Karmaşık logaritmik denklemler. Yaygın logaritma durumları

Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, tanımlamak için kullanılabilecek verileri ifade eder. belirli kişi veya onunla bağlantı.

Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vesaire.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Tarafımızca toplandı kişisel bilgi sizinle iletişim kurmamıza ve sizi bilgilendirmemize olanak tanır benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.

İstisnalar:

• Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, yasal işlemlerde ve/veya kamuya açık talepler veya Rusya Federasyonu'ndaki devlet kurumlarının talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.

giriiş

Logaritmalar hesaplamaları hızlandırmak ve basitleştirmek için icat edildi. Logaritma fikri yani sayıları aynı tabanın kuvvetleri olarak ifade etme fikri Mikhail Stiefel'e aittir. Ancak Stiefel'in zamanında matematik bu kadar gelişmemişti ve logaritma fikri de gelişmemişti. Logaritmalar daha sonra İskoç bilim adamı John Napier (1550-1617) ve İsviçreli Jobst Burgi (1552-1632) tarafından eşzamanlı ve birbirinden bağımsız olarak icat edildi. Napier, çalışmayı 1614'te yayınlayan ilk kişi oldu. “İnanılmaz bir logaritma tablosunun açıklaması” başlığı altında, Napier'in logaritma teorisi oldukça eksiksiz bir ciltte verildi, logaritma hesaplama yöntemi en basit şekilde verildi, bu nedenle Napier'in logaritmanın icadındaki değeri Bürgi'ninkinden daha büyüktü. Bürgi, Napier'le aynı zamanda masalarda çalışıyordu ama uzun zamandır bunları gizli tuttu ve ancak 1620'de yayınladı. Napier, 1594 civarında logaritma fikrinde ustalaştı. tablolar 20 yıl sonra yayınlanmış olmasına rağmen. İlk başta logaritmalarına "yapay sayılar" adını verdi ve ancak daha sonra bu "yapay sayılara" tek kelimeyle "logaritma" adını vermeyi önerdi; bu, Yunancadan çevrildiğinde, biri aritmetik ilerlemeden, diğeri ise bir aritmetik ilerlemeden alınan "bağıntılı sayılar" anlamına gelir. Bunun için özel olarak seçilmiş geometrik ilerleme. Rusça'daki ilk tablolar 1703'te yayınlandı. 18. yüzyılın harika bir öğretmeninin katılımıyla. L. F. Magnitsky. Logaritma teorisinin geliştirilmesinde büyük önem Petersburglu akademisyen Leonhard Euler'in çalışmaları vardı. Logaritmayı bir kuvvete yükseltmenin tersi olarak düşünen ilk kişi oydu; "logaritma tabanı" ve "mantis" terimlerini tanıttı. Briggs, 10 tabanlı logaritma tabloları derledi. Ondalık tablolar pratik kullanım için daha uygundur, teorileri Napier'in logaritmasından daha basittir. Bu nedenle ondalık logaritmalara bazen Briggs logaritmaları da denir. "Karakterizasyon" terimi Briggs tarafından tanıtıldı.

Bilgelerin bilinmeyen miktarlar içeren eşitlikler hakkında ilk kez düşünmeye başladıkları o uzak zamanlarda, muhtemelen madeni para veya cüzdan yoktu. Ancak bilinmeyen sayıda öğeyi tutabilecek depolama önbelleklerinin rolü için mükemmel olan yığınların yanı sıra tencere ve sepetler de vardı. Mezopotamya'nın, Hindistan'ın, Çin'in, Yunanistan'ın eski matematik problemlerinde bilinmeyen nicelikler, bahçedeki tavus kuşlarının sayısını, sürüdeki boğaların sayısını ve mal paylaşımında dikkate alınan şeylerin toplamını ifade ediyordu. Hesap bilimi konusunda iyi eğitimli katipler, yetkililer ve inisiyeler gizli bilgi Rahipler bu tür görevlerle oldukça başarılı bir şekilde başa çıktılar.

Bize ulaşan kaynaklar, eski bilim adamlarının bilinmeyen niceliklerdeki problemleri çözmek için bazı genel teknikleri olduğunu gösteriyor. Ancak tek bir papirüs veya kil tablette bu tekniklerin açıklaması yer almıyor. Yazarlar sayısal hesaplamalarına yalnızca ara sıra "Bak!", "Bunu yap!", "Doğru olanı buldun" gibi kısa yorumlarda bulundular. Bu anlamda istisna, Yunan matematikçi İskenderiyeli Diophantus'un (III. Yüzyıl) “Aritmetiği”dir - çözümlerinin sistematik bir sunumuyla denklem oluşturmaya yönelik bir problemler koleksiyonu.

Ancak sorunları çözmeye yönelik yaygın olarak bilinen ilk el kitabı, 9. yüzyıldaki Bağdatlı bilim adamının çalışmasıydı. Muhammed bin Musa el-Harezmi. Bu risalenin Arapça ismi olan "Kitab al-jaber wal-mukabala" ("Restorasyon ve muhalefet kitabı") olan "el-cebr" kelimesi, zamanla çok iyi bilinen "cebir" kelimesine dönüştü ve el- Khwarizmi'nin çalışması denklem çözme biliminin gelişiminde başlangıç ​​noktasını oluşturdu.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler

1. Logaritmik denklemler

Logaritma işareti altında veya tabanında bir bilinmeyen içeren bir denkleme logaritmik denklem denir.

En basit logaritmik denklem, formun bir denklemidir

kayıt A X = B . (1)

Açıklama 1. Eğer A > 0, A≠ 1, herhangi bir gerçek için denklem (1) B benzersiz bir çözümü var X = bir b .

Örnek 1. Denklemleri çözün:

a)günlük 2 X= 3, b) log 3 X= -1, c)

Çözüm. İfade 1'i kullanarak şunu elde ederiz: a) X= 2 3 veya X= 8; B) X= 3 -1 veya X= 1/3; C)

veya X = 1.

Logaritmanın temel özelliklerini sunalım.

P1. Temel logaritmik kimlik:

Nerede A > 0, A≠ 1 ve B > 0.

P2. Pozitif faktörlerin çarpımının logaritması, bu faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir:

kayıt A N 1 · N 2 = günlük A N 1 + günlük A N 2 (A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Yorum. Eğer N 1 · N 2 > 0 ise P2 özelliği şu şekli alır:

kayıt A N 1 · N 2 = günlük A |N 1 | + günlük A |N 2 | (A > 0, A ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. İki pozitif sayının bölümünün logaritması, bölünen ile bölenin logaritmaları arasındaki farka eşittir

(A > 0, A ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Yorum. Eğer

, (bu eşdeğerdir N 1 N 2 > 0) o zaman P3 özelliği şu şekli alır (A > 0, A ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Derecenin logaritması pozitif sayıüssün çarpımına ve bu sayının logaritmasına eşittir:

kayıt A N k = k kayıt A N (A > 0, A ≠ 1, N > 0).

Yorum. Eğer k- çift sayı ( k = 2S), O

kayıt A N 2S = 2S kayıt A |N | (A > 0, A ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Başka bir üsse geçmenin formülü:

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1, N > 0),

özellikle eğer N = B, alıyoruz

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, B ≠ 1). (2)

P4 ve P5 özelliklerini kullanarak aşağıdaki özellikleri elde etmek kolaydır

(A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (3) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (4) (A > 0, A ≠ 1, B > 0, C ≠ 0), (5)

ve eğer (5)'te ise C- çift sayı ( C = 2N), meydana gelmek

(B > 0, A ≠ 0, |A | ≠ 1). (6)

Ana özellikleri listeliyoruz logaritmik fonksiyon F (X) = günlük A X :

1. Logaritmik bir fonksiyonun tanım alanı pozitif sayılar kümesidir.

2. Logaritmik fonksiyonun değer aralığı gerçek sayılar kümesidir.

3. Ne zaman A> 1 logaritmik fonksiyon kesinlikle artıyor (0< X 1 < X 2 günlük A X 1 < logA X 2) ve 0'da< A < 1, - строго убывает (0 < X 1 < X 2 günlük A X 1 > günlük A X 2).

4.günlük A 1 = 0 ve log A A = 1 (A > 0, A ≠ 1).

5. Eğer A> 1 ise logaritmik fonksiyon negatiftir: X(0;1) ve pozitif X(1;+∞) ve eğer 0 ise< A < 1, то логарифмическая функция положительна при X (0;1) ve negatif X (1;+∞).

6. Eğer A> 1 ise logaritmik fonksiyon yukarı doğru dışbükeydir ve eğer A(0;1) - aşağı doğru dışbükey.

Logaritmik denklemleri çözerken aşağıdaki ifadeler (örneğin bkz.) kullanılır.

Logaritmik denklem bilinmeyenin (x) ve onunla birlikte ifadelerin logaritmik fonksiyonun işareti altında olduğu bir denklemdir. Logaritmik denklemleri çözmek, ve'ye zaten aşina olduğunuzu varsayar.
Logaritmik denklemler nasıl çözülür?

En basit denklem log a x = b a ve b bazı sayılar olmak üzere x bir bilinmeyendir.
Logaritmik bir denklemi çözme x = a b'dir: a > 0, a 1.

Eğer x, logaritmanın dışında bir yerdeyse, örneğin log 2 x = x-2, o zaman böyle bir denklemin zaten karma olarak adlandırıldığı ve onu çözmek için özel bir yaklaşıma ihtiyaç duyulduğu unutulmamalıdır.

İdeal durum, yalnızca sayıların logaritma işareti altında olduğu bir denklemle karşılaşmanızdır, örneğin x+2 = log 2 2. Burada bunu çözmek için logaritmanın özelliklerini bilmek yeterlidir. Ancak böyle bir şans çok sık olmaz, bu yüzden daha zor şeylere hazır olun.

Ama önce şununla başlayalım basit denklemler. Bunları çözmek için logaritma hakkında çok genel bir anlayışa sahip olmanız tavsiye edilir.

Basit logaritmik denklemleri çözme

Bunlar log 2 x = log 2 16 tipindeki denklemleri içerir. Çıplak göz, logaritmanın işaretini atlayarak x = 16 elde ettiğimizi görebilir.

Daha karmaşık bir logaritmik denklemi çözmek için genellikle olağan çözümü çözmeye indirgenir. cebirsel denklem veya en basit logaritmik denklemin çözümü log a x = b. En basit denklemlerde bu durum tek bir harekette gerçekleşir, bu yüzden bunlara en basit denir.

Yukarıdaki logaritmaları düşürme yöntemi, logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmenin ana yollarından biridir. Matematikte bu işleme potansiyelleştirme denir. Var olmak belirli kurallar veya bu tür işlemlere ilişkin kısıtlamalar:

• logaritmalar aynı sayısal tabanlara sahiptir
• Denklemin her iki tarafındaki logaritmalar serbesttir, yani. herhangi bir katsayı ve diğer şeyler olmadan Çeşitli türler ifade.

Diyelim ki denklemde log 2 x = 2log 2 (1 - x) potansiyelleştirme uygulanamaz - sağdaki katsayı 2 buna izin vermiyor. İÇİNDE aşağıdaki örnek log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) kısıtlamalardan biri de karşılanmıyor - solda iki logaritma var. Sadece bir tane olsaydı, tamamen farklı bir konu olurdu!

Genel olarak logaritmaları ancak denklem şu şekildeyse kaldırabilirsiniz:

log a (...) = log a (...)

Kesinlikle herhangi bir ifade parantez içine yerleştirilebilir; bunun potansiyelleştirme işlemi üzerinde kesinlikle hiçbir etkisi yoktur. Ve logaritmaları ortadan kaldırdıktan sonra, daha basit bir denklem kalacaktır - doğrusal, ikinci dereceden, üstel vb., umarım bunu nasıl çözeceğinizi zaten biliyorsunuzdur.

Başka bir örnek verelim:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Potansiyelleştirme uygularsak şunu elde ederiz:

log 3 (2x-1) = 2

Logaritmanın tanımına dayanarak, yani logaritma, logaritma işaretinin altındaki bir ifadeyi elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken sayıdır; (4x-1), şunu elde ederiz:

Yine güzel bir cevap aldık. Burada logaritmaları ortadan kaldırmadan yaptık, ancak potansiyelleştirme burada da uygulanabilir, çünkü herhangi bir sayıdan ve tam olarak ihtiyacımız olan sayıdan bir logaritma yapılabilir. Bu yöntem logaritmik denklemlerin ve özellikle eşitsizliklerin çözümünde çok faydalıdır.

Logaritmik denklem log 3 (2x-1) = 2'yi potansiyasyon kullanarak çözelim:

2 sayısını logaritma olarak düşünelim, örneğin bu log 3 9, çünkü 3 2 =9.

Sonra log 3 (2x-1) = log 3 9 ve yine aynı denklemi 2x-1 = 9 elde ediyoruz. Umarım her şey açıktır.

Aslında çok önemli olan en basit logaritmik denklemlerin nasıl çözüleceğine baktık çünkü logaritmik denklemleri çözme En korkunç ve çarpık olanlar bile, sonunda her zaman en basit denklemleri çözmeye gelir.

Yukarıda yaptığımız her şeyde bir tanesini çok kaçırdık önemli nokta daha sonra sahip olacak olan Belirleyici rol. Gerçek şu ki, herhangi bir logaritmik denklemin çözümü, en temel olanı bile, iki eşit parçadan oluşur. Birincisi denklemin kendisinin çözümü, ikincisi ise izin verilen değerler aralığı (APV) ile çalışmaktır. Bu tam olarak ustalaştığımız ilk kısım. Yukarıdaki örneklerde ODZ cevabı hiçbir şekilde etkilemediği için dikkate almadık.

Başka bir örnek verelim:

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

Dıştan bakıldığında bu denklem, çok başarılı bir şekilde çözülebilen temel denklemden farklı değildir. Ama öyle değil. Hayır, elbette çözeceğiz, ancak büyük olasılıkla yanlış çünkü hem C sınıfı öğrencilerin hem de mükemmel öğrencilerin hemen içine düştüğü küçük bir pusu içeriyor. Hadi daha yakından bakalım.

Diyelim ki, eğer birkaç tane varsa, denklemin kökünü veya köklerin toplamını bulmanız gerekiyor:

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

Güçlendirme kullanıyoruz, burada kabul edilebilir. Sonuç olarak, her zamanki gibi elde ediyoruz ikinci dereceden denklem.

Denklemin köklerini bulma:

İki kök ortaya çıktı.

Cevap: 3 ve -1

İlk bakışta her şey doğru. Ama sonucu kontrol edip orijinal denklemde yerine koyalım.

x 1 = 3 ile başlayalım:

günlük 3 6 = günlük 3 6

Kontrol başarılı oldu, artık sıra x 2 = -1:

günlük 3 (-2) = günlük 3 (-2)

Tamam, dur! Dışarıdan her şey mükemmel. Bir şey var ki, negatif sayıların logaritması yoktur! Bu, x = -1 kökünün denklemimizi çözmeye uygun olmadığı anlamına gelir. Dolayısıyla doğru cevap yazdığımız gibi 2 değil 3 olacaktır.

ODZ'nin unuttuğumuz ölümcül rolünü burada oynadı.

Kabul edilebilir değerler aralığının, izin verilen veya orijinal örnek için anlamlı olan x değerlerini içerdiğini hatırlatmama izin verin.

ODZ olmadan, herhangi bir denklemin herhangi bir çözümü, hatta kesinlikle doğru olanı bile piyangoya dönüşür - 50/50.

Görünüşte basit bir örneği çözerken nasıl yakalanabiliriz? Ama tam olarak potansiyelleşme anında. Logaritmalar ve onlarla birlikte tüm kısıtlamalar ortadan kalktı.

Bu durumda ne yapmalı? Logaritmaları ortadan kaldırmayı reddediyor musunuz? Ve bu denklemi çözmeyi tamamen reddediyor musunuz?

Hayır, biz sadece ünlü bir şarkının gerçek kahramanları gibi dolambaçlı yoldan gideceğiz!

Herhangi bir logaritmik denklemi çözmeye başlamadan önce ODZ'yi yazacağız. Ama bundan sonra denklemimizle gönlünüz ne istiyorsa onu yapabilirsiniz. Cevabı aldıktan sonra, ODZ'mize dahil olmayan kökleri atıyoruz ve son versiyonu yazıyoruz.

Şimdi ODZ’yi nasıl kaydedeceğimize karar verelim. Bunu yapmak için orijinal denklemi dikkatlice inceliyoruz ve x'e bölme, hatta kök vb. gibi şüpheli yerleri arıyoruz. Denklemi çözene kadar x'in neye eşit olduğunu bilmiyoruz, ancak ikame edildiğinde 0'a bölme veya çıkarma verecek x'lerin olduğundan eminiz. kare kök itibaren negatif sayı, açıkçası bir cevap olarak uygun değil. Bu nedenle, bu tür x kabul edilemez, geri kalanı ise ODZ'yi oluşturacaktır.

Aynı denklemi tekrar kullanalım:

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)

Gördüğünüz gibi 0'a bölme yok, karekök de yok ama logaritmanın gövdesinde x'li ifadeler var. Logaritmanın içindeki ifadenin her zaman >0 olması gerektiğini hemen hatırlayalım. Bu koşulu ODZ biçiminde yazıyoruz:

Onlar. Henüz hiçbir şeye karar vermedik ama bunu zaten yazdık. gerekli koşul tüm sublogaritmik ifade için. Kıvrımlı parantez bu koşulların aynı anda doğru olması gerektiği anlamına gelir.

ODZ yazılmıştır, ancak ortaya çıkan eşitsizlik sistemini de çözmek gerekir, biz de bunu yapacağız. x > v3 cevabını alıyoruz. Artık hangi x'in bize uymayacağını kesin olarak biliyoruz. Daha sonra yukarıda yaptığımız gibi logaritmik denklemi çözmeye başlıyoruz.

X 1 = 3 ve x 2 = -1 cevaplarını aldıktan sonra, yalnızca x1 = 3'ün bize uygun olduğunu görmek kolaydır ve bunu son cevap olarak yazarız.

Gelecek için şunu hatırlamak çok önemlidir: herhangi bir logaritmik denklemi 2 aşamada çözeriz. Birincisi denklemin kendisini çözmek, ikincisi ise ODZ koşulunu çözmek. Her iki aşama da birbirinden bağımsız olarak gerçekleştirilir ve yalnızca cevap yazarken karşılaştırılır. gereksiz her şeyi atın ve doğru cevabı yazın.

Materyali güçlendirmek için videoyu izlemenizi şiddetle öneririz:

Video, günlüğü çözmenin diğer örneklerini gösterir. Denklemler ve aralık yönteminin pratikte çözümü.

Bu soruya, logaritmik denklemler nasıl çözülürŞimdilik bu kadar. Günlük tarafından bir şeye karar verilirse. Denklemler belirsiz veya anlaşılmaz kalıyorsa sorularınızı yorumlara yazın.

Not: Sosyal Eğitim Akademisi (ASE) yeni öğrenci kabulüne hazır.

Talimatlar

Verilenleri yazın logaritmik ifade. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritma. Logaritmanın tabanında e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.

İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";

İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;

İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Eğer verilirse karmaşık fonksiyon o zaman türevini çarpmak gerekir dahili fonksiyon ve dıştakinin türevi. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.

Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Fonksiyonun değerini hesaplayın verilen nokta y"(1)=8*e^0=8

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman tasarrufu sağlayacaktır.

Kaynaklar:

• bir sabitin türevi

Peki arasındaki fark nedir rasyonel denklem rasyonelden mi? Bilinmeyen değişken karekök işaretinin altındaysa denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.

Talimatlar

Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alarak 2x-5=4x-7 elde edersiniz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir yazın, sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alacaktır, yani. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle verilen denklem kökleri yoktur.

Bu yüzden, irrasyonel denklem her iki parçasının karesinin alınması yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.

Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler karekökü olmayan , Sağ Taraf ve sonra kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani sıradan bir ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; ilkinden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.

Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için yapmanız gerekenler kimlik dönüşümleri hedefe ulaşılana kadar. Böylece basit aritmetik işlemler yardımıyla ortaya çıkan problem çözülecektir.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - dolma kalem.

Talimatlar

Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var ve trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.

Nitekim iki terimin toplamının karesi, birincinin karesi artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesine eşittir, yani (a+b)^2= (a+) b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Her ikisini de basitleştirin

Çözümün genel ilkeleri

Ders kitabını matematiksel analizle ilgili tekrarlayın veya yüksek Matematik belirli bir integraldir. Bilindiği üzere çözüm kesin integral türevi bir integral veren bir fonksiyon var. Bu işlev antiderivatif denir. Bu prensibe dayanarak ana integraller inşa edilir.
İntegral formuna göre tablo integrallerinden hangisinin uyduğunu belirleyin bu durumda. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman, tablo biçimi ancak integrali basitleştirmek için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.

Değişken Değiştirme Yöntemi

İntegral fonksiyonu ise trigonometrik fonksiyon Argümanı bazı polinomlar içeren değişkeni değiştirme yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Yani alacaksın yeni türönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.

İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi

İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa, rotor akışından bazılarına geçmenizi sağlar. vektör işlevi belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale.

Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi

Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk olarak, üst limitin değerini ters türev ifadesinde değiştirin. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegralin limitlerinden biri sonsuzluk ise, bunu antiderivatif fonksiyona yerleştirirken limite gitmek ve ifadenin neye yöneldiğini bulmak gerekir.
İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.

Okuldaki matematik derslerinde çok sık tartışılmayan, ancak Birleşik Devlet Sınavı da dahil olmak üzere rekabetçi görevlerin hazırlanmasında yaygın olarak kullanılan bazı logaritmik denklem türlerini ele alalım.

1. Logaritma yöntemiyle çözülen denklemler

Hem tabanında hem de üssünde bir değişken içeren denklemleri çözerken logaritma yöntemi kullanılır. Üs aynı zamanda bir logaritma içeriyorsa, denklemin her iki tarafının da bu logaritmanın tabanına göre logaritması gerekir.

Örnek 1.

Denklemi çözün: x log 2 x+2 = 8.

Çözüm.

Denklemin sol ve sağ taraflarının logaritmasını 2 tabanına alalım.

log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,

(log 2 x + 2) log 2 x = 3.

Log 2 x = t olsun.

O halde (t + 2)t = 3.

t2 + 2t – 3 = 0.

D = 16. t1 = 1; t2 = -3.

Yani log 2 x = 1 ve x 1 = 2 veya log 2 x = -3 ve x 2 =1/8

Cevap: 1/8; 2.

2. Homojen logaritmik denklemler.

Örnek 2.

Denklemi çözün log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0

Çözüm.

Denklemin alanı

(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.

x = -4'te log 3 (x + 5) = 0. Kontrol ederek şunu belirleriz verilen değer x değil orijinal denklemin köküdür. Dolayısıyla denklemin her iki tarafını da log 2 3 (x + 5)'e bölebiliriz.

Log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0 elde ederiz.

Log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t olsun. O halde t 2 – 3 t + 2 = 0. Bu denklemin kökleri 1; 2. Orijinal değişkene dönersek iki denklemden oluşan bir set elde ederiz

Ancak logaritmanın varlığını dikkate aldığımızda sadece (0; 9) değerlerini dikkate almamız gerekir. Bu, sol taraftaki ifadenin x = 1'de en büyük değeri 2'yi aldığı anlamına gelir. Şimdi y = fonksiyonunu düşünün. 2 x-1 + 2 1-x Eğer t = 2 x -1 alırsak y = t + 1/t formunu alacaktır, burada t > 0. Bu koşullar altında tek bir kritik noktası t vardır. = 1. Bu minimum noktadır Y vin = 2. Ve x = 1'de ulaşılır.

Şimdi, söz konusu fonksiyonların grafiklerinin (1; 2) noktasında yalnızca bir kez kesişebileceği açıktır. Çözülen denklemin tek kökünün x = 1 olduğu ortaya çıktı.

Cevap: x = 1.

Örnek 5. Log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x denklemini çözün

Çözüm.

Bu denklemi log 2 x için çözelim. Log 2 x = t olsun. O halde t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.

D = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t1 = -2; t 2 = 3 – x.

Log 2 x = -2 veya log 2 x = 3 – x denklemini elde ederiz.

İlk denklemin kökü x 1 = 1/4'tür.

Log 2 x = 3 – x denkleminin kökünü seçim yaparak bulacağız. Bu 2 sayısıdır. Bu kök benzersizdir, çünkü y = log 2 x fonksiyonu tüm tanım kümesi boyunca artmaktadır ve y = 3 – x fonksiyonu azalmaktadır.

Her iki sayının da denklemin kökleri olup olmadığını kontrol etmek kolaydır

Cevap:1/4; 2.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.