Fracțional rațional. Cum se rezolvă ecuații cu fracții

Obiectivele lecției:

Educațional:

• formarea conceptului de ecuații raționale fracționale;
• luați în considerare diverse modalități de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale;
• luați în considerare un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale, inclusiv condiția ca fracția să fie egală cu zero;
• învață rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale folosind un algoritm;
• verificarea nivelului de stăpânire a temei prin efectuarea unui test.

Dezvoltare:

• dezvoltarea capacității de a opera corect cu cunoștințele dobândite și de a gândi logic;
• dezvoltarea abilităților intelectuale și a operațiilor mentale - analiză, sinteză, comparație și generalizare;
• dezvoltarea inițiativei, a capacității de a lua decizii și să nu se oprească aici;
• dezvoltarea gândirii critice;
• dezvoltarea abilităților de cercetare.

Educarea:

• creşterea interes cognitiv la subiect;
• promovarea independenței în rezolvarea problemelor educaționale;
• hrănind voința și perseverența pentru a obține rezultatele finale.

Tipul de lecție: lectie - explicatie material nou.

Progresul lecției

1. Moment organizatoric.

Salut baieti! Sunt ecuații scrise pe tablă, priviți-le cu atenție. Puteți rezolva toate aceste ecuații? Care nu sunt și de ce?

Ecuațiile în care părțile stânga și dreaptă sunt expresii raționale fracționale se numesc ecuații raționale fracționale. Ce crezi că vom studia astăzi în clasă? Formulați subiectul lecției. Deci, deschideți caietele și notați subiectul lecției „Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale”.

2. Actualizarea cunoștințelor. Sondaj frontal, lucru oral cu clasa.

Și acum vom repeta principalul material teoretic pe care trebuie să-l studiem subiect nou. Vă rugăm să răspundeți la următoarele întrebări:

1. Ce este o ecuație? ( Egalitatea cu o variabilă sau variabile.)
2. Cum se numește ecuația numărul 1? ( Liniar.) O metodă de rezolvare a ecuațiilor liniare. ( Mutați totul cu necunoscutul în partea stângă a ecuației, toate numerele la dreapta. Dați termeni similari. Găsiți factor necunoscut).
3. Cum se numește ecuația numărul 3? ( Pătrat.) Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice. ( Izolarea unui pătrat complet folosind formule folosind teorema lui Vieta și corolarele sale.)
4. Ce este proporția? ( Egalitatea a două rapoarte.) Principala proprietate a proporției. ( Dacă proporția este corectă, atunci produsul termenilor săi extremi este egal cu produsul termenilor de mijloc.)
5. Ce proprietăți se folosesc la rezolvarea ecuațiilor? ( 1. Dacă mutați un termen dintr-o ecuație dintr-o parte în alta, schimbându-i semnul, veți obține o ecuație echivalentă cu cea dată. 2. Dacă ambele părți ale ecuației sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, obțineți o ecuație echivalentă cu cea dată.)
6. Când o fracție este egală cu zero? ( O fracție este egală cu zero atunci când numărătorul este zero și numitorul nu este zero..)

3. Explicarea materialului nou.

Rezolvați ecuația nr. 2 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 10.

Care ecuație rațională fracțională Poți încerca să rezolvi folosind proprietatea de bază a proporției? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Rezolvați ecuația nr. 4 în caiete și pe tablă.

Răspuns: 1,5.

Ce ecuație rațională fracțională poți încerca să rezolvi înmulțind ambele părți ale ecuației cu numitorul? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Răspuns: 3;4.

Acum încercați să rezolvați ecuația numărul 7 folosind una dintre următoarele metode.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Răspuns: 0;5;-2.			Răspuns: 5;-2.

Explicați de ce s-a întâmplat asta? De ce sunt trei rădăcini într-un caz și două în celălalt? Ce numere sunt rădăcinile acestei ecuații raționale fracționale?

Până acum, elevii nu au întâlnit conceptul de rădăcină străină, le este într-adevăr foarte greu să înțeleagă de ce s-a întâmplat acest lucru. Dacă nimeni din clasă nu poate da o explicație clară a acestei situații, atunci profesorul pune întrebări de conducere.

• Cum diferă ecuațiile nr. 2 și 4 de ecuațiile nr. 5,6,7? ( În ecuațiile nr. 2 și 4 există numere la numitor, nr. 5-7 sunt expresii cu o variabilă.)
• Care este rădăcina unei ecuații? ( Valoarea variabilei la care ecuația devine adevărată.)
• Cum să afli dacă un număr este rădăcina unei ecuații? ( Faceți o verificare.)

Când testează, unii elevi observă că trebuie să împartă la zero. Ei concluzionează că numerele 0 și 5 nu sunt rădăcinile acestei ecuații. Apare întrebarea: există o modalitate de a rezolva ecuații raționale fracționale care ne permite să eliminăm această eroare? Da, această metodă se bazează pe condiția ca fracția să fie egală cu zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Dacă x=5, atunci x(x-5)=0, ceea ce înseamnă că 5 este o rădăcină străină.

Dacă x=-2, atunci x(x-5)≠0.

Răspuns: -2.

Să încercăm să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale în acest fel. Copiii formulează ei înșiși algoritmul.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale:

1. Mutați totul în partea stângă.
2. Reduceți fracțiile la un numitor comun.
3. Creați un sistem: o fracție este egală cu zero când numărătorul este egal cu zero și numitorul nu este egal cu zero.
4. Rezolvați ecuația.
5. Verificați inegalitatea pentru a exclude rădăcinile străine.
6. Scrieți răspunsul.

Discuție: cum să formalizezi soluția dacă folosiți proprietatea de bază a proporției și înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un numitor comun. (Adăugați la soluție: excludeți din rădăcinile sale pe cele care fac să dispară numitorul comun).

4. Înțelegerea inițială a materialului nou.

Lucrați în perechi. Elevii aleg cum să rezolve ei înșiși ecuația în funcție de tipul de ecuație. Teme din manualul „Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600(b,c,i); Nr. 601(a,e,g). Profesorul monitorizează finalizarea sarcinii, răspunde la orice întrebări care apar și oferă asistență elevilor cu performanțe scăzute. Autotest: răspunsurile sunt scrise pe tablă.

b) 2 – rădăcină străină. Raspuns: 3.

c) 2 – rădăcină străină. Răspuns: 1.5.

a) Răspuns: -12,5.

g) Răspuns: 1;1.5.

5. Stabilirea temelor.

1. Citiți paragraful 25 din manual, analizați exemplele 1-3.
2. Învață un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale.
3. Rezolvați în caietele Nr. 600 (a, d, e); Nr. 601(g,h).
4. Încercați să rezolvați nr. 696(a) (opțional).

6. Realizarea unei sarcini de control pe tema studiată.

Lucrarea se face pe bucăți de hârtie.

Exemplu de sarcină:

A) Care dintre ecuații sunt raționale fracționale?

B) O fracție este egală cu zero când numărătorul este ______________________ și numitorul este _______________________.

Î) Este numărul -3 rădăcina ecuației numărul 6?

D) Rezolvați ecuația nr. 7.

Criterii de evaluare a sarcinii:

• „5” este dat dacă elevul a finalizat corect mai mult de 90% din sarcină.
• „4” - 75%-89%
• „3” - 50%-74%
• „2” este acordat unui student care a finalizat mai puțin de 50% din sarcină.
• O nota de 2 nu este dată în jurnal, 3 este opțional.

7. Reflecție.

Pe fișele de lucru independente scrieți:

• 1 – dacă lecția a fost interesantă și de înțeles pentru tine;
• 2 – interesant, dar nu clar;
• 3 – nu este interesant, dar de înțeles;
• 4 – nu este interesant, nu este clar.

8. Rezumând lecția.

Deci, astăzi, în lecție, ne-am familiarizat cu ecuațiile raționale fracționale, am învățat cum să rezolvăm aceste ecuații în diverse moduri, și-au testat cunoștințele cu ajutorul unui training munca independenta. Vei afla rezultatele muncii tale independente in urmatoarea lectie, iar acasa vei avea ocazia sa iti consolidezi cunostintele.

Care metodă de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, în opinia dvs., este mai ușoară, mai accesibilă și mai rațională? Indiferent de metoda de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale, ce ar trebui să rețineți? Care este „smecheria” ecuațiilor raționale fracționale?

Mulțumesc tuturor, lecția s-a terminat.

Am învățat deja cum să rezolvăm ecuații patratice. Acum să extindem metodele studiate la ecuații raționale.

Ce este o expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale sunt expresii alcătuite din numere, variabile, puterile acestora și simboluri ale operațiilor matematice.

În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde - expresii raţionale.

Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații liniare. Acum să ne uităm la acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații patratice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

O fracție este egală cu 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu 0 și numitorul ei nu este egal cu 0.

Obtinem urmatorul sistem:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, să împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:

Obținem două rădăcini: ; .

Deoarece 2 nu este niciodată egal cu 0, trebuie îndeplinite două condiții: . Deoarece niciuna dintre rădăcinile ecuației obținute mai sus nu coincide cu valorile invalide ale variabilei care au fost obținute la rezolvarea celei de-a doua inegalități, ambele sunt soluții ale acestei ecuații.

Răspuns:.

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât partea dreaptă să se termine cu 0.

2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.

3. Echivalează fracția rezultată cu 0 utilizând următorul algoritm: .

4. Notează acele rădăcini care au fost obținute în prima ecuație și satisface a doua inegalitate din răspuns.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația: .

Soluţie

La început, să mutăm toți termenii la partea stângă, astfel încât 0 rămâne în dreapta.

Acum să aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:

Această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.

Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:

Obținem două rădăcini: ; .

Acum să rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.

Trebuie îndeplinite două condiții: . Constatăm că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.

Răspuns:.

În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și am învățat, de asemenea, cum să rezolvăm ecuații raționale, care se reduc la ecuații patratice.

În lecția următoare ne vom uita la ecuațiile raționale ca modele de situații reale și, de asemenea, vom analiza problemele de mișcare.

Referințe

1. Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Educație, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. şi alţii Algebra, 8. Ed. a 5-a. - M.: Educație, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Tutorial pentru institutii de invatamant. - M.: Educație, 2006.

1. Festivalul ideilor pedagogice” Lecție deschisă" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Teme pentru acasă

Să continuăm să vorbim despre rezolvarea ecuatiilor. În acest articol vom intra în detaliu despre ecuații raționaleşi principiile rezolvării ecuaţiilor raţionale cu o variabilă. Mai întâi, să ne dăm seama ce tip de ecuații sunt numite raționale, să dăm o definiție a ecuațiilor raționale întregi și fracționale și să dăm exemple. În continuare vom obține algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale și, bineînțeles, vom lua în considerare soluții exemple tipice cu toate explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Pe baza definițiilor menționate, dăm câteva exemple de ecuații raționale. De exemplu, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , sunt toate ecuații raționale.

Din exemplele prezentate, este clar că ecuațiile raționale, precum și ecuațiile de alte tipuri, pot fi cu o variabilă, sau cu două, trei etc. variabile. În paragrafele următoare vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor în două variabile si ei un număr mare merită o atenție specială.

Pe lângă împărțirea ecuațiilor raționale la numărul de variabile necunoscute, ele sunt, de asemenea, împărțite în numere întregi și fracționale. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiţie.

Ecuația rațională se numește întreg, dacă ambele părți din stânga și din dreapta sunt expresii raționale întregi.

Definiţie.

Dacă cel puțin una dintre părțile unei ecuații raționale este o expresie fracțională, atunci o astfel de ecuație se numește fracționat rațional(sau rațional fracțional).

Este clar că ecuațiile întregi nu conțin împărțirea printr-o variabilă, dimpotrivă, ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă (sau o variabilă în numitor). Deci 3 x+2=0 și (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– acestea sunt ecuații raționale întregi, ambele părți sunt expresii întregi. A și x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sunt exemple de ecuații raționale fracționale.

Încheind acest punct, să acordăm atenție faptului că ecuațiile liniare și ecuațiile patratice cunoscute până în acest punct sunt ecuații raționale întregi.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Una dintre principalele abordări pentru rezolvarea ecuațiilor întregi este reducerea acestora la unele echivalente ecuații algebrice. Acest lucru se poate face întotdeauna prin efectuarea următoarelor transformări echivalente ale ecuației:

• mai întâi, expresia din partea dreaptă a ecuației întregi originale este transferată în partea stângă cu semnul opus pentru a obține zero pe partea dreaptă;
• după aceasta, în partea stângă a ecuației rezultă vedere standard.

Rezultatul este ecuație algebrică, care este echivalent cu ecuația întreagă inițială. Astfel, în cele mai simple cazuri, rezolvarea de ecuații întregi se reduce la rezolvarea de ecuații liniare sau pătratice, iar în caz general– să rezolve o ecuație algebrică de gradul n. Pentru claritate, să ne uităm la soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile întregii ecuații 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Soluţie.

Să reducem soluția acestei întregi ecuații la soluția unei ecuații algebrice echivalente. Pentru a face acest lucru, în primul rând, transferăm expresia din partea dreaptă în stânga, ca urmare ajungem la ecuație 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Și, în al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă într-un polinom de formă standard completând necesarul: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Astfel, rezolvarea ecuației întregi inițiale se reduce la rezolvarea ecuației pătratice x 2 −5·x−6=0.

Îi calculăm discriminantul D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, pe care le găsim folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice:

Pentru a fi complet sigur, hai să o facem verificarea rădăcinilor găsite ale ecuației. Mai întâi verificăm rădăcina 6, înlocuim-o în loc de variabila x din ecuația întregă originală: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, care este același, 63=63. Aceasta este o ecuație numerică validă, prin urmare x=6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina −1, avem 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, de unde, 0=0 . Când x=−1, ecuația originală se transformă, de asemenea, într-o egalitate numerică corectă, prin urmare, x=−1 este, de asemenea, o rădăcină a ecuației.

Răspuns:

6 , −1 .

Aici trebuie remarcat, de asemenea, că termenul „gradul întregii ecuații” este asociat cu reprezentarea unei întregi ecuații sub forma unei ecuații algebrice. Să dăm definiția corespunzătoare:

Definiţie.

Puterea întregii ecuații se numește gradul unei ecuații algebrice echivalente.

Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul precedent are gradul doi.

Acesta ar fi putut fi sfârșitul rezolvării unor ecuații raționale întregi, dacă nu pentru un singur lucru... După cum se știe, rezolvarea ecuațiilor algebrice de grad mai mare decât al doilea este asociată cu dificultăți semnificative, iar pentru ecuațiile de grad mai mare decât al patrulea nu există formule generale rădăcini. Prin urmare, pentru a rezolva ecuații întregi ale a treia, a patra și mai mult grade înalte Adesea trebuie să apelezi la alte metode de rezolvare.

În astfel de cazuri, o abordare a rezolvării întregii ecuații raționale pe baza metoda factorizării. În acest caz, se respectă următorul algoritm:

• În primul rând, se asigură că există un zero în partea dreaptă a ecuației, pentru a face acest lucru, ei transferă expresia din partea dreaptă a întregii ecuații la stânga;
• apoi, expresia rezultată din partea stângă este prezentată ca un produs al mai multor factori, ceea ce ne permite să trecem la un set de mai multe ecuații mai simple.

Algoritmul dat pentru rezolvarea unei întregi ecuații prin factorizare necesită o explicație detaliată folosind un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați întreaga ecuație (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Soluţie.

Mai întâi, ca de obicei, transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbăm semnul, obținem (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Aici este destul de evident că nu este recomandabil să transformați partea stângă a ecuației rezultate într-un polinom de forma standard, deoarece aceasta va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea al formei. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, a cărui soluție este dificilă.

Pe de altă parte, este evident că în partea stângă a ecuației rezultate putem x 2 −10 x+13 , prezentându-l astfel ca un produs. Avem (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală și, la rândul său, poate fi înlocuită cu un set de două ecuații pătratice x 2 −10·x+13=0 și x 2 −2·x−1=0. Găsirea rădăcinilor lor folosind formule de rădăcină cunoscute printr-un discriminant nu este dificilă; Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației originale.

Răspuns:

De asemenea, util pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi metoda de introducere a unei noi variabile. În unele cazuri, vă permite să treceți la ecuații al căror grad este mai mic decât gradul întregii ecuații originale.

Exemplu.

Găsi rădăcini adevărate ecuație rațională (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Soluţie.

Reducerea acestei întregi ecuații raționale la o ecuație algebrică este, ca să spunem ușor, o idee nu foarte bună, deoarece în acest caz vom ajunge la necesitatea de a rezolva o ecuație de gradul al patrulea care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va trebui să cauți o altă soluție.

Aici este ușor de observat că puteți introduce o nouă variabilă y și puteți înlocui expresia x 2 +3·x cu ea. Această înlocuire ne conduce la întreaga ecuație (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , care, după mutarea expresiei −2·(y−4) în partea stângă și transformarea ulterioară a expresiei formată acolo, se reduce la o ecuație pătratică y 2 +4·y+3=0. Rădăcinile acestei ecuații y=−1 și y=−3 sunt ușor de găsit, de exemplu, ele pot fi selectate pe baza teoremei inverse teoremei lui Vieta.

Acum trecem la a doua parte a metodei de introducere a unei noi variabile, adică la efectuarea unei înlocuiri inverse. După efectuarea substituției inverse, obținem două ecuații x 2 +3 x=−1 și x 2 +3 x=−3, care pot fi rescrise ca x 2 +3 x+1=0 și x 2 +3 x+3 =0 . Folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, găsim rădăcinile primei ecuații. Și a doua ecuație pătratică nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul ei este negativ (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Răspuns:

În general, atunci când avem de-a face cu ecuații întregi de grade înalte, trebuie să fim întotdeauna pregătiți să căutăm metoda non-standard sau o metodă artificială pentru a le rezolva.

Rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale

În primul rând, va fi util să înțelegem cum să rezolvați ecuații raționale fracționale de forma , unde p(x) și q(x) sunt expresii raționale întregi. Și apoi vom arăta cum să reducem soluția altor ecuații raționale fracționale la soluția ecuațiilor de tipul indicat.

O abordare pentru rezolvarea ecuației se bazează pe următoarea afirmație: fracția numerică u/v, unde v este un număr diferit de zero (altfel vom întâlni , care este nedefinit), este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul său este egal cu zero, atunci este, dacă și numai dacă u=0 . În virtutea acestei afirmații, rezolvarea ecuației se reduce la îndeplinirea a două condiții p(x)=0 și q(x)≠0.

Această concluzie corespunde următoarelor algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională de forma , aveți nevoie

• rezolvați întreaga ecuație rațională p(x)=0 ;
• și verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru fiecare rădăcină găsită, în timp ce
• dacă este adevărată, atunci această rădăcină este rădăcina ecuației originale;
• dacă nu este satisfăcută, atunci această rădăcină este străină, adică nu este rădăcina ecuației originale.

Să ne uităm la un exemplu de utilizare a algoritmului anunțat atunci când rezolvăm o ecuație rațională fracțională.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Aceasta este o ecuație rațională fracțională și de forma , unde p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Conform algoritmului de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale de acest tip, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația 3 x−2=0. Acest ecuație liniară, a cărui rădăcină este x=2/3.

Rămâne să verificăm această rădăcină, adică să verificăm dacă îndeplinește condiția 5 x 2 −2≠0. Înlocuim numărul 2/3 în expresia 5 x 2 −2 în loc de x și obținem . Condiția este îndeplinită, deci x=2/3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

2/3 .

Puteți aborda rezolvarea unei ecuații raționale fracționale dintr-o poziție ușor diferită. Această ecuație este echivalentă cu ecuația întreagă p(x)=0 pe variabila x a ecuației inițiale. Adică poți să te ții de asta algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale :

• se rezolva ecuatia p(x)=0 ;
• găsiți ODZ a variabilei x;
• iau rădăcini aparținând regiunii valorilor acceptabile - sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

De exemplu, să rezolvăm o ecuație rațională fracțională folosind acest algoritm.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Mai întâi, rezolvăm ecuația pătratică x 2 −2·x−11=0. Rădăcinile sale pot fi calculate folosind formula rădăcinii pentru cel de-al doilea coeficient chiar pe care îl avem D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Și .

În al doilea rând, găsim ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Este format din toate numerele pentru care x 2 +3·x≠0, care este la fel cu x·(x+3)≠0, de unde x≠0, x≠−3.

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite în primul pas sunt incluse în ODZ. Evident ca da. Prin urmare, ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini.

Răspuns:

Rețineți că această abordare este mai profitabilă decât prima dacă ODZ este ușor de găsit și este mai ales benefică dacă rădăcinile ecuației p(x) = 0 sunt iraționale, de exemplu, sau raționale, dar cu un numărător destul de mare și /sau numitorul, de exemplu, 127/1101 și −31/59. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, verificarea condiției q(x)≠0 va necesita un efort de calcul semnificativ și este mai ușor să excludeți rădăcinile străine folosind ODZ.

În alte cazuri, la rezolvarea ecuației, mai ales când rădăcinile ecuației p(x) = 0 sunt numere întregi, este mai profitabil să se folosească primul algoritm dat. Adică, este recomandabil să găsiți imediat rădăcinile întregii ecuații p(x)=0 și apoi să verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru ele, mai degrabă decât să găsiți ODZ și apoi să rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, este de obicei mai ușor să verificați decât să găsiți DZ.

Să luăm în considerare soluția a două exemple pentru a ilustra nuanțele specificate.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Mai întâi, să găsim rădăcinile întregii ecuații (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compusă folosind numărătorul fracției. Partea stângă a acestei ecuații este un produs, iar partea dreaptă este zero, prin urmare, conform metodei de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare, această ecuație este echivalentă cu un set de patru ecuații 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Trei dintre aceste ecuații sunt liniare și una este pătratică; le putem rezolva. Din prima ecuație găsim x=1/2, din a doua - x=6, din a treia - x=7, x=−2, din a patra - x=−1.

Cu rădăcinile găsite, este destul de ușor să verificați dacă numitorul fracției din partea stângă a ecuației inițiale dispare, dar determinarea ODZ, dimpotrivă, nu este atât de simplă, deoarece pentru aceasta va trebui să rezolvați un ecuația algebrică de gradul cinci. Prin urmare, vom abandona găsirea ODZ în favoarea verificării rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, le înlocuim unul câte unul în loc de variabila x din expresie x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obținut după înlocuire și comparați-le cu zero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Astfel, 1/2, 6 și −2 sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale, iar 7 și −1 sunt rădăcini străine.

Răspuns:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplu.

Aflați rădăcinile unei ecuații raționale fracționale.

Soluţie.

Mai întâi, să găsim rădăcinile ecuației (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Această ecuație este echivalentă cu un set de două ecuații: pătrat 5 x 2 −7 x−1=0 și liniar x−2=0. Folosind formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, găsim două rădăcini, iar din a doua ecuație avem x=2.

Verificarea dacă numitorul ajunge la zero la valorile găsite ale lui x este destul de neplăcută. Și determinarea intervalului de valori permise ale variabilei x în ecuația originală este destul de simplă. Prin urmare, vom acționa prin ODZ.

În cazul nostru, ODZ a variabilei x a ecuației raționale fracționale inițiale constă din toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția x 2 +5·x−14=0 este îndeplinită. Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt x=−7 și x=2, din care tragem o concluzie despre ODZ: este format din tot x astfel încât .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite și x=2 aparțin intervalului de valori acceptabile. Rădăcinile aparțin, prin urmare, sunt rădăcini ale ecuației originale, iar x=2 nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns:

De asemenea, va fi util să ne oprim separat asupra cazurilor când într-o ecuație rațională fracțională de formă există un număr la numărător, adică când p(x) este reprezentat de un număr. În același timp

• dacă acest număr este diferit de zero, atunci ecuația nu are rădăcini, deoarece o fracție este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul ei este egal cu zero;
• dacă acest număr este zero, atunci rădăcina ecuației este orice număr din ODZ.

Exemplu.

Soluţie.

Deoarece numărătorul fracției din partea stângă a ecuației conține un număr diferit de zero, atunci pentru orice x valoarea acestei fracții nu poate fi egală cu zero. Prin urmare, ecuația dată nu are rădăcini.

Răspuns:

fara radacini.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Numătorul fracției din partea stângă a acestei ecuații raționale fracționale conține zero, deci valoarea acestei fracții este zero pentru orice x pentru care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x din ODZ a acestei variabile.

Rămâne de determinat acest interval de valori acceptabile. Include toate valorile lui x pentru care x 4 +5 x 3 ≠0. Soluțiile ecuației x 4 +5 x 3 =0 sunt 0 și −5, deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x+5)=0 și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 =0 și x +5=0, de unde sunt vizibile aceste rădăcini. Prin urmare, intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0 și x=−5.

Astfel, o ecuație rațională fracțională are infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și minus cinci.

Răspuns:

În cele din urmă, este timpul să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale de formă arbitrară. Ele pot fi scrise ca r(x)=s(x), unde r(x) și s(x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Privind în viitor, să spunem că soluția lor se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă deja familiară nouă.

Se știe că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus duce la o ecuație echivalentă, prin urmare ecuația r(x)=s(x) este echivalentă cu ecuația r(x)−s(x). )=0.

De asemenea, știm că orice , identic cu această expresie, este posibil. Astfel, putem transforma întotdeauna expresia rațională din partea stângă a ecuației r(x)−s(x)=0 într-o fracție rațională identic egală de forma .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x)=s(x) la ecuație, iar soluția ei, așa cum am aflat mai sus, se reduce la rezolvarea ecuației p(x)=0.

Dar aici este necesar să se țină seama de faptul că atunci când înlocuiți r(x)−s(x)=0 cu , și apoi cu p(x)=0, intervalul de valori admisibile ale variabilei x se poate extinde .

În consecință, ecuația inițială r(x)=s(x) și ecuația p(x)=0 la care am ajuns se pot dovedi a fi inegale, iar rezolvând ecuația p(x)=0, putem obține rădăcini care vor fi rădăcini străine ale ecuației originale r(x)=s(x) . Puteți identifica și nu include rădăcini străine în răspuns fie efectuând o verificare, fie verificând dacă acestea aparțin ODZ a ecuației originale.

Să rezumam aceste informații în algoritm pentru rezolvarea ecuației raționale fracționale r(x)=s(x). Pentru a rezolva ecuația rațională fracțională r(x)=s(x) , aveți nevoie

• Obțineți zero în dreapta mutând expresia din partea dreaptă cu semnul opus.
• Efectuați operații cu fracții și polinoame în partea stângă a ecuației, transformând-o astfel într-o fracție rațională a formei.
• Rezolvați ecuația p(x)=0.
• Identificați și eliminați rădăcinile străine, ceea ce se face prin substituirea lor în ecuația originală sau prin verificarea apartenenței lor la ODZ a ecuației originale.

Pentru o mai mare claritate, vom arăta întregul lanț de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale:
.

Să ne uităm la soluțiile mai multor exemple cu o explicație detaliată a procesului de soluționare pentru a clarifica blocul de informații dat.

Exemplu.

Rezolvați o ecuație rațională fracțională.

Soluţie.

Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție tocmai obținut. Și mai întâi mutăm termenii din partea dreaptă a ecuației la stânga, ca rezultat trecem la ecuație.

În al doilea pas, trebuie să convertim expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației rezultate în forma unei fracții. Pentru a face acest lucru, reducem fracțiile raționale la un numitor comun și simplificăm expresia rezultată: . Așa că ajungem la ecuație.

În pasul următor, trebuie să rezolvăm ecuația −2·x−1=0. Găsim x=−1/2.

Rămâne de verificat dacă numărul găsit −1/2 nu este o rădăcină străină a ecuației originale. Pentru a face acest lucru, puteți verifica sau găsi VA variabilei x din ecuația originală. Să demonstrăm ambele abordări.

Să începem cu verificarea. Înlocuim numărul −1/2 în ecuația originală în loc de variabila x și obținem același lucru, −1=−1. Substituția dă egalitatea numerică corectă, deci x=−1/2 este rădăcina ecuației originale.

Acum vom arăta cum se realizează ultimul punct al algoritmului prin ODZ. Intervalul de valori permise ale ecuației originale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția −1 și 0 (la x=−1 și x=0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina x=−1/2 găsită în pasul anterior aparține ODZ, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

−1/2 .

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Trebuie să rezolvăm o ecuație rațională fracțională, să parcurgem toți pașii algoritmului.

Mai întâi, mutăm termenul din partea dreaptă la stânga, obținem .

În al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă: . Ca rezultat, ajungem la ecuația x=0.

Rădăcina sa este evidentă - este zero.

La al patrulea pas, rămâne să aflăm dacă rădăcina găsită este străină ecuației raționale fracționale inițiale. Când este substituită în ecuația originală, se obține expresia. Evident, nu are sens pentru că conține împărțirea la zero. De unde concluzionăm că 0 este o rădăcină străină. Prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.

7, ceea ce duce la Ec. De aici putem concluziona că expresia din numitorul laturii stângi trebuie să fie egală cu cea a laturii drepte, adică . Acum scadem din ambele părți ale tripluului: . Prin analogie, de unde și mai departe.

Verificarea arată că ambele rădăcini găsite sunt rădăcini ale ecuației raționale fracționale originale.

Răspuns:

Referințe.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru invatamantul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Ecuațiile cu fracții în sine nu sunt dificile și sunt foarte interesante. Să ne uităm la tipurile de ecuații fracționale și la cum să le rezolvăm.

Cum se rezolvă ecuații cu fracții - x la numărător

Dacă este dată o ecuație fracțională, unde necunoscuta este la numărător, soluția nu necesită condiții suplimentare și se rezolvă fără bătăi de cap inutile. Vedere generală o astfel de ecuație este x/a + b = c, unde x este necunoscuta, a, b și c sunt numere obișnuite.

Aflați x: x/5 + 10 = 70.

Pentru a rezolva ecuația, trebuie să scapi de fracții. Înmulțiți fiecare termen din ecuație cu 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x și 5 sunt anulate, 10 și 70 sunt înmulțite cu 5 și obținem: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Aflați x: x/5 + x/10 = 90.

Acest exemplu este o versiune puțin mai complicată față de primul. Există două soluții posibile aici.

• Opțiunea 1: Scăpăm de fracții înmulțind toți termenii ecuației cu un numitor mai mare, adică cu 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
• Opțiunea 2: Adăugați partea stângă a ecuației. x/5 + x/10 = 90. Numitorul comun este 10. Împărțiți 10 la 5, înmulțiți cu x, obținem 2x. Împărțiți 10 cu 10, înmulțiți cu x, obținem x: 2x+x/10 = 90. Prin urmare 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Întâlnim adesea ecuații fracționale în care x-urile sunt pe laturile opuse ale semnului egal. În astfel de situații, este necesar să mutați toate fracțiile cu X într-o parte, iar numerele în cealaltă.

• Aflați x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Mutați 2x/5 la dreapta cu semnul opus: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Reducem 5x/5 și obținem: x = 130.

Cum se rezolvă o ecuație cu fracții - x la numitor

Acest tip de ecuații fracționale necesită scrierea unor condiții suplimentare. Indicarea acestor condiții este o parte obligatorie și integrantă a decizia corectă. Dacă nu le adăugați, riscați, deoarece răspunsul (chiar dacă este corect) poate pur și simplu să nu fie luat în considerare.

Forma generală a ecuațiilor fracționale, unde x este la numitor, este: a/x + b = c, unde x este necunoscuta, a, b, c sunt numere ordinare. Vă rugăm să rețineți că x poate să nu fie orice număr. De exemplu, x nu poate fi egal cu zero, deoarece nu poate fi împărțit la 0. Aceasta este tocmai condiția suplimentară pe care trebuie să o precizăm. Aceasta se numește intervalul de valori admisibile, prescurtat ca VA.

Aflați x: 15/x + 18 = 21.

Scriem imediat ODZ pentru x: x ≠ 0. Acum că este indicată ODZ, rezolvăm ecuația folosind schema standard, scăpând de fracții. Înmulțim toți termenii ecuației cu x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Adesea există ecuații în care numitorul conține nu numai x, ci și o altă operație cu acesta, de exemplu, adunarea sau scăderea.

Aflați x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Știm deja că numitorul nu poate fi egal cu zero, ceea ce înseamnă x-3 ≠ 0. Transferăm -3 la partea dreaptă, schimbând semnul „-” în „+” și obținem că x ≠ 3. Este indicată ODZ.

Rezolvăm ecuația, înmulțim totul cu x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Mutați X-urile la dreapta, numerele la stânga: 24 = 3x => x = 8.

Cel mai mic numitor comun este folosit pentru a simplifica această ecuație. Această metodă este utilizată atunci când nu puteți scrie o ecuație dată cu o expresie rațională de fiecare parte a ecuației (și folosiți metoda de înmulțire încrucișată). Această metodă este folosită atunci când vi se oferă o ecuație rațională cu 3 sau mai multe fracții (în cazul a două fracții, este mai bine să utilizați înmulțirea încrucișată).

Găsiți cel mai mic numitor comun al fracțiilor (sau cel mai mic multiplu comun). NOZ este cel mai mic număr care este divizibil egal cu fiecare numitor.

• Uneori, NPD este un număr evident. De exemplu, dacă se dă ecuația: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, atunci este evident că cel mai mic multiplu comun al numerelor 3, 2 și 6 este 6.
• Dacă NCD nu este evidentă, notați multiplii celui mai mare numitor și găsiți printre ei unul care va fi un multiplu al celorlalți numitori. Adesea, NOD-ul poate fi găsit prin simpla înmulțire a doi numitori. De exemplu, dacă ecuația este dată x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, atunci NOS = 8*9 = 72.
• Dacă unul sau mai mulți numitori conțin o variabilă, procesul devine ceva mai complicat (dar nu imposibil). În acest caz, NOC este o expresie (care conține o variabilă) care este împărțită la fiecare numitor. De exemplu, în ecuația 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), deoarece această expresie este împărțită la fiecare numitor: 3x(x-1)/(x -1) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul fiecărei fracții cu un număr egal cu rezultatul împărțirii NOC la numitorul corespunzător al fiecărei fracții.

• Deoarece înmulțiți atât numărătorul, cât și numitorul cu același număr, înmulțiți efectiv fracția cu 1 (de exemplu, 2/2 = 1 sau 3/3 = 1).
• Deci, în exemplul nostru, înmulțiți x/3 cu 2/2 pentru a obține 2x/6 și 1/2 înmulțiți cu 3/3 pentru a obține 3/6 (fracția 3x +1/6 nu trebuie înmulțită deoarece este numitorul este 6).

Procedați în mod similar atunci când variabila este la numitor. În al doilea exemplu, NOZ = 3x(x-1), deci înmulțiți 5/(x-1) cu (3x)/(3x) pentru a obține 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x înmulțit cu 3(x-1)/3(x-1) și obțineți 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) înmulțit cu (x-1)/(x-1) și obțineți 2(x-1)/3x(x-1). Acum că ați redus fracțiile la un numitor comun, puteți scăpa de numitor. Pentru a face acest lucru, înmulțiți fiecare parte a ecuației cu numitorul comun. Apoi rezolvați ecuația rezultată, adică găsiți „x”. Pentru a face acest lucru, izolați variabila pe o parte a ecuației.

• În exemplul nostru: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Puteți adăuga 2 fracții cu același numitor, deci scrieți ecuația ca: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 6 și scăpați de numitori: 2x+3 = 3x +1. Rezolvați și obțineți x = 2.
• În al doilea exemplu (cu o variabilă la numitor), ecuația arată ca (după reducerea la un numitor comun): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Înmulțind ambele părți ale ecuației cu N3, scapi de numitor și obții: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), sau 15x = 3x - 3 + 2x -2, sau 15x = x - 5 Rezolvați și obțineți: x = -5/14.