Gerçek ifadeleri çarpanlarına ayırma. Cebirsel Bir Denklemin Çarpanlarına Nasıl Ayrılacağı

Denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken, derecesi üç veya daha yüksek olan bir polinomu çarpanlara ayırmak genellikle gereklidir. Bu yazımızda bunu yapmanın en kolay yoluna bakacağız.

Her zamanki gibi yardım için teoriye dönelim.

Bezout'un teoremi Bir polinomun bir binoma bölünmesinden kalanın olduğunu belirtir.

Fakat bizim için önemli olan teoremin kendisi değil, bundan çıkan sonuç:

Sayı bir polinomun kökü ise, o zaman polinom binom tarafından kalansız bölünebilir.

Bir şekilde polinomun en az bir kökünü bulma, ardından polinomu polinomun kökü olan 'ye bölme göreviyle karşı karşıyayız. Sonuç olarak, derecesi orijinalin derecesinden bir eksik olan bir polinom elde ederiz. Daha sonra gerekirse işlemi tekrarlayabilirsiniz.

Bu görev ikiye ayrılır: bir polinomun kökü nasıl bulunur ve bir polinom bir binoma nasıl bölünür.

Bu noktalara daha yakından bakalım.

1. Bir polinomun kökü nasıl bulunur?

Öncelikle 1 ve -1 sayılarının polinomun kökleri olup olmadığını kontrol ediyoruz.

Aşağıdaki gerçekler burada bize yardımcı olacaktır:

Bir polinomun katsayılarının toplamı sıfır ise sayı polinomun köküdür.

Örneğin bir polinomda katsayıların toplamı sıfırdır: . Bir polinomun kökünün ne olduğunu kontrol etmek kolaydır.

Bir polinomun çift kuvvetlerdeki katsayılarının toplamı, tek kuvvetlerdeki katsayıların toplamına eşitse, o zaman sayı polinomun köküdür. a çift sayı olduğundan serbest terim çift derece için bir katsayı olarak kabul edilir.

Örneğin, bir polinomda çift kuvvetler için katsayıların toplamı: ve tek kuvvetler için katsayıların toplamı: . Bir polinomun kökünün ne olduğunu kontrol etmek kolaydır.

Polinomun kökleri ne 1 ne de -1 değilse devam ederiz.

İndirgenmiş bir derece polinomu için (yani, baş katsayı - katsayı - birliğe eşit olan bir polinom), Vieta formülü geçerlidir:

Polinomun kökleri nerede?

Polinomun kalan katsayılarıyla ilgili Vieta formülleri de var ama biz bununla ilgileniyoruz.

Bu Vieta formülünden şu sonuç çıkıyor: eğer bir polinomun kökleri tam sayıysa, o zaman bunlar yine bir tam sayı olan serbest teriminin bölenleridir.

Buna dayanarak, polinomun serbest terimini faktörlere ayırmamız ve en küçükten en büyüğe doğru sırayla polinomun kökü olan faktörlerden hangisinin olduğunu kontrol etmemiz gerekir.

Örneğin polinomu düşünün

Serbest terimin bölenleri: ; ; ;

Bir polinomun tüm katsayılarının toplamı eşittir, dolayısıyla 1 sayısı polinomun kökü değildir.

Çift güçler için katsayıların toplamı:

Tek güçler için katsayıların toplamı:

Dolayısıyla -1 sayısı da polinomun kökü değildir.

2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim: dolayısıyla 2 sayısı polinomun köküdür. Bu, Bezout teoremine göre polinomun kalansız bir binomla bölünebileceği anlamına gelir.

2. Bir polinomun binoma nasıl bölüneceği.

Bir polinom bir sütunla binoma bölünebilir.

Bir sütun kullanarak polinomu bir binoma bölün:

Bir polinomu binomla bölmenin başka bir yolu daha vardır: Horner şeması.

Anlamak için bu videoyu izleyin Bir polinomun sütunlu bir binomla nasıl bölüneceği ve Horner diyagramının kullanılması.

Bir sütuna bölerken, orijinal polinomda bilinmeyenin bir derecesi eksikse, onun yerine 0 yazacağımızı unutmayın - tıpkı Horner'ın şeması için bir tablo derlerken olduğu gibi.

Dolayısıyla, bir polinomu bir binoma bölmemiz gerekiyorsa ve bölme sonucunda bir polinom elde edersek, Horner şemasını kullanarak polinomun katsayılarını bulabiliriz:

Biz de kullanabiliriz Horner şeması Belirli bir sayının bir polinomun kökü olup olmadığını kontrol etmek için: eğer sayı bir polinomun kökü ise, o zaman polinomu bölerken kalan kısım sıfıra eşittir, yani ikinci satırın son sütununda. Horner diyagramında 0 elde ederiz.

Horner'ın şemasını kullanarak "bir taşla iki kuş vuruyoruz": aynı anda sayının bir polinomun kökü olup olmadığını kontrol ediyoruz ve bu polinomu bir binoma bölüyoruz.

Örnek. Denklemi çözün:

1. Serbest terimin bölenlerini yazalım ve serbest terimin bölenleri arasında polinomun köklerini arayalım.

24'ün bölenleri:

2. 1 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim.

Bir polinomun katsayılarının toplamı dolayısıyla 1 sayısı polinomun köküdür.

3. Orijinal polinomu Horner şemasını kullanarak bir binoma bölün.

A) Orijinal polinomun katsayılarını tablonun ilk satırına yazalım.

İçeren terim eksik olduğundan katsayının yazılması gereken tablonun sütununa 0 yazıyoruz. Sol tarafa bulunan kökü yazıyoruz: 1 sayısı.

B) Tablonun ilk satırını doldurun.

Son sütunda beklendiği gibi sıfır elde ettik; orijinal polinomu kalansız bir binoma böldük. Bölme sonucu elde edilen polinomun katsayıları tablonun ikinci satırında mavi renkle gösterilmiştir:

1 ve -1 sayılarının polinomun kökleri olmadığını kontrol etmek kolaydır

B) Tabloya devam edelim. 2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim:

Yani bire bölme sonucu elde edilen polinomun derecesi orijinal polinomun derecesinden küçüktür, dolayısıyla katsayı sayısı ve sütun sayısı bir eksiktir.

Son sütunda -40 - sıfıra eşit olmayan bir sayı elde ettik, bu nedenle polinom, kalanlı bir binom ile bölünebilir ve 2 sayısı polinomun kökü değildir.

C) -2 sayısının polinomun kökü olup olmadığını kontrol edelim. Önceki deneme başarısız olduğundan, katsayılarla ilgili karışıklığı önlemek için bu girişime karşılık gelen satırı sileceğim:

Harika! Kalan olarak sıfır elde ettik, dolayısıyla polinom kalansız bir binoma bölündü, dolayısıyla -2 sayısı polinomun köküdür. Bir polinomun bir binoma bölünmesiyle elde edilen polinomun katsayıları tabloda yeşil renkle gösterilmiştir.

Bölme sonucunda ikinci dereceden bir trinomial elde ederiz kökleri Vieta teoremi kullanılarak kolayca bulunabilen:

Dolayısıyla orijinal denklemin kökleri şöyledir:

{}

Cevap: ( }

Bir çarpım elde etmek için polinomları genişletmek bazen kafa karıştırıcı görünebilir. Ancak süreci adım adım anlarsanız o kadar da zor değil. Makale, ikinci dereceden bir trinomialin nasıl çarpanlara ayrılacağını ayrıntılı olarak açıklamaktadır.

Birçok kişi kare trinomialin nasıl çarpanlara ayrılacağını ve bunun neden yapıldığını anlamıyor. İlk başta faydasız bir egzersiz gibi görünebilir. Ama matematikte hiçbir şey boşuna yapılmaz. İfadenin basitleştirilmesi ve hesaplama kolaylığı için dönüşüm gereklidir.

– ax²+bx+c biçiminde bir polinom, ikinci dereceden trinomial denir."A" terimi negatif veya pozitif olmalıdır. Uygulamada bu ifadeye ikinci dereceden denklem denir. Bu nedenle bazen farklı söylüyorlar: ikinci dereceden bir denklemin nasıl genişletileceği.

İlginç! Bir polinom, en büyük derecesi olan kareden dolayı kare olarak adlandırılır. Ve bir trinomial - 3 bileşenden dolayı.

Diğer bazı polinom türleri:

• doğrusal binom (6x+8);
• kübik dörtgen (x³+4x²-2x+9).

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

Öncelikle ifade sıfıra eşit, ardından x1 ve x2 köklerinin değerlerini bulmanız gerekiyor. Kökü olmayabilir, bir veya iki kökü olabilir. Köklerin varlığı diskriminant tarafından belirlenir. Formülünü ezbere bilmeniz gerekiyor: D=b²-4ac.

D sonucu negatif ise kök yoktur. Pozitif ise iki kök vardır. Sonuç sıfır ise kök birdir. Kökler ayrıca formül kullanılarak hesaplanır.

Diskriminant hesaplanırken sonuç sıfırsa formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz. Uygulamada formül basitçe kısaltılmıştır: -b / 2a.

için formüller Farklı anlamlar diskriminantlar farklıdır.

D pozitif ise:

D sıfır ise:

Çevrimiçi hesap makineleri

İnternette var cevrimici hesap makinesi. Çarpanlara ayırma işlemi yapmak için kullanılabilir. Bazı kaynaklar çözümü adım adım görüntüleme fırsatı sağlar. Bu tür hizmetler konunun daha iyi anlaşılmasına yardımcı olur ancak konuyu iyi anlamaya çalışmanız gerekir.

Faydalı video: İkinci dereceden bir trinomialin çarpanlara ayrılması

Örnekler

Sizi görmeye davet ediyoruz basit örnekler, ikinci dereceden bir denklemin nasıl çarpanlara ayrılacağı.

örnek 1

Bu açıkça sonucun iki x olduğunu gösteriyor çünkü D pozitif. Formülde değiştirilmeleri gerekir. Kökler negatif çıkarsa formüldeki işaret ters yönde değişir.

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırma formülünü biliyoruz: a(x-x1)(x-x2). Değerleri parantez içine alıyoruz: (x+3)(x+2/3). Kuvvette terimden önce sayı yoktur. Demek ki orada biri var, aşağı iniyor.

Örnek 2

Bu örnek, tek kökü olan bir denklemin nasıl çözüleceğini açıkça göstermektedir.

Ortaya çıkan değeri değiştiriyoruz:

Örnek 3

Verilen: 5x²+3x+7

Öncelikle önceki durumlarda olduğu gibi diskriminantı hesaplayalım.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Diskriminant negatiftir, yani kökleri yoktur.

Sonucu aldıktan sonra parantezleri açıp sonucu kontrol etmelisiniz. Orijinal trinomial görünmelidir.

Alternatif çözüm

Bazı insanlar ayrımcıyla hiçbir zaman arkadaşlık kuramadı. İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlara ayırmanın başka bir yolu var. Kolaylık sağlamak için yöntem bir örnekle gösterilmiştir.

Verilen: x²+3x-10

2 parantez almamız gerektiğini biliyoruz: (_)(_). İfade şu şekilde göründüğünde: x²+bx+c, her parantezin başına x: (x_)(x_) koyarız. Kalan iki sayı “c”yi veren çarpımdır, yani bu durumda -10. Bunların hangi sayılar olduğunu bulmanın tek yolu seçimdir. Değiştirilen sayılar kalan süreye karşılık gelmelidir.

Örneğin aşağıdaki sayıların çarpılması -10 değerini verir:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. HAYIR.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. HAYIR.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. HAYIR.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Uyar.

Bu, x2+3x-10 ifadesinin dönüşümünün şu şekilde göründüğü anlamına gelir: (x-2)(x+5).

Önemli!İşaretleri karıştırmamaya dikkat etmelisiniz.

Karmaşık bir trinomiyalin genişletilmesi

Eğer “a” birden büyükse zorluklar başlar. Ancak her şey göründüğü kadar zor değil.

Çarpanlara ayırmak için öncelikle herhangi bir şeyin çarpanlara ayrılıp ayrılamayacağını görmeniz gerekir.

Örneğin şu ifade verilmiştir: 3x²+9x-30. Burada 3 rakamı parantezden çıkarılmıştır:

3(x²+3x-10). Sonuç zaten iyi bilinen üçlü terimdir. Cevap şuna benzer: 3(x-2)(x+5)

Karedeki terim negatif ise nasıl ayrıştırılır? İÇİNDE bu durumda-1 sayısı parantezlerden çıkarılmıştır. Örneğin: -x²-10x-8. Daha sonra ifade şu şekilde görünecektir:

Şema öncekinden çok az farklı. Sadece birkaç yeni şey var. Diyelim ki ifade verildi: 2x²+7x+3. Cevap ayrıca (_)(_) doldurulması gereken 2 parantez içinde yazılmıştır. 2. parantez içinde x, 1. parantez içinde kalan şey yazılır. Şuna benzer: (2x_)(x_). Aksi takdirde önceki şema tekrarlanır.

3 sayısı sayılarla verilmektedir:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Denklemleri bu sayıları değiştirerek çözüyoruz. Son seçenek uygundur. Bu, 2x²+7x+3 ifadesinin dönüşümünün şu şekilde göründüğü anlamına gelir: (2x+1)(x+3).

Diğer durumlar

Bir ifadeyi dönüştürmek her zaman mümkün değildir. İkinci yöntemle denklemin çözülmesine gerek yoktur. Ancak terimlerin ürüne dönüştürülme olasılığı yalnızca diskriminant aracılığıyla kontrol edilir.

Karar vermek için pratik yapmaya değer ikinci dereceden denklemler böylece formülleri kullanırken hiçbir zorluk yaşanmaz.

Faydalı video: bir trinomial'ı çarpanlarına ayırma

Çözüm

Bunu herhangi bir şekilde kullanabilirsiniz. Ancak her ikisi de otomatik hale gelinceye kadar pratik yapmak daha iyidir. Ayrıca hayatını matematikle birleştirmeyi planlayanlar için ikinci dereceden denklemleri ve faktör polinomlarını iyi çözmeyi öğrenmek gereklidir. Aşağıdaki matematik konularının tümü bunun üzerine inşa edilmiştir.

Faktoring polinomları kimlik dönüşümü bunun sonucunda polinom çeşitli faktörlerin (polinomlar veya monomiyaller) ürününe dönüştürülür.

Polinomları çarpanlarına ayırmanın birkaç yolu vardır.

Yöntem 1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.

Bu dönüşüm, dağıtım çarpma kanununa dayanmaktadır: ac + bc = c(a + b). Dönüşümün özü, söz konusu iki bileşendeki ortak faktörü izole etmek ve onu parantezlerden "çıkarmaktır".

28x3 – 35x4 polinomunu çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. 28x3 ve 35x4 elemanları için ortak bölen bulun. 28 ve 35 için 7; x 3 ve x 4 – x 3 için. Yani ortak çarpanımız 7x3'tür.

2. Her bir unsuru faktörlerin bir ürünü olarak temsil ederiz; bunlardan biri
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Parantezlerin ortak çarpanını çıkarıyoruz
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Yöntem 2. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanılması. Bu yöntemi kullanmanın “ustalığı”, ifadedeki kısaltılmış çarpma formüllerinden birini fark etmektir.

Polinom x 6 – 1'i çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. Kareler farkı formülünü bu ifadeye uygulayabiliriz. Bunu yapmak için x 6'yı (x 3) 2 ve 1'i 1 2 olarak hayal edin, yani. 1. İfade şu şekli alacaktır:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Küplerin toplamı ve farkı formülünü elde edilen ifadeye uygulayabiliriz:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Bu yüzden,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Yöntem 3. Gruplandırma. Gruplandırma yöntemi, bir polinomun bileşenlerini, üzerlerinde işlem (toplama, çıkarma, ortak bir faktörün çıkarılması) gerçekleştirmeyi kolaylaştıracak şekilde birleştirmektir.

Polinom x 3 – 3x 2 + 5x – 15'i çarpanlarına ayıralım.

Çözüm.

1. Bileşenleri şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.
(x3 – 3x2) + (5x – 15).

2. Ortaya çıkan ifadede, ortak çarpanları parantezlerden çıkarıyoruz: ilk durumda x 2, ikinci durumda 5.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Ortak faktör x – 3'ü parantezlerden çıkarırız ve şunu elde ederiz:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Bu yüzden,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Malzemeyi güvence altına alalım.

a 2 – 7ab + 12b 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

1. 7ab tek terimlisini 3ab + 4ab toplamı olarak temsil edelim. İfade şu şekli alacaktır:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Parantezleri açalım ve şunu elde edelim:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Polinomun bileşenlerini şu şekilde gruplayalım: 1. ile 2. ve 3. ile 4.. Şunu elde ederiz:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Parantez içindeki ortak faktörleri çıkaralım:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Ortak çarpanı (a – 3b) parantezlerden çıkaralım:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Bu yüzden,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Büyük bir sayıyı çarpanlara ayırmak kolay bir iş değildir.Çoğu insan dört veya beş basamaklı sayıları bulmakta zorluk çeker. İşlemi kolaylaştırmak için iki sütunun üzerindeki sayıyı yazın.

• 6552 sayısını çarpanlarına ayıralım.

Verilen sayıyı, o sayıyı kalansız bölen en küçük asal bölene (1'den başka) bölün. Bu böleni sol sütuna, bölmenin sonucunu sağ sütuna yazın. Yukarıda belirtildiği gibi, çift sayıları çarpanlara ayırmak kolaydır çünkü en küçük asal çarpanları her zaman 2 olacaktır (tek sayıların farklı en küçük asal çarpanları vardır).

• Örneğimizde 6552 çift sayı olduğundan 2 bu sayının en küçük asal çarpanıdır. 6552 ÷ 2 = 3276. Sol sütuna 2, sağ sütuna 3276 yazın.

Daha sonra sağ sütundaki sayıyı, sayıyı kalansız bölen en küçük asal çarpana (1 dışında) bölün. Sol sütuna bu böleni, sağ sütuna ise bölme sonucunu yazın (sağ sütunda 1 kalmayana kadar bu işleme devam edin).

• Örneğimizde: 3276 ÷ 2 = 1638. Sol sütuna 2, sağ sütuna 1638 yazın.Sonra: 1638 ÷ 2 = 819. Sol sütuna 2, sağ sütuna 819 yazın.

Tek bir numaranız var; Bu tür sayılar için en küçük asal böleni bulmak daha zordur. Tek bir sayı elde ederseniz, bunu en küçük asal tek sayılara bölmeyi deneyin: 3, 5, 7, 11.

• Örneğimizde 819 tek sayı aldınız. Bunu 3'e bölün: 819 ÷ 3 = 273. Sol sütuna 3, sağ sütuna 273 yazın.
• Bölücüleri seçerken her şeyi deneyin asal sayılar kadar kare kök bulduğunuz en büyük bölenden. Eğer hiçbir bölen sayıyı bir bütüne bölemiyorsa, o zaman büyük olasılıkla bir asal sayıya sahipsiniz ve hesaplamayı bırakabilirsiniz.

Sağ sütunda 1 kalana kadar sayıları asal faktörlere bölme işlemine devam edin (sağ sütunda bir asal sayı bulursanız, 1 elde etmek için onu kendisine bölün).

• Örneğimizdeki hesaplamalara devam edelim:
  • 3'e bölün: 273 ÷ 3 = 91. Kalan yok. Sol sütuna 3, sağ sütuna 91 yazın.
  • 3'e bölün. 91, 3'e kalanla bölünebilir, dolayısıyla 5'e bölün. 91, 5'e kalanla bölünebilir, yani 7'ye bölün: 91 ÷ 7 = 13. Kalan yok. Sol sütuna 7, sağ sütuna 13 yazın.
  • 7'ye bölün. 13, 7'ye kalanla bölünebilir, yani 11'e bölün. 13, 11'e kalanla bölünebilir, yani 13'e bölün: 13 ÷ 13 = 1. Kalan yok. Sol sütuna 13, sağ sütuna 1 yazın, hesaplamalarınız tamamlandı.

Sol sütun orijinal sayının asal çarpanlarını gösterir. Yani sol sütundaki sayıların hepsini çarptığınızda sütunların üstünde yazan sayıyı elde edersiniz. Eğer aynı faktör faktörler listesinde birden fazla görünüyorsa bunu belirtmek için üsleri kullanın. Örneğimizde çarpan listesinde 2 sayısı 4 kez görünüyor; bu çarpanları 2*2*2*2 yerine 2 4 olarak yazın.

• Örneğimizde 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. 6552'yi asal çarpanlara ayırdınız (bu gösterimdeki çarpanların sırası önemli değil).

Bir denklemi çarpanlarına ayırma işlemi, çarpıldığında sonuç veren terimleri veya ifadeleri bulma işlemidir. başlangıç ​​denklemi. Faktoring, temel cebir problemlerini çözmek için yararlı bir beceridir ve ikinci dereceden denklemler ve diğer polinomlarla çalışırken neredeyse gerekli hale gelir. Faktoring, cebirsel denklemleri basitleştirerek çözümlerini kolaylaştırmak için kullanılır. Faktoring, bir denklemi elle çözdüğünüzden daha hızlı bir şekilde belirli olası cevapları ortadan kaldırmanıza yardımcı olabilir.

Adımlar

Sayıları çarpanlarına ayırma ve temel cebirsel ifadeler

1. Sayıları faktoring etmek. Faktoring kavramı basittir, ancak pratikte faktoring zor olabilir (eğer karmaşık bir denklem verilirse). Bu nedenle öncelikle sayıları örnek alarak çarpanlara ayırma kavramına bakalım ve devam edelim. basit denklemler ve ardından şuraya geçin: karmaşık denklemler. Çarpanlar verilen numara- Bunlar çarpıldığında orijinal sayıyı veren sayılardır. Örneğin 12 sayısının çarpanları sayılardır: 1, 12, 2, 6, 3, 4, çünkü 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Aynı şekilde bir sayının çarpanlarını o sayının bölenleri, yani sayının bölünebildiği sayılar olarak düşünebilirsiniz.
   • 60 sayısının tüm çarpanlarını bulun. 60 sayısını sıklıkla kullanırız (örneğin, saatte 60 dakika, dakikada 60 saniye vb.) ve bu sayı oldukça çok sayıdaçarpanlar.
     • 60 çarpan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60.

2. Hatırlamak: Bir katsayı (sayı) ve bir değişken içeren bir ifadenin terimleri de çarpanlara ayrılabilir. Bunu yapmak için değişkenin katsayı faktörlerini bulun. Denklem terimlerini nasıl çarpanlara ayıracağınızı bildiğinizden, bu denklemi kolayca basitleştirebilirsiniz.

   • Örneğin 12x terimi 12 ile x'in çarpımı olarak yazılabilir. Ayrıca 12x'i 3(4x), 2(6x), vb. şeklinde de yazabilir ve 12'yi sizin için en uygun faktörlere ayırabilirsiniz.
     • Art arda birden çok kez 12x dağıtabilirsiniz. Başka bir deyişle 3(4x) veya 2(6x)'te durmamalısınız; genişletmeye devam edin: 3(2(2x)) veya 2(3(2x)) (belli ki 3(4x)=3(2(2x)) vb.)

3. Çarpmanın dağılma özelliğini çarpan cebirsel denklemlere uygulayın. Sayıları ve ifade terimlerini (değişkenli katsayılar) nasıl çarpanlara ayıracağınızı bilerek, bir sayının ve ifade teriminin ortak faktörünü bularak basit cebirsel denklemleri basitleştirebilirsiniz. Tipik olarak bir denklemi basitleştirmek için en büyük ortak faktörü (GCD) bulmanız gerekir. Bu basitleştirme, çarpma işleminin dağılma özelliği nedeniyle mümkündür: a, b, c sayıları için a(b+c) = ab+ac eşitliği doğrudur.

   • Örnek. 12x + 6 denklemini çarpanlara ayırın. Öncelikle 12x ve 6'nın toplam değerini bulun. 6, hem 12x hem de 6'yı bölen en büyük sayıdır, dolayısıyla bu denklemi şu şekilde çarpanlara ayırabilirsiniz: 6(2x+1).
   • Bu süreç aynı zamanda negatif ve kesirli terimleri olan denklemler için de geçerlidir. Örneğin, x/2+4, 1/2(x+8)'e ayrılabilir; örneğin -7x+(-21), -7(x+3) çarpanlarına ayrılabilir.

   İkinci Dereceden Denklemlerin Faktoringlenmesi

   1. Denklemin ikinci dereceden formda verildiğinden emin olun (ax 2 + bx + c = 0).İkinci dereceden denklemler şu şekildedir: ax 2 + bx + c = 0, burada a, b, c 0'dan farklı sayısal katsayılardır. Size tek değişkenli (x) bir denklem verilirse ve bu denklemde bir veya daha fazla terim varsa ikinci dereceden bir değişkenle denklemin tüm terimlerini denklemin bir tarafına taşıyabilir ve sıfıra eşitleyebilirsiniz.

      • Örneğin, verilen denklem: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Bu, ikinci dereceden bir denklem olan x 2 + 6x + 9 = 0 denklemine dönüştürülebilir.
      • Büyük dereceli x değişkenine sahip denklemler, örneğin x 3, x 4, vb. ikinci dereceden denklemler değildir. Bunlar kübik denklemler, dördüncü dereceden denklemler vb.'dir (bu tür denklemler, x değişkeninin 2'ye yükseltildiği ikinci dereceden denklemlere basitleştirilemediği sürece).

   2. a = 1 olan ikinci dereceden denklemler (x+d)(x+e) şeklinde genişletilir; burada d*e=c ve d+e=b. Size verilen ikinci dereceden denklem şu şekildeyse: x 2 + bx + c = 0 (yani, x 2'nin katsayısı 1'dir), o zaman böyle bir denklem yukarıdaki faktörlere genişletilebilir (ancak garanti edilmez). Bunu yapmak için çarpıldığında “c”, toplandığında “b” veren iki sayı bulmanız gerekir. Bu iki sayıyı (d ve e) bulduğunuzda, bunları aşağıdaki ifadeyle değiştirin: (x+d)(x+e), bu, parantezleri açtığınızda orijinal denklemi sağlar.

      • Örneğin, ikinci dereceden bir denklem verildiğinde x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 ve 3+2=5, yani bu denklemi (x+3)(x+2) şeklinde çarpanlara ayırabilirsiniz.
      • Negatif terimler için çarpanlara ayırma sürecinde aşağıdaki küçük değişiklikleri yapın:
        • İkinci dereceden bir denklem x 2 -bx+c biçimindeyse, şu şekilde genişler: (x-_)(x-_).
        • İkinci dereceden bir denklem x 2 -bx-c biçimindeyse, şu şekilde genişler: (x+_)(x-_).
      • Not: boşluklar kesirlerle veya kesirlerle değiştirilebilir. ondalık sayılar. Örneğin, x 2 + (21/2)x + 5 = 0 denklemi (x+10)(x+1/2) şeklinde genişletilir.

   3. Deneme yanılma yoluyla çarpanlara ayırma. Basit ikinci dereceden denklemler, sayıları bulana kadar olası çözümlere basitçe yerleştirerek çarpanlara ayrılabilir. doğru karar. Denklem ax 2 +bx+c biçimindeyse (a>1), olası çözümler (dx +/- _)(ex +/- _) biçiminde yazılır; burada d ve e sıfır olmayan sayısal katsayılardır. , çarpıldığında a verir. d veya e (veya her iki katsayı) 1'e eşit olabilir. Her iki katsayı da 1'e eşitse yukarıda açıklanan yöntemi kullanın.

      • Örneğin, 3x 2 - 8x + 4 denklemi verilmiştir. Burada 3'ün yalnızca iki çarpanı vardır (3 ve 1), dolayısıyla olası çözümler (3x +/- _)(x +/- _) şeklinde yazılır. Bu durumda boşluk yerine -2 koyarsanız doğru cevabı bulursunuz: -2*3x=-6x ve -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x ve -2*-2=4 yani parantezleri açarken böyle bir genişleme orijinal denklemin terimlerine yol açacaktır.