Proprietățile funcției y 4 la puterea lui x. Funcții elementare de bază

Pentru comoditatea de a considera o funcție de putere, vom lua în considerare 4 cazuri separate: o funcție de putere cu un exponent natural, o funcție de putere cu un exponent întreg, o funcție de putere cu un exponent rațional și o funcție de putere cu un exponent irațional.

Funcție de putere cu exponent natural

Mai întâi, să introducem conceptul de grad cu un exponent natural.

Definiția 1

Puterea unui număr real $a$ cu exponent natural $n$ este un număr egal cu produsul $n$ factori, fiecare fiind egal cu numărul $a$.

Figura 1.

$a$ este baza gradului.

$n$ este exponentul.

Să considerăm acum o funcție de putere cu un exponent natural, proprietățile și graficul acesteia.

Definiția 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ se numește o funcție de putere cu un exponent natural.

Pentru mai multă comoditate, considerăm separat o funcție de putere cu un exponent par $f\left(x\right)=x^(2n)$ și o funcție de putere cu un exponent impar $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\în N)$.

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent natural par

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- funcția este pară.

Zona valorii -- $\

Funcția scade cu $x\in (-\infty ,0)$ și crește cu $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

Funcția este convexă pe întregul domeniu de definiție.

Comportament la sfârșitul domeniului:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Grafic (Fig. 2).

Figura 2. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n)$

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent natural impar

Domeniul de aplicare -- toate numere reale.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funcția este impară.

$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu de definiție.

Gama sunt toate numere reale.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funcția crește pe întregul domeniu de definiție.

$f\left(x\right)0$, pentru $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funcția este concavă pentru $x\in (-\infty ,0)$ și convexă pentru $x\in (0,+\infty)$.

Grafic (Fig. 3).

Figura 3. Graficul funcției $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Funcția de putere cu exponent întreg

Mai întâi, să introducem conceptul de grad cu un exponent întreg.

Definiția 3

Puterea unui număr real $a$ cu exponent întreg $n$ este determinată de formula:

Figura 4.

Să considerăm acum o funcție de putere cu un exponent întreg, proprietățile și graficul acesteia.

Definiția 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ se numește o funcție de putere cu un exponent întreg.

Dacă gradul este mai mare decât zero, atunci ajungem la cazul unei funcții de putere cu exponent natural. Am discutat deja mai sus. Pentru $n=0$ obținem o funcție liniară $y=1$. Vom lăsa considerația sa în seama cititorului. Rămâne de luat în considerare proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ

Proprietățile unei funcții de putere cu un exponent întreg negativ

Domeniul de definiție este $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Dacă exponentul este par, atunci funcția este pară, atunci funcția este impară.

$f(x)$ este continuu pe întregul domeniu de definiție.

Domeniu de aplicare:

Dacă exponentul este par, atunci $(0,+\infty)$ dacă este impar, atunci $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$;

Pentru un exponent impar, funcția scade cu $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Dacă exponentul este par, funcția scade cu $x\in (0,+\infty)$. și crește cu $x\în \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ pe întregul domeniu de definiție

Universitatea Nationala de Cercetare

Departamentul de Geologie Aplicată

Rezumat despre matematica superioară

Pe tema: „Funcții elementare de bază,

proprietățile și graficele lor"

Finalizat:

Verificat:

profesor

Definiţie. Funcția dată de formula y=a x (unde a>0, a≠1) se numește funcție exponențială cu baza a.

Să formulăm principalele proprietăți functie exponentiala:

1. Domeniul de definiție este mulțimea (R) a tuturor numerelor reale.

2. Interval - mulțimea (R+) a tuturor numerelor reale pozitive.

3. Pentru a > 1, funcția crește de-a lungul întregii drepte numerice; la 0<а<1 функция убывает.

4. Este o funcție de formă generală.

, pe intervalul xО [-3;3]
, pe intervalul xО [-3;3]

O funcție de forma y(x)=x n, unde n este numărul ОR, se numește funcție de putere. Numărul n poate lua diferite valori: atât întreg cât și fracționar, atât par cât și impar. În funcție de aceasta, funcția de putere va avea o formă diferită. Să luăm în considerare cazurile speciale care sunt funcții de putere și reflectă proprietățile de bază ale acestui tip de curbă în următoarea ordine: funcția de putere y=x² (funcție cu exponent par - o parabolă), funcție de putere y=x³ (funcție cu exponent impar). - parabolă cubică) și funcția y=√x (x la puterea lui ½) (funcție cu exponent fracționar), funcție cu exponent întreg negativ (hiperbolă).

Funcția de putere y=x²

1. D(x)=R – funcția este definită pe toată axa numerică;

2. E(y)= și crește pe interval

Funcția de putere y=x³

1. Graficul funcției y=x³ se numește parabolă cubică. Funcția de putere y=x³ are următoarele proprietăți:

2. D(x)=R – funcția este definită pe toată axa numerică;

3. E(y)=(-∞;∞) – funcția ia toate valorile din domeniul său de definiție;

4. Când x=0 y=0 – funcția trece prin originea coordonatelor O(0;0).

5. Funcția crește pe întregul domeniu de definire.

6. Funcția este impară (simetrică față de origine).

, pe intervalul xО [-3;3]

În funcție de factorul numeric din fața lui x³, funcția poate fi abruptă/plată și crescătoare/descrescătoare.

Funcția de putere cu exponent întreg negativ:

Dacă exponentul n este impar, atunci graficul unei astfel de funcții de putere se numește hiperbolă. O funcție de putere cu un exponent negativ întreg are următoarele proprietăți:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) pentru orice n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), dacă n este un număr impar; E(y)=(0;∞), dacă n este un număr par;

3. Funcția scade pe întregul domeniu de definiție dacă n este un număr impar; funcția crește pe intervalul (-∞;0) și scade pe intervalul (0;∞) dacă n este un număr par.

4. Funcția este impară (simetrică față de origine) dacă n este un număr impar; o funcție este par dacă n este un număr par.

5. Funcția trece prin punctele (1;1) și (-1;-1) dacă n este un număr impar și prin punctele (1;1) și (-1;1) dacă n este un număr par.

, pe intervalul xО [-3;3]

Funcția de putere cu exponent fracționar

O funcție de putere cu un exponent fracționar (imagine) are un grafic al funcției prezentate în figură. O funcție de putere cu un exponent fracționar are următoarele proprietăți: (imagine)

1. D(x) ОR, dacă n este un număr impar și D(x)=
, pe intervalul xО
, pe intervalul xО [-3;3]

Funcția logaritmică y = log a x are următoarele proprietăți:

1. Domeniul definiției D(x)О (0; + ∞).

2. Interval de valori E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Funcția nu este nici pară, nici impară (de formă generală).

4. Funcția crește pe intervalul (0; + ∞) pentru a > 1, scade pe (0; + ∞) pentru 0< а < 1.

Graficul funcției y = log a x poate fi obținut din graficul funcției y = a x folosind o transformare de simetrie în jurul dreptei y = x. Figura 9 prezintă un grafic al funcției logaritmice pentru a > 1 și Figura 10 pentru 0< a < 1.

; pe intervalul xО
; pe intervalul xО

Funcțiile y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x se numesc funcții trigonometrice.

Funcțiile y = sin x, y = tan x, y = ctg x sunt impare, iar funcția y = cos x este pară.

Funcția y = sin(x).

1. Domeniul definiției D(x) ОR.

2. Interval de valori E(y) О [ - 1; 1].

3. Funcția este periodică; perioada principală este 2π.

4. Funcția este impară.

5. Funcția crește pe intervale [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] și scade pe intervalele [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Graficul funcției y = sin (x) este prezentat în Figura 11.

Dat material metodologic este doar pentru referință și se aplică unei game largi de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor funcțiilor elementare de bază și discută cea mai importantă întrebare – cum să construiți un grafic corect și RAPID. În timpul studiului matematică superioară Fără a cunoaște graficele funcțiilor elementare de bază, va fi dificil, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc. și amintiți-vă câteva dintre valorile funcției. Vom vorbi și despre câteva proprietăți ale principalelor funcții.

Nu pretind completitatea și temeinicia științifică a materialelor se va pune accent, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care se întâlnește literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? S-ar putea spune așa.

Datorită numeroaselor solicitări din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultrascurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, chiar și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală poate fi vizualizată. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și să începem imediat:

Cum se construiesc corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna finalizate de către elevi în caiete separate, aliniate într-un pătrat. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru proiectarea de înaltă calitate și precisă a desenelor.

Orice desen al unui grafic de funcții începe cu axe de coordonate.

Desenele pot fi bidimensionale sau tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare:

1) Desenați axele de coordonate. Axa se numește axa x , iar axa este axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu litere mari „X” și „Y”. Nu uitați să etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trageți un zero și doi uni. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și folosită frecvent este: 1 unitate = 2 celule (desen din stânga) - dacă este posibil, rămâneți de ea. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe foaia caietului - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Este rar, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU ESTE NEVOIE să „mitralieră” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. punem zeroŞi două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „marcați” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va defini, de asemenea, în mod unic grila de coordonate.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a construi desenul. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este complet clar că scara populară de 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la punctul - aici va trebui să măsurați cincisprezece centimetri mai jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică: 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că 30 de celule de notebook conțin 15 centimetri? Pentru distracție, măsurați 15 centimetri în caiet cu o riglă. În URSS, s-ar putea să fi fost adevărat... Este interesant de observat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Acest lucru poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau scurtă recomandare pentru papetărie. Astăzi, majoritatea caietelor aflate în vânzare sunt, cel puțin, o porcărie completă. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisesc bani pe hârtie. Pentru înregistrare teste Recomand să folosiți caiete de la Fabrica de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, pătrat) sau „Pyaterochka”, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină umplutură de gel chinezească este mult mai bună decât un pix, care fie pătează, fie rupe hârtia. Singurul „competitiv” pixîn memoria mea este „Erich Krause”. Ea scrie clar, frumos și consecvent – ​​fie cu miezul plin, fie cu unul aproape gol.

În plus: Viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiulare prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor, informatii detaliate despre sferturi de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenați axele de coordonate. Standard: axa aplicată – îndreptată în sus, axa – îndreptată spre dreapta, axa – îndreptată în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Etichetați axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scara de-a lungul axei este de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că în desenul din dreapta am folosit o „crestătură” non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, acest lucru este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu este nevoie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” o unitate apropiată de originea coordonatelor.

Când faceți un desen 3D, acordați din nou prioritate la scară
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt făcute pentru a fi încălcate. Asta voi face acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect din punctul de vedere al designului corect. Aș putea desena toate graficele manual, dar este de fapt înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

Funcția liniară este dat de ecuație. Graficul funcțiilor liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Construiți un grafic al funcției. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Dacă, atunci

Să luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Dacă, atunci

La finalizarea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, un calculator.

Au fost găsite două puncte, să facem desenul:

Când pregătim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Ar fi util să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am pus semnăturile, semnăturile nu trebuie să permită discrepanțe la studierea desenului. ÎN în acest caz, Era extrem de nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Un grafic de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construirea unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți doar un punct.

2) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției se construiește imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea trebuie înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu –4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă specifică o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea trasat imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, de ce să vă amintiți de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa este, dar de-a lungul anilor de practică am întâlnit o duzină bună de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau.

Construirea unei linii drepte este cea mai comună acțiune la realizarea desenelor.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei interesați se pot referi la articol Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul unei funcții pătratice, cubice, graficul unui polinom

Parabolă. Graficul unei funcții pătratice () reprezintă o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: – în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi găsit în articolul teoretic despre derivată și lecția despre extremele funcției. Între timp, să calculăm valoarea „Y” corespunzătoare:

Astfel, vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Să facem desenul:

Din graficele examinate, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoștințe aprofundate despre curbă pot fi obținute în lecția Hiperbola și parabolă.

O parabolă cubică este dată de funcție. Iată un desen cunoscut de la școală:

Să enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul unei funcții

Reprezintă una dintre ramurile unei parabole. Să facem desenul:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul unei hiperbole la .

Voinţă MARE greseala, dacă, la întocmirea unui desen, permiteți neglijent ca graficul să se intersecteze cu o asimptotă.

De asemenea, limitele unilaterale ne spun că hiperbola nelimitat de susŞi nelimitat de jos.

Să examinăm funcția la infinit: , adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi într-un pas ordonat infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul unei funcții, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, și, prin urmare, hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt evident din desen, în plus, se verifică ușor analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea trimestru de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea trimestru de coordonate.

Modelul indicat al rezidenței hiperbolei este ușor de analizat din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctuală și este avantajos să selectăm valorile astfel încât să fie divizibile cu un întreg:

Să facem desenul:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, ciudatenia funcției va ajuta aici. Aproximativ vorbind, în tabelul de construcție punctual, adăugăm mental un minus fiecărui număr, punem punctele corespunzătoare și desenăm a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia luată în considerare pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În această secțiune, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri apare exponențialul.

Vă reamintesc că asta este număr irațional: , acest lucru va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, mai multe despre el mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

Graficele de funcții etc., arată fundamental la fel.

Trebuie să spun că al doilea caz apare mai rar în practică, dar apare, așa că am considerat necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Luați în considerare o funcție cu logaritmul natural.
Să facem un desen punct cu punct:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniul definirii:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală deoarece graficul unei funcții ca „x” tinde spre zero din dreapta.

Este imperativ să cunoașteți și să vă amintiți valoarea tipică a logaritmului: .

Graficul logaritmului de la bază arată în esență același: , , ( logaritm zecimal la baza 10), etc. Mai mult, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul, nu-mi amintesc când ultima dată Am construit un grafic pe această bază. Iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

La sfârșitul acestui paragraf voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmică– acestea sunt două funcții reciproc inverse. Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

De unde începe chinul trigonometric la școală? Corect. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie numit sinusoid.

Permiteți-mi să vă reamintesc că „pi” este un număr irațional: , iar în trigonometrie vă face ochii orbitori.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct . Ce înseamnă? Să ne uităm la segment. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniul definirii: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toți „jucătorii” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai exact, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

Funcția de putere, proprietățile ei și graficul Material demonstrativ Lecție-preleg Concept de funcție. Proprietățile funcției. Funcția de putere, proprietățile și graficul acesteia. Gradul 10 Toate drepturile rezervate. Drepturi de autor cu drepturi de autor cu

Progresul lecției: Repetiție. Funcţie. Proprietățile funcțiilor. Învățarea de materiale noi. 1. Definiția unei funcții de putere.Definiția unei funcții de putere. 2. Proprietăți și grafice ale funcțiilor de putere. Proprietăți și grafice ale funcțiilor de putere. Consolidarea materialului studiat. Numărarea orală. Numărarea orală. Rezumatul lecției. Temă pentru acasă.

Domeniul de definire și domeniul valorilor unei funcții Toate valorile variabilei independente formează domeniul de definire al funcției x y=f(x) f Domeniul de definire al funcției Domeniul valorilor funcției Toate valorile pe care variabila dependentă le ia formează domeniul de valori al funcției Funcție. Proprietățile funcției

Graficul unei funcții Să fie dată o funcție unde xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Graficul unei funcții este mulțimea tuturor punctelor planului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției. Funcţie. Proprietățile funcției

Y x Domeniul de definire și domeniul de valori al funcției 4 y=f(x) Domeniul de definire al funcției: Domeniul valorilor funcției: Funcția. Proprietățile funcției

Funcția pare y x y=f(x) Graficul unei funcții pare este simetric față de axa op-ampului Funcția y=f(x) se numește chiar dacă f(-x) = f(x) pentru orice x din domeniul de definire al funcției Funcție. Proprietățile funcției

Funcția impară y x y=f(x) Graficul unei funcții impare este simetric față de originea O(0;0) Funcția y=f(x) se numește impar dacă f(-x) = -f(x) pentru orice x din definițiile funcției de regiune Funcție. Proprietățile funcției

Definiția unei funcții de putere O funcție în care p este un număr real dat se numește funcție de putere. p y=x p P=x y 0 Progresul lecției

Funcția de putere x y 1. Domeniul definiției și intervalul de valori ale funcțiilor de putere de forma, unde n – număr natural, toate sunt numere reale. 2. Aceste funcții sunt impare. Graficul lor este simetric față de origine. Proprietăți și grafice ale funcțiilor de putere

Funcțiile de putere cu exponent pozitiv rațional Domeniu - toate numere pozitiveși numărul 0. Gama de valori ale funcțiilor cu acest exponent este, de asemenea, toate numerele pozitive și numărul 0. Aceste funcții nu sunt nici pare, nici impare. y x Proprietăţi şi grafice ale funcţiilor de putere

Funcția de putere cu exponent rațional negativ. Domeniul de definiție și intervalul de valori ale unor astfel de funcții sunt toate numere pozitive. Funcțiile nu sunt nici pare, nici impare. Astfel de funcții scad în întregul lor domeniu de definire. y x Proprietăți și grafice ale funcțiilor de putere Progresul lecției

Sunt prezentate proprietățile și graficele funcțiilor de putere sensuri diferite exponent. Formule de bază, domenii de definiție și seturi de valori, paritate, monotonitate, crescător și descrescător, extreme, convexitate, inflexiuni, puncte de intersecție cu axele de coordonate, limite, valori particulare.

Formule cu funcții de putere

Pe domeniul de definire al funcției de putere y = x p avem următoarele formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Proprietățile funcțiilor de putere și graficele acestora

Funcția de putere cu exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponentul funcției de putere y = x p este egal cu zero, p = 0, atunci funcția de putere este definită pentru toate x ≠ 0 și este o constantă egală cu unu:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funcția de putere cu exponent natural impar, p = n = 1, 3, 5, ...

Considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural impar n = 1, 3, 5, ... .

Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3, ... este un întreg nenegativ. Mai jos sunt proprietățile și graficele unor astfel de funcții.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < ∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
Convex:< x < 0 выпукла вверх
la -∞< x < ∞ выпукла вниз
la 0 Puncte de inflexiune:
Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
Valori private:
la x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
Funcția inversă:
pentru n = 1, funcția este inversa ei: x = y pentru n ≠ 1, functie inversa

este rădăcina gradului n:

Funcția de putere cu exponent natural par, p = n = 2, 4, 6, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent natural par n = 2, 4, 6, ... .

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.< ∞
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
par, y(-x) = y(x)
crește monoton pentru x ≤ 0 scade monoton
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
convex în jos Puncte de intersecție cu axele de coordonate:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
la x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1:
pentru n = 2,

rădăcină pătrată

pentru n ≠ 2, rădăcină de grad n:

Funcție de putere cu exponent întreg negativ, p = n = -1, -2, -3, ...

Se consideră o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent întreg negativ n = -1, -2, -3, ... .

Dacă punem n = -k, unde k = 1, 2, 3, ... este un număr natural, atunci acesta poate fi reprezentat ca:

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....
Domeniu de aplicare: Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
crește monoton Extreme:
Nu
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0: convex în jos
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
când n = -1,
la n< -2 ,

Exponent par, n = -2, -4, -6, ...

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu exponent negativ par n = -2, -4, -6, ....

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....
Domeniu de aplicare: y > 0
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0: scade monoton
crește monoton Extreme:
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
Semn: y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1
la n = -2,
la n< -2 ,

Funcția de putere cu exponent rațional (fracțional).

Considerăm o funcție de putere y = x p cu un exponent rațional (fracțional), unde n este un număr întreg, m > 1 este un număr natural. Mai mult, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicatorului fracționar este impar

Fie numitorul exponentului fracționar impar: m = 3, 5, 7, ... . În acest caz, funcția de putere x p este definită atât pentru pozitiv, cât și pentru valori negative argumentul x.

Să luăm în considerare proprietățile unor astfel de funcții de putere atunci când exponentul p este în anumite limite.< 0

Valoarea p este negativă, p

Fie exponentul rațional (cu numitor impar m = 3, 5, 7, ...) să fie mai mic decât zero: .

Grafice ale funcțiilor de putere cu un exponent negativ rațional pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = -1, -3, -5, ...

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....
Domeniu de aplicare: Exponent impar, n = -1, -3, -5, ...
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
crește monoton Extreme:
Nu
la x< 0 : выпукла вверх
pentru x > 0: convex în jos
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
Prezentăm proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent negativ rațional, unde n = -1, -3, -5, ... este un număr întreg negativ impar, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar.
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

la x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Numător par, n = -2, -4, -6, ...

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent întreg negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3, ....
Domeniu de aplicare: y > 0
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
la x< 0 : монотонно возрастает
pentru x > 0: scade monoton
crește monoton Extreme:
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
Semn: y > 0
x = 0, y = 0
; ; ;
Limite:
Proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional negativ, unde n = -2, -4, -6, ... este un întreg negativ par, m = 3, 5, 7 ... este un întreg natural impar .
la x = 0, y(0) = 0 n = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

la x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1

Valoarea p este pozitivă, mai mică de unu, 0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Graficul unei funcții de putere cu exponent rațional (0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < +∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
la x< 0 : выпукла вниз
Numător impar, n = 1, 3, 5, ...
la 0 Puncte de inflexiune:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
Semn:
la x< 0, y < 0
pentru x > 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x > 0: convex în sus
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

pentru x = 1, y(1) = 1

Numător par, n = 2, 4, 6, ...< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Domeniu de aplicare: Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.< +∞
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
la x< 0 : монотонно убывает
Sunt prezentate proprietățile funcției de putere y = x p cu un exponent rațional în 0
crește monoton pentru x > 0: crește monoton
Nu minim la x = 0, y = 0
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
Semn: convex în sus pentru x ≠ 0
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x ≠ 0, y > 0
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

la x = -1, y(-1) = 1

Indicele p este mai mare decât unu, p > 1

Graficul unei funcții de putere cu un exponent rațional (p > 1) pentru diferite valori ale exponentului, unde m = 3, 5, 7, ... - impar.

Numător impar, n = 5, 7, 9, ...

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: -∞ < y < ∞
Sensuri multiple: Paritate:
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
crește monoton Extreme:
Nu
Convex:< x < 0 выпукла вверх
la -∞< x < ∞ выпукла вниз
la 0 Puncte de inflexiune:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x > 0: convex în sus
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

Numător par, n = 4, 6, 8, ...

Proprietăţi ale funcţiei de putere y = x p cu un exponent raţional mai mare de unu: .

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Domeniu de aplicare: Acest indicator poate fi scris și sub forma: n = 2k, unde k = 1, 2, 3, ... - natural. Proprietățile și graficele acestor funcții sunt prezentate mai jos.< ∞
Sensuri multiple: Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent natural par pentru diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6, ....
impar, y(-x) = - y(x)
la x< 0 монотонно убывает
Unde n = 4, 6, 8, ... - natural par, m = 3, 5, 7 ... - natural impar.
crește monoton pentru x > 0: crește monoton
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
;
Limite:
pentru x ≠ 0, y > 0
la x = -1, y(-1) = -1
la x = 0, y(0) = 0
pentru x = 1, y(1) = 1 n = 1

pentru x > 0 crește monoton

Numitorul indicatorului fracționar este par

Fie numitorul exponentului fracționar par: m = 2, 4, 6, ... . În acest caz, funcția de putere x p nu este definită pentru valorile negative ale argumentului. Proprietățile sale coincid cu proprietățile unei funcții de putere cu un exponent irațional (vezi secțiunea următoare).

Funcția de putere cu exponent irațional Se consideră o funcție de putere y = x p cu un exponent irațional p. Proprietățile unor astfel de funcții diferă de cele discutate mai sus prin faptul că nu sunt definite pentru valorile negative ale argumentului x.

Pentru

valori pozitive< 0

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... argument, proprietățile depind doar de valoarea exponentului p și nu depind dacă p este întreg, rațional sau irațional.
Domeniu de aplicare: y > 0
impar, y(-x) = - y(x) Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu un exponent negativ impar n = -1, -3, -5, ....
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Extreme:
x = 0, y = 0 ;
y = x p pentru diferite valori ale exponentului p. Funcția de putere cu exponent negativ p

x > 0

Sens privat:< p < 1

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1
Domeniu de aplicare: Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
Nu Indicator mai mic de unu 0
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
Limite: x ≥ 0
Funcția de putere cu exponent negativ p

y ≥ 0

Graficul unei funcții de putere y = x n cu un exponent impar natural pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5, .... Pentru x = 1, y(1) = 1 p = 1
Domeniu de aplicare: Funcția de putere cu exponent pozitiv p > 0
impar, y(-x) = - y(x) Monoton:
Nu pentru x ≥ 0 crește monoton
la 0 Extreme:
minim, x = 0, y = 0 Puncte de inflexiune:
x = 0, y = 0
Limite: x ≥ 0
Funcția de putere cu exponent negativ p

convex în sus
Pentru x = 0, y(0) = 0 p = 0 .