Aria unui triunghi - formule diferite. Aria unui triunghi

Pentru a determina aria unui triunghi, puteți utiliza diferite formule. Dintre toate metodele, cea mai ușoară și mai des folosită este să înmulți înălțimea cu lungimea bazei și apoi să împarți rezultatul la două. Cu toate acestea această metodă departe de singurul. Mai jos puteți citi cum să găsiți aria unui triunghi folosind diferite formule.

Separat, vom analiza modalități de a calcula aria unor tipuri specifice de triunghiuri - dreptunghiulare, isoscel și echilaterale. Însoțim fiecare formulă cu o scurtă explicație care vă va ajuta să înțelegeți esența ei.

Metode universale pentru găsirea ariei unui triunghi

Formulele de mai jos folosesc notații speciale. Vom descifra fiecare dintre ele:

• a, b, c – lungimile celor trei laturi ale figurii pe care o luăm în considerare;
• r este raza cercului care poate fi înscris în triunghiul nostru;
• R este raza cercului care poate fi descris în jurul acestuia;
• α este mărimea unghiului format de laturile b și c;
• β este mărimea unghiului dintre a și c;
• γ este mărimea unghiului format de laturile a și b;
• h este înălțimea triunghiului nostru, coborâtă din unghiul α în latura a;
• p – jumătate din suma laturilor a, b și c.

Este clar din punct de vedere logic de ce puteți găsi aria unui triunghi în acest fel. Triunghiul poate fi ușor completat într-un paralelogram, în care o parte a triunghiului va acționa ca o diagonală. Aria unui paralelogram se găsește prin înmulțirea lungimii uneia dintre laturile sale cu valoarea înălțimii trasate pe acesta. Diagonala împarte acest paralelogram condiționat în 2 triunghiuri identice. Prin urmare, este destul de evident că aria triunghiului nostru original trebuie să fie egală cu jumătate din aria acestui paralelogram auxiliar.

S=½ a b sin γ

Conform acestei formule, aria unui triunghi se găsește înmulțind lungimile celor două laturi ale sale, adică a și b, cu sinusul unghiului format de acestea. Această formulă este derivată logic din cea anterioară. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul β la latura b, atunci, conform proprietăților triunghi dreptunghic, la înmulțirea lungimii laturii a cu sinusul unghiului γ, obținem înălțimea triunghiului, adică h.

Aria figurii în cauză se găsește înmulțind jumătate din raza cercului care poate fi înscris în el cu perimetrul său. Cu alte cuvinte, găsim produsul semiperimetrului și raza cercului menționat.

S= a b c/4R

Conform acestei formule, valoarea de care avem nevoie poate fi găsită împărțind produsul laturilor figurii la 4 raze ale cercului descris în jurul acesteia.

Aceste formule sunt universale, deoarece fac posibilă determinarea ariei oricărui triunghi (scalen, isoscel, echilateral, dreptunghiular). Acest lucru se poate face și folosind mai mult calcule complexe, despre care nu ne vom opri în detaliu.

Arii de triunghiuri cu proprietăți specifice

Cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic? Particularitatea acestei figuri este că cele două laturi ale sale sunt simultan înălțimile sale. Dacă a și b sunt catete și c devine ipotenuză, atunci găsim aria astfel:

Cum să găsiți aria unui triunghi isoscel? Are două laturi cu lungimea a și o parte cu lungimea b. În consecință, aria sa poate fi determinată împărțind la 2 produsul pătratului laturii a la sinusul unghiului γ.

Cum să găsiți aria unui triunghi echilateral? În ea, lungimea tuturor laturilor este egală cu a, iar mărimea tuturor unghiurilor este α. Înălțimea sa este egală cu jumătate din produsul lungimii laturii a și rădăcinii pătrate a lui 3. Pentru a găsi aria unui triunghi obișnuit, trebuie să înmulțiți pătratul laturii a cu rădăcina pătrată a lui 3 și să împărțiți la 4.

După cum vă amintiți de la programa școlară Potrivit geometriei, un triunghi este o figură formată din trei segmente legate prin trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă. Un triunghi formează trei unghiuri, de unde și numele figurii. Definiția poate fi diferită. Un triunghi poate fi numit și poligon cu trei unghiuri, răspunsul va fi și el corect. Triunghiurile sunt împărțite în funcție de numărul de laturi egale și de dimensiunea unghiurilor din figuri. Astfel, triunghiurile se disting ca isoscele, echilaterale și scalene, precum și dreptunghiulare, acute și, respectiv, obtuze.

Există o mulțime de formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Alegeți cum să găsiți aria unui triunghi, de ex. Ce formulă să folosești depinde de tine. Dar este de remarcat doar câteva dintre notațiile care sunt utilizate în multe formule pentru calcularea ariei unui triunghi. Deci, amintiți-vă:

S este aria triunghiului,

a, b, c sunt laturile triunghiului,

h este înălțimea triunghiului,

R este raza cercului circumscris,

p este semiperimetrul.

Iată notațiile de bază care vă pot fi utile dacă ați uitat complet cursul de geometrie. Mai jos sunt cele mai ușor de înțeles și mai simplu opțiuni pentru calcularea zonei necunoscute și misterioase a unui triunghi. Nu este dificil și va fi util atât pentru nevoile casnice, cât și pentru a vă ajuta copiii. Să ne amintim cum să calculăm cât mai ușor aria unui triunghi:

În cazul nostru, aria triunghiului este: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². Amintiți-vă că aria se măsoară în centimetri pătrați (cm2).

Triunghi dreptunghic și aria lui.

Un triunghi dreptunghic este un triunghi în care un unghi este egal cu 90 de grade (de aici numit drept). Un unghi drept este format din două drepte perpendiculare (în cazul unui triunghi, două segmente perpendiculare). Într-un triunghi dreptunghic nu poate exista decât un singur unghi drept, pentru că... suma tuturor unghiurilor unui triunghi este egală cu 180 de grade. Se pare că alte 2 unghiuri ar trebui să împartă restul de 90 de grade, de exemplu 70 și 20, 45 și 45 etc. Deci, vă amintiți principalul lucru, tot ce rămâne este să aflați cum să găsiți aria unui triunghi dreptunghic. Să ne imaginăm că avem un astfel de triunghi dreptunghic în fața noastră și trebuie să-i găsim aria S.

1. Cel mai simplu mod de a determina aria unui triunghi dreptunghic este calculat folosind următoarea formulă:

În cazul nostru, aria triunghiului dreptunghic este: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm pătrați.

În principiu, nu mai este nevoie să verificați aria triunghiului în alte moduri, deoarece Doar acesta va fi util și va ajuta în viața de zi cu zi. Dar există și opțiuni pentru măsurarea ariei unui triunghi prin unghiuri ascuțite.

2. Pentru alte metode de calcul, trebuie să aveți un tabel de cosinus, sinusuri și tangente. Judecă singur, iată câteva opțiuni pentru calcularea ariei unui triunghi dreptunghic care poate fi încă folosit:

Am decis să folosim prima formulă și cu câteva note minore (am desenat-o într-un caiet și am folosit linie vecheși un raportor), dar am obținut calculul corect:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Am obținut următoarele rezultate: 3,6=3,7, dar ținând cont de deplasarea celulelor, putem ierta această nuanță.

Triunghiul isoscel și aria sa.

Dacă vă confruntați cu sarcina de a calcula formula pentru un triunghi isoscel, atunci cel mai simplu mod este să utilizați principalul și ceea ce este considerat a fi formula clasică pentru aria unui triunghi.

Dar mai întâi, înainte de a găsi aria unui triunghi isoscel, să aflăm ce fel de figură este. Un triunghi isoscel este un triunghi în care două laturi au aceeași lungime. Aceste două laturi se numesc laterale, a treia latură se numește bază. Nu confundați un triunghi isoscel cu un triunghi echilateral, adică. un triunghi regulat cu toate cele trei laturi egale. Într-un astfel de triunghi nu există tendințe speciale la unghiuri, sau mai degrabă la dimensiunea lor. Cu toate acestea, unghiurile de la bază într-un triunghi isoscel sunt egale, dar diferite de unghiul dintre laturile egale. Deci, știți deja prima și principala formulă, rămâne să aflați ce alte formule pentru determinarea ariei unui triunghi isoscel sunt cunoscute:

Triunghiul este una dintre cele mai comune forme geometrice, cu care ne-am familiarizat deja scoala elementara. Fiecare student se confruntă cu întrebarea cum să găsească aria unui triunghi în lecțiile de geometrie. Deci, ce caracteristici ale găsirii zonei unei figuri date pot fi identificate? În acest articol vom analiza formulele de bază necesare pentru a finaliza o astfel de sarcină și, de asemenea, vom analiza tipurile de triunghiuri.

Tipuri de triunghiuri

Puteți găsi în mod absolut aria unui triunghi în moduri diferite, deoarece în geometrie există mai mult de un tip de figuri care conțin trei unghiuri. Aceste tipuri includ:

• Obtuz.
• Echilateral (corect).
• Triunghi dreptunghic.
• Isoscel.

Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre ele tipurile existente triunghiuri.

Această figură geometrică este considerată cea mai comună atunci când se rezolvă probleme geometrice. Când apare necesitatea de a desena un triunghi arbitrar, această opțiune vine în ajutor.

Într-un triunghi ascuțit, după cum sugerează și numele, toate unghiurile sunt acute și se adună până la 180°.

Acest tip de triunghi este, de asemenea, foarte comun, dar este oarecum mai puțin comun decât un triunghi acut. De exemplu, atunci când rezolvați triunghiuri (adică mai multe dintre laturile și unghiurile sale sunt cunoscute și trebuie să găsiți elementele rămase), uneori trebuie să determinați dacă unghiul este obtuz sau nu. Cosinusul este un număr negativ.

B, valoarea unuia dintre unghiuri depășește 90°, astfel încât celelalte două unghiuri pot lua valori mici (de exemplu, 15° sau chiar 3°).

Pentru a găsi aria unui triunghi de acest tip, trebuie să cunoașteți câteva nuanțe, despre care vom vorbi mai târziu.

Triunghiuri regulate și isoscele

Un poligon regulat este o figură care include n unghiuri și toate laturile și unghiurile sunt egale. Acesta este un triunghi obișnuit. Deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180°, atunci fiecare dintre cele trei unghiuri este de 60°.

Un triunghi regulat, datorită proprietății sale, este numit și figură echilaterală.

De asemenea, este de remarcat faptul că un singur cerc poate fi înscris într-un triunghi obișnuit și un singur cerc poate fi descris în jurul lui, iar centrele lor sunt situate în același punct.

Pe lângă tipul echilateral, se poate distinge și un triunghi isoscel, care este ușor diferit de acesta. Într-un astfel de triunghi, două laturi și două unghiuri sunt egale între ele, iar a treia latură (căreia îi sunt adiacente unghiuri egale) este baza.

Figura prezintă un triunghi isoscel DEF ale cărui unghiuri D și F sunt egale și DF este baza.

Triunghi dreptunghic

Un triunghi dreptunghic este numit astfel deoarece unul dintre unghiurile sale este drept, adică egal cu 90°. Celelalte două unghiuri se adună până la 90°.

Cea mai mare latură a unui astfel de triunghi, situată opus unghiului de 90°, este ipotenuza, în timp ce celelalte două laturi sunt catetele. Pentru acest tip de triunghi se aplică teorema lui Pitagora:

Suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.

Figura prezintă un triunghi dreptunghic BAC cu ipotenuza AC și catetele AB și BC.

Pentru a găsi aria unui triunghi cu unghi drept, trebuie să cunoașteți valorile numerice ale catetelor sale.

Să trecem la formulele pentru găsirea ariei unei figuri date.

Formule de bază pentru găsirea zonei

În geometrie, există două formule care sunt potrivite pentru a găsi aria celor mai multe tipuri de triunghiuri, și anume pentru triunghiuri acute, obtuze, regulate și isoscele. Să ne uităm la fiecare dintre ele.

După lateral și înălțime

Această formulă este universală pentru găsirea zonei figurii pe care o luăm în considerare. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți lungimea laturii și lungimea înălțimii trasate pe ea. Formula în sine (jumătate din produsul bazei și înălțimea) este următoarea:

unde A este latura unui triunghi dat, iar H este înălțimea triunghiului.

De exemplu, pentru a găsi aria unui triunghi ascuțit ACB, trebuie să înmulțiți latura AB cu înălțimea CD și să împărțiți valoarea rezultată la două.

Cu toate acestea, nu este întotdeauna ușor să găsiți aria unui triunghi în acest fel. De exemplu, pentru a utiliza această formulă pentru un triunghi obtuz, trebuie să extindeți una dintre laturile sale și abia apoi să trasați o altitudine la el.

În practică, această formulă este folosită mai des decât altele.

Pe ambele părți și pe colț

Această formulă, ca și cea anterioară, este potrivită pentru majoritatea triunghiurilor și, în sensul ei, este o consecință a formulei de găsire a ariei lângă laturi și a înălțimii unui triunghi. Adică formula în cauză poate fi derivată cu ușurință din cea anterioară. Formularea sa arată astfel:

S = ½*sinO*A*B,

unde A și B sunt laturile triunghiului, iar O este unghiul dintre laturile A și B.

Să ne amintim că sinusul unui unghi poate fi văzut într-un tabel special numit după matematicianul sovietic remarcabil V. M. Bradis.

Acum să trecem la alte formule care sunt potrivite doar pentru tipuri excepționale de triunghiuri.

Aria unui triunghi dreptunghic

Pe lângă formula universală, care include necesitatea de a găsi altitudinea într-un triunghi, aria unui triunghi care conține un unghi drept poate fi găsită din picioarele sale.

Astfel, aria unui triunghi care conține un unghi drept este jumătate din produsul catetelor sale sau:

unde a și b sunt catetele unui triunghi dreptunghic.

Triunghi regulat

Acest tip de figură geometrică se distinge prin faptul că aria sa poate fi găsită cu valoarea indicată doar a uneia dintre laturile sale (deoarece toate laturile unui triunghi obișnuit sunt egale). Deci, când vă confruntați cu sarcina de a „găsi aria unui triunghi când laturile sunt egale”, trebuie să utilizați următoarea formulă:

S = A 2 *√3 / 4,

unde A este latura triunghiului echilateral.

Formula lui Heron

Ultima opțiune pentru găsirea ariei unui triunghi este formula lui Heron. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți lungimile celor trei laturi ale figurii. Formula lui Heron arată astfel:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

unde a, b și c sunt laturile unui triunghi dat.

Uneori se pune problema: „aria unui triunghi obișnuit este de a găsi lungimea laturii sale”. ÎN în acest caz, trebuie să folosim formula pe care o știm deja pentru a găsi aria unui triunghi obișnuit și să obținem din aceasta valoarea laturii (sau pătratul său):

A 2 = 4S / √3.

Sarcini de examinare

Există multe formule în problemele GIA la matematică. În plus, destul de des este necesar să găsiți aria unui triunghi pe hârtie în carouri.

În acest caz, cel mai convenabil este să desenați înălțimea pe una dintre laturile figurii, să determinați lungimea acesteia din celule și să utilizați formula universală pentru găsirea zonei:

Deci, după ce ați studiat formulele prezentate în articol, nu veți avea probleme în a găsi aria unui triunghi de orice fel.

Puteți găsi peste 10 formule pentru calcularea ariei unui triunghi pe Internet. Multe dintre ele sunt folosite în probleme cu laturile și unghiurile cunoscute ale unui triunghi. Cu toate acestea, există un număr exemple complexe unde, conform condițiilor atribuirii, se cunosc doar o latură și unghiurile triunghiului, sau raza cercului circumscris sau înscris și încă o caracteristică. În astfel de cazuri, o formulă simplă nu poate fi aplicată.

Formulele de mai jos vă vor permite să rezolvați 95 la sută din problemele în care trebuie să găsiți aria unui triunghi.
Să trecem la a lua în considerare formulele pentru zone comune.
Luați în considerare triunghiul prezentat în figura de mai jos

În figură și mai jos în formule sunt introduse denumirile clasice ale tuturor caracteristicilor sale.
a,b,c – laturile triunghiului,
R – raza cercului circumscris,
r – raza cercului înscris,
h[b],h[a],h[c] – înălțimi trasate în conformitate cu laturile a,b,c.
alfa, beta, hamma – unghiuri în apropierea vârfurilor.

Formule de bază pentru aria unui triunghi

1. Aria este egală cu jumătate din produsul dintre latura triunghiului și înălțimea coborâtă pe această latură. În limbajul formulelor, această definiție poate fi scrisă după cum urmează

Astfel, dacă latura și înălțimea sunt cunoscute, atunci fiecare elev va găsi zona.
Apropo, din această formulă se poate deriva o relație utilă între înălțimi

2. Dacă luăm în considerare că înălțimea unui triunghi prin latura adiacentă se exprimă prin dependență

Apoi, prima formulă de zonă este urmată de a doua formulă de același tip

Priviți cu atenție formulele - sunt ușor de reținut, deoarece munca implică două laturi și unghiul dintre ele. Dacă desemnăm corect laturile și unghiurile triunghiului (ca în figura de mai sus), vom obține două laturile a,b iar unghiul este legat de al treilea Cu (hamma).

3. Pentru unghiurile unui triunghi, relația este adevărată

Dependența vă permite să utilizați următoarele formule pentru aria unui triunghi în calcule:

Exemplele de această dependență sunt extrem de rare, dar trebuie să vă amintiți că există o astfel de formulă.

4. Dacă latura și două unghiuri adiacente sunt cunoscute, atunci aria se află prin formula

5. Formula pentru aria în termeni de latură și cotangente a unghiurilor adiacente este următoarea

Prin rearanjarea indexurilor puteți obține dependențe pentru alte părți.

6. Formula ariei de mai jos este folosită în probleme când vârfurile unui triunghi sunt specificate pe plan prin coordonate. În acest caz, aria este egală cu jumătate din determinantul luat modulo.

7. Formula lui Heron folosit în exemple cu laturile cunoscute ale unui triunghi.
Mai întâi găsiți semiperimetrul triunghiului

Și apoi determinați zona folosind formula

sau

Este destul de des folosit în codul programelor de calculator.

8. Dacă toate înălțimile triunghiului sunt cunoscute, atunci aria este determinată de formula

Este dificil de calculat pe un calculator, dar în pachetele MathCad, Mathematica, Maple zona este „timpul doi”.

9. Următoarele formule folosesc razele cunoscute ale cercurilor înscrise și circumscrise.

În special, dacă raza și laturile triunghiului sau perimetrul acestuia sunt cunoscute, atunci aria se calculează conform formulei

10. În exemplele în care sunt date laturile și raza sau diametrul cercului circumscris, aria se află folosind formula

11. Următoarea formulă determină aria unui triunghi prin laturile și unghiurile triunghiului.

Și în sfârșit - cazuri speciale:
Aria unui triunghi dreptunghic cu catetele a și b este egal cu jumătate din produsul lor

Formula pentru aria unui triunghi echilateral (regulat).=

= un sfert din produsul dintre pătratul laturii și rădăcina lui trei.

Pătrat figură geometrică - o caracteristică numerică a unei figuri geometrice care arată dimensiunea acestei figuri (parte a suprafeței limitată de conturul închis al acestei figuri). Mărimea zonei este exprimată prin numărul de unități pătrate conținute în ea.

Formulele ariei triunghiulare

1. Formula pentru aria unui triunghi după latură și înălțime
   Aria unui triunghi egal cu jumătate din produsul lungimii unei laturi a unui triunghi și lungimea altitudinii trasate pe această latură
   
2. Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului circumferitor
   
3. Formula pentru aria unui triunghi bazată pe trei laturi și raza cercului înscris
   Aria unui triunghi este egal cu produsul dintre semiperimetrul triunghiului și raza cercului înscris.
   
unde S este aria triunghiului,
- lungimile laturilor triunghiului,
- înălțimea triunghiului,
- unghiul dintre laturi și,
- raza cercului înscris,
R - raza cercului circumscris,

Formule de suprafață pătrată

1. Formula pentru aria unui pătrat cu lungimea laturii
   Suprafata patrata egal cu pătratul lungimii laturii sale.
2. Formula pentru aria unui pătrat de-a lungul lungimii diagonalei
   Suprafata patrata egal cu jumătate din pătratul lungimii diagonalei sale.
   

   S=	1	2
   	2

unde S este aria pătratului,
- lungimea laturii pătratului,
- lungimea diagonalei pătratului.

Formula zonei dreptunghiulare

Aria unui dreptunghi egal cu produsul lungimilor celor două laturi adiacente ale sale

unde S este aria dreptunghiului,
- lungimile laturilor dreptunghiului.

Formule cu arii de paralelogram

1. Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe lungimea și înălțimea laturii
   Aria unui paralelogram
2. Formula pentru aria unui paralelogram bazată pe două laturi și unghiul dintre ele
   Aria unui paralelogram este egal cu produsul lungimilor laturilor sale înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.
   

   a b sin α

unde S este aria paralelogramului,
- lungimile laturilor paralelogramului,
- lungimea înălțimii paralelogramului,
- unghiul dintre laturile paralelogramului.

Formule pentru aria unui romb

1. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și înălțimea laturii
   Zona unui romb egal cu produsul dintre lungimea laturii sale și lungimea înălțimii coborâte pe această latură.
2. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimea și unghiul laturii
   Zona unui romb este egal cu produsul dintre pătratul lungimii laturii sale și sinusul unghiului dintre laturile rombului.
3. Formula pentru aria unui romb bazată pe lungimile diagonalelor sale
   Zona unui romb egal cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sale.
unde S este aria rombului,
- lungimea laturii rombului,
- lungimea înălțimii rombului,
- unghiul dintre laturile rombului,
1, 2 - lungimile diagonalelor.

Formule ale zonei trapezoidale

1. Formula lui Heron pentru trapez

   Unde S este aria trapezului,
   - lungimile bazelor trapezului,
   - lungimile laturilor trapezului,