă de rezolvare a ecuațiilor. Fie $2^x=u\ (u >0)$ și $3^y=v\ (v >0)$, obținem:
Figura 5.
Să rezolvăm sistemul rezultat folosind metoda adunării. Să adunăm ecuațiile:
\ \
Apoi, din a doua ecuație, obținem asta
Revenind la înlocuire, am primit un nou sistem de ecuații exponențiale:
Figura 6.
Primim:
Figura 7.
Răspuns: $(0,1)$.
Sisteme de inegalități exponențiale
Definiția 2
Sistemele de inegalități formate din ecuații exponențiale se numesc sisteme de inegalități exponențiale.
Vom lua în considerare rezolvarea sistemelor de inegalități exponențiale folosind exemple.
Exemplul 3
Rezolvați sistemul de inegalități
Figura 8.
Soluţie:
Acest sistem de inegalități este echivalent cu sistemul
Figura 9.
Pentru a rezolva prima inegalitate, amintiți următoarea teoremă privind echivalența inegalităților exponențiale:
Teorema 1. Inegalitatea $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, unde $a >0,a\ne 1$ este echivalentă cu o colecție a două sisteme
\ \ \
Răspuns: $(-4,6)$.
Exemplul 2
Rezolvarea sistemului de ecuații
Figura 3.
Soluţie.
Acest sistem este echivalent cu sistemul
Figura 4.
Să aplicăm a patra metodă de rezolvare a ecuațiilor. Fie $2^x=u\ (u >0)$ și $3^y=v\ (v >0)$, obținem:
Figura 5.
Să rezolvăm sistemul rezultat folosind metoda adunării. Să adunăm ecuațiile:
\ \
Apoi, din a doua ecuație, obținem asta
Revenind la înlocuire, am primit un nou sistem de ecuații exponențiale:
Figura 6.
Primim:
Figura 7.
Răspuns: $(0,1)$.
Sisteme de inegalități exponențiale
Definiția 2
Sistemele de inegalități formate din ecuații exponențiale se numesc sisteme de inegalități exponențiale.
Vom lua în considerare rezolvarea sistemelor de inegalități exponențiale folosind exemple.
Exemplul 3
Rezolvați sistemul de inegalități
Figura 8.
Soluţie:
Acest sistem de inegalități este echivalent cu sistemul
Figura 9.
Pentru a rezolva prima inegalitate, amintiți următoarea teoremă privind echivalența inegalităților exponențiale:
Teorema 1. Inegalitatea $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, unde $a >0,a\ne 1$ este echivalentă cu o colecție a două sisteme
\}
